Tehničke osnove osiguranja licaTablice smrtnosti

Prof. dr Jelena Kočovićdr Vesna Rajić

Zakon velikih brojeva• Ukoliko se posmatra veliki broj slučajeva, uočavaju se

određene pravilnosti u nastupanju jednog događaja. • Zakonitost se ispoljava samo u masi slučajeva, ona nije

vidljiva kod pojedinačnih jedinica od kojih je masa sastavljena, niti deluje kod malih grupa tih jedinica. Recimo, ukoliko je od 10 ljudi određene starosti umrlo 5, ne znači da je verovatnoća smrti za ljude te starosti 50%.

• Ako se posmatra velika grupa ljudi, ne zna se kada će pojedinci u toj grupi umreti, ali se zna da će godišnje u toj grupi umreti određen broj ljudi i mi ga možemo sa zadovoljavajućom tačnošću odrediti.

• Zakon velikih brojeva ima veliki značaj u osiguranju.

Teorija verovatnoće• predstavlja matematičko-statističku osnovu savremenog osiguranja. • nesrećni slučajevi se ne smatraju sudbinski predodređenim i

nepredvidivim, već se na njih gleda kao na pojave koje se zahvaljujući izvesnim pravilnostima mogu predviđati.

• neophodno je odrediti verovatnoću nastupanja ekonomski štetnih dogadjaja kod različitih osiguranih objekata i lica, da bi se na osnovu toga utvrdila premija osiguranja.

• polazi se od pretpostavke da će se događaji i u buduće odvijati u skladu sa verovatnoćom, izračunatom na osnovu iskustva iz prošlosti.

• stepen verovatnoće nastajanja osiguranog slučaja je element koji odredjuje cenu rizika. Ukoliko je verovatnoća nastupanja štetnog događaja veća, rizik je "lošiji", a tada je i premija veća.

• A random variable can be classified as being either discrete or continuous depending on the numerical values it assumes.

Klasična definicija verovatnoće

• m je broj povoljnih ishoda događaja A.• n je broj svih jednako verovatnih ishoda

statističkog eksperimenta.

( ) mP An

Verovatnoća suprotnog događaja i uslovna verovatnoća

• Verovatnoća suprotnog događaja Ac događaja A, izračunava se po formuli

• Uslovna verovatnoća dogadjaja A, pod uslovom da se ostvario dogadjaj B, po definiciji je

).(1)( APAP c

( )( ) , ( ) 0( )

P A BP A B P BP B

Verovatnoća istovremene realizacije događaja

• Ako su događaji A i B nezavisni, onda je

• Verovatnoća istovremene realizacije n nezavisnih dogadjaja A1, A2, ..., An nalazi se po formuli

).()()( BPAPBAP

1 2 1 2( ... ) ( ) ( )... ( )n nP A A A P A P A P A

Pojam slučajne promenljive

• Slučajna promenljiva je funkcija koja preslikava skup ishoda statističkog eksperimenta u skup realnih brojeva.

• Primeri: dužina života slučajno izabrane osobe, vrednost akcija slučajno izabranog dana u budućnosti, vreme provedeno od nastanka štete do njene likvidacije, osigurana suma slučajno izabrane kuće u Beogradu, vrednost polise za slučajno izabran automobil, itd.

Diskretne (prekidne) i neprekidne• diskretne (prekidne) i apsolutno neprekidne. • Diskretna slučajna promenljiva uzima prebrojivo ili konačno mnogo

vrednosti. • Neprekidna slučajna promenljiva uzima neprebrojivo mnogo vrednosti

iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala ili iz unije intervala realne prave.

• Broj saobraćajnih udesa u Beogradu određenog dana je primer diskretne slučajne promenljive, a vreme potrebno da se neka šteta likvidira je primer neprekidne slučajne promenljive.

Funkcija raspodele

• Funkcija raspodele slučajne promenljive X (ili kumulativna funkcija raspodele), u oznaci F(x), predstavlja verovatnoću da X uzme vrednosti koje su manje ili jednake od nekog zadatog broja x, odnosno

1) F je neopadajuća funkcija, 2) F je neprekidna sa desne strane za svako x,3) 4)

( ) ( )F x P X x

0 ( ) 1F x

lim ( ) 0x F x lim ( ) 1x F x

Funkcija doživljenja• Slučajnu promenljivu možemo opisati i koristeći funkciju

doživljenja. Funkcija doživljenja slučajne promenljive X, u oznaci s(x), predstavlja verovatnoću da X uzme vrednosti veće od nekog zadatog broja x, odnosno

1) s je nerastuća funkcija, 2) s je neprekidna sa desne strane za svako x,3)

4)

0 ( ) 1s x

lim ( ) 1x s x lim ( ) 0x s x

( ) ( )s x P X x

Neprekidna slučajna promenljiva-funkcija gustine

• Neka je data slučajna promenljiva X sa funkcijom raspodele F. Ako postoji nenegativna funkcija f definisana na R takva da za svako važi:

tada je X neprekidna slučajna promenljiva, a f(x) njena funkcija gustine verovatnoća (ili samo gustina). Na svim intervalima na kojima je funkcija gustine neprekidna važi da je

( ) ( ) xF x f t dt

'( ) ( )f x F x

Funkcija gustine

1)2)

3)4)5) P(X=a)=0

( ) 1f x dx

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )ba

P a X b P a X b P a X b

P a X b f x dx F b F a

( ) ( ) ( ) bP X b P X b f x dx ( ) ( ) ( ) aP X a P X a f x dx

Primer• Slučajna promenljiva X koja predstavlja dužinu trajanja života

slučajno izabrane osobe je primer neprekidne slučajne promenljive. Ako pretpostavimo da je maksimalna dužina trajanja života 100 godina, onda je funkcija raspodele slučajne promenljive X oblika:

0, 0,( ) 0,01 , 0 100,

1, 100.

xF x x x

x

Primer-funkcija raspodele

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 20 40 60 80 100

Primer-funkcija doživljenja

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 20 40 60 80 100

Diskretna slučajna promenljiva

• Diskretna slučajna promenljiva uzima najviše prebrojivo mnogo različitih vrednosti , a niz , i=1,2,… se naziva zakonom raspodele slučajne promenljive. Ako je skup vrednosti konačan, zakon raspodele možemo predstaviti na sledeći način:

xi x1 x2 ... xn

P(X=xi) p1 p2 ... pn

1 2, ,...x x ( )i ip P X x

Diskretna slučajna promenljiva

• Sve verovatnoće su iz intervala [0,1], a njihov zbir mora biti 1.

• Funkcija raspodele i funkcija doživljenja se za diskretnu slučajnu promenljivu izračunavaju kao:

( ) ( ) ix x iF x P X x

( ) ( )ix x is x P X x

Momenti slučajne promenljive

• K-ti moment slučajne promenljive X predstavlja očekivanu vrednost slučajne promenljive Xk, u oznaci E(Xk).

• Ako je slučajna promenljiva neprekidna sa funkcijom gustine f(x), izračunava se po formuli

pod pretpostavkom da integral sa desne strane jednakosti apsolutno konvergira.

( ) ( ) ,k kE X x f x dx

Momenti slučajne promenljive

• Ako je slučajna promenljiva diskretna tada je

pod pretpostavkom da je red na desnoj strani jednakosti apsolutno konvergentan.

( ) ,k ki i

i

E X x p

• Prvi moment slučajne promenljive E(X) se naziva njena očekivana vrednost i najčešće obeležava sa .

• Pod određenim pretpostavkama, važi:

X prekidna

X neprekidna

1

),()())((i

ii xpxgXgE

dxxfxgXgE

)()())((

n

in

n

ii XgEXgE

11

)),(()(

• K-ti centralni moment slučajne promenljive X je E(X-EX)k pod uslovom da navedeno očekivanje postoji.

• Drugi centralni moment slučajne promenljive se naziva varijansa i obeležava sa 2, a njegov kvadratni koren se naziva standardna devijacija.

• Ako stavimo u odnos standardnu devijaciju i prosek dobijamo koeficijent varijacije. Odnos trećeg centralnog momenta i 3 je koeficijent asimetrije, a odnos četvrtog centralnog momenta i 4 je koeficijent spljoštenosti.

Kvantili raspodele slučajne promenljive

• Neka je data slučajna promenljiva X sa funkcijom raspodele F(x).

• Kvantil reda p (0<p<1) je broj xp za koji je F(xp)=p.

• Ako je p=0,25 odgovarajući broj xp je prvi kvartil raspodele, ako je p=0,5 odgovarajući broj xp je medijana raspodele, a ako je p=0,75 odgovarajući broj xp je treći kvartil raspodele.

Tablice smrtnosti

Tablice smrtnosti• računske osnove za izradu tarifa u osiguranju života u užem smislu

čine tablice smrtnosti i obračunska kamatna stopa. • sadrže niz pokazatelja od kojih je osnovni izravnata verovatnoća

smrtnosti na osnovu koje se izračunavaju sve ostale biometrijske funkcije: verovatnoća doživljenja, kretanje broja živih i broja umrlih u okviru određenog skupa, izračunatog na osnovu izravnatih verovatnoća smrti.

• pomoću ovako dobijenih vrednosti broja živih i broja umrlih lica i odgovarajuće kamatne stope, izračunavaju se komutativni brojevi koji služe za obračun neto premija u osiguranju života.

• A random variable can be classified as being either discrete or continuous depending on the numerical values it assumes.

Direktna i indirektna metoda• Direktna metoda-posmatra se određeni broj novorođenih,

po listama rođenih, tok njihovog života, da bi se na kraju na osnovu lista umrlih utvrdilo koliko lica ostane živo u prvoj godini života, zatim u sledećoj, sve dok poslednje od tih lica ne umre.

• Indirektna metoda-posmatra se istovremeno više generacija, tj. grupa lica razne starosti, i na osnovu materijala koji se prikupi, utvrđuju se verovatnoće smrti za pojedine klase starosti. Zatim se, pomoću proizvoljno odabranog velikog broja lica, računskim putem određuje broj živih za pojedine klase starosti.

Određivanje verovatnoće smrti

• Da bismo mogli, po indirektnoj metodi, sačiniti jednu tablicu smrtnosti za određene klase starosti, potrebno je da za svaku klasu starosti iz datog statističkog materijala izračunamo verovatnoću smrti.

• Da bi se pak, dobila vrednost verovatnoće smrti za jednu klasu starosti od x godina, slobodna od individualnih uticaja, potrebno je posmatrati dovoljno velku grupu lica odgovarajuće starosti.

Određivanje verovatnoće smrti• Da bi se dobila verovatnoća smrti, potrebno je staviti u

odnos broj realizovanih smrtnih slučajeva grupe lica iste starosti u toku jedne posmatrane godine prema celokupnom broju lica koja sačinjavaju grupu.

• Recimo ukoliko posmatramo 100.000 10-godišnjaka i ako je verovatnoća smrti za ta lica 4,08‰, to znači da će od 100.000 10-godišnjaka u toku jedne godine umreti 408 lica, odnosno 11. godinu doživeće 99.592 lica.

• Ukoliko je verovatnoća smrti za 11-godišnje lice 3,70 ‰, to znači da će od 99.592 11-godišnjaka umreti u toku jedne godine 369 lica, te će 12-godišnjih lica biti 99.223.

• Broj živih lica starih x godina obeležava se sa lx.

• Tablica smrtnosti sastavljena na opisani način biće:• l10 = 100.000• l11 = 99.592• l12 = 99.223•

Ako dalje nastavimo, broj živih lica se sve više smanjuje:• l20 = 96.061• l30 = 89.685• l40 = 82.277• l50 = 72.795• l60 = 58.842• l70 = 37.977• l80 = 13.987• l90 = 1.273• l100 = 4• l101 = 1• l102 = 0• Dakle, sa 102. godinom svih 100.000 lica je umrlo.

Vreme trajanja života kao slučajna veličina

• U aktuarskoj matematici uobičajeno je da se radi sa funkcijom doživljenja s(x), koja predstavlja verovatnoću doživljenja x godina (odnosno verovatnoću da će lice živeti duže od x godina).

• Zavisnost s(x) od x možemo uočiti iz sledeće tablice koja je formirana na bazi tablica smrtnosti stanovništva SAD

x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

s(x) 1 0,983 0,977 0,965 0,949 0,915 0,837 0,682 0,432 0,142 0,012 0

Vreme trajanja života kao slučajna veličina

• Posmatrajmo grupu od l0 novorođenčadi, čije momente smrti smatramo slučajnim promenljivim X1, X2, ..., X l0

• L(x) broj živih predstavnika ove grupe koji su doživeli starost x.

1

( ) Ilo

ii

L x X x

Broj živih lica koji su doživeli starost x

• Očekivana vrednost E(L(x)) predstavlja prosečan broj živih lica koji su

doživeli starost x.

1 1

( ( )) I( ) (I( ))lo lo

x i ii i

l E L x E X x E X x

(I( )) 1 ( ) 0 ( ) ( )i i i iE X x P X x P X x P X x

01 1

( ( )) ( ) ( ) ( )

lo lo

ii i

E L x P X x s x l s x

Funkcija doživljenja• Funkcija doživljenja s(x) opisuje prosečni udeo živih predstavnika neke

fiksirane grupe novorođenih koji su doživeli x godina

0( ( )) ( ) xl E L x l s x

0( ) /xs x l l

Broj umrlih starosti od x do x+t godina

• Slučajna veličina tDx predstavlja broj umrlih starosti od x do x+t godina (od fiksnog broja lo novorođenih).

1( ) ( ) ( )ol

t x ii

D L x L x t I x X x t

Prosečan broj lica koji su umrli u uzrastu od x do x+t godina

• Prosečna vrednost slučajne veličine tDx, tj. prosečan broj predstavnika grupe koji su umrli u uzrastu od x do x+t godina je

tdx=E(tDx)

Kriva smrti• Važi sledeće:

tdx = lx - lx+t = lo (s(x) - s(x+t)),

gde je s(x) - s(x+t) = P (x < X ≤ x + t) - verovatnoća smrti u intervalu (x, x+t].

• Za t = 1, imaćemo veličinu 1dx koju označavamo sa dx.

• Dobijamo dx = lx - lx+1 = lo (s(x) - s(x+1)) ≈ - los'(x).

Kriva smrti

• f (x) = - s'(x) = F '(x) je gustina slučajne promenljive X

• dx = lx - lx+1 = lo (s(x) - s(x+1)) ≈ lof(x).

• Funkcija gustine je korisna i u aktuarskoj matematici pošto približno opisuje udeo umrlih u intervalu (x, x+1) iz početne grupe l0 novorođenih.

• U aktuarskoj matematici grafik gustine f (x) naziva se kriva smrti.

Intenzitet smrtnosti

• Ako je čovek doživeo x godina, verovatnoća njegove smrti u narednih t godina, je uslovna verovatnoća:

.)(1

)()()(

)() |)(xF

xFtxFxXP

txXxPxXtxXxP

Intenzitet smrtnosti

Primenjujući Tejlorovu formulu, imamo:

.)(

)()()X |(x

txx

lll

xstxsxsxtxXxP

.)(1

)()|( txF

xfxXtxXxP

Intenzitet smrtnosti

• Intenzitet smrtnosti je:

• igra važnu ulogu u aktuarskoj matematici, pošto pri malim vrednostima t, približno izražava verovatnoću smrti u intervalu (x, x+t) čoveka koji je doživeo x godina.

)(1)(xF

xfx

• Karakter zavisnosti od x moguće je dobiti iz tablice smrtnosti koja je navedena u prilogu, uporedo sa drugim karakteristikama trajanja života u njoj su date vrednosti funkcije

xx x

x

dql

Model de Moavra

• De Moavr je predložio da se vreme života smatra ravnomerno raspodeljenim u intervalu (0, w) gde je w - granični uzrast (starost).

wxx),/(w,wxs(x)x/w, F(x)/w, f(x) x 0111

Model Komperca

• Intenzitet smrtnosti μx aproksimira se eksponencijalnom funkcijom oblika Beαx , gde su α > B > 0 parametri. Funkcija doživljenja s(x) ima oblik

/)1(exp)( xeBxs

/)1(exp)( xeBxBxf

Model Mejkhama

• Mejkham je uopštio prethodni model, aproksimirajući intenzitet smrtnosti μx funkcijom oblika A+Beαx. Konstantni sabirak A omogućuje da se uračunaju rizici života, vezani za nesrećne slučajeve, koji malo zavise od starosti, dok član Beαx uzima u obzir uticaj starosti na smrtnost.

./)1(exp)(,/)1(exp)( xxx eBAxBeAxfeBAxxs

Model Vejbula

• Vejbul je predložio aproksimaciju intenziteta smrtnosti jednostavnijom stepenom funkcijom oblika kxn.

))1/(exp()( 1 nkxxs n

))1(/(exp)( 1 nkxkxxf nn