1

FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA - TEORIJSKA PITANJA

1. Definicija pojmova: procentni i promilni raun?

Rije procent potjee od grke rijei pro centrum (od sto), dakle nije teko zakljuiti da se ovaj

raun temelji na broju 100 kao bazi. U nekim sluajevima se temelji na broju 1000 pa se tada naziva

promilni raun.

Dakle, procentni /promilni raun se moe definisati kao srazmjerni raun pomodu kojeg se izraava

direktan odnos izmeu dvije veliine tekude i bazne ili dijela i cjeline.; baznu vrijednost ili cjelinu

predstavlja broj 100 (procentni raun) i 1000 (promilni raun).

2. Definicija pojma: interesni (kamatni) raun?

Interesni ili kamatni raun je srazmjerni raun zasnovan na procentnom raunu, a od njega se

razlikuje po tome to ukljuuje i vrijeme kao faktor. Interesni ili kamatni raun se koristi u poslovima

regulisanja kreditnih odnosa koji nastaju izmedu dunika i povjerioca.

Interes ili kamata je naknada koju dunik plada povjeriocu za koritenje pozajmljenog novca na

odreeno vrijeme. Kamata se moe obraunavati dekurzivno i anticipativno.

3. Definicija pojma: dekurzivno obraunavanje kamate?

Dekurzivno obraunavanje kamate sa se obavlja krajem perioda, za protekli period (unazad), na

raniju (diskontovanu) vrijednost, kao istu glavnicu, pa je stoga kasnija (ukamadena) vrijednost

uvedana glavnica.

4. Definicija pojma: anticipativno obraunavanje kamate?

Anticipativno obraunavanje kamate se obavlja poetkom perioda, za period unapred, na kasniju

vrijednost kao istu glavnicu, pa je stoga ranija vrijednost umanjena glavnica.

5. Princip ekvivalencije u finansijskoj matematici?

Obraun kamata mora biti zasnovan na sljededim principima:

Princip zajednikog roka, to znai da se novani iznosi radi poreenja moraju biti svedeni

(kamacenjem ili diskontovanjem) na isti rok.

Princip ekvivalencije odnosno jednakosti uplata i isplata svedenih na isti rok.

Princip ekvivalencije govori o tome da u nekom trenutku, vrijednost svih isplata kreditora mora biti

jednaka vrijednosti svih uplata dunika, uzimajudi u obzir odreeni kamatni raun.

2

6. Definicija relativne i konformne kamatne stope?

Relativna kamatna stopa (p') je m-ti dio godinje kamatne stope. Ova kamatna stopa, uz ede

obraunavanje kamate, daje vii iznos kamate nego godinja kamatna stopa uz godinji obraun.

Formula:

Konformna ili ekvivalentna kamatna stopa (c) je ona kamatna stopa koja uz ede obraunavanje

kamate daje isti iznos kamate kao i godinja kamatna stopa uz godinji obraun.

7. Kako se izrauje i ta sadri I tablica sloenih kamata?

I tablica sloenih kamata izraena je formulom:

pri emu p predstavlja godinju

kamatnu stopu, a n broj godina. Kada se pojedinano uvrste sve godine i sve kamatne stope,

izraunaju svi faktori i uvrste u tablicu, dobije se I tablica sloenih kamata. I tablica sloenih kamata

sadri u sebi dekurzivne kamatne faktore i njihove stepene.

Faktori I tablice sloenih kamata pokazuju na koji de iznos narasti 1 novana jedinica za n obraunskih

perioda pod uvjetom da se kamata obraunava po dekurzivnoj kamatnoj stopi.

8. Kako se izrauje i ta sadri II tablica sloenih kamata?

II tablica sloenih kamata je reciprona vrijednost I tablice sloenih kamata, dakle ona je izraena

formulom:

. Dva su naina da se izradi II tablica sloenih kamata, jedan je da

izraunaju reciprone vrijednosti svih faktora I tablice sloenih kamata, a drugi je da se u algebarsku

formulu pojedinano uvrste sve kamatne stope i godine, i tako se izraunaju svi faktori II tablice

sloenih kamata. II tablica sloenih kamata u sebi sadri diskontne faktore i njihove stepene.

Faktori II tablice sloenih kamata pokazuju koliko treba imati danas da bi se nakon n perioda imala 1

novana jedinica pod uvjetom da se kamata obraunava po dekurzivnoj kamatnoj stopi.

9. ta su ulozi?

Ulozi su uplate koje se vre privremeno u jednakim vremenskim razmacima, u jednakim iznosima, ili u

iznosima koji rastu ili opadaju po nekom matematikom zakonu.

10. Podjela uloga prema njihovim iznosima?

Ulozi (periodine uplate) prema njihovim iznosima se mogu podijeliti na:

uloge (periodine uplate) u jednakim iznosima

uloge (periodine uplate) u promjenjivim iznosima, koji rastu ili opadaju po aritmetikoj ili

geometrijskoj progresiji.

3

11. Podjela uloga prema vremenu ulaganja i vremenu realizacije?

Ulozi prema vremenu ulaganja mogu biti: anticipativni (upladuju se na poetku vremenskog perioda) i

dekurzivni (upladuju se na kraju vremenskog perioda); godinji, polugodinji, tromjeseni, mjeseni ili

u nekim drugim vremenskim razmacima.

Ulozi prema vremenu realizacije su: ulozi neposredne realizacije (na dan posljednje uplate ili jedan

period kasnije) i ulozi odloene realizacije (nakon isteka 2 ili vie perioda).

12. Periodi ulaganja i periodi obraunavanja kamate?

Periodi ulaganja mogu biti godinji, polugodinji, mjeseni ili u nekom drugom vremenskom intervalu.

I kamata se moe obraunavati godinje, polugodinje, mjeseno ili u nekom drugom periodu.

Dakle, periodi ulaganja i periodi obraunavanja kamate mogu biti isti ili razliiti, a to dalje znai da se

moe ulagati ede ili rjee od obraunavanja kamate.

13. Kako se moe izraditi III tablica sloenih kamata?

III tablica sloeniha kamata predstavlja zbir faktora I tablice sloenih kamata, a predstavljena je

formulom:

;

. Dva su naina da se izradi III

tablica sloenih kamata, jedan je da se saberu svi faktori I tablice sloenih kamata, a drugi je da se u

algebarsku formulu pojedinano uvrste sve kamatne stope i godine, i tako se izraunaju svi faktori III

tablice sloenih kamata. Faktori III tablice predstavljaju konane vrijednosti n uloga po 1 novanoj

jedinici jedan period nakon posljednje uplate pod uvjetom da su identini periodi ulaganja i periodi

obrauna kamata po kamatnoj stopi datoj za obraunski period.

14. Iznos uloga, kamatna stopa i broj uloga?

Iznos uloga se moe izraunati ukoliko su poznate sljedede veliine: konana vrijednost Kn ili K'n,

kamatna stopa p i broj uloga m ili mn. Iz formula za izraunavanje konane vrijednosti mogu se izvesti

formule za izraunavanje iznosa uloga.

Kamatna stopa se moe izraunati ukoliko su poznate sljedede veliine: konana vrijednost ili , iznos

jednog uloga i broj uloga m ili mn. Ova veliina ne mora uvijek biti kamatna stopa, ona moe

oznaavati stopu rasta odnosno stopu koja izraava kretanje neke ekonomske ili drutvene pojave.

Broj uloga se moe izraunati ukoliko imamo sljedede elemente: konana vrijednost ili , kamatna

stopa p i iznos uloga u. Broj uloga se moe izraunati i algebarskim putem i uz pomod tablica sloenih

kamata. Postoje dva sluaja kod izraunavanja broj uloga, odnosno duine ulaganja, i to: prvi, ako je

rije o anticipativnim ulaganjima i drugi, ako je rije o dekurzivnim ulaganjima. Prema tome, obrasci

za izraunavanje broja uloga se izvodi iz obrazaca za izraunavanje konane vrijednosti - ili , zavisno o

kojoj vrsti ulaganja je rije.

4

15. ta su periodine isplate (rente)?

Rente (periodine isplate) su novana primanja odnosno isplate u jednakim vremenskim razmacima,

u jednakim iznosima ili u iznosima koji rastu ili opadaju po nekom matematikom zakonu; a dobijaju

na osnovu jedne ili vie uplate (mize) koje je poloio korisnik ili neko drugi u njegovu korist.

16. ta je i kako se formira uplata (miza)?

Sredstva za periodine isplate (rente) formiraju se na 2 osnovna naina:

polaganjem vie uplata

polaganjem jedne uplate.

Jednokratna uplata za periodine isplate (rente) naziva se miza. Miza je jednaka vrijednosti svih

bududih renti (isplata) tog dana, na odreeni dan. Miza je diskontovana vrijednost svih renti.

17. Podjela periodinih isplata (renti) prema njihovim iznosima?

Periodine isplate (rente) prema njihovim iznosima se mogu podijeliti na:

isplate u jednakim iznosima

isplate u promjenjivim iznosima, koji rastu ili opadaju po aritmetikoj ili geometrijskoj

progresiji.

18. Podjela peridinih isplata (renta) prema trajanju i momentu primanja?

Prema trajanju primanja periodine isplate (rente) se mogu podijeliti na:

privremene (temporalne) prima se u toku ugovorom utvrenog vremena

doivotne (line) renta koja se ispladuje do kraja ivota

vjene neogranieno trajanje toka isplata

Prema momentu primanja periodine isplate (rente) se mogu podijeliti na:

neposredne ako isplata poinje na dan posljednje uplate ili jedan period kasnije

odgoene ako isplata poinje nakon isteka dva ili vie perioda poslije uplate

Osim toga, prema momentu primanja periodine isplate (rente) se mogu podijeliti na:

anticipativne rente primaju se na poetku perioda

dekurzivne rente primaju se na kraju perioda

19. Periodi ispladivanja rente i periodi obraunavanja kamate?

Renta se moe primati godinje, polugodinje, mjeseno ili u nekom drugom vremenskom intervalu. I

kamata se moe obraunavati godinje, polugodinje, mjeseno ili u nekom drugom periodu. Dakle,

periodi ispladivanja rente i periodi obraunavanja kamate mogu biti isti ili razliiti, a to dalje znai da

se isplate mogu vriti ede ili rjee od obraunavanja kamate.

5

20. Kako se moe izraditi IV tablica sloenih kamata?

IV tablica sloenih kamata predstavlja zbir faktora II tablice sloenih kamata, a izraena je formulom:

;

. Dva su naina da se izradi IV tablica

sloenih kamata, jedan je da se saberu svi faktori II tablice sloenih kamata, a drugi je da se u

algebarsku formulu pojedinano uvrste sve kamatne stope i godine, i tako se izraunaju svi faktori IV

tablice sloenih kamata. Faktori IV su brojevi koji pokazuju koliko treba uplatiti za n dekurzivnih

jednakih renti od po jednu jedinicu pod uvjetom da su periodi primanja rente jednaki periodima

obrauna kamata.

21. Amortizacija zajma, pojam i sutina?

Finansijska matematika se bavi prouavanjem zajmova na koje se rauna kamata na kamatu i koji se

koriste 2 ili vie godina (srednjoroni i dugoroni). Zajam se odobrava na osnovu ugovora koji

zakljuuju davalac i korisnik zajma.

Ugovorene strane odluuju o tome koje de se odredbe unijeti u ugovor ali je neophodno da se

utvrde: iznos zajma, kada de i na koji nain davalac zajma izvriti svoje obaveze, kamatna stopa za

redovnu i zateznu kamatu i eventualno mjere obezbjeenja od dejstva inflacije, grejs period (period

poslije kojeg poinje redovno vradanja zajma), nain vradanja i rok vradanja. Davalac moe doznaiti

zajam u jednom iznosu ili u obrocima.

Za vrijeme koritenja zajma od dana doznake prve trane pa do dana kada poinje redovno vradanje

zajma korisnik plada interkalarnu kamatu. Ona se moe: Obraunavati i efektivno pladati za svaki

obraunski period, Obraunavati za svaki obraunski period i efektivno isplatiti odjednom po isteku

vremena u toku kojeg se plada i Obraunavati za svaki obraunski period i pribrojiti osnovnom dugu

da bi s njim bila ispladena.

Zatezna kamata je kamata koju plada korisnik kredita ako ne uplati dospjeli iznos u ugovorenom roku.

Za vrijeme prekoraenja roka plada se i redovna kamata.

Kada je rije o amortizaciji zajma misli se na nain na koji se zajam vrada.

Zajam se moe vratiti na vie naina:

- jednim iznosom uz pladanje kamate na svaki obraunski period koji se rauna prostim

kamatnim raunom

- jednim iznosom u kojem su sadrani zajam i kamata i koji se moe obraunati preko obrasca

Kn=K*I

- s vie jednakih ili razliitih iznosa u razliitim vremenskim razmacima, kada se obraun vri

tako da se svaki iznos uzima kao posebna glavnica

- s vie jednakih ili razliitih iznosa koji se mijenjaju po nekom matematikom zakonu u

jednakim vremenskim razmacima

6

22. Amortizacija zajma primarno datim otplatama i primarno datim anuitetima?

Postoji mnogo modela amortizacije koji se mogu podijeliti u dvije skupine, i to:

Amortizacija zajma sa primarno datim otplatam, i

Amortizacija zajma sa primarno datim anuitetima.

Kod amortizacije zajma sa primarno datim otplatama prvo se rauna otplata, a zatim anuitet; dok kod

amortizacija zajma sa primarno datim anuitetima prvo se raunaju anuiteti. Kod prvog sluaju otplate

mogu biti jednake ili promjenjive; a i kod drugog sluaja anuiteti mogu biti jednaki ili promjenljivi.

23. ta je otplata, a ta anuitet?

Otplata je dio zajma kojim se zajam postepeno likvidira. (K=b1+b2+...+bn )Otplate mogu biti jednake ili

promjenljive. Zajedno sa otplatom korisnik zajma plada kamatu na iznos neotpladenog duga.

Anuitet je zbir otplate i kamate. (an=bn+I) Anuiteti mogu biti jednaki ili promjenljivi.

24. ta je zajam u odnosu na otplate, a ta u odnosu na anuitete?

Zajam u odnosu na otplate je zbir otplata, a u odnosu na anuitete je zbir diskontovanih anuiteta.

25. Modeli amortizacije na bazi primarno datih otplata?

Kod ovih modela zajednika karakteristika je da se prvo rauna otplata a zatim anuitet.

Otplate mogu biti jednake ili promjenjive i u zavisnosti od toga postoje:

- Konstantno jednake otplate, anuitetski i obraunski periodi jednaki;

- Otplate rastu (opadaju) po aritmetikoj progresiji,

- Otplate rastu ( opadaju) po geometrijeskoj progresiji...

Konstantno jednake otplate, anuitetski i obraunski periodi jednaki - U ovom sluaju otplate se dobiju

kao kolinik vrijednosti zajma K i broja otplata n, tj po obrascu: b=K/n. Pored otplate koja je ista za

svaki period, treba izraunati: R - ostatak duga, I - kamatnu, a - anuitet. Prvi ostatak duga R1 se rauna

po obrascu: R1=K-b, a bilo koji poslije njega Rm=Rm-1-b. Kamata za prvi period se rauna po obrascu:

I1=K*p/100, a za svaki drugi period se rauna od ostatka duga R na kraju predhodnog perioda po

obrascu: Im=Rm-1* p/100. Bududi da je anuitet zbir otplata i kamata, on se rauna po obrascu am=b+Im .

Otplate rastu (opadaju) po aritmetikoj progresiji kada razlika izmeu dvije vremenskisukcesivne

otplate neprekidno ostaje ista.

Otplate rastu ( opadaju) po geometrijeskoj progresiji ako u toku amortizacije kolinik izmeu dvije

vremenski sukcesivne otplate ostaje isti.

7

26. Modeli amortizacije na bazi primarno datih anuiteta?

Kod ovih modela zajednika karakteristika je da se prvo raunaju anuiteti. Anuiteti mogu biti jednaki

ili promjenljivi. Neki od modela amortizacije na bazi primarno datih anuiteta su: Konstantno jednaki

anuiteti- anuiteti se pladaju dekurzivno ili anticipativno; Anuiteti konstantno rastu ( opadaju) po

aritmetikoj progresiji; Anuiteti konstantno rastu ( opadaju) po geometrijskoj progresiji; Polugodinji

naizmjenino jednaki anuiteti s polugodinjim obraunavanjem kamate; Anuiteti konstantno jednaki-

anuitetski period kradi od perioda efektivnog pladanja kamate; Anuiteti konstantno jednaki-

obraunski period kradi od otplatnog , kamata se efektivnoplada s otplatom...

Konstantno jednaki anuiteti- anuiteti se pladaju dekurzivno - Kod medela amortizacije sa primarno

datim anuitetima sve formule koje su vrijedile za raun renti vrijede i za raun zajmova. Anuitet i

renta su isto, samo to dunik i povjerilac mijenjaju mjesta. Ostatak duga je diskontovana vrijednost

na njegov rok. Otplata je razlika anuiteta i kamate. Posljednja otplata je jednaka posljednjen ostatku

duga.

Konstantno jednaki anuiteti- anuiteti se pladaju anticipativno - Kada se anuiteti pladaju anticipativno,

pri dekurzivnom raunanju kamate, prvi anuitet se plada u momentu doznake zajma i upotrebljava

iskljuivo za otplatu.

Anuiteti konstantno rastu ( opadaju) po aritmetikoj progresiji - Zajam se amortizuje anuitetima koji

konstantno rastu (opadaju) po aritmetikoj progresiji ako je razlika izmeu ova dva vremenski

sukcesivna anuiteta neprekidno ista.

Anuiteti konstantno rastu ( opadaju) po geometrijskoj progresiji - Amortizacija zajma anuitetima koji

konstantno rastu (opadaju) po geometrijskoj progresiji je model amortizacije karakteristian po tome

to je kolinik dva vremenska sukcesivna anuiteta neprekidno isti.

Polugodinji naizmjenino jednaki anuiteti s polugodinjim obraunavanjem kamate - Sutina je u

tome da se javlja u svakoj godini jedan anuitet od a i jedan od aq valutnih jedinica. Podeavanjem

faktora q, koji moe biti vedi ili manji od 1, prema finansijskim mogudnostima korisnika zajma postiglo

bi se da njegove obaveze za njega budu snoljivije.

Anuiteti konstantno jednaki; anuitetski period kradi od perioda efektivnog pladanja kamate - Ovdje se

model koristi za amortizaciju zajma za stambenu izgradnju koji se ispladuje mjeseno iz linog

dohotka dunika. Poto se lini dohodak prima na kraju mjeseca, za dunika je povoljniji dekurzivni

anuitet. Finansijski i matematiki ovaj model odgovara renti koja se prima ede od obraunavanja

kamate.

Anuiteti konstantno jednaki; obraunski period kradi od otplatnog , kamata se efektivnoplada s

otplatom - U toku jednog otplatnog perioda kamata se obraunava i dospijeva za pladanje m puta,

to znai da je broj obraunskih perioda u amortizacionom ciklusu mn. Finansijski i matematiki ovaj

model odgovara jednakoj dekurzivnoj renti ije su isplate rijee od obrauna kamate.

8

27. Izrada i funkcija amortizacionog plana?

Amortizacioni plan je tabelarni pregled koji pokazuje kako se krede ostatak duga, otplata, kamata i

anuitet u toku otpladivanja zajma. Prilikom izrade plana treba kontrolisati (tekuda kontrola) ali i kada

bude izraen (konana kontrola). Tekuda kontrola prati greke u fazi izrade plana. Konana kontrola

se zasniva na zbirovima pojedinih kolona plana. Funkcija: Amortizacioni plan za korisnika zajma

predstavlja pregled iznosa i rokova njegovih obaveza, a za davaoca zajma plan priliva sredstava od

datih zajmova i kamate na ta sredstva.

28. Tekuda kontrola amortizacionog plana?

Plan treba kontrolisati i u toku izrade (tekuda kontrola) i kada bude izraen (konana kontrola).

Tekuda kontrola prati greke u fazi izrade plana.

29. Konana kontrola amortizacionog plana?

Plan treba kontrolisati i u toku izrade (tekuda kontrola) i kada bude izraen (konana kontrola).

Konana kontrola se zasniva na zbirovima pojedinih kolona plana. Zadatak konane kontorle je da

ustanovi da li je plan dobro izraen. Konana kontrola se sastoji od 4 pretpostavke koje ako su tane

onda je plan dobro izraen:

Pretposljednji ostatak duga mora biti jednak posljednjoj otplati, Rm-1 = bm

Kamata na zbir kolone ostataka duga mora biti jednaka ukupnoj kamati, Rm*p/100 = Im

Zbir svih anuiteta mora biti jednak zbiru ukupnog iznosa otplata i ukupne kamate,

am=bm+Im

Zbir svih otplata mora biti jednak zajmu, bm=K

30. Stalna i promjenljiva kamatna stopa?

Prilikom uzimanja zajma mogude je ugovoriti stalnu ili promjenljivu kamatnu stopu. Stalna kamatna

stopa je nepromjenjiva za cijelo vrijeme otplate zajma, neovisno o uvjetima na tritu, kretanju

teaja, promjenama politike banke. Ova kamatna stopa je poeljna ukoliko se prije uzimanja zajma

oekuje rast kamatne. Promjenljiva kamatna stopa kao to sama rije kae moe se mijenjati, banke

usklauju kamatne stope prema uvjetima na tritu.

31. Pojam i predmet aktuarske matematike?

Aktuarska matematika je oblast matematike kojom se rjeavaju matematiko - statistiki problemi

osiguranja, pre svega problemi obrauna premija. Aktuarska matematika uvaava iste principe koje

uvaava i finansijska matematika (princip ekvivalencije svih isplata i svih uplata svedenih na isti

vremenski rok). Od finansijske matematike se razlikuje po injenici da su rauni finansijske

matematike bezlini, tj. ne zavise od starosti lica, dok su rauni aktuarske matematike ivotnog

9

osiguranja vezani za starost lica koje se osigurava. Tekode u predvianju nastupanja osiguranih

dogaaja su problemi koje aktuarska matematika uspjeno rjeava koristedi se Zakonom velikih

brojeva i raunom vjerovatnode, koji su omogudili da se kao pomodno sredstvo formiraju tzv. Tablice

smrtnosti i Komutativni brojevi.

32. Zakon velikih brojeva?

Spoznaja o djelovanju ovoga zakona omogudava uoavanje pravilnosti i zakonitosti u nastupanju

posmatranog dogaaja. Karakteristika djelovanja zakona velikih brojeva je u posmatranju nastupanja

dogaaja u velikom broju sluajeva, jer se samo u masi ispoljavaju pravilnosti i zakonitosti.

Nastupanje dogaaja pojedinano i u malom broju predstavlja sluaj, a nastupanje istog dogaaja u

masi se ispoljava kao zakonitost. Tako npr. ako u posmatranoj godini od konkretne grupe ljudi od 8

lica iste starosti umre estoro (75%), ne treba izvuci zakljuak da je vjerovatnoda smrti za ljude

posmatrane starosti 75%. Medutim posmatranje grupe od npr. 80000 ljudi iste starosti moe

rezultirati u formiranju vjerovatnode smrti lica posmatrane starosti.

33. Definisanje rauna vjerovatnode?

Izraunavanje vjerovatnode nastupanje tetnih dogaaja u osiguranju je osnova za odreivanjem

premija osiguranja. Ove vjerovatnode se odreuju na osnovu iskustva, a za nove sluajeve na osnovu

procjene eksperata. Razlikujemo pojam klasine definicije vjerovatnode od pojma empirijske (a

posteriori) definicije vjerovatnode. Klasina definicija vjerovatnode: Vjerovatnoda realizacije

(nastupanja) dogaaja A, u oznaci P(A), je odnos broja povoljnih mogudnosti za nastupanje dogaaja

A i svih jednako mogudih ishoda nekog eksperimenta E. Za razliku od pojma klasine definicije

vjerovatnode, koja podrazumeva izraunavanje vjerovatnode prije eksperimenta i nezavisno od toga

da li ce se eksperiment vriti, a posteriori (empirijska) vjerovatnoda ili relativna uestalost dogaaja

A, u oznaci W(A), se izraunava nakon eksperimenta i odnos je broja ishoda u eksperimentu u kojima

se realizovao (nastupio) dogaaj A i broja svih ishoda (ukupno izvrenih pokuaja).

34. Nastanak i nain formiranja Tablice smrtnosti?

Poznavanje rauna vjerovatnode je omogudilo da se formiraju tzv. Tablice smrtnosti koje slue kao

tehnika osnova za formiranje tarifa u osiguranju ivota. Tablice smrtnosti se formiraju direktno ili

indirektno. Direktni metod podrazumjeva pradenje ivota i smrti odreenog skupa novoroenih, tako

to se konstatuje koliko lica iz toga skupa je ostalo u ivotu po isteku prve godine ivota, zatim po

isteku druge godine ivota itd. sve do smrti posljednjeg lica iz posmatranog skupa. Iz mnogo razloga,

ovaj metod je praktino neizvodljiv pa se upotrebljava indirektni metod. Indirektni metod

podrazumeva pradenje ivota i smrti istovremeno (npr. u jednoj godini) za vie generacija. Dobijeni

podaci se primjene na fiktivnu grupu za sve godine starosti.

10

35. Osnovni i izvedeni pokazatelji Tablice smrtnosti?

Osnovni pokazatelj tablice smrtnosti su tzv. izravnate vjerovatnode smrtnosti. Iz ovih pokazatelja se

dalje formiraju ostale biometrijske funkcije, meu kojima su: vjerovatnoda doivljenja i kretanja broja

ivih i umrlih lica u posmatranom skupu.

36. Verovatnoda ivota i smrti jednog lica...

Oznaka za vjerovatnodu ivota jednog lica je px. Vjerovatnoda px da de lice staro x godina doivjeti

(x+1)-nu godinu iznosi:

Vjerovatnoda da de lice staro x godina doivjeti (x+n)-tu godinu iznosi:

Neka je qx oznaka za vjerovatnodu da lice staro x godina nede doivjeti x+1 godinu, tj. da ce umrijeti u

toku (x+1)-ve godine:

Vjerovatnoda da lice staro x godina nede doivjeti x+n godina, bide:

37. Definicija pojma: verovatno trajanje ivota?

Ako prihvatimo da vjerovatnoda da de lice staro x godina ivjeti u prosjeku jo k godina iznosi 50%, tj.

1/2, onda se iz relacije

dobije x + k kao broj koji moemo prihvatiti kao

vjerovatno trajanje ivota osobe stare x godina.

38. Definicija pojma: srednje trajanje ivota?

Za odreivanje srednjeg trajanja ivota poimo od sljededih varijanti:

1. Uzmimo da sve osobe koje umru u toku jedne godine umru pocetkom godine. lx+1 + lx+2 + lx+3 + ... je

ukupan broj godina koje proive sve osobe grupe od lx lica. Srednje trajanje ivota lica iz ove grupe

bide:

2. Uzmimo da sve osobe koje umru u toku jedne godine, umru krajem godine, pa de biti:

Reenje problema priblinog odreivanja srednjeg trajanja ivota bi moglo da se nae u aritmetikoj

sredini 1. i 2. varijante jer se umiranje rasporeuje tokom cijele godine, pa de biti:

11

39. Vrste komutativnih brojeva?

Komutativni brojevi su parametri demografske statistike koji se koriste u osiguranju ivota, odnosno

vezani su za iva i umrla lica i obraunske kamatne stope. Upotrebom osnovnih brojeva tablica

smrtnosti (lx i dx broja ivih i umrlih lica) i obraunske kamatne stope (p) izraunavaju se komutativni

brojevi, koji mogu biti:

komutativni brojevi za iva lica,

komutativni brojevi za umrla lica.

Komutativni brojevi za iva lica su:

- Dx - broj diskontovanih ivih lica starih x godina,

- Nx - komutativni broj koji predstavlja zbir brojeva diskontovanih ivih lica, poev od starosti x

do najdublje starosti i

- Sx - komutativni broj koji predstavlja zbir zbirova diskontovanih ivih lica, poev od starosti x

do najdublje starosti w, koju prema tablicama doivi posmatrana grupa.

Komutativni brojevi za umrla lica su:

- Cx - broj diskontovanih umrlih lica u toku (x+1)ve godine,

- Mx - komutativni broj koji predstavlja zbir brojeva diskontovanih umrlih lica, poev od onih

koja su umrla u toku (x+1)-ve godine i

- Rx - komutativni broj koji predstavlja zbir zbirova brojeva diskontovanih umrlih lica, poev sa

onima koji su umrli u toku (x+1)-ve godine starosti.

40. Pojam mize?

Miza je jednokratna premija koju osiguranik treba da uplati osiguravajudem drutvu, da bi u

bududnosti, po osnovu tako upladene mize, primao rentu kao viekratni iznos ili kapital, kao

jednokratni iznos.

41. Pojam premije?

Premija je viekratni iznos koji se upladuje u jednakim vremenskim razmacima (godinje) i jednakim ili

promjenljivim iznosima, u svrhu osiguranja primanja jednokratnog iznosa (kapitala) ili viekratnog

iznosa (rente).

42. Pojam osiguranja line rente?

Osiguranik, da bi obezbijedio primanje rente do kraja ivota ili za period po elji, moe da uplati

osiguravajudoj kompaniji mizu (jednokratnu premiju) ili da tu premiju plada u ratama. Kategoriju

rente koja je vezana za ivot jednog lica nazivamo linom rentom. Nju osiguranik prima lino.

Primanje rente moe biti neposredno ili odloeno, te moe biti krajem godine (dekurzivno) i

poetkom godine (anticipativno).

12

43. Vrste osiguranja line rente uplatom mize?

Vrste osiguranja line rente uplatom mize su:

- Neposredna doivotna lina renta,

- Odloena doivotna lina renta,

- Neposredna privremena lina renta,

- Odloena privremena lina renta.

Neposredna doivotna lina retna je takva renta koju osiguranik prima od dana osiguranja do kraja

svog ivota na bazi uplate mize.

Odloena doivotna lina renta retna je takva renta koju osiguranik prima nakon izvjesnog broja

godina pa do kraja ivota na bazi uplate mize.

Neposredna privremena lina renta je takva renta koju osiguranik prima od dana osiguranja pa da

odreenog broja godina na bazi uplate mize.

Odloena privremena lina renta je takva renta koju osiguranik prima nakon izvjesnog broja godina

pa do odreenog broja godina na bazi uplate mize.