UNIVERZITET SINGIDUNUM

Prof. dr Jovan S. Raeta

FINANSIJSKA I AKTUARSKA

MATEMATIKA

Peto izdanje

Beograd, 2009.

FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA

Autor:Prof. dr Jovan S. Raeta

Recenzenti:Prof. dr Marko IvaniProf. dr Ljubia Stanojevi

Izdava:UNIVERZITET SINGIDUNUMBeograd, Danijelova 32www.singidunum.ac.rs

Za izdavaa:Prof. dr Milovan Stanii

Tehnika obrada:Novak Njegu

Dizajn korica:Aleksandar Mihajlovi

Godina izdanja:2009.

Tira:500 primeraka

tampa:Mladost GrupLoznica

ISBN: 978-86-7912-224-7

S A D R A J

Prvi deoFinansijska matematika

ELEMENTARNI POJMOVI procenti, promili, glavnica, kamatna stopa, interes . . . . . . . . . . . . 3

I. Prost interesni raun

1. Budua vrednost sa prostim interesom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Sadanja vrednost u prostom interesnom raunu . . . . . . . . . . 143. Delimina plaanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164. Prost interesni raun u kreditnim poslovima . . . . . . . . . . . . . . 185. Izjednaene vrednosti - ekvivalenti (srednji rok plaanja) . . . 19

II. Diskontni raun

1. Osnovne relacije eskonta i diskonta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252. Relacije izmeu prostog interesa i prostog diskonta . . . . . . . . 26

III. Podruja primene teorije prostog interesa

1. Lombardni raun (zaloni zajam) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332. Tekui (poslovni) raun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353. Potroaki krediti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384. Eskontovanje i prolongacija menica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III

IV. Sloeni interes

1. Faktor akumulacije (izraunavanje krajnje vrednosti kapitala) . . 512. Faktor akumulacije pri neprekidnom ukamaivanju . . . . . . . . 563. Relativna i konformna kamatna stopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574. Diskontni i eskontni faktor u sloenom interesu . . . . . . . . . . . 605. Hipotekarni krediti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616. Sukcesivna plaanja (uplate i isplate) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1. Faktor dodajnih uloga (III - nansijske tablice) . . . . . . . . 636.1.1. Ulaganje ee od obraunavanja interesa . . . . . . . . . 666.1.2. Ulaganje ree od obraunavanja interesa . . . . . . . . . 676.1.3. Promenljivi ulozi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2. Faktor aktuelizacije (IV tablice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Vebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7. Otplata zajmova i kredita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.1. Izrada plana otplate zajma sa jednakim anuitetima . . . . . 777.2. Izrada plana otplate zajma sa jednakim otplatama (sa nejednakim anuitetima) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8. Konverzija dugova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

V. Pojedinosti

1. Donoenje investicionih odluka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.1. Rizik izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.2. Metode ocene e kasnosti investicionih ulaganja . . . . . . . 981.3. Kompjuterizovane nansijske funkcije . . . . . . . . . . . . . 1031.4. Kompleksno vrednovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Drugi deo Aktuarska matematika1. Osiguranje ivota pojam i znaaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132. Osnovni principi osiguranja ivota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213. Vrste osiguranja ivota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314. Formiranje tarifa u osiguranju ivota . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

IV

5. Premija za osiguranje ivota jednog lica . . . . . . . . . . . . . . . . 1386. Premija za osiguranje dva lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497. Matematika rezerva osiguranja ivota . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.1. Knjigovodstvena metoda utvrivanja stanja premijske rezerve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.2. Retrospektivna metoda utvrivanja stanja premijske rezerve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.3. Prospektivna metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.4. Obraun matematike rezerve sa bruto premijom osiguranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.5. Premijska rezerva kod osiguranja kapitala na utvreni rok, sa plaanjem premije u ratama: . . . . . . . . 1607.6. Obraun premijske rezerve u osiguranju promenljive rente ili promenljivog kapitala, sa neto premijom osiguranja . . 1627.7. Matematika rezerva kod osiguranja promenljivog kapitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.8. Metode grupnog obrauna matematike rezerve . . . . . . 167

8. Preinaenja zakljuenog osiguranja ivota (otkup, prolongacija i kapitalizacija) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729. Obaveza osiguravaa kod kapitalisanih (redukovanih) i otkupnih vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Trei deo Aktuarske osnove osiguranja1. Primena klasine statistike i teorije verovatnoe . . . . . . . . . . 179

1.1. Pojmovi: prosta, sloena i uslovna verovatnoa . . . . . . . 1821.2. Osnovni aksiomi i teoreme verovatnoe . . . . . . . . . . . . . 1851.3. Zakon velikih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

2. Domen teorije verovatnoe sa primerima . . . . . . . . . . . . . . . 1993. Opti aktuarski pristup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3.1. Peterburki paradoks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2044. Regresiona i korelaciona analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095. Sluajnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

5.1. Procena broja teta u portfelju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.2. Model individualnog rizika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

V

6. Funkcija raspodele i zakon verovatnoe rizika . . . . . . . . . . . 2366.1. Binomna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.2. Poisonova raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406.3. Eksponencijalna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.4. Geometrijska, paskalova i negativna binomna raspodela . . 2426.5. Ravnomerna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2466.6. Normalna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2476.7. Gamma raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

7. Model kolektivnog rizika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2588. Simulacije osiguranih sluajeva u vremenu . . . . . . . . . . . . . 262

8.1. Analiza rizinosti portfelja - modeliranje uestalosti i iznosa teta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2668.2. Uloga i znaaj formiranja rezervi u osiguranju . . . . . . . 2708.3. Simuliranje promena u rezervama . . . . . . . . . . . . . . . . . 2718.4. Solventnost i samopridraj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2788.5. Potrebna rezerva u relaciji sa strukturom portfelja . . . . . 2888.6. Pojedinosti iz poslovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

9. Stohastiki aspekti rizika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2989.1. Dinamika ravnotea rizika u vremenu i prostoru . . . . . 2999.2. Promene rizinosti portfelja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3069.3. Odravanje stabilnosti portfelja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3099.4. Procena nastalih neprijavljenih teta . . . . . . . . . . . . . . . 3119.5. Franiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

10. Reosiguranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

TABLICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

VI

P R E D G O V O R

Ovo je drugo izdanje udbenika koji je pripremljen za studente UNIVER-ZITETA SINGIDUNUM - Fakultet za nansijski menadment i osiguranje u Be-ogradu, za predmet Finansijska i aktuarska matematika, kao i za master posle diplomske studije.

Prvo izdanje ovog udbenika je tampano 2005 godine i sada je u izvesnoj meri izmenjeno, uglavnom u prvom i treem delu.

Autor je imao u vidu pre svega osnovne ciljeve: obrazovni i vaspitni, pa je gradivo u ovoj knjizi obradio prema programu Nastavno-naunog vea fakulteta. U toku jednog semestra, trebalo bi da studenti shvate kvantitativne nansijske odnose a sa druge strane da uvide mesto, ulogu i znaaj nansijskih i aktuarskih kvanti kacija u reavanju ekonomskih zadataka. Udbenik je kon-cipiran tako da odgovori tim ciljevima i da moe da se koristiti kao prirunik posle zavrenih studija.

Osnovu gradiva u ovom udbeniku ine dve grane primenjene matematike u kojima se operie sa promenama vrednosti novca u vremenu: nansijska i aktu-arska matematika. Zbog spajanja u jednu celinu izvreno je znatnije reduciranje gradiva na najvanije oblasti.

Finansijska matematika tretira i obrauje zadatke u kojima se novane vred-nosti, u nansijskim tokovima, menjaju u vremenu sa kvanti kovanjem interesa za koji se razlikuje poetna od krajnje vrednosti nekog kapitala.

Aktuarska matematika, u irem smislu, predstavlja primenu matematike statistike i teorije stohastikih procesa u osiguranju imovine i lica. U uem smi-slu ona se ograniava na primenu teorije verovatnoe i nansijske matematike u osiguranju ivota.

Opti i aktuarski aspekti neivotnog osiguranja izloeni su u treem delu, dok su aspekti matematike osiguranja ivota (aktuarska matematika) izloeni u

VII

drugom delu ove knjige. Saglasno sa modernim zahtevima obrazovanja, u ovoj knjizi su iz osnovnog gradiva klasine nansijske matematike sa jedne strane izo-stavljena izvesna teorijska pitanja, a sa druge strane gradivo je proireno osvr-tom na nansijsko vrednovanje odluka u uslovima neizvesnosti tj. u poslovnim poduhvatima i ocenama e kasnosti investicionih ulaganja, kao bitnim aspektima trinog privreivanja.

U treem delu se obrauju opte i aktuarske osnove osiguranja koje su po-trebne onim studentima koji e se opredeliti za aktuarske poslove u osiguranju.

Gradivo je obraeno tako da se savlauje samostalnim uenjem, na preda-vanjima, prezentacijama, kompjuterskim simulacijama i diskusijom o kljunim aktuelnim pitanjima.U pedagokom smislu, obim izlaganja gradiva daje studentu osnovne smernice za samostalni rad. Zbog toga je posebno u aktuarskoj matematici studentu ostavljen prostor za samostalno izvoenje potrebnih formula i prorauna prema izloenim aktuarskim principima, sa tablicama u prilogu.

Autor ovog udbenika ima punih 65 godina ivota i 40 godina profesional-nog iskustva u osiguranju, bankarstvu i obrazovanju. Stoga, po svoj prilici nee biti u mogunosti da prihvata predloge za poboljanja ovog udbenika, u novim izdanjima.

U Beogradu, septembar 2007. godine. Autor: Dr Jovan S. Raeta

VIII

PRVI DEO

FINANSIJSKA MATEMATIKA

1

ELEMENTARNI POJMOVIPROCENTI, PROMILI, GLAVNICA, KAMATNA STOPA, INTERES

Procenat (%) od neke veliine je stoti deo te veliine. Na primer ako je potrebno izraunati 5% od 1200, potrebno je 1200 podeliti sa 100 i taj kolinik pomnoiti sa 5.

Promil () od neke veliine je hiljaditi deo te veliine. Na primer ako je potrebno izraunati 5 od 1200, potrebno je 1200 podeliti sa 1.000 i taj kolinik pomnoiti sa 5.

U osiguranju se premije osiguranja najee obraunavaju na taj nain to se osigurana suma mnoi sa odgovarajuom premijskom stopom u promilima, a doplaci i popusti izraunavaju u procentnom raunu.

Potrebno je obratiti panju, ako neku veliinu poveamo za izvesan pro-cenat, a zatim tako uveanu veliinu umanjimo za isti procenat, neemo dobiti poetnu veliinu koju smo poveavali.

Na primer cena nekog proizvoda 120 dinara, povea se za 5%. Nova cena e biti 126 dinara. Ako elimo da vratimo cenu na poetnu, tada je potrebno novu cenu da podelimo sa 105 i pomnoimo sa 100. Ako ne uradimo tako, ve npr. od nove cene 126 izraunamo 5% dobiemo 6,30 i ako za ovaj iznos umanjimo cenu od 126 dobiemo 119,70 a ne 120 dinara. Oigledno 120 > 119,70.

U navedenim primerima, kada poveavamo cenu za izvesan procenat ima-mo obraun od sto, a ako je potrebno od krajnje vrednosti dobiti poetnu, pro-centni raun je u sto.

Veliina od koje se izraunava neki procenat naziva se glavnica, a glavnica uveana za neki procenat, naziva se uveana glavnica. Kada se radi o novanim vrednostima, glavnicom se naziva poetna vrednost kapitala, dok je uveana glavnica krajnja vrednost kapitala.

Kod procentnog rauna vreme nema nikakvu ulogu, dok je kod interesnog rauna vreme bitan inilac.

3

Kod procentnog rauna sve veliine su povezane proporcijom

G : P = 100 : p

Gde je: G - glavnica P - uveanje glavnice (prinos ili prihod) p - procenat

Obraun uveane glavnice, odnosno krajnje vrednosti kapitala, naziva se kapitalizacija.

Kod prostog interesnog rauna, proporcija koja povezuje veliine je druga-ija od gore navedene proporcije procentnog rauna

K : i = 100 : pg

Gde je: K - kapital (glavnica) i - interes (kamata) p - procenat g - vreme u broju godina

U privrednom poslovanju, kao i u svakodnevnoj praksi, vri se promet nov-ca i novanih vrednosti i uspostavljaju duniko poverilaki i kreditni odnosi.

U novanom prometu, dolazi do plaanja ili deponovanja (ulaganja) novca. Transakcije (plaanja) se vre tokom vremena.Uloen novac u banku po protoku nekog vremenskog perioda donosi interes.

Kod prostog obrauna interesa, interes izraen u procentu od jedinice uloga nazivamo kamatnom stopom.

Novac i novane vrednosti nisu stalne ve se menjaju u vremenu. Promenu vrednosti novca u vremenu izraava interes, kao razlika izmeu poetne i krajnje vrednosti kapitala.

Do pojave kompjutera, obraun interesa odnosno izraunavanja u vezi sa interesom, vrila su se korienjem pomonih - nansijskih tablica.1

Izraunavanje interesa u kompjuterskoj eri vri se automatski, preko odgo-varajuih programskih aplikacija (softvera).

Veliki broj prirunih kalkulatora ima nansijske funkcije sa kojim, ako znamo algoritam, moemo vriti razna izraunavanja radi reavanja i vrlo slo-enih zadataka.

1 Jugoslovensko bankarstvo - Kamatne i anuitetne tablice, Beograd, 1973.

4

Meutim, bez obzira na tehnika sredstva sa kojima vrimo izraunavanja, moramo znati smisao i svrhu izraunavanja.

Interes je promenljiva veliina, koja zavisi:a) od iznosa glavnice i naina (dinamike) deponovanja,b) od trajanja perioda deponovanjac) od visine i vrste kamatne stope.d) d naina obrauna interesa

Glavnica K (kapital) je poetna vrednost koju poverilac pozajmljuje odno-sno na koju dunik plaa poveriocu interes (kamatu).

Interesna stopa (p) poveava glavnicu za godinu dana, odnosno za obraun-ski period, i stoga je vrednost novca promenljiva veliina.

Ona pokazuje koliko novanih jedinica dunik plaa na svakih 100 jedinica kapitala za godinu dana.

Dodavanje interesa kapitalu (glavnici) naziva se kapitalisanje.Kapitalisanje se vri istekom vremena upotrebe kapitala, koje moe biti u

godinama, mesecima ili danima.Kada je kapitalisanje godinje, uz kamatnu stopu se navodi oznaka (pa) to

je skraenica od per annum, za polugodinje kapitalisanje oznaka je (ps) od per semestre, za tromeseno kapitalisanje (pq) od per quartale i za meseno (pm) od per mensem.

Ukoliko se kapitalisanje i pripisivanje interesa vri poetkom perioda re je o anticipativnom obraunu, a ukoliko se kapitalisanje i pripisivanje interesa vri krajem perioda, re je o dekurzivnom obraunu.

Uobiajeno je takoe da se, ulaganja poetkom perioda nazivaju anticipativ-nim a ulaganja krajem perioda dekurzivnim.

Interesna stopa moe biti prosta ili sloena, tako da govorimo o prostom ili sloenom kapitalisanju (ukamaivanju ili obraunavanju interesa).

Sloeni interesni raun imamo kada se posle svakog perioda ukamai-vanja interes pripisuje glavnici tako da se u sledeem obraunu obraunava i interes na interes.

5

I. Prost interesni raun

7

1. BUDUA VREDNOST SA PROSTIM INTERESOM

Budua novana vrednost se razlikuje od poetne vrednosti za iznos in-teresa. Interes moe biti obraunat u prostom ili sloenom interesnom raunu. Najkrae, kod prostog interesnog rauna interes se uvek obraunava od glavnice, dok u sloenom interesnom raunu, u svakom narednom obraunskom periodu glavnica se uveava za interes iz prethodnog perioda, tj. tako da se obraunava i interes na interes.

Budua novana vrednost ima dve komponente: poetnu vrednost uloenog kapitala (P), koji je plasiran pod interes, sa prostom interesnom stopom (i) i iznos interesa (I) koji se ostvari tokom perioda ulaganja (t).

Pojmovi iz nansijske matematike, kao i razliita izraunavanja, bila bi ra-zumljivija i laka za pamenje kada bi postojali standardi u oznakama pojedinih veliina. Naalost, do sada u domaoj praksi to nije sluaj, premda se neki simboli ee koriste od drugih.

Tako se budua vrednost oznaava razliitim simbolima: Kn (krajnja vred-nost); FV (budua vrednost, sa korienjem prvih slova u engleskom nazivu Futu-re Value; S (zbir poetne vrednosti i iznosa interesa) itd.

Sadanja vrednost se najee obeleava: K; K0; G; P; PV (present Value)Kamatna stopa p%, izraava se u procentima. Ako na primer kaemo da je

kamatna stopa p%=4, imajui u vidu da procenat znai stoti deo, sledi da je ekvi-valentna interesna stopa 4/100= 0,04.

Interesna stopa (i) je iznos interesa na jedinicu uloga. Ona se javlja u obliku koe cijenta koji je vei od nule i manji od jedinice.

Interes je novani iznos koji se ostvaruje ulaganjem kapitala pod interes.Da bi se uopte moglo da govori o interesu, potrebno je da postoji neki po-

etni kapital koji se ulae (plasira). Taj poetni kapital u domaoj praksi razliito

9

obeleavamo, najee sa G (poetno slovo od glavnice) u prostom interesnom raunu, i sa K0 u sloenom interesnom raunu.

U anglosaksonskoj praksi, poetni kapital se obeleava sa P (principal) ili PV (present value).

Isto je i kod kamatne stope, koja moe biti u obliku procenta (p%), ili u obli-ku interesne stope (i), pri emu je i = p/100.

Na primer ako je data kamatna stopa 5% , pretvaranjem u interesnu stopu (koja je u obliku koe cijenta), znai da 5 treba da podelimo sa 100, tako da je, u ovom primeru

i= 5/100 = 0,05

Korienjem interesne stope, kao oblika izraavanja kamatne stope, dobija-mo jednostavnije obraune interesa, jer se smanjuje broj raunskih operacija.

Interesna stopa i nije nita drugo do interes koji se ostvaruje na jedinicu ka-pitala. Prema tome, ako je poetni kapital P=1 tada je I= i.

Kada duinu trajanja plasmana kapitala (uloga) iskazujemo u diskretnim je-dinicama vremena, preglednije je da koristimo oblik razlomka t = broj diskretnih jedinica / vremenski period.

Ako je vremenski period godina, onda imenilac u razlomku ima vrednost 1 kada brojilac izraava broj godina trajanja plasmana.

Na primer, trajanje plasmana 3 godine t= (3/1)Ako je vremenski period semestar (est meseci), onda imenilac ima

vrednost 2.Na primer, trajanje plasmana 4 semestra (dve godine) t= (4/2)Ako je vremenski period kvartal (tri meseca), onda imenilac ima vrednost 4Na primer dva kvartala t= (2/4) = ( ), ( jedan semestar ili pola godine)Ako je vremenski period mesec, onda imenilac ima vrednost 12.Na primer 5 meseci t= (5/12)Ako je vremenski period dan, onda imenilac ima vrednost 365 ili 366 (eg-

zaktno vreme) ili 360 (uproena godina)Na primer 23 dana t=(23/365)Kada na napred navedeni nain izrazimo interesnu stopu i duinu trajanja

plasmana kapitala, izraunavanje interesa je znatno lake i preglednije.Kada se ulae poetni kapital na poznati rok sa poznatom interesnom sto-

pom, iznos interesa (I) se izraunava po formuli

I=Pit

10

Iz ove osnovne formule lako izraunavamo bilo koju veliinu kada su ostale tri poznate.

Poetni kapital se izraunava kada se iznos interesa podeli sa interesnom stopom i trajanjem ulaganja.

P = I/it

Interesna stopa se izraunava kada iznos interesa podelimo sa poetnim ka-pitalom i trajanjem ulaganja

i= I/ Pt

Trajanje ulaganja se izraunava kada iznos interesa podelimo sa poetnim kapitalom i interesnom stopom

t= I/Pi

Vreme u anglosaksonskom prostom interesnom raunu moe biti:1) egzaktno zadato vreme (Exact Time) sa brojem dana trajanja perioda

od ulaganja do obrauna, osim prvog dana kada je ulog stavljen pod interes.

2) Aproksimativno vreme ( Approximate Time) kada se svaki mesec rauna sa trajanjem 30 dana.

Isto tako se razlikuje i nain odreivanja prostog interesa:1) Obian interes kada se izraunavanje vri sa trajanjem jedne godine 360

dana2) Egzaktan interes kada se izraunavanje vri za taan broj dana u godini

365 ili 366 dana kada je godina prestupna.

Na ovaj nain dobijamo dva pravila obrauna u prostom interesnom raunu:1) Bankarsko pravilo ( Bankers Rule) koje se koristi kod kreditiranja, sa

egzaktnim vremenom i egzaktnim interesom i2) Trino pravilo (Markets Rule) koje je sada retko u upotrebi

11

Razliku izmeu poetnog kapitala koji se stavlja pod interes i krajnje (budu-e) vrednosti kapitala ini iznos interesa

FV-P= I

Iznos interesa se izraunava po formuli I=Pit

Na primer, ulae se poetni kapital P = 20.000 sa interesnom stopom i = 0,06 na t= 9 meseci

potrebno je da izraunamo koliki e biti interes na kraju perioda ulaganja

I= Pit

I= 20.000 (0,06)(9/12) = 900

Glavnica uveana za interes bie budua vrednost (FV = Future value)

FV=P+I=P(1+(it))

20.000 + 900 = 20.000 (1 + (0,06)(9/12)) = 20.900

Iz formule,

FV=P(1+(i)(t))

moemo izraunavati buduu vrednost FV kada je poznata glavnica, intere-sna stopa i trajanje plasmana.

Prema navedenom, buduu vrednost kapitala moemo da izraunamo iz ra-zliitih formula:

FV= P+IFV= P + PitFV= P(1+it)

Izraz (1+it) naziva se prostim interesnim faktorom.

Radi preglednosti poeljno je sastaviti gra ki prikaz plaanja i prateih injenica na vremenskoj liniji

12

Vremenska linija se moe segmentirati na periode jednakog trajanja, uzima-jui za jedinicu, dan, mesec, godinu za jedinicu.

Na primer poetkom nekog perioda koji traje 14 meseci izvri se uplata K1 sa interesnom stopom i1, zatim posle isteka t1 vremenskih jedinica izvri se uplata K2 sa interesnom stopom i2 .

Ovaj primer na vremenskoj liniji izgleda ovako:

Potrebno je uvek tano uoiti momenat plaanja. Na ovom primeru vi-dimo da je plaanje K1 anticipativno za period t1 a plaanje K2 dekurzivno za isti period t1. Isto tako, za plaanje K2 moemo rei da je ono anticipativno u odnosu na period t2.

Poto je ukupno trajanje period izraeno u mesecima, periodi na vremen-skoj liniji u obliku razlomka imaju u imeniocu 12 (godina ima 12 meseci)

13

2. SADANJA VREDNOST U PROSTOM INTERESNOM RAUNU

Isto tako, kada su poznati: budua vrednost kapitala FV (poetni kapital uve-an za ostvareni interes), interesna stopa i trajanje ulaganja, moemo izraunati poetnu vrednost kapitala

P = FV/ (1+(i)(t))

Operaciju dobijanja poetne vrednosti kapitala u prostom obraunu interesa prikazujemo na vremenskoj liniji

FV = P(1+it)FV/ (1+(it) = P(1+it) / (1+it)FV/(1+it) = P

Princip svoenja buduih vrednost na neto sadanju vrednost kasnije emo upoznati kod ocene investicionog ulaganja prema kriterijumu NPV (neto sadanje vrednosti)

14

U domaoj literaturi se uglavnom polazi od osnovne proporcije

K : I = 100 : pg

iz koje sledi formula za izraunavanja prostog interesa, kada je vreme dato u godinama

I = Kpg/100

Ako prost interes izraunavamo samo za jednu godinu (g=1) formula za obraun interesa bie i= Kp/100

Kada elimo da izraunamo interes za mesec dana, godinji interes emo podeliti sa 12, tako da je formula za jednomeseni interes

I = (Kp/100)/12 = Kp/1200

odnosno za m meseci

I = Kpm/1200

Kod izraunavanja interesa za 1 dan, godinji interes delimo sa 360 ili sa 365 dana

I = (Kp/100)/360 = Kp/36000 odnosno I = Kp/36500

za d dana, interes se izraunava po formuli

I = Kpd/ 36.000 odnosno I = Kpd/36.500

15

3. DELIMINA PLAANJA

Kod deliminih plaanja teorijski postoje dva pravila: Trgovako (Merchants Rule) i Ameriko (United States Rule).

Kod odobravanja zajma sa prostim interesom, u ranom periodu kapitalizma, postojalo je trgovako pravilo za izraunavanje krajnje vrednosti kapitala. Daje-mo primer: Zajam je odobren u iznosu 5.000 sa rokom dospea od 15 meseci, sa interesnom stopom 9% pa(d).

Dunik vraa posle 4 meseca 1200 i posle 9 meseci 950. Izraunati stanje duga po isteku 15 meseci, prema trgovakom pravilu obrauna.

S = P(1+it)

X = - $5000 (1+ (0,09)(5/4) + $1200 (1 + (0,09)(11/12) + $950 (0,09)(1/2)

X = - $ 5562,50 + $ 1299 + $ 992,75 = - $3270,75 Balance Due

16

Vidimo da se javlja razlika koja po US pravilu ne mora uvek da bude vea, jer zavisi od rasporeda plaanja u datom periodu. Pravilo US se primenjuje kada se kupovina neke robe vri sa vie menica (u primeru na strani 44, primenjen je klasian metod, koji daje isti rezultat kao US pravilo).

17

4. PROST INTERESNI RAUN U KREDITNIM POSLOVIMA

Neke nansijske obaveze ili ulaganja se esto kombinuju u vremenu, uplatama i isplatama u vie navrata tokom perioda odreenog trajanja. U takvim sluajevima plaanja treba postavljati na vremensku liniju i izvriti odgovarajue obraune. Na primer u periodu n meseci, vri se k uplata, sa razliitim stopama interesa. U takvim sluajevima veoma je korisno predstavljati plaanja na vremenskoj liniji.

Uzmimo na primer kreditiranje kupovine. Kupac moe da kupi neku stvar na sledei nain: odmah plaa 20.000 dinara, posle 6 meseci 30.000 dinara i posle 9 meseci od kupovine plaa 40.000 dinara. U tom periodu je interesna stopa je konstantna i iznosi i=0,12

Da bi izraunali sadanju vrednost svih plaanja, postavljamo vremensku liniju

P = FV / (1+ it)P = 20.000 + 30.000 / (1+(0,12)(1/2)) + 40.000 / (1+(0,12)(3/4)) P= 20.000 + (30.000/1,06) + (40.000/1,09)= 84.999

Ako je poznata cena stvari sa plaanjem u celosti prilikom kupovine, onda kupac na osnovu ovog rauna, oduzimanjem te cene, moe videti koliko je proda-vac naplatio interesa za odloena plaanja prema datim uslovima.

18

5. IZJEDNAENE VREDNOSTI - EKVIVALENTI (SREDNJI ROK PLAANJA)

Zlatno nansijsko pravilo glasi: Novane vrednosti se mogu uporediti samo ako su svedene na isti datum u vremenu.

Na pitanje koje je povoljnije plaanje: a) jednokratno 3.000 dospeva za 45 dana ili b) dve rate od kojih prva 1.500 dospeva za 30 dana i druga 1.500 za 60 dana. iznosu 1.500, moemo dobiti razliite odgovore, u zavisnosti od toga kome smo postavili takvo pitanje.

Samo neki e sa pravom primetiti da odgovor zavisi od veliine interesa koji se zaraunava, dok ostale odgovore moemo podeliti u dve grupe.Ima ljudi koji su skloni anticipiranoj potronji putem kredita ali i onih koji prema takvoj potronji imaju averziju. Bankarstvo posreduje izmeu onih koji tede i ti ted-ni ulozi su znaajan deo kreditnog potencijala koje banke odobravaju. Razume se da tedie na svoje depozite ostvaruju interes, dok oni koji uzimaju kredite plaaju interes. U bankarskom poslovanju tediama se odobravaju pasivne a od zajmotraioca naplauju aktivne kamate.Interesna stopa tednje je uvek manja od interesne stope kredita, jer razlika mora da obezbedi rizik povrata kredita, kao i trokove i zaradu banke.

Problem izjednaene vrednosti, u kome treba odrediti rok jednokratnog plaanja sa poznatom sumom koja zamenjuje nekoliko rata koje dospevaju tokom nekog odreenog perioda ilustrujemo kao jedan od primera izjednae-nih vrednosti.

Formuliimo sada napred navedeno pitanje prema sledeem: Dunik pove-riocu treba da plati, za 30 dana od sada,1500 dinara sa interesom u prostom inte-resnom raunu i=0,05 a potom posle 30 dana jo 1500 dinara, sa istim interesom, tj. ukupan dug treba da bude izmiren posle 60 dana. Dunik ovu obavezu moe da izvri jednokratnim plaanjem 3.000 dinara, ali da bi postigli ekvivalentno plaanje,postavlja se pitanje roka plaanja.

19

Za reavanje ovog zadatka postavimo date podatke na vremensku liniju

Potrebno je da izraunamo buduu vrednost prve rate na dan dospea druge rate

FV = P(1+(i)(t))

FV = 1.500 (1+ (0,05)(30/365)) = 1.506,16

Znai budua vrednost ukupne obaveze dunika na dan plaanja poslednje rate iznosi 1.506,16 + 1.500= 3.006,16 dinara i taj iznos je vei od 3.000 sa ko-jim dunim hoe da izmiri dug. Znai, iznos 3.000 dinara dunik treba da plati u nekom roku pre isteka 60 dana.

Da bi odredili rok jednokratnog plaanja postaviemo jednainu u kojoj uzimamo da je krajnja vrednost 3.006,16 a poetna jednokratni iznos plaanja 3.000 dinara.

3.006,16= 3.000(1+(0,05)((60-t)/365))3.006,16/3.000 =(1+(0,05)((60-t)/365))t= 45 dana.

Prema tome, objektivno se alternative plaanja izjednaavaju ako se jedno-kratno plaanje izvri u roku od 45 dana.

Kao drugi primer ekvivalencije, kao instruktivan razmotrimo sledei primer.Poznata nam je sadanja vrednost P= 4.500 dinara, koja se dobija iz nepo-

znatih uloga u iznosu X od kojih prvi dospeva za 105 dana a drugi za 195 dana, ako je u ukupnom periodu interesna stopa konstantna i iznosi i=0,075.

20

Potrebno je da izraunamo koliko iznosi ulog X koji dospevaju: posle 105 dana i posle 195 dana

Polazimo od formule

P= FV/ (1+it)

i formiramo ekvivalenciju

4.500 = x / (1+ (0,075)(105/365)) + x / (1+ (0,075)(195/365))4.500 = (x / 1,021875)+ (x / 1,040625)4.500 = x ( 1/1,021875 + 1/1,040625)X = 2.320,12

Kod odravanja likvidnosti, ocene zaduenosti dunika i razliitih nansij-skih analiza, esto je potrebno da se vie obaveza plaanja: u istim ili razliitim iznosima, odobrenim na iste ili razliite rokove, sa istom ili razliitom kamatnom stopom, svedu na srednji rok plaanja.

Po de niciji, interes iz pojedinanih obaveza mora biti jednak interesu za period (vreme) do srednjeg roka plaanja svih obaveza, sa srednjom stopom.

Na primer, jedan dunik ima tri obaveze plaanja: K1=10.000, sa kamatnom stopom 4% i rokom 90 dana, K2=20.000, sa kamatnom stopom 4,5% i rokom 120 dana i K3=30.000 sa kamatnom stopom 5% i rokom 150 dana.

Koristei formulu za izraunavanje interesa po jednom plaanju, za ukupan dug moemo izraunati ukupan interes iz zbira pojedinanih interesa

(K1p1d1 / 36.500) + (K2p2d2 / 36.500) + (K3p3d3 / 36.500)

(10.000 x 4 x 90 / 36.500) + (20.000 x 4,5 x 120/36.500) + (30.000 x 5 x150/36.500) = 98,63 + 295,89 + 616,44 = 1.010,96 dinara

Vreme do srednjeg roka otplate svih obaveza izraunavamo po formuli:

ds = (K1p1d1)+(K2p2d2)+...+(Knpndn) / ps ( K1+K2+...+Kn)

gde je ps srednja kamatna stopa koju izraunavamo po formuli

ps = (K1p1)+(K2p2)+...(Knpn) / (K1+K2+...+Kn)

21

U naem primeru, srednja stopa iznosi

ps = (40.000+90.000+150.000)/60.000= 280.000/ 60.000 = 4,6666

tako da je srednji rok

ds =(3.600.000+10.800.000+22.500.000)/ (4,6666 x 60.000)ds =36.900.000/ 279.996 = 131,787 dana

Raun proveravamo prema de niciji jednakosti interesa:

(60.000 x 4,6666 x 131,787) / 36.500 = (10.000 x 4 x 90 / 36.500) + (20.000 x 4,5 x 120/36.500)+(30.000 x 5 x 150/36.500)= 1.010,95 dinara.

22

II. Diskontni raun

23

1. OSNOVNE RELACIJE ESKONTA I DISKONTA

Uveanje kapitala sa obraunatim prostim interesom se naziva eskont. Obratna operacija, umanjenje budue vrednosti kapitala za interes koji je pripisan poetnom kapitalu naziva se diskont. Eskontnim obraunom dobijamo poetni kapital uvean za interes, a diskontnim raunom dobijamo iz budueg kapitala poetni kapital.

Eskont i diskont mogu biti u prostom i sloenom interesnom raunu.Eskontno diskontni obrauni sa prostim interesom, primenjuju se kod pla-

anja, odnosno prometa, u kojima se koriste hartije od vrednosti: blagajniki za-pis (Promisory Note), menica, obveznica (Bond) itd.

Razmotrimo jedan instruktivan primer.Poetni kapital P=100 uveavamo prostim interesom za godinu dana sa inte-

resnom stopom i=0,10. Dobiemo buduu vrednost kapitala (poetni kapital uve-an za interes 110 jer je I= P(i)(1)= 100(0,01)=10 FV=P+I= 100+10

Ako sada od budue vrednosti kapitala izraunamo interes sa interesnom stopom 0,10 dobiemo interes I = 110 x 0,10 = 11.

Ako sada od budue vrednosti oduzmemo tako obraunati interes 110-11= 99 vidimo da dobijamo manji iznos od poetne vrednosti kapitala koji smo uvea-vali sa interesnom stopom 0,10.

Ovaj primer nam pokazuje da iznos diskonta jednak iznosu eskonta ne mo-emo dobiti prostim mnoenjem krajnje (budue) vrednosti kapitala sa interesnom stopom kao u sluaju eskonta, odnosno izraunavanja prostog interesa.

Ako diskontnu stopu obeleimo sa (d), tada je ona u relaciji sa interesnom stopom (eskontnom stopom). U anglosaksonskoj literaturi se relacije izmeu in-teresne stope prostog interesa sa kojom se vri eskont i diskontne stope, naziva kupon ekvivalencije (Coupon Equivalent)

d = i / (1+it)

i = d/(1-(d)(t))

25

2. RELACIJE IZMEU PROSTOG INTERESA I PROSTOG DISKONTA

Uporednim razmatranjem eskonta i diskonta sledi

raun eskonta (prostog interesa) raun diskonta

P = FV/ (1+(i)(t)) P = FV(1-dt)

FV(1-dt) = FV/ (1+(i)(t))

Posle skraivanja sa FV na obe strane

1-dt = 1/ (1+(i)(t)

1+it = 1/ (1-(d)(t))

it = dt/ (1-(d)(t))

i posle skraivanja sa t

i = d/ (1-(d)(t)

U primeru koji smo razmatrali buduu (krajnju) vrednost kapitala 110 treba pomnoiti sa diskontnom stopom (d) da bi dobili iznos diskonta koji treba oduzeti od krajnje vrednosti kapitala da bi dobili poetnu vrednost kapitala.

Prema tome, diskontna stopa u ovom primeru iznosi d= 0,1/(1,1) tako da je 110(0,1/(1,1) = 10 i 110-10 = 100

26

Prema interpretacijama koje se nalaze u domaoj literaturi, interesni raun moe biti:

a) u sto

b) na sto

c) od sto

Interesni raun u sto imamo kada je dat umanjeni kapital za interes, dok in-teresni raun na sto koristimo kada je uvean kapital za interes.

Kada je poznat iznos glavnice (kapitala) za izraunavanje interesa vrimo obraun od sto.

Tada koristimo sledee proporcije, prema tome kako je vreme dato

K: I=100:pg (vreme u godinama g)

K: I=1200: pm (vreme u mesecima)

K: I= 36000: pm ili K:I=36500:pd (vreme dato u danima)

Interesni raun u sto upotrebljavamo kada je poznata umanjena vrednost kapitala. Tada koristimo sledee proporcije, u zavisnosti od datog vremena

(K-I): 100-pg)= K:100

(K-I: (100-pg)= I:pg (za vreme u godinama)

(K-I): (1200-pm)=K:1200

(K-I): (1200-pm)= I: pm (za vreme u mesecima)

(K-I): (36000-pd)=K:36000

(K-I): (36000-pd)=I: pd (za vreme dato u danima)

27

Interesni raun na sto (ili vie sto) se koristi kada je poznata uveana vrednost kapitala za interes.Tada koristimo sledee proporcije, u zavisnosti od datog vremena

(K+I): 100+pg)= K:100

(K+I): (100+pg)= I:pg (za vreme u godinama)

(K+I): (1200+pm)=K:1200

(K+I): (1200+pm)= I: pm (za vreme u mesecima)

(K+I): (36000+pd)=K:36000

(K+I): (36000+pd)=I: pd (za vreme dato u danima)

Primeri:

1. Koliko interesa e platiti dunik za pozajmljenih 40.000 din. za 4 godine uz kamatnu stopu 5% prostog interesa godinje.

Ovde je: K= 40.000; g= 4; p=5%; I= ?Poto je vreme u godinama koristimo formulu (1.3)I= 40.000 x 5 x 4/100= 8.000 din.

2. Koliko interesa e platiti dunik za pozajmljenih 120.000 din. za 9 meseci uz kamatnu stopu 8% prostog interesa godinje.

Ovde je: K= 120.000; m=9; p=8%; I= ?Poto je vreme u mesecima koristimo formulu (1.4)

I = 120.000 x 8 x 9 /1200 = 7.200 din.

28

3. Koliki interes e dunik platiti za pozajmljenih 500.000 dinara, za 45 dana uz kamatnu stopu 7% prostog interesa godinje.

Ovde je: K= 500.000; d=45; p=7%; I= ?

Poto je vreme u danima koristimo formulu (1.5)I= 500.000 x 45 x 7 /36.500 = 4.315,07 din.

4. Koliki interes e dunik platiti za pozajmljenih 300.000 dinara, za period od 23.jula do 15 septembra, uz kamatnu stopu 7% prostog interesa godinje.

Ovde najpre moramo da izraunamo koliko dana ima u periodu od 23.jula do 15 septembra.

- u julu 9 dana- u avgustu 31 dan- u septembru 15 danaukupno 55 dana

Ovde imamo K= 300.000; d=55; p=7%; I=?koristimo formulu (1.5)

I = 300.000 x 55 x 7/36.500= 3.164,38 din.

Dakle,

The Basic Simple Interest Formula I = Pit

I = interestP = principali = rate per yeart = time in years

* U aktuelnom vremenu (2007 godina) u Srbiji uglavnom posluju strane banke kojima

upravljaju stranci. Oni su naviknuti na anglosaksonsku notaciju u finansijskim iskazima i zbog toga neke pojedinosti prikazujemo u interpretaciji na engleskim jeziku.

29

Future Value Formula S=P(1+it)

(1+it) = Siple Interest FaktorS = Maturity valueS = FVFV = Future Value

Present Value Formula P= S / (1+it)

P = PV

Isto tako, umesto eskontnog rauna moemo primeniti diskontni raun, pri emu se moraju koristiti relacije ekvivalencije interesne stope i diskontne stope

i=d/1-dt d= i/ 1+it

tako da je

P= S(1- dt) P= S/ (1+it)

30

III. Podruja primene

teorije prostog interesa

31

1. LOMBARDNI RAUN (ZALONI ZAJAM)

Zaloni zajmovi su poznati pod nazivom Lombardni poslovi (zajmovi). Za razliku od hipotekarnih kredita, kod kojih su zaloge nepokretnosti, podloga za lombardne zajmove su pokretne zaloge.

Pokretne zaloge reprezentuje neka hartija od vrednosti koja se moe odnositi na:a) efekte,b) plemenite metale,c) menice,d) robu koja je smetena u javnom skladitu.

Kod lombardovanja je potrebno odrediti:a) vrednost zaloge potrebne za odreivanje zajmab) visinu odobrenog zajma prema vrednosti zalogec) lombardnu kamatud) provizijue) trokove skladitenja, procene robe i ostali trokovi

Vrednost zaloge se odreuje na bazi berzanskog kursa ili na bazi procene i ona je uvek nia od aktuelne trine vrednosti.

Uobiajeno je da se zajam daje, na zlato i druge plemenite metale na 95% istog sadraja plemenitog metala; na efekte od 40 do 75%; na robu do 70% od procenjene vrednosti. Provizije se uglavnom kreu2 oko 1.2 R.Ralevi, M.orevi, N.Savi: Matematika za ekonomiste, V izdanje, Savremena admini-

stracija, Beograd, 1975.

33

Obrauni kod lombardnih zajmova se vre slino kao kod eskontovanja i diskontovanja menica. Lombardni zajam se moe vratiti pre roka ili posle roka ili o roku.

Lombardni zajmovi se odobravaju sa rokom od tri meseca. Za raunanje interesa, meseci se raunaju po kalendaru a godina sa 360 dana.

U sluaju zakanjenja dunik od roka do dana regulisanja zajma plaa in-teres na zajam izraunat interesnom stopom za 1% veom nego to je normalna interesna stopa.Od dana regulisanja obaveze do narednog roka primenjuje se nor-malno odreena stopa.

34

2. TEKUI (POSLOVNI) RAUN

Preduzea ostvaruju nansijski promet u poslovanju sa bankom i esto radi nansiranja svojih poslovnih aktivnosti koriste kredite banke. Banka prilikom odobravanja kredita nekom preduzeu istovremeno otvara tekui (kontno-koren-tni) raun tog preduzea.

Na raunu banka prati nansijske promene uplata i isplata, i na osnovu toga vri obraun kamate. Obraun se po pravilu vri dva puta godinje (30.06. i 31.12.) i vanredno prilikom likvidacije rauna.

Kamatni broj (Kbr) je iznos koji se izraunava mnoenjem iznosa uplate/isplate sa brojem dana (d).

Broj dana se izraunava na dva naina:Po pozitivnom metodu, raunanje broja dana vri se od datuma transakcije

do datuma obrauna, dok se po negativnom metodu, broj dana izraunava za pro-tekli period od dana transakcije do poetka obraunskog perioda.

Kamatni klju (D) je kolinik izmeu 36.000 i kamatne stope (ako se rauna da godina ima 360 dana), odnosno kolinik izmeu 36.500 i kamatne stope ako se rauna da godina ima 365 dana.

Pomou salda kamatnog broja i kamatnog kljua, tj. iz njihovog kolinika izraunava se interes. Ako je saldo kamatnog broja dugovni, klijent plaa interes, a ako je potrani banka plaa interes klijentu.

i = Kbr / D

Prilikom zakljuka tekueg rauna, banka naplauje trokove, prema broju manipulativnih pozicija (stavki) i po svakom izvodu.

Osim toga, u skladu sa poslovnom politikom, banke naplauju i proviziju za obavljanje platnog prometa, koja se moe obraunavati od ukupnog prometa ili na neki drugi nain (npr od najveeg iznosa u periodu).

35

Kod prometa na tekuim raunima obraun interesa u bankarskoj praksi vri se korienjem tri postupka (tehnike):

Stepenasta metoda Pozitivna metoda Negativna metoda

Sva tri naina daju isti rezultat obrauna interesa. Ove tehnike u kompjute-rizovanim obraunima imaju samo teorijski znaaj. Bitno je znati princip tj. da se interes u krajnjoj liniji obraunava na saldo, dugovni ili potrani.

Stepenasta metoda hronoloki prati datume uplata i isplata, dok se druge dve metode zasnivaju na odvojenim prikazima dugovne i potrane strane, odnosno tokovima uplata i isplata na tekuem raunu.

Metode ilustrujemo primerima polugodinjih zakljuaka, u kojima se uzima (k, 360), kamatna stopa 6%; (novani iznosi i Kbr u 000 dinara); provizija 3% od ukupnog prometa.

Stepenasta metoda:

Duguje/Potrauje Iznos Rok

broj dana kamatni broj

od do D P

D 40 31.12. 12.01 12 480

D 15

D 55 12.01. 15.03 62 3.410

P 35 15.03.

D 20 15.03. 30.04. 46 920

D 10 30.04

D 30 30.04 20.05 20 600

P 22 20.05

D 8 20.05 30.05 10 80

P 5 30.05

D 3 30.05 30.06 31 93

Saldo Kbr 5583

interes = Saldo Kbr / D = 5.583.000 / 6000 = 930,50 dinara

36

Pozitivna metoda:

Datum Opis Rok d Iznos Kbr Datum Opis Rok d Iznos Kbr

01.01. po.stanje 31.12. 181 40 7.240 25.02. uplata 15.03 107 35 3.745

10.01. pla.dob. 12.01. 169 15 2.535 10.04. uplata 20.05 41 22 902

20.04. isplata eka 30.04. 61 10 610 15.05. uplata 30.05. 31 5 155

30.06. saldo za izr.

30.06 3

65 65

Saldo Kbr = (7.240+2.535+610) (3.745+902+155) = 5.583Kamatni klju D = 36.000 / 6 = 6.000Interes = saldo Kbr / DInteres (dinara)=5.583.000/6000=930,50 dinaraUkupan promet: 40+15+10+35+22+5 = 127127.000 x 1,5% = 1.905 dinara

Negativna metoda:

Datum Opis Rok d Iznos Kbr Datum Opis Rok d Iznos Kbr

01.01. po.stanje 31.12. 40 25.02. uplata 15.03 74 35 2.590

10.01. pla.dob. 12.01. 12 15 180 10.04. uplata 20.05 140 22 3.080

20.04. ispl.eka 30.04. 120 10 1.200 15.05. uplata 30.05. 150 5 750

30.06. saldo za izr.

30.06 181 3 543

65 65

Saldo Kbr= -180-1200+2.590+3.080+750+543=5.583Kamatni klju D= 36.000/6= 6.000Interes= saldo Kbr/ DInteres (dinara)=5.583.000/6000=930,50 dinaraUkupan promet: 40+15+10+35+22+5= 127Provizija:127.000 x 1,5%= 1.905 dinara

37

3. POTROAKI KREDITI

Kod potroakih kredita, kreditori vrlo esto obraunavaju interes unapred interesnim raunom od sto. Interes se u prvom mesecu rauna na ceo dug, a potom u ostalim mesecima sukcesivno na ostatatak duga po odbitku otplate. Iznos otplate glavnice, za koji se umanjuje ostatak duga, izraunava se tako to iznos kredita podelimo sa brojem meseci perioda otplate.

Otplata= K/m

Interes u prvom mesecu I1= K p% / 100m = Kp/1200 ; m=12

Interes u drugom mesecu I2 = (K- K/m)(p/1200) = (Kp/1200)-(Kp/(1200m)) = (Kp/1200)(1-(1/m))

Interes u treem mesecu se obraunava na ostatak duga, kada su odbijene dve mesene otplate

2K/m , tako da je I3= (K-2K/m)(p/1200)= (Kp/1200)(1-(2/m))

Interes u poslednjem m-tom mesecu

Im=(Kp/1200)(1-(m-1)/m)= (Kp/1200)(1/m)

Prema tome, ukupan interes je jednak:

U=(Kp/1200)1+(1-(1/m))+ (1-(2/m))+ (1-(3/m))+...+ 1/m

U= (Kp (m+1)/2)/ 1200 U=Kp(m+1)/ 2400

U=Kp(m+1)/2400

38

Iznos ukupne kamate koja e se obraunati kod potroakog kredita koji se odobrava na m meseci sa jednakim mesenim otplatama za 100 novanih jedinica, dobija se preko kamatnog kljua

k = p(m+1)/2400

U = K k

Kreditor zatim sabira glavnicu i ukupan interes i taj rezultat podeli sa brojem meseci koliko traje rok otplate i dobija ratu otplate kredita.

Meutim, na ovaj nain je kreditor zaraunao veu kamatu od one koju daje kalkulativna kamatna stopa preraunata na konformnu kamatnu stopu.

Primer:3Prema navedenom postupku kreditora , kredit 12.000, na 6 meseci, p=12%

daje ukupan interes (12.000 x 12x 7):2.400= 420

Period iznos duga 12% kamate otplata mesena rata12.000

1 10.000 120 2.000 2.1202 8.000 100 2.000 2.1003 6.000 80 2.000 2.0804 4.000 60 2.000 2.0605 2.000 40 2.000 2.0406 20 2.000 2.020

svega 420 12.000 12.420

Mesene rate su nejednake i kreditor izraunava prosenu mesenu ratu sa kojom zaduuje korisnika kredita 12.420 : 6= 2.070

Primer je tretirao kredit u iznosu od 12.000 , na 6 meseci, u kome je uku-pni interes 420 a anuitet 2.070, sa jednakim mesenim anuitetima i sa prerau-nom (pa) d

Bolji digitroni a naravno i kompjuterski of ce (Microsoft Excel) imaju nansijsku funkciju PMT (Calculates the payment for a loan based on constant payments and a constant interes rate).3 R.Ralevi, M.orevi, N.Savi, L.Filipovi, R.Nenadovi: Matematika za ekonomiste,

Savremena administracija, 1985., str.198.

39

Formula za kredit po navedenim uslovima je sledea:

= PMT(12%/12,6,12000)

Oznake u zagradi imaju sledea znaenja: 12% je kamatna stopa (pa)d, 12 je broj meseci u godini i pokazuje da se godinja kamata obraunava relativnom mesenom stopom, 6 je broj mesenih rata i 12000 iznos duga. Formula daje rezultat = 2070,58.

Ako bi godinju kamatnu stopu 12% preraunali na mesenu konformnu imali bi sledeu situaciju

Pc ={1+ 0,12(1/12) - 1}x 100 = 0,9489%.

Plan otplate za kredit 12.000, za m= 6, sa jednakim mesenim anuitetima (ratama kredita), sa konformnom kamatnom stopom, anuitet je

a = Krn(r-1)/ (rn-1)

a = (12000 x 1,0094896 x 0,009489) / (1,0094896-1) = 2.066.94

Period Iznos duga Kamata otplata duga anuitet1 12.000,00 113,87 1.953,08 2.066,942 10.046,92 95,33 1.971,61 2.066,943 8.075,31 76,62 1.950,32 2.066,944 6.084,99 57,74 2.009,21 2.066,945 4.075,79 38,67 2.028,27 2.066,946 2.047,52 19,43 2.047,52 2.066,94

401,66 12.000,01 12.401,64

Vidimo da je u ovom sluaju mesena rata manja.

Metod sa proporcionalnom kamatnom stopom (prvi sluaj), sa 12% (pa)d, i metod sa konformnom kamatnom stopom, sa 12,573 % (pa)d, daju isti iznos me-senog anuiteta.

Potroae kod kreditiranja svakako zanima iznos mesene rate koju e ot-plaivati i duina perioda otplate pa se ne moe smatrati prevarenim zbog po-grenog iskaza kreditora o visini kamatne stope koju primenjuje.

40

4. ESKONTOVANJE I PROLONGACIJA MENICA

Ovi pojmovi su povezani sa odstupanjem od ugovorenog roka plaanja duga. Eskontovanje menice znai naplata menice pre roka na koji glasi. Prolon-gacija menice znai naplata menice posle roka njenog dospea.

U prvom sluaju se primenjuje eskontni a u drugom diskontni raun.Odnos poverioca i dunika je sledei: ako poverilac ima eskont dunik e

imati diskont (umanjenje interesa) i obratno ako poverilac ima diskont, dunik e imati eskont (poveanje interesa).

Eskontovanje ima znaenje kupovanja menice pre njenog dospea a dis-kontovanje ima znaenje prodaje menice pre njenog dospea na naplatu.

Kod menica, odnosno prilikom njihovog eskontovanja, javljaju se sledee veliine:

Nominalna vrednost menice (menina suma) je vrednost na menici o roku dospea, prema datumu koji je u menici naveden.

Eskontovana vrednost menice je umanjena vrednost menice za obraunati eskont od dana eskontovanja do roka dospea navedenog u menici.

Eskont je obraunati interes koji plaa kupac podnosiocu menice na eskont.

Interes na nominalnoj vrednosti menice je iznos koji se izraunava iz mnoenja menine sume sa kolinikom broja dana od dana eskontovanja do dospea menice i divizora4 D.

Interes na nominalnoj vrednosti menice izraunava se po obrascu

I = Kn pd / 36000+pd

(ako godinu raunamo sa 365 dana, u imeniocu e umesto 36000 biti 36500)Ili po obrascu I= S/ (1+ (p/100)(d/360)

4 Divizor je pojam koji se esto upotrebljava kao sinonim za kamatni klju.

41

Odnosno ako stavimo i=p/100

t=d/360 kao i sa korespondentnim simbolima Kn= S K0=P

I= S/ (1+ it)

gde je:Kn - nominalna vrednost menice (menina suma)d - broj dana od dana eskontovanja do roka dospea meniceD - divizor ( za k, 360 36.000 / p; za k, 365 36.500/p )

Ukoliko se trai eskont (interes) na eskontovanoj sumi menice, izraunava-nje se vri korienjem proporcije

K:I=36000:pd odakle je

I= K(p)(d)/ 36000

gde je K eskontovana vrednost menice (umanjena za eskont)

U sledeem primeru menica ima vrednost sa valutom 30.maja u iznosu 360.000 dinara a podnosi se na eskont 15.marta tj. 76 dana ranije.Eskontna stopa je 6%.(k,360)

Obraun eskonta vri prema sledeoj emi

(Kn) din 360.000 - Va 30.V(i) eskont 6 %(K0= Kn- I) Va 15.III._____________________________

Poto eskont treba izraunati od nominalne vrednosti menice, koristimo proporciju

(K+I): (36000+pd)=I:pd

odakle je

I= (K+I)(p)(d)/ (36000+pd)

42

Broj dana d, od 15.marta do 30 maja jednako je 16+30+30= 76

(za k,360 i p= 6% D= 6.000)

I= 360.000 x 6x76/ (36.000+ 6x76) = 4.502,96

Tako da je eskonovana suma menice K0= 360.000 4.502,96 = 355.497

Premda se u zadacima uglavnom trai izraunavanje vrednost menice ili eskontovana vrednost menice, kao i eskontovani iznos, moemo izraunavati, ako su dati potrebni podaci, broj dana za koji se pre roka menica eskontuje (d) ili eskontnu stopu (p).

Ako je data vrednost menice (Kn ), vrednost eskonta (i),ili eskontovana vred-nost menice na dan eskonta (Kn -i) i eskontna stopa p%, sa izborom za vrednost G (G=360 ili 365 dana u godini), moemo izraunati broj dana za koji se pre roka menica eskontuje

ili

ili

Prolongacija menice

Javljaju se sluajevi kada dunik, umesto da plati iznos za menicu koja je dospela, ispostavlja novu menicu sa novim rokom, ili ispostavi novu menicu a takoe izvri i delimino plaanje.

U prvom sluaju, kada dunik vri samo zamenu stare menice sa novom sa produenim rokom, na nominalnu vrednost koja je upisana na staroj menici, obraunava se interes do datuma dospea novog roka i tako obraunati interes se

43

sabira sa nominalom stare menice i upisuje kao nova menina suma. Treba obratiti panju da u ovom sluaju dunik povlai (zamenjuje) staru menicu. Meutim, ako se stara menica ne povlai, tada dunik na novoj menici upisuje meninu sumu samo u visini interesa do novog roka.

U kombinaciji sa deliminim plaanjem menine sume po staroj menici, vri se zamena stare menice a kod obrauna nove menine sume se delimino plaanje uzima u raun kao odbitna stavka.

Reeskont i prolongacija reeskonta menica

U nansijskom prometu se obavljaju i meubankarska plaanja tj. tj. jedna banka moe biti dunik ili poverilac druge banke. U njihovom platnom prometu jedna banka moe da eskontovane menice eskontuje kod druge banke i ta nansij-ska operacija se naziva reeskontom.

Banka koja daje menice u reeskont mora te menice da iskupi o roku, gotovin-skim plaanjem ili zamenom sa novim menicama, odnosno prolongacijom.

Prolongacija reeskonta je u sutini novi reeskont iz ije se reeskontovane vrednosti isplauje jedan deo dospelih menica u reeskontu.

Isplata duga sa menicama

U nansijskom prometu se javljaju sluajevi kada se dug plaa sa eskonto-vanjem nekoliko menica, sa poznatim meninim sumama i pologom jedne menice koju treba popuniti5.

Ilustrujemo primer:Dunik plaa dug u iznosu 600.000 dinara sa rokom 16.05.2004 godine.

Dug izmiruje davanjem jedne menice od 200.000 sa rokom 15.07.2004 i drugu menicu od 100.000 sa rokom 14.08.2004 godine.

Potrebno je izraunati na koju sumu treba da glasi trea menica sa rokom 3.09.2004 godine, da bi se isplatio ukupan dug, ako je eskontna stopa 6%

ema sa poznatim elementima

Datum eskontovanja 16.05.2004 g5 R.Ralevi, M.orevi, N.Savi: Matematika za ekonomiste, V izdanje, Savremena admini-

stracija, Beograd, 1975. str.192: Rest-netta-apoint

44

Din 200.000 Va 15.07 60 Kbr 12.000.000

Din 100.000 Va 14.08 90 Kbr 9.000.000 Din ................ Va 03.09 110 Kbr .................(Kn) Din ..................(i) Din................... eskont 6%

(Kn-i) Din 600.000 Va 16.05.2004 g

Kbr poznatih menica 21.000.000

eskont poznatih menica = 21.000.000 / 6.000 = 3.500 din

Oduzimanjem eskonta poznatih menica od zbira meninih suma poznatih menica, dobiemo eskontnu vrednost poznatih menica

Menini zbir poznatih menica 300.000,00 dinEskont poznatih menica 3.500,00 dinEskontovana vrednost poznatih menica 296.500,00 din

Oduzimanjem eskontovane vrednosti poznatih menica od eskontovane vred-nosti svih menica dobijamo vrednost tree nepoznate menice

Eskontovana vrednost svih menica 600.000,00 dinEskontovana vrednost poznatih menica 296.500,00 dinEskontovana vrednost nepoznate menice 303.500,00 din

Sada izraunavamo eskont ove menice (interesnim raunom u sto), za 110 dana

i = (303.500 x 110)/ (6.000 110)= 5.668,08 din

Sabiranjem eskontovane vrednosti tree menice i izraunatog eskonta dobi-jamo meninu sumu tree menice

45

Eskontna vrednost tree menice 303.500,00Eskont tree menice 5.668,08Menina suma tree menice 309.168,08

Potpuna ema:

Zbir meninih vrednosti poznatih menica 300.000- eskont poznatih menica 3.500eskontovana vrednost poznatih menica 296.500eskontovana vrednost svih menica 600.000eskontovana vrednost nepoznate menice 303.500 eskont tree menice 5.668,08menina suma tree menice 309.168,08

obraunao:__________________Kontrola:

eskont svih menica (3.500 + 5.668,08) = 9.168,08

K = (200.000 + 100.000 + 309.168,08) = 609.168,08

i = 9.168,08 eskont 6%

(K-i) = 600.000,00

Kontrolisao:________________

Sluaj diskontovanja menice imamo kada menicu koja dospeva za naplatu ranije upotrebimo za plaanje koje dospeva kasnije.

U odnosu na eskontovanje ovde diskontovanu vrednost sabiramo sa izno-som na menici, tj. pripisujemo glavnici diskontovanu vrednost.

Kao i kod eskontovanja i kod diskontovanja moemo imati obraun sa jed-nom ili sa vie menica istog donosioca (korisnika).

46

Napomene:

Kada se eskont obraunava od nominalne vrednosti menice sa raunom od sto, za vreme od dana eskontovanja do dana dospea menice, takav obraun eskonta se naziva komercijalni eskont.

Kod komercijalnog eskonta je interes (eskont)

E= Kn d / D

Meutim, ako izraunamo interes na sadanju vrednost menice (vrednost menice umanjene za eskont)

Er= (K0 d) / D

dobijamo tzv. racionalni eskont.

Iz relacija:

Kn = K0 +(K0 d) / D i K0 = (D Kn)/ (D+d)

racionalni eskont Er moemo izraunati iz kolinika Er=(d Kn)/D+dMenina suma se moe izraziti zbirom eskontovane sume i racionalnog

eskonta

Kn= K0+Er

Ako uporedimo racionalni eskont Er sa komercijalnim eskontom EkVidimo da je komercijalni eskont vei Ek>Er

Razlika izmeu komercijalnog i racionalnog eskonta

47

Ovaj rezultat moemo napisati u obliku

Ek Er = (Knd)/(D+d) d/D

gde se vidi da je prvi inilac proizvoda (izraz u srednjoj zagradi) komercijalni eskont, tako da razliku izmeu komercijalnog i racionalnog eskonta moemo izraziti mnoenjem komercijalnog eskonta sa (d/D)

Ek E= Ek(d/D)

Napomena:

Ek=Er / (1- (d/D))

Er= Ek(1- (d/D))

gde je divizor D= 36500/p

48

IV. Sloeni interes

49

1. FAKTOR AKUMULACIJE (IZRAUNAVANJE KRAJNJE

VREDNOSTI KAPITALA)

Kod sloenog interesnog rauna se u sukcesivnom ponavljanju perioda ka-pitalizacije, obraunava interes na interes, za razliku od prostog interesnog rauna u kome se interes uvek obraunava od poetne glavnice.Zbog toga obraun sloe-nog interesa moemo shvatiti kao iteracije (ponavljanja) obrauna prostog interesa sa uveanjem poetne vrednosti kapitala za interes iz prethodnog obraunskog perioda.

Jedan poetni kapital i njegova uveana vrednost za interes tj. krajnji kapi-tal, meusobno su povezani u relaciju u kojoj moraju biti poznati: krajnja vrednost kapitala(Kn), poetna vrednost kapitala (K), kamatna stopa (p%), broj kapitalisa-nja u jednoj godini (m), trajanje perioda u kome se kapitalizacija vri (n).

Kn= K (1+p/100 m)nm

Kada su: n=1 i m=1

Navedena relacija se svodi na relaciju prostog interesnog rauna, sa t=1.

Prvo emo razmatrati relacije sloenog interesnog rauna sa kamatnom sto-pom na godinjem nivou p%(ad) i obraunskim periodima m=1 sa periodom ka-pitalizacije n>0. (n vremenska jedinica u trajanju jedne godine), koje neposredno dobijamo iz napred navedene

Kn= K (1+p/100)n

51

Ako uvedemo poznatu smenu i = p/100 dobijamo relaciju

Kn= K(1+i)n

Ponder (1+i)n sa kojim se poetni kapital K mnoi na desnoj strani jednako-sti, naziva se faktorom akumulacije.

Ako stavimo r=1+i ; ( r se naziva dekurzivnim interesnim faktorom)krajnju vrednost kapitala moemo razviti u geometrijski niz

Kn = K, Kr, Kr2, ... Krn-1, Krn

Interesna stopa u obliku im/m je interesna stopa (i) kada je m=1.Poto je m obraunski period kapitalisanja m=1 kada je kapitalisanje

godinje.Prema tome, ako je kapitalisanje meseno m=12; ako je kapitalisanje kvar-

talno m=4; ako je kapitalisanje dnevno m=365 itd.Napred navedena interesna stopa je proporcionalna (relativna)Korienjem relacije

Kn= K (1+i)n

u razliitim zadacima iz tri poznate veliine izraunavamo etvrtu koja se trai.Na primer faktor akumulacije (1+i)n neposredno dobijamo iz kolinika

Kn/K.Interesnu stopu moemo izraunati po formuli

i = (Kn/K)1/n 1

Period ulaganja (n) se izraunava raunom logaritma6, postavljanjem jednaine

log Kn-log K= n log(1+i)

n = (log Kn-logK)/ log(1+i)

6 logKn - log K = log (Kn/K)

52

Primer:

Poetna vrednost uloga K=10.000 ; Krajnja vrednost uloga Kn=12.762,82Interesna stopa i=0,05 Koliko godina traje ulaganje u sloenom interesu.n= (4,105946496 4)/ 0,021189299 = 5

Vrednosti dekurzivnih interesnih faktora, za odreeno vreme (n) i odreene procente (p), nalaze se u Prvim nansijskim tablicama, gde je

1r1 = 1 + p/100 = I p

2r2 = (1 + p/100)2 = I p

nrn = (1 + p/100)n = I p

nKn = K I p

Ako se kapitalisanje vri m puta godinje, posle n godina uz p% (pa)d krajnju vrednost kapitala dobijamo kada poetnu vrednost kapitala pomnoimo sa dekurzivnim interesnim faktorom u kome je kamatna stopa odreena za tra-janje perioda.

Godinja kamatna stopa se deli sa brojem perioda ukamaivanja i na taj na-in dobijamo relativne (proporcionalne) kamatne stope.

Na primer, godinjoj kamatnoj stopi od 10% odgovara dnevna kamatna sto-pa 10/365= 0,0274% , ili kamatna stopa za 75 dana

Ps = 75 0,0274 = 2,0548%

mnKmn = K I p/m

odnosno

Kmn= K(1+p/100m)mn

b) Kod anticipativnog obrauna interesa krajnju vrednost kapitala dobijamo kada glavnicu pomnoimo sa anticipativnim interesnim faktorom

53

Kn= K( 100/100-q)n

gde je q anticipativna interesna stopaAko nam je poznata krajnja vrednost kapitala a potrebno je da izraunamo

poetnu vrednost kapitala

K= Kn / ( 100/100-q)n

Stavljajui da je p = (100/100-q)Vrednosti ovog faktora se takoe nalaze u nansijskim tablicama za odree-

ni broj godina (n) i kamatne stope (q), tako da imamo

nPn = Iq = (100/100m-q)n

K = Kn / pn

Ako se kapitalisanje vri m puta godinje sa anticipativnim obraunom inte-resa, tada se krajnja vrednost kapitala izraunava po sledeoj formuli

Kmn= K(100m /100m - q)mn

Da bi krajnju vrednost kapitala koja se dobija prostim ukamaivanjem razli-kovali od krajnje vrednosti kapitala sa sloenim interesom, u ovom drugom slu-aju krajnju vrednost kapitala nazivamo akumulacijom, jer u proteklom vremenu akumulira interes sa kapitalisanjem interesa na interes.

Primeri:

1) Koji iznos emo imati posle 5 godina ako kapital od 10.000 sada uloimo da se kapitalie uz 6% (pa) d

Ovde je: K = 10.000; p = 6%; m = 1; n = 5;r = 1+6/100 = 1,06r5 = 1,065 = 1,33822K5 = 10.000 x 1,33822 = 13.382,25

54

2) Koliko danas vredi kapital koji dospeva za 15 godina u iznosu 10.000, ako je kapitalisanje uz 6% (pa) d.

Ovde je:K15 = 10.000; p = 6%; m = 1; n = 15 r = 1+6/100 = 1,06r15 = 1,065 = 2,396558K = 10.000 / 2,396558 = 4.172,65

55

2. FAKTOR AKUMULACIJE PRI NEPREKIDNOM UKAMAIVANJU

Pragmatini razlozi i primena tehnikih sredstava kod izraunavanja, nalagali su da se ukamaivanje kapitala vri u diskretnim vremenskim trenucima, (dani, me-seci, kvartali, semestri i godine), premda je vreme kontinuelno. Uvoenje kompju-terske obrade u poslovanje omoguava da broj perioda ukamaenja moe da tei u beskonanost, tj. vremenska jedinica moe da bude proizvoljno mala.

Ranije smo videli kako se izraunava krajnja vrednost kapitala kada se ukamai-vanje vri m puta u toku godine, odnosno kada se vreme tretira kao diskretna veliina.

Posmatranje vremena u kontinuitetu nalae da se odredi granina krajnja vrednost kapitala Kmn, kada n.

Kmn = K lim (1+(p/100m)mn m

Na osnovu injenice, ako m tada i K i uvoenjem smene p/100m= 1/K sledi formula za neprekidno ukamaivanje u svakom vremenskom trenutku.

Kn = Kenp/100

Prema tome, faktor akumulacije pri neprekidnom ukamaivanju je izraz

enp/100 ili et

Naime, stavljajui da je = ln(1+i)

Kn= Ket

K=Kn e-t

i=e-1

56

3. RELATIVNA I KONFORMNA KAMATNA STOPA

Kod primene proporcionalne, tj. relativne kamatne stope, moemo uoiti da se iz eih kapitalisanja za isti period dobija vei interes nego kada se za isti period kapitalisanje vri samo jedan put npr. godinje.

Pokazaemo ovo na primeru:Ako danas uloimo 10.000 uz 10% (pa)d , izraunati stanje uloga posle 10

godina ako se kapitalisanje vri: a) godinje b) polugodinje 10a) K10 = 10.000 I = 10.000 (1,01)10 = 25.937,42 10% 102b) K20 = 10.000 I = 10.000 (1,05)20 = 26.532,98 10% / 2

Efekat ove razlike se javlja zato to u sluaju veeg broja kapitalisanja uka-maujemo i interese.

Da bi ovaj efekat neutralisali koristi se konformna kamatna stopa.

De nicija:

Interesna stopa sa kojom ulog od K novanih jedinica pri m-puta godi-njem kapitalisanju daje isti efekat na kraju n-te godine kao i isti taj ulog od K- novanih jedinica pri godinjem kapitalisanju, zove se konformna kamatna stopa (pc ).

Iz navedene de nicije sledi

K(1+i)n =K(1+im)mn

Kada izvrimo skraivanje sa K, a zatim korenujemo i levu i desnu stranu, dobiemo

57

(1+i)n = (1+im)mn 1+i = (1+im)m

odakle je im= -1

Poto je im = i= pc / 100

sledi pc / 100 = -1 pc= [1+(p%(pa)d)]1/m 1

Ako imamo godinju proporcionalnu interesnu stopu (i) a traimo: dnevnu konformnu stopu, odnosno kada je m= 365 konformna kamatna stopa za jedan dan

a za d dana

mesenu konformnu stopu, m=12

Napomena: U ovoj relaciji mesene konformne stope uzeto je da godina ima 360

dana, a jedan mesec 30 dana. Zbog toga imamo

Egzaktna dnevna proporcionalna interesna stopa je u prostoj godini

365 deo godinje proporcionalne stope. Ako mesec ima 30 dana onda je egzaktna mesena konformna stopa

U navedenom primeru polugodinja konformna kamatna stopa je

58

tako da po de niciji ulog koji se dva puta godinje kapitalie daje isti efekat kao pri godinjem kapitalisanju

10.000 ( 1+0,048808848)20 = 10.000(1+0,10)10= 25.937,42

Primeri:

1. Izraunati polugodinju konformnu kamatnu stopu ako je godinja kamatna stopa 6%(pa)d.

pc=[1,06)]1/2 1 = 0,029563

2. Izraunati mesenu konformnu kamatnu stopu ako je godinja kamatna stopa 10%

pc=[1,10)]1/12 1 = 0,007974

3. Ako danas uloimo 10.000 uz 10% (pa)d , izraunati stanje uloga posle 10 godina ako se kapitalisanje vri polugodinje sa konformnom kamatnom stopom.

Prvo moramo izraunati polugodinju konformnu kamatnu stopu

Ako uporedimo dobijeni rezultat sa rezultatom iz primera primene relativne kamatne stope, videemo da je Kmn=Kn.

Zbog ovoga se konformna kamatna stopa esto naziva ekvivalentna stopa.Konformnu stopu pc moemo izraziti i preko prvih nansijskih tablica. Ako uzmemo da je p relativna (proporcionalna) stopa

59

4. DISKONTNI I ESKONTNI FAKTOR U SLOENOM INTERESU

Pojmovi diskontovanje i eskontovanje su povezani sa poetnom i krajnjom vrednosti kapitala. Kada je data krajnja vrednost kapitala uveana za interes, sa sloenim interesom iz obraunatih kapitalisanja, a trai se umanjena vrednost kapitala za obraunati interes na interes, ta traena vrednost se naziva sada-nja vrednost K0 i ona se izraunava diskontovanjem krajnje vrednosti kapitala, odnosno mnoenjem krajnje vrednosti sa diskontnom stopom u prostom intere-snom raunu, dok se u sloenom interesnom raunu krajnja vrednost mnoi sa diskontnim faktorom.

Diskontni faktor sa kojim se mnoi krajnja vrednost kapitala Kn da bi izraunali sadanju vrednost kapitala de nisan je kao reciprona vrednost eskontnog faktora

rn = (1+p/100)n eskontni faktorr - n = 1/ (1+p/100)n diskontni faktor

Kn= K0 rn diskontovanje kapitalaK0= Kn r n eskontovanje kapitala

U nansijskim tablicama eskontni faktor koristi se kod izraunavanja krajnje vrednosti kapitala, kad je dat poetni kapital.

Diskontni faktor koristi se kod izraunavanja poetnog kapitala, kada je dat krajnji kapital.

Eskontni i diskontni faktor su povezani relacijom tako da je

60

5. HIPOTEKARNI KREDITI

Krediti koji se odobravaju na bazi zaloge nepokretnosti nazivaju se hipotekar-nim kreditima. Ovi krediti su po pravilu dugoroni krediti i sa velikim iznosima.

Ovi krediti su uglavnom namenski, npr. u nansiranju stambene izgradnje, a korisnici mogu biti i pravna i zika lica.

Poznati su stambeni krediti koji se mogu odobravati i bez hipoteke, ali se najee hipoteka odnosi na predmetni stan koji se kupuje, tj. izgrauje na kredit. Izgradnja stana moe biti tek zapoeta a moe biti i neposredno useljiv.

Kod namenskih kredita, banka vri isplate do visine odobrenog kredita pre-ma dospelim situacijama koje su predviene u ugovoru o kreditu i te isplate se vre isporuiocu (dobavljau), odnosno graditelju.

Banke kod planiranja hipotekarnih kredita imaju nansijske aranmane sa graditeljima koji su korisnici novanih sredstava, jer moraju da vode rauna kod usklaivanju obima korienja kredita sa rokovima otplata, tj. o likvidnosti hipotekarnih kredita.

Dunik moe zapoeti sa otplatom hipotekarnog kredita neposredno po nje-govom odobravanju, tako da se anuiteti zadre u banci izvesno vreme pre isplate dobavljau.

Osim pravnih osobenosti koje su vane zbog obezbeivanja garancija da e kredit biti otplaivan u saglasnosti sa odredbama ugovora, u nansijskom smislu su bitne dve pratee pojave:

a) obaveza uea korisnika kreditab) obaveza depozita korisnika kredita

Od momenta kada korisnik kredita uplati svoje uee u banku, do momenta kada se ta sredstva prebace na raun dobavljaa, moe proi izvesno vreme, tako da se sa tim uplatama poveava ukupni kreditni potencijal banke.

61

Kod depozita korisnika, banka na taj depozit obraunava interes, ali sa pa-sivnim kamatnim stopama, koje su nie od onih sa kojima se obraunava interes u odobrenim kreditima (aktivne kamatne stope).

Ilustrujemo plan otplate hipotekarnog kredita.U Excelu u osenenim elijama upisujemo iznos glavnice i kamatnu stopu i automatski dobijamo plan amortizacije.

Prikazane su samo prve dve godine otplate.

Kamata Glavnica10.00% 50,000

0.007974Duina otplate

10 godina 120 meseci 648.88Period ostatak kamata m otplata anuitet

1 50,000 399 250 648.882 49,750 397 252 648.883 49,498 395 254 648.884 49,243 393 256 648.885 48,987 391 258 648.886 48,729 389 260 648.887 48,469 386 262 648.888 48,206 384 264 648.889 47,942 382 267 648.88

10 47,675 380 269 648.8811 47,407 378 271 648.8812 47,136 376 273 648.8813 46,863 374 275 648.8814 46,588 371 277 648.8815 46,310 369 280 648.8816 46,031 367 282 648.8817 45,749 365 284 648.8818 45,465 363 286 648.8819 45,178 360 289 648.8820 44,890 358 291 648.8821 44,599 356 293 648.8822 44,306 353 296 648.8823 44,010 351 298 648.8824 43,712 349 300 648.8825 43,412 346 303 648.8826 43,109 344 305 648.8827 42,804 341 308 648.8828 42,496 339 310 648.88

62

6. SUKCESIVNA PLAANJA (UPLATE I ISPLATE)

Do sada smo razmatrali sluajeve stanja jednog depozita u sloenom intere-snom raunu, odnosno njegovu poetnu ili krajnju vrednost. Meutim, stanje na raunu se stalno menja sa novim uplatama i isplatama.

Plaanja (uplate ili isplate) mogu biti viekratna, u stalnim iznosima i stal-nim vremenskim razmacima, a mogu biti u promenljivim iznosima a u stalnim ili promenljivim vremenskim razmacima.

Sukcesivna plaanja sa jednakim iznosima koja se vre u jednakim vremen-skim intervalima, nazivaju se rente. Rente se mogu zameniti sa jednim plaanjem, na poetku perioda plaanja ili na kraju perioda plaanja. Budui jednokratni iznos rente se izraunava pomou faktora dodajnih uloga.

6.1. FAKTOR DODAJNIH ULOGA (III - FINANSIJSKE TABLICE)

Radi izraunavanja zbira krajnjih vrednosti periodinih plaanja (uplata ili isplata) uinjenih poetkom ili krajem obraunskog perioda, pri dekurzivnom ili anticipativnom obraunu kamate, koristimo faktor dodajnih uloga.

Zbir krajnjih vrednosti n uloga 1 novane jedinice, koja se ulae poetkom svakog obraunskog perioda uz interesnu stopu p% i dekurzivnom raunanju in-teresa iznosi

Sn= r ( rn 1)/ (r-1)

63

Izraunate vrednosti za jedinicu uloga, razliite periode i kamatne stope, predstavljene su u nansijskim tablicama III, u formi :

nSn= III p nZa iznos uloga u, zbir krajnjih vrednosti e biti Sn = u III p

Ukoliko je ulaganje vreno krajem svakog obraunskog perioda (dekur-zivno) uz interesnu stopu p% i dekurzivnom raunanju interesa, tada zbir kraj-njih vrednosti n uloga iznosi

Sn* = ( rn 1)/ (r-1)

A kod korienja III nansijskih tablica odnosno za uloge koji iznose (u) novanih jedinica, na dan poslednjeg uloga e biti

n-1Sn*= u (1 + III ) p Ako uporedimo ove formule vidimo da plaanja krajem obraunskog perio-

da poinju za jedan obraunski period kasnije od plaanja poetkom obraunskog perioda. Zbog toga se kod plaanja krajem obraunskog perioda poslednje plaa-nje ne ukamauje.

Kod ulaganja poetkom perioda imamo sledeu emu urn

urn-1

urn-2

urn-3

Ur

U U U U u Sn

0 1 2 n-1 N

Slika 1.

Sn = ur(rn1)/(r1)

64

Primer:

Poetkom svake godine ulaemo u banku po 1.000 dinara. Koju sumu emo imati u banci na kraju pete godine ako se vri godinje kapitalisanje sa sloenim interesom 4% (pa) d.

Ovde imamo da je u = 1.000 p = 4% n = 5 m = 1

S5 = (1.000 x 1,04 (1,045 1) / ( 1,04 1) = 5.632,98

FV(4%,5+1,1000,0) = 6.632,98

S5= 6.632,98 1000 = 5.632,98

Napomena:

Kada koristimo nansijsku funkciju FV za izraunavanje stanja sume an-ticipativnih uloga, na kraju godine n, parametar n se uveava za 1 a od rezultata se oduzima vrednost jednog uloga.

Kod ulaganja krajem perioda imamo sledeu emu

urn-1

urn-2

ur

U U u u Sn

0 1 2 n-1 n

Slika 2.

Sn = (100/p) u[(1+ p/100)n -1]

FV = (p%(pa)d,n,u,0)

65

Primeri:

Krajem svake godine se ulae po 10.000 dinara u toku 10 godina sa 4% (pa) d i sa godinjim kapitalisanjem. Izraunati stanje ovih uloga na dan poslednjeg kapitalisanja.

U= 10.000 ; p= 4% ;n=10; m=1 ;

Snm=10.000 (1+ III94)= 10.000 x 12,006107= 120.061,07

FV(4%,10,10000,0) = 120.061,07

6.1.1. ULAGANJE EE OD OBRAUNAVANJA INTERESA

Kod ulaganja koje je ee od perioda obraunavanja interesa, zbir krajnje vrednosti bi trebalo izraunavati upotrebom konformne kamatne stope. Tada se za izraunavanja koriste formule koje smo razmatrali s tim to umesto relativnih (proporcionalnih) kamatnih stopa koristimo konformne stope.

Na primer, ukoliko se radi o ulozima poetkom perioda, tj. za anticipativna ulaganja, koristimo formulu

Smn= u rc (rcvmn 1)/(rc-1)

u kojoj je

rc= 1+ (pc/100)

ili vmnSvmn= u III pc

gde su: - broj uloga u obraunskom periodu, n - broj godina, m - broj kapitalisanja u godini, pc - konformna kamatna stopa

Primer:

Ako se poetkom svakog meseca, tokom 10 godina ulae u banku po 1000 dinara, koliko iznosi krajnja vrednost kapitala, ako se vri obraun sloenog inte-resa sa 10% (pa)d .

66

Najpre moramo izraunati mesenu konformnu kamatnu stopu

pc= 1,10(1/12) 1= 0,007974 0,7974%

zatim izraunavamo rc

rc= 1,007974

i na kraju dobijene vrednosti unosimo u formulu za zbir anticipativnih uloga

120S120 =1000 III 1000 1,007974 (1,0079741201)/(1,0079741) 0,7974%

S120 = 1007,974 (1,59369) / 0,007974

S120 = 201.455,64

6.1.2. ULAGANJE REE OD OBRAUNAVANJA INTERESA

Ovakvi sluajevi uglavnom imaju teorijski znaaj, jer je praktinije izrau-navanje krajnje vrednosti do odreene skadence pojedinanih uloga, sa nansij-skim tablicama I, a zatim te vrednosti sabrati.

Poimo od jednostavnog sluaja sa godinjim kapitalisanjem i ulaganjem svake druge godine. Tada prvi ulog diskontujemo za 2 godine, tj. stanje uloga po-sle drugog kapitalisanja bie

S1= u1 (1+p/100)2

Svaki sledei ulog takoe diskontujemo sa diskontnim faktorom

(1+p/100)2 .

Na taj nain dobijamo niz iznosa u vremenskim trenucima kada se vri uplata novog uloga i na osnovu toga moemo izraunavati krajnju vrednost svih uloga.

Kod ulaganja koje je ree od kapitalisanja, stanje sukcesivnih uloga mo-emo traiti na dan poslednjeg uloga ili u nekom momentu posle poslednjeg uloga. Kao i u sluajevima kada je ulaganje sinhronizovano sa kapitalisanjem, odnosno kada su ulaganja ea od kapitalisanja, isto tako i u sluaju kada su

67

ulaganja rea od kapitalisanja, moramo voditi rauna o tome da li su ulaganja anticipativna ili dekurzivna.

Stanje uloga se moe traiti upotrebom relativne ili konformne stope.Stanje uloga se izraunava posle svakog kapitalisanja, a prvo se trai na dan

prvog kapitalisanja. Prvi ulog sa pripisanim interesom ukamauje se u sledeem kapitalisanju, tako da umesto uloga bez interesa,za svako naredno kapitalisanje uzimamo ulog uvean za interes iz prethodnog obraunskog perioda.

6.1.3. PROMENLJIVI ULOZI

Izraunavanje krajnje vrednosti za promenljive uloge, ukoliko promenlji-vost uloga nije po aritmetikoj ili geometrijskoj progresiji, praktino se obavlja si-multanim izraunavanjima za svaki ulog posebno, a onda se pojedinani rezultati diskontuju ili eskontuju na isti vremenski trenutak.

Kod uloga koji se poveavaju u aritmetikoj progresiji za p% zbir svih anti-cipativnih uloga, na kraju n-te godine e biti:

S+n= u(rn+rn-1+rn-2 +...+ r2 + r)+ d[rn-1 +2 rn-2 + ... +(n-1)r2+(n-1)r]

nKako je prvi deo ovog zbira u(rn+rn-1+rn-2 +...+ r2 + r) = III p

ako stavimo

Q= rn-1 + 2rn-2 +...+ r2 (n-2) + r(n-1) (*)

moemo napisati

nS+n= u III p + dQ

Kada u relaciji (*) pomnoimo levu i desnu stranu (r) tj. interesnim dekur-zivnim faktorom, dobiemo

Qr= rn + 2rn-1 +...+ r3 (n-2) + r2 (n-1)

Sada oduzimanjem

Qr Q = rn + rn-1 +...+ r2 r( n-1)

to moemo napisati u obliku

68

Q(r-1)= rn + rn-1 +...+ r2 r r n

tako da je uoljivo n 1Q(r1) = III n I p p

6.2. FAKTOR AKTUELIZACIJE (IV TABLICE)

Faktor aktuelizacije predstavlja zbir sadanjih (diskontovanih) vrednosti n uloga od 1 novane jedinice, koji su ulagani u obraunskim periodima u toku n godina uz interesnu stopu p%.

Ulozi mogu biti ulagani krajem ili poetkom obraunskih perioda.Ako su ui (i=1,2,...n) iznosi koje sukcesivno izdajemo ili primamo, anti-

cipativno ili dekurzivno,u toku perioda ni (i=1,2,...k), sa p% godinje dekur-zivne kamate i godinjeg kapitalisanja, niz plaanja se moe zameniti jednim ulogom (c0) na poetku perioda.

Razmotrimo sluaj sa dekurzivnim ulozima.Po principu ekvivalencije tada imamo

C0= u1/r + u2/r2+... un/rn ,

gde je

r= 1+p/100

Sadanju vrednost zbira vie peiodinih uloga moemo izraunati i preko II nansijskih tablica, ako imamo u vidu da je za jedan ulog tj. n=1

1 1II = IV p p 1 2 3 nC0= u (IIp +IIp + IIp + ...+IIp )

Ako su ulozi meusobno jednaki i stopa p konstantna, kod dekurzivnih ulo-ga imamo

C0= u(rn-1)/rn(r-1) ;

kako je

r n = 1/rn)

69

sledi

(rn-1)/rn(r-1) = (rn-1)/(r-1) r-n

gde su izrazi u faktoru aktualizacije za jednu novanu jedinicu pojedinog uloga uz p% za n perioda:

(rn-1)/rn(r-1) budua vrednost a

r-n diskontni faktor

Primer:

Neka je n = 8; u = 50; p% = 5;

C0 =PV= 50(1,058-1)/(1,05-1) 1,05-8

= 50(0,477455/ 0,05) 0,676839

= 323,16

Ako je u ovom primeru kapitalisanje neprekidno, u tom sluaju je

Kod korienja nansijskih tablica, faktor aktuelizacije je predstavljen IV nansijskim tablicama

70

n(rn1)/rn(r1) = IV p

odnosno, ako imamo m puta ulaganje i kapitalisanje

mn(rmn1)/rmn(r1) = IV p/m

Obrazac za faktor aktuelizacije se moe dobiti i na sledei nain:Imajui u vidu da je budua suma svih dekurzivnih uloga na kraju n-tog

perioda Sn= U(100/p) [(1+P/100)n-1] a onda tu vrednost diskontujemo sa fak-torom r-n

Iz ovakve interpretacije faktora aktuelizacije, vidimo da ga karakteriu e-tiri veliine: (C0) - sadanja vrednost niza uloga, (u) - visina uloga, (i) - interes, (n) - period ulaganja.

Kada su ulaganja anticipativna (poetkom perioda), sadanja vrednost je

C0= u[(1-(1+i)-n] (1+i) / i

Kod korienja IV nansijskih tablica, kod anticipativnih uloga imamo

n-1C0 = u(1 + IV ) p

odnosno za m puta kapitalisanja i m puta ulaganja u toku godine mn-1C0 = u(1 + IV ) p/m

Kada su plaanja poetkom obraunskih perioda sa dekurzivnim obraunom interesa, faktor aktuelizacije izraunavamo po formuli

C0*= 1+(rn-1)/rn(r-1)

Odnosno sa korienjem nansijskih tablica

n-1C0* = IV p

U ovoj formuli se vidi da se broj obraunskih perioda umanjuje za 1, tj. pla-anje na poetku prvog obraunskog perioda ne diskontujemo jer je izvreno na dan kada se trai sadanja vrednost C0.

71

Kod izraunavanja sadanje vrednosti odloenih jednakih plaanja (uplata ili isplata) krajem obraunskih perioda, upotrebljava se formula:

n dC0 = a IV II p p

Za odreivanje sadanje vrednosti odloenih jednakih plaanja (uplata ili isplata) poetkom obraunskih perioda, upotrebljava se formula:

n dC0 = a ( 1 + IV ) II p p

VEBE

Vremenski period u kome se deavaju novane uplate i isplate ili obraun stanja kapitala, moemo predstaviti sa pravom linijom na koju nanosimo jedi-nine periode vremenske skale tj. jedinine dui.Vremensku skalu determini-emo odreivanjem trajanja jedinice (dan, mesec, godina i sl.). Na vremenskoj skali moemo odrediti neki vremenski trenutak focal date, kao npr. trenutak od koga razlikujemo protekli period od budueg perioda). Isto tako, po potrebi, vremenski period moemo da poveemo i sa kalendarom.

Svaka jedinina du ima poetak i kraj, tako da na vremenskoj liniji bilo koji poetak jedinine dui moemo uzeti kao poetak perioda i bilo koji kraj jedinine dui moemo uzeti za kraj vremenskog perioda.

72

Na sledeoj liniji prvi period ima poetak u taki 0 a kraj u taki 1, drugi period poinje u taki 1 a zavrava u taki 2 itd. Tako moemo rei da je od take 0 do take 8 proteklo 8 jedininih perioda.

Posmatrajmo sada trenutak (*) nekog plaanja koji prikazujemo na ovoj vre-menskoj skali

Neka je jedinini period mesec, (na skali imamo oznaeno 8 meseci). Prvi mesec na skali poinje od 0.

Moemo da kaemo da je prva uplata (*) na kraju drugog meseca (perioda) ali je isto tako tano da je prva uplata na poetku treeg meseca (perioda). Isto tako moemo da kaemo da je poslednja uplata (*) na kraju petog ili na poetku estog meseca.

Kada neku transakciju ili obraun vezujemo za poetak nekog perioda kae-mo da je transakcija ili obraun anticipativno tj. izvreno unapred.Ako transakciju (plaanje, obraun itd.) vezujemo za kraj nekog perioda, onda kaemo da je tran-sakcija dekurzivna.

Plaanja u nizu sukcesivnih perioda (uplate, isplate) nazivamo anuitetima.Uoimo razliku i uporedimo sledee anuitetea) anticipativni anuiteti

b) dekurzivni anuiteti

U ovom primeru, kod anticipativnih anuiteta imamo isti broj anuitetalata (4 zvezdice) kao i kod dekurzivnih. Meutim, kod anticipativnih imamo n=3 prote-kla perioda a kod dekurzivnih imamo n=4 perioda.

Dakle, kod anticipativnih uplata je (n-1) broj perioda je za 1 manji od broja anuiteta, a kod dekurzivnih (n) je broj perioda jednak sa brojem anuiteta.

73

Zbir anuiteta moemo izraunavati u bilo kom momentu. Znaajna su dva momenta, koja se nazivaju:

1) Sadanja vrednost (Present Value7) i

2) Budua vrednost (Future Value).

Kod obinih anuiteta, (ordinary annuity or annuity immediate), sadanja vred-nost PV (Present Value) je vezana sa jednim periodom pre prvog plaanja, dok je budua vrednost (Future Value) vezana za momenat poslednjeg plaanja.

Lociranje sadanje vrednosti (PV) i budue vrednosti (FV), na vremenskoj skali, kod obinih anuiteta

Sadanju vrednost obinih anuiteta8 ( Present Value for an Ordinary annui-ty) izraunavamo pomou formule

An(ord) = R[1-(1+i)-n] / i

Saglasno konvenciji o standardu SOA

An= Rani

Ako su ulozi anticipativni sadanju vrednost niza uloga izraunavamo po formuli

u(1-r-n)r/(r-1)

Buduu vrednost na kraju perioda poslednjeg uloga daje formula u(rn-1)r/(r-1)

7 The notation of the Society of Actuaries (SOA)8 Takoe je sa drugim oznakama: za r=1+i ; u=R u (rn-1)/(rn r-1)

74

75

7. OTPLATA ZAJMOVA I KREDITA

Nain otplaivanja zajma moe biti razliit.Razmotriemo sluaj sa jed-nakim anuitetima.

Anuitet je suma sa kojom se otplauje zajam u utvrenim rokovima, koja u sebi sadri interes i otplatu glavnice.

Plaanje interesa se moe poklapati sa plaanjem anuiteta i sada razmatra-mo taj sluaj.

Kada se zajam otplauje (amortizuje) sa jednakim anuitetima, dunik pla-a krajem svakog perioda amortizacije stalnu veliinu. Poto zajam mora biti jednak zbiru svih diskontovanih anuiteta na dan isplate zajma, to e diskontova-na vrednost na dan isplate anuiteta koji se plaa biti:

Krajem prve godine a/r

Krajem duge godine a/r2krajem n-te godine a/rn

r=(1+p/100)

Zbir svih sadanjih vrednosti anuiteta jednak je zajmu

K= a/r + a/r2 ++ a/rn

Ako ovaj izraz pomnoimo sa r, imamo

Kr= a + a/r + a/r2 + + a/ rn-1

Kr- K = a a/rn

Kr-K=(a+a/r+a/r2 +...+ a/rn-1)- (a/r +a/r2+...+ a/rn)= a- a/rn

K(r-1) = a (1- 1/rn) ; a-a/rn = a (1- 1/rn)

76

Tako da imamo K= a ( 1- (1/r)) / (r-1)

ili K= a ( rn-1) / rn (r-1)

Tako smo dobili formulu za izraunavanje anuiteta a= K rn (r-1) / ( rn-1)

Ako je plaanje anuiteta i kapitalisanje m puta godinje, imamo

K= a ( rn m-1) / rn m(r-1)

a= K rn m(r-1) / ( rnm-1)

Napomena:

Interesni inilac r =(1 + p/100m)

Kako je u formuli K= a ( rn-1) / rn (r-1) n(rn1) / rn (r1) = IV p

odnosno u formuli K= a ( rn m-1) / rn m(r-1)

nm(rn m1) / rn m(r1) = IV p

n nmsledi a = K/ IV a = K/ IV p p

n nPoto je V = 1/ IV p p n nmto je anuitet a = K V i a= K V p p

7.1. IZRADA PLANA OTPLATE ZAJMA SA JEDNAKIM ANUITETIMA

Kada izraunamo iznos anuiteta, pristupamo sainjavanju plana otplate za-jma. Plan otplate zajma vri se prema sledeoj emi

77

Period tplaivanja Iznos duga Interes Otplata

1 K=K1 i1= K1p/100 b1= a i12 K2=K1-b1 i2= K2p/100 b2= a i23 K3=K2-b2 i3= K3p/100 b3= a i3...n-1 Kn-1=Kn-2-bn-2 in-1= Kn-1p/100 bn-1= a- In-1n Kn=Kn-1-bn-1 in = Knp/100 bn = a- In = Kn

Proveru moemo izvriti prema sledeem:1) (Ki) p = Ii2) Poslednja otplata bn mora biti jednaka sa poslednjim ostatkom duga Kn3) bi = K4) Ii + bi = an

Primer:

Zajam od 100.000 dinara amortizuje se sa jednakim godinjim anuitetima tokom 5 godina uz interes 4% (pa)d i godinje kapitalisanje. Izraditi plan otplate kredita.

Ovde je K = 100.000; n = 5: p = 4%; m = 1r = (1+p/100) r = 1,04anuiteta = 100.000 [1,045 (1,04 1)] / (1,045 1)a = 100.000 [1,21665 (0,04)] / (0,21665)a = 22.463

U prvom anuitetu se sadri interes 4% na 100.000 u iznosu 4.000 dinara.Kada ovaj interes oduzmemo od anuiteta, dobijamo otplatu sa kojom se

umanjuje glavnica (22.463 4.000 = 18.463)Znai posle prvog plaenog anuiteta dug se smanjio, tako da iznosi

78

100.000 18.463= 81.537

U drugom anuitetu se sadri 4% interesa (81.537 x 4%= 3.261,48) tako da kada ovaj interes oduzmemo od anuiteta dobijamo otplatu glavnice

22.463- 3.261,48= 19.201,52

Ostatak duga posle drugog anuiteta iznosi 81.537 - 19.201,52= 62.335,48

U treem anuitetu kamata iznosi

62.335,48 x 4% = 2.493,42

a otplata glavnice

anuitet interes 22.463 2.493,42 = 19.969,58

Posle treeg anuiteta ostatak duga je

62.335,48-19.969,58= 42.365,90

Kada na ostatak duga obraunamo kamatu 4%

42.365,90 x 4%= 1.694,63

i za ovaj interes umanjimo anuitet dobiemo otplatu glavnice

(22.463 1.694,63=20.768,