Akwizycja i przetwarzanie

sygnałów cyfrowych

Tadeusz Chmaj

Instytut TeleinformatykiITI PK Kraków

21 luty 2011

Tadeusz Chmaj Wykład II

Czasowo-czestotliwosciowa analiza sygnałów

Metody analizy sygnałuDo tej pory - analiza sygnału jako funkcji czasu/połozenia,alboanaliza spektralna - rozkład sygnału na składoweczestotliwosciowe (o róznej zmiennosci)

metody te działaja dla sygnałów stacjonarnych (spektrumnie jest zmienne w czasie)

transformacja Fouriera - zakłada sygnał periodyczny lubjego kompletna znajomosc w całej dziedzinie czasowej

punkty spektrum czestotliwosciowego - usrednione pocałej dziedzinie czasowej

przykład ilustrujacy nieprzydatnosc transformaty Fouriera -liniowa modulacja czestotliwosci:

y(t) = sin(2πωt), ω = ω0 + αt

Tadeusz Chmaj Wykład II

Przykład - liniowa modulacja czestotliwosci

Sygnał czasowy, spektrum Fouriera

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

5

10

15

20

25

30

35

Transformata Wignera-Ville’a

Tadeusz Chmaj Wykład II

Potrzeba analizy czasowo-czestotliwosciej

W wielu zastosowaniach potrzebujemy analizy łacznej(czas i czestoliwosc), by wydobyc informacje zawarta wsygnale niestacjonarnymniestacjonarnosc - istota wielu sygnałów bedacychprzedmiotem naszego zainteresowania (n.p. mowa,sygnały medyczne (EEG, EKG), pomiary sejsmiczne,wibracje czesci masyn, przebiegi sygnałów elektrycznych,obrazy dwuwymiarowecelowe pobudzanie obiektów wymuszeniemniestacjonarnym celem ich identyfikacji (np. echografiaimpulsowa stosowana w goeofizyce, radiolokacji,diagnostyce medycznej)niestacjonarna modulacja czestotliwosciowa i fazowa wtelekomunikacjiWniosek - istnieje potrzeba analizy sygnałów, w którejjednoczesnie okreslamy jego własnosci czasowe iczestotliwosciowe

Tadeusz Chmaj Wykład II

Zasada analizy czasowo-czestotliwosciej

Cel – łaczny opis sygnału jako funkcji czasu i czestotliwosciMoze byc traktowana jako uogólnienie analizyfourierowskiejStandardowe podejscie - rozkład sygnału na składowe

x(t) =∑

k

akgk(t), ak =

∫x(t)γ∗

k (t)dt

gdzie gk(t) - funkcje syntezy, funkcje γk (t) - dualne dogk (t) funkcje analizyFunkcje bazowe gk (t) – maja rozpinac cała przestrzenokreslonego typuMoga byc one:

ortonormalne:∫

gk (t)g∗

l (t)dt = δkl , (funkcje syntezy ianalizy identyczne)liniowo niezalezne, ale nie ortogonalne, funkcje analizyγk (t) rózne od gk (t), wyznaczone z warunkubiortonormalnosci:

∫gk (t)γ∗

l (t)dt = δkl ; pozwala to najednoznaczne okreslenie γk (t)

Tadeusz Chmaj Wykład II

Zasada analizy czasowo-czestotliwosciej - c.d.

dobór funkcji gk(t) i γk (t) - zalezny od typu analizowanegosygnałutypowy wybór

gdy sygnał stacjonarny - funkcje bazowe to stacjonarneoscylacje (o nieskoczonym nosniku) - n.p. funkcjesin(kω0t), cos(kωt) - nieskonczenie ostra lokalizacja wczestotliwosci, brak jakiejkolwiek lokalizacji w czasiegdy sygnał niestacjonarny - funkcje bazaowe toniestacjonarne oscylacje impulsowe o skonczonym nosniku(np. funkcje uzywane w transformacie Gabora, Haara czyfalkowej)

własnosci lokalizacyjne - własnosc funkcji bazy - zaleza od"rozciagłosci" funkcji bazowych Ψ(t) w czasie i ichtransformat Φ(ω) w czestotliwosciobszar pokryty przez pojedyncza funkcje bazowa - kostkazadana przez przedziały Pt i Pω - scentrowane wokółsrodków czestosci |Ψ(t)|2 i |Φ(ω)|2

Tadeusz Chmaj Wykład II

Lokalizacja w czasie i czestotliwosci

okreslenie kostki lokalizacji funkcji bazy

funkcje bazowe - rodzimy funkcji o dobrej lokalizacji wczasie i czestotliwosci (atomy czasowo-czestotliwosciowe)kostki dla poszczególnych atomów powiny byc rozłaczne ipokrywac cała przestrzen czas-czestotliwoscdobra lokalizacja - małe pole kostkiczy mozemy dowolnie zmniejszac powierzchnie kostkilokalizacji?

Tadeusz Chmaj Wykład II

Transformacje bazy a lokalizacja

Jak transformacje funkcji bazowych wpływaja na ichzdolnosc lokalizacji?

przesuniecie w czasie o τ : Ψ′(t) = Ψ(t − τ), Φ′(ω) = Φ(ω),rozmiary kostki bez zmianmodulacja za pomoca eiω0t : Ψ′′(t) = eiω0tΨ(t),Φ′′(ω) = Φ(ω − ω0), rozmiary kostki bez zmianskalowanie funkcji Ψ′(t) = Ψ(at) zmienia szerokosci:P′

t = Pt/a, P′

ω = aPω

Wnioski:pole kostki zachowane - cecha funkcji bazowejskalowanie - mozliwosc balansu rozdzielczosci w czasie iczestotliwosci

Tadeusz Chmaj Wykład II

Zasada nieoznaczonosci

Jakie sa ograniczenia na wartosc pola powierzchni kostki?Odpowiedz - zasada nieoznaczonosci Heisenberga

Niech f(t) - funkcja o skonczonej energii, której transformataFouriera jest tez skonczonaNf norma funkcji f (t) (równa normie transformaty), zas A2 iB2 - wariancje - miary sredniokwadratowej szerokosciczasowej i czestotliwosciowej

Nf =

∫ +∞

−∞

|f (t)|2dt =

∫ +∞

−∞

|F (ω)|2dω

|A|2 =1|f |

∫ +∞

−∞

t2|f (t)|2dt |B|2 =1|f |

∫ +∞

−∞

f 2|F (f )|2df

wtedy A ∗ B ≥ 14π , równosc zachodzi tylko dla funkcji

g(t) = (2α)1/4exp(−απt2)

Tadeusz Chmaj Wykład II

Konsekwencje zasady nieoznaczonosci i skalowania

dobra lokalizacja - małe pole kostkizasada nieoznaczonosci: pole kostki PtPω ≥ 1

4π

potrzebujemy rodziny funkcji pokrywajacych całaprzestrzen czasowo-czestotliwosciowazazwyczaj - rodzina taka pochodzi z jednej funkcjiprototypowej podlegajacej przesunieciom w czasie iczestotliwosciskalowanie pozwala na zmiane kształtu kostek pokrycia wróznych rejonach przestrzeni – rózne strategie podziałuprzestrzeni okreslone jako rózne szachowniceczasowo–czestotliwosciowe

Tadeusz Chmaj Wykład II

Dekompozycje TF

wybór sposobu pokrycia (szachownicy) - dekompozycja TFpodstawowe strategie:

szachownica o takich samych polach (typowe dla STFT)niskie czestosci: lepsza rozdzielczosc czestotliwosciowa,gorsza czasowa, wysokie czestosci - na odwrót (typowe dlatransformacji falkowych)

sposób dekompozycji powinien byc zsynchronizowany zrodzajem sygnału i celem analizynajlepiej, gdy istnieje mozliwosc adaptacyjnegodopasowania do lokalnych cech sygnałuprzykłady funkcji bazowych (falki gaussowskie)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Tadeusz Chmaj Wykład II

Transformacja Gabora

Konstrukcja bazywybór funkcji prototypowej g(t) (np. okno gaussowskie)kolejne funkcje bazowe gm,n(t) - przesuwanie funkcjiprototypowej w czasie i czestotliwosci

gm,n(t) = g(t − m∆t)e2πi(n∆f )t

Dekompozycja sygnału ciagłego:

x(t) =

+∞∑m,n=−∞

cm,n ∗ gm,n(t)

cm,n - współczynniki dekompozycji:

cm,n =

∫ +∞

−∞

x(t)γ∗

m,n(t)dt ; γm,n(t) = g(t − m∆t)e2πi(n∆f )t

γ(t) - prototyp funkcji analizy, wyliczany z warunkubiortonormalnosciwynikowa reprezentacja Gabora sygnału ciagłego:Sx(mT , nF ) = |cm,n|

2

Tadeusz Chmaj Wykład II

Transformacja Gabora

Konstrukcja bazywybór funkcji prototypowej g(t) (np. okno gaussowskie)kolejne funkcje bazowe gm,n(t) - przesuwanie prototypu wczasie i czestotliwosci gm,n(t) = g(t − m∆t)e2πi(n∆f )t

Dekompozycja sygnału ciagłego:

x(t) =

+∞∑m,n=−∞

cm,n ∗ gm,n(t)

cm,n - współczynniki dekompozycji:

cm,n =

∫ +∞

−∞

x(t)γ∗

m,n(t)dt ; γm,n(t) = g(t − m∆t)e2πi(n∆f )t

γ(t) - prototyp funkcji analizy, wyliczany z warunkubiortonormalnosciwynikowa reprezentacja Gabora sygnału ciagłego:Sx(mT , nF ) = |cm,n|

2

Tadeusz Chmaj Wykład II

Transformacja Gabora c.d.

Dyskretna, okresowa transformata Gabora okreslona przez

formułe dekompozycji:

x(k) =

M−1∑m=0

N−1∑n=0

cm,n g(k − m∆M)W (n∆N)kL

współczynniki:

cm,n =L−1∑k=0

x(k)γ∗(k − m ∗ ∆M)W−(n∆N)kL

gdzie WL = e2πi/L, L = (∆M)M = (∆N)Nzałozenia: x(k), g(k), γ(k) - sygnały okresowe o okresie L,∆M, ∆N – kroki w czasie i czestotliwosci; g(k) - dowolne,γ(k) z warunku biortonormalnosciwybór ∆M, ∆N - rózne pary g, γ, sygnał o długosci L dajerózne reprezentacje majace M widm N-punktowych

Tadeusz Chmaj Wykład II

Transformacja Gabora c.d.

Wazny parametr η = MNL

gdy η = 1 - mamy minimalna wymagana ilosc próbek –próbkowanie krytycznegdy η > 1 - nadpróbkowanie

zazwyczaj – próbkowanie krytyczne daje silnie oscylujace,nie posiadajace zwartego nosnika okno analizy γ(k)

aby uzyskac dobra lokalizacje czasowa – koniecznenadpróbkowanieinne rozwiazanie - rzeczywiste reprezentacje TF Gabora

rózica - uzycie modulacji rzeczywistej (a nie zespolonej)jako metody przesuniecia w czestotliwoscirezultat - okna dualne lepiej zlokalizowane w czasi, mniejoscylacjinadpróbkowanie reprezentacji TF nie jest konieczne

patrz - przykład numeryczny gabor.m

Tadeusz Chmaj Wykład II

Krótkoczasowa transformata Fouriera (STFT)

najprostsza z metod analizy czasowo-czestotliwosciowejuzywa tylko jednego okna do syntezy i analizyw dziedzinie czasowej - SFTF równowazna wykonaniuprostego przekształcenia Fouriera na kolejnych porcjachsygnału wycinanych przez przesuwajace sie oknowersja ciagła - definicja transformacji

STFT Tx (t , f ) =

∫ +∞

−∞

x(τ)γ∗(t − τ)dτ

STFT Fx (t , f ) = e−2πift

∫ +∞

−∞

X (ν)Γ∗(ν − f )dν

gdzie: γ(t) - okno obserwacji, Γ(f ) - jego widmo Fourierasynteza sygnału: x(t) = 1

γ(0)

∫ +∞

−∞STFTx(t , f )e2πift

mozliwa równiez wersja dyskretnapatrz - przykład numeryczny stft.m

Tadeusz Chmaj Wykład II

Transformacja Wignera–Ville’a (WV)

pełni wyrózniona role w analizie sygnałówniestacjonarnych, gdyz:

idealnie odwzorowuje sygnał z liniowa modulacjaczestotliwosci (LFM)poprzez usrednianie mozna z niej uzyskac innereprezentacjejest reprezentacja o najwiekszej koncentracji energii wprzestrzeni TF (ma najlepsza łaczna zdolnosc rozdzielcza)powazny problem: dla sygnałów o innej modulacji nizliniowa (lub immych złozonych sygnałów – szkodliwepasozynicze interferencje pomiedzy róznymi składowymiwłasnymi widma – koniecznosc lokalnego wygładzania

definicja reprezentacji WV:

SWVx (t , f ) =

∫ +∞

−∞

x(t + τ/2)x∗(t − τ/2) e−2πifτdτ

SWVX (t , f ) =

∫ +∞

−∞

X (f + ν/2) X ∗(f − ν/2)e2πiνtdν

Tadeusz Chmaj Wykład II

Transformacja Wignera–Ville’a -c.d.

w powyzszych formułach x(t) - sygnał rzeczywisty s(t), lubtzw. sygnał analityczny (czesc rzeczywista = sygnałowirzeczywistemu, czesc urojona - wynik transformatyHilberta na s(t)

powód problemów ze szkodliwa interferencja - mnozeniesygnału przez ten sam sygnał

rezultat - nieliniowosc reprezentacji WV

SWVx1+x2(t , f ) = SWV

x1 (t , f ) + SWVx2 (t , f ) + SWV

x1,x2(t , f )

ostatni człon - tzw. widmo skrosne – wystepuje równiez,gdy mamy tylko jeden sygnał

Tadeusz Chmaj Wykład II

Transformacja Wignera–Ville’a -c.d.

metody ograniczania efektów pasozytniczych

stosowanie odpowiednio wysokiej czestosci próbkowaniamodyfikacja równan okreslajacych metode (dyskretnapseudoreprezentacja)

patrz - przykład numeryczny wv.m

Tadeusz Chmaj Wykład II