Upload
vudat
View
221
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Akwizycja i przetwarzanie
sygnałów cyfrowych
Tadeusz Chmaj
Instytut TeleinformatykiITI PK Kraków
21 luty 2011
Tadeusz Chmaj Wykład II
Analiza czestotliwosciowa sygnałów dyskretnych
Do tej pory - dwie metody analizy czestotliwosciowejsygnałów
szereg Fouriera - do analizy periodycznych ciagłych funkcjiczasu; wynik - przeliczalny ciag współczynnikówtransformata Fouriera - całkowe przekształcenie, zamieniaciagła funkcje czasu na ciagła funkcje czestosci
powyzsze metody - choc daja wyniki analityczne -uciazliwe w stosowaniu, o sporej złoznosci
najbardziej popularne podejscie - analiza numeryczna zwykorzystaniem komputerow i specjalizowanych układówmikroprocesorów (DSP - digital signal procesor)
podstawowe narzedzie analityczne - dyskretneprzekształcenie Fouriera (DFT)
zanim to zrobimy, wprowadzmy pojecie transformatyFouriera sygnału dyskretnego (DTFT - discrete timeFourier transform)
Tadeusz Chmaj Wykład II
Definicja DTFT
Niech x [nTs] – dyskretny sygnał – wynik okresowegopróbkowania sygnału w chwilach n ∗ Ts, gdzie Ts - odstepczasowy miedzy próbkami
zwykłe (proste) przekształceniem Fouriera sygnałudyskretnego (DTFT) okreslamy wzorem:
X (ejωTs) =∞∑
n=−∞
x(nTs)e−jnωTs
transformata DTFT – przyporzadkowanie sygnałowidyskretnemu x(nTs) ciagłej funkcji zespolonej X (e−jωTs)zmiennej rzeczywistej ω
zwyczajowo (by podkreslic dyskretnosc sygnału) argumenttej funkcji zapisujemy jako ejωTs (zamiast ω).
funkcja X (ejωTs) - okresowa funkcja zmiennej ω o okresieωs = 2π/Ts. Powód: dla ω + ωs wykladnik eksponentyulega zwiekszeniu o 2πni co pociaga teze.
Tadeusz Chmaj Wykład II
Własnosci DTFT
Okresowosc widm – podstawowa cech sygnałówdyskretnych.Inny opis spróbkowanego sygnału analogowego -traktujemy go jako ciagły sygnał analogowy, widmo –
ciagła transformata Fouriera Xδ(jω) =∞∫
−∞
xδ(t)e−jωtdt =
∞∫
−∞
x(t)∞∑
n=−∞
δ(t − n∆t)e−jωtdt =∞∑
n=−∞
x(n∆t)e−jnω∆t –
dokładnie równowazne formule DTFT.Czesto DTFT rozpatruje sie nie jako funkcje pulsacji ω tylkopulsacji θ unormowanej wzgledem okresu próbkowania Ts,θ = ωTs (lub czestotliwosci próbkowania fs, θ = ω/fs). Wtych zmiennych – widmo to funkcja okresowa o okresie 2π.DTFT jako funkcja pulsacji unormowanej:
X (ejθ) =∞∑
n=−∞
x(n)e−jnθ
Tadeusz Chmaj Wykład II
Od DTFT do DFT
Odwrotne przekształcenie DTFT:
x(n) =1
2π
π∫
−π
X (eiΩ)einΩdΩ
Typowe zagadnienie analizy widmowejsygnał dostepny w skonczonym przedziale czasowym [0, T ]próbkowany z ustalonym odstepem czasowym Ts wchwilach tn = n ∗ Ts, n = 0, 1, . . . N − 1;gdy czas w jednostkach Ts to x(tn) → x(n) o skonczonymczasie trwania N = T/Ts - dyskretny sygnał okresowy ookresie N : x(n + N) = x(n)
DFTF wymaga znajomosci ∞-wielu próbek; dajeperiodyczne widmo ciagłeidea DFT - wezmy sko nczony zbiór próbek czasowychsygnału i ma jego podstawie okreslmy widmo wsko nczonej ilosci wartosci pulsacji (czestotliwosci)
Tadeusz Chmaj Wykład II
Definicja DFT
DFT: w oparciu o dyskretny zbiór N próbek sygnałuczasowego x(n) okreslamy przepis na widmo X dla Ndyskretnych wartosci pulsacji unormowanej θn
widmo X (ejθ) – okresowa funkcja zmiennej θ o okresie 2 π– wystarczy okreslic je o przedziale [0, 2π); obliczamywidmo X (ejθn) dla θn = 2π
N nto prowadzi do formuły na dyskretna transformate Fouriera(DFT):
X (ejθk ) = X (k) =
N−1∑
n=0
x(n)exp(−j2π
Nkn)
oraz relacji odwrotnej :
x(n) =1N
N−1∑
k=0
X (k)exp(j2π
Nnk)
Tadeusz Chmaj Wykład II
Własnosci DFT
Okresowosc: X (k + N) = X (k)Dowód: dla kazdego składnika sumy wyznaczjacej X (k)od indeksu k (numerujacego próbke czestosci) zalezy tylkoczynnik fazowy F (k , n) = exp(−j 2π
N kn). Spełnia on relacje:F (k + N, n)= exp(−j 2π
N (k + N)n)=exp(−j 2π
N kn)
exp(−j 2π
N Nn) = F (k , n)exp(−j2πn) = F (k , n).To pociaga za soba okresowosc widma.Symetria DFT dla rzeczywistych sygnałów: gdyx(n)∗ = x(n), to X (k) = X ∗(N − k)Dowód: dla rzeczywistych x(n) mamy: X (k) =N−1∑
n=0x(n)exp(−j 2π
N nk) = [N−1∑
n=0x(n)exp(j 2π
N nk)]∗ = X ∗(−k).
Z tej relacji oraz z okresowosci widma mamy:X ∗(N − k) = X ∗(N − k − N) = X ∗(−k) = X (k)Gdy x(t) rzeczywiste, a N parzyste, to mamy:X (N
2 + k) = X ∗(N2 − k)
Tadeusz Chmaj Wykład II
Parametry DFT
dziedzina czasowa:ilosc N próbek czasowych ,odstep czasowy pomiedzy kolejnymi próbkami Ts,długosc sygnału (N − 1) ∗ Ts,okresowosc danych czasowych T = NTs
dziedzina czestotliwosci:maksymalna czestosc - zadana przez maksymalna wartoscpulsacji unormowanej:2π = θmax = ωmax Ts = 2πfmax Ts → fmax = 1
Ts; dodatkowo
musimy uwzglednic symetrie sygnału, co daje:
Fmax =1
2 ∗ Ts
odległosc miedzy kolejnymi prazkami widmafs = fmax 1/N = 1/(NTs) = 1
T ,okresowosc spektrum Fp = Nfs = 1/Ts
Tadeusz Chmaj Wykład II
Własnosci DFT - c.d.
Dla rzeczywistych danych x(n):N wartosci prazków (liczb zespolonych) jest zadanychprzez N liczb rzeczywistych (symetria wzgledem N/2)
zerowy prazek widma rzeczywisty i równy X(0) =N−1∑
n=0x(n)
Liniowosc:DFT (a x(n) + b y(n)) = a DFT (x(n)) + b DFT (y(n))
Własnosc splotu: niech X (k), Y (k) – widma DFT sygnałówx(k), y(k), niech Z (k) = X (k)Y (k). Wtedy, gdy okreslimyz(n) jako IDFT widma Z (k), to dostajemy:
x(m) =N−1∑
n=0x(n)y(m − n), czyli widmo DFT splotu
czasowego dwóch dyskretnych sygnałów N-okresowychjest równe iloczynowi ich widm DFT
Własnosc iloczynu: widmo DFT iloczynu = splot widm
Tadeusz Chmaj Wykład II
DFT jako aproksymacja FT
DFT moze byc uzyta jako aproksymacja ciagłejtransformaty
dla transformaty wyrazonej jako funkcja czestotliwoscimamy, sygnału kauzalnego (x(t) = 0 dla t < 0) mamy:
X (f ) =∞∫
0x(t)e−j2πftdt
zastepujemy wielkosci ciagłe próbkowanymi wielkosciamidyskretnymi: t → nTs, dt → Ts, f → kfs= k
NTsco prowadzi
do:
X (k
NTs) = Ts
N−1∑
n=0
x(nTs)e−j 2πfN nk
tak mozna uzyskac niezłe przyblizenie widmaamplitudowego funkcji szybko spadajacej
problemy z widmem fazowym
Tadeusz Chmaj Wykład II
Definicja układów LTI
Układ - obiekt - czarna skrzynka na której wejscie podajesie sygnał wejsciowy x (pobudzenie) a z wyjscia pobierasygnał wyjsciowy y (odpowiedz
Opis transmisyjny: układ – operator T wykonujacy pewnaoperacje na sygnale y = T [x ]
Niech X - zbiór dopuszczalnych wejsc, Y - zbiórdopuszczalych wyjsc - dziedzina i zbiór wartosci operatoraT .
gdy X , Y sygnały ciagłe w czasie - układy analogowegdy X , Y sygnały dyskretne w czasie - uklady dyskretne
szczególna grupa układów - układy LTI, czyli układy:liniowe: T [ax + by ] = aT [x ] + bT [y ]stacjonarne (niezmienne w czasie): jezeli odpowiedzia nax(t) jest y(t), to odpowiedzia na x(t − t0) jest y(t − t0)
Tadeusz Chmaj Wykład II
Analogowe układy LTI
Działanie analogowych układów LTI:
opis w dziedzinie czasu: y(t) =∞∫
−∞
h(τ)x(t − τ)dτ ; h(t) -
odpowiedz impulsowa – odpowiedz układu na impuls
Diraca: y(t) =∞∫
−∞
h(τ)δ(t − τ)dτ = h(t)
uzasadnienie: x(t) =∞∫
−∞
x(τ)δ(t − τ)dτ
x(t) → y(t), prawa strona to suma przesunietych w czasie(t − τ) i przeskalowanych w amplitudzie (* x(τ )) sygnałówδ(t) - z liniowosci i stacjonarnosci dostajemy prawa stronegórnej relacjiopis w dziedzinie czestotliwosci: Y (ω) = H(ω)X(ω), dlaimpulsu Diraca Y (ω) = H(ω)∆(ω) = H(ω)
Tadeusz Chmaj Wykład II
Projekt układu , transmitancja
Jak dobrac h(t)? Odpowiedz w dziedzinie czestotliwosci:
Wiemy, ze Y (ω) = H(ω)X (ω)
Zasada: gdy chcemy osłabic sygnał dla pulsacji ωkladziemy H(ω) → 0, gdy dana pulsacje przepuszczamy –kładziemy H(ω) = 1
układy LTI - w dziedzinie czasu opisywane przez liniowerównania rózniczkowe:
N∑
n=0
andny(t)
dtn =
M∑
m=0
bmdmx(t)
dtm
Wazna własnosc transformaty Fouriera: gdy x(t) ↔ X (ω),to dmx(t)
dtm ↔ (iω)nX (ω)
Tadeusz Chmaj Wykład II
Projekt układu , transmitancja c.d.
Ostatnia relacja daje równanie na transformaty:
N∑
n=0
an(iω)nY (ω) =M
∑
m=0
bm(iω)mX (ω)
Skad - transformata Fouriera odpowiedzi impulsowej(transmitancja Fouriera)
H(ω) =Y (ω)
X (ω)=
M∑
m=0bm(iω)m
N∑
n=0an(iω)n
Projekt ukladu - okreslenie rzedów równan M, N orazstałych ai , bj
Tadeusz Chmaj Wykład II
Metodologia projektowania
Transmitancja Fouriera - ułamek, którego licznik imianownik - wielomiany zmiennej (iω)
nazywam: z1, z2, . . . , zM miejsca zerowe licznikatransmitancji (zera transmitancji), zas p1, p2, . . . , pN
miejsca zerowe mianownika transmitancji (biegunytransmitancji)W tym jezyku mamy:
H(ω) =Y (ω)
X (ω)=
bM(iω − z1)(iω − z2) . . . (iω − zM)
bN(iω − p1)(iω − p2) . . . (iω − pN)
2
4
6
8
10
12
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2
Im s
Re s
Tadeusz Chmaj Wykład II
Metodologia projektowania c.d.
Zasady projektowaniaby wyzerowac transmitancje dla pewnej pulsacji ωdobieramy parametry tak by jednen z czynników (iω − zm)był równy 0 dla tej wartosci ωpodobnie – wzmocnienie gdy w interesujacym nasobszarze jest jeden z biegunów transmitancji
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0.1 1 10 100 1000
20 lo
g 10
|H(ω
)|
ω [rd/s]
H(ω)=(z0-iω)/(pk-iω)
z0=-10+i*10
pk=-10+i*ωk
ωk124610
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
0.1 1 10 100 1000
20 lo
g 10
|H(ω
)|
ω [rd/s]
H(ω)=(zk-iω)/(p0-iω)
p0=-10+i*10
zk=-10+i*ωk
ωk124610
Tadeusz Chmaj Wykład II
Metodologia projektowania c.d.
Projekt - ustalenie N, M, pozycji zer i biegunówtransmitancjiOgraniczenia projektowe - stabilnosc (odpowiedz nasygnałem o ograniczonej amplitudzie ma byc sygnał oograniczonej amplitudzie)
rzad mianownika conajmniej równy rzedowi licznika N ≥ Mgdy współczynnki ai , bj rzeczywiste – bieguny i zerawystepuja jako sprzezone paryzera transmitancji - moga byc wszedziebieguny transmitancji tylko w lewej półpłaszczyznie (Reomega)<0
Sprawdzenie - obliczenie transmitancji wzdłuz osi urojonejwszystkich charakterystyk układu
wyliczenie odpowiedzi impulsowej jako odwrotnejtransformaty Fouriera transmitancji
Tadeusz Chmaj Wykład II
Warunki stabilnosci
Załozenie - transmitancja ma rozład na sume składników zjednym biegunem (czyli bieguny sa jednokrotne)
postac transmitancji:
H(ω) =bM
aN
(
c1
iω − p1+
c2
iω − p2+ · · · +
cN
iω − pN
)
parametryzacja biegunów pk = σk + iωk
Transformata odwrotna:h(t) ∼ ck e(σk +iω)t lub:h(t) + h∗ ∼ eσt cos(ωt + β)
w obu przypadkach gdy σ > 0 - niestabilnosc
Tadeusz Chmaj Wykład II
Asymptotyka transmitancji
Gdy |ω| ≫ |zk | oraz |ω| ≫ |pk |, to dostajemy:
20log10(H(ω)) = 20log10bM
aN+
M∑
m=1
20log10|ω|−
N∑
n=1
20log10|ω|
asymptotycznie (dla duzych pulsacji):kazde zero transmitancji - wzrost nachyleniacharakterystyki amplitudowej o 20 dB/dekadekazdy biegun transmitancji - spadek nachyleniacharakterystyki amplitudowej o 20 dB/dekade
wykresy charakterystyki amplitudowej (w dB) w funkcjilogarytmu pulsacji - wykresy Bodego
Tadeusz Chmaj Wykład II
Przyklad pojektowania – metoda zer i biegunów
Zadanie - zaprojektowac filtr górnoprzepustowyAnaliza - wymagania:
- filtr górnoprzepustowy - asymptotycznie (duze pulsacje)nachylenie charakterystyki powinno dazyc do zera =⇒ takasama liczba zer co biegunów- pulsacja ω = 0 ma nie przechodzic =⇒ punkt z1 = (0, 0)powinien byc zerem transmitancjigórnoprzepustowosc =⇒ zera transmitancji rozmieszczonena osi urojonej w okolicy z = (0, 0)kazde zero skompensowane lezacym w poblizu biegunemdla małych pulsacji - osłabienie
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
Im(s
)
Re(s)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
Im(s
)
Re(s)
Tadeusz Chmaj Wykład II
Przyklad pojektowania – metoda zer i biegunów
Wyniki - zaleznosc od rzedu modelu
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
Im(s
)
Re(s)
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0.1 1 10 100 1000
20 lo
g 10
|H(ω
)|
ω [rd/s]
-160
-150
-140
-130
-120
-110
-100
-90
-80
10 100 1000 10000 100000
20 lo
g 10
|H(ω
)|
ω [rd/s]
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0.1 1 10 100 1000
20 lo
g 10
|H(ω
)|
ω [rd/s]
Tadeusz Chmaj Wykład II
Metoda zer i biegunów - podsumowanie
Metoda intuicyjnie prosta, ale o małej wydajnosciWymaga wielu prób, brak deterministycznego algorytmuprowadzacego do poprawy rozwiazaniaTrudno uzyskac rozwiazania spełniajace wymagania:
liniowosc pasma przepuszczaniaduze tłumienie w pasmie zaporowymduza stromosc zboczy charaktrystykamplitudowo-czestotliwosciowych
Bardziej wydajne podejscie - stosowanie modeli(aproksymacji) filtrów (np. Butterwortha, Czebyszewa I,Czebyszewa II, eliptyczny.wybór prototypu - narzucenie rozkladu zer i biegunówtransmitancji – wstepne okreslenie charakterystyk filtraIstotny element procesu projektowania - transformacjaczestotliwosci, która pozwala na transformacje wybranegotypu filtra (który umiemy zaprojektowac) na taki, który jestwymagany.
Tadeusz Chmaj Wykład II