ALJABAR LINEAR

PENGAJAR: NURI SIMARONA, ST

Jurusan: Manajemen InformatikaSEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER

WIDYA DHARMA PONTIANAK

1Presented by Nuri Simarona, ST

SASARANMahasiswa memahami dan menguasai konsepsi dasar Aljabar Linear; terdiri dari pokok bahasan matriks, determinan, sistem persamaan linear, vektor dan transformasi linear sebagai pendukung ilmu pengetahuan dan terampil menggunakannya, khususnya dalam komputasi dan komputer

Presented by Nuri Simarona, ST 2

Materi:Matriks

Konsepsi MatriksJenis-Jenis MatriksOperasi Aljabar MatriksOperasi Baris Elementer

DeterminanKonsepsi DeterminanSifat DeterminanMinor dan KofaktorEkspansi Baris/KolomInvers Matriks

Sistem Persamaan LinearKonsepsi SPLSPL HomogenSPL NonhomogenPenyelesaian SPL

3Presented by Nuri Simarona, ST

Daftar PustakaAnton, Howard, (2004), Aljabar Linear

Elementer versi Aplikasi, Edisi ke-8, Jilid 1, Erlangga, Jakarta;

Spiegel, Murray R, (1983), Theory and Problems of Advanced Mathematics for Engineers and Scientists, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, Singapore;

Ayres, F., Linear Algebra, Schaum’s Outline Series;

Kaw, Autar K., Introduction to MATRIX ALGEBRA, http://www.eng.usf.edu/~kaw, 21 Descember 2006, 22:49 WIB 4Presented by Nuri Simarona, ST

MatriksKonsepsi MatriksJenis-Jenis MatriksOperasi Aljabar MatriksOperasi Baris Elementer

5Presented by Nuri Simarona, ST

Konsepsi MatriksPerhatikan tabel berikut:

Harga peralatan TI di atas dapat dituliskan dalam bentuk berikut:

Merk X Merk Y Merk Z Merk P Merk Q Merk E

Flashdisk $ 3 $ 2 $ 4 $ 3 $ 4 $ 2CD $ 1 $ 1.5 $ 2 $ 1 $ 1 $ 2Printer $ 20 $ 25 $ 30 $ 20 $ 35 $ 25Modem $ 15 $ 30 $ 25 $ 35 $ 20 $ 25

3 2 4 3 4 2

1 1.5 2 1 1 2

20 25 30 20 35 25

15 30 25 35 20 25

Baris / row

Kolom / column

Matriks / matrix

6Presented by Nuri Simarona, ST

Matriks merupakan sekumpulan bilangan-bilangan atau ekspresi simbol-simbol yang terdiri dari sejumlah baris (rows) dan kolom (columns) dan berbentuk persegi panjang.

11 12 13 14 1

21 22 23 24 2

31 32 33 34 3

1 2 3 4

n

n

m n n

m m m m mn

a a a a a

a a a a a

A a a a a a

a a a a a

Ukuran sebuah matriks

Nama matriks

Elemen matriksElemen baris kedua kolom keempat

7Presented by Nuri Simarona, ST

Matriks yang hanya memiliki sebuah baris disebut matriks baris atau vektor baris dan berordo 1 x n, sedangkan matriks yang hanya memiliki sebuah kolom disebut matriks kolom atau vector kolom dan berordo m x 1.

Contoh:

5

1

3 2 4 1 2 1 0

3

4

A B

8Presented by Nuri Simarona, ST

Jenis-Jenis MatriksMatriks Persegi

Matriks Diagonal

Matriks Identitas

Matriks Segitiga atas

Matriks Segitiga bawah

Matriks Nol

Matriks Tridiagonal / Pita

Matriks Simetri

Matriks Singular

Matriks Non Singular

Matriks Partisi

a b c d

e f g h

i j k l

m n o p

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

a

f

k

p

0

0 0

0 0 0

a b c d

f g h

k l

p

0 0 0

0 0

0

a

e f

i j k

m n o p

0 0

0

0

0 0

a b

e f g

j k l

o p

a b c d e

f g h i j

k l m n p

q r s t u

v w x y z

a b c d

b f g h

c g k l

d h l p

Determinan matriks = nolDeterminan matriks ≠ nol

9Presented by Nuri Simarona, ST

ALJABAR MATRIKSKesamaan Matriks (Equality of matrices) Penjumlahan matriks (Addition of

matrices)Pengurangan matriks (Subtrction of

matrices) Perkalian matriks dengan scalar

(Multiplication of a matrix bay a scalar)Perkalian matriks (Multiplication of

matrices) Matriks TransposeTrace Matriks Presented by Nuri Simarona, ST 10

Presented by Nuri Simarona, ST 11

Invers Matriks

Suatu matriks persegi A dikatakan memiliki invers (kebalikan) atau non singular, jika dinyatakan sebuah matriks B sedemikian hingga

AB = I = BAMaka, matriks B disebut invers dari A dan ditulis A-1 . Jika A tidak memiliki invers, maka A disebut singular

Menentukan invers sebuah matriks dapat diperoleh dengan metode:1. Matriks Adjoint: A-1 = adj A / det A2. Gauss: ( A : I ) →( I : A )

Presented by Nuri Simarona, ST 12

Contoh:

Presented by Nuri Simarona, ST 13

Soal: (Determinan dan Invers Matriks)

Tentukan determinan setiap matriks berikut dan hitung nilai t untuk memperoleh matriks singular.

2 4 3 1 3 3 3 1 1

( ) 1 1 2 ( ) 3 5 3 ( ) 7 5 1

0 0 4 6 6 4 6 6 2

t t t

a t b t c t

t t t

1 2 2 3 2 1 3 2

1 0 2 0 3 0 1 2( ) ( )

3 1 1 2 1 1 4 3

4 3 0 2 2 2 1 1

a b

Tentukan matriks adjoint dari setiap matriks berikut:

Kemudian tentukan invers dari kedua matriks tersebut

Presented by Nuri Simarona, ST 14

Teorema: Rank baris A = rank kolom ARank A + nullity A = n

RANK DAN NULLITY SUATU MATRIKSDefinisi:Jika A adalah suatu matriks berordo m x n, makaRank kolom A = dim C(A)Rank baris A = dim R(A)Nullity A = dim N(A)Rank matriks A ditulis rank A merupakan nilai utama dari rank baris dan rank kolomnya.

Presented by Nuri Simarona, ST 15

2 1

3 7( )

6 1

5 8

a

1 1 2

4 5 5( )

5 8 1

1 2 2

b

1 2 3 2 3

1 3 2 0 4( )

3 8 7 2 11

2 1 9 10 3

c

1 3 2 5 4

1 4 1 3 5( )

1 4 2 4 3

2 7 3 6 13

d

Contoh:Tentukan rank matriks berikut:

Soal:Untuk setiap matriks berikut, hitung rank dan tentukan inversnya jika ada.

1 2 1 0 2 4 1 2 11 2 1 2

( ) ( ) ( ) 1 3 4 ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 21 1 2 4

2 3 1 2 4 5 1 0 2

a b c d e

Presented by Nuri Simarona, ST 16

Soal Test:

1. Cari nilai k yang menunjukkan bahwa matriks berikut adalah singular.

1 2

3 1 1

5 3 5

k

A

2. Buktikan bahwa

3

1 1 1 1

1 1 1(1 )

1 1

1

rr

r r

r r r

3. Diketahui

1 2 2

3 1 0

1 1 1

A

Cari adj A dan A-1

Presented by Nuri Simarona, ST 17

4. Tentukan manakah maktriks yang merupakan matriks non-singular dan tentukan inversnya bila mungkin.

1 1 1 2 2 4 4 6 3

( ) 1 1 0 ( ) 1 0 1 ( ) 0 0 7

2 0 0 0 1 0 0 0 5

1 2 4 62 0 0 1 2 3

0 1 2 0( ) 0 5 0 ( ) ( ) 4 5 6

0 0 1 20 0 7 5 7 9

0 0 0 2

a b c

d e f

Presented by Nuri Simarona, ST 18

Presented by Nuri Simarona, ST 19

Presented by Nuri Simarona, ST 20

Presented by Nuri Simarona, ST 21