Matematika Aljabar Linear

matematika | aljabar linearCopyright ali209 [email protected]://ali209.student.umm.ac.id/2010/02/10/aljabar-linear/

aljabar linear

Persamaan Linear & Matriks

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5x1 − 5x2 + 2x3 = 72x1 + x2 − 3x3 = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melaluibeberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasiGauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyaibentuk :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua

page 1 / 33


sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian inidisebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebutsolusi nontrivial.

[ sunting] Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks

[ sunting] Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan dibaris akhir dari matriks.3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nyaharus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matrikstersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Contoh: syarat 1: baris pertama disebut leading 1

syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

page 2 / 33

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Aljabar_linear&action=edit&section=2



syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baristereduksi

[ sunting] Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matrikssehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl FriedrichGauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebutmenjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metodepenyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya denganmengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi danmengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balikuntuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6x + 3y + 2z = 92x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

page 3 / 33


http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

http://id.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss


Operasikan Matriks tersebut

Baris ke 2 dikurangi baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6y + z = 3z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3y + 3 = 3y = 0

x + 2y + z = 6x + 0 + 3 = 6x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

[ sunting] Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

page 4 / 33



Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnyalebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasiGauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapatdigunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear denganmenggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut kedalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai darivariabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2y + 3z = 32x + 3y + 2z = 32x + y + 2z = 5

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:




page 5 / 33


Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1



Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1

[ sunting] Operasi Dalam Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyaiordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.

Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A+ B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitupula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapatdijumlahkan atau dikurangkan.

Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan Adan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika ksebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan caramengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yangdiperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuksetiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan danpengurangan matriks :

a.) A + B = B + Ab.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + Cc.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar

page 6 / 33



Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapatdituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj

[ sunting] Matriks Balikan (Invers)

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , makaB disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1.Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jikamatriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) − 1 = B − 1A − 1

Contoh 1:

Matriks

A = dan B =

AB = = = I (matriks identitas)

BA = = = I (matriks identitas)

page 7 / 33



Maka dapat dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers dari A) Contoh 2:

Matriks

A = dan B =

AB = =

BA = =

Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal. Contoh 3:

Matriks

A =

Tentukan Nilai dari A-1

Jawab:

Contoh 4:

page 8 / 33


Matriks

A = , B = , AB =

Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan

, ,

Maka

=

Ini membuktikan bahwa (AB) − 1 = B − 1A − 1

[ sunting] Transpose Matriks

Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubahkomponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yangkolom di ubah menjadi baris.

Contoh:

Matriks

A = ditranspose menjadi AT =

page 9 / 33



Matriks

B = ditranspose menjadi BT =

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

1. ((A)T)T = A2. (A + B)T = AT + BT dan (A − B)T = AT − BT

3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar4. (AB)T = BTAT

[ sunting] Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris

[ sunting] Matriks Diagonal

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utamadari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriksdiagonal. Contoh :

secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai

page 10 / 33




Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :

D − 1=

DD − 1 = D − 1D = I

jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka

Dk=

Contoh :

A=

maka

A5=

[ sunting] Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonalutama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garisdiagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garisdiagonal utama nol.

page 11 / 33



Matriks segitiga

Matriks segitiga bawah

Teorema

- Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dantranspose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.

- Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, danproduk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

- Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.- Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan

inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

Contoh :

Matriks segitiga yang bisa di invers

A =

Inversnya adalah

A − 1=

page 12 / 33


Matriks yang tidak bisa di invers

B =

[ sunting] Matriks Simetris

Matriks kotak A disebut simetris jika A = AT

Contoh matriks simetris

Teorema

- Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika kadalah skalar maka

AT adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris (AB)T = BTAT =BA Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A − 1 adalah matrikssimetris.

Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = AT

maka :

page 13 / 33



(A − 1)T = (AT) − 1 = A − 1

Yang mana membuktikan bahwa A − 1 adalah simetris. Produk AAT dan ATA

(AAT)T = (AT)TAT = AAT dan (ATA)T = AT(AT)T = ATA

Contoh

A adalah matriks 2 X 3

A =

lalu

ATA = = AAT = =

Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AAT dan ATA juga bisa di inverse

[ sunting] Determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan realdengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2

page 14 / 33



A = tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad - bc

[ sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

[ sunting] Determinan dengan Minor dan kofaktor


Pertama buat minor dari a11

M11 = = detM = a22a33 x a23a32

Kemudian kofaktor dari a11 adalah

c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32

kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakahkofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini

Begitu juga dengan minor dari a32

page 15 / 33




M32 = = detM = a11a23 x a13a21

Maka kofaktor dari a32 adalah

c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21

Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah

det(A) = a11C11+a12C12+a13C13

[ sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A3x3

A =

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a11 - a12 + a13

= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32

Contoh Soal:

A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris

page 16 / 33



pertama

Jawab:

det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

[ sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas.Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Padaekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkandengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan komponekolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A3x3

A =

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a11 - a21 + a31

= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32

Contoh Soal:

A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom

page 17 / 33



pertama

Jawab:

det(A) = = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8

[ sunting] Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A3x3

A =

Kofaktor dari matriks A adalah

C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi barisdan baris menjadi kolom

adj(A) =

page 18 / 33



[ sunting] Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitigadiagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

Contoh

= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

[ sunting] Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b

Contoh soal:

Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x1 + x3 = 6

page 19 / 33




-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8

Jawab:

bentuk matrik A dan b

A = b =

kemudian ganti kolom j dengan matrik b

A1 = A2 = A3 =

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan darimatrik-matrik di atas

maka,

page 20 / 33


[ sunting] Tes Determinan untuk Invertibilitas

Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal,kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atautidak nol: E1,E2,...,Er menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasibaris yang menghasilkan Rdari A. Maka,

R=Er...E2 E1 A

dan,

det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)

Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R= I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalahdapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yangproposional adalah tidak dapat diinvers.

Contoh Soal :

A=

karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.

[ sunting] Mencari determinan dengan cara Sarrus


page 21 / 33




untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)

[ sunting] Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3[ sunting] Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3

A =

kemudian hitung kofaktor dari matrix A C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16

C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16

C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16

menjadi matrix kofaktor

cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas,sehingga menjadi

adj(A) =

page 22 / 33




dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A

det(A) = 64

[ sunting] Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx

dalam sistem aljabar linear sering ditemukan

Ax = λx ; dimana λ adalah skalar

sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau denganmemasukkan matrix identitas menjadi

(λI - A) x = 0

contoh:

diketahui persamaan linear

x1 + 3x2 = λx1 4x1 + 2x2 = λx2

dapat ditulis dalam bentuk

= λ

yang kemudian dapat diubah

A =dan x =

yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

λ λ Gagal memparse (kesalahan lexing): \begin{bmatrix} {λ}-1& -3\\ -4 & {λ}-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\

page 23 / 33



\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}

sehingga didapat bentuk

λ I - A = Gagal memparse (kesalahan lexing): \begin{bmatrix} {λ}-1 &-3\\ -4 & {λ}-2\\ \end{bmatrix}

namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

det (λ I - A) = 0 ;λ adalah eigenvalue dari A

dan dari contoh diperoleh

det (λ I - A) = Gagal memparse (kesalahan lexing): \begin{bmatrix}{{λ-1}} & -3\\ -4 & {{λ-2}}\\ \end{bmatrix} = 0

atau λ^2 - 3λ - 10 = 0

dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5

dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisadidapat bila λ = -2 maka diperoleh

dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t

x = [ sunting] Vektor dalam Ruang Euklide[ sunting] Euklidian dalam n-Ruang

Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n-grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grupyang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.

Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah gruppasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- gruptopel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada

page 24 / 33




set ini.

Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3)mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikansebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisadiinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vector.Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an) bisa dilihatsebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antarakeduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel(-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.

u1 = v1 u2 = v2 un = vn

Penjumlahan u + v didefinisikan oleh

u + v = (u1 + v2, u2 + v2, ...., un + vn)

Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (k u1, k u2,...,k un)

Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasistandar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan kevektor

page 25 / 33


0 = (0, 0,...., 0)

Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau inversaditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh

-u = (-u1, -u2, ...., -un)

Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh

v – u = v + (-u)

atau, dalam istilah komponen,

v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)

Sifat-sifat dari vektor dalam Rn

jika , , dan adalah vektor dalam Rn sedangkan k dan m adalah skalar, maka :

(a) u + v = v + u

(b) u + 0 = 0 + u = u

(c) u + (v + w) = (u + v) + w

page 26 / 33


(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0

(e) k (m u) = (k m) u

(f) k (u + v) = k u + k v

(g) (k + m) u = k u + m u

(h) 1u = u

Perkalian dot product didefinisikan sebagai

[ sunting] Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang DimensiTinggi

- Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat npengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experimentbisa disebut sebagai vector y = (y1,y2,...,yn) dalam Rn dalam setiap y1,y2,....,ynadalah nilai yang terukur.

- Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalamwaktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x = (x1,x2,...,x15) dalam setiap x1 adalah jumlah truk dalam depot pertama dan x2adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.

- Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan inputdan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagaivector dalam R4 dan tegangan output bisa ditulis sebagaiR3. Lalu, chip bisadilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input v = (v1,v2,v3,v4) dalam R4 ke vector keluaran w = (w1,w2,w3) dalamR3.

- Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputerdibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik

page 27 / 33



yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplitbisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x,y,h,s,b) dalam x dan y adalahkordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.

- Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagiekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) danuntuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalamekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisadirepresentasikan dngan 10-topel s = (s1,s2,s3,...,s10) dalam setiap angka s1,s2,...,s10 adalah output dari sektor individual.

- Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam gariskordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalahx1,x2,...,x6dan kecepatan mereka adalah v1,v2,...,v6. Informasi ini bisa direpresentasikansebagai vector

V = (x1,x2,x3,x4,x5,x6,v1,v2,v3,v4,v5,v6,t) Dalam R13. Vektor ini disebut kondisi darisistem partikel pada waktu t.

- Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dariJagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yangbergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benangada dalam dunia 11-dimensi

[ sunting] Menemukan norm dan jarak

Menghitung Panjang vektor u dalam ruang Rn

jika u = (u1,u2,u3,...,un) Maka Panjang vektor u

dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v

page 28 / 33

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hue&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Saturasi&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kecerahan&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Einstein



[ sunting] Bentuk Newton

interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapiada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titikdari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).

Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0

bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0

dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kitatuliskan menjadi

p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newtonform dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :

p(x0)=b0

p(x1)=b1h1+b0

p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0

p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0

sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:

page 29 / 33



[ sunting] Operator Refleksi

Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaransimetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yangberhubungan dengan x dan w adalah:

x1 = -x = -x + 0y

x2 = y = 0x + y

atau dalam bentuk matrik :

Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor padagambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakanoperator refleksi. Operator ini bersifat linier.

[ sunting] Operator Proyeksi

Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegaklurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungandengan x dan w adalah:

x1 = x = x + 0y

x2 = 0 = 0x + y

atau dalam bentuk matrik :

page 30 / 33




Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx Tadalah:

Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan operator yangmemetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidangmelalui asalnya.

[ sunting] Operator Rotasi

Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ɵ disebutoperator rotasi pada R2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihatoperator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positifyang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵadalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumustrigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2= r sin (ɵ +ɸ)

Menggunakan identitas trigonometri didapat:

w1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ

w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ

kemudian disubtitusi sehingga:

w1 = x cos Θ - y sin Θ

w2 = x sin Θ + y cos Θ

page 31 / 33



Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator liniersehingga bentuk matrik dari persamaan diatas adalah:

[ sunting] Interpolasi Polinomial

Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik(x0,y0)...., (xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = amxm + am-1xm

− 1 + ... + a1x + a0 dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurvaini harus memenuhi

karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini = Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n= m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x): = (1) Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakanelemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde. Contoh soal:

Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan SistemVandermonde.

Jawab:

Bentuk Sistem Vandermonde(1):

= Untuk data di atas, kita mempunyai =

Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination

Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3 Baris ke-3 dikurangi baris ke-2

page 32 / 33



Baris ke-4 dikurangi baris ke-2 Baris ke-4 dibagi dengan 2 Baris ke-4 dikurangi baris ke-3

Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas

Jadi, interpolasinya adalah

searcing wikipedia

page 33 / 33

Documents

Matematika Aljabar Linear