Matriks & Ruang VektorAgus Yodi Gunawan

1 Sistem Persamaan Linear (SPL)

1. Bentuk SPL. SPL dengan m persamaan dan n peubah berbentuk:

n∑j=1

aijxj = bi, i = 1, 2, · · · ,m, (1.1)

dimana aij disebut koefisien, xj disebut peubah dan bi disebut konstanta ruas kanan.

Jika bi = 0 untuk semua i, maka (1.1) dinamakan SPL homogen. Jika ada i sehingga

bi ̸= 0, maka (1.1) dinamakan SPL tak homogen. Bentuk (1.1) dapat dituliskan

dalam bentuk perkalian matriks sebagai

Ax = b ⇔

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

x1

...

xn

=

b1...

bm

. (1.2)

Matriks A disebutmatriks koefisien. Matriks yang diperbesar ataumatriks perluasan

dari SPL (1.1) didefinisikan oleh

[A|b] atau

a11 · · · a1n b1...

. . ....

...

am1 · · · amn bm

. (1.3)

2. OBE. Teknik dasar untuk menyelesaikan suatu SPL adalah mengganti SPL yang

diberikan dengan suatu SPL baru yang memiliki himpunan solusi sama tetapi lebih

mudah diselesaikan. SPL baru ini secara umum diperoleh dengan menerapkan tiga

jenis operasi, yang dinamakan Operasi Baris Elementer (OBE), yaitu

(a) Mengalikan sebuah baris (persamaan) dengan suatu konstanta tak nol,

(b) Menukar urutan dua baris (persamaan),

(c) Menjumlahkan kelipatan sebuah baris terhadap satu baris lainnya.

3. Bentuk eselon baris. Bentuk SPL (matriks perluasan) baru yang lebih sederhana

untuk diselesaikan adalah bentuk eselon baris tereduksi yang memenuhi sifat:

(a) Jika suatu baris memuat elemen tak nol, maka elemen tak nol pertama pada

baris tersebut adalah 1. Bilangan 1 ini selanjutnya disebut utama-1.

1

(b) Jika terdapat baris-baris yang memuat semua elemennya nol, maka baris-baris

tersebut dikelompokkan pada bagian bawah matriks.

(c) Untuk setiap dua baris berurutan yang masing-masing memuat elemen tak

nol, maka utama-1 baris yang di bawah terletak di sebelah kanan dari utama-1

baris di atasnya.

(d) Setiap kolom yang memuat utama-1, maka elemen-elemen lainnya adalah 0.

Bentuk eselon baris tereduksi suatu matriks bersifat tunggal. Jika hanya tiga sifat

pertama yang dipenuhi, maka matriks disebut bentuk eselon baris.

4. Eliminasi Gauss. Teknik eliminasi yang mengubah SPL (matriks perluasan) se-

mula menjadi bentuk eselon baris dinamakan teknik eliminasi Gauss, sedangkan

teknik eliminasi yang menghasilkan bentuk eselon baris tereduksi dinamakan teknik

eliminasi Gauss-Jordan. Untuk menyelesaikan suatu SPL, teknik eliminasi ini bi-

asa digabungkan dengan teknik substitusi mundur. Untuk suatu SPL, maka SPL

tersebut kemungkinannya memiliki

(a) solusi tunggal, atau

(b) solusi tak berhingga banyak, atau

(c) tidak ada solusi.

Jika SPL memiliki solusi, maka SPL dikatakan konsisten. Jika SPL tidak memiliki

solusi, maka SPL dikatakan tak konsisten.

5. Matriks elementer. Suatu matriks berukuran n×n disebutmatriks elementer jika

matriks tersebut diperoleh dari matriks identitas berukuran n×n dengan melakukan

satu kali OBE. Matriks elementer memiliki balikan (invers), dan balikannya juga

merupakan matriks elementer. Representasi matriks elementer berukuran 2 × 2

untuk setiap OBE adalah

(a) Mengalikan baris pertama dengan konstanta tak nol c:(c 0

0 1

)(b) Menukar urutan dua baris: (

0 1

1 0

)(c) Menjumlahkan c kali baris pertama terhadap baris kedua:(

1 0

c 1

)

2

6. Ekivalen baris. Matriks A dikatakan ekivalen baris dengan matriks B, jika ma-

triks A dapat diperoleh dari matriks B dengan melakukan sejumlah hingga OBE.

Misalkan Ei menyatakan matriks elementer yang menyajikan OBE pada tahap ke-i.

Matriks A ekivalen baris dengan matriks B, jika A = EnEn−1 · · ·E1B.

7. Balikan. Matriks persegi A berukuran n×n dikatakan dapat dibalik (tak singular)

jika ada matriks persegi B berukuran n × n sehingga AB = BA = In dengan In

matriks identitas berukuran n× n. Matriks B dinamakan matriks balikan (invers)

dari A, yang selanjutnya matriks balikan dari A dinotasikan oleh A−1.

(a) Jika matriks A memiliki balikan, maka A ekivalen baris dengan matriks iden-

titas, yaitu In = EnEn−1 · · ·E1A.

(b) Karena ketunggalan matriks balikan maka A−1 = EnEn−1 · · ·E1.

8. Determinan suatu matriks. Misalkan A = (aij) suatu matrik persegi berukuran

n× n. Misalkan pula Mij menyatakan matriks persegi berukuran (n− 1)× (n− 1)

yang diperoleh dari matriks A dengan menghilangkan barik ke-i dan kolom ke-j.

Determinan dari matriks Mij disebut minor dari aij, dan kofaktor Aij didefinisikan

sebagai

Aij = (−1)i+jdet(Mij).

Determinan dari matriks A didefinisikan oleh

det(A) =

a11, jika n = 1;n∑

j=1

aijAij, ataun∑

i=1

aijAij, jika n ≥ 2.(1.4)

Teknik mencari determinan suatu matriks dengan menggunakan (1.4) disebut teknik

perluasan kofaktor.

9. Determinan matriks elementer. Misalkan E sebuah matriks elementer dan I

matriks identitas.

(a) Jika E adalah matriks yang diperoleh dari I hasil dari perkalian suatu baris

oleh konstanta tak nol c, maka det(E)=c.

(b) Jika E adalah matriks yang diperoleh dari I hasil penukaran dua baris, maka

det(E)=−1.

(c) Jika E adalah matriks yang diperoleh dari I hasil penjumlahan dari kelipatan

suatu baris dengan baris lainnya, maka det(E)=1.

10. Sifat determinan. Jika A dan B masing-masing matriks persegi berukuran sama,

maka

3

(a) det(At)=det(A)

(b) det(AB)=det(A)det(B)

(c) jika matriks A ekivalen baris dengan matriks B, yaitu A = EnEn−1 · · ·E1B,

maka det(A)=(n∏

i=1

det(Ei))det(B).

(d) Jika S matriks segitiga, maka determinan S adalah hasilkali elemen-elemen

diagonalnya.

(e) Jika matrik A memiliki baris atau kolom yang semua elemennya nol, maka

det(A)=0.

(f) Jika matrik A memiliki baris (kolom) yang merupakan kelipatan suatu baris

(kolom) lainnya, maka det(A)=0.

(g) Jika Aij adalah kofaktor dari aij, maka

n∑j=1

aijAkj =

{det(A), i = k;

0, i ̸= k.

11. Matriks Adjoint. Misalkan A suatu matriks persegi berukuran n × n. Matriks

Adjoint dari A didefinisikan oleh

adj A =

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2

......

. . ....

A1n A2n · · · Ann

.

(a) Untuk membentuk matriks adjoint, maka setiap elemen matriks A digantikan

oleh elemen kofaktornya, kemudian matriks yang terbentuk ini ditransposkan.

(b) Jika A tak singular, maka A−1 =1

det(A)adj A.

12. Aturan Cramer. Misalkan A suatu matriks tak singular berukuran n × n dan b

matriks berukuran n× 1. Misalkan pula Aj adalah matriks yang diperoleh dengan

menggantikan kolom ke-j dari A oleh b. Jika x = (xj), j = 1, 2, · · · , n, adalah solusi

tunggal dari sitem persamaan Ax = b, maka

xj =det(Aj)

det(A).

13. Jika A matriks berukuran n× n, maka pernyataan berikut ekivalen:

(a) A memiliki balikan.

(b) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial (x = 0).

4

(c) Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah In. .

(d) A dapat dituliskan sebagai perkalian dari matriks-matriks elementer.

(e) Sistem persamaan Ax = b memiliki solusi tunggal.

(f) det(A)̸= 0.

Latihan 1

1. Gunakan operasi baris elementer untuk mencari solusi dari SPL berikut:

(a)

x1 + 3x2 + x3 + x4 = 3

2x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 8

3x1 + x2 + 2x3 − x4 = −1

(b)

x1 − 3x2 + x3 = 1

2x1 + x2 − x3 = 2

x1 + 4x2 − 2x3 = 1

5x1 − 8x2 + 2x3 = 5

(c) Tentukan α, β, dan γ dimana 0 ≤ α, β ≤ 2π, 0 ≤ γ < π,

2 sinα − cos β + 3 tan γ = 3

4 sinα + 2 cos β − 2 tan γ = 2

6 sinα − 3 cos β + tan γ = 9

(d)1

x1

+2

x2

− 4

x3

= 1

2

x1

+3

x2

+8

x3

= 0

− 1

x1

+9

x2

+10

x3

= 5

2. Tentukan, jika ada, syarat untuk bilangan real a, b, dan c agar SPL berikut:

x1 + x2 + 2x3 = a

3x1 + 4x2 + 7x3 = b

x1 + 2x2 + 3x3 = c

(a) memiliki solusi tunggal.

(b) memiliki solusi banyak.

(c) tidak memiliki solusi.

5

3. Diberikan SPL berikut:

x1 − 2x2 + 3x3 = 4

2x1 − 3x2 + ax3 = 5

3x1 − 4x2 + 5x3 = b

Tentukan syarat untuk bilangan real a dan b agar SPL:

(a) memiliki solusi tunggal.

(b) memiliki solusi banyak dengan 1 parameter (jika mungkin).

(c) memiliki solusi banyak dengan 2 parameter (jika mungkin).

(d) tidak memiliki solusi.

4. Reaksi oksidasi Benzena diberikan oleh persamaan x1C6H6+x2O2 −→ x3C+x4H2O.

Gunakan operasi baris elementer untuk menentukan x1, x2, x3 dan x4 agar reaksi

setimbang.

5. Asam nitrat diproduksi secara komersial melalui tiga rangkaian reaksi kimia. Tahap

pertama, Nitrogen (N2) digabungkan dengan Hidrogen (H2) untuk membentuk am-

moniak (NH3). Tahap kedua, ammoniak digabungkan dengan Oksigen (O2) untuk

membentuk Nitrogen dioksida (NO2) dan air. Tahap ketiga, NO2 bereaksi dengan

sejumlah air untuk membentuk asam nitrat (HNO3) dan Nitrogen Oksida (NO).

Berapa mol Nitrogen, hidrogen, dan oksigen yang diperlukan untuk menghasilkan 8

mol asam nitrat?

6. Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks-matriks berikut:(2 1 2 1

2 2 1 0

),

1 −2

2 1

−5 8

,

−1 1 −1 3

3 1 −1 −1

2 −1 −2 −1

.

7. Gunakan operasi baris elementer untuk menghitung matriks balikan dari matriks-

matriks berikut: 2 0 5

0 3 0

1 0 3

,

1 0 1

−1 1 1

−1 −2 −3

,

1 0 1

3 3 4

2 2 3

.

8. Diberikan matriks

A =

2 1 1

6 4 5

4 1 3

.

6

(a) Tentukan matriks-matriks elementer E1, E2, dan E3 sehingga E3E2E1A = U

dimana U suatu matriks segitiga atas.

(b) Hitung matriks balikan E−11 , E−1

2 , dan E−13 . Bentuk L = E−1

1 E−12 E−1

3 . Apakah

bentuk dari matriks L? Kemudian perlihatkan bahwa A = LU .

9. Periksa apakah matriks berikut memiliki balikan:

1 a b

−a 1 c

−b −c 1

.

10. Diberikan matriks

A =

0 1 2 3

1 1 1 1

−2 −2 3 3

1 2 −2 −3

.

(a) Gunakan metode eliminasi untuk menghitung Det(A).

(b) Gunakan hasil di (a) untuk menghitung

Det

0 1 2 3

−2 −2 3 3

1 2 −2 −3

1 1 1 1

+Det

0 1 2 3

1 1 1 1

−1 −1 4 4

2 3 −1 −2

.

11. Perlihatkan bahwa

(a) Det

x y 1

a1 b1 1

a2 b2 1

= 0 menyatakan persamaan garis yang melalui titik-titik

berbeda (a1, b1) dan (a2, b2).

(b) Det

a1 b1 1

a2 b2 1

a3 b3 1

= 0 menyatakan tiga titik berbeda (a1, b1), a2, b2), dan

(a3, b3) yang terletak pada garis yang sama.

12. Misalkan A suatu matriks berukuran 3× 3 dimana vektor-vektor kolom a1, a2 dan

a3 dari A memenuhi a1 = a2 − 4a3.

(a) Apakah SPL Ax = 0 memiliki solusi tak trivial? Jelaskan!

(b) Apakah A memiliki matriks balikan? Jelaskan!

7

2 Ruang Vektor Rn

1. Definisi. Misalkan n sebuah bilangan asli.

(a) Ruang Rn adalah himpunan semua pasangan terurut (a1, · · · , an) dengan ai

bilangan real, yaitu Rn = {(a1, · · · , an)|ai ∈ R}.

(b) Dua vektor x = (x1, · · · , xn) dan y = (y1, · · · , yn) dikatakan sama jika xi = yi

untuk setiap i.

(c) Jumlah x+y didefinisikan oleh x+y = (x1+y1, · · · , xn+yn) dan jika α skalar

maka perkalian skalar αx didefinisikan oleh αx = (αx1, · · · , αxn).

2. Ruang vektor Rn. Misalkan x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn), z = (z1, · · · , zn),dan 0 = (0, · · · , 0) vektor-vektor di Rn dan α, β skalar. Operasi penjumlahan dan

perkalian skalar memenuhi

(a) x+ y = y + x

(b) x+ (y + z) = (x+ y) + z

(c) x+ 0 = x

(d) x+ (−x) = 0

(e) α(βx) = (αβ)x

(f) α(x+ y) = αx+ αy

(g) (α+ β)x = αx+ βx

(h) 1x = x

Himpunan Rn yang dilengkapi oleh operasi penjumlahan dan perkalian skalar de-

ngan sifat-sifat (a)-(h) membentuk sebuah Ruang vektor.

3. Ruang bagian/Subruang. Himpunan S dikatakan ruang bagian/subruang dari

ruang vektor Rn, jika

(a) S himpunan tak hampa.

(b) jika x,y ∈ S, maka x+ y ∈ S.

(c) jika x ∈ S dan α ∈ R, maka αx ∈ S.

4. Kombinasi linear. Misalkan y,x1, · · · ,xn vektor-vektor di Rn. Vektor y dikatakan

kombinasi linear dari x1, · · · ,xn, jika ada skalar-skalar α1, · · · , αn sehingga

y = α1x1 + · · ·+ αnxn.

8

5. Membangun. Vektor-vektor x1, · · · ,xn dikatakan membangun ruang vektor Rn,

jika dan hanya jika setiap vektor y ∈ Rn dapat dituliskan sebagai kombinasi linear

dari x1, · · · ,xn, dinotasikan sebagai Rn = Span(x1, · · · ,xn).

6. Bebas linear. Vektor-vektor x1, · · · ,xn di ruang vektor Rn dikatakan bebas linear,

jika dan hanya jika α1x1+· · ·+αnxn = 0 hanya dipenuhi α1 = 0, α2 = 0, · · · , αn = 0.

Jika vekto-vektor tidak bebas linear, maka vektor-vektor tersebut dinamakan vektor-

vektor yang bergatung linear.

7. Basis dan dimensi. Vektor-vektor x1, · · · ,xn membentuk basis untuk ruang vek-

tor Rn, jika dan hanya jika

(a) x1, · · · ,xn merupakan vektor-vektor yang bebas linear.

(b) x1, · · · ,xn membangun Rn.

Banyaknya vektor yang membentuk basis suatu ruang vektor dinamakan dimensi

ruang vektor. Contoh, dim (Rn)=n.

Jika ruang vektor V memiliki dimensi n, maka

(a) Himpunan dari n vektor yang membangun V akan membentuk basis untuk V .

(b) Himpunan dari n vektor yang bebas linear V akan membentuk basis untuk V .

(c) Setiap himpunan bebas linear yang beranggotakan m vektor dengan m < n

dapat diperluas menjadi basis.

(d) Setiap himpunan yang membangun V beranggotakan k vektor dengan k > n

dapat direduksi menjadi basis.

Dari (c) dan (d) dapat disimpulkan bahwa basis adalah

• Maksimal banyaknya vektor yang bebas linear, atau

• Minimal banyaknya vektor yang membangun.

8. Kordinat. Misalkan X = {x1, · · · ,xn} basis terurut dan y vektor di Rn. Maka,

y = α1x1 + · · · + αnxn, untuk suatu skalar αi, i = 1, 2, · · · , n. Kordinat dari y

terhadap basis terurut X, dinotasikan (y)X , adalah vektor (y)X = (α1, · · · , αn)t.

9. Perubahan kordinat. Misalkan X = {x1, · · · ,xn} dan Y = {y1, · · · ,yn} masing-

masing merupakan basis untuk ruang vektor Rn, dimana (yk)X = (γ1k, · · · , γnk)t.Misalkan pula z ∈ Rn, dengan (z)X = (α1, · · · , αn)

t dan (z)Y = (β1, · · · , βn)t.

9

Maka, (z)X = U · (z)Y , dengan

U =

γ11 γ12 · · · γ1n

γ21 γ22 · · · γ2n...

.... . .

...

γn1 γn2 · · · γnn

merupakan matriks transisi dari basis Y ke basis X

10. Ruang baris, ruang kolom, ruang nol. Misalkan A matriks berukuran m× n.

Subruang B(A) di Rn yang dibangun oleh vektor-vektor baris dari matriks A disebut

ruang baris. Subruang K(A) di Rm yang dibangun oleh vektor-vektor kolom dari

matriks A disebut ruang kolom. Subruang N(A) yang dibangun oleh vektor-vektor

solusi dari persamaan homogen Ax = 0 disebut ruang nol.

(a) Dua matriks dikatakan saling ekivalen baris jika kedua matriks memiliki ruang

baris yang sama.

(b) Rank dari matriks A (Rank(A)), adalah dimensi dari ruang baris B(A) atau

dimensi dari ruang kolom K(A).

(c) Nolitas dari matriks A (Null(A))adalah dimensi dari ruang nol N(A).

(d) Teorema Rank-Nolitas. Null(A)+Rank(A)= n (banyaknya kolom matriks A).

(e) SPL Ax = b akan konsisten jika dan hanya jika b terletak di ruang kolom A.

Latihan 2

1. Periksa apakah himpunan V berikut dilengkapi dengan operasi jumlah dan perkalian

skalar seperti pada R3 merupakan ruang vektor (jelaskan jawaban Anda):

(a) V = {(a1, a2, a3) ∈ R3|a1 = −a3}.

(b) V = {(a1, a2, a3) ∈ R3|a3 = 1 + a1 − a2}.

(c) V = {(a1, a2, a3) ∈ R3|a1 = a2 = −a3}.

(d) V = {(a1, a2, a3) ∈ R3|a1 = a2 − a3}.

2. Periksa apakah himpunan S berikut dilengkapi dengan operasi jumlah dan perkalian

skalar seperti pada Rn merupakan subruang (jelaskan jawaban Anda):

(a) S = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn|a1 = a22}.

(b) S = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn|a1 < a2}

(c) S = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn|a1 + a2 + · · ·+ an = 1}.

10

(d) S = {(a1, a2, · · · , an) ∈ Rn|a1 + a2 + · · ·+ an = 0}.

3. Diberikan vektor-vektor di R3: x1 = (2, 1, 0),x2 = (1, 0,−1),x3 = (−1, 1, 1), dan

x4 = (0,−1, 1). Misalkan pula S = Span (x1,x2) dan T = Span (x3,x4). Jelaskan

masing-masing apakah yang dimaksud dengan S, T, S∪T, S

∩T dan S + T .

4. Periksa apakah vektor-vektor berikut bebas linear:

(a) x1 = (1, 4,−1),x2 = (2, 3, 6),x3 = (−1, 2,−1) di R3.

(b) x1 = (1, 2, 3),x2 = (−1, 1, 2),x3 = (−1, 7, 12) di R3.

(c) x1 = (1, 0, 1, 2),x2 = (0, 1, 1, 2),x3 = (1, 1, 1, 3) di R4.

5. Tentukan nilai α agar x1 = (α,−1,−1),x2 = (−1, α,−1),x3 = (−1,−1, α) bebas

linear di R3.

6. Misalkan S0 = {x1,x2,x3} himpunan bebas linear di ruang vektor V . Periksa

apakah himpunan vektor-vektor berikut juga bebas linear di V :

(a) S1 = {x1 + x2,x2 + x3,x3 + x1}.

(b) S2 = {x1 − x2,x2 − x3,x3 − x1}.

(c) S3 = {x1,x1 + x2,x1 + x2 + x3}.

(d) S4 = {x1,x2, α1x1 + α2x2 + α3x3}.

7. Pilih suatu subhimpunan maksimal S dari himpunan U di ruang vektor R4 sehingga

subhimpunan S bebas linear:

(a) U = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (−1, 0, 2, 0)}.

(b) U = {(0, 1, 2, 3), (3, 0, 1, 2), (2, 3, 0, 1), (1, 2, 3, 0)}.

(c) U = {(1,−1, 1,−1), (−1, 1,−1,−1), (1,−1, 1,−2), (0, 0, 0, 1)}.

8. Diberikan vektor-vektor x1 = (1, 1, 1),x2 = (0, 1, 1),x3 = (0, 0, 1) di R3. Perlihatkan

bahwa S = {x1,x2,x3} basis di R3.

9. Tentukan dimensi dari subruang di R3 berikut:

(a) S1 = Span {(1,−1, 2), (0,−1, 1), (3,−2, 5)}.

(b) S2 = Span {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}.

10. Tentukan masing-masing basis dari ruang baris, ruang kolom, dan ruang nol matriks:

A =

1 1 2 0 1

2 2 5 0 3

0 0 0 1 3

8 11 19 0 11

, B =

1 0 1 0 1

0 1 0 1 1

1 1 1 1 0

0 0 1 1 0

.

11

3 Ruang Euclid Rn

1. Hasil Kali Titik (HKT). Jika x = (x1, · · · , xn) dan y = (y1, · · · , yn) vektor-vektordi Rn, maka Hasil Kali Titik x · y didefinisikan oleh

x · y =n∑

i=1

xiyi = xty = ytx.

Hasil Kali Titik di Rn biasa disebut pula sebagaiHasil Kali Dalam Euclid. Ruang

vektor Rn yang dilengkapi dengan HKT biasa disebut Ruang Euclid Rn. Jika x,y,

z vektor-vektor Rn dan α skalar, maka

(a) x · y = y · z

(b) (x+ y) · z = x · z+ y · z

(c) (αx) · y = α(x · y)

(d) x · x ≥ 0, dan x · x = 0 ⇔ x = 0

(e) Panjang vektor x : ||x|| =√x · x

(f) Jarak vektor x dan y: d(x,y) = ||x− y|| =√(x− y) · (x− y)

(g) Ketaksamaan Cauchy-Schwarz: |x · y| ≤ ||x|| ||y||

(h) Ketaksamaan segitiga: ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||

(i) Hubungan HKT dan panjang vektor: 4(x · y) = ||x+ y||2 − ||x− y||2

(j) Vektor x dan y dikatakan ortogonal jika x · y = 0

(k) Jika θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor-vektor x dan y, maka

cos θ =x · y

||x||||y||.

2. Proyeksi ortogonal. Diberikan vektor-vektor x dan y. Misalkan z adalah vektor

hasil proyeksi ortogonal x pada y. Vektor z diberikan oleh z =x · yy · y

y.

3. Subruang ortogonal. Dua subruang X dan Y di Rn dikatakan ortogonal jika

x · y = 0 untuk setiap x ∈ X dan setiap y ∈ Y . Jika X dan Y subruang yang

ortogonal, kita notasikan dengan X⊥Y .

4. Komplemen ortogonal suatu subruang. Misalkan Y subruang di Rn. Komple-

men ortogonal dari subruang Y , dinotasikan sebagai Y ⊥, adalah himpunan semua

vektor di Rn yang ortogonal dengan semua vektor di Y , yaitu

Y ⊥ = {x ∈ Rn| x · y = 0,∀ y ∈ Y }.

Lebih jauh lagi, dim (Y )+dim (Y ⊥)=n.

12

5. Teorema dasar subruang. Jika A adalah sebuah matriks berukuran m×n, maka

N(A) = B(A)⊥ = K(At)⊥ dan N(At) = B(At)⊥ = K(A)⊥.

6. Solusi kuadrat terkecil. Jika A matriks berukuran m × n dengan Rank(A)=n,

maka persamaan normal

AtAx = Atb

memiliki solusi tunggal x̂ = (AtA)−1Atb dimana x̂merupakan solusi kuadrat terkecil

dari SPL Ax = b.

7. Himpunan ortogonal. Diberikan vektor-vektor tak nol x1, · · · ,xn di Ruang Eu-

clid Rn. Jika xi ·xj = 0 untuk setiap i ̸= j, maka {x1, · · · ,xn} dikatakan himpunan

ortogonal.

(a) Jika {x1, · · · ,xn} sebuah himpunan ortogonal, maka {x1, · · · ,xn} membentuk

himpunan bebas linear.

(b) Jika {x1, · · · ,xn} sebuah himpunan ortogonal dengan ||xi|| = 1 untuk setiap

i = 1, 2, · · · , n, maka {x1, · · · ,xn} disebut himpunan ortonormal.

(c) Jika {x1, · · · ,xn} adalah basis di Rn dan membentuk himpunan ortonormal,

maka {x1, · · · ,xn} disebut basis ortonormal di Rn.

8. Proses ortogonalisasi Gram-Schmidt. Misalkan {x1, · · · ,xn} adalah basis di

Rn. Misalkan pula

y1 =1

||x1||x1

dan definisikan y2, · · · ,yn secara rekursif oleh

yk =1

||xk+1 − pk||(xk+1 − pk), k = 2, · · · , n− 1,

dimana pk =k∑

i=1

(xk+1 · yi)yi merupakan proyeksi dari xk+1 pada subruang yang

dibangun oleh y1, · · · ,yn. Himpunan {y1, · · · ,yn} membentuk basis ortonormal di

Rn. Dengan kata lain, setiap basis di Rn dapat dibuat menjadi basis ortonormal di

Rn.

Latihan 3

1. Tentukan semua vektor satuan yang ortogonal terhadap kedua vektor berikut: u1 =

(1, 0, 1) dan u2 = (0, 1, 1).

2. Hitung jarak antara titik (−3, 1) dengan garis 4x+ 3y + 4 = 0.

13

3. Tentukan semua nilai α agar vektor y1 = (α, α, 1) dan vektor y2 = (α, 5, 6) ortogo-

nal.

4. Misalkan S adalah bidang di R3 dengan persamaan x − 2y − 3z = 0. Tentukan

persamaan parameter untuk S⊥.

5. Misalkan S adalah himpunan titik yang merupakan perpotongan bidang x+y+z = 0

dan x− y + z = 0 di R3. Cari persamaan untuk S⊥.

6. Cari basis untuk S⊥ jika S adalah subruang yang dibangun oleh vektor-vektor:

(a) (1,−1, 3), (5,−4,−4), (7,−6, 2).

(b) (1, 4, 5, 2), (2, 1, 3, 0), (−1, 3, 2, 2).

7. Tentukan solusi kuadrat terkecil dari SPL Ax = b, dan cari proyeksi ortogonal dari

b pada ruang kolom matriks A:

(a) A =

1 1

−1 1

−1 2

, b =

7

0

−7

.

(b) A =

2 −2

1 1

3 1

, b =

2

−1

1

.

8. Tentukan proyeksi ortogonal u pada subruang di R3 yang dibangun oleh vektor-

vektor x1 dan x2:

(a) u = (2, 1, 3),x1 = (1, 1, 0),x2 = (1, 2, 1).

(b) u = (1,−6, 1),x1 = (−1, 2, 1),x2 = (2, 2, 4).

9. Tentukan proyeksi ortogonal u = (5, 6, 7, 2) pada ruang solusi SPL Homogen:

x1 + x2 + x3 = 0

2x2 + x3 + x4 = 0

10. Diberikan himpunan vektorX = {(1,−1, 2,−1), (−2, 2, 3, 2), (1, 2, 0,−1), (1, 0, 0, 1)}.

(a) Perlihatkan bahwa X merupakan basis ortogonal di ruang Euclid R4.

(b) Hitung kordinat vektor y = (1, 1, 1, 1) terhadap basis terurut X.

11. Cari basis ortonormal untuk subruang di ruang Euclid R3 yang dibangun oleh

vektor-vektor x1 = (0, 1, 2),x2 = (−1, 0, 1), dan x1 = (−1, 1, 3).

14

12. Misalkan S subruang di ruang Euclid R3 dan S = Span{(4/5, 0,−3/5), (0, 1, 0)}.Nyatakan y = (1, 2, 3) dalam bentuk y = y1 + y2 dengan y1 ∈ S dan y2 ∈ S⊥.

13. Misalkan Y = {y1,y2} basis untuk subruang S di Rn. Definisikan sebuah matriks

A sehingga A = y1yt2 + y2y

t1. Perlihatkan

(a) A matriks simetri.

(b) N(A) = S⊥.

(c) Rank(A)=2.

14. Misalkan matriks A berukuran m× n. Perlihatkan

(a) Jika y ∈ N(AtA), maka Ay ∈ K(A)∩

N(At).

(b) N(AtA) = N(A).

(c) Rank (A)=Rank (AtA).

15

4 Transformasi (pemetaan) linear

1. Definisi. Transformasi L dari suatu ruang vektor V ke ruang vektorW , dinotasikan

L : V → W , dikatakan suatu transformasi linear, jika

L(α1v1 + α2v2) = α1L(v1) + α2L(v2),

untuk setiap vektor v1,v2 ∈ V dan skalar α1 dan α2. Untuk hal khusus dimana

V = W , L : V → V biasa disebut operator linear pada V .

2. Sifat. Jika L : V → W suatu transformasi linear, maka

(a) L(0V ) = 0W , dimana 0V dan 0W masing-masing menyatakan unsur identitas

di ruang V dan W .

(b) L(−v) = −L(v) untuk setiap v ∈ V .

3. Contoh transformasi linear. Misalkan V dan W ruang vektor. Berikut adalah

contoh transformasi linear (buktikan! ):

(a) L : V → W didefinisikan oleh L(v) = 0 untuk setiap v ∈ V . Transformasi ini

disebut tranformasi nol.

(b) I : V → V didefinisikan oleh I(v) = v untuk setiap v ∈ V . Transformasi ini

disebut operator identitas.

(c) T : V → V didefinisikan oleh T (v) = αv untuk suatu skalar α dan untuk

setiap v ∈ V . Jika α > 1, T disebut operator dilatasi; jika 0 < α < 1, T

disebut operator kontraksi.

(d) Misalkan U subruang di Rm. P : Rm → U didefinisikan oleh

P (v) = (v · u1)u1 + · · · (v · ur)ur

dengan S = {u1, · · · ,ur} basis ortonormal di U dan (v·ui) notasi hasilkali titik

di Rm. Transformasi ini disebut proyeksi ortogonal dari Rm pada subruang U .

(e) Misalkan X = {x1, · · · ,xn} basis untuk ruang vektor V yang berdimensi

n. Misalkan pula (v)X = (α1, · · · , αn) menyatakan vektor kordinat dari v

terhadap basis terurut X. Transformasi F : V → Rn didefinisikan oleh

F (v) = (v)X disebut transformasi ruang vektor V pada ruang Rn. Melalui

transformasi ini, setiap ruang vektor V berdimensi hingga n dapat dipandang

sebagai ruang Rn.

4. Transformasi linear ditentukan oleh peta vektor-vektor basis. Misalkan

X = {v1, · · · ,vn} basis untuk ruang vektor V dan L : V → W suatu transformasi

16

linear. Jika nilai L(vi) diketahui untuk i = 1, · · · , n, maka peta setiap vektor y ∈ V

dapat ditentukan; jika y = α1v1+ · · ·+αnvn, maka L(y) = α1L(v1)+ · · ·+αnL(vn).

5. Matriks penyajian. Jika L : Rn → Rm suatu transformasi linear, maka ada

matriks A berukuran m× n sehingga L(x) = Ax untuk setiap x ∈ Rn.

Lebih jauh lagi, vektor kolom ke-j dari matriks A, dinotasikan aj, adalah aj = L(ej)

dengan ej basis baku di Rn. Jadi A = [L(e1)|L(e2)| · · · |L(en)]. Matriks A seperti ini

biasa disebut sebagai matriks penyajian L terhadap basis baku, atau secara singkat

disebut matriks baku.

Teorema matriks penyajian terhadap sebarang basis. Misalkan L : Rn → Rm

suatu transformasi linear, himpunan X = {x1, · · · ,xn} merupakan basis terurut di

Rn dan Y = {y1, · · · ,ym} merupakan basis terurut di Rm. Misalkan pula A matriks

berukuran m×n adalah matriks penyajian L terhadap basis X dan basis Y . Maka,

vektor kolom matriks A, dinotasikan aj, j = 1, · · · , n, diberikan oleh

aj = B−1L(xj)

dimana vektor kolom matriks B adalah yi, i = 1 · · · ,m. Jadi, B = [y1|y2| · · · |ym].

Bukti: untuk j = 1, · · · , n,

L(xj) = a1jy1 + a2jy2 + · · ·+ amjym = Baj,

dengan aj = (a1j, a2j, · · · , amj). Matriks B bersifat tak singular karena vektor-

vektor kolomnya adalah vektor basis di Rm. Akibatnya, aj = B−1L(xj).

Akibat. Bentuk eselon baris tereduksi [B|L(x1), · · · , L(xn)] adalah [I|A].

Bukti:

B−1[B|L(x1), · · · , L(xn)] = B−1[I|B−1L(x1), · · · , B−1L(xn)]

= [I|a1, · · · , an]

= [I|A]

Jadi untuk menentukan matriks penyajian A terhadap basis X dan Y dapat di-

lakukan dengan cara di atas.

6. Inti dan peta. Misalkan L : V → W suatu transformasi linear. Inti/ kernel dari

L, dinotasikan inti(L) atau ker(L), didefinisikan oleh

inti(L) = ker(L) = {v ∈ V |L(v) = 0W}.

Peta dari L, dinotasikan peta(L) atau R(L), didefinisikan oleh

peta(L) = R(L) = {w ∈ W |w = L(v) untuk suatu v ∈ V }.

Dapat diperlihatkan bahwa

17

(a) inti(L) adalah subruang di V . Dimensi dari inti(L) dinamakan nolitas dari L

(b) peta(L) adalah subruang di W . Dimensi dari peta(L) dinamakan rank dari L.

Jika L : Rn → Rm suatu transformasi linear dan A matriks penyajiannya berukuran

m× n, maka

(a) rank(L) = rank(A) dan nolitas(L) = nolitas(A).

(b) rank(L) + nolitas(L) = n.

7. Transformasi satu-satu dan pada. Transformasi linear L : V → W dikatakan

satu-satu, jika L(v1) = L(v2) maka L(v1) = L(v2).

Transformasi linear L : V → W dikatakan pada, jika peta(L) = W .

8. Kaitan antara transformasi linear dan matriks penyajian. Misalkan dike-

tahui L : Rn → Rm suatu transformasi linear serta himpunan X dan Y masing-

masing secara berurutan basis terurut di Rn dan Rm. Misalkan pula A matriks

berukuran m × n adalah matriks penyajian L terhadap basis X dan Y . Jika (v)X

menyatakan kordinat vektor vX terhadap basis X dan (w)Y menyatakan kordinat

vektor w terhadap basis W , maka

(a) v ∈ inti(L) jika dan hanya jika (v)X ∈ N(A).

(b) w ∈ peta(L) jika dan hanya jika (w)Y berada di ruang kolom matriks A.

Latihan 4

1. Perlihatkan bahwa yang berikut adalah operator linear di R2. Kemudian berikan

interpretasi geometrinya:

(a) L((x, y)) = (−x, y).

(b) L((x, y)) = −(x, y).

(c) L((x, y)) = (y, x).

(d) L((x, y)) = (x/2, y/2).

(e) L((x, y)) = (0, y).

2. Misalkan a adalah vektor tetap di R2. Suatu transformasi berbentuk L(x) = x+ a

dinamakan translasi. Perlihatkan bahwa translasi bukan suatu transformasi linear.

3. Diberikan transformasi linear L : R2 → R2 dengan L((1, 2)) = (−2, 3) dan L((1,−1)) =

(5, 2). Tentukan nilai L((7, 5)).

18

4. Perhatikan X = {(1, 2, 1), (2, 9, 0), (3, 3, 4)} basis untuk R3 dan misalkan L : R3 →R2 transformasi linear sedemikian sehingga L((1, 2, 1))) = (1, 0), L((2, 9, 0)) = (−1, 1)

dan L((3, 3, 4)) = (0, 1). Hitung L((x, y, z)) untuk setiap (x, y, z) ∈ R3.

5. Misalkan X = {x1, · · · ,xn} adalah basis terurut di Rn. Misalkan pula L1 dan L2

masing-masing operator linear di Rn. Perlihatkan, jika L1(xi) = L2(xi) untuk setiap

i = 1, · · · , n, maka L1(v) = L2(v) untuk setiap v ∈ Rn.

6. Misalkan L1 : U → V dan L2 : V → W masing-masing transformasi linear. Mis-

alkan pula L = L2◦L1 adalah transformasi yang didefinisikan oleh L(u) = L2(L1(u))

untuk setiap u ∈ U . Perlihatkan bahaw L : U → W suatu transformasi linear.

7. Tentukan domain dan kodomain L = L2 ◦ L1 serta rumus L(x, y) jika

(a) L1(x, y) = (2x, 3y), L2(x, y) = (x− y, x+ y).

(b) L1(x, y) = (2x,−3y, x+ y), L2(x, y, z) = (x− y, y + z).

(c) L1(x, y) = (x− 3y, 0), L2(x, y) = (4x− 5y, 3x− 6y).

8. Misalkan L1 : V → V suatu operator dilatasi yang didefinisikan L1(v) = 4v. Cari

operator L2 : V → V sehingga L1 ◦ L2 = I = L2 ◦ L1.

9. Misalkan P : R3 → R3 operator proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xy. Perli-

hatkan P ◦ P = P .

10. Tentukan inti dan peta dari setiap operator linear di R3 berikut :

(a) L((x, y, z)) = (z, y, x).

(b) L((x, y, z)) = (x, y, 0).

(c) L((x, y, z)) = (x, x, x).

11. Perlihatkan bahwa transformasi linear L : V → W adalah transformasi satu-satu

jika dan hanya jika inti(T ) = 0V .

12. Selidiki apakah operator linear T : Rn → Rn satu-satu. Jika operator satu-satu,

tentukan transformasi balikan/inversnya:

(a) T (x1,x2, · · · ,xn) = (0,x1, · · · ,xn−1).

(b) T (x1,x2, · · · ,xn) = (x2,x3, · · · ,xn,x1).

13. Periksa apakah L((x, y, z)) = (x, x + y, x + y + z) merupakan operator linear pada

di R3.

19

14. Misalkan A matriks berukuran 2× 2 dan LA operator linear yang didefinisikan oleh

LA(x) = Ax. Perlihatkan

(a) LA adalah pemetaan dari R2 ke ruang kolom matriks A.

(b) Jika A matriks tak singular, maka LA adalah pemetaan pada dari R2 ke R2.

15. Tentukan matriks baku untuk transformasi linear berikut:

(a) operator linear di R2 yang merotasikan setiap titik sebesar 45 derajat searah

jarum jam.

(b) operator linear di R2 yang mencerminkan setiap titik terhadap sumbu x dan

dilanjutkan dengan merotasikan titik tersebut sebesar 90 derajat berlawanan

arah jarum jam.

(c) operator linear di R2 yang mencerminkan setiap titik terhadap garis y = x dan

dilanjutkan dengan memproyeksikan titik tersebut pada sumbu x.

16. Misalkan v1 = (1, 1, 0),v2 = (1, 0, 1),v3 = (0, 1, 1) dan L : R2 → R3 transformasi

linear yang didefinisikan oleh L((x, y)) = xv1+yv2+(x+y)v3. Tentukan matriks A

yang menyajikan transformasi L terhadap basis baku di R2 dan basis {v1,v2,v3}.

17. Misalkan v1 = (1, 0,−1),v2 = (1, 2, 1),v3 = (−1, 1, 1) dan w1 = (1,−1),w2 =

(2,−1). Untuk setiap transformasi linear L : R3 → R2 berikut, tentukan matrik

penyajian L terhadap basis terurut X = {v1,v2,v3} dan Y = {w1,w2}:

(a) L(x, y, z) = (z, x).

(b) L(x, y, z) = (2y,−x).

(c) L(x, y, z) = (x+ y, x− z).

18. Matriks A adalah matriks penyajian dari transformasi linear L. Tentukan basis

untuk inti dan peta dari L:

A =

(4 1 5 2

1 2 3 0

), A =

2 0 −1

4 0 −2

0 0 0

.

19. Tentukan inti dan peta dari transformasi linear berikut:

(a) proyeksi ortogonal pada bidang xz.

(b) proyeksi ortogonal pada bidang dengan persamaan y = x.

(c) proyeksi ortogonal pada bidang dengan persamaan x+ y − z = 0.

20

20. Matriks A adalah matriks penyajian dari transformasi linear L:

A =

1 3 4

3 4 7

−2 2 0

.

(a) Perlihatkan bahwa inti dari L adalah garis yang melalui titik asal, kemudian

cari persamaan parameter garis tersebut.

(b) Perlihatkan bahwa peta dari L adalah bidang yang melalui titik asal, kemudian

cari persamaan bidang tersebut.

21. (Konstruksi pemetaan linear). Jika V = {v1, · · · ,vr} basis untuk ruang vektor

V dan w1, · · · ,wr vektor-vektor di W (tidak perlu berbeda), maka ada pemetaan

linear L : V → W sehingga L(v1) = w1, · · · , L(vr) = wr.

21

5 Nilai dan vektor Eigen

1. Definisi. Misalkan A matriks berukuran n × n dan I matriks identitas. Skalar λ

dikatakan nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks A jika ada vektor tak nol x

sehingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen yang berpasangan dengan nilai

eigen λ. Pernyataan berikut adalah ekuivalen:

(a) λ adalah nilai eigen dari matriks A.

(b) Sistem persamaan (A− λI)x = 0 memiliki solusi tak trivial.

(c) Ruang nol dari matriks (A− λI) tak trivial, N(A− λI) ̸= {0}.

(d) Matriks (A− λI) singular.

(e) Det(A− λI) = 0.

2. Sukubanyak karakteristik. Misalkan p(λ) = Det (A− λI). Fungsi p(λ) disebut

sukubanyak karakteristik dari matriks A. Nilai eigen λ adalah akar dari sukubanyak

karakteristik p(λ). Untuk mencari nilai dan vektor eigen dari matriks A, maka

langkah-langkah berikut perlu dilakukan

(a) nilai eigen λ dicari dari akar sukubanyak karakteristik p(λ) (paling banyak

terdapat n buah nilai eigen real);

(b) vektor eigen x dicari dengan menyelesaikan SPL (A− λI)x = 0.

3. Diagonalisasi. Jika diberikan suatu matriks persegi A, dapatkah kita ”mengubah”

matriks tersebut menjadi matriks lain yang lebih sederhana, tetapi kedua matriks

tersebut tetap memiliki sifat-sifat yang serupa? Matriks sederhana di sini misal-

nya matriks dengan hampir semua elemennya nol. Salah satu matriks sederhana

ini adalah matriks diagonal. Dalam bahasa formal masalah ini dapat dirumuskan

sebagai ”Diberikan matriks persegi A, apakah ada matriks tak singular P sehingga

P−1AP matriks diagonal”. Proses untuk mencari matriks diagonal tersebut dise-

but diagonalisasi. Jika matriks diagonal tersebut ada, maka A dikatakan dapat

didiagonalkan. Pernyataan berikut ekuivalen:

(a) Matriks persegi A berukuran n× n dapat didiagonalkan

(b) Matriks A memiliki n buah vektor eigen yang bebas linear

Catatan:

(a) Jika v1, · · · ,vn adalah vektor-vektor eigen dari matriks A yang berpasangan

dengan nilai-nilai eigen berbeda λ1, · · · , λn, maka {v1, · · · ,vn} bebas linear.

22

(b) Jika matriks persegi A berukuran n× n memiliki n nilai eigen berbeda, maka

A dapat didiagonalkan.

4. Tahap diagonalisasi. Untuk melakukan diagonalisasi suatu matriks perlu di-

lakukan tahap-tahap berikut:

(a) Cari n buah vektor eigen yang bebas linear, misalnya vektor-vektor eigen terse-

but x1, · · · ,xn.

(b) Bentuk matriks P dengan vektor-vektor kolomnya adalah x1, · · · ,xn.

(c) Matriks P−1AP merupakan matriks diagonal dengan λ1, · · · , λn secara beru-

rutan adalah elemen-elemen diagonal dimana λi adalah nilai eigen yang berpa-

sangan dengan vektor eigen xi.

5. Multiplisitas. Ruang vektor yang dibangun oleh vektor-vektor eigen disebut ruang

eigen. Misalkan λ0 adalah nilai eigen dari matriks persegi A, maka

(a) dimensi ruang eigen yang berpadanan dengan nilai eigen λ0 disebut multiplisi-

tas geometri dari λ0, notasi mg(λ0).

(b) banyaknya faktor (λ−λ0) yang muncul pada sukubanyak karakteristik disebut

multiplisitas aljabar dari λ0, notasi ma(λ0).

Jika A matriks persegi, maka

(a) untuk setiap nilai eigen dari A, mg(λ0) ≤ ma(λ0).

(b) A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika mg(λ0) = ma(λ0).

6. Diagonalisasi ortogonal. Matriks persegi P dikatakan matriks ortogonal jika

P−1 = P t. Untuk matriks persegi A, jika ada matriks ortogonal P sehingga P tAP

merupakan matriks diagonal, maka A dikatakan dapat didiagonalkan secara ortog-

onal. Selanjutnya, matriks P dikatakan mendiagonalkan secara ortogonal matriks

A. Untuk matriks persegi A, pernyataan berikut ekuivalen:

(a) A dapat didiagonalkan secara ortogonal

(b) A mempunyai himpunan ortonormal dengan anggotanya n buah vektor-vektor

eigen

(c) A adalah matriks simetri (At = A).

7. Kekhasan matrisk simetri. Jika A matriks simetri, maka

(a) Nilai eigen dari A semuanya bilangan real.

(b) Vektor-vektor eigen dari ruang eigen berbeda saling ortogonal.

23

8. Tahap diagonalisasi ortogonal. Untuk melakukan diagonalisasi ortogonal suatu

matriks perlu dilakukan tahap-tahap berikut:

(a) Cari suatu basis untuk setiap ruang eigen dari A.

(b) Lakukan Proses Gram-Schmidt pada basis ini untuk memperoleh basis ortonor-

mal dari setiap ruang eigen.

(c) Bentuk matriks P dengan vektor-vektor kolomnya adalah vektor (eigen) basis

yang telah dikonstruksi sebelumnya. Matriks P akan mendiagonalkan secara

ortogonal matriks A.

Latihan 5

1. Cari nilai dan vektor eigen dari matriks-matriks berikut: 1 2 1

0 3 1

0 5 −1

,

0 1 0

0 0 1

0 0 0

,

−2 0 1

1 0 −1

0 1 −1

.

2. Misalkan A matriks berukuran n× n. Buktikan bahwa A matriks singular jika dan

hanya jika λ = 0 adalah nilai eigen dari A.

3. Misalkan A matriks tak singular berukuran n× n dan λ adalah nilai eigen dari A.

Buktikan bahwa 1/λ adalah nilai eigen dari A−1.

4. Misalkan λ adalah nilai eigen dari matriks A yang berkaitan dengan vektor eigen

x. Tunjukkan bahwa λm adalah nilai eigen dari matriks Am yang berkaitan dengan

vektor eigen x, untuk m = 1, 2, · · · .

5. Matriks A berukuran n×n dikatakan idempoten jika A2 = A. Buktikan bahwa jika

λ adalah nilai eigen dari matriks idempoten maka λ = 0 atau λ = 1.

6. Matriks A berukuran n × n dikatakan nilpoten jika Ak = 0 untuk suatu bilangan

asli k. Buktikan bahwa semua nilai eigen dari matriks nilpoten bernilai 0.

7. Misalkan A matriks berukuran 2 × 2. Jika trace(A)=8 dan det(A)=12, tentukan

nilai-nilai eigen dari A.

8. Misalkan A = (aij) matriks berukuran n × n dengan nilai-nilai eigen λ1, · · · , λn.

Tunjukkan λj = ajj +∑i̸=j

(aii − λi) untuk j = 1, · · · , n.

9. Misalkan Q suatu matriks ortogonal (QtQ = QQt = I).

(a) Buktikan: jika λ nilai eigen dari Q maka |λ| = 1.

24

(b) Buktikan: |det(Q)| = 1.

10. Misalkan Q matriks ortogonal berukuran 3× 3 dan det(Q)=1.

(a) Jika nilai-nilai eigennya real dan λ1 ≥ λ2 ≥ λ3, tentukan nilai-nilai eigen yang

mungkin tersebut.

(b) Pada kasus nilai eigen λ2 dan λ3 bilangan kompleks, tentukan nilai eigen yang

mungkin untuk λ1.

11. Misalkan {u1, · · · ,un} basis ortonomal untuk Rn.

(a) Perlihatkan bahwa matriks ujutj untuk j = 1, · · · , n mempunyai rank satu.

(b) Misalkan A = α1u1ut1 + · · · + αnunu

tn. Perlihatkan bahwa A adalah matriks

simetri yang memiliki nilai-nilai eigen αj dengan vektor eigennya uj untuk

j = 1, · · · , n.

25