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A n lis is M atem tico III
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ANLISIS MATEMTIC011IPARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERIA
{1ER EDICIN)
m
X
E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S
LIMA - PER
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NDICE
1. CAPITUL011.1. SUPERFICIES CUADRTICAS..................................................................... .................1I.S. FUNCIONES DE VARIABLE VECTORIAL................................................Efi1.3. LMITES DE FUNCIONES VECTORALES................................................. 2?
E. CAPITULO 2B.1. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL......................................34
3. CAPITULO 33.1. FUNCIONES DE VARAS VARIABLES.................................................... -.59
4. CAPITULO 44.1. LMITES..................................................................... ......................W4.2: C O N T IN U ID A D .................................................. ,....... ,...,......... 164
4.3. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE DE UNA FUNCIN DE VARIASVARIABLES.... .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................SI\4.4. MXIMOS Y M IN IM OS............................................................33E
4.5. GRADIENTE V ROTACIONAL................ ,...,......... ......... ................_351
5. CAPITULO 5
5.1. INTEGRALES DOBLES.......................................... .............. .............3595.2. VO L M EN ES.................................................................................419
5.1. COORDENADAS POLARES..................................................................*4B5.2: A r e a de u n a s u p e r f i c ie ................................................... mi
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- E5eY:y=*^=>M + =*M 4 |y|=t-zSi hay
- EgeZ:z=^z
= M + ly I =&i Con el ce Y: x=st= =y^Q Con el eE Z: x=^ =tz=(J
b) Las liazas sobre las planas coondEnadcs: Sobre el plano XY, se haoE: z=k 9x,+4yt=k
Familia de elipses con centro en el origen y eje focal paralelo al eje V.
Sobre el plano se hace: y^ =0=. 12z=9b*Familia de parbalas con vrtices en e1 crinen y eje focal paralelo al eje Z.
c) Lmenlas:
En el orisen: ( w > =* C*,-y,-s>=*. 9r;-x>i++r-y;ji=1B(-z) = !b+4y*=-1Eii No hy
En tosejes coordenados:Eje X;k =-x
=> +4/=1 Ez =t ft +4/=12z Si hay- EjeY:y=t^
=t :'1+4-yj1=l Ez =! '5x1+4yi=iaz Si hay- Eje Z: z =t- -z
=t 'W ^ I S(-z) =t qj+4y*=-1 fe No hay En los planes coordenados;
- Plano Z: {*,*)=* (-x-y)=a q
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EDUARDO E5P1 NOZA RAMOS j
c) Las trazas sobre los planos coordenados:
Sobre el plano XY, se hace: z=k =/x+-/y W k = 1
Familia de curvas con vrtice en C(0,0)
Sobre el plano XZ, se hace: y=k = i/x -t-Vz +Vk = 1 Familia de curvas con vrtice en C(0,0)
Sobre el plano V^. se hace: x=k = V z+ V y+Vk = 1
Familia de curvas con vrtice en C(O,0)
d) Simetras: En los ejes coordenados:
- EjeX:x=*-x, x/^x+Vy W z = 1 No hay
- E^ey:y=>-y, x/x+,/y-i-/^z=1 No hay
- E je z :z ^ -z , >/x-*-^yW^s = 1 Nohay
Bn los planos coordenados:- Plano Z: (x,y,z) => (-x,-y, z)
Nohay
- Plano X (x,y,z) =* (x,-yt -z)
J x * n fy + J^z = \ Nohay
- Plano Y: (x,y^> = (-x,y,-z)
V^x+Vy+V-z = l Nohay
1 ( BWUmPOESPWaZABAMOS
Graficamos:
o *l+z*=Ts(y)
a) Extensin. El dominio:y0=* D = {(x,y)e9*/yaO}
El rango: R = {zeiR}
b) Intersecciones con los ejes coordenadas: Con el eje X: y=0 z=0=>x=0 Con el eje Y: x^) z=0=>y=0 Con el eje Z: x=y=0 z=0
c) Las trazas sobre los planos coordenados: Sobre el plano XV, se hace; z=k => x*+k=Tg(y)
Familia de curvas con vrtice en C(0,0)
Sobre el plano XZ, se hace: y=k => x?+z*=k Familia de circuios con centro en C(0,0)
Sobre el plano YZ, se hace: x=k^k+z*=Tg(y) Familia de curvas con vrtice en C(0,0)
SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III w edukaeruoom SOLUCIONAfbO ANALISIS MATEMATICO III
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En los planos coordenados:Plano xz: y= -y => x*+j?=Tg(-y) => xVz^-TgCy) No hay Plano xy: z=> -z = x*+(-z)*=T8(y) => x'+z^TgCy) Si hay
- Plano yz x=>-x =* (-x)*+z*=T!j(y) => j+^=Tg(y) S hay
E)eZ:(x,y)=.(-x,-y) x+^=Tg(-y) No hayEJeX:(y,z)=* x*+^=Tg(-y) NohayEje Y: (x,z) => (-x,-z> x*+z* = Tg(y) Si hay
Con el eje Y: y=0 z=0 =>y=0 Con el eje Z: x=y=0 =>zxO
c) Las trazas sobre los planos coordenados:
Sobre el plano XV, se hace: z = k= x* =2x+4k
Sobre el plano XZ, se haoe: y = k => X1 =2x-t-4z
Sobre el plano YZ, se hace: x = k=> k*=2x+4z
d) Simetras: En los planos coordenados:
Plano xz: y => -y => x*+2x+4z Si hay- Plano xy: z => -z =* xi+2x+4(-z>=2x^z =* No hay
Plano yz: x => -x => (-x)*=2(-x)+4z =s- x=-2x+4z Nohay
En los ejes coordenados:- Eje Z: (x,y) => (-x,-y); (-x)*=2(-x)+4z =>x=-2x+4z Nohay- EjeX:(y,z) =>(^ ,-z ); x =2x+4(-z) =***=2x-4z Nohay- Eje Y: (x) => (-x,-z); (-x)*=2(-x)+4(-)z =*x*=-2x-4z Nohay
a) Extensin. El dominio:*z=x*-2x => D = {(x,y) 9&)
El rango: R = {zeSR}
Con el eje X y=0 z=0
Graficamoe: 4z=(x-l)*-1
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a) Extensin. El dominio:z=2-y*=D = {(x,y)M*}
H. Rango: R={ze9tfe2}
b) Intersecciones con los ejes coordenados, Con e) eje X: y = 0; z = 0 => No hay
Con e) eje Y: x = 0 ; z = 0 => y=W2 Cone)ejeZ:x = y = 0 = z = 2
c) Las trazas sobre loe planos coordenados: Sobre el plano XY, se hace: z=2+k => rectas Sobre el plano XZ, se hace: y=2+k => rectas
Sobre el plano Yl, se hace: no existe
4x*+9yV=36
a) Extensin. El dominio:
z*=4x*+9y*-36 => 4x*+9y*-36a0 =s
D = {(x .y )4^ * + s l}
d)En los planos coordenados:- Plarvo xz: y => -y => y*+z=2 => Si hay
Plano xy. y => -z = y*-z=2 => No hay Plano yn x =* -x => Si hay
Con el ejeX: y = 0 ,z = 0 =>x=3
Con el eje Y: x = 0 ;z = 0=>x=2Con el eje Z: x=y=0 No hay
En los ejes coordenados:- Eje Z: (x,y) => (-x,-y) ; yi+z=2- HjeX(y,z)=*(-y,-z);y-z=2- Eje Y: (xt) =* (-x,-z); y*-z=2
Si hay No hay No hay
Sobre el plano XY, se hace: z=k => 4x* + 9y*-36=k=> elipsesSobre el plano XZ, se hace: yak => 4x*-z*=3 hiprbolasSobre el piano YZ, se hace: x=k = 9y>-z*=36 hiprbolas
I SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III wwwodutam; oom I w w o d u k p o w . c c m SOLUCIONAR ANALISIS MATEMTICO III I
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En los ejes coordenados:- Eje Ti (x,y> => (-x,-y) 3x*-6y*+2z?=6 =s- EjeX(y,z)=*(-y,-z)3x*-6y*+2z?=6=- Eje Y: (x,z) = (-x,-z) 3xi-6yi+2z*=6 =s
G 3x*-6y,+22?=6
a) Extensin. El dominio:
El rango: R={zeR}b)
Con el ejeX: y=0 z=0=>x=v2Con el eje Y: x=0 z=0 = -y*=6 No hay
Con el eje Z: x=y=0 =>z=V3
c) Las trazas sobre los planos coordenados: Sobre el plano XY, se hace: z=lc ; 3x* -ry1 = 6 - 2k* =
Sobre el plano XZ, se hace: y=k => 3x*+2zs =6+6^=* elipses
Sobre el plano YZ, se hacer x=k = 2z* -6 / = 6-31^ => hiprbolas
d) Simetras: En los planos coordenados:
- Plano xz: y =* -y =* 3x-6y+2zi=6 =>Si hay- Plano xy: z = -z => 3x,-6y*+2zi=6 = Si hay
Piano yz: x = -x => 3x?-6/+2z*=6 => Si hay
0 z+y*-2y=0a) Extensin. El dominio:
Q rango: R= {zeSK}D = {(x,y)e*}
m los ejes coordenados: Con el eje X: y=0 ; z=0 => no hayCon el eje Y: x=0; z=0 => y=0 y=2Con el eje Z: x=y=0 ^ z=0
Sobre el plano XY, se hace: z=k ; Sobre el plano XZ, se hace: y=k Sobre el plano YZ, se hace-. x=k
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s s s s s ^ j s s l ) . . . . . . .
d) Simetras: En los planos coordenados:
Plano xz:y=s>-y= z+ys+2y=0 = No hay Plano xy: z = -z => -z+)?-2y=0 => No hay Plano yz: x =-x ^ z+y*-2y=0 => Si hay
En los ejes coordenados:- Eje Z: (x,y) (-*,-y) z+y*+2y=0 => No hay- Eje X (y) = (-y,-z) z+y*+2y=0 = No hay- Eje Y: (x,z) => (-x,-z) -z+y*+20=0 => No hay
Graficamos:
O z=(x+2)*+
El rango: R={zeWz9}
b) Intersecciones con los ejes coordenados:. Con el eje X y=0 , z=0 = 0=(x+S),+9+9 No hay Con el eje Y: x=0, z=0 => 0=4+(y-3)*+9 No hay Con el eje Z: x=y=Q => z=4+9+9=22 B==i_
.(
c) Las trazas sobre los planos coordenados: Sobre el plano XY, se hace: z=k ;(x+2)*+(y-3)!+9=k circuios Sobre el piano XZ, se hace: y=k=>(x+2)*+k+9=z parbolas Sobre el plano YZ, se hace: x=k = k+(y-3)*+9=z parbolas
d) Simetras: En los planos coordenados:
- PlanoXZ:y=*-y=>zKx+2)l+(-Y-3)M No hay- Plano XY: z = -z => -z=(x+2)4+{y-3/+9 =>Nohay- Plano YZ: x = -x = zs(-x+2)*+(-y-3^+9 =>Nohay
En los ejes coordenados:- Eje Z: (x,y) =* (-x,-y) => z=(-x+2)*+(jy-3/+9 = No hay- EjeX(y,z)=(-y,-z)=> -z^x+tf+0y3)ta = No hay- Eje Y. (x^) => (-X.-Z) => -z= No hay
Grafica
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y-\
*
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/ p - s ( t ) P H l-Sen(t| l-Cos(2t) ' _ t LHopital derivando en cada trmino d
N i M =(0,0)
n/I-S^ O) {2 ~ \t ^Cos(t)
/ D - S e n W T ' ^ W ^ - , ]
L= ,:_ [vf'|-Sen(t)>/USen(t) -1 -Sen(t)
* 4 ^[l-Se^it)]* ' -C k 'W* "2
*^Ul-Sen(t) 2 J
L-gsfe? 1- Cos(2t) i - i
s r f f ' l ] -N )
L - Aplicamos L'HopiraJ derivando en cada (rmino e)
numerador y denominador en la primera y segunda funcin.
e -e *>) _ t-1 ' 1-t L~'*F
= (e -l,2 )
r, SeflC7t) Stn(St) TS(3t)C to[
z i SOLUCIONARIO ANAUSIS MATEMTICO III vwebutpeni m r ............ SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III I
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kMOS
SOLUCION
L = ' ^ ( a t l j Apl*camo3 LHoPital derivando en cada trmino L = lim^Ln(t),V"+t\j^-p J
ei numerador y denominador de cada fmcin
f 7Cos(7t) 5Cos(5t) 3Sec (3t|] 1 3Cos(3t) 2Ccs(2t)J
Limites laterales:
L,= ^ [ , ( t ) ty i7 ? ,^ L ]= [L n (2 )rV T ? / _ ]= [ li . (2 )tV s , ]
I 7Cqs(o) 5Cos(0) 3Sec1(0)1 [_ 5 3l [ 1 '3Cos(0) 2Co6(0) J- [
U= l| m ^ lii(t) ,y r i7 ,-^ j= ^ L n (2 ),V T 7 ,-A j= [(2)tV5,>]
Luego: limf(t)* lim f (t) => L = lim f(t) no existe
O
L = jim|^ 11 l~cB(t) j Aplicamos L Hopital derivando en cada trmino el
numerador y denominador de cada funcin.
l . s [ s ^ . = , ; ] , [ = a , = f e ) , ] . H V )
Aplicamos Hpital en cada lmite:
[l-CosfSt) ^1+tSen(t)-ll . Fssen(5t) Sen(t)+Cos(t) 1L ' S [ t* f J" 5 [ St ' 2t(2)y 1 + tSen(t) J
SOLUCIONARLO ANAUStS MATEMATICO III Hwww.FreeLibros.me
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M 7 . V J
UNCIONES VECTOWALE0 Calcular 6, si a = (2,-4,1) y bJ^ [te, ,tCh(2t),2te-s]dt
Desarrollamos la integral:
b =J4'[te,rtCh(2t),2te-*}lt
Integramos por partes en las tres fondones:
u=t = du=dt v=| e**dt = u=t=> du=dt v=Ch(2t)dt = 1 Sh(2t)2 2
u=t du=dt v=2e"ildt = e41
, J e +1 2Sh(2)-Ch(2)*1 l-3e~*l
Ahora el producto escalar:
b= (?, i t) ^ -,1 gSh(2)-Cli(2Kl 1-3T -2S h(2)+Ch(2)-1+Iz2l! = 2 -e
SOLUCIONAFHO ANALISIS MATEMTICO Bl
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Q Calcular las siguientes integrales:a) J[4Sen(t)i + 3Co6(t)j]dt b) f]t^i + gl dt
d) JJJ,[Sen(t),Co8(t),Tg(t)]dt
e) J4,(Vt1VftT)dt
a) f [4Sen(t)i+3Cos(t)j]dt=-4Cos(t)+3Sen(t)+C
b )J [ te-*,i+ ] d t = - ^ - +^ j +C
d )f>'"[S B i(l),O i(t ),lS (l)]i .{* -C i(l),S o 1(t),-(Cbi(>)]||l
1 HMWKi-^f) (e',te')dt =(e,te* -e')|^= (e -l,e -e + l)= (e-1,1)
Hallar la funcin vectorial f continua en el intervalo <
f(x) = xe'+-l| f (t)dtVx > 0, siendo A un vector fijo no nulo.
xf(x) = x*e*A+f(t)dt
xf '(X) + f (xX = (xie+2xe) A + f (x)
xf '(xMx'^+Zxe ) =>f '00 = (xe*+2e*) A
f (x) = j(xe*+2e*)dt = (xe*-e*+2e*) A = (xe+x**x? A =e*
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a) En la expresin: tf(t)=f(t)+tA derivamos:
f(t)+r(t)=f(t)+A=*f-(t)=^ parat=1 = f (l ) = A
b) Parat=3: 3f'(3) = f(3)+3A
En la ecuacin: tf'(t) =f(t)+tA=*f'(tj = - ^ + A = > f ' ( t ) - ^ = A
Esta es una ecuacin diferencial lineal: +p
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La ecuacin de la trayectoria:
'(t) = JWWidt=-Y+T + kPuesto que la ecuacin depende de t en trminos de x e y, la expresin hallada corresponde a una curva plana en z=k.
O Determine una funcin f : IcjK-tdi* que parametce la curva indicadaa) La recta y=2x, recorrida del tercero al primer cuadrante.b) La cuarta parte del crculo x'+y*^ que se encuentra en el segundo cuadrante,
c) El cuadrado bd + lyl = I recorrido en sentido anohorario.d) El segundo de la curva y=lt-bd comprendido entre x=-2 y x=2 recorrido de
El segmento de la curva ytx*-l I comprendido entre x=-2 y x=2 recorrido derecha
a) f(t)= ] te
x = -v''3Sen(t) b) f(t)= . . t[0r^ 2>
[y=V5cos(t}
l, = f Osfcd I,=J Osfcsl
d) Y = 11-1x11-5
Para IxJ = i3 f W -1-^ xkO l+>4 x
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Determine una luncin f : I c 3t -> 9 ^que parametrice la cuva ndicada.a) La parte de la recta y =b&3z que se encirentra en el primer octante. comenzando
b) La parte- de la necia, que resulta de la intensecdfin de Ira dos planee x+2y-z=0, 3ky+>i =0, correspond ente a zfi, connenzando en el origen.Ei dncul que- resulta de la interseccin del paraboloide con plano &4ccmtemand en el plano (0,2,4) oon el sentido de recorrido {0A4) -
(r-SW->(2,0,*)-KQA-l)-
a) ^=2)rfz dividimos entre fe
C=Jy = fit tfc[z=at
b) Los planos; x+Sr-z=(}r3x-y+5z=Q
11 J tin^fl.Sr-'l) nt = (3,-L^)=> n=n,xi^ = 1 2 - i = (9,-ar-7)
3 -L 5
El punto inicial de la recia: Pt = (Q.O.ff) con n = O^AT)
P = Pt+ tn => P = rOAtl) + ^ A 7 ) = (-l?t^ tr'7*) De donde: k = -9t, y=Bt. z=7t, ti
I " C = j y =6t , t [}
[z = 7t
c) con plano z=4 comenzando en el punto (0,E,+)t
O Encuentre una Te
C = jy = 3CoBt , Dsts&r
bJCKt+y1 = '9Jz=a
d)C;j = 4y,^=B4z e) G (x-1)1 + 4ty-E)1 =4 z=Q
b)c:3 + y*=9,1=0 rSix = 3Cos(t)Jy = 33en(07 z=,:StsSn c>C:y=3sirz = 0J z = 0,x = t,y=3t1 r z= 0 , tad) C; 5^ = 4y, j=B4zx=t, y=t*H r z=t*fl34 r teOe) C: (x -l + 4^-E? = 4 z = 0 r x-1 =!CaBtfr* x=1+3Cas(t>
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y=B+BSen(t} i=0 Osts Br
x = 1-nSCost C =|y = S + Sent,
^ 1 Dadas las siguientes -curvas, encontrar aua)i +/-ot-4y + IS =0 b)x1 + y1 + j t = 4 x + y -z = c )^ + i =E, x* + y*= 10
H> {X-1/+ 4{y-E) = 4 z=0 *-1 = SCos* x = 1 + ECcafl:)y-3 = ESent) =* y^3+E5en(t) & St^ c
= 1-i-eCD5tC:|y = S+aSent , StsEr
z = 0
b ^ i + y t+ zt =4
z=xiy=n1+>! +z1=4=J? +l^ + {* + r f = ^
3? + y* + xy = 2 dedonde: x = h/C(9)y= J Sen(6>
z= Js [Coa(6} + 5en(0)]
x = JSCoat/ y = VSeni
c = VsfCcufl -i- Sen (/]
0 Sea a la trayectoria n (t) = [at,t1rLn(t)] definida para feft. Encontrar Ib lo
(fe a entre lospunt{,1,[})y[4,4,Ln(2}]
U longitud de aico de una curva paramdica:
tuegs i j ss ts *
L = dt = J*^at j dt = t1 + Ln(t)j* >= 16-4+1/1(4}- Ln(2) = 12 + Ln(2}
O Hallar la lentitud de arco de las lneas que se indican:
a) = [lC ^t),1W t),tL te [0,2]
b) f {t}=[1+XK(t)] Cos(Or [1+Coet)]SenCt)}rtEe [0.]
e) y = Araaai eate(0A ) h ^ | , r ln(3)j
i a^3 Bx' a
a) La longitud de arco de una curva paramtrica:
L=0 MN=SOCMABIO AMASIS MATEMATICO III
1
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Luego: f (t) = [tcos(t), 1Sen(t), t] = te [0,2]
f '(t) = [Cos(t) -tSen(t>, Sen(t) + tCos(t), 1]
L= J*^[Coa(t)-tSen(t)J +[Sen(t)+tCos(t)]* + 1dt
L = 'v Cos (t) 2tSen (t) Cos ( t}+Sen (t )+ Sen1 {t) -
+>|/2tSen(t)Cos(t)+Cos, {t)+1dt
L= jVT7TTIdt= 7 5 ^ = 2 ^
b) f (t) = {[1+Cos(t)}Co8(t), [1+Cos(t)]Sen(t)}, t [0,2]
L= U b W (*)]'*
f *(t> = [-Sen(t)-Sen(2t), Cos
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EBUHOZA RAMOS #
L = (4 * =tifrW w W + F * f *
Lue :^ f W = {Sen1, Sen(2t), Sin [Co^t)]), te Jf ffl= [JSenCtJCosCft GosSt), -E T^ ] = [25en(at)r SCo^ St), -SfTaCt)]
L= J ^ [ 5h i( ) J 4-[CDB(2t) J +41^ (t>*
L = = aj^ ;SECs(t>* = Bp Sec (t )dt
UELn[Sec(t)+Tg(t)] KWHHW)]L= gLn[B-H^3]-2Ln^+i/3j = 2Ln^ ' ^ + 3j
Hallarla longitud del aroo de la hlicE cnicaO: r {*} = [aEtrat), ae'Senfl'), a*] desde el punto (0,0,0) hasfa el punto A^ ajOta)
l=:^p =f W E -Luego: a {t} = [aEtoa(t), ae'Senfl), aE1], t e (-, 0}
a = [aetoa(t) ae'Sent), ae'SenCt) + a feo, a\
L = JJ^ aai LCl=, (t} 2m(t)H(t) i CtBJ(t)Cfl(t) i SHi([)Cos(t) i C ta 11j
L = '[1 +1 + 1 Jlt = J^ oe'/adt = aEr js |1 =aj3
G CalcuLar L para la funcin vectorial definida pona (t) = [aCceftj, aSen
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l=11^luaSff f {*}= Otfiti
CD Una partcula se mu en el plano XV segn la ee encuentre la longitud de la trayectoria desde t=Gat=j
La longitud dearc de una curva pairainStrica
Luegp: f ffi = [S*CDe(3t5, H^SentSt}] 0 t S n
f (t) = [- -^^CoBat^Stf^SenStX -2*Sen(3t> + 3e ^ toafat)]
L= J J[-Ee"aCtB(3*)-3c*Beni(3t)]t 4 {-& fSen(3t)-i-3eCtB(3*)]!dt
L= J j r [4CiH, (3t)+1SSEn(3t)Cas(3t)+QSGn, (3 t)+ }
h= J[ v pt) 11*Sfcn{Jt )C>3C pt) I 56hi pt Jtai1
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Luego; y = iSen(fi) , ;e= iCoe(B)V = Sen(fl) + iCos(0) ; x '= Cos(a) - iSentl)
i^ f+ (y rf = [r'CosCB) - FSen^ e}]1 +- [rSern;0} + rtoafOO]*(O* +
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a * * )
Laicngitijd de arco de una curva paramdica:
L= I t N *
L = r ^ t = ^ J 3=s+3=5J" fl 27 lEnconiiarlalLJngiituddeareQdelaasisuientescurvaa
a) a (t) = {a[t-5en(t}], a(1-Gas(t)]}, a> Longitud total
b) ^ t ) = l c i t i e W t ) l t e [. SO
c) a (t) = -(arcs t, asertt), a& longitud focal
d) n (t) = j^t-Tgti^-J,aSech l^ j j desde t=a hasta t=2
e) a (t) = {a[ShH]: a[Shft) - 1]>, 0 t s Tr a > 0
a) (t) = (ii[t-Sen(t)L *1-Cos
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..L = = dt= j ^ = ee
0 Encontrar la longitud de anco de las curvas:
a) (t) = ft Ln [Sec], Ln [Seo 4- TW)]'U e
b} (t ) = [B'Ccota e'Sentf)], t e [, 20
c ) (t) = ft Ln [Saettali [0,31
ri) t (t) = ft a = nht - t), a(cQsht -1 )), en [OrSrf]
e) S (t) = ft a = aenht - tX a (cceht - 1)), en [ rE*]
a)c= ft Iji [Sec], Ln [Sec + Tg]}, t e |o J
T t ) = [ l j m S c i ( 0 ]
La Longitud de anco de una curva paramtrici
L= I.-J [x 1(t )T + [y W j4 .[z '( t ) ] , dt
L= Jn" j l + V ( KSec (t>*
L = J 'J\'Sec, (tJ+Sec1(t)dt = ' sBc(t)dt
L= J iL i[S e c (t )4 -T (t )^M
L = J h ji^Sbc^ J+ T g ^ j j->/sin[Sec () + Tg(}] = VLn(Ji + '
cb )ii[t) = [c'CcoCt), eSen! t e [ti S]
a' (t) = [et ne elSen(t)3 eLSen -4-e CcB]
La longitud de anco de una ciMva paramtrica:
L = r v R * ) T + [ v ' W ^ ) i d t
L= J1 [Coe(t)-Sen(t)J +e,1[Cbs(t) + Sen(t)]1di
L = e ^ i'Cog (t )+ Ser (t J-hCog1 (t )+Sens (t )jt
L= e Jid t = jBe=Vs(eT- l )
c) i (t ) = {ajaiCtKl, aftlii-l]}, 0 t Tr a > 0
= {a[;Ch-1]rJiSh>
L = i f ^ [0 . ( t ) - l ]V [ S h ( t )T *
L= aJ^Ch* (t)-ach(t}+1 + 9i= (t)dt
L= a Jctf (t) -ECh(t) r-Qt (t)dt
ta^2Cti*(t)-SCh(t)dt = a jch(t)jch(t)-1dt
'--H l
MUUCBHAHOAHAUSIS MATEMATICO III I
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Q Sea C la curva descrita por la funcin vectorial f (t)=a[t-Sen(t), 1-Cos(t)t 4Sen(t/2)] con
a>0. Hallar la longitud de arco de C desde el punto a '^T ^ | hasta el punto
**&4>
f (t)=a[t-Sen(t), 1-Cos(t), 4Sen(t/2>] t ,
f '(t) = a [1-Cos(t), SenCt), 2Coa(2)]
La longitud de arco de una curva paramtrica:
L= flf+[y(t)T+[z,(t)J
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x0 r\ (l-xyx+1) u xSO n (1-x2yax+1)O fl&y) = Ln (36-*x* - 9/)
n \ 36-4x*-V>0 = 36>4x*+9y* = +-L. < 1
D = {(x,y)cM4/[xS0r< 1 -xyx+1)] u [x0 r\ (l-x2yx+l)]}
O f(x,y) = Ln(xy)
Sabemos que el argumenta de la funcin logaritmo debe ser mayor que cero, xy > O => x>0 a y>0 \j x0 o x
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De donde: Se obtiene el dominio:D = {(x,y) e 91* / y > n x S 0}
O x,y)=^Sen[T(x, +y*)]
Consideramos:
Sen[*(xs+/)] s 0 =* 2n* * (&*+!) n para ntZ*Sx*+y*2n + 1 paran eZ*
D = {(x,y) e * / 2n S x*+ y* S 2n +1 para n e Z*}
O f(x,y) = Aresenj ** ^ j+Araen (x*+/)
I SQUJCIOMARIO ANAUSIS MATEMATICO III
Consideramos:f(x,y) = s(x,y) + hOc,y)
S(x,y) = Aresen I x *y \ hCx,y) = Arasen ( A / )
Cts -Z - s 1 n x*+/ s 1 = 0 x*+^2l 1s^ + y*s2
Di = {(x,y) e iK4 / lx*+y*S 2}
J H 2 E E L I W
Debemos evitar la divisin por cero puesto que la funcin arcoangente n< mayor restriccin.
1+xV * 0 = (x,y) e R*
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O &*> = +Vz
La raz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero;j}
0
f(x,y) = g(xly) + h(xIy)La raz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero:
xsOnxyiO X20 n [x20 o yaO) u (xSO n y))]
De donde: D, = {(x,y) e * 4 / x0 o yaO}
Sabemos que el argumento de la fundn arcseno debe ser mayor a -1 y menor a I. Es decir.
xaO o (-x-yxsx+y) u xSO r\ (-x-y2x2x+y)xaO n (-x-yx r> xx+y) u xSO r\ (-x-y2x rx xsx+y)
x20n(-2xyriy20) w xOn(-2x2yr>ySO)
SOLUCtONARtO ANALISIS MATEMTICO I
1
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D = {(x,y) 6 St* / [(x0 r> >eO) u (x0 n ySO)] r\ (x;y) * (0,0)}
La raz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero, mientras que e denominador debe ser diferente de cero. Es decir
2S-x*-y*2 0Ae0 =* x*+/0)}
f (W ) = ( x + y ) y n
la raz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir z -2 * 0 => z2
D = {(x,y,z) 31* / z 2}
O f(x,y) = Arcsen(x) + Arcsen(y) + Arcsen(z)
Sabemos que el argumento de la funcin anseno debe ser mayor a -1 y menor a I. Es decir
- l x t n -ls y lr-1SzS tDedonde;
D = {(XfYjZ) e 9? !-\ SxSl n -1S z l}
f(x,y) =
OD = {(x,y) e 25 a x*0)}
SOLUCtONARtO ANALISIS MATEMTICO I
I
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O Kx,y) = Ln (x,z)
Sabemos que el arsumento de la funcin logaritmo debe ser mayor que ce xyz > O =* x>0 n, y>0 r\ z>0 (primer octante) u
x >0 r\ y0) w (x>0 r\ y0 n Ln(y-x) > 0] u [x x [(x>0 n y * > 1 )u (xx [(x>0 r ,y>x +1) o (xx
, / t-y/D = {(x,y) e 91 / [(x>0 r\ y>x+1) w (x0 x (y-x)-y* (y-x4) > 0 = (y-x*) (x V ) > 0
(y-j^ > 0 n x - y* > 0) w (y - 3^ < 0 o x - y* < 0)(y > n x > y*) u (y < n x < y*)
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D = {(x,y) SR4 /y^nx>y*)u(y?nxca2^2Syfe-! P,= {(x ,y )e 4/-2 2xS2} Dh = {(x,y)9t*/-2yi-2}
Dx= {(x,y)e9t^bd a2} ; Di, = {(x,y) eJl4 / lyt2}
I>= D,n Dk = {(x,y) e 4 t bd * 2^ ly s 2}
H SOLUCtOMARIO ANALISIS MATEMATICO III
0 f(x,y) = Ln(x)-Ln[Sen(x)]
Sabemos que el argumento de la funcin logaritmo debe ser mayor que cero. x>0 n Sen(x) >0=>x>0nxe [2n*, (2n+1)n] AneZ
D = {(x,y) ejt4 / x>0 r\ xe [2nii, (2n+1)it] AneZ}
O Kx,y)
Sabemos que el argumento de la funcin logaritmo debe ser mayor que a Tambin la raz cuadrada debe ser mayor que cero.
x-2y>0ny-2x>0=>x>2yny>2x
rV * I
D = {(x,y)fi9t4 / 2x < x < x }
SOLJUCIONARJO ANALISIS MATEMATICO III I
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0 ffxry) = Arcsen[2y(1+x*)-)]
Sabemos que el argumento de la funcin arcseno debe ser mayor a -ly m 1. Es decin
-1 S 2y (1+j) -1 Si => Os2y (l+x*> S 2
=^0y(1+x*)l =^Osys
D={(x,y)eSHi /Osy s
O fiXy) = Arcts - / )
La raz cuadrada debe tener argumentas mayores que cero. Es decir: x* - /O = (x-yXx+y) S O
(x-yaO n x+y 20) u (x-y s n x+y s 0) (x 2 y n y 2 -x )u (x y n y s -x )
D = {(x,y)et4 /x2y ny>x) u (xsy nyS-x}
1 0 W )-( [x lW = 7
La rafz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir: l - y ^ O ^ / l =*-lSyl
D={(x,y)MV-lsySl}
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O X y)= ^ - x - y ' - z 1
Sabemos que el argumento de la funcin rafe debe tener un argumento mayor o igual a cero.
aP- i f -v*-z*i0=3^+>^ + s a '
x'+y'sz*D = {(x,y,z) E$f/x*+y4^ ^
Sabemos que el argumento de la funcin logaritmo debe ser mayor que cero; adems que debemos evitar la divisin por cero.
1- x V -z 4 > 0 n Ui (1-xV-z4) 0 => x4+y4+^
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f(x,y) = s(x,y) + h(x,y)
8(x,y)= d y ^ - V ] ] h ( x .y )= [ [^ ] ]
D, = {(x.y^wVxsO o xys-x u xaO r\ -xsysx} D* = {(x,y)6M'/x20 n yaO u xsDn yO}
Di = D, n Dh = {(x,y) e*/ xsO n xsysO w xsO n Oyx}
0 ftXy) =
La raz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir: 1-y*aO=>y*Sl =-1yl
ISOLUCIONAR ANALISIS MATEMATICO III
D= {(x,y)eSR /-ISySl}
La rafz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir:
(x*+/ - 25>0 o y^xaO) u (x*+y*-2525 o y* 2x) w (j + y4 < 25 n y* Sx)
D = {(x,y)6*/{x1+/>25 n y* 2x) w (x*+y*
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ftx,y) = Ancsentx) + Arcsen(y)
Sabemos que el argumento de la fundn arcseno debe 9er mayor a 1 y menor a 1. -isxt n-lsyfil
Se obtiene el dominio:D= {(x,y)eS#4/4x2y* n x*V0 n In (l-x V ) * 0 => *iay* n x*+y* x=0
k=l =*y= Vx
k=-1 =y=-Vx
k=2 =>2y= >/x
k=-2 =>-2y=Vx
Graficamos:
SO LUCIO MARIO ANALISIS MATEMTICO III
H
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O fCx,y) = lnU^ I
Hacemos k= f(x,y); de donde k =Ln ( I H -
^ = e =>y = x ^
Para k=0, 1, 2, 3, et
O k*=x*-/
kaO; Para k=0, 1,2,3 etc. k=0 =>y=xk=1 =>x*-y* = 1k=2 =>x*-y*=4
k=3 = > xV = 9
Hacemos k=f(x,y); de donde k=7x =>k* = xy
ks-O; Para k=0,1,2 etc. k = 0 =>y=0k = 1 =>xy=1k = 2 =>xy = 4k = 3 =>xy = 9
O flCx,y)=, 1-1XI - 1 y I
Hacemos k = f(x,y>, de donde k=l - 1XI - 1 y I=>lxl + ly 1 = 1 -k ; 1-kaO => ksi
ksO; Para k=l,0, -I, -2, -3, etc. k = 1 =lxl + lyl = 0k = 0 =lxl + lyl = 1k = -1 =>lxl + lyl = 2k = -2 =>lxl+lyl = 3
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O flXy) = LnOc*+y)
Hacemos k=f(x,y); de donde k=Ln(x +y) Para k=0, 1, 2, 3, etc.
f(xry) = Arcsen(xy)
Hacemos k=f(x,y); de donde k=Ansen(xy) => Para k=0,n/2
k = n/2 =>xy=lk = -n/2 =>xy = -1
O
Para k=l,0,-1,-2,-3, etc k = 0 = > + f = 0k=1 =*(x-1)*+y* = 1k=-l =>(x-1)*+y* = 1
o
Hacemos k=f(x,y>, de donde k=ei ~f
Si 1, Para k = 1,2,3 etc. k = 1 =>x*+y = 0k = 2 =s>x*+/ = Ln(2)k = 3 =>x*+y* = Ln(3)
0 f(x,y)= ^100-SSx1 -4y*
Hacemos k=f(x,y>; de donde k=^100-25x*-4y' , k0
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Determinar las superficies de nivel de las funciones siguientes. u=x+y+3z =>xV=
=>X*+y* = : => xi+yi=
Hacemos t*=k de donde k=x+y+3z Familia de planos. Para k=0,1,2,3, etc
k = 0 = x+y+3z = Ok = 1 => x+y+3z = 1k=2 =>x+y+3z = 2
k = -t = x+y+3z = -1
u=(x*+y*+zV
Hacemos u=k; de donde k=(x*+yj Para k=0,1,23, etc.
k = 0 =s>x*+/+z* = 0k=1 = x*+/+z* = 1
k = 2 = J 2k = ^x'+Z+z* = 2
Hacemos u=fc de donde k=
Para k=0,l,2,3, etc.
=> x*+y* = kz, familia de paraboloides.
o .* feE 2 2 )
Hacemos u=k; de donde k=ln.
e* = ^ e * (W x * +y*+ z*) = tl - ^ x +y +z* ' 1
-e 'J 7 7 7 ^ ? = i W T T 7 T ?
=>e-1 =Vx1 +y* + z* (l+ek)
- k20 Familia de esferas.
Para k=0,1,2,3, etc.
k = 0 =>x*+yW = 0
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0 u=SstSen(x* +y*+z*)]
Hacemos u=k; de donde k=Sig[Sen(x*+y*+z?)]: k=-l,0,1 Familia de esferas de radio unitario:
k = 1 =>Sen (i+yi+zt) = 1 => 2nn Sen(x*+y*+ )^ = 1 => (2n+0
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Hacernos u=k; de donde k+z=4-x*-y*. k=0r*+y^4-z. Paraboloide circular.
Ck-O Indicando el dominio, curvas de nivel y trazos, bosquejar el grfico de la funcin:
^ y) = 2-1 ?7 77 8
Dominio: Debe cumplirse: xi+y*+8s0D={(x,y)E*}
Rango: D = {zeSR} Curvas de nivel: Hacemos u=k; de donde:
x '+ z + s
Familia de ciicunferenciaa
O En cada punto de la curva de interseccin de las superficies: S l:z=xi+y*, S: z (para a>0) se traza la normal a S,. Demostrar que las recias estn sobre un coi y hallar su vrtice.
Para z=a =s x*+y=a, la normal a esta circunferencia pasa por su centro y es racfial. El valor mnimo que una suma de cuadrados permite es (0,0), por tanto el vrtice del cono es V{0,0)
0 Indicando dominio, rango y curvas de nivel, bosquejar el grfico de
z=f(x1y)=tn4-Vxr +yr
Dominio: Debe cumplirse: 4-vx +y >0
y jx '+y ' x, V = (4*-e )
O Dada la fundn f(x,y)= ^ J, , bosquejar su grfica indicando, 0
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Hacemos u=k; de donde:
. 4x-1 , 4x1 f 4 ? . 16-k577 y k - H x _k J + / = O x,y> =
Sea f(x,y,z)=k de donde: -
3> + (z+2)*-4 = ktx*+^ -Cy*-4y)-6]3x*+(z+2)1 - 4 = kx*+kz* - k 4x*+2(z+2)i x*+z*-(y+z)4= 3x*+(z+2)4 -4+1 2xi + (y+2)i +4z+1 =0
O ' le nivel y trazos bosquejar el grfico de:
Dominio: Puesto que x*+y* *0 = (x,y>e0 => D={(xry)sW*/(x,y)#0} Rango: R={z6H/z2jO}Curvas de nivel:
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=> D = {(x,y) eSK* / (x,y)*0>b) ^=^75Puesto que xl+/ (x,y>0 => D ={(x,y) i -
b) F(X,Y,Z) = X*-4V*+Z?+2$ n= {1,0}
O f(x,y,z) = z*-xy4V+yz-2 k = -xy+ys+yz-2 k = z,-y+y+yz-2
Derivamos: 3ziz'-1+3yi+yzl+z=0z(3z*+y) = 1-3y
z, (3+1) = 1-3=zl = - l2
z-z = (y^t) => z-1= -1 (y+1)
N = 2 => (x+2)*+(y-1)* P(0,0,-1)=>x* -4y* + (z+1)*= 2
r 15 15 , , ..T =T
0 Expresar el volumen V dealtura *x" y de su arista lateral V
I SOLJUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
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0 lado de la base:
L=21 L |=yi-x =L* = 2(yi-x*)
El volumen de la pirmide est dado pon
V = i AauEH = L*H=i(2Xy-x V =| xC -^x*)
Q Expresar el rea S de la superficie lateral de un tronco de la pirmide hexagonal regular en funcin de los lados x e y de las bases y de la altura z.
Probar que la funcin z = F(x,y)=xy satisface a la ecuacin. FXax+bu,cy+dv)=ac F(x,y)+beF(u,y)+adF(x,y)+bdR(u,v).
Z=F{x,y)=xyF=acFlCx,y)+beF(uIy)+adl!t(x,v)+bdF(u,v) F(ax+bu,cy+ctv)=axcy+bocy+adxv+bdiiv
F(ax+bu,cy-fv)=acf(x,y)+bcft;u,y)+adCx,v)+bd(ulv) demostrado
Probar que la funcin z=F(x,y)=Ln(x) Ln(y), satisface a La ecuacin: F(xv5uv)=F(x,u)+F(xrv)+F(yJu)+F(y,v),xtytu,v>0
En la funcin: f(x,y>=Ln(x)Ln(y)F'Cxy,uv)=Ln(xy)Ln(uv)=[Ln(x>+Ln(y)][in(u)+Ln(v)]
F(xy,uv)=tn(x)Ln(u>fLn(y)Ln(u)+Lr>(x)ljf>(v>Ln(y)Ln(v)
Pero: F(x,v)=ln
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2ay T jT tfO O + 'l j 2ay J s ^ O O l
x,+[y_^I=
oI. Mediante la definicin de lmite demostrar:
O ( J ? v *(A fc l') 4
Sen*(k) I Se debe hallar 8>0-, siempre que exista >0, tal que se cumple:
Ix*+2x-y4l
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Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0, tal que se cumple:
13x*V+4 I < - ^ (x -2 )' + (y+2)' < S
13x*-12+12-4y*+4 I 13(x*-4>4
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k-a < 1 => -1;x+3>4(x-3)+y1+r'l l(x-3XK+3HYfy+1 ? 5 bc-31 lx+31 +4 bc-31 + lyl ly+11 ...fl)
lx-31
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Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0. tal que se cumpla:
lx*+y*+2x-2y-2l 0; siempre que exista e>0. tal que se cumple
|Vy*-x*-Vs}
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(5)
Acotamos con Sst/2
bc-2l
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1
En (I*
>++s = = ts= 3
1 (W l-^+ 2 > / To + fi)j Por lo tanto, existe S = irn j 1, j
O = 3^ K E E E L i I W
( ^ - i . i . F * ^ j =
Se debe hallar i-; siempre que exista s&0, tal que se cumple Se debe hallar >D; siempre que exista >0. ral que se cumple
| ^ + J / + ^ -3 j < ^ ( x - l ) l + (y - l ) + (z - l ) 1 i/x+1 *y+1 Ve+1 1 n 1 1 V^x+i i+Jy= V -k + i 1+vyz
Acotamos con &l
fc(-lkl=* -l
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Multiplicamos (3) y (4):
0
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RAW05
l^ - y j X * + v *+ (*~ v *W| x! +y*| x*+y* x*+y* x +y!
21x1 + lyl 28+8 = e =*Ss'
Por lo tanto, existe 8= min |l,||
Se debe hallar 8>0 siempre que exista e>0, cal que se cumple
| x * ^ _ y ^ _/&5 +
(9-V5)d=,
Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0. tal que se cumple
| V -* / ^ -^ < e ~ ^(x+l)*+{y+1) <
J - / 7 - 1 I.J -x V ^ y -V ^ y + V -y -11 v ^ T T - - 1
1
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V W ^ y - i l m -Acotamos con S
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jDe(2)y(3>
.5 2 _______ 12 5 ^ + 1 3
t>e(3): |y-l| 0; siempre que exista e>0, tal que se cumple
12xz-y aj ll4xz-7y-Byz-8x* I l4xz-l4x+14x-7y-8yz-8x l lyt+x*^ | 7 ( ^ V ) | | 7(yz+x*)
~ r
I
14x(z-l) + 14x-42 + 42-7y-8yz-8x||
|l4x(z-t)+14(x-3)+42-7y-14+H -8yz-8x, | 7(yz+x>) |S
Jl4x(z-1)+14(x-3)+56-7(y+2)-8yz-8y+8y-8x|
1 r114x(z - 1) + 14(x-3)+5 6 -7(y+2)- 8 y (z -1) - 8y-Sx*| ^
1 ^ ? ) y114x(z-1) + 1 4 (x -3)+ 5 6 -7 (y+ 2 )-8 y(z-l) -8 y - 16+16-8x' I
1 1| l4 x (z -l)+ 1 4 (x -3 )-7 (y+ 2 )-8 y(z-l)-8 (y+ 2 )+ 7 2 -8 x |
I I|l4x(z-l) + !4 (x -3 )-7 (y + 2 )-8 y (z -l)-8 {y + 2 )+ 8 (x* -9 )j
1|l4M|z-l|+14|x-3|+7|y+2|+a|y||z-
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O t, )Ji ^ ( ^ - 2xz-'/ 2xy - '^ y z +a/2x+'/sy +a^ z)= 8^
Se debe hallar S>0; siempre que exista r>0. tal que se cumple:
|xyz-2xzV2xy-V3>z+2/2x+V6y+a/lz-a/j /3z+V6js|y-S||x(z-V2)-^(z-V2](
|y-^|zW ^|x-V^SJf=c
Por lo tanto, existe 8^, = e
O ltm xy=lSe debe hallar 8>0; siempre que exista e>0; tal que se cumple:
|xy-10; siempre que exista s>0, tal que se cumple:
I
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Acoramos S-1V(= -2 )1-
SOLUCIQNARIQ ANAUSIS MATEMATICO III
^+vT777^ - 3| 5x + y - z ^I k/x - y +z* -2 + 2 -x -y J+z x +y + z+ 3-9 jf ----- ----------- ^ xVyC3J
- L - < (y- - y, _
Vx - y +z +2x+y3- z ^x +y'+z+3+3
I , jr|x -S|x+2)+|y-.|y+l|+|z-,||:Z+^+lx sUlv lv +v + ll +z-1 +x-2x+2+y-1y+2+z-1x2+y2+z+3+3s
Acotamos k1: Ix-2I
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1 I
Entonces:
j I|X', x ^ v y - .a ^ -3/|r|x ^ .S K -2+x )-y+y0, tal que se cumple:
" J 7 7 7 <
Acocamos 8 i < x+ 1 < | ...(2) 2 i i 2 2 2 2 2 Entonces:ly-lkl => -1
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I
&=- De donde: 8= min |lr i
Entonces:
V -
Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0, tal que se cumple Lo que demuestra que: lim **'* . = 1J777)1 Vil ___Uer^V^+y* 0: siempre que exista >0: tal que se cumple:|(x1+xy*)Ln(Vx+y*j Jx'+y*
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tJh **+/ =Sen(x1-t-m V) (3x* -t-amx )Cos (x3 t m V )
** x + m V 2x+2m*x
(Sx+amx^Cosfx^+mV)u 5r h----- m =
s , = M d M * - j a u 8" ^ )
Sen(x + k V ) (3x*-i-6lc,x, )Cos(x, +m,x5) x* + k V 2x+4kV
* - { ^ y ) * i * W > =>1- (^ 5eni y )
U lim + c V ) . T n + * V M * +c V )*-* x*-*-c"x* *-
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1 1
= 81 Cos[Sen(2lo)]Co6?(2kx*)
-2kxCaa(kx )-4kxSen(2kx }Sen[Sen(2la*)]+ BkxCui1!*1 )Cos[Sen(2kx4)]
Simplificamos 2tcc
l . Nm- ^ ( ) - 2Sen()Sen[Scn(0) ] +4C , (0)C [Sen(0)]* 2
U l l m ^ H > 2 2 2
Puesto que el ltimo trmino:2Cos{2kx)Co.i[Sen(2lcc')]Cos(2loc'X2kx,)=
=12kxiCosi(2kx*X^ Qs[Sen(2locs)]
( ^ -3la,Co6|W)-12toc,Sen(2lo! |Ser[sen(2kxJ)]+12oc,Cos(2locI)CQs[SeTi(2kx |]
Simplificamos 3kx*:
(be1) - 4Sen (2kje )Sen [Sen (Skx1)]+4Ccs (&X1 )Ca [Sen (21a1 )]L 52 2
s , . C W . W I
Sustituyendo x=0-CosfOj-4Sen(0)Sen [Sen(0)]+4Cos' (0)Ccs [Sen (0)]
U !
L -1-0+4Cos(0) -1+4 3 x W 2 2 2
Aplicamos teorema de H'opital para el clculo del lmite. Para ello derivamos por separado el numerador y denominador.
L_ ]im -31ot'Ser>(kx, | +sen[sen( 2kx,)][Sen(2kx1)]6kV
-SlotSen [loe5 )+61o^ Cos(2Io* |Sen[sen|21o'1)]-
-Sen (loe1)+ 2Cos (2kx* )Sen [Sen (2IOC3)]U !S 2kx
Por H'opital nuevamente:, 4te>C|W| -1^to(lta>)tofm(W)]lC(/)Ccfs(4bl)1[S(Stal>l
M U0f
De donde:
|jm Cos(xy)-Cos[Sen(2>cy)] 3 (H* x*y* "2
Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
Si= {(x,y)eH*/y=0} =* U ^Bm^(l+x*y,)e7*j =(1+0)e" =(0)e- =0
g SLUlOMARIO AMAUSIS MATEMTICO III a
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u^ x,+y,H i ] =o
O lrm f-^- M -M x '+ y *Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
S'= = ' I ^ o =S2(0)=0
S*=
L=lim.-m , = . puesto que esta solucin depende de m. -wn+m 1+m
El lmite no existe, (tambin S, * S)
x+y
Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
S,= {(x ,y )* V 0 > = > U ( = = j
Mediante limites laterales:
L,= lim - = L,= lim =-==L=1_ lim x1- /(u 'i^ lJ + y 1 ' t m Y
Puesto que Si St El lmite no existe.
Lim
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- t - < 1 1jr w i .v r n F
1-Cos(r*)L= Lim derivamos el numerador y denominador respecto a r
l LIlLl aS (r ) Ll Sen('1' Lin- i - i
S, ={(xty)'Jl,/yf=0}=>U Lrm \ t = L im (>jHlM)x, +y 4 ^ y.
* to*Ca{tt)Sen[c/) '*> 3rCo9 (rf)Sen (d) ia'IGoss(c>)Sen ()
Cos(r') iL=Lm----------------1 _ = ! = *
6rCos (>)Sen (0) 0
-Sbf-e? e?
U L i m - - ^ - = t i m - 4 - = - = 0 * -2 x ^ 7 " ? *
Sen [Sen(3xy)]
m r - t h o t t
S={(x,y)e*i/y=x} = ? g r Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
Mediante LHopItafc U = L im -d l_ = L jm ^ *** 2e* - i f W *** e**1
1Coe[Sen(4xy)1s - -a i e . w [ L < U ) i
1 - CosP Sen (4x*L=Lim------- -J= r -p Mediante LHpital:
Sen [sen(3x )]
L=Lim ~8X~ =Lim = =0 De Donde: Llm e* **, =0 l l Sen[Sen(4x1)]Cos(4x*)(4x*) 2Sen [sen (3x* )]cos [sen (3x* )]cos (3x* )(3x* )
1-Cosfx1 +y*) fcWJU x*y* (x* +y*)
8xSen[sen(4x, )]Cos(4xs) 4Sen[Sen(4x*)]cos(4x*)
6xSenj^ 2Sen|3xI jijeos(3x ) 3Sen[2Sen(3x )JCos(3x*)
Aplicamos LHpital nuevamente:
En coordenadas polares: ri=x*+y* x=rCos(ft) y=rSer>(0)
1-Coe(x, +y1) t _ 1-Cos(r*) U k A J xV (x*+y*) ^ rCos (0)rSen
u Llm 4O[sm(4^j][C0S(4 ^)J(4 ^)'-4 S [sen(4^)]Sai(4)f)(4x )- 3Cos[2Sen(3)?)][2Sen(3j)]'Coa(3x)-3s[2Sen(3*! }]sen(3)f )( )'
J SOLUCIONADO ANALISIS MATEMATICO III SOLUCIONAR ANALISIS MA ibMAIKJUH
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35yCuS [Steli [4Jta )~|[~Cts (4Jta -3fcl5gi fen (4a1 )]aHi (4Jt* )us [2S&1 (a** )][2Q (a*1 ) Ja* ) B (a*1 ) -lfiaSen [asen^ a* )^ai ^ ii )
i^j^Lscj^ a*1) J cos{ a*13) - i*jiS&ij_3Se^ a*1) J aai(3jiE)
1fiCoe[seri (4*1 )][coh(+X1 )]* - I 3en[sen (4* )] Ben )
( 1-fiCoo (Q)|"Coa (0)J* l&Sen[5oi{0 )]Sen (0 ) if,_Q i69Cos[ESen{jJpCoE(0)]Coe(0)-flSen[2Sen (0)]Sen(0) " fl-0 9
1-Coa|~Sen(4>y)~|(Jh w ) Ben1 [Sen(3xy^
1Coel" Sen4i{3ilL= Lim---------J= / Mediante L'Hopital
Sen, [Sen(33f')]
L TJ_ S e n ^ n ^ ) ] ^ ^ ) ^ ) '^ Sn[Beti(SK3)]Cos[en(Sx1)](B(Sir,J(3xa)1
1 ExSem [Sen (4k3 )"|Caa (tx3 ) 4Sen [Sen [4x3 }")Coa (ix3 )
I-,J iiKSn.'EBcn (3k1 )]Ceb (3xn} " " 3Sen [SEen (3xn ) J h xn )
L Llr.i
x S^t fan(4Ji l"|stai (** )"" 3tua [2Sai (a^ )][2an(3ii' )|a^ ) -??ji&ai[2ati(3^ )]stti (a*1 )
4SjQB|"sai(4*aJ][Cs(4aJ"j1 -48Va5&l[ssd(4Ji ) TifCtx [ss&i(3x? ):J[aDa j^? )]qs(3j* ) -OTi'5ii[S!n^>i' )]sen (Sii J
16QMj"Sen(Aita)"||"ta(4a)"|' -15ai|"Sen(4aa)"|Seii(4it')J ^ [^ (^ JJiH ^a v * )] U^ax*) - ijainfasinfaii JJssiisx*)
1:oe(0^CDs(0)t-16Sen['Sen(-D)]Sen(a) ifi_0 lb;[EBen ( )][2Cos (0 )]Cos (Q) -fien [2Sen (0 )]5en (0 } "" fl-0 9
* _ icSen' [Sen(3xy)] 9
G Lini 1-C[Sh(x4-y)] Sen |_Sh{2x + 2y )]
caminas que pasen por(,Q)
1 CoefSh2x)l sm*[sh(4x)]
Mediante LHpital: k='{wMiHHSen [Sh (4x )]cba [3h (+x )][Sh (4x)]
L= Lim = Lin^ 'H ) Sen[aSh (4x )]Ch (4k) (4 ) ^hffl)3Ser [SSIi (4x )]Ch (4x )
Aplicamoa L'Hpital nueranwtE:
^ Cca[ ^ ( 2K)]Ch-(Ex){Ex)'+ESen[ ^ ( Bx)]St,(a.)4Cca[2Sti(4x)]Ch (4x)(4| -i-aSen [2Sh(4x)}5h (4x)
ECoa[Sli (2x)]Cti (2x)+ ESen [Sh (Sx}]Sli (fcjt ) " ( A 4Gos[25h (4x)j Ch (4x)+ 3Sen[2Sh (+x )]Si (4x}
r g -
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1 lL 2Cos('Sh(0)]Ch,(0)+2SEnfSh(0)]Sh(0) 2+0 1 r ihnx+(1+x,-2x> 2 2l6Cos[2Sh(0)]Ch(0)+8Sen[2Sh(0)]Sh(0) 16+8(0) 8 1+X+X-8 -1+2=3
O Ljm x+Ln(l+xy)_2 M l+x+y 3Tomaremos caminos que pasen por (0,0) ^ . =_ Ancsen(xy-2) I Arctg(3xy-6)
MedbraeLHopMafc u Llm -S"[='W]*M*SW W) SxTomaremos caminos que pasen por (2,1)*-( Hi-i-
Aplicamos L'Hpital nuevamente: Aplicamos L'Hopitai:b. LlmKrHiv 2 2 . I-I x-'2| U>j5* 3" 1
^T2yTomaremos caminos que pasen por (2,0)
1+(3x-6)O Llm *+*/+V W W) (x*+/) Mr
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L=Ljm Cm< i ) 5^ ( )
UCcs\8>+3Coety)Sen^e>f2Cos(8)Sen,(e)
Puesto que esta expresin depende de 0:
x*+3xV+fc*>(x' + y*)
Ix m 'Mx* -t-y* 2x -4 y +5
Tomaremos caminos que pasen por (1,!)
St= {(x,y)e*/y=2x) => ULim- 2x*-2x-2x+2
2(x -2x+1) 2 g
n o W. s , . s , . i ; ; - --y* -2 x -4 y +5
Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
S, = {(x,y)e V x } => U Lim^(x+ y)Sen^ jsenJJj
L= Lim(x+x)Scn^j = Lim2xSen^j
Por teorema de Sndwich
- IS S e n ^ j S i =>-2x23fSen|^js2x
Lim(-2x)S Lim2xSen]^ j S Lim(2x)=>0s Lim2xSenQjsO
= Lim 2xSen(^j =0
Si= {(x,y)e*V=xt =* L= {J jim ^(x+ y)S e n ^jse n ^j
ULm(x+x)Seng}sen(-ij
m[l | Senf J. j l =03(x+x*)Sen j ^j SenQ, j S(x+x*)
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1
lim (0) lim (x+x*) Sen j - | s lim(x+x^^ -V117,'7W
asjim(x+x*)Scn^jsen^-i|O lim (x+x^Scn ^ j S e n ^ j =0Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
S,= {(x,y)e*/x=0} => L= lim = lim-?- = 0 (wHj)*y+y y-0+y
S, = { ( x , y ) e 3 l => ^ (| y)Sen^ jse n jj j S= {(x,y)etVy=x} => U lim = lim -^ L = lim = 0 1 Osfx+x^ jSen j^ js e n j^ j s(x+x*)Tomaremos caminos que pasen por (0.0)
ljm(0)slmi(x+x, )s e n ^ ]s e n ^ js lim (x + x 1) u lim 2 1 1 2 lim / l + J ! x+z x + z )
ftslim (x+x4)Sen j -^ j Sen^-j-j 30 lim (x+xs)Senj^ | Sen^-1 j =0S, = {(x ,y^) V 0 > => U j n J l + J L j . lm ( l ) .1
De donde: Sj = {(x,y^)!N1/y=xrz=0} =*U1fa^1+2|j=2
o JtuiPuesto que S ,^ , Hm X+y+Z=g
x + 2
g SLUCIQMARIQ ANAUSIS MATEMATICO III
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St={(x,y)e9lV*} =* ULjm xSen ^ j = 16Sen^ j=8V?
S4 = {(x,y)eViix/4} => U Limx,S cn -^ l = 16Sen-} = 0&
xy7Sen|+Z*]+ x V z
O
Tomaremos caminos que pasen por (0,0,0)Si = {(x,y)e3t4/ytemx, z=mx} =>
mxSeml + m V W m VL = Lim---------------------------- 1----------
Ln|lW x\,
3mx'Sen + m V !-*-2mVCas + m V l+7m4x*U Lim --------------1*------------L --------i f ----------- 2------------
" " 3m*xV(l + m V )
(l+ m V )f 3Senf^+mYj+2mVCasf-|+rrf'xl'j+ 7 rnV 1 ULim ' ^ ^ i . J
S, = {(xty)eMV=oc*, *rfen +zILi"> --------------------------\--------- =(w 'H W ) ln(l+xyz)
M 7w ; \ W
Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
Si = {(x,y)SR*/y=mx} => lim rVx + m V -1 x -x m V ][ x ' ^ - 1 ' x ^ m ^ J -
.. T xVl+iti* - I 1+xm' 1 = 'r^ "^x*(l+m,x ) -1 + l+mx J = 0 -0 = 2
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S,= {(xIy ) i/y=kx*}=> Li /x + k V - l x* + xk*x< x1 + le** - 1 x*+kV :
LJ _ 5 ^ L a L g 4 l = ( H i ) = : [x*(t+kfx4)-1 l-*-kVj v
^ S E S k fCalculamos el limite mediante teorema del sndwich:
- t s & n f i l s l - t i C o . f e ] s 1
Os ^Lm i^x1 + y, )S e n ^ J c o a ^ js 0 , +0 de donde:
I SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III
OTomaremos caminos que pasen por (0,0)
Si = {(x,y)e9J*/y=mx} => U m -^ -y ^ L = L i n 3 ^ =0 ** x +(mxj -1 + m
S,= {(xry )e ,/HD} = Lim-
, 3 x VLim 7 =kvHWx1 +Y
0 Lim -------* w fcyhM xV + (x -y )
""" x*m*x +(x-m x) " " m V '^ l -m )1
a s , t w ) - o
Sen(xy-z*)O ( J LT*a>= (xy . 2.) '
m v r . ' v
Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
S, = {(x,y)e*/y=mxr z=mx} =
17
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Sen (roe1 - r a V )Aplicamos Hopital
2mx-2m'x)Cos(mx* - m V )= L'1"-------1--------- L' * 3 (m V -m V ) (4 m V -4 m V )
(l-mJCosJmK - m V ) i _ m * (m V -m 4x*)(2mx -2 n iV ) 0
Sen(xy-z )
( x V - z 4)1
Aplicamos Hopital
Si = {(x,y)eV>nx*, h ir * => U
(r a V -m V )
(3mx' -4mV)Cos(mxJ -m V )
3 (m V - m V ^ f a i V -8mV )
- =3^=*H# -m V )* (6mx -4m!xsj 0
Llm
O
n por (0,0)
S, = { ( ^ V O } = U = L n T 5 ^ = LJm(0) = 0
S* = =* L=
Puesto que Si* S. El limite no existe
I-Cos*1 - y 3) x8 +yt
gmirwwl-Ccefx -y M
L% . ^ y
En polares: x=rCos(e) ; y=rSen(0) ; 5^ +y*=r*
L=Lim 1- C0S[ rJC0S() - rlSen(tf)3
Aplicamos Hopital
= Lim-Sen[r'Cos(0)-r5Sen()](3r*)[Cos(t)-Sen(fl)]
2r
en[r'Cos(0)-r1Sen{?)][Cas()-Sen()] ^
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O. LM>=mx=i Lime = e "= c * =
______ , ,_m V -3 m x ! +x*= V ^ ^ L !m - _ F_ 1- r _
-3m +l m -3m -11+m* l+m!
Puesto que depende de m
iSOJCIONARIQ AMAUSIS MATEMATICO III
1
s,=y=c^
xn/Cx , . Vo7 ^ W+W k r ^ T ^ 7 =
Luego;
( * ^ P ^ =0
A Lim j U / x! +y
O ( , . ! ^ 7 v
=* =-o
LJm ^ ^ = U m - ^ L = 0
s=y=x5 = Um [ 4 =Lim4 =Jx +x 2x 2
Puesto que: Si * S=>
^ SOLUCIOMARIO ANALISIS MATEMATICO di ^
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Q Detiimiiwsifescontnuaen(10i,0}, dDotfe:
o f r y H a o )
J M H ^ y T Ta) fl]0r0> = 0 Por definicin
Por tanto, Lim = no esdste, de- donde L im ft)i,y)= no ex
ci PUesto que Lim 1FkV)= nocrte, la lui ( '
Q DEtem-iinar si la tunciim f ea continua o no, donde:
(W *** ; 0 H H I = q
La luncitn es continua en (^# =>
Sen*fx-y) . Sen* (x -x 1) Lim i l ai =Lim ? '
eH
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c) Puesto que ^ Uin^ f(x,y)=no existe, la funcin ea discontinua en (0,0)
^ Determinar si la fundn f es continua en (0,0), donde:
l o (^y)=(o,o)
I - ' * 1 ' " !
b>Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
Si = {(x,y),/y=0} => =
S = {(x,y)eMVy^mx} =L = Um j f t l = L i m f 1' (t,>HoiL = , = Umx* ^ y
ULJyT^=Tn%=0
1 SQLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III
c) Puesto que ^ l i^m^ f(x,y)=f(0,0)=0, la funcin es continua en (0,0)
Q Determinar si la funcin f es continua en todo 1, la funcin es continua ei
tanto en 91*.
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1
3"3Scnl l2] x w ^ u - .. --------- J - L J - 5 S J]_I!5S->,[^ i T ? ] ~h -i
3 -3 S p | l L=Lm----------- ------------ Aplicamos H'oprtal:
-a a * [ ] ^Cos(^) 3*-vsp i fc ^ Puesto que SiaSt ^ m ^ f(xy) no existe:
3Senfll
u y r*5 ' 8c) la fundn es discontinua.
3-3Senf X- - ^ - Z- - ^ ) , ) Analiza la continuidad de la funcin f en (0,0) donde:Lim ------------- = -(x.+y.+z*)* 8
l 0 (x ,y)=(0,0)3
c) Puesto que ^ Lim^^ f(x,y,z)=- Ib funcin es continua. m t' iiyyry
Determinar la regin de discontinuidad si:a) f(0,0)=0 Por definicin.
b>
[ o (x ,y)=(0,0)Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
a) f(0,0)=0 Por definicinULjm|x+0+ ^ j =0
b> K ^ .)^ y)Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
S, = {(x,y)K,/y=x} => 1= ( L im ^x + yi j
B _ SOLUCIOMARIO ANALISIS MA.1 m a i iw m
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DERIVADAS PARCIALES
ir di 81
Hallamos primero ^ derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
J2v,'\x'+y*ty|(x, + y')7x,- y '
V?xy*|y)Vx + y \ V - y
/g x / yx * -/
&Ahora ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):
HSOLUCIOMARIO ANALISIS MATEMATICO III
mi d fV - y * ld y U '+/ J y*
k Y * - /
& = Sy
8z Vx'+y
2J x '+/ - x ' +/ !
(x*+ys)(xB~yt)1
( * ) . )
3y 2/2y* |
(x*+y*)((x*+
[ (x*+y*)
y*)(-2y)-2y(x*-y*)) -2xV(x:Vy*)
a V v ( :
-x-y
W V (x*+y
-x*W?37
*/777
N
0Z i/x* +y I
f2/(x*+y*)Vx -y* >/2
f(x-+/)(-2y)-(2y)(x*-y*)]
M
1 2x*
- x ^ W T ^7H(777j7?T
b) z=Ln |xy'+yx +^1+(xy*+yx*) j
J fv n .V 'T W
Hallamos primero , c
SOUJCtOMARW ANALISIS MATEMATICO DI
:
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[x y +yx ^ x y +yx*)*] = > g =V+yx*+Ji^ y*+y?7*y* +yx* +^i+(xy*+yx f
az
L > K ^ n2^ 1+(xy*+yx*;u ^1 + (xy+ yx]' Jx
( / -c3z
xy*+yx*+^+(xy* +yx*)1
4 t * 6 i Ix^y* +yx* + ^1+(xy* +yx*), j
(y* +2x y )^ 1+(xy*+yx, )f +x/+yx*
s= Ln^xy* +yx* +| l +(x / +yX ) ] = 3xy +yx* + ^1+(xy* +yx)*T
xj^+yx +V H V +yx) J
f , o _ 2(xy+yx )(x +ixy)l
8^ i+(xy, +yx*)* | ajl-^xy'+yx*) J
xy, +yx, +^l+(xy, +yx )'J j xy* +yx* I +(xy* + yx*)* J
* | v * y x , ^ fM v 7 ^ 7 j [ V + y ^ i + K + y * )1]
* ^ ( x y +yx')*
C) z=xyea^ **)j r T T r ; *.*7y
Hallamos primero , derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
z=xy = > ^= xV e*n '> xye"6 [Sen(*xy>]'
=y e ^ * + xy Cos(xxy) (nxy)' = y ea"fc",) + xy* e^^Cosfiocy)
Z=xy => ^ = y x e ^ + xye5"*" [Sen(*xy)]'
51 =xea^ w,+ xyea^ >)Coa(trxyXiixy) = xe*^,+xyxieafc,to 9(iDcy)
d) z=(x* + yt) l
1
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9\R
r
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Hallamos primera , derivamos parcialmente respecto a x (y constante): 8x
Z= (x'+y*) 1~ yiXf+y]
*
* (iW *+y'|
2-Sx(x*+y* )+()+y
ex (1+7777). ** -(''-te] |t+Vx*+y*J [ (1^ j
ra , derivamos parcialmente respecto a y (x constante):
'- 5
(i+,/777)
,-2y(#+y*)-4y/x! +y
* (t*/x*+y*) _ ( u T O f+ Arcsenl i H |
Hallamos primero t c
f S M S ')2:)
z x ^ [x y -x -y ] | I (x y -x -y )' 1 J ^ - x - y^ y - (x + y f ^ \ (x y -* -y )(x y + x + y ) xYxy+x+y
dzAhora r derivamos parcialmente respecto a y (x constante):
t W ) T I ***$*
SO LUCIO MARIO ANALISIS MATEMATICO NI
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(V -V x -')' V
* f ( ^ ) 'dz y ^ j x y -x -y j ___ 1_ I (xy -x-y )* ^ | j x y -x -y
Jx V -(x + y ) y*|(xyr-x-y)(xy+x+y) y^xy+x+y
Hallamos primero ^ , derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
= 2xSen* (y)+ye**^ -(-2x*ye**^
52Ahora , derivamos parcialmente respecto a y (x constante):dy
? = 2x'Sen(y) Coe(y) -t- xe"', + 2 x y V ^ '
I z=Seril[Ln(xy^]+CoeV-e)
Hallamos primero ^ , derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
=2Sen[ln(xyi)]CoGfLn(xyi)] rWxyi )]x'W(e>-e-)Ser>(e>-e*Xe>-e*)
- B SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III
g=Sen[2Ln(xy )]h lj-3CoSI (e -V)Sen(e' -e*)(-e*)
= - SenlSLnCxy l^+ae'Cos -^e'JSene-^)
Ahora , derivamos parcialmente respecto a y (x constante}-.8y
V =2Sen(Ln)
| =!sen[2U,(xy ) ] -3 e W ( e ' -e )Sen(e* - e )
h) z=1^ (e ^- * )
Hallamos primero derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
| =3T8* ( e - -e ^ )[T s (e ^ -e ~ )] ', = 3TS (e** -e'-}Sec*(e^ -e*)(e*" -e**)',
J? = 3TS* (e-'-** )Sec> (e*1* - e*1* )[c* (x/y). -e '* (yx")J
| = 3 T 8 ( e - -e - ) S e c * ( e * - -e - ) [^ :+ ^ ]
SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III
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1 l
I { ^ )|? =Sen[2,(Xy )]^ j -3 C o s * (e -e* )Sen(e' -e)(-e*)
* ( ) w v-
* f ( ^ * * & * *
=-i Sen[2Ln(x/)]+3e*CosV-e')Sen(e-e^
Di y~*fxy-x-y] 1 I (x y -x -y ) ' i jx y -x -y v' x V - ( x +y)' y*)((xy -x-y )(xy+ x+ y) y'Yxy+x+y
Ahora ^ , derivamos parcialmente respecto a y (x constante):
=2Sen(Ln(xyi)}Cosi[Ln(xyi)][Ln(xy)}/aCosi (e>-e*)Sen(e'-e1 Xe-e1) dy
0 z=x*Scn*(y)+xyevg v T ry y rg
^=Sen[2i(xy*)]^j|-3Cos*(e-e'')Sen(e'-e)(e)
= 2xSen* (y)+ ye**v + 2xye***T* | = |sen[2U,(x/)]-3W (e>' -e )Sen(e> -e )
dZAhora r derivamos parciaJ mente respecto ay (x constante);dy
1 h> z=Tg>(e^-e^)
# y i i y v , ' y
? = 2x,Sen(y)Cos(y)+XE'v,,, +2x y V '*'1 Hallamos primero derivamos paroaJmente respecto a x (y constante):
g) zsSerfpiixy^l+Cos^e'-e*)g =3TS' (e*^-e-)[Tg (e > -**)]', =31fc*(e* -e --)s e c * {e ^ -c")(e' -e"*)'.
| = 3Tg* (e> - eT
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Ahora , derivamos parcialmente respecto a y (x constante)dy
| = V ( e - - e - ) [ T 8( e - - e - ) } T
| = 3TS(e --e -)S e c * (e- - e - ) ( e - - e - ) ' y
^=3Tg, (^ ,-e^,)See(e'v-e'rt) ^ ( x / - )^ -"* (y/x)yJ
z=Arctg(xy) + Arasen^ JL jM '/ V y ''T W
Hallamos primero ^ ; derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
a (v)- . f e ) ' _ y . 0 +y)_ _ _ _ V . '** 1 + kV h ~ 1+XV (l + y) (^1 + y)! -xs ' + *V v'(i+y) -x*
dzAhora f derivamos parcialmente respecto a y (x constante>.
\ ( f y )1
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j) z=Ln(xV) + Arctsg]
i
Hallamos primero : derivamos parcialmente respecto a x (y constante):ax
& = (x+y )-; +_ [ ^ _ =_ i _ + _____ i__________
^ x+yI ,+[yJ X*y' x* ^ y' *+yl x,+y*
Ahora =^u =_?y_+_L_ =_2l.+_ _Sy x+y i+ ^ j x"'y X' +Y' x+y* x,+y
k) z=5xY-2xy5J ^ T t r r .T g
Hallamos primero ^ ; derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
^ = S(43/>-2ys = 20^ - 2/
Ahora ^ ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):
= 2x*y - acsxy4) = 2x*y - 1 Oxy*Sy
J
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I) 2=x?+3y*+Ln(x+y)
Hallamos primero ; derivamos p
Ahora ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):
B - tM tH ') ]
J5 = Coa(x*)^sec1 ^ - - ] = - - S.* y* U A / J / y*
H )
f a>UA*DO ESBOZARAMOS
-^viiyyrwHallamos , derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
3z_ c- ^ g(x/y) | ( x / y )__e* | 1/y1+(x/y)* " y (/+x*)/y*
& e~*^ ( y
Ahora ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante)-.
& = 9(x/y) (x/y) xe~ ^ | -x/y* & xe~^ y x5y e +1+(x/y) yk +(y*+x)/y ac y* x +-y*
o) z = (SxV-y*+7)* _______
Hallamos primero - derivamos parcialmente respecto a x (y constante).8x
g =3(Sx!y -y > . 7 ) * ^ - ^ =3(5xV-y' +7/ (lxy)
=30xy(5x,y-y +7)*
Ahora ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):0y
^ = 3(5x * y -/ +7)* a(Sx'V ~ S +7) =3(5x*y_ y> +7)* (5x _ 3y*)
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Hallamos primero -y ; derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
= 4x3-8xy8x 1
Ahora ^ ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):
= 4yI -8x*y
#-*v
Hallamos primero ; c
Ahora ; derivamos parcialmente respecto a:
a) f(x,y,z) = e*** Sen(xy)Cas(2xz)
b) f(W )= , "V ,
c) fCx,y,z)=e*+Aras e s
d) f (x ,y ,z )= x '-~
e) f(x,y,z) = xs+yA-3yz-x+z
m v w .i 'r m
a) f(x,y,z)= e*" Sen(xy)Cos(2xz)i) Derivada respecto a x (producto triple):
=v xSen(xy)c yEl'Co6
-2xe* Sen(xy)Sen(2xz)
ii) Derivada respecto a y: f | ^ z )
* Sen(xy)Coa(2xz)+xe"Co6(xy)Ccs(2xz)
iii) Derivada respecto a z:
M . =xye*"Sen(xy)Cos(2xz>2xe*Sen(xy)Sen(2xz)
i) Derivada respecto a X:
(x ,y,z) f** -t-y* +z*-x(2x)]
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1 1
(x+yjVx'+axy + y^-x +aty-y* (x+y)V4xy (x+1)\xy ( x + l ) ^ "
Luego con (! ) y (8), la demostracin
x - ^ + y ^ 1 ' [7*?-V ^ y ]= > x -^ + y ^ = 0 demostrado.Sx Sy (x + y )L J Ox V
Q Sfcz=x*-3xV-2y,,verifiqueque: x -^ + y -^ = 3 z
Derivamos respecto a x:
= 3 i-6 x y ...(1)
Derivamos respecto a y:
^ = -3x-6y* ...(2)sy
Ahora verificamos con (1) y (2):
x | + y ^ =x(3x*-6x-6xy)+y(-3x, -6y* )=3x,-6xV^x V V = 3 x '-9 x V V = 3(x-3 x V V )
x +y = 3z demostradoSx dy
Si u=Sen^l^\ verifique que: x -t-y -t-z =0 W V z / 8k df dz
Derivamos respecto a x:
s K t H
Derivamos respecto a y:
Derivamos respecto a z:
Ahora verificamos con (l), (2) y (3):
x -t-y + z = 0 demostradoSx By 8z
S: ; % V y ' - | rVtrilqUeqUg Xf +Yf ~ M 1+1)
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esin dada:Ahora probamos la expresin dada:
Av ftv Sw _X 8x*y y*Z di =Ai Ai Ai .prabarque: x +y +z +u=0
E & ty Dz
jfv H .y y r w
ft, _ -z (y + z )Sx (xy+yz+xz) '
Derivamos respecto a y:
*!*s*-x(-3-7*M -7M )x +y +z
E* 8y n. x x y x y x
Xac+ y Sy+Z0z~
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1 1
Q Si: u=y*+Tg(ye probar que: x' ^ = 2y*
^TiTur^r-TW
Derivamos respecto a z:
Ai (e +e'+e*)ew (x y )-e V w e^xye1+xye'+xye*-e ) * (*+eT+e*)* (ex+cr+c*)*
Ahora verificamos con (1), (2) y (3)
g =Sec* ( y e * ) f ^ D = ^ (xJ ySec* { y f f i Z p = ^ S e c (ye )..* ) 1Aj (u Ai e (y 'iyTe'.>-f) e1*, | y - " ) e*'1Ixytf . *yt> .xye *)* * * * * ( r ( 'w y
Derivamos respecto a y:
^ = 2y-Sec* (ye** = 2y+cwSec* (y*" ) . ..(2)
a x ^ + e. (e*+e'+e*)
ai Ai Ai eW[(Vz+xz+xy)(e* +eT+e')-(* +er +e1)] "S +^ ' KS (e, +eT+e>,)k
Ahora verificamos con (1) y (2):Ai A i, ai e**r(e*+e>'+e>)(yz+xz+x y -1)] At+^ + * (e'+er+e*)
x * ^ + y g = -y 6,'*sec (ye,,) + V ^ s ee ( ^ )
x - ^ + y -^ = 2y* Demostradoc
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1 1
Luego; ). Demostrar que la funcin z= + - + - satisface la ecuacin: w 2y 2 x y( ac * * ) 1 * + * x * g+ y*g =
,fau . a , . . ^ _ g(x, +y*)z 3z l de v &J f(x+y*)4 *V+y* M VHVV.'J
3f , ! + y ^ + z ^ l = - ^ + ^z( & 1 7 + 7 7 x ^ 7 Derivada respecto a ^ = 2x+ ' i = X+'% < 2y 2 x* y 2 x*
3 x + y + z I = Z u Demostrado { S*. Sz) $ y +/ Derivada respecto a y: =-2 +-L V 2/ y*
xy Ai Ai Ai |M Siu=x+-------, probar q u e =1w y -z & V & x ^ + y * ^ = x * + 2 -l l+ y * f 4 + 4 l= + l -1 -^ + l u V (y 2 x j y1] y 2 2
M '.'ii v.'TW 1 8z i tu. x1x ^ +y ^ = 7Derivamos respecto a x:
a c - y -Z V - (y _ z) ( y . xf Demostrar que la funcin z=y'Sen^ j , satisface la ecuacin:
a> - ( x- y ) ( - i ) x-y ^ (y-z? (y -z f x +xy = yzat 0y
oj Su ( ai da n ( 1 z -x ( x -y ) ( y -z+ z -x + x -y , ( 0 1 A M IIV .WSL at+ay+ ai 1V * +(y-z)*+(y -z ) 1 (y_z)* Las derivadas parciales:
ai | ai | a j_ 1 s - ^ b w m o b )" ac+ ay+ z
B ----------------------------------------------------- E
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g = y** [ ^ ( y ) + l ] Q c o s g ) + y ^ S e n g ] ( i )
Luego en la expresin:
+xyy^ * [Ln(y) + l]^ jc o s ^ J+xyy^S eng j^
+yy'rf*[Ln(y)+l ]C o s ^ j+yy^SenJyj
x - | . x y | = -y y > -C o s g )-yy"Ln(y )Se n g )+
+yy"*Ln(y)C o s ^ j+yy^CoS^ +y^'1'S en^j
Z I SOLUCIONARIA ANALISIS MATEMATICO III
Si (f) es cftferenciable y R(x,y) = f(x-2y). Probar que:2F.(x,y)*Fr(x,y) = 0
JT -T n T V T T
F(x,y) = f(x-2y) =* F, (x,y) = f (x-2y) ; F, (x,y) = -2f(x-2y)
2F,(x,y) + F/x,y) = 2f(x-2y) -2T(x-2y) = O
Sea z=f(x,y), x=u+v, y=u-v. Demostrar que:
(HHX)g - v u r ^ n r
Las derivadas parciales:
=f(x,yX+l)=2f(x,y) ...Cl)
= 2f(x,yX0M> ...(6)
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Supongamos que ffx.y -^EV1' y que g, h son incicnea rales: que s(5)=3, h=&.Hallar FfS) al F(t) = f[gft}r hft)]
* T .1HWM DErivanra nespedio a t la funcin F:
F -O ^ fK U h O lK t^ h C]
De donde fl^y) = ^ [ - ^ + ^ 1
F'(2>f KS), h^lCgTaHh'S)] a9(3>^hCK>5 =- PM2), h(S)] = F3,5X4-h6> = 10F{3). .. M 3 =*Co
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if (O,.? / 4 )y
Q Sir=Lnfx+X IhaJIar^l y ^ jw I 2xJ ac|^ ) e|^ t)
z=u,[x+i;)=,(2x+y),(2x)
(^ y)_(glc,+y). ( * ) ,_ 4x g_ 4xSx (2x*+y) 2x 2xI +y 2x 2x*+y
(x ,y ) (2x> * y j 1 y (Six* +y) 2>f +y
En e) punto P(1,2):
__ 4___1__1 M 1 _1= 2+3 1 5 ; 2+3= 5
Q a f(x,y>= ^ x y + i c a la ila r^ 2] y ^ ^
J ' T V . W
Arreglamos la funcin:
f(x,y)=Jx+^ =Vx+ xp
I SOLUCIONAR ANALISIS MATEMTICO III
gf(x,y)_ (xy+xy^)v y+y-!
Z^xy+xy1 a^xy+xy"1
af(x,y) _ (x y+ xy)v _
V S^xy+xy" 2y,xy+xy'/2+2 2 a/aTI
Si z=etxCos(y>ySen-ySen(y)] + e*Coa(y>= e> [xCos(y>ySen(y)+Co6ySen(y)+2Cos(y)]
| 4 = e* [-xCos(y)-Coa(y)-Cos(y)-ySen(y)]
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D .......
- H = e* [-xCos(y)-2Coe(y>ySen(y)]
= e'CxCosCyhiSeniyHSCoar)]* (-xCos(y>2Coe(y>ySen(y)]
S'z 'z _ X1 ' Vs "
z = In Vx*+y1+^Arcts^-j
JE2EHFz = L n V ^+ y -^ A ra 8^ j = J u . ( x , +y*)+Airt8^ j
(x*+y*)_ x*+J
* (*') 6 ). gy , 4 ____________ *y+* s(x+y> f.+gj] 2K+y*) *t+> *+*> x+y
z g (x + y )-(g x -y )(2x) gy - 2x- +2x,^ (*,+ V*y (x*+y*)T
I SQLUCIQNARIQ AftUSIS MATEMATICO III
>2 2(x, + y )- (2y -x ) (2y) 2x -gy +gxy(x*+y*) (x*+y*)
d'z S'z 2y -gx*-t | 2yll- 2x!!+2xy Qax* ^y* (x'+y*)* (x*+y*)s
Q Si V=Aras| ^ i I. Demostrar que:
"Sx ' y ' Sx* 3y*
# v 'n y v T w
la derivada respecto a
a . (1 B y ( x -/ ) -2xy(gx)(x, - / ) S 2x*y+2y1* Hft K - . J T W /
Derivada respecto a y:
( 2*y 2x(x - / ) + 2xy(2y)
(x -y*) gx*y+2xJuv -y jy ______ -y \________ x^y-j-^x* = 1+^ ) ~ "(x*-y*), +4x'y*
8x Of (x* y*)* +4x*y (x, - / ) , +4 xV
1
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l V _____ Ek'y+SV3
g,v [ ( * - V" F + 4 * Y ] (4xy)-(at- + Ey3 )[s - y* )(S*)+By= ]
jfy gy(g/-x*-Bxy*)
La Begjmda derivada respecto a y
By (s * _/ ) +**?y
e*v [Cx* - ) +4k^ s] C2* ) - 13**^+yJ )[s ( 1 - y )(-y)+exy]
[(x " -y = f + * x V ^
,iy 2ifan'-xg-eKy')
^ ' [(x - y - ^ ^ V ] 1
giv ByfSbJ -x a-Bxy*'] Exfax1 -x^Sxy*) ^
** v [ ( ^ - / f + ^ y - J [ ( * - / ) +4 * v J
1
___ . . ., tfV 5*V & v . ,. Demostrar que la ecuacin + + - = r satisface pc+ :T r &fC jr dr
Derivamos respecta a k
y = =- f r + ^ r =# l+yl+z=)3
a V J (x* + y1 + z* )J -x (5 / zy x1 +y* + z1 (gx)
j*y Jx1 -ny1 +z! |~x! -Hys-HZ! Se1"] y ^+ z^-Ex*& l = (x-+yVz=)r ' ( x V y ^ r
- y p j a f r V + y ^ p y )
& (x + y ^ z 1)1
?v _ y j* +y, +zt [j-4-y1 -t-3 3 ^ ] _ x^+z'-Ey1V (n-i-y -hz1)3 (?+y +^)V1
SOLJUCIONARIO ANLISIS MATEMATICO III
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v V (x* + y* +') [x* +y'+z -3z] x*+y*-2ztte = (x*+yf+z*) = _(x*+y * * f '
Ahora verificamos con (1,), (2) y (3):
8'v 8'z # v _ y+z*2x* x*h-z*-2/ x*+y*-2z*ftt* ay + az*"(x +y +z*)M (x' +y*+z)M (x1+ y '+ z ')M
~TT,~ ? hC t =0 Demostradoa? = -q4Ae-*MSen(pt)Coa(c|x)...(I)
Ahora derivamos respecto a t
^ = _ L SenfptlSenfcpO+pAe^CostptSeryqx)
H SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III
c ..
kAc* kAe"^p = ------ Sen(pt)Sen(qx) Cce(pt)Sm(qx)-
Cos(pt)Sen(qx)+ . Sen(pt)Sen(qpO2 2
L| _ (k~l' 2p) kAe Sen(pt)Sen(qx)-kpAe * Cos(pt)Sen(qx) ...(2)
Arreglamos la expresin:
f W 4p, -klkAe'i^4- + k ^ =i--------------------------------------------- -Sen(pt)Sen(qx)
j =-qiAe'*wSen(pt)CoeCqx) =
g j Su
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1 1
1 . Si f(x,y) es una funcin de x e y donde x=Ch(u+v), ySh(u-v), demuestre que
d'vHallamos
M l! 3 En la funcin dada:
Pero = Sh(u-t-v) =Ch(u-v), de donde:ftj au v
M M ) ^ l= f (x ,y ) [S h ( u +v )+ Ch(U-v ) ]
La segunda derivada:
5 ^ 2) . r ( , y | [ ( u v ) . a . ( 1i - v ) ] , *f(>ty)[ci.(u* v ) . a ( - v ) ]
Luego: a m . ! H ^ 5 Z>sx>f ^ - < l w ) ( *1 )
g a . q w ) [ s h ( ) - a , (u- , ) ]
^ 2) , r ( , y ) [ ( u . y ) - C l . ( u - . ) ] , . f (x , ,| (C h (u ) a (o - ) ]
SOLUCtONARJO ANALISIS MATEMATICO DI P 5
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Ahora arreglamos segn la expresin pedida:
J l M = f,(x ,y)[a i(u + v)+C h(u-v)J +f'(xry)[a i(u + v)-t-Sh(u -v)]-
^(x,y)[Sh(u+v )-a , ( i i -v ) ] , -f (n y )[C h (U+v )+Sh(U- v ) ]
^ y ) _ < f^ y ) = f.(Xfy)[a ,(u+v)+ C h(u -v)]' -f'(x,y)[Sh(u+v )-C h (u -v )/
3 ^ J ^ y ) =fi(Xiy)[2sh(u+v) ch{u_ v )]_ f.(Xry) [2Sh(u + v )0 .( -v)]
g*f(x,y) .4 P (^ y )a (a +v )+Ch(i.-v)..
4^(x - l ) ( y +, ) = 4^[ch, (u+v )-l ] [a ,* (u -v )+ l]
^ ( x , -l)(y* + l ) = 4VSh*(U+v)Ch*(U- v ) = 4Sh(U+v)Ch(U- v )
4V' ^ ) ( 7 T } ^ ^ = 4 S h ( U+v)a ,(u -v )f -(x >y) . ..
Comparando (1) y (2):
1SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III
Q Si =[f(BJC+y)+s(a)c-y)] - nr>oTar - g = 7 ^ ( y * f )
J2EEFF(x,y) gF(x,y)
[rff (ax+y) -t-aFg' (ax - y ) ] ...(t)
Ffcy) 8F(x.y) ax yy Sy
^ ^ [ f ^ + y j + g a x - y ^ i t f a x + y j - g ^ - y ) ]
-f(ax+y)-s(ax-y)+yf'(ax+y}-ys'(ax-y)
Derivamos respecto a y esta ltima expresin:
-I----- f^ax+yJ+^ax-yJ+ftax+yJ+yl^ax+yJ-g^aK-yJ+yg'ax-y}
,F(m O]
syfax+yj+yg^ax-y)
V
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CJUTliim1 r EDUARDO EEP1NDZA HJU1DE 4
De{1)y
1 * J DemoBtiajdDa i y 1 By
^==f'(x:^Ba,y-fc]a ,z-cu)
^ =,E =f ' y _ J t ( x - + * C1- L ]
* a'fiiL,/] t ' iv- L f f . +f=f. S i l f r y H i , d e r ^ ~ - ^ = W ^ J*
f, = ^ = f ,(x-awJy-tKifrz -C E f)(-a -b -c )
. i O . I f ( * - ^ ry - W - M 1 a
1 f 1 V W T _ (-a- tj- c) '(3_flfljV_tto'I_ t 'a)J a+b+ c
T(x,y)* [f(x,y)]3
V t j L(-j - b- c) fl(K- ^ y - tte'z - b )J a+b+cr( [ f ,(x -a*,y-tM ji2-b*i) "I c
^ L iJ [( -a -b -c )f '(x -a a Jy-bejrz-bfl)J a+b+c
a-r(^y) ^(,y){[i-(,J')]i - 2*(,v)^>y)+p(xy)]'} n ^ r f r A - r i p u r } } ' ^Pfry)]' P M T
Finalmente:
aajL^bfg -i-cap = -h------------+-------------=1 Demostradoa + b+c a+b+c a-i-b+c
Rrobair que si tx-an^ y^bE. z-bn)=0 entonces aaii+ bEk4-cok= 1 ^ Demostrar que la Midn: z=l(xy)+ j , satisface a la ecuacin:
Mediante denracin implcita:-UH
* = - y =ffi:= iy=
% *T %" T ; " , = T 1 ^ = t j T ' i i i ^ r w
Drivmes respecto a xHallamos las dErivadaE pardales anteriores:
^ = ^ = f ,(x -a Jy -tw ,i-c w ) ; ^ = f'(x-a
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Ahora la segunda derivada:
Denvamce respecto a y:
Ahora la segunda derivada:
Ahora verificamos con (1) y (2)
Dada la funcin z=fCx,y) donde x=eCos(v) , y=eSen(v). Calcular +
Aplicamos la regla de la cadena: z=flx,y) zsfty)
H SOLUCIONAR ANALISIS MATEMATICO III
Aplicando la resla de la cadena se tiene:
^ t-L flz ay sr~ax'sr ay'ar
s ( d i \ s (>t x dz gysa-larJ a l & a y'arj
_ en #x | ac a | &y az t ay a f az'j S? flx'a* + a ' a ( , j + a ? 0y''~'al,0yj
SN -Aplicando la regla de la cadena para calcular
jL(i)=jL f k ^ .tJ L ') ^ ^ l - a* ftc!
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En forma similar para el taso de r
, fz e , i?1* & fi^ y z'ayai'aj "& + ^" at'a=
^z ^zfacY | | a^ g at gy | az ac 'ya i x * U u j+iyHajJ ^ ert5x'aj'u + & 'a 'f ly aj*
.V
ti (1)se tiene:
u1 ( y ) mEn la misma forma pas r es dEcin
0"z a tY | 0y Y 0 Stav1 _ a:l VsrJ 1 v ljESj yfilK's/Sp E
> t_ a'xJx = e cos' ai'1 |y = e'seni' Z = esenv a y
flz a*x | Bz g*y fe i3y! *y 3k=
- j OQSl'
Reemplazando (5) en (4}ae
Zi!ff| iUIJ^ IQMAlQ ANALISIS MJlTHIATICQ III
Sumando {3) y () se tiene:
&z frz. Sa[^ i ^ U d o nd e , - g ^ =e* f c ^ ' l# J a^ l.a }
^ Sea la ftjiwifin FiXy.z) = w^+K-S^y+ftz-l)11. Hallar ^ y _4 en los prnitos de la
superficie de nivel que pasa par el punto {3, -2, "l).
a a* S f
K w * = > V + 5fx-3)* (y+2)7 (-1)11 =* Fl(3r-^1) = 4 Oawfc = 'brrz + 7(x-a;r y+af FC3,-E,1)i = 36 F=H)Cx-3>l (yt-2f(z-l)11 =t F
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; 2 = f ( x - at) +S-(x+ai)
a v y .St* '.V ' = a V ( x - a )+ a V (x +- ) f = f ( x - a t) +S-(x +at)
rando las ltimas ecuaciones:
^ = a' - 0 Demostrado
. Mostrar que la fundn: z=Arctgj -^ |; donde x=u+v, y=u-v satisface la relacin:
Yac x*+/
B SOLUCIOMARIO ANALISIS MATEMTICO MI
dz L thC (z V y Xa i ^ a i ^ A i - ^ * ? x +y
_ te be cte 3y y xT i " x l v " 7 7 ? V + /
2 (ii-v ) u '+ 2uv+v1+ u! - 2uv+v!
2( -v ) u -v2 (uf-t-v*) u*+v*
^ Si u=Sen(x)+f[Sen(y)-Sen(x)]; mostrar que:
g c o a ^ g c o s ^ c o s ^ c o ^ y )
Cualesquiera sea la fundn derivable u.
Syx'
^ = f'[Sen(y)-Sen(x)]Cos(y) ; ^=Co9(x)-f[Sen(y)-Sen(x)]Cos(x)
^Coa(x)+-2-Cos(y) =f'[Sen(y)-Sen(x)]Coe(y)Coa(x) +
+Cos(y)Cos(x) - f[Sen(y>Sen(x)]Cos
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1 1
Hallamos el gradiente:(l3 ) n (1 ^ .| ? = -W 4 u J -2 v | ;U ----- _ t 04)8z ^ *i) fi 1+Suvu
Ahora ^ ) : f c J = uv J +uw| + w |...(1 5 )
Eh(13) 00 4V'^ .^ p r - ^ _ Y + 3 v j Z + 7 F=1
8z 1+8uvwE n d li tm- 1 El ngulo se calcula de:dt 1 +8uvw VF.Z=JVF))2| =Casda o a f c ) , - ' * * " _ < , x+3xjx' +y* y+3y/x*+y* ,
* v i s ? j i f c ? - - W H )
)J V 2 ^ X+y+9(X, +y*)
Finalmente
Sea la superficie & z=/x* +y* +(x* y*)1* y N=N(x,y,z) un \Oor normal a la
superficie S en cualquier punto (x,y.z)=(0.0,0). Si 6 es el ngulo formado por el vector N y (H*** V lx" H w ^ vf276^x*+/ + 9(x*+y, j V5
el eje Z, hallar ^ j Si:f(xltv . j O ------------------ ------------ , calculan(x?+x ^ + _ .< ) -
Sea:
F=Vx +y, *(x, +y, )M - zSea.
^ (*+ *?+*?+- O ^ ) (=*.) =
SOUUCIONARIO ANAUSIS MATEMATICO III SOLUCIONARLO ANALISIS MATEMATICO Bl ^
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^ -(1 -n)X.(x? + xj+x5 + -(l-n)x,(*f+*+jcV ^fay)* 2_sX mSu at^aij + V U J + x8y'au'!u + Sx'Ba*' dy du * '"
= e"seni'
en (1) se tiene:
fz r f z )
I SOLUCIONAR ANAUSIS MATBiIATICO III
En la misma forma para , es decir
!?z _ fz ftcV . az yV [ ^ fz ex &f t Oz &x te a*y rV _ < v (< v j + (V U 'v J + tyx'Sv V*
Reemplazando (5) en (4) se tiene:
Sumando (3) y (6) se tiene:
. f a V a V lb v J
) Si: u=F(x,y), x=rCh(s), y=Sh(s), calculan u-u
i r r a r y
u=F(x,y)u=F(x,y>
=> u, = Fu,= F(x,y)(r,+sO pero 1 =Ch(s)s,
las segundas derivadas parcialesu = F(x,yXr.+sl/ + F(x,yXr+0
pero O = rCh(s) + rh(s)s, + r,Sh(s}+rCh(s)sV = F(x,yXrr+s,)*+F(x,yXr+^,) pero ft=Sh(sXs,?+Ch(sXs>
SOLUCIONARtO ANALISIS MATEMATICO III
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Sean u=e'Coe(y), y=e'Sen(y) y = J 1 a/ "*
. ac (x+y) (xy)
/at.cdukparu.i SOLUCIONARLO ANALISIS MATEMATICO Hl
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Sfoy) S e n ^ y ) 1] ySef (k + y )(xy ^ [ ( x + y ) 1] Sai|~(x,y)(xy)]at (x+y) sy (x+y) x
ai Hallamos ' :&
X = ^ * V T zW i+j^-iffV+z, y*z+x, A+yXny+1 +Z1)
=xzfl>fy+zr yVi-x, ^x+y)+xy2f^y+zr y z^+x, x+yX+B>n-1 )
c) Hallamos ^ := xyflxV+z, ifz+x. rW i+>y^f(iV+z, y W , zVyXI+y'+fco:)
SI x+y^u+vy, xyt=(u^v^ pruebe que:
/ s ./ 0 1 =fi s r*f f'l
#*'1IV?'TLas VBriablesx e y en trminos de uyv:
x+y^fu+y)" ; x^=(LJ-Y;r =* 2K=(-u+y)n-K;u-v)"
_ fu+vf 4-(ii-v)n [u + vf - { n - v f
- = f ^ y ) - = f ( * y ) _ = f ( ^ = f " ( Kjy)
= f ^ y ) ( x , + yT) ^ = f ^ y ) ( x I +yT)S+f ^ y ) (x ^ y )
_ ti{u +y ] T - n ( - y fD^de x = ^ " i s ^ ; y. =~ a
n(n 1>(uiv)"iF
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c*f t*ftto' Va
w
= f(x1y)n,(u+v^>4 + f(x,y)n(n-1 Xu+v)4 + f"(Xy)n,0>+v)**>4 +
+ f(x,y)n(n-1Xu+v)r
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> Demostrar que la fundn z, determinada por la ecuacin y=xf(z)+g(z) satisface a la
& >z a h to ) '
flz P, f(z) (O. F, 1 1ac= F_ xf'zj+s'z) 0y= F ," Jrf'(z)+S,(z )"rf '(z )+ g ,(z)
IL f(z)[f(x) + xf(x)J
* z ( ? 2 ^ h - + ( - ' i 2f(z)f(z)5 ? U r J d x fy d fi& c ) [f(x)+xf(x);f [f(x )+xf'(x)J
M (x,y)*(0,0)
0 (x,y)=(0,0)
Es diferendable en (0,0)?
Z ISOLUCiONARIO ANLISIS MATEMATICO III
Para tener derivada diferendable, la funcin debe ser oa) f(0,0)=0
b> Js!SU/C^.y)
% ^ 7T77=4%7 =
c) Puesto que f(0,0)= ( Lim ^f (x,y) =0; la funcin es continua.
Para determinar si es diferendable, hallamos las derivadas pardales D,f(x,y) yMOW
yyx +y y3
x+y' (x*-y*rChf(x,y)= -
Para tener derivada direcdonal, la funcin debe ser.
(x ,y )
SOLUCtOMARJO ANLISIS MATEMTICO I" i ~ g
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M . (x ,y)*(0,0)
(x ,y)=(0t0)
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y (f j =y**(x+y)-^*'(x+y)-yi
(g -g n **
J I =2x3x+y),+xV(3x+yiX3x+/)-=2>i+(3x+^ H3^ '(3x+y*)
=xV(3x+ylX3x+/)'=2yx,*(3x+/)
Arreglamos la expresin pedida:
d) f(x,y) = xfcxy1) 3x^- -y =3z6x tye) lfcy)=^*(ip)Sen(6), z=>Cte(q>). Calcular i^f Sp 00
x=rSenOp)Co6(0)
|=Sen(o)Cai(e>
* =rCos((p)CQs(0)
=>rSen()Sen(0)
y=rSen()Sen(0)
^ =rCo9(9)Sen(0)
& =rSefi(o)Cosi0)
z=rCos(i>)
S-0-
* = 0
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Xy) =
g - v i i v y ^
~ \ te'Si'az.; ~
en P( 1,4,2): Vf=(es, e2*t 4e)
d) fl[x,y^)=Sen(3x)Co^(y]Ts(z) P^0,,j
MTi:ilT?!'TT
Gradiente:
S fCx,y,z) = SenOxiCos'CyyrsCz) =>fly z/
vf=+y,+z* Pftl,!)
SOLUCIOMARIO ANAUSIS MATEMATICO III
Vfeyz''1>En P(2,1,1): Vf = 2+0+1 >
Vf = +3>
f) Hallar Vf(4,2) si f(x+y,x-y)=xy+y*
Hacemos u=x+y v=x-y
Vf = en P
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1r 1 ~
u+v-Dr Eu+2v + 3r 11u-5v-3r ! 13 J y ^ ^ U 13 13
Hacemos u=K-;y^ z r v^hc-z , r=-v-ySumamos v a u y t; para eliminar y: la faran es:
u+v=-z 1 r+v^2x r v^+{r+vys+{u+v)ffi r )&(r+iiy2
Luego 1: tSr3 + EEu3 - 4V3 - 144r"u + 1Qu + lflvS4r 2197
r^+i/r-i-ur + uv+T*-i-Sru+ij1+iu + iv-i-u*+uy fl&w) ------------------------ -^---------------------
las derivadas parciales:a 6uT-144rs-i-1fl Bf 1-12v*
Er*-i-vT-i-euv+4ru-i-2ul r1+vr + uv-i-2m.+us au ivn ' S vvn
luego el gradiente
f_ S f(x-+y, x-Sy+3z, 3x-Ez, w-1 >=xy*n. Hallar el gratentE dE fen (1AV)- Luego el gradiente:/ a 3f Sf SfV 1 71 1E1 341 fl\
Hacemos u=x+y r v=x-y*3z i f^ =3k-2z , t=w-1 Eliminamos y de todas las variables anteriores:
u+v^ =2x-+3z , 3x-2z , :=w-1
\aT& fJa-'at/ \ 21972197'2197J /
1 ^ En cada ejercicio calcular Ehh-4 en el punto P para el cual p es un VEatar
Ahora z: unitario en b direccin de PQ2u+2v '^ix+E=t 3r=9x- =t 2u+2v+3r= 13x Eu+2v -h3t ,, , fam-Sv+Sr^ ,
13 ss- * - ' - 3[ ,3 J - '
H> f f w ) = ^ 4 PClAOj; A 1)
SOCIOMABIO AHiLISIS MATEMATICO III
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1
e) flCx,y)= eArctg(y), *0.2); Q-2,5)} Vector unitario
M v \ y y 'TWDeterminamos el gradiente:
=> Vf= en P: Vf=
F=^+y*-2x=0 =>VF=' =\hk ty!
( # ) ^ - ( 4 1 )
PQ (-8 ,$Vector unitario: PQ =(-2) => M=|p^ =^T _
Ahora la derivada drreccional:
Derivada direccional:
D- = V z 1\ U Q = V 3 ^ = V3 * \ 2 '2/ \ 2' 2 4 2
vM3 V13 ^ Calcular la derivada de la funcin w=Arcsen | - j i , en el punto M(1,1,1)
OHallar la derivada de la funcin z=ARctj, ( | en el punto ^ i
en la direccin del vector MN siendo N(3^3).
perteneciente a la circunferencia x V y ^ s O en la direccin tangente a sta.
: n i " ' T Gradiente:
Vector unitario:
MN M = j ^ j =
^ J i U v w g 1 , , ,C )W \>xdY! \ ,+ ( y ^ ) U (y rc*}:Gradiente: = ( * " , * " & )
\ax a? a*)
Las derivadas parciales:
Trftt.irt- _y/x* I/X ' -/ _y * \ Z 1 " 2XZ ,\ (x* +y*) / x*' (x*+ y*) / x*/ '..x +y x +y*/ w 1 T S ] / >/3/2 1/2 / l\
1 7 110w [x* +y* J. (x*+y*f 2xz
SOLUCIONAR ANALISIS MATEMATICO III ':4.t:;eruOTm
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w= l* +ysJs _ (x * + /f _ 2yz
* " ~ v ( x ' ^ r - z ' ~ f r + y ^ f r + y ? - ;
* Ep
d - w ^ - / - i t- 4 r \ Ja i a =^ = i ! = i\ V3 V3 V3.' 3 v3 v3
Hallar la derivada de la fundn z=Ln(e1+e) en el punto (1,2) perteneciente a la parbola y*=4x, en la direccin de esta.
la pendiente de la parbola en el punto (1,2)
2y/=4 =* y'=Tg(8)=2/2=1 => 9= ^
Ja Jo''Veccor unitario: Vi =: Gos(0),Sen(0): = f , i
o - AE Vi\ M 0+)4 \ 8 2 /'Vl+e* fr/l+e*
^ Calcular la derivada de la fundn z=x*-y* en el punto M(1,1) en la direccin que forma un ngulo de 60 con el sentido positivo del eje x.
ti =
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Ahora la normal a estos gradientes:
J eln = VTycVG=I 6 2 3 =29i+63j+16k
1 3 -10
El vector unitario:
^ = n = -
El gradiente de la funcin:
Vf=*$12xy+2yzs,3yizt+3xzs> en P(l,2,3):
V ==
D f (1,3,2)= Vf .(-31,114,2701-.-
La temperatura en el punto (x,y,z) en un trazo de metal viene dada por la frmula f(x,y^)=eK*"'s gradas. En qu direccin, en el punto (0,0,0), crece
yox sz)
Las derivadas parciales:
Vi,
1 SOLUCIONAR AMAUSIS MATEMATICO III
La direccin donde onece ms rpidamente la temperatura es el vector
Vf, (2,1,3) (2A3) 1 ^ -7 7 7 1 7 5 J u
Si C es la curva de interseccin de las superficies S|2=x*+2y* z=2x*-4y4+2. Hallar la derivada direcdonal de f(x,y,z)=x4+ y* + z*+Cos(iDcy), en el punto (2,1,6)a lo largo de la curva C.
Los gradientes de las curvas que 9e intersecan:
F = x*+2y*-z = Vf = VG =En el punco dado: P(2,1,6)
VF, ==
VG, ==
Ahora la normal a Sffji =2=> {2,1)/x,y)=2
2x+y=2 =>y=2-2x
Pero ^|=s.x+y*= = Ay=0 , x=- =*y*~
1 = (1,0);
El potencial elctrico es V voltios en cualquier punto (x,y) en d plano XV y V=eCos< 2>-). La distancia se mide en pies.
L Encontrar la rapidez de cambio del potencial en el punto 10, j en la
direccin dd vector unitario u = C o a ^j i+ Sen^^jj
iL Encontrarla direccin y la magnitud de la mxima rapidez de cambio de
Ven 0,4]
W=(-2-bCos2y-2e'-Sen2y)
=IN |= 2Gradiente: IIWHWo+2* =2
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Si f(x,y) = 4x* + Qy*. encuentre la direccin en el punto (2,1) para la cual la derivada direcdonal de f tiene el valor cero.
^-yn.yyTWfC x .y ^ x W P(2,l)Vf=C8x,18y) = Vf=r^ '^/xSgi(x) - , =Um
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Recta normal:
x -x . y y, z -z x -a S / S x -b J / 2 x -c J / 2
d) xs+y5+z5+xyz=6en el punto P1,2,-1)
VFXx,y,z)=
VF2(y-1>2(z-1 )=0 => 5x-2y-2z-1=0Recta normal:
x -x . _ y -y . _ z -z _ x - 1 _ y -1 _ z-1 F, Fr F, 5 -2 -S
f) (zi->*)xyz-y5=5 en el punto P(l,1,2)
F=(z*-x*)xyz-y5-5=xyz,-xsyz-y5-5Gradiente:
VF(x,y,z>= VF(1,I,2) =
Plano tangente:F.(x-x J+F/y-y^F .(z-zjJsO
2(x-1Xy-1>l l(z-2)=0 = 2x+y+1 tz=25Recta normal:
8) 4+^x1 +y* +z* =x+y+z en el punto P(2,3,6).
M-Vx + y '+ z ' -x - i
t*y=
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V R 3=
nano tan gante
5{K-2)+4{>f-3>4-(z-l)=0 = 5k+*/+i -S3=Uecta normal:
x -x . y -y . E-Jb x -S y -3 z-1F, Ft F. 5 4 1
h)
Bea FK)t,Y,z)= /x +^y +Jz-4 lftljl)- /8f f M f I 1 t IGradiente: j
W| a plano cnsente F ^x -^F ^y -y^Fji-Z H J
K-*>t-a^i>+ECz-i)=o =* K+E>H-2K-a=a
r ^ . x~ ^ r - y a g-^ i . x -4 y - 1 z- 1La recta normal: = = ; = = =* t = 5- =5-
i) X +z"=UenPi;-a,?7/i:)
Tilim VT*Sea ^ y . iH ^ + y ^ + z * 1- ^ ; P^OT/I) : SF J7F 3F*. f 2 5 2 lGradienoe: VF = , = , ,
'. S 5y dzJ { 3xvl Sy1 3 n J
En el punto dada VF, = ^ 2 ,| ,| j = (-3;2,)
SOUUCIONAFtIO ANALISIS MATEMATICO III
El piar tangiente FjK-^H-F^y-yH-Fxiz-zs tO-3v+fi>+Eiy-i7)-Ht=Q _ Ey-3x+6tfi4=0
. x -x . v y z -z l x+E y E7 z-1La recta normal: ^ = 11 = => = =
j) xi+/-3z=2 nPC-2,-4
J V N V /7TSea W&y.z^+yf-3z-S P{-2r-1,)
Gradiente VF=:
En el punto dado: VFP ={-4,-fi,-3) = {+,3^}El plano tangente: F jK-x^F^y-yfj+Fjz-z^ )=04+3 = _ = Flallar la ecuacin del plano tangente al elipsoide >?+Ey,+zt=1 de tel modo que sea paralelo al plano x:-y+fc=0
Sea F(xryIz)=Kt+By,+t-l
Gradien!: V =f2x,+yjEz)\fi 8y &, k
Con el plano dado: VFf ={V1,S)
Plorccntficin de planos paralelos; VFp=tWp
(2K^ y,fa)=kiClr-t,E>=E>^k 4y -^k 2z=21ck k i 1x = - y = z = k en la ecuacin de la Hperfirie: x +Ey+z-1=Q
1
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Ahora, determinamos la. ecuacin del plana:(aH-U*'--J?
F,
Sea S una superficie de ecuacin x,+yi+zi-4y-S!z:+E=C|J porel piMito(1.r1,E) de S pma el plmox+y-zrfy la superficie 3xi+Eyi-E&l que originan Isa curvas de interseccin con respectivamente. Hallar la ecuacin del planD que pam por las tangentES a dichas curras en eI punto dado.
x+y-z=0 3^+>?-Ez=lPr tanto, el plano tangente a la ajperficie ser tangente tambin ; superfidea dadas. El gradientE de la funcin:
tff = (2x;ay-4,Ez-$J en 0(1,1#: Vf| ^ - S ^ X V U )
F x -x ^ y * > F :t N >(x-1Hy-V)+{z->=0 => x-y+z-E=D
Qtauentre una ecuacin del plano tangente en cualquier punto (Bjb.c) de las superficies S: x1+y1+j1s=k1 y luego muestre que la suma de las
a de este plano tangente con los ejes coordenados es una.
M -TI.i.Va TF
e la funcin: W =. y . = z - ^ . =. a* i5y ais a/f a ^ ij
ISOLUCIONAR ANALISIS MATB ATICO III
En el punoo dado: VF = - ^
La ecuacin del plano tangentH P/x-XH-F/y-ytH-F^Cz-ZM)
-4-^ = ^ i Jb+Jc Si hacemos Jk = Jan-Jb + Je
tW ^ =veAhora las inbemeccionescon los
(VtrVb,J5t) la suma: 3= -/k (Va +Vb +Vc J = 'JiJk = k
n cualquier puntD de S, Sene ui punto en comn.
j L - . i i v r T g
. *s .
" M * 3
"I,y y y1 v 'J
(3 ^ 2kd -2x1
SOUUdOHAHO AHAUSIS MATEMATICO III
I
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EDUARDO EEPINOZA HAhflDE "} MHTUUHlf1
Luego: VF( ,PnT> = 0 El plano:
2x+y-z-2=0
Trazar un plana tangente b la superficie x* V=3Zj de tal modo que pase por
l > y j el punto A(0,QP-1) y que sea paralela a la recta:
l - s + l y - zLv y j U y\) e T e
3 4 s x ;| axg| x;vi vj y . vn
+^ + ^ = Sea el gradiente de la superficie F=jy*-32=0
V . Y. W |X yrz)=,,-3>
f3*; &c_1 'Ek! Kn 2x xj 3x* Sea el plano buscado:x + Ay+Bz-i-C^)
* [ y! J U r i y / y= BiPCQA-1) 0+t+B;-1>tC=a=C=BVP=Este pla