Analiza Rynków Finansowych - visual.icse.us.edu.plvisual.icse.us.edu.pl/ARF/analiza_rynków_finansowych.pdf · Analiza danych rynkowych Oprogramowanie Sage a w szczególno´sci zawarte

Analiza Rynków FinansowychSkrypt dla studentów Ekonofizyki

Marek Łukaszewski i Marcin Kostur

April 12 2015

Spis tresci

1 O autorach 11.1 Marek Łukaszewski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Marcin Kostur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Wstep 3

3 Wstep techniczny czyli jak korzystac z czesci interaktywnych? 53.1 Interaktywne komórki Sagecell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Analiza danych rynkowych 74.1 Zwroty wzgledne, bezwzgledne i log-zwroty . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Przykład analizy danych rynkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3 Problem - analiza innych danych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Zarzadzanie ryzykiem 135.1 Narzedzia uzywane w zarzadzaniu ryzykiem (finansowym)- rys historyczny . . 155.2 Czym jest zarzadzanie ryzykiem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3 Zarzadzanie ryzykiem finansowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 Natura ryzyka na rynkach finansowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.5 Składowe procesu zarzadzania ryzykiem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.6 Kontrolowanie ryzyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Opcje 276.1 Podstawowe cechy opcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Opcja call i opcja put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.3 Terminologia rynku opcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.4 Profile ryzyka w czterech przypadkach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.5 Jak zalezy profil wypłaty od parametrów K,S? . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.6 Wycena opcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.7 Opcje i lekcja na ich temat, jaka wynika z kłopotów polskich firm z opcjami

w roku 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Metody wyznaczania ceny opcji 457.1 Jak wyznaczyc cene opcji? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.2 Model minimalny - rynek dwustanowy jednookresowy . . . . . . . . . . . . . 45

i

7.3 Wycena opcji na drzewie binarnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.4 Model ciagły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.5 Zwiazek pomiedzy modelem ciagłym i binarnym . . . . . . . . . . . . . . . . 507.6 Wzory Blacka Scholesa dla europejskiech opcji Call i Put . . . . . . . . . . . 537.7 Porównanie wyceny modelem binarnym i BS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.8 Analiza wrazliwosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.9 Wycena opcji Amerykanskiej modelami binarnymi i ciagłym . . . . . . . . . 61

8 Instrumenty syntetyczne 638.1 Syntetyczny Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2 Syntetyczna pozycja Long Stock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.3 Syntetyczny Long Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.4 Syntetyczna sprzedaz akcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.5 Syntetyczna pozycja short Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.6 Instrumenty syntetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.7 Swapy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.8 Swaption - swapcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9 Struktura terminowa stóp procentowych 819.1 Podstawowe zaleznosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.2 Krzywa dochodowosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829.3 Modelowanie ewolucji stóp procentowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.4 Krzywa dochodowosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

10 Hedging 9310.1 Hedging: cel operacji zabezpieczenia przed ryzykiem . . . . . . . . . . . . . 9310.2 Ryzyko walutowe i ryzyko zmiany ceny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.3 Zabezpieczenie przy pomocy kontraktów Futures . . . . . . . . . . . . . . . . 9610.4 Przykład obliczen hedgingu za pomoca kontraktów futures . . . . . . . . . . . 10510.5 Hedging przy pomocy opcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11210.6 Strategie opcyjne polegajace na stosowaniu kombinacji opcji . . . . . . . . . . 113

11 VaR 12111.1 Wstep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12111.2 Kwantyle i percentyle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12211.3 VaR - metody obliczania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

12 Przykład - obliczenie VaR dla nieliniowej funkcji wyceny 13712.1 Metoda historyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13912.2 Metoda wariancji kowariancji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13912.3 Metoda Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13912.4 Porównanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

13 Dodatek: Komputerowa analiza drzew binarnych 14113.1 Drzewa binarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

ii

ROZDZIAŁ 1

O autorach

1.1 Marek Łukaszewski

Absolwent Uniwersytetu Slaskiego, Uniwersytetu Quebec w Montrealu i Szkoły Głównej Han-dlowej w Warszawie. Doktor fizyki i Master of Business Administration.

W dotychczasowej swej działalnosci tworzył od podstaw wiekszosc firm (10), w których pra-cował. M.in. tworzył pierwsze w Polsce, po wojnie, joint ventures partnerów prywatnych.Pełnił szereg funkcji menedzerskich m.in.: - Prezesa Zarzadu Krajowego Funduszu Kapita-łowego S.A., Prezesa Izby Zarzadzajacych Funduszami i Aktywami, Prezesa StowarzyszeniaTowarzystw Funduszy Inwestycyjnych w Polsce. Prezesa Zarzadu Górnoslaskiego Towarzy-stwa Funduszy Inwestycyjnych SA. Wczesniej Wiceprezes Zarzadu Funduszu GórnoslaskiegoS.A. i Wiceprezes Zarzadu Miedzynarodowej Szkoły Finansów i Bankowosci w Katowicach.

Zwiazany z rynkiem kapitałowym od 1991 roku. Był równiez Członkiem i przewodniczyłpracom Prezydium Porozumienia na rzecz rozwoju polskiego rynku kapitałowego, CzłonkiemRady Rynku Kapitałowego (2004r), załozycielem i członkiem Polskiego Instytutu Dyrektorów- instytucji dedykowanego sprawom Corporate Governance - czyli zasadom etyki w biznesie.

Był takze członkiem prezydium Komitetu Koordynujacego przy Zwiazku Banków Polskich doSpraw Standardów w Bankowosci - uczestniczył w grupie eksperckiej w zakresie Rynku Pie-

1

Analiza Rynków Finansowych, Skrypt dla studentów Ekonofizyki

nieznego i Kapitałowego. W Stowarzyszeniu Towarzystw Funduszy Inwerstycyjnych - prze-wodniczył Zespołowi ds. Standardów.

1.2 Marcin Kostur

Marcin Kostur, fizyk, profesor nadzwyczajny Uniwersytetu Slaskiego. Stypendysta DAAD,Fundacji na Rzecz Nauki Polskiej. Pracował na Uniwersytetach w Anglii, Niemczech, USA iRPA. Laureat Center for Nanoscience w Monachium za publikacje roku w 2007 i 2008.

Zajmuje sie badaniami układów złozonych poczawszy od złacz Josephsona, syntetycznych na-noporów i motorów molekularnych po dynamike płynów. Jest autorem ponad 50 prac na-ukowych. Ekspert w zakresie programowania równoległego, technologii GPU i chmurowychsystemów obliczeniowych.

Entuzjasta stosowania nowoczesnych metod komputerowych w edukacji i popularyzator na-uki. Autor i lider projektu iCSE wdrazajacego powszechne stosowanie systemu Sage i jezykaPython na Wydziale Matematyki Fizyki i Chemii Uniwersytetu Slaskiego.

2 Rozdział 1. O autorach

ROZDZIAŁ 2

Wstep

Niniejsze opracowanie jest oparte na zbiorze naszych materiałów przygotowanych w róznychformach dla studentów Ekonofizyki. Celem tego opracowania jest zainteresowanie studentówrynkami finansowymi, ich funkcjonowaniem i bezpiecznym korzystaniem z mozliwosci jakiestwarzaja. Tematyka bezpieczenstwa na rynkach finansowych jest głównym motywem jakiprzyswieca nam w prowadzonych zajeciach. Bezpieczenstwo rynków i etyka ich uczestnikówjest bowiem podstawa zaufania do tych rynków. Kwoty pieniezne transformowane przez in-strumenty na rynkach finansowych to nie szeregi cyfr i ciekawe pomysły intelektualno matema-tyczne ale czyjes ciezko zarobione pieniadze zabezpieczajace przyszłosc. Nadzieja na lepszaprzyszłosc, ambitne plany, marzenia i równiez bezpieczenstwo codziennego zycia. Czyli na-lezna jest im nalezyta troska i rozwaga oraz głeboko etyczne postepowanie z nimi. Ta rozwagajest tez czescia limitowania ryzyka operacji i funkcjonowania rynków , czescia bezpieczenstwarynków finansowych. Bezpieczenstwo tych rynków opiera sie na zdrowym rozsadku, dobrej idokładnej znajomosci oraz rozumieniu funkcjonowania instrumentów i rynków finansowych.Temu celowi ma tez słuzyc niniejsze opracowanie.

Forma jaka została nadana niniejszemu opracowaniu ma za zadanie usunac pewna ujemna ce-che klasycznej ksiazki. Taka ksiazka, bowiem, nie odpowiada na pytania czytajacego, trudnoz ksiazka prowadzic dialog, trudno zadac ksiazce pytanie “co by było gdyby wziac pod uwageinne parametry?” albo “jak moge zastosowac te wiedze do mojej konkretnej potrzeby?” Pro-ponowana przez nas forma “interaktywnej ksiazki” pozwala na bardzo aktywna i indywidu-alna współprace z zawartoscia opracowania. Wykresy zaleznosci w wielu miejscach pozwalajana interaktywne zmienianie parametrów zaleznosci w celu obserwacji jak zaleznosci te mogazmieniac sie w zaleznosci od zmian wspomnianych parametrów. Podane kody komputerowepozwalaja na wyliczenia własnych przypadków czytelników.

Literatura przedmiotu jest bardzo obszerna i ciagle sie wzbogaca o nowe pozycje. Zaintereso-wanym polecamy nastepujace pozycje z których sami czesto korzystalismy:

1. David Blake: “Financial Market Analysis”, McGraw-Hill Book Comp.;

2. Stanley R. Pliska: “Wprowadzenie do matematyki finansowej”, WNT;

3. Maria Podgórska, Joanna Klimkowska: “Matematyka finansowa”, PWN;

4. Andrzej Sławinski: “Rynki Finansowe” PWE Warszawa 2006;

5. (a) Weron, R. Weron: Inzynieria Finansowa, WNT, Warszawa 2009;

3


6. S. Benninga, Z. Wiener, Mathematica in Education and Research Vol. 7 No. 1-4, (1998)oraz Vol.6 No. 3-4, (1997), (seria artykułów)

4 Rozdział 2. Wstep

ROZDZIAŁ 3

Wstep techniczny czyli jak korzystac z czesciinteraktywnych?

Skrypt ten kładzie szczególny praktyczny aspekt zrozumienia teorii rynków finansowych. Wy-chodzimy z załozenia, ze cwiczenia w samodzielnej implementacji wielu algorytmów pozwolana praktyczne sprawdzenie nabytej wiedzy teoretycznej. Nie podwazamy tutaj istoty i pieknateorii matematycznych. Pragniemy jedynie podkreslic, ze napisanie algorytmu wymaga nietylko jej zrozumienia, ale i jest podwierdzemien poprawnosci toku rozumowania. Otrzyma-nie poprawnego wyniku liczbowego nie wybacza pomyłki. Samodzielne eksperymentowaniez komputerem pozwala na uzyskanie biegłosci, która jest potrzebna gdy na osi odcietych jestprzyszłosc a na rzednych prawdziwe pieniadze.

Sage, jest pakietem otwartego oprogramowania opartym o jezyk Python. Proponujemy wyko-rzystanie Sage do wizualizacji i analizy danych, przekształcania formuł i wykonywania symu-lacji numerycznych. Z systemu Sage mozna korzystac na wiele sposobów.

1. Po pierwsze mozna pracowac w systemie “notatnik”, zarówno korzystajac z instalacjilokalnej na własnym komputerze jak i z instalacji oferowanej przez Wydział MFiCh.

2. Do wykonania pojedynczych eksperymentów i prostych obliczen, mozemy korzystac zserwera pojedynczyc obliczen, znanego Sagecell.

3. Interaktywne ksiazki - jak ten sktypt, korzystajacy z systemu Sagecell, umozliwiaja ko-rzystanie z systemu Sage z poziomu przegladarki, bez uprzedniej rejestracji czy logowa-nia, tak jak w tym przykładzie.

4. Mozna skorzystac z darmowago systemu stworzonego przez Wiliama Steina zmanegoSage Math Cloud.

5

http://sagemath.org

http://pl.wikipedia.org/wiki/Otwarte_oprogramowanie

http://sagecell.icse.us.edu.pl:6363/

https://cloud.sagemath.com


3.1 Interaktywne komórki Sagecell

Jak skorzystac z elementów interaktywnych w tym skrypcie? Jesli zobaczymy taka komórkewystarczy nacisnac przyciska “Wykonaj” i zostanie uruchomiony system Sage na jednym zserwerów i wykonany na nim kod programu znajdujacego sie w polu tekstowym:

Poeksperymentuj z komputeremNacisnij “Wykonaj!”

formula = integrate( sin(2*x),x)show( formula )

Zauwazmy wazna ceche - jesli na stronie jest wiecej niz jedna komórka to definicje utworzonepodczas wykonania jednej sa dostepne w drugiej.

Poeksperymentuj z komputeremWykonaj najpiejw piewsza komórke a potem druga. Nastepnie przeładuj strone i wy-konaj najpierw druga a potem pierwsza.Zauwaz, ze przeładowawanie strony powoduje skasowanie informacji o wczesniej zde-finiowanych zmiennych! Dzieje sie tak dlatego, gdyz po przeładowaniu komórki ob-sługuje nowy proces Sage na serwerze, a stary ginie.

try:show( formula )print "pochodna wynosi:"show( formula.diff(x) )

except:print "Nie zdefiniowano zmiennej!"

Uwaga:• Problem 1: Naciskanie na przycisk “Wykonaj” nie przynosi oczekiwanego

efektu.Odp. W takim razie zalecamy ponowne przeładowanie strony i ewentualne wy-konanie komórek z wymaganymi uprzednio definicjami (pamietamy, ze przeła-dowanie strony kasuje stan Sage.

• Problem 2: Program po zwiekszeniu liczby kroków przestaje działac.Odp. Proces na serwerze ma ograniczona ilosc czasu na wykonanie. Jesli czaszostaje przekroczony to ginie. Aby dalej uzywac komórek interaktywnych trzebaprzeładowac strone.

Komórki Sagecell zawieraja dostep do kompletnego systemu Sage. Nie sposób we wstepieopisac jego mozliwosci, ale zachecamy do przeczytania licznych materiałów:

• Bardzo krótkie wprowadzenie do Sage’a

• Ksiazka “Matematyka łatwiejsza niz przypuszczasz” link

• Materiały do zajec Technologie Informacyjne dla I roku Studentów: link.

• Dociekliwych zachecamy do zanurkowania w Pythonie

6 Rozdział 3. Wstep techniczny czyli jak korzystac z czesci interaktywnych?

http://visual.icse.us.edu.pl/Warsztaty/iCSE_1a_Wprowadzenie_CubeProject.html

http://icse.us.edu.pl/e-book/

http://visual.icse.us.edu.pl/iCSE_main/icse_final.html#technologia-informacyjna

http://pl.wikibooks.org/wiki/Zanurkuj_w_Pythonie

ROZDZIAŁ 4

Analiza danych rynkowych

Oprogramowanie Sage a w szczególnosci zawarte w nim biblioteki numpy oraz scipy orazwbudowane mozliwosci wizualizacji i interakcji daja mozliwosc stworzenia “od podstaw” pro-totypu własnej aplikacji to szerokiego spektrum analiz danych i statystyk.

4.1 Zwroty wzgledne, bezwzgledne i log-zwroty

Rozwazmy ewolucje ceny pewnego aktywa w czasie. Wartosci notowan aktywa sa pewnymprocesem losowym. W analizie jego zmiennosci waznym pojeciem jest “zwrot”, który jestmatematycznie rzecz biorac przyrostem procesu na pewnym okresie czasu. Załózmy, ze mamypewien dyskretny ciag chwil czasu 𝑡𝑖 w których aktywo ma cene 𝑆𝑖. W finansach spotykamytrzy Wazne pojecia:

• zwrot absolutny w chwili 𝑡𝑖: 𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1

• zwrot wzgledny w chwili 𝑡𝑖:𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1

𝑆𝑖−1

• log-zwrot w chwili 𝑡𝑖: log𝑆𝑖 − log𝑆𝑖−1

Analiza szeregów czasowych notowan historycznych najczesciej operuje własnie tymi wielko-sciami. Posiadaja one kilka istotnych własnosci. Po pierwsze, korzystajac z własnosci loga-rytmu naturalnego mozemy napisac:

log𝑆𝑖 − log𝑆𝑖−1 = log𝑆𝑖

𝑆𝑖−1

.

Jesli zwrot wzgledny jest mały, to jest w przyblizeniu równy log-zwrotowi. Zapiszmy:

log𝑆𝑖

𝑆𝑖−1

= log𝑆𝑖−1 + 𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1

𝑆𝑖−1

= log

(1 +

𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1

𝑆𝑖−1

).

Teraz mozemy rozwinac logarytm w szereg Taylora:

log(1 + 𝑥) = 𝑥− 𝑥2

𝑥+ 𝑂(𝑥3), (4.1)

7


jezeli zatrzymamy sie tylko na liniowym członie to otrzymamy:

log𝑆𝑖

𝑆𝑖−1

≃ 𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1

𝑆𝑖−1

Klasycznym modelem matematycznym, który stosuje sie do opisu zachowania sie zmian cenyjest geometryczny ruch Browna. W takim przypadku zakłada sie, ze zwrot wzgledny spełnia:

𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1

𝑆𝑖−1

= 𝜇 + 𝜎𝑁𝑖(0, 1),

gdzie 𝜇 to deterministyczne tempo wzrostu logarytmu ceny zwiazane ze stopa procentowa a 𝜎2

to wariancja zmian logarytmu ceny. 𝑁𝑖(0, 1) oznacza niezalezne gaussowskie zmienne losoweo sredniej zero i wariancji jeden. Przejscie do granicy (𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1) → 0 wymaga zastosowaniastochastycznych równan rózniczkowych i taki proces ciagły jest dany wzorem:

𝑑𝑆 = 𝜇𝑆𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑑𝑊, (4.2)

gdzie 𝑑𝑊 to rózniczka procesu Wienera. Mozna pokazac, ze zakładajac ewolucje wedługrównania stochastycznego (4.2) otrzymujemy proces w którym warunkowy rozkład ceny wczasie 𝑡 przy załozeniu ceny 𝑆0 w chwili 𝑡 = 0, jest log-normalny:

𝑃𝑆(𝑆, 𝑡|𝑆0, 0) =1√

2𝜋𝜎2𝑡𝑆𝑒−

(log( 𝑆𝑆0

) − (𝜇− 𝜎2

2)𝑡)2

2𝜎2𝑡 .(4.3)

Informacja: Sprawdz jaka jest kanoniczna postac rozkładu log-normalnego np. wWikipedii. Zauwaz, ze w naszej notacji zarówno srednia jak i wariancja rosna z liniowoczasem. Jak to zinterpretowac?

Rozkład log-normalny jest zupełnie odmienny od rozkładu normalnego, jednak dla małychzmian ceny mozna by sie spodziewac pewnych podobienstw. Rozwazmy sytuacje w którejmamy wartosc poczatkowa ceny pewnego aktywa równa 𝑆0 i rozwazamy najblizsza przyszłosc.Co to znaczy? W tej sytuacji bedzie to taki horyzont czasowy na którym cena akcji niewielesie zmieni w stosunku do ceny poczatkowej tzn.:

𝑆

𝑆0

≃ 1

W praktyce, taki krótki horyzont czasowy moze typowo oznaczac zmiane kursów pomiedzynotowaniami dziennymi. Przekonamy sie teraz, ze rozkład ceny na któtkich czasach jest “pra-wie” gaussowski. Do równania (4.3) wstawmy w mianowniku 𝑆0 zamiast 𝑆 a w eksponenciezastapny logarytm rozwinieciem log 𝑆

𝑆0≃ 𝑆−𝑆0

𝑆0. Otrzymamy wówczas rozkład normany w

postaci:

𝑃𝑆(𝑆, 𝑡|𝑆0, 0) =1√

2𝜋𝜎2𝑡𝑆0

𝑒−

𝑆−𝑆0

𝑆0− (𝜇− 𝜎2

2)𝑡)2

2𝜎2𝑡 .(4.4)

8 Rozdział 4. Analiza danych rynkowych

http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_logarytmicznie_normalny


Poeskperymentuj z komputeremZbadaj czym róznia sie dwa rozkłady - normalny (4.4) i log-normalny (4.3) dla małychi duzych czasów.

• Zwieksz czas i zaobserwuj jak zmienia sie rozkład. Czy w kazdym z przypadkówmoze pojawic sie cena aktywa mniejsza od zera?

• Zmien w kodzie inne parametry: wartosc poczatkowa, wariancje na jednostkeczasu i szybkosc wzrostu ceny.

var(’r,sigma,t,x0’)logN = 1/(sigma*sqrt(2*pi*t)*x)*exp(-(log(x)-log(x0)-(r-sigma^2)*t)^2/(2*sigma^2*t))Normal = 1/(sigma*sqrt(2*pi*t)*x0)*exp(-( (x-x0)/x0-(r-sigma^2/2)*t)^2/(2*sigma^2*t))

@interactdef _(t_=slider(0.001,0.2,0.001,default=0.01)):

pars = {r:0,sigma:1.51,x0:1,t:t_}p1 = plot( logN.subs(pars) , (x,1e-5,4), fill=True)p2 = plot( Normal.subs(pars) , (x,1e-5,4), figsize=4,color=’red’)(p1+p2).show()

4.2 Przykład analizy danych rynkowych

Wczytamy dane i obliczymy zwroty wzgledne i logarytmiczne.

Uwaga: Dane zazwyczaj sa w pliku, jednak w tym przypadku w skrypcie nie mamymozliwosci załaczenia pliku. Dlatego bedziemy analizowac dane, które sa dostepnejako odnosnik URL i które mozemy otworzyc z pomoca biblioteki urllib.

Dane z notowan historycznych najczesciej wystepuja w formacie zwanym csv - czyli wartoscioddzielone przecinkiem. Mozna je wczytac do arkusza kalkulacyjnego, ale tez bezposredniootworzyc za pomoca pakietu numpy.

import numpy as npimport urllib

fp = urllib.urlopen("https://dl.dropboxusercontent.com/u/11718006/COMARCH.mst")data = np.loadtxt(fp,skiprows=1,usecols=[2],delimiter=’,’)N = data.shape[0]t = np.arange(N)line(zip(t,data),thickness=0.3,figsize=(7,2))

Poeksperymentuj samIle jest danych? Wypisz na ekranie pierwsze 100 wartosci.

Policzmy teraz zwroty wzgledne i logarytmiczne i narysujmy wykres log-zwrotów i zwrotówwzglednych. Aby odróznic te dwa zestawy danych bedziemy rysowac kropkami i:

r_rel = np.gradient(data)/datar_log = np.gradient(np.log(data))

line(zip(t,r_rel),color=’gray’,thickness=0.5)+\

4.2. Przykład analizy danych rynkowych 9


point(zip(t,r_log),color=’red’)

Jak widac praktycznie wielkosci te sie pokrywaja. Mozemy tez łatwo sporzadzic histogramwartosc tychze zwrotów co jeszcze bardziej uwydatnia ta własnosc:

nbins=100plst = []for r,c in zip([r_rel,r_log],[’red’,’blue’]):

H = np.histogram(r,bins=nbins)normalizacja = H[0].sum()*(H[1].max()-H[1].min())/nbinsplst.append(line( zip(H[1],H[0]/normalizacja),color=c,figsize=(4,2)))

html.table([["Zwroty wzgledne","Log-zwroty"],plst])

Poeksperymentuj z komputeremZbadaj jak wygladałby histogram dla róznych wartosci parametry nbins. Czy bardzoduze i bardzo małe wartosci maja sens? Jaki jest uzyteczny zakres tego parametru?

4.2.1 Stacjonarnosc danych

Zauwazmy ze w modelu geometrycznego ruchu Browna, parametry 𝑟, 𝜎2 nie zaleza jawnieod czasu. Moze sie to wydawac mylace bo wariancja i srednia rozkładu warunkowego nacene aktywa (4.3) jest funkcja czasu. Jednak to wynika z faktu, ze cena aktywa jest opisanazmienna losowa spełniajaca równanie stochastyczne (4.2). Jej rozkład warunkowy jest jednakzalezny od czasu. Sytuacja jest taka sama jak dla np. połozenia punktu materialnego w ruchujednostajnym prostoliniowym. W takim ruchu połozenie zalezy od czasu pomimo, ze wszystkiewspółczynniki w równaniu Newtona sa stałe. W naszym przypadku mamy interpretacje dlaparametrów 𝑟, 𝜎2 - sa mianowicie to srednia i wariancja na jednostke czasu. Zauwazmy tez, zejest to prawda tylko w granicy małych czasów.

Sprawdzmy jak dobrze jest spełniony warunek stacjonarnosci 𝑟, 𝜎2!

print np.std(r_log[:1000]),np.std(r_log[1000:2000])

Widzimy, ze jest kiepsko spełniona! Widac to juz całkiem niezle z wykresu log-zwrotów, któryto ma okresy wiekszej i mniejszej zmiennosci.

Poeksperymentuj z komputeremNarysuj wykres wariancji danych estymowanej po okresie 𝑘 notowan.

• Co sie stanie gdy zwiekszymy ten okres?• Porównaj ten wykres z zaleznoscia dziennych zwrotów od czasu.

k=5X = r_logvar_win = [np.var(X[i:i+k]) for i in range(0,X.shape[0],1)]line(zip(t[::1],var_win),ymin=0,ymax=0.002,figsize=(6,2))

4.2.2 Autokorelacja

Log-zwroty sa ze soba nieskorelowane. Gdyby było inaczej to predykcja ceny była by zbytprosta i teoretycznie prowadziła by do mozliwosci arbitrazu. Sprawdzmy, ze tak jest rzeczywi-



scie:

X = r_logautocorr = [np.corrcoef(np.vstack((X[:-k],X[k:])))[0,1] for k in range(1,250)]line(enumerate(autocorr))

4.2.3 Grube ogony, kurtoza i skosnosc

Analizujac histogram log-zwrotów mozemy odniesc wrazenie, ze jest on nieco bardziej wy-pikowany w okolicy zera i ma troche “grubszy ogon” tzn. wieksze wartosci daleko od zera.Zobaczmy sami:

Poeksperymentuj z komputeremUruchom ponizszy kod. Oblicza on histogram log-zwrotów oraz porównuje go z roz-kładem Gaussa o tych samych parametrach: sredniej i wariancji.

nbins=80Gaussian(x,mu,sigma) = 1/sqrt(2*pi*sigma^2)*exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2))X = r_rel[400:1200]mu,sigma = np.average(X),np.std(X)H = np.histogram(X,bins=nbins,range=[-.13,.13])normalizacja = H[0].sum()*(H[1].max()-H[1].min())/nbinsp = line( zip(H[1],H[0]),color=’red’,figsize=(7,4))mu,sigma = np.average(X),np.std(X)p += plot(normalizacja*Gaussian(x,mu,sigma),(x,-4*sigma,4*sigma),fill=True,gridlines=[None,[1]])p

Popularnymi wielkosciami, które charakteryzuja jak dany rozkład odbiega od rozkładu nor-malnego sa kurtoza i skosnosc. Jak wiemy w rozkładzie normalnym wszystkie momenty rzeduwyzszego niz dwa mozna wyrazic jako funkcje momentów pierwszego i drugiego. Dlategomozna zbudowac wyrazenia:

�� =𝜇4

𝜎4− 3

𝑆 =𝜇3

𝜎3,

gdzie 𝜇𝑖 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)𝑖

].

Poeksperymentuj z komputeremEstymatory kurtozy i skosnosci sa zaimplementowane w pakiecie scipy i mozna jezaimportowac przez: from scipy.stats import kurtosis,skew.

• Do poprzedniego kodu dodaj obliczanie kurtozy i skosnosci danego rozkładu• Zmien okno z [400:1200] na inne, mniejsze wieksze i w innym miejscu.• Jakie wartosci kurtozy i skosnosci mozna zaobserwowac?

4.2. Przykład analizy danych rynkowych 11


4.3 Problem - analiza innych danych

Zdobadz ze zródeł internetowych pliki z innymi indeksami giełdowymi. Napisz własny anali-zator, który bedzie potrafił na podstawie pliku z danymi:

• narysowac zaleznosc czasowa

• wybrac okno do analizy i je zaznaczyc na wykresie

• obliczyc log-zwroty

• narysowac histogram wybranego okna

• obliczyc współczynniki takie jak kurtoza, wariancja, srednia, skosnosc.


ROZDZIAŁ 5

Zarzadzanie ryzykiem

Motto“Zarzadzanie ryzykiem i pasy bezpieczenstwa chronia tylko wtedy gdy sa uzywane” Zdyskusji w przerwie konferencyjnej

Omawiajac funkcjonowanie rynków finansowych i ich instrumentów zawsze wspomina sie oryzyku, które to ryzyko jest permanentnie zwiazane z tymi zagadnieniami. Przyjmijmy defini-cje ryzyka wg, Teresy Kaminskiej:.

Ryzyko oznacza mozliwosc osiagniecia wartosci koncowej kapitału (inwestycji, in-strumentu finansowego) rózniacej sie od wartosci oczekiwanej. Działanie w wa-runkach ryzyka, dotyczy podejmowania decyzji odnosnie do zdarzen, które mogawystapic z okreslonym prawdopodobienstwem.

Szczegółowe rozwazania dotyczace tego czym jest ryzyko i czym jest niepewnosc zostały juzprzedstawione w skrypcie Wybrane Zagadnienia Analizy Rynków Finansowych.

Myslac o ryzyku i kontrolowaniu go w jakis sposób widzimy, ze jego wystepowanie jest zja-wiskiem szerszym i nie zaweza sie do rynków finansowych i działalnosci człowieka w tymobszarze.

Kazde przedsiewziecie jest bowiem obarczone ryzykiem. Z doswiadczenia znany tylko prze-szłosc, obserwujemy terazniejszosc i próbujemy przewidziec przyszłosc. Przewidywanie jestzwiazane z wymyslaniem prawdopodobnych scenariuszy opartych na odkrytych trakcie obser-wacji zasadach i prawach. Nie wszystkie sa prawami deterministycznymi. Czesto wspomagacsie musimy prawdopodobnymi scenariuszami. Niedoskonałosc naszych zmysłów nie pozwalanam patrzec „w przód” w czasie tak jak to robimy w przestrzeni. Ta niedoskonałosc rekom-pensujemy sobie tworzeniem modeli, analiza statystyczna danych przeszłosci, tak, aby znalezcprzesłanki o przyszłosci i przewidziec ja najlepiej.

Najlepiej, znaczy by przewidziec, jak bedzie. Ten nieco idealny sposób myslenia jest uprosz-czeniem i jest bardzo niedoskonały z powodu tego jakimi danymi dysponujemy.

Uwaga: W tym miejscu zacytowac mozna Konfucjusza, który to przed wiekami po-wiedział “Kto nie umie spogladac daleko, bedzie miał kłopoty blisko”

13

https://ekonom.ug.edu.pl/web/download.php?OpenFile=103

http://el.us.edu.pl/ekonofizyka/index.php/IRF:Ryzyko_i_zabezpieczenie_przed_ryzykiem_rynkowym


Tak wiec planujac jakiekolwiek działanie w przyszłosci (projekt, kampanie prasowa, woj-skowa, budowanie strategii, etc.) rozpatrujemy trzy obszary naszej wiedzy i doswiadczenia:

1. Wiemy, to co wiemy.

Tutaj mieszcza sie nasze doswiadczenia i posiadana wiedza. Nasze doswiadczenia zprzeszłosci, statystyki, modele etc.

Tylko nalezy pamietac, ze mapa to nie realny teren a model ma sie tak do rzeczywistoscijak mapa do terenu.

2. Wiemy, czego nie wiemy

W tym obszarze mieszcza sie nasze uswiadomione ograniczenia. Czegos nie wiemy alepotrafimy zaplanowac nasze działania na wypadek gdyby zdarzyło sie to cos o czym niewiemy czy moze zdarzyc w tym przypadku ale mozemy załozyc ze gdyby sie zdarzyłoto mogłoby wygladac nastepujaco. Albo musimy podjac działania aby zdobyc potrzebneinformacje. W tym obszarze mieszcza sie ludzkie błedy oraz odmienne od przewidywa-nych zachowania ludzkie spowodowane przykładowo zaistnieniem konfliktu interesów.

3. Nie wiemy, czego nie wiemy.

Ten obszar jest najwieksza niepewnoscia. Staramy sie by był najmniejszy, ale zawszeistnieje i powoduje, ze przyszłosc tylko potrafimy przyblizac, a jej kształt nigdy nie jestpewny.

Chcac działac skutecznie i efektywnie planujemy działania na przyszłosc aby najlepiej wyko-rzystac wszystkie nasze zasoby i umiejetnosci. Musimy jednak wziac pod uwage i to co mozesie zdarzyc na wypadek ryzyka niepowodzenia w pewnych obszarach. Czyli nie tylko jak be-dziemy zarzadzac naszymi zasobami, aktywami, etc. ale i jak bedziemy zarzadzali ryzykiem.Zarzadzanie ryzykiem jako stały element planu działania pojawiło sie w latach dziewiecdzie-siatych poprzedniego wieku jako uzupełnienie dotychczasowych standardów planowania. Jakpowiedział Peter Bernstein w swej ksiazce “ Against the Gods” (Bernstein, Peter L. (1996).Against The Gods: The Remarkable Story of Risk. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-12104-5. )- „ Najbardziej rewolucyjna idea, która zdefiniowała granice miedzy przeszło-scia a terazniejszoscia jest zarzadzanie ryzykiem.”.

Zarzadzanie ryzykiem jest podejmowane, by zredukowac lub wyeliminowac ryzyko wystapie-nia pewnych zdarzen, mogacych miec wpływ (negatywny) na działalnosc organizacji. Czestodziałanie zarzadzania ryzykiem koncentruja sie na umozliwieniu przetrwania i funkcjonowaniaorganizacji oraz ograniczenia ryzyka finansowego. Niemniej jednak zarzadzanie ryzykiem mana celu równiez ochrone pracowników, klientów i osoby przypadkowe od skutków takich zda-rzen jak pozar, akty terroryzmu etc. Zarzadzanie ryzykiem zawiera w sobie równiez ochroneobiektów, ochrone danych operacyjnych, ksiegowych oraz wszelkich zasobów organizacji. Wtym zakresie nalezy równiez pamietac o ochronie przed naduzyciami, kradziezami itd.

Zarzadzanie ryzykiem dotyczy wszystkich aspektów działalnosci organizacji i wszelkich ryzykjakie wystepuja lub moga wystepowac. Ryzyk wystapienia zdarzen i efektów niepozadanych.Co jest zdarzeniem i efektem niepozadanym zalezy od szerokiego wachlarza przyczyn i jestdefiniowane zazwyczaj przez organizacje i zalezy od jej celów i obszaru działania i srodowiska.Srodowisko naturalne, oczywiscie, tez jest brane pod uwage. A katastrofy takie jak Czarnobyl,wypływ ropy naftowej do wód morskich sa tylko przykładem tego, ze efekt niezamierzonymoze powodowac skutki przekraczajace waskie, techniczne spojrzeniu na działalnosc firmy.

14 Rozdział 5. Zarzadzanie ryzykiem


W liczbie ryzyk nalezy tez uwzglednic niezamierzone efekty takie moze przyniesc utrata repu-tacji, zaufania, klientów etc.

Zarzadzanie ryzykiem w ostatnich latach staje sie coraz powszechniej praktykowanym poste-powaniem w firmach, organizacjach a nawet agendach rzadowych nie wspominajac o naszym,osobistym, codziennym zyciu. Zakres działania ewoluował w czasie i pojawiały sie nowe na-rzedzia i techniki zarzadzania oraz metody oceny ryzyka. Zarzadzanie ryzykiem z czasemnabierało znaczenia i stawało sie znaczaca czescia działan organizacji i firm. Osoby odpowie-dzialne za te działalnosc zaczeły byc coraz bardziej znaczace w hierarchii organizacji i corazwieksza ilosc członków tych organizacji zaczeło brac czynny udział w tym zarzadzaniu ryzy-kiem. Specjalisci z tej dziedziny staja sie coraz bardziej poszukiwani. Dziedzina, która nieistniała przed rokiem 1990 zaczyna zajmowac znaczaca pozycje w strukturach współczesnychorganizacji. Znaczenie zarzadzania ryzykiem wzrasta.

Pojawiaja sie regulacje prawne stawiajace wymogi zarzadzaniu ryzykiem i regulujace odpowie-dzialnosc za kontrole ryzyka w organizacjach. Coraz wieksze znaczenie maja zasady corporategovernance i znaczenie konfliktu interesów jest coraz bardziej uswiadamiane. Wydarzenia11 wrzesnia 2001roku i kryzysy finansowe 2008 roku wyzwoliły niezwykle szybkie działa-nia w kierunku polepszania zarzadzania ryzykiem. Globalny kryzys finansowy spowodowałznaczace i trwajace do dzis zmiany zarzadzania ryzykiem w instytucjach finansowych. Ini-cjatywy regulacji prawnych majace na celu zwiekszenie transparentnosci i stabilnosci systemufinansowego pojawiaja sie w znaczacych gospodarkach swiata. Naleza do nich amerykanskieregulacje autorstwa Dodda -Franka, europejskie EMIR (European Market Infrastructure Regu-lation) i ogólnoswiatowa regulacja Basel III. Głównym celem tych i podobnych im regulacjijest zmiana wymogów prawnych dla zarzadzania ryzykiem, wymogów kapitałowych, płynno-sci, uzywania instrumentów pochodnych i transakcji z uzyciem srodków własnych i transakcjiz klientami. Unia Europejska centralizuje nadzór nad bankami pod skrzydłami EuropejskiegoBanku Centralnego. W tym samym czasie instytucje finansowe doskonala swe programy za-rzadzania ryzykiem poprzez poprawe ładu korporacyjnego oraz poprawe modeli oceny ryzyka,stress testingu, systemów informacyjnych zarzadzania ryzykiem.

5.1 Narzedzia uzywane w zarzadzaniu ryzykiem(finansowym)- rys historyczny

Od chwili pojawienia sie idei zarzadzania ryzykiem, zarzadzanie to poszukiwało najefektyw-niejszych narzedzi do oceny ryzyka. Zanim zostana one omówione nalezy podkreslic, ze naj-lepszym narzedziem jest, było i bedzie- zdrowy rozsadek i dobra znajomosc i rozumienie tegoco sie robi. Te cechy sa niezmienne i podstawowe mimo technicznej ewolucji narzedzi i ichtechnicznej złozonosci. Nalezy pamietac, ze zarzadzanie (a szczególnie zarzadzanie finansowe)to nie wyszukana matematyka ale konkretne działania na pieniadzach bedacych oszczedno-sciami i nadzieja na przyszłosc ludzi. Wiec dobrze jest wiedziec co sie robi i przewidywac jakiemoga byc skutki naszych działan. Niewatpliwie z wielu aspektów działalnosci ludzkiej dzia-łalnosc finansowa wytworzyła znaczace narzedzia do zarzadzania ryzykiem. Około roku 1938pojawiła sie idea duration jako sposobu porównywania instrumentów dłuznych (obligacji). Bar-dzo trudno jest porównywac rózne obligacje bo mimo, ze posiadaja czesto szereg podobnychparametrów je opisujacych, jednak sie róznia w relacji do ryzyka. Jak juz było wykazane du-ration pozwalała na pewne porównania a szczególnie na porównanie ryzyka obligacji łaczac

5.1. Narzedzia uzywane w zarzadzaniu ryzykiem (finansowym)- rys historyczny15


niejako sobie stopy procentowe, okres czasu do zapadalnosci itd. Markowitz na poczatku latpiecdziesiatych XX wieku w swej pracy doktorskiej zaproponował rewolucyjne podejscie doryzyka. Nie wchodzac w zawiłe rozwazania o sensie i istocie ryzyka powiedział, ze dla niegoryzyko bedzie charakteryzowane przez wariancje ceny aktywa. Lata szescdziesiate to rozwi-niecie analiz zarzadzania portfelem i pojawienie sie bety jako miary ryzyka instrumentu czy tezportfela. Próby opisu zachowania rynków i przewidywania ich zachowania, skutkowały poszu-kiwaniem zwiazków roznych czynników i ich wpływu na to co dzieje sie na rynku. Pojawiajasie modele wielofaktorowe. Lata siedemdziesiate to stosowanie coraz bardziej wyrafinowa-nych metod obliczeniowych opartych na doswiadczeniach fizyków a stosowanych w finansach.Zastosowanie metodologii drzew binarnych, rozwazania opartych na stosowaniu metody ru-chów Browna z dryftem spowodowały powstanie ciekawych sposobów wyceny zachowaniasie rynków i wyceny opcji. Wzory Blacka, Scholesa pozwoliły na nieco inne spojrzenia naryzyko i jego pomiar. Analiza cen i ich czułosci na parametry rynku (greki) pozwoliły na lep-sza oceny ryzyka i zmiennosci parametrów rynku i cen. Lata osiemdziesiate to idea zwrotu nakapitale modyfikowanego ryzykiem. Mozna porównywac rozne instrumenty o róznym ryzykui ich wpływ na wynik koncowy instytucji. W zakresie zarzadzania aktywami i pasywami po-jawiaja sie limity na ekspozycje duration, oraz limity na „ greki”. Lata dziewiecdziesiate tobardzo szybki rozwój narzedzi, pojawia sie idea testów w warunkach ekstremalnych, stress testa nastepnie Value at Risk, zmodyfikowana i rozwinieta jako Risk Metrics, z czasem dotyczacatez ryzyka kredytowego. Koniec wieku to połaczenie ryzyka kredytowego rynkowym (rynkifinansowe) oraz z ryzykiem operacyjnym. Od poczatku wieku XXI proces zarzadzania ryzy-kiem dotyczy wszelkich obszarów działania organizacji i zarzadzania ryzykami wystepujacymiw tych obszarach. Rodzaje ryzyk W działaniach organizacji nalezy zidentyfikowac wszelkiemozliwe, wystepujace ryzyka. Identyfikacja ryzyk to wazny element zarzadzania ryzkiem. Jestto proces, który zaczyna sie na poczatkowym etapie tworzenia planu postepowania w obliczuryzyka a która to lista ryzyk jest ciagle analizowana monitorowana i aktualizowana. W składryzyk wchodza ryzyka działalnosci ogólne takie jak ryzyka wypadków w miejscu pracy, ryzykopozaru, powodzi, zalania, i innych klesk naturalnych. Nalezy wziac pod uwage równiez wszel-kie ryzyka prawne, kradzieze defraudacje, oszustwa, oskarzenia o zadanie zadoscuczynienia wprzypadku oskarzen o mobing, napastowanie seksualne i mozliwosc prawnego dochodzenia nawypadek błednego czy niewłasciwego wykonania pracy, usługi etc. Ryzyka równiez wiaza siez działalnoscia zawodowa, zjawiskami na rynkach finansowych, niepowodzeniami projektów,ryzykiem kredytowym oraz bezpieczenstwem bazy danych i systemów komputerowych.

5.2 Czym jest zarzadzanie ryzykiem?

Zarzadzanie Ryzykiem jest to oparta na logice metoda systematycznej identyfikacji, analizo-wania, zapobiegania i monitorowania ryzyk wiazacych sie z kazda działalnoscia czy procesem.Zarzadzanie ryzykiem jest sposobem, który umozliwia menedzerom najlepsze wykorzystaniesrodków jakie maja do dyspozycji. Zarzadzanie ryzykiem jest obecnie nierozerwalna czesciaplanowania kazdej działalnosci. Zarzadzanie Ryzykiem jest to istotna składowa zarzadzaniakazdej organizacji bez wzgledu na obszar działania lub pełniona funkcje. Zarzadzanie ry-zykiem to proces łagodzenie skutków lub eliminowania pewnych ryzyk w róznych obszarachdziałania organizacji tak by ich wpływ negatywny na wynik działania organizacji był najmniej-szy. Rózne strategie sa wdrazane by zarzadzac ryzykiem w zaleznosci od rodzaju działalnosciorganizacji i jej celów. W przypadku zarzadzania ryzykiem finansowym polega to na ocenie



czy ryzyko brane w działalnosci jest własciwe (nie mozna liczyc na nagrode zysku jesli niewezmie sie ryzyka). Zazwyczaj polega to na wprowadzeniu zasad jak organizacja podejmujedecyzje finansowe i okreslenie co to jest własciwe ryzyko.

5.3 Zarzadzanie ryzykiem finansowym

Organizacja podejmujac decyzje finansowe, zazwyczaj podejmuje pewne ryzyko zwiazane ztymi działaniami, szczególnie jesli dotycza one inwestycji. Zarzadzanie ryzykiem finansowymto zbiór zasad który to zbiór, pozwala organizacji optymalizowac sposób brania na siebie ry-zyka finansowego. Ten zbiór zasad zawiera równiez sposób w jaki organizacja monitorujedziałania obarczone ryzykiem i jak proces zarzadzania jest wdrazany i jak jest monitorowany.W instytucjach finansowych zarzadzanie ryzykiem podlega bezposrednio pod Zarzad, któryto prawnie odpowiada za zarzadzanie ryzykiem, podobnie jak Rada Nadzorcza. Wymienioneorgany ustalaja i monitoruja jak decyzje finansowe zapadaja w spółce.

5.4 Natura ryzyka na rynkach finansowych

Ryzyko operacji na rynkach finansowych ma wiele postaci i wiele zródeł pochodzenia.

Literatura fachowa podaje wiele ich klasyfikacji. Przykładowo zaproponowana przezBank Rozrachunków Miedzynarodowych (Bank for International Settlements - BIS) <ref>http://www.bis.org.</ref> definicja ryzyka wiaze je z podejmowaniem decyzji finansowych,dotyczacych sposobów finansowania działalnosci instytucji finansowej. BIS zaproponował wy-odrebnienie pieciu podstawowych pod kategorii ryzyka finansowego:

• ryzyko kredytowe - rozumiane jako ewentualnosc, ze Klient, druga strona transakcjimoze nie wywiazac sie z warunków umowy.

• ryzyko rynkowe - wiaze sie z mozliwoscia zmiany cen instrumentów na rynkach finan-sowych co w konsekwencji prowadzi do zmiany wyniku finasowego transakcji

• ryzyko płynnosci - a własciwie jej braku. Ryzyko to moze dotyczyc instrumentu lubstrony transakcji. Ryzyko braku płynnosci instrumentu wystepuje jesli warunki rynkoweuniemozliwiaja dokonanie transakcji kupna/sprzedazy danego instrumentu (np. mała ak-tywnosc w tym segmencie rynku, brak notowan), Ryzyko braku płynnosci strony trans-akcji (instytucji) wystepuje jesli dana instytucja nie posiada w danym momencie srodkówpłynnych na wywiazanie sie z warunków umowy.

• ryzyko prawne - to ryzyko poniesienia straty z powodu niewłasciwej dokumentacji,złych zapisów w umowach, konfliktu interpretacji prawnych czy systemów prawnych.

Zródło definicji (Bank for International Settlement) jest wiodacym zródłem dla zasadzarzadzania ryzykiem obowiazujacych banki. Banki operuja głównie kapitałem klien-tów wiec szczególna ostroznosc prowadzenia operacji jest wymagana. Bezpieczenstwosystemu bankowego i jego operacji zostało omówione w rozdziale „Bezpieczenstwo sys-temu finansowego- Rynki Finansowe. Zarzadzanie ryzykiem banki opieraja na zasadachNowej Umowy kapitałowej (Basel II). W kształtowaniu zarzadzania ryzykiem Bank BISodgrywa wiodaca role.

5.3. Zarzadzanie ryzykiem finansowym 17

http://www.bis.org


Inwestor w swych operacjach na rynkach finansowych spotkac sie moze z ryzykami po-wodujacymi inne od zamierzonego efektami prowadzonych operacji inwestowania. Bio-rac pod uwage instrumenty finansowe to wiazace sie z nimi ryzyk mozna pogrupowac:**Ryzyka zwiazane ze zmiennoscia na rynkach finansowych

– Ryzyko stopy procentowej - dotyczy inwestycji w instrumenty

dłuzne. Jesli, na rynku finansowym zmieniaja sie stopy procentowe, to taka zmianapowoduje to zmiany stóp dochodu z posiadanych instrumentów. Inne dochody powodujainna wycene wartosci instrumentów. Wzrost stopy procentowej powoduje spadek cenyinstrumentu dłuznego, a spadek stopy procentowej wzrost ceny instrumentu.

– Ryzyko zmiany kursów walut - wystepuje, gdy instrument finansowy, jest de-nominowany w innej walucie niz waluta rozliczania instrumentu. Zmiany kursuwalutowego powoduja to, ze stopy zwrotu wyrazone w dwóch róznych walutachnie sa takie same.

– Ryzyko inflacji, - wystepuje wtedy, gdy inflacja zmienia siłe nabywcza dochodu zinwestycji.

– Ryzyko rynku - to ryzyko zmiany ceny na rynkach

finansowych. Ceny na rynkach finansowych zmieniaja sie pod wpływem wielu czynnikówzarówno fundamentalnych (czynniki gospodarcze) jak i emocji uczestników rynku.

• Ryzyko braku płynnosci instrumentu - wystepuje w przypadku

instrumentów finansowych handlowanych rynku o niewielkiej aktywnosci uczestników. A ta-kich rynkach instrumenty stosunkowo trudno jest sprzedac po godziwej cenie.

• Ryzyka wiazace sie z zachowaniem drugiej strony transakcji.

• Ryzyko niedotrzymania warunków emisji instrumentu (default risk) - wystepujewtedy, gdy emitent instrumentu finansowego nie moze dotrzymac warunków umowyemisji. Przykładowo - nie wypłaca odsetek(instrument dłuzny)

• Ryzyko zarzadzania - wynika błedów w zarzadzania spółka emitujaca papiery warto-sciowe majacych wpływ na uzyskiwane przez nia wyniki finansowe, co w rezultacieprzekłada sie na wartosc instrumentu finansowego. Skrajna forma tego ryzyka jest ry-zyko bankructwa emitenta.

• Ryzyko finansowe - wystepuje jesli skutkiem błedów w zarzadzaniu lub zmiany oto-czenia rynkowego spółki, jej lewarowanie zobowiazaniami powoduje straty w wynikufinansowym

• Ryzyko braku płynnosci emitenta - wiaze sie z wystapieniem braku mozliwosci dowypełnienia zobowiazan finansowych emitenta w terminie.

• Ryzyko biznesu - nazywane ryzykiem operacyjnym, wynika ze zmiennosci dochodówuzyskiwanych przez emitenta instrumentu finansowego skutkiem zmiany otoczenia ryn-kowego emitenta lub błedów w zarzadzaniu.

• Ryzyka otoczenia rynków

• Ryzyko polityczne - wystepuje wtedy, gdy rzad, parlament lub inne władze uchwalajaregulacje prawne lub podejmuje decyzje dotyczace wpływajace na sytuacje inwestorów,



lub emitentów (np. decyzje dotyczace opodatkowania). Ryzyko polityczne moze wyste-powac w skali ponad panstwowej (konflikty polityczne, wojny).

5.5 Składowe procesu zarzadzania ryzykiem

Proces zarzadzania ryzykiem składa sie z:

• Okreslenia i zrozumienia celów organizacji.

• Identyfikacji ryzyk

• Zmierzenia ryzyk

• Ocenienia efektów (wpływów) ryzyk

• Wybrania i sprawdzenia własciwych narzedzi do zarzadzania ryzykami.

• Wyboru własciwego podejscia do zarzadzania ryzykami.

• Wdrozenia i monitorowania programu działania

Istnieje wiele standardów zarzadzania ryzykiem przykładowo: International Organization forStandardization ISO 31000, PRIMIA, CoSco, AIRMIC, FERMA, Pomaranczowa ksiega.

Zastosowanie któregos ze standardów pomaga zrozumiec sens zarzadzania i jego techniki orazpozwala na bycie kompatybilnym do innych instytucji co niewatpliwie polepsza mozliwosciwspółpracy.

Proces wdrazania Zarzadzania Ryzykiem (ZR) zaczyna sie od zrozumienia celów organizacji,sposobów działania i osiagania celów. W trakcie tego etapu nalezy analizowac co moze niepozwolic na pełna i efektywne osiaganie celów. Te okolicznosci to ryzyka. Wiele z nich toryzyka strategiczne.

Analizujac takie ryzyka nalezy ustalic strony uczestniczace w takim splocie wydarzen (Intere-sariuszy), ustalic kogo dotycza lub moga dotyczyc oraz komu szkodzic. Warto w tym miejscuomówic i zanalizowac poprzednie przypadki i ewentualne nowe istniejace juz scenariusze dzia-łan z przeszłosci i ich zalecenia na przyszłosc. Bardzo czesto w strategiach pojawia sie wzrostjako element strategii. Nalezy pamietac, ze wzrost jest bardzo waznym elementem strategii, aleon jest tez elementem ryzyka. Wzrost to nie zawsze znaczy duze ryzyko ale duze straty prawiezawsze nastepuja po szybkim wzroscie.

Ryzyka w obszarze działania organizacji wynikaja z:

• Otoczenia rynkowego

• Cykli gospodarczych

• Cykli sektorowych

• Tendencje w branzy

• Zmian technologicznych

• Przyjetej strategii opartej na sformułowanej wczesniej wizji.

5.5. Składowe procesu zarzadzania ryzykiem 19

http://www.iso.org/iso/home/standards/iso31000.htm

http://www.iso.org/iso/home/standards/iso31000.htm

http://www.prmia.pl

http://www.coso.org/documents/COSO_ERM_ExecutiveSummary_Polish.pdf

http://www.ferm.org

http://www.ferma.eu/wp-content/uploads/2011/11/a-risk-management-standard-polish-version.pdf

http://www.hm-treasury.gov.uk


Powyzsza analiza czynników prowadzona pod katem ryzyka nie osiagniecia celów instytucjiw naturalny sposób ogarnie kolejne obszary, ryzyko wystepujace w których moze miec nega-tywny wpływ na osiagniecie celów organizacji. Te obszary to obszary ryzyka niejako pierwot-nego czyli obszar ryzyka rynkowego, ryzyka kredytowego i ryzyka operacyjnego.

Ryzyko operacyjne - to zagrozenie mozliwosci osiagniecia zamierzonych celów w wyniku błe-dów funkcjonowania, usterek systemów informacyjnych, błedów pracowników, niewłasciwejkontroli wewnetrznej instytucji finansowej. Albo inaczej cytujac definicje z dokumentu S&P2005 “Insurance Criteria” : Ryzyko operacyjne zawiera ryzyka “dystrybucji, procesu i czyn-nika ludzkiego, defraudacji oraz kontroli wewnetrznej, outsourcingu, uszczerbku na reputacji,technologii informatycznej, niewłasciwego zarzadzania zasobami ludzkimi, regulacji oraz nie-dotrzymania warunków usług lub produktów (compliance), zarzadzania zmiana, oraz ryzykazagrozenia kontynuowania działalnosci.”

W obszarze tego ryzyka nalezy pamietac o analizie mozliwosci wystapienia konfliktu intere-sów. Istnienie takich konfliktów ma zazwyczaj brzemienne skutki bo w wiekszosci przypadkówzawodzi człowiek.

Majac zidentyfikowane ryzyka nalezy je oszacowac tzn ryzyka i ich ewentualne skutki.

Innymi słowy nalezy okreslic czy zdarzenie moze wystapic? (Prawdopodobienstwo lub cze-stotliwosc wystepowania a nastepnie, jaki bedzie efekt, koszty lub konsekwencje wystapieniatakiego zdarzenia. (Gospodarcze, polityczne, społeczne). Ta ocena ma na celu uswiadomienieistnienia ryzyka i uporzadkowanie ryzyk pod katem priorytetów zarzadzania firma, kategoriiryzyk i nadanie im wagi, biorac pod uwage prawdopodobienstwo i wielkosc mozliwych kosz-tów albo konsekwencji. Ryzyka nie da sie wyeliminowac zupełnie, wiec nalezy ustalic poziomakceptowalnego ryzyka.

Porównanie ryzyk to uporzadkowanie ich pod katem prawdopodobienstwa i skutku. Np. Nadwuwymiarowym wykresie prawdopodobienstwo i skutek.

Rysunek 5.1: Prawdopodobienstwo Priorytety: Czerwony- wysoki Zółty- sredni Zielony - niski

Przy pomiarze ryzyka wykorzystuje sie zazwyczaj miary zmiennosci (volatility). W przypadkuinstrumentów czy portfeli instrumentów j stosuje sie zazwyczaj Value at Risk.

Majac ustalone ryzyka nalezy sporzadzic plan przeciwdziałanie kazdemu zidentyfikowanemuryzyku, biorac pod uwage dostepne srodki - techniczne finansowe, zasoby ludzkie etc. Porów-



nanie ryzyk i ustalenie priorytetów (strategiczne, operacyjne) pod katem ich skutków ustala sietak, ze dla kazdego ryzyka ocenic nalezy prawdopodobienstwo danego skutku Pi, ocenic kwo-towo straty zwiazane z danym skutkiem wystapienia ryzyka Si i mnozac Pi x Si otrzymuje siekwote wystawiona na ryzyko niechcianego skutku. Otrzymywana kwota jest porównywana wprzypadku róznych działan majacych na celu łagodzenie skutków ryzyka (analiza scenariuszy)i kolejny krok to wyliczenie dzwigni ryzyka czyli (kwoty skutku przed obnizeniem ryzyka -kwota skutku po obnizeniu ryzyka ) / (koszty obnizenia ryzyka ).

Ochrona przed ryzykiem wiaze sie z kosztami a zdrowy rozsadek obowiazuje zawsze, wiecekonomizacja działan jest wrecz intuicyjnym zabiegiem. Ustalenie priorytetu i kosztów prze-ciwdziałania pozwala swiadomie ocenic poziom akceptowalnego ryzyka.

5.6 Kontrolowanie ryzyka

Zarzadzanie ryzykiem jest procesem, procesem ciagłym a nie działaniem akcyjnym. Celemustalenia ryzyk, ich zródła, sposobów łagodzenie ich skutków i ich analiza jest podstawa jestciagłosc procesu zarzadzania ryzykiem - ciagłosc kontroli ryzyka. Polega to na tym, ze kierujacsie na obnizanie ryzyka, planuje sie działania na wypadek wszelkich mozliwosci a nastepniemonitoruje sie proces i prowadzi sie ciagła ocene i wycene ryzyka. Wyniki pomiarów ryzyka iidentyfikacja jest podstawa do wdrazania przygotowanych procedur postepowania oraz ich ana-liza i ciagłe ich poprawianie i ulepszanie. Ciagłosc tego procesu jest niezmiernie wazna. Waznaczescia tego procesu jest kontrola wewnetrzna i sprawdzanie czy procedury i zasady postepo-wania przewidziane w zarzadzaniu ryzykiem sa przestrzegane i czy funkcjonuja w praktycei czy funkcjonuja dobrze. Kontrola wewnetrzna to nie jest cwiczeniem akademickim, o któ-rym mozna przeczytac w podreczniku a nastepnie zapomniec. Wprost przeciwnie w instytucjifinansowej kontrola wewnetrzna jest tym czynnikiem, który pozwala tej instytucji utrzymacwysoki poziom efektywnosci systemu. Zadna działalnosc nie moze na dłuzsza mete funkcjo-nowac efektywnie bez skutecznego systemu kontroli wewnetrznej.

5.6.1 Postepowanie ze zidentyfikowanym ryzykiem

Jesli ryzyka zostaja zidentyfikowane i pomierzone(porównane) nalezy zastanowic sie nad tymco mozna uczynic aby im zapobiec albo zmniejszyc ich negatywne skutki.

Celem myslenia jest obnizenie ryzyka wszedzie tam gdzie jest to mozliwe i wskazane.

Obnizyc ryzyko mozna próbujac go uniknac. Podjete działanie w takim przypadku to mody-fikacja załozen działania. Inna ewentualnoscia jest transfer ryzyka. Transfer polega na prze-niesieniu niejako skutków tego ryzyka do innego systemu, poza organizacje, której ryzykiemzarzadzamy. Przykładem takiego działania jest ubezpieczenie sie od ryzyka u ubezpieczycielawykupujac polise pokrywajaca straty wynikłe w skutku ryzyka. Chetnych do brania ryzyka jestna rynku wiecej i wiele firm na kupowaniu ryzyka oparło swój sposób na funkcjonowanie. Ry-nek instrumentów pochodnych to mozliwosc transferu ryzyka. Dzieki takim rynkom i firmomna nich działajacych, mozliwy jest hedging czyli zabezpieczanie sie przed ryzykiem zmianyceny.

Obnizanie ewentualnych negatywnych skutków ryzyka daje proces zwany łagodzeniem (mity-gacja) skutków ryzyka. Łagodzenie to działania wyprzedzajace umozliwiajace zmniejszenie

5.6. Kontrolowanie ryzyka 21


prawdopodobienstwa wystapienia ryzyka albo minimalizacje jego skutków. Transakcje hed-gingowe maja podobne działanie. Jednak zawierajac takie transakcje nalezy pamietac, ze wy-magaja one dodatkowej troski. Zawarte dzisiaj łagodza skutki ryzyk z dzisiejszego punktuwidzenia ale nalezy pamietac zabezpieczeniu skutków rozkładu prawdopodobienstwa wartosciprzyszłej (np. grube ogony).

Istnieja ryzyka, których nie mozna obnizyc ani uniknac. Na wypadek ich wystapienia nalezyprzygotowac plan i procedury postepowania. Przygotowanie planów i procedur postepowaniato nie niepotrzebna biurokracja. Działania te skutecznie zastosowane redukuja atmosfere kry-zysowa, obnizaja prawdopodobienstwo popełniania błedów w stresie kryzysu. Minimalizujaczas kontrreakcji co moze miec kluczowe znaczenie nie tylko dla firmy ale i dla ludzi znajdu-jacych sie w takiej sytuacji.

Posiadanie gotowych procedur “na wypadek” pozwala kierownictwu kierowac procesem funk-cjonowania firmy efektywnie a nie zajmowac sie “gaszeniem pozarów” kolejnych problemów.

Oczywiscie procedury awaryjne i postepowania w sytuacjach kryzysowych wymagaja nie tylkoopracowania i przygotowania ale i wdrozenia, praktycznego szkolenia i ... wspominanej, kon-troli wewnetrznej czy działaja dobrze.

Cwiczenia pozaroweOsobom które czytaja teraz ten tekst z powatpiewaniem polecamy wykonanie nastepu-jacego eksperymentu. Do przeprowadzenia tego eksperymentu potrzebny bedzie stoperalbo inne urzadzenie do pomiaru czasu. Prosze na wstepie odpowiedziec na pytanie:Kiedy ostatni raz braliscie udział w cwiczeniach działan na wypadek pozaru w instytu-cji, w której akurat przebywacie?Spodziewamy sie usmiechu i chyba znamy odpowiedz.A teraz właczcie stoper. Własnie usłyszeliscie sygnał ostrzegajacy, ze wybuchł po-zar. Co zrobicie najpierw? Któredy, jaka droga opuscicie pomieszczenie? Zróbcieto. Ile czasu Wam to zabrało? Czy były po drodze miejsca gdzie mogliscie spotkacinnych uciekajacych, których zachowanie mogłoby utrudnic Wam ucieczke? Schody,Windy.?? W która strone nalezało uciekac? W góre czy w dół? Gdzie załozylisciewybuch pozaru ? A co gdy własnie jest zlokalizowany na drodze Waszej ucieczki?Dobrze, uratowaliscie sie. Ile czasu wam to zabrało? Czy mozna szybciej?A czy pomysleliscie o innych?? A o kim? Co mogliscie zrobic dla nich? Moze wiazaWas z nimi jakies zobowiazania? A co zrobiliscie dla zabezpieczenia przyszłosci insty-tucji w której sie znajdujecie (przyszłego jej funkcjonowania)? Czy cos i co nalezałowyłaczyc? Co z danymi? Wynikami badan? Ile czasu to zabiera?Robicie to w spokoju i bez stresu, a co bedzie jak wybuchnie panika? Co wskazujeczasomierz? Powtórzcie po pewnym czasie przemyslony juz zestaw czynnosci. Ileczasu Wam to teraz zabrało?Takie cwiczenie jest pomocne by zrozumiec znaczenie procedur i ich wyszkolenia.Pozar dosc łatwo sobie wyobrazic natomiast inne zdarzenia (np. zamieszanie na rynkufinansowym i to z jakimi reakcjami mamy wtedy do czynienie) raczej trudno sobie takna poczekaniu wymyslic.

Zarzadzanie ryzykiem to proces i to proces ciagły. Dokumentuj zarzadzanie ryzykiem i za-pisz przyczyny stojace za wybranymi ryzykami i jakie sposoby przeciwdziałania im wybranoi zastosowano. Co i kto zrobił. Taka dokumentacja jest bardzo cenna. To na jej podstawie



mozna pózniej ocenic czy plany i procedury sa efektywne, Co zawiodło? Co było własciwymzachowaniem. Co poprawic.?

Ustal i zapisz kto za co odpowiada. Monitoruj i oceniaj proces zarzadzania ciagle. Błedów nierobia tylko Ci, którzy nic nie robia albo ich ograniczenia mentalne uniemozliwiaja im zauwa-zenie robienia błedów. Próby ukrycia popełnionych błedów to oznaka konfliktu interesów. „Ja”jestem przeciez dobrym pracownikiem, musze ukryc bład bo nie bede uwazany za dobrego, bezwzgledu na to ile to bedzie kosztowac organizacje.

5.6.2 Monitorowanie i ciagła weryfikacja procesu zarzadzania ryzy-kiem

Zmieniajace sie otoczenie weryfikuje przyjeta strategie zarzadzania ryzykiem. Zmiennosc wy-musza okresowy przeglad sytuacji i ponowne analizowanie sytuacji. Okresowe przeglady sytu-acji ryzyka pozwalaja na wychwycenia i ocene zmian prawdopodobienstwa wystapienia ryzykoraz ewentualnych zmian ich skutków. Monitoring i ciagła analiza pozwala na wprowadzeniezmian w zaplanowanych działaniach unikani/ łagodzenia ryzyka. Jest konieczny by spraw-dzac czy przyjete zabezpieczenia nadal sa własciwymi i czy koszt ich stosowania jest nadalusprawiedliwiony. Ponowny przeglad jest robiony jako powtarzajaca sie procedura w równychodstepach czasu jesli zmiany w otoczenie nie sa zmianami gwałtownymi. W przypadku tychdrugich kazde wystapienie duzej zmiany powoduje koniecznosc kolejnego przegladu. Perio-dyczne przeglady pozwalaja na identyfikacje nowych zagrozen nie wystepujacych w czasiepoprzedniego przegladu i aktualizacji. Kazdy pracownik na swoim stanowisku informuje o do-strzezonym przez siebie ryzyku przełozonych. Ci z kolei powinni spowodowac by informacjata dotarła do osób odpowiedzialnych za zarzadzanie ryzykiem.

Jesli w czasie monitorowania zauwazone zostaja ryzyka, które moga spowodowac kłopoty dlaklientów firma powinna o tym poinformowac swoich klientów. Powodem takiego działaniajest słowo- ” swoich”. Na rynku kazdy działa na własny ryzyko i swoja odpowiedzialnosc. Alezawsze jesli klient nie do konca rozumie wyrafinowane transakcje finansowe jakie za pomoca„ swojej” instytucji zawiera. W kazdym przypadku (przykład - opcje sprzedawana polskimfirmom w 2008 roku, Orange County, itd.) klient w przypadku strat bedzie na drodze sadowejstarał sie dochodzic zadosc uczynienie od „ swojej” instytucji finansowe. Bez wzgledu na toczy klient ma racje albo inaczej czy racje jego uzna sad, reputacja „Waszej” instytucji jestnarazona na ryzyko utraty lub uszczerbku.

5.6.3 Skutecznosc zarzadzania ryzykiem

Stworzenie systemu skutecznego w zarzadzaniu ryzykiem nie polega jedynie na przygotowaniuprocedur i formalnego wpisania go w system zarzadzania instytucja. Zarzadzanie ryzykiem toproces złozony, opierajacy sie na szerokim i powszechnym zrozumienie sensu operacji i instru-mentów których sie uzywa i oferuje klientom. Wymaga szkolen wstepnych i przygotowaniaodpowiedniej kultury wewnatrz organizacji. Ta kultura i to ze proces ten działa jest podstawaby nie został tylko zbiorem nudnych zapisów procedur, których nikt nie czyta ani nie stosuje.Jest podstawa jego efektywnego działania. Kazdy pracownik powinien czuc, ze uczestniczyw czyms co jest wazne dla firmy i widziec, ze rzeczywiscie tak jest. Kluczowym dla sku-tecznosci tego procesu jest osobiste zaangazowanie Członków Zarzadu w ten proces. Wiele



regulacji prawnych w wielu krajach nakłada na Zarzad (instytucji finansowych) obowiazek iodpowiedzialnosc za zarzadzanie ryzykiem w firmie.

Na kazdym poziomie operacyjnymi w kazdej operacji powinna byc obecna kultura zarzadza-nia ryzykiem i jego swiadomosc jego wystepowania i kontrolowania. Zasady funkcjonowaniaorganizacji powinny byc jasne transparentne (sposoby podejmowania decyzji). Unikanie kon-fliktu interesów powinno byc podstawa myslenia o strukturze działan organizacji. W trudnychprzypadkach najczesciej zawodzi człowiek. Zawodzi głównie dlatego, ze uwikłany jest w kon-flikt interesów nie zawsze z własnej winy. Ten konflikt moze przejawiac sie w bardzo pozornieniewinnych zachowaniach. Patrzac na przykłady kłopotów Orange County, Barings Banku So-ciete Generale widac, ze „bohaterami „ tych historii byli wybitni specjalisci. Osoby uznawaneza najlepsze. Kazdy człowiek bardzo chce byc uznawany za dobrego w tym co robi, tak wiecw chwili pomyłki stara sie ja ukryc i naprawic ja w przyszłosci. Czesto jest wspierany praznajblizszych kolegów, którzy w poczuciu solidarnosci kryja jego błedy obserwujac ja stara sieodrobic straty. Staja sie z czasem współwinnymi i kryja bład dalej. To z reguły doprowadza dotego, ze bład, kiedys mały staje sie duzy. Czesto prowadzacy do upadku wielkich organizacji.W wymienionych wyzej przykładach upadków widac, ze niemozliwym jest by ich „ bohatero-wie „ działali samotnie bez wiedzy i wsparcia kolegów z pracy. Gdyby ich bład wykazał bysystem zarzadzana ryzykiem zaraz na poczatku, ewentualna strata byłaby mała i łatwa do od-robienia albo łatwiejsza do absorpcji. „ Pomoc kolezenska” i przymykanie oka” przy omijaniuprocedur (aby byc ludzkim przyjaciele a nie formalistom, czesto prowadzi do duzych kłopotówmimo, ze wynika, jak sie wydaje z pobudek dobrych i humanitarnych (konflikt interesu- dlakogo jestem dobry?).

W tworzeniu procedur i planowaniu musi byc jasno zdefiniowana odpowiedzialnosc. Kto zaco odpowiada i dlaczego nalezy sprawdzic osobiscie i podpisac decyzje podpisana juz przezkolege.

Działaniom musi towarzyszyc poczucie wspólnoty działania, współpracy w sukcesie i w nie-powodzeniach. Aby system mógł działac sprawnie dobra komunikacja jest bezwzglednie ko-nieczna. Działac dobrze „w dół” jak i w „góre” a nawet miedzy działami organizacji.

Skutecznie działajace zarzadzanie ryzykiem pozwala na realizacje podstawowego oczekiwaniastawianego instytucji komercyjnej czyli na tworzenie i wzrost wartosci firmy. Zapewnia jej cia-głosc działania i osiaganie stawianej sobie celów. Stabilizuje dochody. Zarzadzenie ryzykiemmusi byc ciagle doskonalone a działania podejmowane w tym zakresie musza uwzgledniackoszty zarzadzania ryzykiem, które nie powinny nadmiernie wzrastac.

Organizujac zarzadzanie ryzykiem w instytucji finansowej nalezy sobie postawic trzy kluczowecele:

• Pomiar - jak pomierzyc ryzyko?

Jaki system software bedziemy wykorzystywac do tego celu. Z kim ( jaka instytucja po-winnismy byc kompatybilni? Czesto bowiem nasza jednostka organizacyjna wchodzi wskład innych jednostek organizacyjnych i przyjmujemy wspólny system obrabiania da-nych. Najczesciej pomiar ryzyka bedzie jakas odmiana Value at Risk. Ta metoda zostanieomówiona w kolejnych rozdziałach niniejszego opracowania. Kluczowym jest decyzjao przyjetych modelach wyceny. Nalezy bowiem pamietac, ze firma jest tak bezpieczna,jak bezpieczne sa jej modele.

• Procedury - kto co robi?



Nalezy bardzo dobrze znac produkty i instrumenty finansowe, których sie uzywa lubktóre sie sprzedaje. Znac wszelkie mozliwe ryzyka jakie sie z nimi wiaza. Do tegodochodza ryzyka operacyjne. Majac przygotowane liste tych ryzyk nalezy zaplanowac,stworzyc, badz dostosowac istniejace procedury tak by powstały opisy działania w trak-cie rutynowych operacji jaki w sytuacjach kryzysowych. Procedury okreslaja co i ktorobi w opisanych sytuacjach. Z nich wynikaja przydziały czynnosci i podziały obo-wiazków. Procedury okreslaja kto zatwierdza decyzje i działania, kto sprawdza popraw-nosc wykonania etc. Z działaniami i wiaze sie odpowiedzialnosc, która procedury muszaokreslac i zakres raportowania i rodzaj dokumentów które musza powstac w opisanychsytuacjach. Procedury musza wynikac i byc zgodne z regulacjami wewnetrznymi i regu-lacjami zewnetrznymi (np. Nadzoru Finansowego. Zgodnosc regulacji to osobne zródłoryzyka prawnego.

Procedury powinny byc jasne i stosowane. Swiadomosc problemów zarzadzania ryzy-kiem powinna byc jak najszersza wsród pracowników. Kontrolowanie ryzyka to rów-niez okreslanie ( przydział ) limitów na poszczególne operacje, instrumenty, Przydziałlimitów zaczyna sie od góry i obejmuje poszczególne działy organizacji i poszczególnestanowiska i instrumenty. Z limitów wynika jak wielkie transakcje i kto ma prawo za-wierac, jest to szczególnie istotne w przypadku osób prowadzacy operacje na rynkachwalutowych, kapitałowych, kupujacych/ sprzedajacych instrumenty finansowe, inwestu-jace powierzone srodki badz zarzadzajace portfelem firmy. Limity nie tylko dotyczawielkosci pozycji zajetej ale dotycza tez stóp procentowych. Musza odpowiadac przy-jetej i okreslonej dywersyfikacji ze wzgledu na walute i zapadalnosc tak aby uniknacnadmiernej koncentracji. Limity powinny okreslac liste instrumentów dozwolonych. Wtym miejscu nalezy podkreslic ryzyko instrumentów pochodnych i limitów na nie (wiel-kosc zobowiazania oraz wielkosc depozytu zabezpieczajacy- problem koniecznosci uzu-pełniania). Limity równiez powinny zawierac okreslenie maksymalnej straty jak moznaponiesc na danej pozycji. Jesli strata osiagnie limit, pozycja musi byc bezwzgledniezlikwidowana. W działaniach rynkowych musi byc wprowadzona zasada wyceny in-strumentów (aktywów i pasywów) jako Mark - to market czyli po aktualnych wycenachrynkowych i ustalac limity ksiegowe dla narastajacych pozycji. Ustalanie limitów torówniez liczenie VaR- zagregowanej ekspozycji jako potencjalna strata ustalenie limituna te wartosc. Ustalenie limitów jest wymagane przez Risk Managera (osobe odpowiada-jaca w organizacji za zarzadzanie ryzykiem) i zatwierdzone przez Zarzad. Limity muszabyc zaimplementowane w odpowiednich systemach i sprawdzane na koniec dnia przezKontrole finansowa oraz na biezaco kontrolowane przez Risk Managera.

• Komunikacja - dochodzenie do tak lub nie

W całym procesie zarzadzania ryzykiem istotna jest komunikacja. Zarzadzanie ryzykiemto działanie zespołowe. Przepływ informacji nie tylko musi zapewniony „ z góry „ nadół” ale i tez w kierunku odwrotnym oraz miedzy działami i pracownikami. Własciwakomunikacja to nie tylko przepływ informacji ale i podejmowanie wspólnych działani dokonywanie wspólnej oceny. Informacja która pojawia sie w systemie musi powo-dowac reakcje i to reakcje jednoznaczna. Ocena sytuacji na podstawie dochodzacychinformacji musi zakonczyc sie jednoznaczna decyzja. Jednoznacznie nalezy okreslic „tak „ implementujemy okreslone działanie lub „nie” nie robimy tego. Ryzyka nie da sieuniknac ale daje sie nim zarzadzac. Własciwa komunikacja i swiadomosc zarzadzaniaryzykiem pozwala na jego ocene a podejmowane działania czynia go akceptowalnym.



Jest to mozliwe jesli pracownicy sa swiadomi problemów a informacje o pojawieniu sieryzyka dociera do własciwych ludzi w organizacji na czas.

Okresowy monitoring tego co zaszło dzienne pozycje powinny byc analizowane na szcze-blu działów jak i na szczeblu centralnym. Wyniki raportów ze stress testów powinny bycomawiane w gronie kierownictwa. Słuzby zarzadzania ryzykiem przygotowuja raportytygodniowe i miesieczne, które to raporty sa prezentowane i omawiane przez kierownic-two organizacji.

Funkcje zarzadzania ryzykiem ewoluuja w czasie. Aby zarzadzac skutecznie nalezy właczycw zarzadzanie ryzykiem, kierownictwo i wszystkich pracowników. Zarzad organizacji musibyc odpowiedzialny za zarzadzane ryzykiem. Procedury i działania powinny byc zaprojek-towane uwaznie. Decyzje personalne czyli własciwe obsadzenie stanowisk analizy ryzyka ijego monitorowania jest niezmiernie wazna sprawa. Odpowiednie zaplecze technologiczne jestniezmiernie istotne, dane musza byc aktualne i prawdziwe a modele wyceny godne zaufania.Organizacja jest tak bowiem bezpieczna jak dobre i bezpieczne sa modele, których uzywa.


ROZDZIAŁ 6

Opcje

6.1 Podstawowe cechy opcji

Opcje stanowia podstawowy element innych instrumentów finansowych. Opcje to instrumentzwany instrumentem pochodnym, gdyz jego cena zalezy (pochodzi) od ceny innego aktywa.

Opcje to instrument finansowy, którego popularnosc szybko rosnie. Opcje to instrument madry,uzyteczny ale i niebezpieczny. Opcje to instrumenty coraz czesciej stosowane. Ten wzroststosowania opcji ma swe zródło w szczególnych cechach opcji.

Opcje:

• Stwarzaja na rynku mozliwosci do korygowania ryzyka lub zmieniania przepływówprzychodów co bez ich istnienia nie byłoby mozliwym.

• Stwarzaja mozliwosc stosowania dzwigni finansowej.

• Moga byc uzywane jako generator dodatkowego dochodu z portfela inwestycyjnego.

Przykładowo opcje daja mozliwosc dzwigni finansowej. Efekt dzwigni finansowej w przy-padku opcji polega na tym, ze przy pomocy wzglednie małych sum pieniedzy mozemy gene-rowac znaczne zyski.

Przykładowo popatrzmy na notowania cen akcji Yahoo w kilku kolejnych dniach i cen opcji nazakup tych akcji w tym samym czasie.

czas cena akcji Yahoo cena opcji na akcjeDZIEN 1 100 5DZIEN 2 105 7DZIEN 3 111 9DZIEN 4 113 10Zysk (%) 13 100

Jak widac w przypadku zmian cen akcji mozna było zarobic 13% dysponujac kwota około100 jednostek a na opcjach 100% dysponujac kwota około 10 jednostek. Opcja to niezłenarzedzie do spekulacji. Ale to jest własnie w niej niebezpieczne. Wszystkim zaintereso-wanym polecamy przeczytanie ciekawego tekstu “10 mitów o instrumentach pochodnych”:http://www.cato.org/pubs/pas/pa-283.html

27

http://www.cato.org/pubs/pas/pa-283.html


Opcje maja i inne zastosowania. Głównie stosuje sie je do zabezpieczania przed niekorzystnazmiana cen instrumentów finansowych. Temu ich zastosowaniu bedzie poswiecony ponizszytekst.

Co daja opcje swym posiadaczom. Za co płaca pieniadze kupujac opcje? Kupujac opcje kupujesie mozliwosc wyboru w przyszłosci. Prawo wyboru jest niestety prawem ograniczonym, bocena opcji wiaze sie z cena aktywa. Opcje bowiem sa oparte o prawo do aktywów.

Własciciel opcji moze:

• Sprzedac ja komus innemu.

• Pozwolic jej wygasnac (nie skorzystac z mozliwosci jakie daje).

• Wykonac ja (czyli skorzystac z niej).

6.2 Opcja call i opcja put

Opcja call daje prawo (ale nie nakaz) do kupienia w okreslonym okresie czasie aktywa zaokreslona cene.

Nabywajacy opcji płaci pieniadze w wysokosci Premii sprzedawcy opcji w zamian za to prawo.

Sprzedawca opcji bierze pieniadze (Premia) za obowiazek sprzedazy w okreslonym okresieczasu, aktywa, za okreslona cene, jesli posiadacz opcji zechce skorzystac z tego prawa.

Opcja call to jak kupienie biletu do kina. Kupujac bilet do kina za jego cene (Premia) mozemywybierac miedzy nastepujacymi mozliwosciami (wybór ograniczony w czasie - praktycznie dorozpoczecia seansu):

• Isc do kina i zobaczyc film (wykonanie opcji)

• Sprzedac posiadany bilet komus innemu (np. z zyskiem jesli seans jest wyjatkowo atrak-cyjny)

• Nie isc do kina (pozwolic opcji na wygasniecie).

Opcja put daje prawo (ale nie obowiazek) do sprzedazy aktywa w okreslonym czasie, za okre-slona cene. acz opcji płaci pieniadze w wysokosci Premii sprzedawcy opcji w zamian za prawodo sprzedania. Sprzedawca opcji bierze pieniadze w zamian za obowiazek kupienia okresloneaktywa za, okreslona cene, w okreslonym czasie. Nie jest koniecznym posiadanie aktywa przedwykorzystaniem prawa z wystawienia opcji Put.

Aby wejsc w posiadanie opcji, ktos ja musi sprzedac (wystawic). Jesli wystawi sie opcje a niktjej nie kupi mozna ja zniszczyc. Ilosc opcji call w obrocie nie jest równa ilosci opcji put. Iloscopcji w obrocie zmienia sie w trakcie kazdego dnia funkcjonowania rynku finansowego.

28 Rozdział 6. Opcje


6.3 Terminologia rynku opcji

6.3.1 Cena wykonania

Cena za która nabywca moze kupic (w przypadku Call) lub sprzedac (w przypadku Put) aktywopodstawowe.

6.3.2 Premia

Cena opcji, płacona przez nabywajacego, wystawcy opcji. Kazda opcja posiada dwie ceny:

• Cene sprzedazy (bid) czyli najwyzsza cene, jaka ktos chce zapłacic za opcje.

• Cene kupna (ask) czyli najnizsza za która ktos chce sprzedac dana opcje.

6.3.3 Data wygasniecia/zapadalnosci T

Jest to ostatni termin do wykorzystania opcji (jesli to opcja amerykanska), jedyna data dowykorzystania opcji (jesli jest to opcja europejska).

Róznica miedzy opcja amerykanska a europejska jest taka, ze opcje amerykanska mozemywykorzystac kazdego dnia do terminu wygasniecia (zapadalnosci) a opcje europejska tylko wdzien zapadalnosci. Po tym terminie opcja wygasa.

6.3.4 Wykonanie

Kupno podstawowego aktywa (w przypadku call), sprzedaz aktywa podstawowego (w przy-padku put). Zazwyczaj jest jedna cena wykonania powyzej i jedna cena ponizej aktualnej cenyaktywa.

6.3.5 Prawo

Tylko posiadacz opcji ma prawo. Prawo by sprzedac lub kupic aktywo podstawowe. Wystawcaopcji (sprzedajacy) ma wypełnic obowiazek wynikajacy z prawa posiadacza opcji.

W przypadku kontraktu opcyjnego wystepuja dwie transakcje zwiazane z tym kontraktem.Transakcja otwierajaca zaleznosc opcyjna to sprzedaz opcji przez wystawiajacego. Transak-cja która konczy zobowiazanie opcyjne jest nazywana transakcja zamkniecia.

UWAGA!Opcja call nie jest odwrotna transakcja do put ani put nie jest odwrotna do call. Ry-zyko stron nie jest bowiem symetryczne. Mozna pozbyc sie ryzyka wystawienia opcjipoprzez zawarcie transakcji odwrotnej - t.j. wystawca opcji moze pozbyc sie zobowia-zania poprzez kupienie identycznej opcji.

6.3. Terminologia rynku opcji 29


Posiadajac opcje posiadamy prawo wyboru. Jaka jest wartosc takiego prawa czyli co to jestwartosc opcji? Opcja to prawo kupna lub sprzedazy aktywa za okreslona cene. Jej wartoscskłada sie z wartosci oceniajacej aktualne warunki rynkowe (wartosc wewnetrzna – intristicvalue) oraz nadzieje na przyszłosc, ocene przyszłych warunków rynkowych - wartosc czasowa(time value). Na wartosc opcji czyli na jej cene składa sie jej wartosc wewnetrzna i jej wartoscczasowa. Im opcja jest blizsza wygasniecia tym wartosc czasowa maleje.

6.3.6 Wartosc wewnetrzna (Intrinsic Value)

• dla opcji call jest róznica pomiedzy cena instrumentu bazowego, a cena wykonania,

• dla opcji put jest róznica pomiedzy cena wykonania, a cena instrumentu bazowego.

Wartosc wewnetrzna przyjmuje tylko wartosci dodatnie lub jest równa zero.

Opcja z zerowa wartoscia wewnetrzna nazywa sie out of the money, opcja z wartosci a we-wnetrzna wieksza od zera nazywa sie in the money a jesli cena wykonania opcji jest równacenie aktywa bazowego opcje nazywa sie at the money.

Rysunek 6.1: Ewolucja czasowa ceny aktywa. Jesli mamy opcje Call o cenie wykupu 𝐾 = 125to w obszarze czerwonym jest ona out of the money*, w zielonym in the money a punktach wktórych kurs aktywa przechodzi przez cene wykonania at the money.

Kupujac opcje musimy sie liczyc z dwoma opłatami transakcyjnymi. Jedna - zakup opcji, drugatransakcja nabycia/sprzedania aktywa. Wystawca opcji zarabia wartosc premii jesli nabywcanie wykorzysta opcji.

Inwestor wyszukuje własciwa opcje kierujac sie (w przypadku akcji spółki) Nazwa firmy, datazapadalnosci (wygasniecia), cena wykonania, i typem opcji.

6.4 Profile ryzyka w czterech przypadkach



PrzykładMamy nastepujaca informacje: Diora Stycz.125.00 CallGdzie:

• Diora - nazwa spółki• Styczen - data zapadalnosci,• 125.00 - cena wykonania• Call - typ opcji.

Przyjmijmy, ze cena takiej opcji cal wynosi 3.25 a cena opcji put 13.25 - jednostkimonetarnej. Bedziemy takze oznaczac date zapadalnosci jako 𝑡 = 𝑇 , a chwile obecna𝑡 = 0.

6.4.1 Long Call - kupujemy prawo kupna

Zanim przystapimy do analizy profili wypłat, omówimy dokładnie co bedzie znajdowało siena ponizszych wykresach. We wszyskich przypadkach bedziemy rozwazac ten sam przypadekopcji na aktywo o chwilowej cenie 115, i cenie wykonania w momencie czasu 𝑡 = 𝑇 wynosi𝐾 = 125. Rynkowa cena takiej opcji call i put wynosi odpowiednio 3.25 i 13.25. Na poniz-szym rysunku znajduja sie dwie krzywe. Gruba niebieska linia zaznaczono profil wypłaty wczasie 𝑡 = 𝑇 od ceny jaka przyjmie aktywo w czasie 𝑡 = 𝑇 . Cienka czerwona linia zaznaczonocene opcji w czasie 𝑡 = 0.

110 115 120 125 130-3.25

0.00

3.25

Cena aktyw

a (S)

Zwrot w

czasie w

ykonania

Long Call

Rysunek 6.2: Cena akcji w 𝑡 = 0 (cienka czerwona linia) oraz 𝑡 = 𝑇 (gruba niebieska linia).

Załózmy teraz, ze nabedziemy taka opcje w momencie 𝑡 = 0. Jej cena zgodnie z załozeniami

6.4. Profile ryzyka w czterech przypadkach 31


wynosi 3.25. Zakładajac, ze nie mamy zadnego kapitału, pod takim zakupie jestesmy zadłuzenina 3.25 i mamy opcje z pewnym profilem wypłaty w okresie zapadalnosci 𝑡 = 𝑇 . Jezeli wiecprzesuniemy wykres o 3.25 do góry, to wykres ceny opcji w czasie 𝑡 = 0 bedzie przechodziłprzez zero dokładnie dla tej wartosci ceny aktywa jaka akurat jest w 𝑡 = 0. Dostaniemy wiecwykres:

115 125

128.25-3.25

0.00

3.25

Cena aktyw

a (S)

Zys

k/st

rata

Long Call

Rysunek 6.3: Long - Call: czyli nabylismy prawo do kupna po cenie 𝐾.

Punkt na wykresie (115, 0) mozemy interpetowac jako stan naszego portfela, mamy bowiem.na chwile zakupu opcji 𝑡 = 0 mamy dokładnie zero a aktywo ma wartosc 115. Czy zarobimyna kupnie tej opcji zalezy od scenariusza ewolucji ceny aktywa na rynku w czasie do 𝑡 = 𝑇 . Wprzypadku opcji europejskiej, jedynie od jego koncowej wartosci.

Posiadacz opcji call, wystawca opcji call, posiadacz opcji put, wystawca opcji put.

Innymi słowy:

Profil zysku dla posiadacza opcji call (long call) w zaleznosci od ceny wykonania aktywa jestnastepujacy: jesli cena aktywa na czas wykonania jest nizsza od ceny wykonania, posiadaczopcji ponosi koszt jej zakupu, bo oczywiscie pozwoli jej wygasnac a kupi aktywo ponizszychcenach rynkowych. W naszym przypadku -3.25. Gdy cena aktywa wzrosnie powyzej cenywykonania + cena opcji (125+3.25=128.25) (break even point) zysk bedzie praktycznie nie-ograniczony i zalezny od wzrostu. Miedzy cena wykonania a cena wykonania + cena opcjizysk bedzie równy ujemny ale ograniczony. Te punkty punkty zaznaczone sa czerwonymikropkami na osi odcietych na powyzszym wykresie.



6.4.2 Short Call - sprzedajemy prawo kupna

W przypadku strony wystawiajacej (sprzedajacego opcje call) zysk pojawia sie w wysokoscipremii jesli kupujacy nie skorzysta z opcji. Jesli cena aktywa bedzie wyzsza od ceny wykonaniasprzedajacy ponosi strate i jest ona zalezna od ceny aktywa czyli jest nieograniczona.

115

125

128.25

-3

0

3

Cena aktyw

a (S)

Zys

k/st

rata

Short Call

Rysunek 6.4: Short - Call: czyli sprzedalismy prawo do kupna po cenie 𝐾 - wystawilismyopcje.

6.4.3 Long Put - kupujemy prawo sprzedazy

Posiadacz opcji put (long put) o cenie 13.25 i cenie wykonania 125 nie bedzie wykorzystywałopcji jesli cena aktywa bedzie wyzsza niz 125 bo sprzeda aktywo na rynku kasowym. Wzakresie 125 - 111.75 zrealizuje opcje celem zminimalizowania straty. Zysk osiagnie jak cenaspadnie ponizej 111.75.

Wystawca opcji put natomiast realizuje zysk w wysokosci premii jesli nabywca nie zrealizujeopcji czyli gdy ceny aktywa beda powyzej 125.0. Natomiast jesli spadna ponizej 117.5 poniesiestrate.

Kupujac opcje kupujacy zabezpiecza sie przed niekorzystna zmiana ceny aktywa. Wystawcaopcji kupna zarabia, gdy nie zrealizujemy opcji, czyli wtedy gdy cena akcji na rynku spadnie.Wystawca opcji sprzedazy zarabia wtedy, gdy na wskutek wzrostu cen nie wykorzystamy opcji.

Patrzac na profile ryzyka poszczególnych pozycji zajetych na rynku opcji - czyli; long call,short call, long put, short put, nasuwa sie pomysł aby uzywac kombinacji opcji i w ten sposób

6.4. Profile ryzyka w czterech przypadkach 33


111.75 125115

-3

0

3

Cena aktyw

a (S)

Zys

k/st

rata

Long Put

Rysunek 6.5: Long - Put: czyli nabylismy prawo do sprzedazy po cenie 𝐾.

111.75

125115-3

0

3

Cena aktyw

a (S)

Zys

k/st

rata

Short Put

Rysunek 6.6: Short - Put: czyli sprzedalismy prawo do sprzedazy po cenie 𝐾 - wystawilismyopcje.



chronic posiadane aktywa za pomoca opcji. Takie strategie opcyjne sa omówione w rozdziale- Hedging za pomoca opcji.

6.5 Jak zalezy profil wypłaty od parametrów K,S?

Poeksperymentujmy z wykresem zysku/straty na zakupie opcji w zaleznosci od parametrów𝑆0, 𝐾. Tak jak poprzednio, zakładamy, ze w chwili poczatkowej nie mamy zadnego kapitałui jedyna operacja, która wykonujemy jest zakup lub sprzedaz opcji. W przypadku zakupustan naszego portfela jest obciaza nasz na kredyt, jesli zas sprzedajemy to mamy depozyt.Zakładamy, ze w chwili poczatkowej istnieje pewna godziwa cena opcji, która wliczamy wnasz poczatkowy bilans. Innymi słowy na ponizszych wykresach zielona linia oznacza profilzysku straty z transakcji w chwili 𝑡 = 𝑇 , bioracy pod uwage fakt poniesienia kosztów kupieniaopcji lub wpływów za jej wystawienie.

Informacja: W ponizszym kodzie definiujemy funkcje C i P, które sa słynnymi wzro-rami Blacka-Scholesa na cene opcji Call i Put, odpowiednio. W tym momencie przyj-mijmy, ze reprezentuja one cene godziwa opcji. Ich wyprowadzenie bedzie omówionew nastepnym rozdziale.

6.5.1 Kupujemy opcje Call

Poeksperymentuj komputeremUruchom ponizszy kod.

• Jak z otrzymanego wykresu odczytac cene za która kupiono opcje?• Dla jakich ustawien suwaka opcja jest in-the-money a dla jakich out-the-money?• Dla jakiego ustawienia wartosc czasowa opcji jest najwieksza?• Kiedy opcja jest prawie nic nie warta?• Ustaw 𝑆0 = 130 a na 𝐾 = 110. Z przesuniecia wykresu profilu wypłaty okresl

ile zapłacono za opcje. Dlaczego cena była równa prawie 130 − 110?• Jaka mozemy poniesc maksymalna strate?• Jaki jest maksymalny zysk?

try:@interactdef _(K=slider(100,135,1,default=125),\S0=slider(100,135,1,default=115)):

p = plotOption(OPTION=longCALL,S0=S0,K=K,c=’green’)p.set_axes_range(xmin=100,xmax=140,ymin=-20,ymax=20)p.show(figsize=5)

except:print "Wykonaj pierwsza komórke!"

6.5.2 Sprzedajemy opcje Call

6.5. Jak zalezy profil wypłaty od parametrów K,S? 35


Rysunek 6.7: Opcja call z parametrami 𝐾 i 𝑆0.


• Jak z otrzymanego wykresu odczytac cene otrzymana za wystawienie opcji?• Dla jakich ustawien suwaka opcja jest in-the-money a dla jakich out-the-money?• Dla jakiego ustawienia wartosc czasowa opcji jest najwieksza?• Kiedy opcja jest prawie nic nie warta?• Ustaw 𝑆0 = 128 a na 𝐾 = 108. Z przesuniecia wykresu profilu wypłaty okresl

ile zapłacono za opcje.Dlaczego cena była równa prawie 128 − 108?• Jaka mozemy poniesc maksymalna strate?• Jaki jest maksymalny zysk?

try:@interactdef _(K=slider(100,135,1,default=125),S0=slider(100,135,1,default=115)):

p = plotOption(OPTION=shortCALL,S0=S0,K=K,c=’green’)p.set_axes_range(xmin=100,xmax=140,ymin=-10,ymax=20)p.show(figsize=5)


6.5.3 Kupujemy opcje Put




• Jak z otrzymanego wykresu odczytac cene za która kupiono opcje?• Dla jakich ustawien suwaka opcja jest in-the-money a dla jakich out-the-money?• Dla jakiego ustawienia wartosc czasowa opcji jest najwieksza?• Kiedy opcja jest prawie nic nie warta?• Ustaw 𝑆0 = 110 a na 𝐾 = 130. Z przesuniecia wykresu profilu wypłaty okresl

ile zapłacono za opcje. Dlaczego cena była równa prawie 130 − 110?• Jaka mozemy poniesc maksymalna strate?• Jaki jest maksymalny zysk?


p = plotOption(OPTION=longPUT,S0=S0,K=K,c=’green’)p.set_axes_range(xmin=100,xmax=140,ymin=-20,ymax=20)p.show(figsize=5)


6.5.4 Sprzedajemy opcje Put


• Jak z otrzymanego wykresu odczytac cene otrzymana za wystawienie opcji?• Dla jakich ustawien suwaka opcja jest in-the-money a dla jakich out-the-money?• Dla jakiego ustawienia wartosc czasowa opcji jest najwieksza?• Kiedy opcja jest prawie nic nie warta?• Ustaw 𝑆0 = 105 a na 𝐾 = 125. Z przesuniecia wykresu profilu wypłaty okresl

ile zapłacono za opcje.Dlaczego cena była równa prawie 125 − 105?• Jaka mozemy poniesc maksymalna strate?• Jaki jest maksymalny zysk?


p = plotOption(OPTION=shortPUT,S0=S0,K=K,c=’green’)p.set_axes_range(xmin=100,xmax=140,ymin=-10,ymax=20)p.show(figsize=5)


6.6 Wycena opcji

Na wartosc opcji wpływaja czynniki rynkowe. Na przykładzie europejskiej opcji call (pierw-szej opcji wycenionej teoretycznie) widac, ze wartosc opcji zalezy od pieciu czynników. Czyn-

6.6. Wycena opcji 37


nikami tym sa:

• cena aktywa podstawowego na rynku kasowym

• cena wykonania

• czas do wygasniecia

• stopa wolna od ryzyka

• zmiennosc ceny aktywa (volatility)

W przypadku ceny aktywa, im wyzsza cena aktywa (np. akcji), tym wyzsza cena opcji calla nizsza cena opcji put. Odwrotna zaleznosc zachodzi w przypadku ceny wykonania dla opcjicall; im nizsza cena aktywa tym wyzsza wartosc opcji.

Czas do wygasniecia (zapadalnosci) - Czas do wygasniecia jest mierzony jako czesc roku.Podobnie jak zmiennosc (volatility), dłuzszy czas do wygasniecia zwieksza wartosc wszelkichopcji. To dlatego, ze sa wieksze szanse ze opcja wygasnie w cenie (in-the-money) w dłuzszymczasie.

Stopa wolna od ryzyka - Stopa wolna od ryzyka jest najmniej znaczacym parametrem. Jestona uzywana do dyskontowania ceny wykonania, ale poniewaz czas do wygasniecia w praktycejest duzo nizszy niz 9 miesiecy to stopy te bywaja niskie i maja niewielki wpływ na cene opcji.Jesli stopa wzrasta, to w wyniku wzrostu obniza sie cena wykonania. Dlatego, jesli stopa rosnieopcja call wzrasta w wartosci a opcja put obniza wartosc. Im wieksza stopa wolna od ryzyka towiekszy przychód wygeneruja pieniadze, które “zaoszczedzi” sie kupujac opcje a nie aktywo.Ta róznica zainwestowana do czasu wygasniecia opcji generuje wyzszy przychód.

Zmiennosc ceny aktywa podstawowego (Volatility) jest mierzona jako zanualizowane odchy-lenie standardowe zysku z aktywa podstawowego. Cena wszystkich opcji rosnie z rosnacazmiennoscia (volatility). To dlatego, ze opcje z wyzsza zmiennoscia maja wieksza szanse nawygasniecie w cenie (in-the-money).

Cena wykonania jest ustalona na czas zycia opcji, ale kazde aktywo podstawowe moze mieckilka cen wykonania dla kazdego miesiaca wykorzystania. Dla call, im wyzsza cena wykonania(strike price), tym nizsza wartosc call. Dla put, im wyzsza cena strike, tym wyzsza wartoscput.

Czynnik Opcja Call Opcja PutCena aktywa ↑ Wprost ↑ Odwrotnie ↓Cena wykonania ↑ Odwrotnie ↓ Wprost ↑Zmiennosc ↑ Wprost ↑ Wprost ↑Stopa wolna od ryzyka ↑ Wprost ↑ Odwrotnie ↓Czas ↑ Wprost ↑ Wprost ↑

Tabela (1). Wpływ czynników rynkowych na cene opcji call i put.

Podsumowujac, aktualna cena aktywa podstawowego jest najbardziej istotnym parametremceny. Dla opcji call, im wyzsza cena aktywa podstawowego tym wyzsza wartosc call.



6.7 Opcje i lekcja na ich temat, jaka wynika z kłopotówpolskich firm z opcjami w roku 2008

W kazdym rozdziale niniejszego opracowania, tam gdzie wspomina sie o opcjach podkreslanejest, ze opcja to swietny instrument do zabezpieczania sie przed ryzykiem ale jesli chodzi orelacje do tego ryzyka - asymetryczny. Asymetrycznosc przejawia sie m.in. w tym, ze kupujacyopcje czuje sie jak posiadacz polisy ubezpieczeniowej. Zapłacił za nia, czyli poniósł koszt, alewie, ze za ta cene moze byc spokojny o przyszłosc. Bo jesli ceny aktywa na które opiewa opcjazmienia sie w sposób niekorzystny dla posiadacza opcji (ubezpieczenia) to opcja ochrania go izmiany te nie beda odczuwalne dla niego. Jesli zmiany pójda w strone korzystna pozwoli opcjiwygasnac ( tak jak w przypadku polisy- nie skorzysta z niej jesli nie potrzebuje) i skorzysta zdobrodziejstw zmiany. Koszty opcji juz poniósł w przeszłosci i zadne dodatkowe koszty munie groza.

Niestety inaczej wyglada sytuacja wystawcy opcji. Wystawca opcji sprzedaje “ubezpieczenie”od niekorzystnej zmiany ceny na rynku i zobowiazuje sie do zrealizowania w przyszłosci trans-akcji w warunkach korzystnych dla nabywcy i przed zmiana których nabywca sie zabezpieczał.Czyli kupic od nabywcy opcji put aktywo po okreslonej cenie lub sprzedac nabywcy opcji callaktywo po okreslonej cenie. Przypomniec nalezy, ze aby wystawic opcje nie jest wymaganeposiadanie aktywa na które opcja opiewa. Wystawca opcji działa podobnie do firmy ubezpie-czeniowej. W zamian za premie , czyli cene sprzedanej opcji zobowiazuje sie „wyrównania”niekorzystnych zmian ceny. Zarabia wtedy gdy nabywca nie skorzysta z opcji ale musi wy-wiazac sie ze zobowiazania jesli ten co kupił u niego opcje zazada tego i to bez wzgledu na toile go to bedzie kosztowac. To znaczy, ze sprzedajac opcje powinien skalkulowac sobie ile tomoze kosztowac i wział to pod uwage roztropnie zanim wystawił opcje.

Jak wynika z powyzszego straty z nabycia opcji nie przekraczaja kosztów jej kupna ale korzyscz jej posiadania znaczna i nie ograniczana zadnymi barierami poza wielkoscia zmiany ceny narynku, a ta zmiana moze byc, przynajmniej teoretycznie, nieograniczona. Koszty z wystawieniaopcji niestety moga byc wysokie, bo zaleza od zmiany ceny na rynku , a ta, przynajmniejteoretycznie, moze byc nieograniczona. Korzysc natomiast ograniczona jest do wysokoscipremii czyli ceny za która nabywca opcji kupił, opcje od wystawcy.

Jesli po lekturze powyzszego tekstu pojawi sie refleksja, ze wystawcy opcji bardzo ryzykuja tota refleksja na tym poziomie wiedzy o rynku i opcjach jest w pełni słuszna ( i taka pozostaje).Załowac nalezy, ze taka wiedza albo inaczej, ze do takiej konkluzji nie doszli zarzadzajacypewnymi spółkami w kraju w roku 2008. Spółki te popadły bowiem w tym czasie w duzekłopoty finansowe w zwiazku z transakcjami opcyjnymi , które, zawarły. Zanim sytuacja roku2008 zostanie przedstawiona istotnym jest zrobienie jeszcze jednego wyjasnienia.

Uwaga o tym ,ze ryzyko wystawcy opcji jest wieksze niz nabywajacego jest prawda na tympoziomie wiedzy i taka prawda pozostaje, tak jak zasady zachowania mechaniki klasycznejprzykładowo sa wazne w fizyce kwantowej i innych bardziej zaawansowanych działach fizyki.Prawda ta jednak nie wyklucza wystawiania opcji. Aby mozna było nabyc opcje , ktos jamusi wystawic. Opcje sa wystawiane i jest to robione w celach uzyskania zysku a nie straty.Zaleca sie jednak by czytajacy ten tekst nie wystawiali opcji tak długo, jak długo beda odkry-wac jakies istotne informacje w niniejszym opracowaniu. Jesli bowiem ich doswiadczenie iwiedza o rynku bedzie tak duza, ze nie beda korzystac z takich opracowan, niech wystawiajaopcje. Na rynku finansowym, jak i w zyciu, nie mozna osiagnac nic wiecej bez podjecia ry-

6.7. Opcje i lekcja na ich temat, jaka wynika z kłopotów polskich firm z opcjamiw roku 2008

39


zyka. Tylko nalezy miec swiadomosc istnienia ryzyka i umiec oszacowac koszty podjecia tegoryzyka i zarzadzania nim tak by, ewentualne straty miesciły sie w mozliwosciach ich pokryciabez zdezorganizowania funkcjonowania firmy i jej działalnosci. Niemniej jednak, podmiot go-spodarczy, który nie specjalizuje sie w transakcjach na rynku instrumentów pochodnych, niepowinien wystawiac tego typu instrumentów.

6.7.1 Sytuacja na rynku walutowym w okolicach roku 2008 - uwa-runkowania eksporterów

Od kilku lat polski złoty PLN generalnie umacniał sie w stosunku do głównych walut i corazmniej złotówek otrzymywali eksporterzy za kazdy ( przykładowo) dolar uzyskany z eksportu.Koszty jednak ponosili w złotówkach. Czyli z ich punktu widzenia eksport stawał sie mniejopłacalny albo inaczej byli coraz mniej konkurencyjni na rynku.

Rysunek 6.8: Kurs USD - PLN w okresie od kwietnia 2004 roku do kwietnia 2008 roku.

Interesem eksporterów było zabezpieczenie sie przed umacniajacym sie złotym czyli otrzymy-wanie jak najwiecej złotówek za np. dolara.

Transakcja która mogła spełnic ich oczekiwania przykładowo wygladała nastepujaco:



Scenariusz 1Firma Export S.A. chciała zabezpieczyc swój przyszły przychód o wartosci 1 milionaUSD na wypadek wzrostu wartosci złotówki. Poniewaz działalnosc firmy to eksporttowarów a nie operacje finansowe skorzystała z pomocy dostawcy usług finansowychnp. Banku International. Bank zaproponował sprzedaz opcji walutowej - koszt opcji(jakis ułamek wartosci aktywa) - czyli 10 000 PLN. Kupiony instrument zobowiazywałbank w okreslonym terminie ( np. 3 miesiace) do zakupu miliona dolarów po ustalo-nym kursie ( korzystnym dla eksportera)- powiedzmy po 2,50 PLN za USD. W chwilizawarcia transakcji kurs oscyluje około 2.48 PLN za dolara. Firma nie martwi sie wtym przypadku o zmiany ceny dolara na rynku bo jesli złoty sie umocni w stosunku dosytuacji opisanej w zawartej transakcji i skorzysta z zakupionej opcji, jesli natomiastzłoty sie osłabi pozwoli opcji wygasnac i skorzysta z zaistniałej sytuacji na rynku. Wtym drugim przypadku mozna mówic o stracie w wysokosci opłaty za transakcje czyliceny opcji, w tym przypadku 10 000 PLN. Ten koszt juz był poniesiony i jest juz za-ksiegowany w kosztach i wielkosc ewentualnych kosztów nie wzrosnie.

Własciwie do tego miejsca wszystko wydaje sie jasne i zrozumiałe. Tak powinno działac za-bezpieczenie.

Tylko ze z czasem firmie bardzo nie podoba sie poziom kosztów transakcji zawieranych. Jesliobroty wynosza dziesiatki i setki milionów koszty te stanowia pokazna pozycje.

Bank, któremu klient zwierzył sie ze swych obserwacji o kosztach i w obawie o strate klientaa moze w trosce o jego komfort?? wymysla taka konstrukcje transakcji aby klient nie ponosiłtych kosztów. Zaproponowana transakcja wyglada nastepujaco:

Scenariusz 2Firma Export S.A chcac zabezpieczyc swój przyszły przychód w wysokosci 1 milionaUSD na wypadek wzrostu wartosci złotówki. Poniewaz nie chce płacic bankowi Inter-national za wykupienie opcji walutowej 10 000 PLN bank International proponuje:ja sprzedam Ci opcje walutowa za 10 000 PLN w której zobowiaze sie do wyku-pienia Twojego miliona dolarów po korzystnym 2,50 PLN, to kosztowac Cie bedzie10 000PLN ale Ty sprzedasz mi opcje walutowa warta, powiedzmy 10 000 PLN, izgodnie z ta umowa zobowiazesz sie, ze sprzedasz bankowi 1 milion USD po kursie2,50PLN za USD. Poniewaz Klient ma płacic bankowi a bank klientowi równe kwotyopłaty za opcje wiec sumaryczny koszt dla klienta wynosi 0 PLN. Koszty takie zada-walaja klienta. Ponadto firma Export S.A nie musi martwic sie wzrastajaca wartosciazłotówki. Rozwiazanie wydaje sie idealne. Co prawda przykład jest teoretyczny wieccena opcji sprzedazy i kupna sa identyczne. W praktyce tak nie jest ale od czego saspecjalisci od finansów. Mozna bowiem regulowac tak kwota sprzedawanych przezklienta bankowi dolarów aby kwoty opłat za opcje były równe czego oczekuje klient.Zadowolenie klienta - wartoscia naczelna dla banku. To ze Klient ma sprzedac wiecejdolarów bankowi niz bank zobowiazuje w swej opcji kupic jest szczegółem. Przeciezwystarczy popatrzec na wykres by zobaczyc, ze PLN sie umacnia czyli bank i tak niewykorzysta swej opcji.

I znów wszyscy sa zadowoleni, tylko, ze klient nie zauwaza (moze nie zauwazył) , ze wystawiłopcje. Jako wystawca opcji ma obowiazek dostarczyc bankowi dolary po 2,50 jesli bank tego


41


zazada.

Sytuacja na rynku nagle uległa zmianie. Kryzys finansowy USA pojawił sie w roku 2008powodujac duze perturbacje na rynkach, w tym na rynku walutowym.

Rysunek 6.9: Notowania kursu USD/PLN.

Skutkiem wyprzedazy aktywów przez inwestorów zagranicznych w Polsce złoty uległ nagłemuosłabieniu.

Wtedy pojawił sie problem dla posiadaczy złozonych opcji, kiedy wartosc złotego idzie w dół.1 milion dolarów jaki zarobi firma Export S.A. bank International kupiłby po kursie 3,50 PLNza 1 USD. Tylko, ze Firma Export S.A. nie ma juz wyboru – musi sprzedac swoje pieniadzebankowi International po kursie 2,50 za 1 USD. Ponadto czesto wiecej dolarów niz zabezpie-czała sobie kupujac opcje put ( pierwsza opcja) bo druga opcja zawarta celem zrównowazeniaopłaty (kosztów opcji) za opcje put czesto opiewała na wieksza kwote. Kolejny raz na rynkuzdarzyła sie sytuacja, której nie przewidzieli zawierajacy transakcje albo inaczej uznali praw-dopodobienstwo wystapienia jako bardzo niskie, wrecz niemozliwe do wystapienia w realnymswiecie. Kolejny raz rynek brutalnie nauczał pokory . Zerowe prawdopodobienstwo nie ist-nieje. Ilosc zawartych transakcji była znaczna. Patrz wykres ponizej.

Firmy wpadły w kłopoty finansowe. W mediach pojawiło sie okreslenie „toksyczne opcje”jako okreslenie umów okreslenie umów zawieranych z bankami przez polskie przedsiebior-stwa w 2008 roku, które czesto doprowadzały je do kłopotów finansowych, z bankructwemwłacznie. Jak to bywa z mediami okreslenie nie było precyzyjne bo firmy zawierały rózneumowy z róznymi bankami, ale miało cel wywołania emocji. Zaistniała sytuacja była analizo-wana i omawiana szeroko bo i problem był spory i w przypadku niektórych firm zakonczył siebankructwem 1.

1 Ciekawa analize problemu mozna przykładowo znalezc w pracy: Danuta Dziagwo, Leszek Dziagwo.



Konkluzje prawie wszystkich opracowan były zgodne i podobne. Wypracowujac opisana stra-tegie zabezpieczajaca przed ryzykiem kursowym i podpisujac umowy z bankami firmy przyjełyna siebie jeszcze wieksze ryzyko kursowe niz to, przed którym szukały ochrony. A nawet wy-stawiły sie na to ryzyko w stopniu wiekszym niz były wystawione. Ponadto, asymetria umów,w których nominał opcji wystawionych przewyzsza nominał opcji nabytych, wskazywał nabrak orientacji w działaniu opcji albo brak zrozumienia wykonywanych transakcji( co wydajesie mało prawdopodobne) albo na działania spekulacyjne. Firmy jako podmioty nie zajmujacesie działalnoscia na rynkach finansowych nie powinny były wystawiac opcji.

Zawsze, w kazdej działalnosci, nalezy kierowac sie zasada ograniczonego zaufania do partne-rów ( a szczególnie finansowych i oferujacych cos „ za darmo”) i nigdy nie wchodzic posiadanieinstrumentów finansowych, których działania do konca sie nie rozumie. Na rynku pojawiaja sieciagle coraz bardziej skomplikowane i wymyslne instrumenty finansowe projektowane przezswietne wyszkolonych specjalistów posiadajacych znakomita wiedze matematyczno- nume-ryczna, których działanie nie wszyscy do konca rozumieja a ryzyka których nie jest w pełniznane.

Jednak nalezy podkreslic jedna pozytywna element omawianej sytuacji. Firmy nie finansowepodeszły aktywnie do zarzadzania ryzykiem finansowym, w tym przypadku , kursowym. Omó-wiony został przypadek firm , które nie zrobiły tego idealnie i popełniły pewne błedy na słusz-nej drodze słusznych decyzji o zabezpieczeniu. W powyzszym przypadku nie mówiono ofirmach, które zrobiły to zabezpieczenie własciwie.

„RYZYKO INSTRUMENTÓW POCHODNYCH W OBROCIE GOSPODARCZYM NA PRZYKŁADZIE„OPCJI TOKSYCZNYCH””- ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECINSKIEGO NR 752 EKO-NOMICZNE PROBLEMY USŁUG NR 102 2013.


43



ROZDZIAŁ 7

Metody wyznaczania ceny opcji

7.1 Jak wyznaczyc cene opcji?

Wyznaczenie ceny opcji polega na tym by okreslic jej wartosc godzina w dowolnej chwiliczasu. Wartosc zalezy od ceny aktywa w przyszłosci a ta z kolei zmienia sie w losowy sposób.Niestety, nie ma sposobu by znac te wartosc z wyprzedzeniem.

Dlatego aby wyznaczyc cene opcji posługujemy sie modelami teoretycznymi. Istnieje wielemodeli stosowanych do tego celu. Wszystkie modele zakładaja, ze proces ewolucji ceny aktywajest jest pewnym procesem losowym. Ponadto zakładamy, ze mamy do czynienia z rynkiemwolnym od arbitrazu na którym mozna bez ograniczen i prowizji handlowac dowolna ilosciaaktywów.

Najprostszym modelem jest dwumianowy model wyceny opcji. (Cox, Ross, Rubinstein,“Option pricing: Simplified Approach”, Journal of Financial Economics- September 1979).Ten model wycenia europejska opcje call na akcje spółki nie wypłacajacej dywidende.

W modelu dwumianowym czas pozostały do wygasniecia opcji dzieli sie na dyskretne Prze-działy. W kazdym przedziale czasu cena aktywa 𝑃 zmienia sie przyjmujac jeden z dwu moz-liwych stanów- czyli dwumianowo. Moze wzrosnac do wartosci Pu (z prawdopodobienstwemp) lub zmalec do wartosci Pd (z prawdopodobienstwem 1 − 𝑝), gdzie 𝑢 > 1, 𝑑 < 1. Ma-jac zbiór cen aktywa (np. akcji) w postaci drzewka, mozna wycenic opcje przeprowadzajacrachunek wstecz, poczawszy od daty wygasniecia. Obliczenia wykonuje sie w kierunku po-czatku drzewa od chwili 𝑇 do 𝑇 −1, dyskontujac w tym przedziale czasowym wartosc portfelabezpiecznego składajacego sie z aktywa i opcji, po stopie procentowej wolnej od ryzyka. Pro-cedure powtarza sie az do chwili wystawienia opcji. Modele te sa opisane w szczególach wrozdziale o opcjach binarnych binarne.

7.2 Model minimalny - rynek dwustanowy jednookre-sowy

Rozwazmy najprostszy rynek uwzgledniajacy nieprzewidywalna zmiennosc. Wyobrazmy so-bie, ze mamy pewne aktywo 𝑆, które w chwili poczatkowej 𝑡 = 0 posiada wartosc 𝑆(𝑡 =0) = 𝑆0. Po czasie 𝑇 dopuszczamy jeden z dwóch mozliwych scenariuszy: aktywo drozeje do

45


wartosci 𝑆𝑢𝑝 albo tanieje do wartosci 𝑆𝑑𝑜𝑤𝑛. W tym momencie prawdopodobienstwa zajeciakazdego ze scenariuszy sa niewiadoma. Rynek jest jednookresowy, co oznacza, ze rozwazamytylko dwie chwile czasu: poczatkowa: 𝑡 = 0 i przyszła: 𝑡 = 𝑇 .

Zakładamy, ze na rynku istnieje mozliwosc ulokowania gotówki w depozyt bankowy ze stopaprocentowa 𝑟. Zakładamy, ze taka operacja jest pozbawiona jakiegokolwiek ryzyka. Innymisłowy po czasie 𝑇 depozyt bankowy gwarantuje nam, ze nasz kapitał bedzie wynosił 𝑆0𝑒

𝑟𝑇 .

Kolejnym elementem stosowanym przy wycenie instrumentów co do których przyszłosci niemamy pewnosci, jest pojecie rynku wolnego od arbitrazu. Arbitraz oznacza, ze startujac z pew-nego kapitału mozemy zarobic - w sensie wartosci sredniej, kupujac lub sprzedajac dostepneinstrumenty. Zarobek oznacza oczywiscie, ze po operacji bedziemy mieli wiecej srodków nizdał by nam depozyt bankowy. Oczywiscie musimy wziac pod uwage wartosci srednie, jesliwystepuja losowo zmieniajace sie aktywa.

Okazuje sie, ze jesli przyjmiemy załozenie rynku wolnego od arbitrazu, to przy ustalonychstanach aktywa 𝑆𝑢𝑝 i 𝑆𝑑𝑜𝑤𝑛, prawdopodobienstwo tego, ze aktywo podrozeje 𝑝 musi spełniac:

𝑝𝑆𝑢𝑝 + (1 − 𝑝)𝑆𝑑𝑜𝑤𝑛 = 𝑆0𝑒𝑟𝑇 (7.1)

Dlaczego? Jesli prawdopodobienstwo to było by wieksze, wtedy moglibysmy kupic aktywo i wsensie wartosci sredniej otrzymalibysmy wiecej niz lokata bankowa. Arbitraz byłby mozliwy.W przeciwnym przypadku posiadajac aktywo moglibysmy je sprzedac i ulokowac srodki nadepozycie. Po okresie 𝑇 za wartosc depozytu moglibysmy nabyc wiecej jednostek aktywa nizmielismy na poczatku. Znowu zyskalismy w sensie wartosci sredniej.

Równanie (7.1) jest podstawa konstrukcji wszystkich metod wyceny instrumentów finanso-wych. Korzystajac z niego mozemy sie przekonac jaka jest wartosc instrumentu w chwilipoczatkowej czyli wycenic dany instrument.

Jesli znamy, albo załozymy, wartosci cen po czasie 𝑇 , to równanie (7.1) jest równaniem naprawdopodobienstwo 𝑝. Mozemy je wyliczyc. Wtedy majac wszystkie dane na temat drzewakombinacji, jestesmy w stanie analizowac proces ewolucji cen róznych instrumentów na takimdrzewie.

7.3 Wycena opcji na drzewie binarnym

46 Rozdział 7. Metody wyznaczania ceny opcji


Wazne: Do analizy zachowania sie ceny na drzewie bedziemy korzystac z kilku funkcjipomocniczych. Dlatego nalezy wczytac ponizsza komórke:import numpy as npdef gen_all(niter,SP = 4.0,q=0.175,delta1=None,delta2=None):

SP = [[SP]]for i in range(niter):

tmp = []for s in SP[-1]:

if delta1==None or delta2==None:tmp+= [ (1+q)*s, s/(1+q) ]

else:tmp+= [ s+delta1, s-delta2 ]

SP.append(tmp)return SP

def gen_recombining(niter,SP = 4.0,q=0.175,delta1=None,delta2=None):SP = [[SP]]for i in range(niter):


if delta1==None or delta2==None:tmp+= [ (1+q)*s]

else:tmp+= [ s+delta1]

if delta1==None or delta2==None:tmp+= [ s/(1+q)]

else:tmp+= [ s-delta2]


def plot_tree(SP):plt = point( (0,SP[0][0]),size=244,color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0)

if len(SP) == len(SP[-1]):for l,prices in enumerate(SP):

for i,p in enumerate(prices):if l>0:

plt+=point2d( (l,p),size=244,color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0,faceted=True )plt+= text("%0.1f"%p,(l,p),color=’black’,figsize=(5,3))

for l in range(len(SP)-1):for i in range(l+1):

plt+=arrow2d( (l,SP[l][i]),(l+1,SP[l+1][i]), arrowshorten=16)plt+=arrow2d( (l,SP[l][i]),(l+1,SP[l+1][i+1]), arrowshorten=16)

else:for l,prices in enumerate(SP):


plt+=arrow2d( (l-1,SP[l-1][int(i/2)]),(l,p), arrowshorten=16)plt+=point2d( (l,p),size=244,color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0,faceted=True )plt+= text("%0.1f"%p,(l,p),color=’black’,figsize=(5,3))

plt.axes_labels(["rok","wartosc"])plt.axes_range(xmin=-.2, xmax = len(SP)-1+0.2,ymin=0,ymax=SP[-1][0]+1)return plt

def plot_tree2(SP,OP):plt = point( (0,SP[0][0]),size=244,color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0)

if len(SP) == len(SP[-1]):for l,(prices,oprices) in enumerate(zip(SP,OP)):

for i,(p,op) in enumerate(zip(prices,oprices)):if l>0:

plt+=point2d( (l,p),size=244,color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0,faceted=True )plt+= text("%0.1f"%op,(l,p),color=’black’,figsize=(5,3))



else:for l,(prices,oprices) in enumerate(zip(SP,OP)):


plt+=arrow2d( (l-1,SP[l-1][int(i/2)]),(l,p), arrowshorten=16)plt+=point2d( (l,p),size=244,color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0,faceted=True )plt+= text("%0.1f"%op,(l,p),color=’black’,figsize=(5,3))


print "OK - wczytano funkcje pomocnicze"

7.3. Wycena opcji na drzewie binarnym 47


Rozwazmy drzewo multiplikatywne i instrument o wartosci poczatkowej 𝑆0. Narysujmydrzewo mozliwych scenariuszy po pieciu miesiacach, przyjmujac jeden okres modelu jako je-den miesiac:

N = 5SP = gen_recombining(N,SP=50,q=0.1224)plot_tree(SP)

Niech roczna stopa procentowa wynosi 10% a cena wykupu opcji 𝐾 = 50. Łatwo sie przeko-nac, ze takie drzewo jest wolne od arbitrazu dla miary okreslonej przez 𝑞 = 0.5073.

q = 0.5073Q = [q,1-q]K = 50r = 10.0C = exp(r/100*1/12.).n()

Aby wycenic opcje postepujemy w nastepujacy sposób. W ostatnim okresie cena europejskiejopcji kupna (call) zalezy tylko od ceny aktualnej aktywa oraz ceny wykupu i jest równa:

[max(0,s-K) for s in SP[N]]

Znajac te liczby mozemy obliczyc cene opcji w przedostatnim okresie rozliczeniowym. Sko-rzystamy z tym celu z równania (??), dla ceny nie aktywa podstawowoego ale opcji. Za-uwazmy, ze miare martyngałowa obliczylismy z równania (??) dla cen opcji. Mamy wiec:

𝑆𝑖 = 𝑒−𝑟𝑇(𝑝𝑆+

𝑖+1 + (1 − 𝑝)𝑆−𝑖+1

)Mozemy wiec napisac nastepujacy algorytm. Zaczynamy od ceny opcji w chwili 𝑡 = 𝑇 - czyliod prawej strony drzewa binarnego, która jest dana przez max(0, 𝑆 −𝐾). Nastepnie stosujacwzrór (7.1) dla kazdego rozgałedzienia z osobna wyliczamy ceny arbitrazowe dla czasu o jedenokres wczesniej. Podstepujac dalej w ten sposób mozemy otrzymac całe drzewo cen:

OP = [ [max(0,s-K) for s in SP[N]] ]for idx in range(N):

el = [ 1/C*(q*OP[-1][i]+(1-q)*OP[-1][i+1]) for i in range(len(OP[-1])-1)]OP.append(el)

OP.reverse()

print "Cena opcji:",OP[0]plot_tree2(SP,OP)

Mozna jeszcze sobie zadac pytanie jaka intepretacje maja poszczególne ceny w okresach po-srednich? Wezmy z powyzszego rysunku punkt z cena 8.2. Jest to cena opcji okresie 3 wprzypadku, gdy cena aktywa w tym momencie wynosi 56.1. Ta ostatnia cene odczytujemy zpoprzedniego wykresu drzewa cen instrumentu bazowego.

Powyzszy algorytm wycenia opcje nie tylko w okresie poczatkowym, ale i w kazdej chwiliposredniej. Jezeli opcja jest typy europejskiego to mozemy uproscic ten proces. Zauwazmy,ze w tym przypadku cena zalezy tylko od rozkładu cen w chwili 𝑡 = 𝑇 . Całe drzewo składasie z niezaleznych zmian ceny, o tych samych prawdopodobienstwach 𝑝 i 1 − 𝑝 w kazdymrozgałezieniu. Taki proces zmian jest stochastycznym procesem Bernouliego. Dla takiegoprocesu znamy rozkład koncowy po 𝑁 próbach:

𝑃 (𝑘) =

(𝑁

𝑘

)𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑁−𝑘. (7.2)



Cena opcji zalezy tylko od tego rozkładu koncowego i mozemy ja obliczyc jaka srednia funkcjizmiennej losowej po rozkładzie (7.2):

⟨𝑆⟩ =𝑁∑𝑘=1

max(0, 𝑆(𝑘) −𝐾)𝑃 (𝑘) (7.3)

Implementacja tego wzoru w Sage jest bardzo prosta:

r=0.1T = 5/12.p = 0.5073K = 50S0 = 50u = 1.1224d = 1/uN = 5print exp(-r*T).n()*sum([ binomial(N,j)*p^(j)*(1-p)^(N-j)*max(S0*u^j*d^(N-j)-K,0) for j in range(N+1)])

Wykonujac ostatnia komórke powinnismy dostac ta sama liczbe jak w procesie wyceny nacałym drzewie.

7.4 Model ciagły

Obok modeli dyskretnych do opisu ewolucji ceny danego aktywa stosuje sie modele ciagłe.Mozna by zadac sobie pytanie do czego jest potrzebne takie podejscie, skoro czas w praktycejest naturalnie podzielony na okresy zwiazane z notowaniami np. dziennymy czy miesiecz-nymi?

Jedna z głównych zalet jest mozliwosc uzyskania, przynajmniej w najprostszych przypadkach,analitycznych wyników. Umozliwiaja one np. przeprowadzanie analizy wrazliwosci, którabyła trudna do przeprowadzenia tylko na podstawie symulacji.

Modele z czasem ciagłym mozna tez rozwiazywac numerycznie stosujac dyskretyzacje czasu zpewnym skonczonym krokiem. Krok ten decyduje o dokładnosci rozwiazania numerycznego,im miejszy krok tym wieksza dokładnosc. Z drugiej strony powoduje to zwiekszenie liczbyobliczen, która w tym przypadku rosnie liniowo z iloscia kroków. Jesli mamy model ciagłyto mamy pełna kontrole nad wielkoscia kroku i iloscia obliczen i mozemy zoptymalizowacprocedure numryczna.

Klasycznym modelem stosowanym do opisu ewolucji ceny aktywów, jest tzw. geometrycznyruch Browna:. Dany jest on przez równanie Langevina:

𝑑𝑆(𝑡) = 𝜇𝑆(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑆(𝑡)𝑑𝑊 (𝑡), (7.4)

gdzie 𝑆 jest procesem stochastycznym - cena aktywa. Parametry 𝜇 oraz 𝜎 maja interpretacjestopy wzrostu i wariancji danego aktywa, odpowiednio. Proces taki jest łatwy do zasymulowa-nia numerycznego.

7.4. Model ciagły 49

http://el.us.edu.pl/ekonofizyka/index.php/MKZR:Numeryczne_rozwi%C4%85zania_r%C3%B3wna%C5%84_stochastycznch-przyk%C5%82ady



Poeksperymentuj z komputeremPonizsza komórka zawiera kod programu symulujacego proces geometrycznego ruchuBrowna. W tablicy numpy zapisujemy historie M trajektorii składajaca sie z N punk-tów czasu. Innymi słowy S[3,5] - szóstym krokiem czwartej trajektorii (indeksyzaczynaja sie od zera).Poeksperymentujmy:

• Wykonaj kilka razy komórke. Za kazdym wykonaniem generator liczb losowychnp.random.randn zwróci inna próbke liczb gaussowskich i otrzymamy innescenariusze symulowanej historii ceny.

• Jak wpływa wartosc parametru 𝑟 oraz 𝜎 na wyglad trajektorii?• Zmien liczbe trajektorii na duzo wieksza. Jak zmienia sie czas obliczen?• Dopisz linijke obliczajaca srednia cene na koncu symulacji (w czasie 𝑡 = 𝑇 )np.average(S[:,-1]).

• Wykonaj symulacje kilka razy - zobacz jak zmienia sie srednia dla 𝑀 =10, 100, 1000, 10000? Jak wpływa ilosc trajektorii na wartosc srednia? Moznazautomatyzowac ten proces uruchamiajac czesc kodu w dodatkowej petli.

• Wykonaj histogram cen koncowych i porównaj z rozkładem 𝑃 (𝑆, 𝑡 = 𝑇 ). Wrozdziale geometryczny ruch Browna znajduje sie zarówno postac wzoru konco-wego jak i obliczanie histogramu, jednak w jezyku matlab.

import numpy as npT,r,sigma = 1,0.1,0.2S0 = 100N = 300M = 10h = T/N;S = np.zeros((M,N))S[:,0] = S0*np.ones(M);

for i in range(1,N):S[:,i] = S[:,i-1] + r*S[:,i-1]*h + sigma*np.sqrt(h)*S[:,i-1]*np.random.randn(M)

sum([line(enumerate(S[i,:]),thickness=0.2,figsize=4) for i in range(M)])

Kolejnym elementem analizy jest okreslenie zwiazku miedzy modelami ciagłym a drzewamidyskretnymi.

7.5 Zwiazek pomiedzy modelem ciagłym i binarnym

kalibracja modelu binarnego

Rozwazmy model dwustanowy - jednookresowy. Niech cene aktywa okresla reguła multipli-katywna.

𝑆1 =

{𝑆0𝑢 z prawdopodobienstwem 𝑝𝑆0𝑑 z prawdopodobienstwem 1 − 𝑝

Mamy wiec trzy liczby: 𝑝, 𝑢, 𝑑, które okreslaja ten model. Chcemy zastosowac go jako przy-blizenie pewnego ciagłego procesu ewolucji ceny, który jest scharakteryzowany przez dwa pa-rametry:




• 𝑟𝑡 - wolna od ryzyka stopa procentowa

• 𝜎2𝑡 = log(𝑆1

𝑆0) - sredniokwadratowe odchylenie standardowe logarytmicznej stopy

zwrotu (w modelu ciagłym).

Dla procesu ciagłego opisywanego przez geometryczny proces Wienera:

𝑑𝑆 = 𝑟𝑆𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑑𝑊,

prawdopodobienstwo ceny aktywa w czasie 𝑡 przy załozeniu, ze cena w czasie 𝑆(𝑡 = 0) = 𝑆0

jest dane rozkładem lognormalnym:

𝑃 (𝑆, 𝑡|𝑆0, 0) =1√

2𝜋𝜎2𝑡𝑆2𝑒−

(log( 𝑆𝑆0

) − (𝑟 − 12𝜎2)𝑡)2

2𝜎2𝑡 (7.5)

Wykorzystujac wzory na srednia i wariancje (np. z wikipedii) i porównujac z postacia rozkładu(7.5) otrzymujemy wzory na wartosc oczekiwana i wariancje procesu ciagłego:

𝐸(𝑆) = 𝑆0𝑒𝑟𝑡

𝑉 𝑎𝑟(𝑆) = 𝑆20

(𝑒𝜎

2𝑡 − 1)𝑒2 𝑟𝑡

(7.6)

Chcemy by jeden krok procesu binarnego odtwarzał przynajmniej dwa pierwsze momenty pro-cesu ciagłego: srednia i wariancje. Tak wiec proces dyskretny bedzie musiał spełnic dwarównania:

𝐸(𝑆) = 𝑝𝑆0𝑢 + (1 − 𝑝)𝑆0𝑑

𝑉 𝑎𝑟(𝑆) = 𝑝(𝑆0𝑢)2 + (1 − 𝑝)(𝑆0𝑑)2 − 𝐸(𝑆)(7.7)

gdzie podstawiamy wartosci sredniej i wariancji rozkładu lognormalnego korzystajac z (7.6).

Mamy wiec dwa warunki i trzy zmienne do ustalenia, co powoduje, ze potencjalnie moze bycnieskonczenie wiele rozwiazan. Rozwazmy pierwszy przypadek w którym przyjmiemy:

𝑑 =1

𝑢. (7.8)

Taki wariant drzewa binarnego jest znany jako model Cox-a, Ross-a i Rubinstein-a (CRR).Rozwiazujac układ równan (7.8), w przyblizenie małego czasu 𝑡, otrzymujemy wzory wiazacemodel ciagły z drzewem binarnym:

𝑝 =𝑒𝑟𝑡 − 𝑑

𝑢− 𝑑

𝑢 = 𝑒𝜎√𝑡

𝑑 = 𝑒−𝜎√𝑡.

(7.9)

Wyprowadzenie tych wzorów mozna łatwo otrzymac na przykład stosujac system algebry kom-puterowej. I tak, zdefiniujmy najpierw zmienne i wzory na srednia i wariancje rozkładu lognor-malnego oraz zdefiniujmym układ (7.7):

var(’r,t,u,d,S0,p,sigma’)lognormE = S0*exp(r*t)lognormVar = S0^2*exp(2*r*t)*(exp(sigma^2*t)-1)

7.5. Zwiazek pomiedzy modelem ciagłym i binarnym 51

http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_logarytmicznie_normalny


show([lognormE,lognormVar])

eq1 = lognormE == p*S0*u+(1-p)*S0*deq2 = lognormVar ==(p*(S0*u)^2+(1-p)*(S0*d)^2) - lognormE^2

show([eq1,eq2])

Rozwiazmy teraz pierwsze równanie ze wzgledu na 𝑝

psol = solve(eq1,p,solution_dict=True)[0]p.subs(psol).show()

a nastepnie podstawmy wynik do drugiego równania i skorzystajmy z załozenia (7.8):

solsu = (eq2).subs(psol).subs(d=1/u).solve(u)expr = solsu[1].rhs()expr.show()

Poniewaz interesuje nas granica małych czasów to mozemy rozwinac ten nieco długi wzór wszereg Taylora w punktcie 𝑡 = 0 i ograniczyc sie do wyrazów pierwszego rzedu w czasie.Zauwazmy, ze to rozwiniecie jest identyczne z rozwinieciem drugiego równania ze wzorów(7.9), co konczy nasze wyprowadzenie:

expr.taylor(t,0,1).show()exp(sigma*sqrt(t)).taylor(t,0,1).show()

Mozemy tez pokusic sie o rozwiazanie układu równan w innej parametryzacji, w której mamy:

𝑝 =1

2

𝑢 = 𝑒𝜎√𝑡+(𝑟−𝜎2

2)*𝑡)

𝑑 = 𝑒−𝜎√𝑡+(𝑟−𝜎2

2)*𝑡).

(7.10)

Taki przypadek jest znany jako parametryzacja Jarrowa-Rudda. Sprawdzmy, czy rzeczywiscieto zachodzi. W równaniach podstawmy wiec od razu 𝑝 = 1

2i porównajmy rozwiniecia w szereg

wyników oraz rozwiniecia równan (7.10):

sols = solve([eq1.subs(p==1/2),eq2.subs(p==1/2)],[u,d])print "pełne rozwiazanie:"show(sols[1])print "Rozwiniecia w t=0:"sols[1][0].rhs().taylor(t,0,1).show()sols[1][1].rhs().taylor(t,0,1).show()print "Rozwiniecia wzorów w t=0:"exp(sigma*sqrt(t)+(r-sigma^2/2)*t).taylor(t,0,1).show()exp(-sigma*sqrt(t)+(r-sigma^2/2)*t).taylor(t,0,1).show()

Wazna uwaga jest to, ze model drzewa binarnego i model ciagły jest równowazny tylko wgranicy 𝑡 → 0. Oznacza to, ze wyceniajac pewnien instrument jednookresowym modelemdyskretnym otrzymamy spore róznice w stosunku do modelu ciagłego, jesli interesujaca nasskala czasowa bedzie duza.

Sytuacja jednak sie zmienia jesli zastosujemy model wielookresowy. Wtedy nasz czas mozemypodzielic na wiele odcinków a liczba tych podziałów bedzie zalezała od tego jaka dokładnoscchcemy osiagnac. Wycena za pomoca modelu wielokresowego bedzie dazyła do modelu cia-głego w granicy 𝑛 → ∞.



Przykład - wyceny opcji z danymi z rynku ciagłego.

T = 5/12.N = 123sigma = 0.4K = 50r = 10.0

u = exp(sigma*sqrt(T/N))d = 1.0/up = (exp(r/100*T/N)-d)/(u-d)C = exp(r/100*T/N).n()

SP = gen_recombining(N,SP=K,q=u-1.0)

OP = [ [max(0,s-K) for s in SP[N]] ]for idx in range(N):

el = [ 1/C*(p*OP[-1][i]+(1-p)*OP[-1][i+1]) for i in range(len(OP[-1])-1)]OP.append(el)

print OP[-1]

7.6 Wzory Blacka Scholesa dla europejskiech opcji Calli Put

W tym rozdziale pozamy własnosci metody opartej o ciagły proces losowy. Jest olbrzymiazaleta jest istnienie prostych analitycznych wzorów na cene opcji Europejskich, co pozwala nałatwa ich analize i poznanie własnosci.

Model dwumianowy zakładał stacjonarny dwumianowy proces stochastyczny dla ruchu cenyaktywa (akcji) zachodzacy w dyskretnych przedziałach czasowych. Jesli przejdziemy do gra-nicy skracajac dyskretne okresy czasowe to ten stochastyczny proces stanie procesem dyfuzji(Ito proces) zwanym geometrycznym ruchem Browna. Podobnie jak w poprzednim modeludwumianowym konstruowany jest portfel wolny od ryzyka składajacy sie z aktywa i wysta-wionej opcji call. Taki portfel generuje bezpieczna stope zwrotu. Struktura zabezpieczonegoportfela posiada forme zblizona do równania dyfuzji ciepła w fizyce.

Wzór Blacka Scholesa na wartosc opcji nie wypłacajacej dywidendy przyjmuje postac:

Opcja Call

𝐶(𝑆0, 𝐾, 𝑟, 𝑇, 𝜎, 𝑟) = 𝑆0𝐹 (𝑑1) −𝐾𝑒−𝑟𝑇𝐹 (𝑑2)

a opcja Put

𝑃 (𝑆0, 𝐾, 𝑟, 𝑇, 𝜎, 𝑟) = 𝐾𝑒−𝑟𝑇𝐹 (−𝑑2) − 𝑆0𝐹 (−𝑑1)

gdzie symbole 𝑑1, 𝑑2 oznaczaja:

𝑑1 =ln(𝑆0/𝐾) + (𝑟 + 1

2𝜎2)𝑇

𝜎√𝑇

a

𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎√𝑇

7.6. Wzory Blacka Scholesa dla europejskiech opcji Call i Put 53


Funkcja 𝐹 (𝑥) jest dystrybuanta rozkładu normalnego o sredniej zero i jednostkowej variancji.Mozemy wiec wyrazic ja przez funkcja błedu Gaussa:

𝐹 (𝑥) =1

2erf

(1

2

√2𝑥

)+

1

2

Powyzsze wzory mozemy wprowadzic do systemu Sage i zbadac ich własnosci:

Poeksperymentuj z komputeremZbadaj własnosci wzorów na wycene opcji Call. Zauwazmy, ze ponizszy wykres jestwykresem ceny opcji a nie wykresem zysk/strata. Linia niebieska to cena kupna opcjia czerwona to cena jej wykonania.

• Ustaw 𝜎, 𝑟, 𝑇 na zero. Jak mozna zinterpetowac taki profil ceny?• Zwieksz 𝜎 - co sie dzieje z cena? Jak zmienia sie jej wartosc czasowa?• Zostawiajac niezmienne (ale dodatnie 𝜎) zwieksz stope procentowa. Pojawia sie

dodatkowa linia bedaca asymtota wzoru Blacka-Scholesa. Co to oznacza?

var(’S’)def longCALL(S,K,P=0):

return max_symbolic(S-K,0)-Pdef longPUT(S,K,P=0):

return max_symbolic(K-S,0)-Pdef shortCALL(S,K,P=0):

return -max_symbolic(S-K,0)+Pdef shortPUT(S,K,P=0):

return -max_symbolic(K-S,0)+P

var(’sigma,S0,K,T,r’)cdf(x) = 1/2*(1+erf(x/sqrt(2)))d1=(log(S0/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)C(S0,K,r,T,sigma) = S0*cdf(d1)-K*exp(-r*T)*cdf(d2)P(S0,K,r,T,sigma) = K*exp(-r*T)*cdf(-d2)-S0*cdf(-d1)

def plotBS(OPTION=longCALL,K=125,sigma=.1,r=0.0,T=1, c=’red’):var(’S’)S1,S2 = 100,160

if "CALL" in OPTION.__name__:cena = C

else:cena = P

if "short" in OPTION.__name__:k = -1.0

else:k = 1.0

p = plot( OPTION(S,K),(S,S1,S2),color=c,thickness=2.5)p += plot( OPTION(S,exp(-r*T)*K),(S,S1,S2),color=’gray’,thickness=.5)p += plot(k*(cena(x,K,r,T,sigma)),(x,S1,S2),color=’blue’,thickness=1)p += point([(K,0)],color=’brown’,size=40,gridlines=[[K],[]])p += text(r"$K$",(K,2))


http://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_normalny


return p

@interactdef _(s=slider(0.001,0.5,0.02,label=’volatility’,default=0.1),r=slider(0,0.1,0.01),T=slider(1,12,1),K=slider(104,150,1,default=129)):

p = plotBS(OPTION=longCALL,K=K, c=’red’,sigma=s,r=r,T=T)p.set_axes_range(ymax=50,ymin=0)p.show(figsize=6)

Opcje europejska mozemy wycenic zarówno korzystajac z analitycznego wzoru jak i bezpo-srednio z symulacji procesu losowego. W tym celu generujemy 𝑀 trajektorii ceny instrumentupodstawowego i obliczamy srednia z funkcji wyceny opcji w ostatnim momencie czasu.

var(’sigma,S0,K,T,r’)cdf(x) = 1/2*(1+erf(x/sqrt(2)))d1=(log(S0/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)C(S0,K,r,T,sigma) = S0*cdf(d1)-K*exp(-r*T)*cdf(d2)

K = 125.0

r,T,sigma = 0.1, 1, 0.1S0 = 120print "Wycena ze wzoru:",C(S0,K,r,T,sigma).n()

import numpy as npN=100M=1000h=T/N;S=np.zeros((M,N))S[:,0]=S0*np.ones(M);for i in range(1,N):

S[:,i]=S[:,i-1] + r*S[:,i-1]*h + sigma*np.sqrt(h)*S[:,i-1]*np.random.randn(M)

call_MC=np.exp(-r*T)*np.mean( np.maximum(S[:,N-1]-K,0) )put_MC=np.exp(-r*T)*np.mean( np.maximum(K-S[:,N-1],0) )print "Wycena z symuacji Monte-Carlo:",call_MC,put_MC

sum([line(enumerate(S[i,:]),thickness=0.2,figsize=4) for i in range(123)])

7.7 Porównanie wyceny modelem binarnym i BS

Załózmy, ze wyceniamy opcje Europejska. Mozna zadac sobie pytanie o ile beda rózniły siewyceny według modelu ciagłego i binarnego z 𝑁 okresami. W tym celu definiujemy sobiefunkcje wyceniajace opcje modelem binarnym Bin_Call. Mozna narysowac wykres cenyopcji od ilosci pokolen drzewa. Cena wynikajaca ze wzoru Blacka-Scholesa bedzie zaznaczonaprzerywana pozioma linia.

7.7. Porównanie wyceny modelem binarnym i BS 55


Poeksperymentuj z komputeremPonizszy kod zawiera zaimlementowana funkcje wyceny opcji europejskie kupna orazrysuje wykres jej wyceny w zaleznosci od ilosci okresów.

• Jaki jest bład wzgledny dla małej liczby okresów: 𝑁 = 1, 2, 3?• Zaimplementuj podobne porównanie dla opcji sprzedazy.• Czy dla duzych 𝑁 cena opcji zalezy od metody jej wyceniania?

def Bin_Call(N,S0,K,r,T,sigma):u = exp(sigma*sqrt(T/N))d = 1.0/up = (exp(r*T/N)-d)/(u-d)return exp(-r*T).n()*sum([binomial(N,j)*p^j*(1-p)^(N-j)*max(S0*u^j*d^(N-j)-K,0) for j in range(N+1)])

sigma,S0,K,T,r=0.1,120,125,1,0.1

point( [(i,Bin_Call(i,S0,K,r,T,sigma)) for i in range(1,36,1)], \gridlines=[None,[C(S0,K,r,T,sigma).n()]],figsize=(8,2)).show()

7.8 Analiza wrazliwosci

Analiza wrazliwosci okresla jak czuła jest cena opcji na zmiane wartosci wielkosci rynko-wych.

Wiemy, ze na cene opcji w chwili 𝑡 = 0 wpływaja nastepujace wielkosci:

• cena aktywa podstawowego: 𝑆 (w chwili 𝑡 = 0),

• cena wykonania: 𝐾,

• czas do wygasniecia: 𝑇 ,

• stopa procentowa wolna od ryzyka: 𝑟,

• zmiennosc ceny aktywa (volatility) 𝜎

Powstaje pytanie jak cena opcji jest czuła na zmiany tych parametrów ?

Aby odpowiedziec na to pytanie mozemy posłuzyc sie, moze nie eleganckim ale usprawiedli-wionym i skutecznym do tego celu, rozwinieciem tej funkcji we szereg Taylora i uwzglednic wnim tylko pierwsze pochodne czastkowe (z wyjatkowo druga pochodna wzgledem ceny opcjiwzgledem ceny aktywa).

W ten sposób okreslona zmiane ceny przyblizamy otrzymanym wzorem zakładajac ze zmiananie jest mniejsza niz.

Pochodne czastkowe ceny opcji wchodzace w sklad tego przyblizenia maja znaczenie prak-tyczne bedac uzywane i oznaczane swymi nazwami.

Oznaczmy symbolem 𝑉 cene naszej opcji. W przypadku europejskiej opcji Put lub Call be-dziemy stosowac symbole od pierwszych liter, odpowiednio: 𝑃 𝐶. Tak wiec dla dowolnej opcji



zawsze mozemy zapisac:

∆𝑉 ≃ 𝜕𝑉

𝜕𝑇∆𝑇 +

𝜕𝑉

𝜕𝑆∆𝑆 +

1

2

𝜕2𝑉

𝜕𝑆2(∆𝑆)2 +

𝜕𝑉

𝜕𝜎∆𝜎 +

𝜕𝑉

𝜕𝑟∆𝑟.

Współczynniki w powyzszym wzorze mozna ławto obliczyc jesli dany jest formuła analitycznana cene opcji. Najczesciej spotykanym przypadkiem sa wzory Blacka-Scholesa dla europej-skich opcji kupna i sprzedazy.

Dla dociekliwychSpróbuj obliczyc ponizsze współczynniki dla modelu CRR. Czy mozna policzyc jeslijedyna metoda wyceny jest metoda Monte Carlo.

7.8.1 Delta opcji

Zmiana ceny opcji przy zmianie ceny aktywa podstawowego nosi nazwe współczynnika delta.

∆ =𝜕𝑉

𝜕𝑆

dla europejskiej opcji Call wycenionej według modelu Blacka-Scholesa (bez dywidendy) wy-nosi ona:

∆𝐶𝑎𝑙𝑙 = 𝑁(𝑑1)

a dla opcji Put

∆𝑃𝑢𝑡 = 𝑁(𝑑1) − 1

Powyzsze wzory mozemy otrzymac przez rózniczkowanie wzorów Blacka-Scholesa zewzgledu na 𝑆0. Sprawdzmy z pomoca systemu algebry komputerowej czy, rzeczywiscie saspełnione.

Po pierwsze wczytajmy sobie wzory Blacka-Scholesa:

var(’sigma,S0,K,T,r’)cdf(x) = 1/2*(1+erf(x/sqrt(2)))d1=(log(S0/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)C(sigma,S0,K,T,r) = S0*cdf(d1)-K*exp(-r*T)*cdf(d2)P(sigma,S0,K,T,r) = K*exp(-r*T)*cdf(-d2)-S0*cdf(-d1)

try:print bool( C.diff(S0) == cdf(d1) )print bool( P.diff(S0) == cdf(d1)-1 )print bool( C.diff(S0) - P.diff(S0) == 1 )

except:print "Wczytaj wzory Blacka-Scholesa!"

Widac, ze zachodzi własnosc:

∆𝑐𝑎𝑙𝑙 − ∆𝑝𝑢𝑡 = 1,

która jest bezposrednia konsekwencja parytetu kupna sprzedazy.

7.8. Analiza wrazliwosci 57


Delta wskazuje na ilosc akcji potrzebnych do otworzenia zwrotu z opcji.

Np., ∆𝑐𝑎𝑙𝑙 = 0.80 znaczy ze działa jak 0.80 akcji. Jesli cena akcji wzrosnie o 1, cena opcji callwzrosnie o 0.80. cecha ta pozwala na budowanie strategii zabezpieczajacych. Ale o zastosowa-nia analizy wrazliwosci w strategii zabezpieczania przed ryzykiem mozna znalezc w Hedgingza pomoca opcji.

Narysujmy jak zalezy dla pewnej opcji Call Delta od ceny instrumentu bazowego:

try:p = plot( C.diff(S0)(0.1,S0,120,1,0.03),(S0,90,150),figsize=5)p += plot( C(0.1,S0,120,1,0.03)/10,(S0,90,150),color=’gray’)p.show()


7.8.2 Współczynnik gamma

Gamma druga pochodna ceny opcji wzgledem ceny akcji. Gamma jest pierwsza po-chodna delta w stosunku do ceny aktywa. Gamma jest takze nazywana krzywizna.

Γ𝑐 =𝜕2𝐶

𝜕𝑆2=

∆𝑐

𝜕𝑆

Γ𝑝 =𝜕2𝑃

𝜕𝑆2=

∆𝑝

𝜕𝑆

Współczynnik gamma jest zatem miara niestabilnosci współczynnika delta.

try:p = plot( C.diff(S0,2)(0.1,S0,120,1,0.03),(S0,90,150),figsize=5)p += plot( C.diff(S0)(0.1,S0,120,1,0.03)/10,(S0,90,150),color=’gray’)p += plot( C(0.1,S0,120,1,0.03)/100,(S0,90,150),color=’gray’)p.show()


Interpretacja

Jezeli w wyniku zmiany kursu instrumentu bazowego współczynnik delta zmieni sie z 0.5 do0.52 to wówczas zmiana delty o 0.02 okreslac bedzie wartosc współczynnika gamma.

Przykład.Niech aktualna wartosc instrumentu bazowego wynosi =75 jednostek pienieznych. Ak-tualna wartosc opcji = 0.35. Delta opcji = 0.16 a gamma opcji = 0.05. Jaka jest wartoscopcji jezeli kurs instrumentu bazowego wzrosnie do 80?A wiec zmiana ceny instrumentu bazowego = 5 a zmiana ceny wynikajaca ze wsp.delta = 5 x 0.16 = 0.80. Wzrost wartosci instrumentu bazowego o 5 powoduje wzrostwartosci delty a zatem nalezy wyznaczyc dodatkowa zmiane wartosci opcji wynikajacaz gamma. Zmiana ceny wynikajaca z gamma = 0.5 x 0.05 x 52 = 0.62.Nowa wartosc opcji to stara wartosc + zmiana z delty + zmiany gamma czyli: 0.35 +0.80 + 0.62 = 1.77



7.8.3 Współczynnik Theta

Kolejna pochodna czastkowa jest wielkosc zwana Theta.

Okresla ona jak sie zachowa cena opcji call (put) jesli zmieni sie czas do wygasniecia, awszystko inne zostanie stałe?

Theta jest to pierwsza pochodna ceny wzgledem czasu.

Opcje to „psujace sie” aktywa, poniewaz wartosc ich zanika po pewnym (wygasniecie).

Wartosc opcji = wartosc wewnetrzna + premia czasowa.

Wielkosc te dla opcja call i put wylicza sie:

Θ𝑐 =𝜕𝐶

𝜕𝑡

Θ𝑝 =𝜕𝑃

𝜕𝑡

Theta wieksza od zera gdyz im wiecej jest czasu do wygasniecia tym wieksza wartosc opcji.

Ale poniewaz czas do wygasniecia moze tylko malec theta jest rozpatrywana jako wartoscujemna. Biorac pod uwage mozliwosc zajmowanej pozycji w opcjach nalezy pamietac, ze:

• Upływ czasu szkodzi posiadaczowi opcji.

• Upływ czasu działa na korzysc temu co opcje wystawił.

Ze wzoru Blacka Scholes mozna wyliczyc wartosc:

Θ𝑐 = −𝑆𝜎𝑒−.5(𝑑21)

2√

2𝜋𝑡− 𝑟𝐾𝑒−𝑟𝑡𝑁(𝑑2)

Θ𝑝 =𝑆𝜎𝑒−.5(𝑑21)

2√

2𝜋𝑡+ 𝑟𝐾𝑒−𝑟𝑡𝑁(𝑑2)

try:p = plot( C.diff(T)(0.1,S0,120,1,0.03),(S0,90,150),figsize=5)p += plot( C(0.1,S0,120,1,0.03)/10,(S0,90,150),color=’gray’)p.show()


Liczenie Theta - interpretacja

Równania okreslaja theta na rok. Np. Θ = −5.58, znaczy, ze opcja straci 5.58 w wartosci cenyna rok - czyli (0.02 na dzien).

Theta pozycji krótkich jest dodatnia. Theta pozycji długich jest ujemna. Opcje at-the-moneymaja najwieksze wartosci theta.

Tabela ponizej pokazuje znaki pochodnych czastkowych dla róznych pozycji opcji.

. Delta Theta GammaLong call + - +Long put - - +Short call - + -Short put + + -

7.8. Analiza wrazliwosci 59


Znak gamma jest zawsze przeciwny do znaku theta

7.8.4 Czułosc wzgledem odchylenia standardowego - Vega

Odpowiada na pytanie, jak sie zmieni wartosc opcji Call (Put) jesli zmieni sie odchylenie stan-dardowe zwrotu czyli czułosc na zmiennosc (volatility) funkcji?

Vega pierwsza czastkowa pochodna ceny opcji wzgledem zmiennosci (volatility) aktywapodstawowego.

vega𝑐 =𝜕𝐶

𝜕𝜎

vega𝑐 =𝜕𝑃

𝜕𝜎

Im wyzsza volatility tym wieksza wartosc opcji. Np., opcja o vega 0.30 zyskuje 0.30% wartoscina kazdy punkt procentowy wzrostu spodziewanej zmiennosci aktywa. Vega bywa takze nazy-wane kappa, omega, tau, zeta, lub sigma prim. Ze wzoru Blacka Scholesa mozna przykładowowyliczyc wartosci Vega.

vega =𝑆√𝑡𝑒−0.5(𝑑21)

√2𝜋

Vega pozycji długich jest dodatnia. Vega pozycji krótkich jest ujemna. Wartosci opcji sa bar-dzo czułe na zmiane odchylenia standardowego ceny aktywa. Im wieksze volatility, tym wiecejsa warte opcje call i put. Opcje at-the-money maja najwieksza wartosc Vega. Vega maleje dlaopcji in- oraz out-of-the-money. Vega, maleje wraz z upływem czasu do terminu wygasniecia.

var(’sigma,S0,K,T,r’)cdf(x) = 1/2*(1+erf(x/sqrt(2)))d1=(log(S0/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)C(sigma,S0,K,T,r) = S0*cdf(d1)-K*exp(-r*T)*cdf(d2)plot( C.diff(sigma,1)(.1,S0,125,1,.1),(S0,70,150),figsize=5)

7.8.5 Rho

Rho pierwsza pochodna ceny opcji wzgledem stopy procentowej wolnej od ryzyka:

𝜌𝑐 = 𝐾𝑡𝑒−𝑟𝑡𝑁(𝑑2)

𝜌𝑝 = −𝐾𝑡𝑒−𝑟𝑡𝑁(−𝑑2)

Rho jest najmniej znaczaca z pochodnych. Nawet jesli opcja ma wyjatkowo długie zycie,zmiany stopy procentowej wpływaja na premie niewiele.

try:p = plot( C.diff(r)(0.1,S0,120,1,0.03),(S0,90,150),figsize=5)p += plot( C(0.1,S0,120,1,0.03)/10,(S0,90,150),color=’gray’)p.show()




7.9 Wycena opcji Amerykanskiej modelami binarnymi iciagłym

Nie zawsze wycena opcji jest mozliwa poprzez usrednianie po rozkładzie brzegowym dla 𝑡 =𝑇 . Przykładem sa opcje amerykanskie. Róznia sie one od europejskich tym, ze prawo dozawarcia transakcji obowiazuje nie tylko w chwili 𝑡 = 𝑇 , ale w dowolnej chwili przed nia.Posiadacz tego prawa musi zadecydowac kiedy bedzie chciał z tego prawa skorzystac.

Procedura wyceny takiej opcji, bedzie korzystała z pełnej informacji o historii zmian cenyinstrumentu. Innymi słowy, w jezyku trajektorii oznacza to, ze bedziemy obliczac maximumpo całej trajektorii a nie tylko po wartosci koncowej.

Algorytm wyznaczania ceny opcji korzysta z warunku braku arbitrazu. Postepujemy podobniejak przy wycenie opcji europejskiej na całym drzewie. Jednak w kazdym rozwidleniu drzewa,sprawdzamy czy wartosc otrzymana z warunku braku arbitrazu (7.1) nie jest mniejsza od war-tosci wewnetrzej opcji. Jesli tak jest to wpisujemy własnie ta wartosc wewnetrza do drzewa,zamiast wartosci wynikajacej z (7.1). Ponizej prezentujemy mozliwa implementacje tego algo-rytmu:

T = 5/12.N = 8sigma = 0.4K = 50r = 0.26

u = exp(sigma*sqrt(T/N))d = 1.0/up = (exp(r*T/N)-d)/(u-d)C = exp(r*T/N).n()

S0 = K-15SP = gen_recombining(N,SP=S0,q=u-1.0)

# PUT AMOP = [ [max(0,K-s) for s in SP[N]] ]for j in range(N):

el = [ max( max(K-SP[N-j-1][i],0) , 1/C*(p*OP[-1][i]+(1-p)*OP[-1][i+1])) for i in range(len(OP[-1])-1)]OP.append(el)

OP.reverse()

def Bin_Put(N,sigma,S0,K,T,r):u = exp(sigma*sqrt(T/N))d = 1.0/up = (exp(r*T/N)-d)/(u-d)return exp(-r*T).n()*sum([binomial(N,j)*p^j*(1-p)^(N-j)*max(K-S0*u^j*d^(N-j),0) for j in range(N+1)])

print "Opcja amerykanska:",OP[0],"Opcja europejska:",Bin_Put(N,sigma,S0,K,T,r)

Widzimy, ze wartosc opcji amerykanskiej przy podanych parametrach rózni sie znacznie odopcji europejskiej. Mozna sie przypatrzec na drzewie w których miejscach wartosc wewnetrznabedzie wieksza od wartosci arbitrazowej. Zobaczmy:

html.table( [[max(l-K,0)>l2 for l,l2 in zip(b,b2)] for b,b2 in zip(SP,OP)] )

7.9. Wycena opcji Amerykanskiej modelami binarnymi i ciagłym 61


Poeksperymentuj z komputerem• W powyzszym kodzie pozmieniaj wartosc poczatkowa aktywa. Jak zmienia sie

cena opcji? Jak zmienia sie tabla z ostatniej komórki Sage?• Zaimplementuj wycene amerykanskiej opcji Call. Porównaj wartosc z opcja eu-

ropejska. Czy zaobserwowałes cos dziwnego?• Zaimplementuj wycene opcji amerykanskiej w oparciu o model ciagły stosujac

odpowiednie usrednianie po trajektoriach.

T = 5/12.N = 8sigma = 0.4K = 50r = 0.26

u = exp(sigma*sqrt(T/N))d = 1.0/up = (exp(r*T/N)-d)/(u-d)C = exp(r*T/N).n()

S0 = K-15SP = gen_recombining(N,SP=S0,q=u-1.0)

#call AMOP = [ [max(0,s-K) for s in SP[N]] ]for j in range(N):

el = [ max( max(SP[N-j-1][i]-K,0) , 1/C*(p*OP[-1][i]+(1-p)*OP[-1][i+1])) for i in range(len(OP[-1])-1)]OP.append(el)

OP.reverse()

def Bin_Call(N,sigma,S0,K,T,r):u = exp(sigma*sqrt(T/N))d = 1.0/up = (exp(r*T/N)-d)/(u-d)return exp(-r*T).n()*sum([binomial(N,j)*p^j*(1-p)^(N-j)*max(S0*u^j*d^(N-j)-K,0) for j in range(N+1)])

html.table( [[max(l-K,0)>l2 for l,l2 in zip(b,b2)] for b,b2 in zip(SP,OP)] )

import numpy as npN = 300M = 1000h = T/N;r = 0.1S = np.zeros((M,N))

S[:,0] = S0*np.ones(M);for i in range(1,N):

S[:,i] = S[:,i-1] + r*S[:,i-1]*h + sigma*np.sqrt(h)*S[:,i-1]*np.random.randn(M)


ROZDZIAŁ 8

Instrumenty syntetyczne

Tak jak swiatło składa sie z elementów składowych tak i instrumenty finansowe składaja sie zinstrumentów podstawowych. Jak juz było wspomniane to na poczatku rozdziału o opcjach,opcje naleza do tych składowych. Instrumenty syntetyczne to instrumenty składajace (dajacesie rozłozyc) na składowe instrumenty. Instrumenty syntetyczne składaja sie z kombinacji dwulub wiecej elementów składowych. Konstrukcja takich instrumentów nazywana jest inzynieriafinansowa.

Oprócz opcji „cegiełkami” tworzacymi inne instrumenty sa obligacje, akcje oraz swapy.

Na poczatek budujemy portfel inwestycyjny. Kupujemy aktywo i od momentu posiadania ak-tywa obawiamy sie spadku jego ceny i chcemy by wartosc naszego portfela nie zmalała wprzypadku spadku cen tego aktywa na rynku. Aby sie zabezpieczyc przed spadkiem wartosciportfela kupujemy opcje Put na wspomniane aktywo. Kupienie opcji Put i zapłacenie premiipozwala na ograniczenie mozliwych strat z dołu przy zachowaniu szans na wzrost wartosciaktywa. W takiej strategii widac podobienstwo do płacenia polisy ubezpieczeniowej za ogra-niczenie strat.

Ale widac strategie alternatywna dla opisanej sytuacji. Zamiast kupowac aktywo i opcje Putzapewniajaca „atrakcyjna” cene jego sprzedazy mozemy kupic jedynie opcje Call na „atrak-cyjna” cene aktywa. Zaoszczedzone pieniadze (róznica miedzy cena kupna aktywa i premiaopcji Put) mozemy zainwestowac w instrument dłuzny oprocentowany stopa wolna od ryzyka.Jesli wartosc aktywa wzrosnie mozemy kupic je wykorzystujac opcje Call i swoja inwesty-cje. Jesli wartosc aktywa spadnie mozna pozwolic wygasnac opcji i zachowac pieniadze winwestycji w stope wolna od ryzyka.

Porównujac obie strategie widzimy, ze:

Wartosc przy wygasnieciupozycja poczatkowa 𝑆 < 𝐾 𝑆 ≥ 𝐾Akcje + Put 𝐾 𝑆Call + PV(K) 𝐾 𝑆

Niech cena aktywa wynosi 𝑆 a cena wykonania opcji 𝐾. W zaleznosci od tego ile wynosi cenaaktywa na rynku postepujemy:

w przypadku portfela:

Aktywo + Put

63


• Jesli 𝑆 < 𝐾, wykorzystaj Put i wez 𝐾

• Jesli 𝑆 ≥ 𝐾, niech Put wygasnie a masz 𝑆

Portfel Call + PV(K)

• 𝑃𝑉 (𝐾) bedzie warta 𝐾 dla wygasniecia opcji

• Jesli 𝑆 < 𝐾, niech Call wygasnie a masz inwestycje, 𝐾

• Jesli 𝑆 ≥ 𝐾, wykorzystaj Call majac inwestycje i masz 𝑆

Jesli te dwie pozycje sa tyle samo warte na koniec inwestycji to powinny byc tyle samo wartena poczatku inwestycji.

To prowadzi do warunku równosci (parytetu) Put-Call

𝑆 + 𝑃 = 𝐶 + 𝑃𝑉 (𝐾) (8.1)

Gdzie

• 𝑆 - cena aktywa (1 akcji)

• 𝑃 - cena opcji Put (1 opcja) na cene wykonania 𝐾 i czasie do wygasniecia 𝑇

• 𝐶 - cena opcji Call (jedna opcja) na cene wykonania K i czasie do wygasniecia 𝑇 - jakopcja Put.

• 𝑃𝑉 (𝐾) - jedna obligacja (instrument dyskontowy) z wartoscia w czasie zapadalnosci Trównej K.

Mozemy równiez rozumiec ten zwiazek jako konsekwencje matematycznej równosci:

max(𝑆 −𝐾, 0) − max(𝐾 − 𝑆, 0) = 𝑆 −𝐾. (8.2)

Przesledzmy, jesli 𝑆 > 𝐾 to pierwszy składnik róznicy w równaniu (8.2) jest równy 𝑆 −𝐾, adrugi jest zero. W przeciwnym przypadku 𝐾 > 𝑆 pierwszy sie zeruje a drugi daje −(𝐾−𝑆) =𝑆 −𝐾 czyli w efekcie to samo co pierwszy. Funkcja wypłaty dla róznicy dwóch opcji - Call iPut, jest wiec taka sama jak funkcja wypłaty dla posiadanej opcji i kredytu na wartosc 𝐾.

Funkcja wypłady zobowiazuje w czasie zapadalnosci obydwu opcji - czyli math:t=T). Wy-obrazmy sobie, ze jestesmy w dowolnym momencie przed tym czasem, (niech bedzie on ozna-czony przez 𝑡 = 0). Wtedy cena akcji jest inna. Opcje przez ich czasem zapadalnosci mozemywycenic, np. za pomoca wzoru Blacka-Scholesa. Kredyt 𝐾 bedzie trzeba zdyskontowac zestopa wolna od ryzyka 𝑟. Dlatego mozemy sie spodziewac, ze bedzie zachodził wzór:

𝑆 + 𝑃𝑃 = 𝑃𝐶 + 𝑒−𝑟𝑇𝐾,

gdzie przez 𝑃𝐶 , 𝑃𝑃 to ceny opcji Call i Put, odpowiednio, w czasie 𝑡 = 0.

Wzór ten powinien zachodzic na wyceny opcji, sprawdzmy wiec czy rzeczywiscie tak jest.Mozemy wykorzystac system algebry komputerowej by wykonal mozolna robote za nas.

64 Rozdział 8. Instrumenty syntetyczne


Poeksperymentuj z Sage!Kod wykorzystujacy CAS do pokazania spełnienia przez wzory Blacka-Scholesa pary-tetu Put-Call. Do sprawdzenia parytetu uzywamy polecenia bool, które próbuje alge-braicznie udowodnic równosc. Mozemy tez zobaczyc jawna postac lewej lub prawejstrony równosci uzywajac do tego polecenia show, jednak uzyskane wzory moga bycdosc długie, spróbuj sam!

var("S0,K,r,T,sigma")cdf(x) = 1/2*(1+erf(x/sqrt(2)))d1=(log(S0/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)C(S0,K,r,T,sigma) = S0*cdf(d1)-K*exp(-r*T)*cdf(d2)P(S0,K,r,T,sigma) = K*exp(-r*T)*cdf(-d2)-S0*cdf(-d1)bool( S0+P(S0,K,r,T,sigma) == K*exp(-r*T) + C(S0,K,r,T,sigma) )

Jesli ten warunek nie zachodzi to mamy do czynienia z arbitrazem. Mozliwosc arbitrazu niebedzie istniec długo, ale wtedy opłacalnym bedzie działanie: Kup strone „niska” a sprzedaj„wysoka”.

Arbitraz jest sytuacja wyjatkowa i ulotna w stosunku do sytuacji gdy rynek jest w równowadze.Jesli rynek jest efektywny (a raczej jest) uzywamy tego równania do znalezienia wielkosci przypomocy danych pozostałych trzech instrumentów

Informacja: PrzykładZ danych rynkowych widac, ze:

• aktualna cena akcji = 50,• cena opcji Put = 1.15, z cena wykonania = 45,• stopa wolna od ryzyka = 5%,• Termin wygasniecia 1 rok

Pytanie: Jaka jest cena opcji Call?Korzystajac z równania parytetu mamy

501.15 = 𝐶 + 45/(1.05)

Czyli cena opcji Call wynosi C = 8.29

Przy wycenie opcji podobnie jak w wielu przypadkach instrumentów dłuznych stosuje ciagłakapitalizacje w czasie.

Równania wartosci pieniadza w czasie dla ciagłej kapitalizacji:

𝑃𝑉 = 𝐹𝑉 𝑒−𝑅𝑡

𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 𝑒𝑅𝑡

Równanie pokazujace zwiazek ceny akcji i opcji Call oraz Put i obligacji o stopie bez ryzyka(8.1) wyglada:

𝑆 + 𝑃 = 𝐶 + 𝐾𝑒−𝑅𝑡 (8.3)

Gdzie 𝐾 - to wartosc obligacji na stope wolna od ryzyka na date wygasniecia opcji. 𝐾 torówniez cena wykonania opcji (obu) w czasie wygasniecia.

65


Równanie (8.3) nazwane parytetem call - put pokazuje symetrie ceny opcji put i call. Najlepiejmozna to przesledzic w przypadku opcji europejskich i aktywa nie wypłacajacego dywidendy.Potraktujmy równanie (8.3) jako równosc wartosci dwu portfeli.

• Pierwszy portfel składa sie z opcji call z cena wykonania przykładowo 12 i obligacjiktóra w chwili wygasniecia ma wartosc aktywa w chwili wykonania. Obligacja obrazuje“pozyczone” srodki pieniezne, które w chwili z wygasniecia musza byc równe ceniewykonania aktywa pozwalajac na wykonanie opcji.

• Drugi portfel składa sie z opcji put z ta sama cena wykonania jak opcja call i aktywa,które w chwili wykonania ma wartosc ceny wykonania.

Istota parytetu zasadza sie w równosci tych dwu portfeli. Ta równosc zachodzi niezaleznie odceny (wykonania) aktywa. Sprawdzmy to:

Dla ceny aktywa 12 równosc ta, wyglada nastepujaco:

Call= 0 put = 0Obligacja= 12 Aktywo =12Wartosc = 12 Wartosc = 12

Call wygasa bez wartosci gdy w chwili wygasniecia cena aktywa wynosi 12, podobnie put.Jednak zaciagniety został kredyt o wartosci 12.


Call =2 put = 0Obligacja= 12 Aktywo =14Wartosc = 14 Wartosc = 14

Dla tej ceny aktywa opcja call ma wartosc = 2 a opcja put wygasa bez wartosci.


Call= 0 put = 6Obligacja= 12 Aktywo =6Wartosc = 12 Wartosc = 12

Jak widac jeden portfel replikuje wartosc drugiego bez wzgledu na wartosc aktywa. Sa onerównowartosciowe.

Jesli aktywo (akcja) wypłaca dywidende to zachodzi równosc.

cena opcji Put - cena opcji Call = present value ceny wykonania + present value dywidend -cena akcji

Gdy na wykresie zysków (strat) od ceny aktywa naniesiemy zaleznosci dla ceny akcji opcjiCall i Put mozemy łatwo wykazac zaleznosc parytetu graficznie.

Majac do dyspozycji równanie (8.1), mozemy je rozwiazac na cene opcji Call, cene opcji Putlub cene aktywa. Powyzsze trzy mozliwosci moga zostac wykorzystane do zastapienia pozycjidługiej lub krótkiej w portfelu. Razem daje to szesc mozliwosci zastosowania parytetu Put-Call, oraz tworzenia instrumentów syntetycznych.



20 40 60 80 100cena S

-40

-20

20

40

zysk/strata

Rysunek 8.1: Oznaczenia:Zółty kolor - long Call Czerwony - long Put Niebieski - pozycja długa w aktywie (akcja) Zielony -

pozycja długa w obligacji.

8.1 Syntetyczny Put

Analogicznie aby okreslic cene opcji Put przekształcamy wzór (8.1) do postaci:

𝑃 = 𝐶 − 𝑆 + 𝐾𝑒−𝑅𝑡 (8.4)

Co to oznacza? Kupienie opcji Call i sprzedaz aktywa (np. akcji) oraz kupienie obligacji otym samym terminie zapadalnosci jak termin wygasniecia opcji (czyli 𝑇 ) replikuje wypłate zzakupu opcji Put.

Graficznie wyglada to tak:

8.1.1 Krok po kroku

Zobaczmy jak to mozna samemu utworzyc powyzsze wykresy. Po pierwsze zdefiniujmy zsystemie Sage wypłaty opcji Put i Call oraz wzory Blacka-Scholesa:

var(’S’)def longCALL(S,K,P=0):


return max_symbolic(K-S,0)-Pvar(’sigma,S0,K,T,r’)cdf(x) = 1/2*(1+erf(x/sqrt(2)))d1=(log(S0/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)C(S0,K,r,T,sigma) = S0*cdf(d1)-K*exp(-r*T)*cdf(d2)P(S0,K,r,T,sigma) = K*exp(-r*T)*cdf(-d2)-S0*cdf(-d1)print "Wczytano definicje!"

Rozwazmy aktywo o wartosci chwilowej (spot price) 𝑆 = 50 i zmiennosci (volatility) 𝜎 = 0.5.Ponadto, niech wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 𝑟 = 0.05. Bedziemy rozwazac

8.1. Syntetyczny Put 67


Rysunek 8.2: Syntetyczna opcja Put. Korzystajac z parytetu put-call w postaci: 𝑃 = 𝐶 −𝑆 + 𝐾𝑒−𝑅𝑡 mozemy za pomoca trzech instrumentów otrzymac taki sam efekt finansowy jak zinstrumentu Put.

Na prawym panelu pomaranczowa gruba linia oznacza zaleznosc zysku/straty z opcji Put.Na prawym panelu naniesiona trzy instrumenty z prawej strony równania (8.4). Dodajacje do siebie otrzymujemy zysk/strate całego portfela. Suma ta jest zaznaczona na wykresielewym czarna linia. Widzimy, ze pokrywa sie ona zyskiem/strata z opcji Put.

opcje o czasie wygasniecia trzy miesiace czyli 𝑇 = 90/365. W chwili poczatkowej mamynastepujace ceny opcji Call i Put, dane przez wzory Blacka-Scholesa:

P_c,P_p = C(50,50,.05,90/365.,0.3).n(),P(50,50,.05,90/365.,0.3).n()print P_c,P_p

p3= plot( longCALL(S,50,0)-P_c,(S,0,100),color=’red’,aspect_ratio=1)+\plot( - (S-50),(S,0,100),color=’green’,aspect_ratio=1)+\plot( ( 50-50*exp(-0.05*90/365.) ) ,(S,0,100),color=’blue’,aspect_ratio=1,figsize=4)

show(p3)

p2=plot( longCALL(S,50,0)-P_c-( S-50) + ( 50-50*exp(-0.05*90/365.) ),(S,0,100),color=’black’,aspect_ratio=1,zorder=10)p2 += plot( longPUT(S,50,0)-P_p,(S,0,100),color=’pink’,thickness=5,figsize=4)html.table([["Instrumenty bazowe","Instrument syntetyczny"],[p3,p2]])

Na ostatnim rysunku widzimy po prawej - profil zysku/straty dla poszczególnych instrumentówbazowych a po lewej czarna linia zaznaczono ich sume - czyli nasz instrument syntetyczny.Szeroka rózowa linia oznacza profil zysku straty dla opcji Call. Spełnienie parytetu powoduje,ze obie linie sie pokrywaja.

Korzystajac ze wzoru (8.1) mozemy tworzyc instrumenty syntetyczne korzystajac z czterech“cegieł” wymienionych powyzej.



Poeksperymentuj z komputerem!1. Przypuscmy, ze nie wycenilismy opcji Put wg. wzoru Blacka-Scholesa, tylko

od kolegi, który zawsze ma odmienne od rynku zdanie, dowiedzielismy sie, ze𝑃𝑝 = 5.94. Przeprowadzmy te same obliczenia i zobaczmy czy parytet Put-Calldalej bedzie spełniony!

2. Napisz własne programy rysujace pozostałe piec instrumentów syntetycznych.

8.2 Syntetyczna pozycja Long Stock

Mozna stworzyc syntetyczna pozycje posiadania akcji poprzez kupienie Call, sprzedaz Put, izainwestowanie ceny wykonania na stope wolna od ryzyka do wygasniecia.

𝑆 = 𝐶 − 𝑃 + 𝐾𝑒−𝑅𝑡

Graficznie pokazuje to rysunek ponizej:

Rysunek 8.3: Parytet put-call: 𝑆 = 𝐶 − 𝑃 + 𝐾𝑒−𝑅𝑡

8.3 Syntetyczny Long Call

Mozna zbudowac pozycje syntetyczna long Call poprzez kupienie Put, kupienie akcji za pozy-czona kwote równa cenie wykonania i spłacanej w chwili wygasniecia przy stopie wolnej odryzyka.

𝐶 = 𝑃 + 𝑆 −𝐾𝑒−𝑅𝑡

Na wykresie

8.2. Syntetyczna pozycja Long Stock 69


Rysunek 8.4: Parytet put-call: 𝐶 = 𝑃 + 𝑆 −𝐾𝑒−𝑅𝑡

8.4 Syntetyczna sprzedaz akcji

Mozna utworzyc syntetyczna pozycja sprzedazy akcji (short) poprzez sprzedaz Call, kupieniePut, kupienie obligacji (stopa wolna od ryzyka) za pozyczona cene wykonania i trzymanie jejdo zapadniecia.

−𝑆 = 𝑃 − 𝐶 −𝐾𝑒−𝑅𝑡

Graficznie

Rysunek 8.5: Parytet put-call: −𝑆 = 𝑃 − 𝐶 −𝐾𝑒−𝑅𝑡



8.5 Syntetyczna pozycja short Put

Mozna stworzyc syntetyczna short Put poprzez sprzedaz opcji Call, kupno aktywa za pozy-czone na stope wolna od ryzyka do wygasniecia.

−𝑃 = 𝑆 − 𝐶 −𝐾𝑒−𝑅𝑡

Graficznie przedstawia wykres

Rysunek 8.6: Parytet put-call: −𝑃 = 𝑆 − 𝐶 −𝐾𝑒−𝑅𝑡

Jesli w miejsce kontraktów kasowych na aktywo wstawimy do równania parytetu kontrakty ter-minowe to otrzymamy podobne zaleznosci dla rynku futures ( forward). W równosci parytetudla tego rynku opcje sa opcjami dla kupna i sprzedazy kontraktu futures.

Podsumowujac.

Równosc zwana parytetem cen opcji call i put jest spełniona przy nastepujacych warunkach:

1. Opcje sa opcjami europejskimi

2. Cena wykonana jest identyczna dla opcji cal i opcji put.

3. Ceny transakcji sa zerowe (tzw. Rynek bez tarcia)

4. Stopy procentowe sa niezmienne az do terminu wygasniecia.

5. Akcja nie wypłaca dywidendy.

Parytet put-call jest skutecznym narzedziem pozwalajacym na testowanie modeli wyceny opcji.Jesli sprawdzany model wyceny prowadzi do wyliczenia cen które nie spełniaja parytetu narynku bez arbitrazu, nalezy uznac go za błedny i go odrzucic ( albo jeszcze nad nim popracowacby usunac jego braki).

Parytet nie stosuje sie do opcji amerykanskich jesli sa wykonywane przed dniem wygasniecia.

8.5. Syntetyczna pozycja short Put 71


Wynika to z równan Blacka Scholes’a, które jest spełnione jesli opcja nie zostanie wykonanaprzed wygasnieciem. Amerykanskie opcje call i put nie spełniaja warunków parytetu, ale speł-niaja słabsza relacje:

𝑆0 −𝐾 ≤ 𝐶 − 𝑃 ≤ 𝑆0 −𝐾𝑒−𝑅𝑡

Warunek wypłacania dywidendy czyli warunek nr. 5 parytetu jest dosc łatwy do ominiecia jesliuwzgledni sie wartosc czasowa wypłacanej dywidendy zanim opcja wygasnie. Wyniki takichwyliczen, które polecamy do własnych wyliczen mozna znalezc:

W pracy Weiyu Guo i Tie Su-“ Option Put-Call Parity Relations When the Underlying SecurityPays Dividends”- International Journal of Business and Economics, 2006, Vol. 5, No. 3, 225-230 albo http://moya.bus.miami.edu/~tsu/ijbe2006.pdf

8.6 Instrumenty syntetyczne

Kilka uwag o instrumentach syntetycznych.

Istnienie ich warunkuje waznosc parytetu Call- Put. Do tego miejsca zajecie pozycji na rynkuoznaczało kupno/sprzedaz aktywa lub kontraktu futures , kupno/sprzedaz opcji call lub putna dany instrument. Parytet call- put jest podstawa pewnego nowego innego spojrzenia naaktywo. Pozwala na tworzenie instrumentów rynkowych jako kombinacji innych instrumentówdajacych ten sam efekt i wartosc dla inwestora.

Pozycja syntetyczna pozwala na osiagniecie tego samego zysku( lub straty) co posiadanie in-strumentu poprzez zajecie dwu innych pozycji na tym samym rynku. To jest czesto bardzowygodne. Przykładowo, jesli inwestor jest long call a chce byc long put. Zamiast likwidowacpozycje i otwierac nowa ,inwestor moze zostac long call a sprzedac aktywo lub kontrakt futuresjesli na takim rynku działa. Zamiast wiec dwu transakcji zawiera jedna i to dzieki temu przyj-muje syntetyczna pozycje long put. Innymi słowy inwestor „sfabrykował” syntetyczna pozycjedajaca ten sam zysk jak long put posiadajac opcje call i sprzedajac aktywo (kontrakt futures).

Syntetyczne opcje musza posiadac te same ceny wykonania i czasy wygasniecia, co jest kon-sekwencja załozen parytety call- put. Ponadto jesli pozycja syntetyczna zawiera w sobie akcjei opcje, liczba akcji reprezentowanych przez opcje musi byc równa ilosci akcji.

Zalety instrumentów syntetycznych.

Instrumenty syntetyczne stwarzaja w pewnych sytuacjach mozliwosci które moga byc atrak-cyjne dla ich posiadacza.

1. Tworzac kontrakt syntetyczny wchodzimy w posiadanie instrumentu który nie istniejeinaczej niz wspomniany syntetyk.

2. W pewnych sytuacjach moze byc taniej kupic syntetyk niz instrument, który syntetyk „nasladuje” ze wzgledu na opłaty, prowizje, spready oraz wolumen który wymagany jestprzy zakupie instrumentu „fizycznego’.

3. Czesto ( ale nie zawsze) syntetyki sa mniej zmienne niz ceny instrumentów fizycznych.

4. Przykładem zalety syntetyka jest sytuacja krótkiej sprzedazy . Jesli sprzedajemy krótkoakcje nie musimy jej pozyczac i nie musimy sie martwic o płatnosc dywidendy na sprzedanakrótko akcje.


http://moya.bus.miami.edu/~tsu/ijbe2006.pdf


Niemniej jednak nalezy pamietac , ze instrumenty syntetyczne pozwalaja na wieksza spekula-cje i pozwalaja na unikniecie depozytów zabezpieczajacych. Przykładowo moze sie wydawac, ze w przypadku syntetycznego long/short futures mozna uniknac płacenia depozytu zabez-pieczajacego. Niestety , pozycja short put wymaga tego samego depozytu jak pozycja shortfutures. Syntetyczna pozycja long futures wymaga wpłaty podiobnego rzedu jak „fizyczna”pozycja długa na rynku kontraktów fures.

8.7 Swapy

Transakcje swapowe to syntetyczne instrumenty zbudowane z dwu podstawowych „cegiełek”instrumentów finansowych. Przykładowo sa to polaczenia instrumentu dłuznego o stałym opro-centowaniu z instrumentem dłuznym o zmiennym oprocentowaniu. Czesto do tej kombinacjiinstrumentów dochodzi transakcja wymiany walut.

Swapy stosuje sie w celu unikania niedogodnosci zwiazanych z wymiana walut, przeciwdzia-łaniu ryzyku kursowemu oraz zabezpieczenia sie przed ryzykiem zwiazanym z wahaniem stópprocentowych. Typowy podział swapów to podział na swapy kuponowe i bazowe.

8.7.1 Swap stopy procentowej

Swap kuponowy

Najbardziej typowy swap dotyczy wymiany płatnosci opartej na zmiennej stopie na płatnoscoparta o stope stała. Na ilustracji spółka A zgadza sie wykonac płatnosc do spółki B liczonaw oparciu o zmienne oprocentowanie (np. LIBOR 6 - miesieczny) ustalonej kwoty. W zamianSpółka B zgadza sie dokonac płatnosci odsetek od tej kwoty dla stałego oprocentowania ( np.10% na rok) Wymiana płatnosci nastapi co 6 miesiecy.

Swap bazowy

Dotyczy wymiany płatnosci opartych o zmienne oprocentowanie, ale dla róznych rodzajówstóp procentowych. W przypadku swapu bazowego strony wymieniaja płatnosci oparte na

8.7. Swapy 73


jednym rodzaju zmiennej stopy procentowej( np. 3- miesieczny LIBOR) na inne płatnoscioparte o inna zmienna stope oprocentowania. ( np. LIBOR 6- miesieczny).

SWAP jest transakcja zawierana przez dwie strony. Podstawowa trudnoscia dla instytucji zchcacej zawrzec transakcje tego typu jest znalezienie drugiej strony transakcji, czyli firmychcacej równiez zawrzec transakcje swap na warunkach atrakcyjnych. To stwarza nowe mozli-wosci dla banków, które to posrednicza w transakcjach i sa strona dla kazdej czesci transakcjizawierajac oddzielne kontrakty swap z obu stronami( klientami).

Swap stopy procentowej

Inaczej nazywany IRS (czyli interest rate swap). Polega ten swap na tym, ze płatnosci wy-nikajace dla stron z kontraktu swap dotycza tego samego nominału kwoty, ale nie nastepujetu zaden transfer tejze kwoty ani inna forma zmiany własnosci. Raczej mówi sie o wymianieoprocentowania, ale nie wynika z tego, ze nastepuje tu jakas pozyczka.

Kontrakt swap reguluje okresowosc płatnosci. Najczesciej sa to okresy półroczne, ale mogabyc i inne. Podstawa jest regulacja zawarta w kontrakcie. Chociaz strony umawiaja sie wkontrakcie co do dokonywania płatnosci w regularnych odstepach czasu to w praktyce, jednak,jest to kazdorazowo, płatnosc jednej strony do drugiej równa róznicy zobowiazan.

Mechanizm swapu na stope procentowa.

Niech beda dwie firmy: Spółka A i spółka B. Spółka A funkcjonuje na rynku długo i jestuwazana za spółke o bardzo bezpiecznym bilansie i bezpiecznej działalnosci finansowej. Dlatego na rynku moze otrzymac kredyt stało procentowy o stopie 8% lub zmienno procentowyw oparciu o WIBOR + 0,5%. Spółka B jest firma młoda i oferowany dla niej kredyt stałoprocentowy opiera sie o stope 10% albo kredyt o stopie zmiennej liczony według formułyWIBOR +1%.

Załózmy ze Spółka A, oczekujac wzrostu stóp procentowych chce zaciagnac kredyt o oprocen-towaniu stałym, B zas woli zaciagnac kredyt o oprocentowaniu zmiennym.

W powyzszej sytuacji:

Dla spółki A korzystne jest płacic 8% za kredyt o stałym oprocentowaniu a spółka B musi płacicWIBOR+0,5% za kredyt o zmiennym oprocentowaniu. I tak by było, gdyby nie istniał rynekswapów. Ale istnieje i firmy moga we wzajemnym współdziałaniu poprawic sobie warunki



kredytowania. Zawarcie kontraktu swap pomiedzy tymi dwoma firmami umozliwia poprawesytuacji kazdej z nich.

Na obu rynkach firma A ma lepsza sytuacje i otrzymuje lepsze propozycje, posiada bowiembezwzgledna przewage na obu rynkach kredytowych. Na rynku stóp zmiennych spółka B zakredyt o zmiennym oprocentowaniu musi płacic tylko o 0,5% wiecej niz firma A, która to narynku kredytów procentowych otrzymuje warunki o 2% lepsze od spółki B. Tak wiec na rynkukredytów opartych o zmienna stope firma B osiaga przewage komparatywna.

Firmy zawieraja kontrakt swap w ramach którego spółka B zaciaga kredyt według stopy WI-BOR+1% i zobowiazuje sie do płacenia stałej stopy 8.5% na rzecz A, w zamian to Spółka Azaciaga kredyt wg stopy stałej (8%) i zobowiazuje sie do płacenia na rzecz B zmiennej stopyWIBOR. Czyli:

W wyniku zawartej transakcji Spółka B płaci:

• -stała stope 8.5%

• -WIBOR+1%

ale dostaje:

• +WIBOR

Czyli, w sumie płaci 9.5% odsetek wg stałej stopy procentowej. Dzieki zastosowaniu takiegoswapu firma B zaoszczedza 0.5% w stosunku do stopy oferowanej przez kredytodawce.

Natomiast spółka A płaci:

• -stała stope 8%

• -WIBOR

Lecz dostaje od spółki B:

• +stała stope 8.5%,

i w sumie płaci WIBOR-0.5% odsetek (zmienna stopa procentowa).

Dzieki zastosowaniu takiego swapu firma A zaoszczedza 1% w stosunku do stopy oferowanejprzez kredytodawce.

8.7. Swapy 75


Analiza powyzszego przykładu jest ilustracja ogólniejszej zasady. Podział zysków ze swapumoze jest dowolny i negocjowany miedzy partnerami swapu i zalezy od ich porozumienia (wa-runków kontraktu), aczkolwiek ograniczony. Korzysc osiagana przez obie strony jest równawartosci róznicy stóp oferowanych firmom na rynku stałych pomniejszonej o wartosc róznicystóp na rynku stóp zmiennych.

W naszym przypadku wartosci te wynosza 2%-0.5%=1.5%. Natomiast w sytuacji gdy jednaz firm ma przewage bezwzgledna na jednym rynku a druga na drugim zysk bedzie suma war-tosc róznicy stóp oferowanym firmom na rynku stóp stałych powiekszona o wartosc róznicyna rynku stóp zmiennych. W warunkach rynkowych przewaga komparatywna nie zawsze musiwystepowac oraz ewentualne korzysci osiagane ze swapu moga byc zbyt małe w porównaniudo kosztów transakcji. Znalezienie drugiej strony swapu czesto jest trudne. Trudnosc ta usuwaposrednik finansowy, który niejako staje sie strona dla obu stron swapu. Posrednik przejmujena siebie ryzyko zwiazane z niedotrzymaniem warunków umowy przez kontrahenta (ryzykokredytowe), oraz moze przejmowac na siebie czesc ryzyka walutowego (w swapach waluto-wych). Zada w zamian wynagrodzenia- czyli kazda ze stron rezygnuje na rzecz posrednika zczesci beneficjów swapu.

Swap stopy procentowej ma podobna strukture do kontraktu terminowego futures (forward) nastope procentowa, w tym sensie, ze przyszłe zobowiazania swapu sa okreslane dzisiaj.

8.7.2 Swap walutowy

W transakcji swapu walutowego ( currency swap), strony wymieniaja waluty po ustalonym kur-sie, Nastepnie w okreslonych okresach dokonuja wzajemnie płatnosci odsetkowych w oparciuo wczesniej ustalone pary stóp procentowych. Na koniec, dokonuja powtórnej wymiany dooryginalnych walut w terminie zapadalnosci transakcji.

W kazdym swapie walutowym wystepuja trzy wazne składowe:

• Kwota główna

• Kurs wymiany

• Dwie stopy oprocentowania

Na poczatku swapu strony „wymieniaja sie” Kwota Główna. Wymiana moze byc zarównorzeczywista jak i „teoretyczna” (fizyczna wymiana nie ma miejsca). Kurs wymiany – kursspot. Znaczenie kwoty głównej jest istotne dla okreslenia wielkosci odsetek i wielkosci wtór-nej wymiany pod koniec transakcji swap. Koncowa wymiana nastepuje po kursie wymianypoczatkowej.

Walutowy swap kuponowy

Ten rodzaj swapu zwany powszechnie (currency coupon swap) ( cross currency interest rateswap) jest złozeniem swapu walutowego ze swapem stopy procentowej. Mechanizm swapujest taki sam jak poprzednio. (Te same ruchy i zasady przepływu strumieni pienieznych jak wswapie walutowym). Dodatkowo zamieniane jest oprocentowanie o stopie stałej na zmienna,lub odwrotnie.



Przykład: Dolarowy kredyt o stałej stopie odsetek zamieniany jest na kredyt w Euro ozmiennym oprocentowaniu.

8.7.3 Assets swap

Swap aktywów jest kombinacja aktywów i swapu, tak by stworzyc syntetyczne aktywa. Przy-kładowo: aktywo stałego oprocentowania moze zostac zamienione w aktywo o zmiennymoprocentowaniu wyceniane w tej samej lub innej walucie.

Przykład: Strony transakcji : Fundusz inwestycyjny i bank.

Fundusz inwestycyjny zamierza kupic na rynku : albo obligacje o stałym oprocentowaniu orentownosci 4 % rocznie, albo papier o zmiennym oprocentowaniu wyceniany na poziomieLIBOR. Bank jest zainteresowany posiadaniem obligacji stał.opr.-4 %, albo zamierza udzie-lic kredytu hipotecznego dla klienta na poziomie LIBOR + 0.5%. Fundusz kupuje obligacje i„swapuje” ja z bankiem, bez posrednika. Mechanizm swapu : Fundusz: Kupuje obl. o rentow-nosci 4% Płaci do banku - 3,75% Otrzymuje z banku LIBOR

Czyli w wyniku otrzymuje LIBOR +0,25 Bank: Udziela kredytu hipotecznego o oprocentowa-niu LIBOR +0,5%

Otrzymuje od Funduszu 3,75% Płaci do funduszu - LIBOR

Czyli w sumie otrzymuje 4,25%.

W wyniku transakcji swapu z funduszem Bank wykreował syntetyczna obligacje stało pro-centowa o oprocentowaniu wyzszym niz rynek a fundusz syntetyczny papier dłuzny zmiennoprocentowy o rentownosci wyzszej niz rynek.

8.7.4 Swap a kontrakt forward

Swap to umowa stron by wymienic sie przepływami pienieznymi w przyszłosci. Umowa taokresla daty w których strumienie pieniezne beda płacone i sposób jak beda one liczone. Kon-trakt forward jest przykładem prostego swapu. W przypadku kontraktu forward, nastepuje wy-miana przepływów pienieznych w danej, konkretnej dacie w przyszłosci. W przypadku swapuprzepływy wystepuje kilka razy w okreslonych datach w przyszłosci. Czyli, ...innymi słowy,...Mozemy traktowac swap jako syntetyczny portfel kontraktów forward na stope procentowaczyli Forward Rate Agreement (FRA).

8.7.5 Swap jako para obligacji

Jesli kupujemy obligacje, płaca nam odsetki. Jesli emitujemy obligacje, to my płacimy odsetki.W prostym swap’ie, robimy obie te rzeczy czyli płacimy stałe oprocentowanie fixed rate, nampłaca zmienne oprocentowanie, lub odwrotnie.

8.7. Swapy 77


8.7.6 Forward Rate Agreement (FRA)

Transakcja FRA (opisana w skrypcie) to terminowa transakcja stopy procentowej polegajaca naustaleniu w dniu jej zawarcia wysokosci stopy procentowej dla przyszłego okresu odsetkowego(np. za 6 miesiecy) w odniesieniu do kwoty nominalnej, bez faktycznego jej zaangazowania.Zysk, badz strata wynikaja z róznicy pomiedzy stopa procentowa transakcji, a własciwa dladanego okresu odsetkowego stawka referencyjna.

FRA sa równowazne kontraktom forward w krótkoterminowych swap’ach stopy procentowej.FRA sa syntetycznymi kontraktami swap kontraktów forward lub futures.

FRA jest umowa stron aby wymienic sie (swap)płatnosciami wynikajacymi ze stóp procento-wych poprzez umówiony okres od pewnej daty w przyszłosci. Jedna ze stron takiego kontraktuustala sobie stałe oprocentowanie a druga zmienne. Kwota główna nie zostaje przesuwana”miedzy stronami, natomiast w dacie umowy jedna strona dokonuje wpłaty by skompensowacdrugiej stronie róznice pomiedzy uzgodnionym oprocentowaniem a stopa spot w dniu zawarcia.

Jak to było zilustrowane w skrypcie);

Jesli chcemy ustalic przyszła stope oprocentowania kredytu otrzymujemy zmienna a płacimystała (kupujemy FRA). Jesli chcemy ustabilizowac przyszła stope inwestycji płacimy zmiennaa otrzymujemy stała (sprzedajemy FRA).

8.8 Swaption - swapcja

Wsród instrumentów finansowych słuzacych do zarzadzania ryzykiem stopy procentowejwazne miejsce zajmuje Swapcja (swaption). Jest to instrument finansowy, który jest opcjana zakup/sprzedaz swapu. Długa pozycja w opcji kupna daje prawo, ale nie obowiazek kupnaswapu. Innymi słowy swapcja daje temu, kto ja posiada prawo (ale nie obowiazek) do zawarciaumowy swap’u z wystawca swapcji. Warunki transakcji swap’u ustalone zostaja w umowieswapcji . Warunki te okreslaja: nominalna kwota główna wymiany, okresowosc płatnosci stron(np. półrocznie, rocznie), płacone i otrzymywane stopy dla wymiany płatnosci, które to stopyokreslane sa jako cena wykonania swapcji.

Podobne jak w przypadku opcji, swapcja moze miec cechy opcji europejskiej tzn. wykona-nie w dacie wygasniecia, albo cechy opcji amerykanskiej- wykonalnosc w dowolnej dacie odzawarcia umowy do daty wygasniecia.

Swapcja typu amerykanskiego daje wieksza elastycznosc w wyborze najlepszego czasu wy-konania niz swapcja europejska co ma odbicie w cenie. Swapcje amerykanskie sa znaczniedrozsze od europejskich.

Wysokosc premii za swapcje jest ustalana miedzy nabywca a sprzedajacym. Swapcja jest in-strumentem OTC, czyli umowa zawierana pomiedzy bankiem specjalizujacym sie w transak-cjach swap a klientem. Zalezy ona od stóp procentowych, ich zmiennosci i czasu do wygasnie-cia. Data wygasniecia swapcji moze wynosic i piec lat od chwili zawarcia umowy ale typoweokresy ustalania stóp procentowych sa miedzy trzy a 12 miesiecy.


http://el.us.edu.pl/ekonofizyka/index.php/RF:Rynek_wymiany_walut#FRA_.28Forward_Rate_Agreement.29

http://el.us.edu.pl/ekonofizyka/index.php/RF:Rynek_wymiany_walut#FRA_.28Forward_Rate_Agreement.29


Przykład:Firma z kraju Euro kupuje swapcje od Banku w dniu 23 pazdziernika roku1, która mozewykonac w dowolnym czasie do 23 pazdziernika nastepnego roku. Firma bowiemspodziewa sie zawarcia transakcji kredytowej gdzies w przyszłosci do roku czasu izamierza wejsc w tym czasie w transakcje swapu płatnosci. Swap dotyczy kapitału wwysokosci 100 milionów USD i terminu 5 lat. Firma zamierza zapewnic sobie płatnosci, powiedzmy, 1% stałego oprocentowania i otrzymywac zmienne w wysokosci USDLIBOR, w szesciomiesiecznych płatnosciach swapowych. Premia za swapcje wynosi ,powiedzmy, 300 000 i jest płatna w EUR.

Przyczyna dla której firma kupiła swapcje to przewidywanie ze firma wejdzie ( lub moze wejsc)w umowe swapu kiedys w ciagu roku. W ramach tej umowy zapewnia sobie płatnosci stało-procentowe na poziomie 1%by otrzymywac USD LIBOR. Taki poziom płatnosci byłby dla niejzadawalajacy. Chce wiec zapewnic sobie takie warunki swapu, którego umowe chce zawrzecw przyszłosci. Obawia sie jednak ,ze oprocentowanie stało procentowe moze wzrosnac zanimumowa swapu sie rozpocznie. Płacac premie za swapcje zabezpiecza sobie juz dzis nizszepłatnosci oprocentowania stałego.

Jesli stopy wzrosna zanim firma bedzie chciała zaczac swap to oprocentowanie stałe tez wzro-snie wtedy firma wykorzysta swapcje i wejdzie w umowe swapu z bankiem płacac 1% stałegoprocentowania a otrzymujac stope LIBOR w dolarach amerykanskich.

Jesli stopy obniza sie to oprocentowanie stałe tez bedzie nizsze i firma nie skorzysta ze swap-cji wchodzac w umowe swapu na warunkach rynkowych płacac nizsza stope stała niz 1 % aotrzymujac LIBOR w USD.

**Dlaczego Bank wystawia swapcje? **

Wystawiajac swapcje bank bierze na siebie ryzyko, ze w czasie od wystawienia swapcji do jejwygasniecia stopy procentowe moga sie zmienic w kierunku niekorzystnym i swapcja zostaniewykorzystana przez jej posiadacza. Gdy to sie zdarzy wystawca swapcji jest zobowiazany dozawarcia kontraktu swapu na warunkach lepszych dla posiadacza swapcji niz aktualne warunkirynkowe.

W zamian za to ryzyko zyskuje premie za wystawienie swapcji. Wystawca opcji spodziewasie zysku z zawartych transakcji to znaczy, ze premia za swapcje przewyzszy straty na opro-centowaniu gdy posiadacz swapcji ja wykorzysta. Najwiecej zyskuje gdy swapcja nie zostajewykonana ( podobnie jak w przypadku opcji).

Jesli swapcja zostaje wykonana, czyli stopy procentowe wykonywane ( wynikajace z umowyswapcji) sa bardziej korzystne dla posiadacza swapcji w stosunku do stóp na rynku swapów,to zysk posiadacza swapcji to nizsze płatnosci oprocentowania albo wyzsze przychody z opro-centowania w swapie. A jego strata jest płacona za swapcje premia.

Nalezy podkreslic, ze ryzykom wystawcy swapcji moze byc duze jesli zmiennosc stóp pro-centowych na rynku jest znaczna, a nominał kapitału wielki. Załózmy ze swap dotyczy 100milionów a posiadacz swapcji zamierza płacic 1% stałego otrzymujac LIBOR w zamian. Gdystopy na rynku swapów beda równe np. 2% skorzysta on z swapcji a jej wystawca bedzie otrzy-mywał mniej niz stopy rynkowe stałe ( a pewnie i mniej niz LIBOR, który bedzie płacił). Jego„ strata” w tym przypadku wyniesie 1% (2%-1%) roczne od kapitału czyli 1 milion rocznie.Jesli stopy beda bardziej zmienne ( i wyniosa np. 3%) to rozmiar tej straty wyniesie 2 mi-

8.8. Swaption - swapcja 79


liony. W przypadku duzej zmiennosci na rynku stóp procentowych premia za swapcje bedzietez wyzsza.

Swapcje stosuje sie by zabezpieczyc swa ekspozycje na ryzyko stóp procentowych, w przy-padku spodziewanego zawierania swapu w przyszłosci. Swapcja gwarantuje najgorszy przypa-dek stóp dla swapu. Dla posiadacza swapcji, który chce płacic stałe oprocentowanie w swapieswapcja gwarantuje maksymalna stope płatnosci. Dla posiadacza swapcji, który chce otrzymy-wac stała stope , swapcja zabezpiecza minimalny poziom otrzymywanego oprocentowania.

Swapcja jest podobna do kontraktów caps i floor i collars w tym sensie, ze sa to tez kontraktyopcyjnie na stope procentowa. Jednak w odróznieniu od tych kontraktów sa czesciej stosowaneze wzgledu na lepsze dopasowanie do rynku swapów.


ROZDZIAŁ 9

Struktura terminowa stóp procentowych

9.1 Podstawowe zaleznosci

Jesli mamy do czynienie z instrumentem dłuznym generujacym okreslona stope zwrotu w okre-slonym czasie . I jesli ponadto inwestujemy kwote inwestycji na koncu kazdego etapu na okresnastepny, w którym stopa procentowa moze byc inna albo taka sama to mamy do czynienia zinwestycja wieloetapowa.

Jesli zdefiniujemy zwrot z inwestycji jako:

𝑅 =𝑆 − 𝑆0

𝑆0

, (9.1)

gdzie: 𝑆 koncowa wartosc naszego portfela a 𝑆0 to jego wartosc poczatkowa.

Jesli w portfelu mamy instrument dłuzny (instrument stałego dochodu) o stopie procentowejw danym okresie 𝑖 równej 𝑟𝑖, to liczac wartosci portfela w kolejnych etapach inwestowaniaotrzymujemy:

𝑆1 = 𝑆0(1 + 𝑟1)

𝑆2 = 𝑆1(1 + 𝑟2) = 𝑆0(1 + 𝑟1)(1 + 𝑟2)

𝑆3 = 𝑆2(1 + 𝑟3) = 𝑆0(1 + 𝑟1)(1 + 𝑟2)(1 + 𝑟3)

. . .

𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1(1 + 𝑟𝑛) = 𝑆0(1 + 𝑟1)(1 + 𝑟2)(1 + 𝑟3) · · · (1 + 𝑟𝑛)

Korzystajac ze wzoru definiujacego (9.1) widac, ze zwrot z takiej wieloetapowej inwestycjiwynosi:

𝑅 =𝑛∏

𝑖=1

(1 + 𝑟𝑖) − 1 (9.2)

Stopa srednia roczna to wielkosc stopy, która stosowana do kazdego roku inwestycji da kon-cowy wynik równy 𝑅. Czyli:

(𝑟𝑠 + 1)𝑛 =𝑛∏

𝑖=1

(1 + 𝑟𝑖) (9.3)

81


Stad wynika wzór:

𝑟𝑠 = 𝑛

⎯⎸⎸⎷ 𝑛∏𝑖=1

(1 + 𝑟𝑖) − 1 (9.4)

Inaczej 𝑟𝑠 nosi nazwe sredniej geometrycznej stopy zwrotu

Przypominam, ze w finansach wystepuje wiele rodzajów “srednich”. Nalezy zawsze pamietacjak sie je liczy i wiedziec, ze nie sa to raczej srednie arytmetyczne. Srednia arytmetyczna wprzypadku wieloetapowej inwestycji w instrument stałego dochodu była by srednia arytme-tyczna gdyby w kazdym etapie inwestowana była ta sama wartosc portfela. Dla takich samychri takich samych i srednia geometryczna stopa zwrotu jest zawsze mniejsza lub równa sredniejarytmetycznej stopie zwrotu.

9.2 Krzywa dochodowosci

Zwiazek miedzy dochodowosciami obligacji a czasem ich zycia okresla krzywa zwana krzywadochodowosci. Konstrukcja krzywej dochodowosci jest tylko łatwa jesli dysponujemy jedno-rodnymi obligacjami o róznych datach zapadalnosci pozwalajacych na konstrukcje tejze krzy-wej. Powinien ten zbiór danych zawierac wszystkie kolejne daty zapadalnosci. Najwiekszyproblem to własnie załozenie jednorodnego zbioru obligacji o róznej zapadalnosci. Obligacjeraczej nie sa jednorodne czyli np. charakteryzowac sie tym samym ryzykiem charakteryzowacsie duza i taka sama płynnoscia. Z tych przykładowo powodów strukture terminowa stóp pro-centowych okresla sie na podstawie krzywej dochodowosci dla wybranych obligacji, przykła-dowo o tym samym oprocentowaniu, czy tez biorac pod uwage stope zwrotu do zapadalnosci.

Stopy spot to stopy oprocentowania pozyczek dzisiaj: rok, 2 lata, 5lat, 10 lat, etc... Krzywarentownosci to pokazane aktualnych stóp spot dla róznych zapadalnosci. Z kształtu krzywejrentownosci inwestorzy optymalizuja swe działania inwestycyjne. Decyduja czy lepiej reinwe-stowac srodki na okresy krótsze czy dłuzsze.

Wyliczanie stop forward ilustrowac moze ponizszy przykład. Przykładowo przyjmijmy hipo-tetycznie istniejace instrumenty dłuzne, które obserwujemy na hipotetycznym rynku. Instru-menty te sa instrumentami emitowanymi przez Skarb Panstwa (hipotetycznego) wiec mozemyprzyjac, ze sa to instrumenty o minimalnym ryzyku na naszym rynku i ryzyku podobnym.Przyjmijmy ponadto, ze instrumenty te maja wartosc nominalna jednakowa - powiedzmy 100000.

Tak wiec bierzemy pod uwage:

1. Jednoroczny bon skarbowy sprzedawany na rynku po 86 956.

2. Skarbowa obligacje dwuletnia wypłacajaca kupon 15.5% i handlowana po 100060

3. Trzyletnia obligacje skarbowa o kuponie 16.2% handlowana po 100680.

Aby okreslic stopy forward postepuje sie nastepujaco. Z danych bonu skarbowego wyliczamy

82 Rozdział 9. Struktura terminowa stóp procentowych


Rysunek 9.1: Krzywa dochodowosci

stope roczna:

86956 =100000

1 + 𝑟1

stad 𝑟1 = 15%.

Z danych obligacji dwuletniej wyliczamy stope roczna za drugi rok - 𝑟2:

100060 =15500

1 + 𝑟1+

115500

(1 + 𝑟1)(1 + 𝑟2)

stad 𝑟2 = 16%.

Z danych obligacji trzyletniej otrzymujemy:

100680 =16200

1 + 𝑟1+

16200

(1 + 𝑟1)(1 + 𝑟2)+

116200

(1 + 𝑟1)(1 + 𝑟2)(1 + 𝑟3)

Stad 𝑟3 = 17%.

Sprawdzmy te obliczenia wykorzystujac Sage:

var(’r1,r2,r3’)s =solve( [86956 == 100000./(1+r1),\

100060 == 15500/(1 + r1)+115500/((1+r1)*(1+r2)),\100680 == 16200/(1+r1)+16200/((1+r1)*(1+r2))+116200/((1+r1)*(1+r2)*(1+r3)) ] ,[r1,r2,r3] )

print map(lambda x:x.rhs().n()*100,s[0])

9.2. Krzywa dochodowosci 83


Przy czym nalezy podkreslic, ze 𝑟2 to stopa roczna dla roku drugiego zycia obligacji, a 𝑟3 toroczna stopa oprocentowania “za dwa lata” na rok trzeci.

W przypadku stóp forward uzytecznym jest nastepujace oznaczenie:

Stopy forward to oprocentowanie dla pozyczki zawartej w przyszłosci - 𝐹 :

• 𝐹 (1, 1) oprocentowanie rocznej pozyczki zawartej w terminie 1 rok od dzis

• 𝐹 (1, 2) oprocentowanie 2 letniej pozyczki zawartej w terminie rok od dzis.

• 𝐹 (2, 1) oprocentowanie jedno rocznej pozyczki zawartej w terminie 2 lat od dzis

Stopa spot to szczególny przypadek - 𝑆(1) = 𝐹 (0, 1)

Zasade te ilustruje rysunek ponizej:

Rysunek 9.2: Zbiór stóp forward i zwiazanych z nimi stóp “spot”.

Przyjmijmy, ze na rynku znajdujemy dwuletni bon skarbowy A o rentownosci rocznej 3.52%a bon roczny B, ma roczna rentownosc równa 3.12%. Aby okreslic stope forward 𝐹 (1, 1),widzimy ze inwestujac w bon A jednostke pieniedzy otrzymujemy:

Bon A: (1 + 0.0352)(1 + 0.0352) = 1.0716

Czyli ok. 7.2% zwrotu. Inwestujac natomiast w bon B na rok jednostke pieniedzy inwestujemyja na 3.15% ale mozemy otrzymany wynik reinwestowac na kolejny rok na stope 𝐹 (1.1). Za-kładajac, ze na rynku nie istnieje mozliwosc arbitrazu, to obie te strategie musza dac ten samefekt inwestycji. Czyli:

(1 + 0.0312)(1 + 𝐹 (1.1)) = (1 + 0.0352)(1 + 0.0352)



Stad:

(1 + 𝐹 (1.1, )) = (1 + 0.0352)(1 + 0.0352)/1.0312 = 1.0392

Czyli 𝐹 (1.1) musi wynosic 3.92 % rocznie.

Mozna postapic równiez odwrotnie. Znajac zestaw stóp forward mozemy wyliczyc stopy spot.Załózmy, ze stopa 𝐹 (0.1) wynosi 2.5% a 𝐹 (1.1)) wynosi 3.2%. Nalezy wyliczyc 𝑆(2). Po-stepujemy tak jak poprzednio i porównujemy do siebie dwie mozliwe strategie inwestycyjne.Inwestujemy jednostke pieniezna albo:

1. Na dwa lata przy stopie 𝑆(2), co daje:

(1 + 𝑆(2))(1 + 𝑆(2)) = (1 + 𝑆(2))2

2. Inwestujemy jednostke pieniezna na pierwszy rok przy stopie 𝐹 (0.1) a nastepnie efektinwestycji reinwestujemy na kolejny rok przy stopie 𝐹 (1.1) czyli:

(1 + 0.02)(1 + 0.032) = 1.05264

około 5.27% a to powinno byc równe inwestycji 1.

Innymi słowy:

(1 + 𝑆(2))22 = (1 + 0.02)(1 + 0.032).

Stad

(1 + 𝑆(2)) =1

2[(1 + 0.02)(1 + 0.032)] = 1.027

czyli 𝑆(2) = 2.7%.

W ostatnim przykładzie wyliczona stopa spot jest srednia geometryczna stóp zwrotu forward.Czego nalezało sie spodziewac, majac na uwadze wzór (9.4).

Wiedzac, ze:

𝑛√𝑎1𝑎2 . . . 𝑎𝑛 ≤ 1

𝑛

𝑛∑𝑖=1

𝑎𝑖

Mozemy uzywac sredniej matematycznej szacowania sredniej geometrycznej.

9.3 Modelowanie ewolucji stóp procentowych

9.3.1 Modele dyskretne (drzewa binarne)

Stopa forward to stopa terminowa czyli “pojawiajaca” sie za pewien czas. Mozna interpretowacja jako ewolucje stopy spot. Gdyby nie istniała niepewnosc na rynku co do scenariusza dalszego

9.3. Modelowanie ewolucji stóp procentowych 85


jego rozwoju to stopa foward byłaby nielosowa i z góry znana. Jednakze istniejaca niepewnoscprzyszłosci zmusza nas do ustawicznego modelowania ewolucji stopy forward jako procesustochastycznego.

Stopy forward pokazuja ewolucje stóp na rynku. Wiec nalezy ta ewolucje sledzic majac nauwadze efektywne zarzadzanie portfelem instrumentów dłuznych. Temu celowi słuzy two-rzenie modelu aby wyjasnic ruch stóp forward. Nastepnie wyliczamy krzywa rentownosciwynikajaca ze stóp forward i porównujemy ja z krzywa stóp aktualnych. Modelowanie polegaprzykładowo na stworzeniu modelu dwumiennego (stopa zmieniac sie moze okresowo poprzezwzrost lub zmalenie) albo modelu trójmiennego, gdy wartosc stopy w kolejnym okresie czasu zokreslonym prawdopodobienstwem zmienia sie w góre lub w dół albo nie zmienia sie w ogóle.

Rozwazajac modele dwumienne, nalezy odróznic dwa zasadnicze typu - drzewa rekombinujacei nierekombinujace. Te pierwsze maja w kazdym kolejnym okresie dokładnie o jedna unikalnawartosc stopy procentowej wiecej. Te drugie maja po kazdym okresie dwa razy wiecej wartoscistopy procentowej, co implikuje wzrost liczby stanów z liczba okresów jak 2𝑛. Rozwazmyprzykład drzewa binarnego rekombinujacego. Niech w chwili 𝑡 = 0 stopa procentowa wynosi4%. Czyli 𝐹 (0, 1) = 𝑆(1). Stopa moze ewoluowac w czasie i przyjmujemy regułe, ze z praw-dopodobienstwem 50% moze wzrosnac o 0.7% do wartosci 4.7% albo spasc o 0.2% do wartosc3.8% z tym samym prawdopodobienstwem 50%. Graficznie przedstawiamy to w nastepujacysposób:

Mamy wiec dwa scenariusze, nazywane tutaj sciezkami:

Sciezka 1, w której stopa wzrasta ze skumulowanym zwrotem 1.04 × 1.047 = 1.089

Sciezka 2, w której stopa maleje ze skumulowanym zwrotem 1.04 × 1.038 = 1.08.

Skumulowany sredni zwrot z dwu lat bedzie srednia arytmetyczna z dwóch powyzszych sce-nariuszy i wynosi:

1

2Sciezka 1 +

1

2Sciezka 2 =

1

21.09 +

1

21.079 = 1.085

czyli 8.5%. Zanualizowany zwrot czyli 𝑆(2) jest równy:

1.0851

2= 1.042

czyli 4.2%.

W kolejnym okresie mamy trzy stany i cztery rózne scenariusze dojscia do nich:

Policzmy rentownosci.



• Sciezka 1 1.04 × 1.047 × 1.054 = 1.148 czyli 14.8%

• Sciezka 2 1.04 × 1.047 × 1.045 = 1.138 czyli 13.8%

• Sciezka 3 1.04 × 1.038 × 1.045 = 1.128 czyli 12.8%

• Sciezka 4 1.04 × 1.038 × 1.036 = 1.118 czyli 11.8%

Skumulowany zwrot po trzech okresach (np. latach) wynosi:

1

2⟨1.148 + 1.138 + 1.128 + 0.25𝑥1.118⟩ = 1.133

Zanualizowany zwrot po trzech okresach 𝑆(3) wynosi:

3√

1.128 − 1 = 𝑆(3) czyli około 4.25%

W podobny sposób dla dowolnych sciezek mozemy obliczac odpowiednie stopy. Jednak zewzgledu na wykładniczy wzrost liczby sciezek z liczba okresów warto zastosowac komputerdo obliczenia sredniej po sciezkach. Spróbujmy wiec zaimplementowac powyzszy algorytmkorzystajac z systemu Sage.

Po pierwsze zdefiniujmy sobie procedure, która bedzie generowała rekombinujace drzewo bi-narne. Nazwijmy ta funkcje gen_recombining(), jej szczegółowy opis znajduje sie wbinarne.

Drzewo w którym wszystkie wartosci rekombinuja posiada 𝑛 + 1 wartosci w 𝑛 - tym okresie.Mamy dwie proste reguły prowadzace do tego typu drzew. Jedna jest odejmowanie i dodawaniatych samych wartosci, co ma to jednak te wade, ze mozemy wygenerowac ujemna stope pro-centowa. Druga mozliwoscia jest mnozenie wartosci stopy procentowej w przypadku wzrostuprzez pewna liczbe wieksza od jednego, a w przypadku zmalenia przez jej odwrotnosc. Łatwosie przekonac, ze takie działanie zawsze prowadzi do drzewa rekombinujacego.

Poeksperymentuj samWykonaj ponizszy kod i porównaj wynik z poprzednim!

def gen_recombining(niter,SP = 4.0,q=0.175,delta1=None,delta2=None):SP = [[SP]]

for i in range(niter):tmp = []for s in SP[-1]:








print "Na przyklad gen_recombining(3) daje:"html.table(gen_recombining(3))

Najlepiej przyjrzec sie na przykładzie jak ta procedura te generuje te dane startujac od danejstopy procentowej np. wywołanie:

Do wizualizacji danych mozemy wykorzystac równiez system Sage i przykładowa procedurarysujaca drzewa w obu formatach ma nastepujaca postac:




plt+=point2d( (l,p),size=244,\color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0,faceted=True )plt+= text("%0.1f"%p,(l,p),color=’black’,\figsize=(5,3))


plt+=arrow2d( (l,SP[l][i]),(l+1,SP[l+1][i]),\arrowshorten=16)

plt+=arrow2d( (l,SP[l][i]),(l+1,SP[l+1][i+1]),\arrowshorten=16)



plt+=arrow2d( (l-1,SP[l-1][int(i/2)]),(l,p),\arrowshorten=16)

plt+=point2d( (l,p),size=244,color=’gray’,\alpha=0.2,zorder=0,faceted=True )

plt+= text("%0.1f"%p,(l,p),color=’black’,\figsize=(5,3))

plt.axes_labels(["rok","stopa procentowa [%]"])plt.axes_range(xmin=-.2, xmax = len(SP)-1+0.2,\ymin=0,ymax=SP[-1][0]+1)

return plt

Teraz mozemy narysowac drzewo do np. czwartej generacji i tak wywołanie:

print gen_recombining(SP=4,3)



powinno dac:

[4.0] [4.7, 3.4] [5.5, 4.0, 2.9] [6.5, 4.7, 3.4, 2.5]

Poeksperymentuj samWykonaj ponizszy kod dla róznych parametrów,niter,SP,q=0.175,delta1,delta2!

plot_tree(gen_recombining(3))

Obliczanie wartosci srednich w modelu dwumiennym wiaze sie z sumowaniem po wszystkichsciezkach. Poniewaz rozwazania dla stóp procentowych maja sens dla kilku - maksymalniekilkunastu lat to mozna sobie pozwolic na dokładne wykonanie takich obliczen. Liczba skład-ników sum bedzie np. 65536 dla 𝑛 = 16.

Majac drzewo binarne, mozemy policzyc srednia zanulizowana stope procentowa. Algorytm,mozna zapisac w trzech liniach:

SP = gen_recombining(N,delta1=0.7,delta2=0.2)all_paths = map(lambda x:[0]+np.cumsum(x).tolist(), CartesianProduct(*( N*[[0,1]]) ).list() )mean( [prod([(1+0.01*SP[i][p]) for i,p in enumerate(path_)]) for path_ in all_paths] )



Opis programuChcemy policzyc srednia z iloczynów

∏𝑛𝑖=1(1 + 𝑟𝑖) po wszystkich sciezkach. Poste-

pujemy w nastepujacy sposób:• linia 1: - generujemy drzewo (rekombinujace) wszystkich wartosci stóp: SP =gen_recombining(N,...

• linia 2: - wyliczamy wszystkie sciezki w formacie np. [0,1,2,1,...], gdzie kolejneliczby oznaczaja pozycje danej stopy w odpowiednim okresie. W przykładzie, wtrzecim okresie mamy stope numer “2” na liscie stóp. Obliczenia te wyokrzystujailoczyn kartezjanski, który w Sage mamy w postaci funkcji np. dla dwóch list:CartesianProduct([0,1],[0,1])

– zauwazmy, ze pierwsza gwiazdka “rozpakowywuje argumenty” zN*[[0,1]].

– uzycie np.cumsum umozliwia z zapisu wzglednych ruchów stopy w okre-sach [0,1,0,0,1] do jej bezwglednych indeksów wartosci [0, 1,1, 1, 2].

• linia 3: - majac juz zapis kazdej sciezki w powyzszym formacie, wykonujemyodpowiedni iloczyn oraz usredniamy wynik po sciezkach

Mozemy sprawdzic czy powyzszy program obliczy poprawnie testujac do na przeliczonym wuprzendnio przykładzie:

import numpy as npN = 2try:

SP = gen_recombining(N,delta1=0.7,delta2=0.2)all_paths = map(lambda x:[0]+np.cumsum(x).tolist(), CartesianProduct(*( N*[[0,1]]) ).list() )R = mean( [prod([(1+0.01*SP[i][p]) for i,p in enumerate(path_)]) for path_ in all_paths] )print "Srednia zannualizowana stopa wynosi:", (R^(1/(N+1)) - 1)*100

except:print "załaduj definicje get_recombining"

Wykonujac powyzsza komórke powinnismy otrzymac wynik taki sam jak w rachunkach napiechote. Po co nam wiec algoryym? Rachunków na piechote nie da sie przeprowadzac dla zbytduzej ilosci okresów, bo liczba sciezek rosnie wykładniczo jak 2𝑁 ! A w nastepnym rozdzialebedziemy potrzebowali wyników dla 𝑁 > 10.

9.4 Krzywa dochodowosci

Majac napisany algorytm do oblicznania srednie zanualizowanej stopy, mozemy policzyckrzywa dochodowosci w modelu dwumiennym. W tym celu liczymy, zakładajac ewolucjestopy zgodnie z regułami- multyplikatywna lub addytywna, stope 𝑟𝑠 dla róznych ilosci okre-sów i nanosimy otrzymane wartosci na wykresie 𝑟𝑠(𝑁). Mamy:

Implementacja algorytmu w zasadzie polega na umieszczeniu kodu liczacego zanulizowanasrednia stope po 𝑁 okresach wewnatrz funkcji w której parametrem bedzie własnie liczbaokresów.



Rysunek 9.3: Krzywa rentownosci dla ewolucji stopy procentowej modelowanej procesembinarnym

Poeksperymentuj samW funkcji forward_rate(N = 2,**kpars) oznaczenie **kpars umozliwiaprzekazanie dowolnej ilosci argumentów, które beda potem przekazane dalej dogen_recombining(N,**kpars). Mozna na przykład zastosowac wywołanie zdrzewem addytywnym. Jak wtedy bedzie wygladała ta krzywa?

def forward_rate(N = 2,**kpars):

SP = gen_recombining(N,**kpars)all_paths = map(lambda x:[0]+np.cumsum(x).tolist(),CartesianProduct(*( N*[[0,1]]) ).list() )

r_avg = mean( [prod([(1+0.01*SP[i][p]) for i,p in enumerate(path_)]) for path_ in all_paths] )rs =((r_avg)^(1/(N+1))-1)*100return rs

point( [(i,forward_rate(i,q=0.1)) for i in range(12)],figsize=5)+\point( [(i,forward_rate(i,q=0.2)) for i in range(12)],color=’red’)

9.4.1 Modele ciagłe

Ewolucje stopy procentowej mozna tez modelowac procesem losowym z czasem ciagłym. Mo-dele takie dziela sie na:

• jednofaktorowe: takie w których mamy jedno równanie stochastyczne

• wielofaktorowe: mamy dwa lub wiecej równan stochastycznych

Jednym z podstawowych modeli jednofaktorowych jest tzw. model Vasicek’a, w którym chwi-lowa stopa zwrotu dana jest równaniem:

𝑑𝑟

𝑑𝑡= 𝜆 (𝜇− 𝑟(𝑡)) + 𝜎𝜉(𝑡), (9.5)

9.4. Krzywa dochodowosci 91


gdzie:

• 𝑟(𝑡) - chwilowa stopa zwrotu

• 𝜆 - predkosc relaksacji

• 𝜇 - wartosc asyptotyczna procesu

• 𝜉(𝑡) - biały szum Gaussowski z funkcja korelacji: ⟨𝑥(𝑡)𝑥(𝑡 + 𝜏)⟩ = 𝛿(𝜏)

Informacja: Proces ten jest tez zwany procesem Ornsteina-Uhlenbecka.

Mozemy sobie łatwo skonstruowac algorytm, który bedzie symulował to równanie stocha-styczne. Poniewaz potrzebujemy wiele realizacji procesu losowego, najlepiej bedzie symu-lowac jednoczesnie 𝑀 tajektorii.

Ponizszy kod wykonuje 𝑁 kroków symulacji:

import numpy as np

N=10000;M=10000;T=100.;h=T/N;time=np.linspace(0.,1.,N)

S0=8sigma=0.2k = 0.1theta = 6.0x=np.zeros((M,N))x[:,0]=S0*np.ones(M)for i in range(1,N):

x[:,i]=x[:,i-1] + k*(theta-x[:,i-1])*h + sigma*np.sqrt(h)*np.random.randn(M)

line( zip(time,x[13,:]) ) + point(zip(time[::100],x[13,::100]),color=’red’)(np.prod(1+np.average(x[:,::100],axis=0)*0.01)**(0.1)-1)*100

rav = np.average(x[:,::100],axis=0)*0.01

point([(n,100*(np.prod(1+rav[:n])**(1.0/n)-1)) for n in range(1,100+1)])

Opis programuWykorzystujemy stochastyczny algorytm Eulera w którym całka z białego szumu jestrówna: ∫ ℎ

0

𝜉(𝑡)𝑑𝑡 =√

(ℎ)𝑁(0, 1),

gdzie 𝑁(0, 1) jest zmienna losowa o rozkładzie Gaussowskim ze srednia zero i warian-cja 1.Inicjalizujemy macierz w której bedziemy przechowywac wszystkie 𝑁 kroków dla 𝑀trajektorii.


ROZDZIAŁ 10

Hedging

10.1 Hedging: cel operacji zabezpieczenia przed ryzy-kiem

Kazda działalnosc człowieka posiada bardziej widoczny czy tez bardziej ukryty element fi-nansowy. Z finansami wiaze sie istnienie ryzyka finansowego czyli takiej sytuacji, w którejwynik finansowy zaczyna odbiegac od planowanego z powodów zmian sytuacji na rynkach fi-nansowych. Kazdy, kto starannie prowadzi działalnosc gospodarcza chce by ta rozbieznosc nieniszczyła szans lepszej i planowanej przyszłosci i stara sie zapobiegac negatywnym skutkomtych zmian. Ruchy cen na rynkach finansowych wpływaja zarówno na aktywa jaki pasywabilansu firm.

Zabezpieczanie sie przed negatywnymi zmianami na rynkach finansowych dotyczacych zmien-nosci cen i kursów nosi nazwe hedging’u.

PrzykładFirma kupiła w roku 2005 akcje firmy holenderskiej po 200EUR płacac 3.25 PLNza EUR, sprzedała je w roku 2013 po 250 EUR, gdy kurs wymiany wynosił 4.20PLN/EUR. Zwrot z inwestycji wyniósł 40% liczac w Euro lub ok. 62% liczac w PLN.Jaki jest „prawdziwy„ zwrot z inwestycji??? Czy w ogóle cos takiego jak „prawdziwy”w ogóle istnieje? Jak czesto nalezy okreslac rentownosc?? Codziennie???

Ten przykład ilustruje problemy z ryzykiem firmy w aspekcie ksiegowym.

Cena posiadanego aktywa wzrosła, co zapewnie cieszy własciciela, ale gdyby zmalała, to dałby sie odczuc aspekt strat w transakcjach biezacych.

Inny aspektem jest aspekt ryzyka zmian w dłuzszym terminie. Posiadacz długiej pozycji winstrumentach rynku kapitałowego bedzie sie obawiał o to, ze ich cena moze spasc w pew-nym okresie czasu. Przykładowa posiadana w portfelu akcja firmy holenderskiej kupiona po200EUR, ostatnio była wyceniona na 230 EUR, czy akurat cena jej wzrosła. A co by byłogdyby zmalala?

Nic dziwnego, ze bedzie sie starał o zabezpieczenie sie przed taka ewentualnoscia.

W zaleznosci od potrzeb, umiejetnosci i wielkosci prowadzonych operacji zabezpieczajacy

93


uzywaja róznych sposobów zabezpieczania sie przed ryzykiem. Stosuja rózne instrumenty istrategie. Nie istnieje bowiem jeden optymalny, „jedynie własciwy” sposób zabezpieczenia.Zarówno metoda zabezpieczenia, zestaw stosowanych technik i instrumentów zalezy od sy-tuacji i celu zabezpieczajacego. Najwazniejszym jest bowiem rozumienie jaki cel chce sieosiagnac i jak funkcjonuje rynek i jakie instrumenty moga byc pomocne biorac pod uwage,ich mocne ich strony jak i ich niedostatki. Nalezy pamietac, ze zabezpieczanie sie przed ryzy-kiem rynkowym kosztuje, ale koszt ten jesli jest nizszy od mozliwych strat jest czesto wartympodniesienia.

Nie podjecie decyzji o zabezpieczeniu sie przed ryzykiem jest naturalnie podjeciem decyzji ojego absorpcji. Z wszystkimi konsekwencjami tej decyzji. Czasami takie działania wynikajanie z braku swiadomosci ryzyka czy braku umiejetnosci hedgingu. Czesto taka metoda sto-sowana jest przez firmy majace mozliwosc przełozenia ryzyka na kontrahentów. Przykłademtakiej strategii sa działania firm dostarczajace paliwa na rynek. Jako klienci tych firm, kupujacna stacjach benzynowych paliwo odczuwamy na sobie wszelkie zmiany cen ropy jak i zmianycen waluty.

Tak, niejako, przy okazji, poznajemy na sobie najprostsza z metod postepowania z ryzykiemczyli przesuwania jego efektów na innych.

Jak wiec wynika z powyzszego opisu celem hedgingu jest przesuniecie ryzyka jednego pod-miotu gospodarczego na inny. Instytucja (osoba) która pozbywa sie ryzyka nazywana jestzabezpieczajacym (hedger). Nie wszystkie instytucje „uciekaja” od ryzyka. Na rynku istniejewiele instytucji i osób specjalizujacych sie w braniu ryzyka na siebie w zamian za oczekiwanekorzysci tej usługi. To ta grupa uczestników rynku daje mu płynnosc i sprawne funkcjonowa-nie.

Rózne aspekty ryzyka, jego skutki oraz podejmowane działania wynikaja z celu jaki sobiestawiamy w stosunku do ryzyka.

Zabezpieczajacy zabezpiecza sie przed niekorzystnym z jego punktu widzenia ruchem cen ak-tywa, które jest mu potrzebne do funkcjonowania na rynku oraz/ lub wzrostem zmiennosciceny, co prowadzi do wzrostu ryzyka zajetej pozycji.

Innymi słowy uczestnik rynku zajmujacy pozycje długa (Long) bedzie obawiał sie spadku cenaktywa (zmiana wartosci pozycji w Aktywach) i bedzie starał sie przed nim zabezpieczyc. Ina-czej posiadacz pozycji krótkiej (Short), ten bedzie sie obawiał wzrostu ceny (wzrost wartoscizobowiazan w Pasywach) i bedzie sie chciał zabezpieczyc przed takim scenariuszem.

W celu zabezpieczenia nalezy znalezc taki instrument zabezpieczajacy, który pozwoli “zdjac”całe (lub prawie całe) ryzyko z zabezpieczajacego. Tzn. znalezc taki instrument, którego ruchceny odzwierciedla, jak najlepiej, ruch cen zabezpieczanego aktywa.

Zabezpieczenie idealne to takie zabezpieczenie, w którym ruch cen instrumentu zabezpiecza-jacego jest dokładnie negatywnie skorelowany z ruchem cen aktywa zabezpieczanego.

Niestety, bardzo czesto nie jest mozliwe stworzenie idealnego zabezpieczenia, gdyz dokładnieskorelowany instrument zabezpieczajacy jest niedostepny, albo inaczej nie istnieje na rynku.W takim przypadku stosuje sie tylko czesciowe (niepełne) zabezpieczenie. Takie rozwiazaniejest czesto lepsze niz poniechanie procesu zabezpieczania.

94 Rozdział 10. Hedging


10.2 Ryzyko walutowe i ryzyko zmiany ceny

Firmy prowadzac swa działalnosc poddane sa efektom ryzyk ich działalnosci. Oba wymienionew tytule ryzyka dotycza firm, których działalnosc opiera sie na korzystaniu z miedzynarodo-wych rynków finansowych.

Krótkie spojrzenie na takie firmy uwidacznia dwie sytuacje. Firma sprzedajac swe produktychce, by cena za jej produkty nie zmalała. Firma, która kupuje za granica, np. surowiec chceby jego cena nie wzrosła. Takie zachowanie bowiem gwarantuje firmom uzyskanie załozonegowyniku finansowego oraz generowanie zysku, co jest główna przyczyna ich funkcjonowania.

Jesli ich działalnosc dotyczy korzystania z rynków zagranicznych to szczególnie w przypadkupolskich firm narazone sa na ryzyko walutowe. Złoty w odróznieniu od euro nie jest walutauzywana przez inne niz Polska kraje. Najczesciej aktywa na rynkach swiatowych wycenianesa w USD.

Nawet jesli ceny aktywów pozostaja niezmienne, na wyniki finansowe firm ma jeszcze wpływkurs waluty. Firmy w swym dazeniu do maksymalizacji zysków maja przeciwstawne oczeki-wania co do zmian kursu waluty. Firmy sprzedajace produkt za granice sa zainteresowane wtym, aby za kazda jednostke waluty obcej wpływów dostac jak najwiecej jednostek waluty pol-skiej, czyli chca aby waluta polska była słaba. Firmy natomiast kupujace za granica chca płacicza kazda jednostke waluty obcej jak najmniejsza ilosc polskich złotych, czyli sa zainteresowanew tym by polska waluta była jak najsilniejsza.

Te rózne oczekiwania spowodowane sa tym, ze ich wpływy (aktywa) sa denominowane w innejwalucie niz koszty (wypływy, pasywa). Ryzyko jakie wystepuje w tej sytuacji to ryzyko kur-sowe. O istnieniu ryzyka kursowego bolesnie sie przekonali Ci, którzy brali kredyty hipotecznewe CHF a spłacali je w PLN. W momencie silnej aprecjacji CHF ich raty kredytów bolesniewzrosły.

Jak wspomniane firmy moga w takiej sytuacji zabezpieczac sie przed ryzykiem?

Najprostsza metoda eliminacji takiego ryzyka to doprowadzenie do takiej sytuacji by wpływybyły w tej samej walucie co wydatki i to najlepiej w tym samej wielkosci. Jest to bardzonaturalna metoda zabezpieczenia i niezwykle skuteczna.

Innym sposobem zabezpieczenia sie przed ryzykiem kursowym jest zabezpieczenie dostaw wa-luty po niezmiennym kursie. Ale takie zabezpieczenie wymaga juz uzywania innych, bardziejzłozonych technik i instrumentów finansowych. Przykładem takiego rozwiazania sa kontraktyforward omówione w czesci „Wstep do Funkcjonowania Rynków finansowych”. Wada takichkontraktów jest to, ze jako kontrakty OTC, sa mało płynne i kazde nawet małe opóznienie czasuwpływów powoduje duze problemy płynnosciowe kupujacego taki kontrakt.

Analizujac sytuacje omawianych firm obserwuje sie, ze oprócz wspomnianego ryzyka kurso-wego (PLN nie jest waluta swiatowa jak USD czy EUR) wystepuje w ich przypadku ryzyko ichrynku, czyli wahan cen surowców. Surowce te na globalnym rynku wyceniane sa zazwyczaj wktórejs z głównych walut swiatowych.

Eksporter czyli producent surowca chcac rozsadnie zarzadzac finansami firmy musi kalkulowaccene surowca, który zamierza sprzedawac w przyszłosci tak by móc zapewnic działanie swejfirmy. Obawia sie, aby ceny produkowanego przez niego surowca, np. miedzi, złota, srebraalbo przykładowo produktów rolnych nie spadły ponizej pewnego znanego mu poziomu. Jego

10.2. Ryzyko walutowe i ryzyko zmiany ceny 95


naturalna pozycja rynkowa jest LONG i jest zainteresowany by cena dostawy była odpowiedniowysoka. Chetnie bedzie negocjował kontrakty długoterminowe na dostawy swej produkcji pocenach, które dzisiaj moze zaakceptowac i ustalic na przyszłosc tak by stabilizowac produkcjeswej firmy w przyszłosci.

Importer surowca, firma kupujaca surowiec by przykładowo zrobic z niego inny produkt, jestzainteresowana by kupowac go najtaniej i ustalic tanie ceny na przyszłosc. Przykładem mozebyc producent kabli elektrycznych, który uzywa miedzi jako surowca do produkcji. Importerma naturalna pozycje SHORT i interesuja go najnizsze mozliwe ceny dostaw. Jak widac ichpozycje negocjacyjne sa przeciwstawne.

Jesli cena rynkowa surowca jest akceptowalna, to obie strony sa interesowne w zawarciu kon-traktów na przyszłosc po ustalonej cenie, czyli kontraktów forward. Taki kontrakt pozwala naracjonalne zarzadzanie finansowe i stabilizuje sytuacje firmy. Kontrakty forward lub futures sastosowane czesto w takich przypadkach bo ustalaja przyszła cene.

Niestety cena na rynkach zmienia sie i kazda ze stron moze po upływie pewnego czasu, nie byczadowolona z wynegocjowanej ceny dostaw. Cena rynkowa bowiem moze byc duzo wyzsza(strata producenta) lub duzo nizsza (strata importera). Cena nawet w kontraktach na długieterminy dostaw nie jest raczej stała w zbyt długim okresie czasu. Rynek dyktuje jej zmiennosc.

W takich przypadkach strony długoterminowych umów zgadzaja sie na stosowanie cen sred-nich z ustalonych okresów czasu. Najczesciej jednak decyduja sie na stosowanie cen rynko-wych i stosowanie metod zabezpieczenia swych interesów zabezpieczajac sie przed wahaniamicen rynkowych.

10.3 Zabezpieczenie przy pomocy kontraktów Futures

Short hedge, Long hedge.

U podstaw korzystania z rynku terminowego futures leza nastepujace fakty:

1. Poniewaz ceny na rynku futures i rynku spot dotycza tego samego aktywa (surowca) wdniu dostawy ceny te powinny byc równe. Gdyby nawet pojawiła sie mozliwosc arbi-trazu miedzy rynkami to czujni uczestnicy rynku z niej skorzystaja i ceny szybko siewyrównaja.

2. Jesli zajmiemy na rynku terminowa pozycje odwrotna do pozycji na rynku natychmia-stowym, to jesli ceny beda wzrastac to zysk na jednej pozycji bedzie równy stracie nadrugiej tak jak pokazuje to rysunek

Innymi słowy w wyniku takiego zabiegu sumaryczny wynik ewentualnych zysków czy stratbedzie równy zero czyli wynik finansowy nie ulega zmianie bez wzgledu na wahania ceny.

Przykład pokazany na rysunku pokazuje sytuacje zabezpieczenia sie przed zmiana spadkiemceny na posiadane aktywo (surowiec). Obawiajac sie spadku ceny w przyszłosci (strata) pro-ducent sprzedaje kontrakt terminowy (futures) na ta sama ilosc surowca (i dla uproszczeniaprzyjmijmy z taka sama data dostawy jak kontrakt dostawy fizycznej).

W tej sytuacji mozliwa strata z powodu mozliwego spadku ceny jest wyrównywana przez zyskna transakcji terminowej.



Rysunek 10.1: Zasada hedgingu przy pomocy kontraktów Futures. Cena kupna kontraktu najednym rynku zachowuje sie odwrotnie do ceny sprzedazy na drugin rynku.

Rysunek 10.2: Zabezpieczenie sie przed zmiana ceny przy pomocy kontraktu futures.

10.3. Zabezpieczenie przy pomocy kontraktów Futures 97


Taka transakcja zabezpieczajaca nazywa sie Short Hedge, gdzie short opisuje akcje sprzedazy(przyjecia pozycji short) aktywa (surowca, akcji, itd.) jako instrumenty pochodnego (futures)co zabezpiecza przed stratami spadku ceny instrumentu posiadanego. Zastosowanie własciwetakiej strategii pozwala na to by zyski z instrumentu pochodnego równowazyły straty z pozycjidługiej (iodwrotnie).

Short hedge jest czesto stosowana strategia zabezpieczania przez producentów (surowce, pro-dukty spozywcze, etc.), którzy chetnie poniosa pewne koszty “zamrazajac” ceny w przyszłosci.

Dla zobrazowania powyzszego postepowania mozna sobie wyobrazic producenta surowcaprzykładowo; producent miedzi ( podobnie postepowac bedzie gospodarstwo rolne, itd.), którymusi w przyszłosci dostarczyc wytwór swej pracy po cenie rynkowej i obawia by cena ta niebyła nizsza niz koszty wytwarzania produktu.

PrzykładCena miedzi utrzymuje sie na rynku kasowym wynosi 3.21 USD za funt (ok. 0.5kg)a wielkosc kontraktu wynosi 25 000 funtów (notowania COMEX). Producent wie, zepowinien dostarczyc za dwa miesiace 25 000 funtów miedzi na rynek. Dla uprosz-czenia wielkosc dostawy to wielkosc 1 kontraktu giełdowego na dostawe miedzi wprzyszłosci. Obawia sie by cena rynkowa w chwili dostawy nie była nizsza niz jegokoszty wytwarzania, które wynosza (powiedzmy) 2.89 USD za funt, czyli 72 250 zakontrakt. Dzisiejsza cena miedzi na rynku terminowym futures wynosi 3.18 USD zafunt na miedz w terminie dostawy za dwa miesiace. Chcac sie zabezpieczyc producentsprzedaje kontakt futures na dostawe za dwa miesiace za cene 3.18 USD za funt czyli79 500 USD za kontrakt.Za dwa miesiace cena miedzi na rynku kasowym (i na dostawe w tym samym czasiena rynku futures) wynosi 2.8 USD za funt czyli 70 000 USD za kontrakt. Czyli zyskjaki odnotował ze sprzedazy futures wyniósł 79 500 - 70 000 = 9 500 USD Sprzedajacmiedz na rynku kasowym odnotował wynik:

• wpływ ze sprzedaz: 70 000 USD• koszty wytworzenia: 72 250 USD,

czyli stracił 70 000 - 72 250 = - 2 250 USD. Uwzgledniajac zyski z rynku futurescałkowity jego bilans jest dodatni:

• 9 500 - 2 250 = 7 250 USDInnymi słowy mimo, ze rynek zmusił producenta do sprzedazy ponizej kosztów wytwo-rzenia jego wynik finansowy jest dodatni, czyli odnotowuje zysk mimo spadku ceny.Zabezpieczenie zadziałało.

Podobna strategie zastosuje firma, która pozyczyła 10 milionów w banku na 1% powyzej trzy-miesiecznej stopy depozytowej z prawem rolowania co kwartał. W dacie nastepnego rolowaniastopa procentowa moze byc wyzsza, wiec firma decyduje sie zabezpieczyc poprzez sprzedaztrzy miesiecznych kontraktów futures na stope procentowa o wartosci nominalnej odpowiada-jacej pozyczce bankowej. Niech trzymiesieczna stopa depozytowa (referencyjna) wynosi 12%rocznie.

Sytuacja na poczatku transakcji:



Rynek natychmiastowy (kasowy) Rynek futuresMajPozyczyła po 13% + (12% +1%) Sprzedała kontrakty marcowe na

trzymiesieczna stope po cenie, załózmy,87,75 (100-12,25%)

CzerwiecFirma roluje, czyli pozycza znów 10milionów na trzy kolejne miesiace po 14%(13%+1%)

Skupuje z rynku kontrakty je zgodnie z86,75 (tj. 100-13,25%)

Czyli płaci dodatkowe odsetki z jedenkwartał (0.14-0.13)/4 z 10mln = 25 tys

Zysk na transakcji 10mln z 3/12= 25000

Czyli doskonałe zabezpieczenie bo zysk z rynku futures pozwala na utrzymaniu kosztu kredytuna poziomie niezmiennym 13% rocznie mimo zmiany stopy oprocentowania.

W przypadku importera, czyli uczestnika rynku, który naturalnie potrzebuje kupowac aktywa(surowce) na rynku wykorzystanie rynku instrumentów pochodnych do zabezpieczania jestpodobne chociaz pozycje zajmowane sa odwrotne w stosunku do sytuacji powyzej.

Long Hedge jest to strategia stosowana by zachowac w przyszłosci dzisiejsza cene dostawy.Czyli firma wie, ze w przyszłosci musi kupic aktywo (surowiec) i chce „zamrozic” jego cenezakupu.

Inwestor zajmuje pozycje długa na rynku terminowym w celu zabezpieczenia sie przed zmien-noscia przyszłej ceny.

Long hedge jest stosowany równiez by zabezpieczyc krótka pozycje zajeta na rynku przezinwestora.

Jako przykład niech posłuzy ta sama, co w poprzednim przykładzie, firma. Tym razem, ocze-kuje za dwa miesiace wpływu 2 milionów. Pieniadze te zamierza firma ta ulokowac na de-pozycie krótkoterminowym. Firma (a własciwie jej zarzad) obawia sie, ze stopy depozytowespadna zanim pieniadze wpłyna do firmy i zamierza sie przed skutkiem takiej zmiany zabezpie-czyc, kupujac znane z poprzedniego przykładu kontrakty terminowe na stope trzymiesieczna.Oczywiscie, ich liczba wynika z wartosci kwoty zabezpieczanej. Jest to strategia Long hedge.

Czyli

Czas rynek natychmia-stowy(kasowy)

Rynek terminowy (futures)

luty stopa depozytowa 11% zakup majowych kon-traktów terminowych natrzymiesieczna stope za88.5%=100%-11,5%

majstopa depo-zytowa tylko9.5%,

inwestuje 2mln na 9.5%,

sprzedaje kontrakty po90.5%=100%-9.5%

zysk/strata strata w odsetkach 10tys zysk = 10tys.

Czyli mimo spadku stopy depozytowej zysk z transakcji na instrumentach pochodnych pozwo-lił na utrzymanie wyniku finansowego na niezmienionym a korzystnym dla firmy poziomie.



Czyli jawi sie jasna zasada:

Zasada IJesli mamy pozycje krótka na rynku natychmiastowym (kasowym). Innymi słowy,oczekujemy wpływu płatnosci i obawiamy sie wzrostu cen lub spadku stóp procento-wych, to kupujemy futures (stosujemy long hedge).

Zasada IIJesli mamy pozycje długa na rynku natychmiastowym (kasowym). Innymi słowytrzymamy gotówke lub aktywo i martwimy sie, ze ceny spadna albo stopy wzrosna tosprzedajemy futures. Czyli stosujemy short hedge.

Dotad zakładalismy, ze zabezpieczona jest cała kwota wynikajaca ze strategii i ze dzien do-stawy na rynku terminowym przypada w dniu transakcji na rynku kasowym. Teraz powoliuwolnimy sie od uproszczen. Popatrzmy formalnie na stosowane strategie.

W strategii short hedge mamy nastepujaca formalna sytuacje. Niech 𝐹1 oznacza cene poczat-kowa kontraktu futures, a 𝐹2 cene koncowa futures, 𝑆2 koncowa cene aktywa kasowego. Towejsciu w strategie short hedge cena realizacji strategii bedzie równa:

𝑃𝑟 = 𝑆2 + (𝐹1 − 𝐹2) = 𝐹1 + basis

W przypadku wejscia w pozycje długa, celem zabezpieczenia (long hedge) koszt aktywa wy-nosi:

𝑃𝑎 = 𝑆2 − (𝐹2 − 𝐹1) = 𝐹1 + basis

Ten rodzaj strategii zawiera w sobie pewne ryzyko niedopasowania rynku terminowego dorynku kasowego. Róznica miedzy cena kasowa a rynku terminowego to tzw. baza albo basis.O tym było mówione przy omawianiu rynku i kontraktów terminowych (patrz: Opcje). Wartopamietac o bazie jak i o cost of carry.

Ryzyko bazy, a własciwie jego skutki czasem powoduje bardzo duze zaskoczenie tak, jak tomiało miejsce w transakcjach Metallgeselschaft AG. Firma ta doswiadczyła bolesnie istnieniaryzyka bazy w handlu nie metalami (jak by to mogło kojarzyc sie z nazwa), ale ropa naftowa,przy rolowaniu zabezpieczenia.

Powstaje pytanie ile kontraktów futures jest potrzebne do zabezpieczenia pozycji kasowej?

W celu odpowiedzi konstruujemy portfel z długiej pozycji kasowej i krótkiej pozycji ℎ jedno-stek odpowiednich kontraktów futures. Wartosc 𝑊 portfela to:

𝑊 = 𝑃𝑘 − ℎ𝑃𝑓 ,

gdzie:

• 𝑃𝑘 - wartosc pozycji kasowej,

• 𝑃𝑓 wartosc kontraktu futures,

• ℎ - współczynnik zabezpieczenia.



Optymalna wartosc ℎ to taka wartosc, gdy zabezpieczenie bedzie idealne, czyli zmiana wartosciportfela nie ulegnie zmianie niezaleznie czy wartosc kasowego aktywa wzrosnie czy zmaleje.

Czyli:

∆𝑊 = ∆𝑃𝑘 − ℎ∆𝑃𝑓 = 0

Stad:

ℎ =∆𝑃𝑘

∆𝑃𝑓

Czyli ilosc kontraktów futures 𝐼𝑓 potrzebna do zabezpieczenia pozycji na rynku kasowym jestrówna:

𝐼𝑓 =Wart. nom. pozycji kasowej

Wart. nom. kontraktu futures× ℎ.

W przypadku dyskutowanych przykładów powyzej ceny aktywa na rynku futures były takiesame jak zmiany ceny aktywa na rynku kasowym. Niestety nie zawsze tak jest w praktyce i coza tym idzie, idealne zabezpieczenie nie zawsze jest mozliwe.

A to dlatego, ze:

1. Zabezpieczane aktywo moze nie byc dokładnie takie samo jak aktywo bedace podstawakontraktu futures. Przykładowo dla rynku surowców moze róznic sie co do wagi, jakosci,ilosci jak i samego surowca (szukanie aktywa o podobnym zachowaniu) .

2. Zabezpieczajac mozemy nie znac dokładnego terminu zakupu lub sprzedazy aktywa.

3. Kontrakt futures moze wymagac zamkniecia go przed jego miesiacem dostawy

Wtedy jestesmy zmuszeni zadowolic sie czesciowym zabezpieczeniem. Nie zawsze istniejekontrakt pochodny oparty na tym samym aktywie i musimy dopasowac instrument zblizonydo kasowego, którego zmiany nie dokładnie koreluja ze zmianami instrumentu podstawowego.Takie zabezpieczenie nazywane jest cross hegde w odróznieniu od direct hedge, czyli sytuacjiz poprzednich przykładów gdy korelacje zmian były pełne.

10.3.1 Cross hedging

Ponownie rozwazmy definicje bazy - basis. Baza (basis) to róznica miedzy cena kasowa ak-tywa zabezpieczanego a cena kontraktu futures na to aktywo. Jesli zabezpieczane aktywo jestidentyczne co aktywo podstawowe dla kontraktu futures, cena aktywa na rynku kasowym i cenakontraktu futures powinny “zbiegac sie” (konwergencja) w poblizu terminu dostawy futures.Ta konwergencja nazywana jest tez cena bazy. Baza nie wpływa na cene futures ale ma wpływna cene dostawy fizycznej. Jej zachowania generalne to:

1. Sezonowosc zachowania

2. Zmiennosc bazy jest zazwyczaj mniejsza niz zmiennosc ceny

c. Cena bazy wprowadzic moze dodatkowe ryzyko zmiany ceny powyzej, jak i ponizej cenyfutures.



Jednak jesli okresy do zapadalnosci uzytych instrumentów beda rózne to zabezpieczenie niebedzie juz tak idealne jak w przypadku gdy zapadalnosci na instrumentu kasowego i zapadal-nosci instrumentu futures beda równe. Współczynnik h nie jest wtedy równy 1. W takichprzypadkach stosuje sie zabezpieczenie “cross hedge”.

Praktyczna wskazówka przy stosowaniu tego typu hedgingu jest nastepujaca: w przypadku gdyterminy dostawy dostepnych kontraktów na rynku futures nie zgadzaja sie z terminami zabez-pieczenia to wybierajac kontrakt futures kierowac sie nalezy tym, by data dostawy (miesiac)był najblizszy terminowi transakcji na rynku kasowym ale pózniejszy niz czas zabezpieczenia.Jesli nie ma kontraktu futures na aktywo zabezpieczane nalezy wybierac kontrakt futures, któ-rego cena jest najlepiej skorelowana z cena zabezpieczanego aktywa. Korelacje taka okreslasie poszukujac najmniejszej wariancji.

10.3.2 Zabezpieczenia metoda najmniejszej wariancji

Jednak jesli okresy do zapadalnosci uzytych instrumentów beda rózne to zabezpieczenie niebedzie juz tak idealne jak w przypadku gdy zapadalnosci instrumentu kasowego i zapadalnosciinstrumentu futures beda równe. Nalezy pamietac o cost of carry. Szczególnie instrumentydłuzne maja skomplikowana zaleznosc generowanego dochodu od duration i stopy procento-wej.

Tak wiec reakcja instrumentu kasowego i terminowego moga byc rózne, tzn. ich zmiany mogabyc inne na koniec okresu zabezpieczenia.

Jasne, ze zmiany aktywów na rynku kasowym i terminowym nie sa takie same (chociaz wjakims stopniu podobne). Jak to wpłynie na współczynnik h? Jak wybrac najlepsze h?

Mozna w takiej sytuacji skorzystac z takiego h które minimalizuje nastepujace równanie:

min𝐸[(∆𝑃𝑘 − ℎ∆𝑃𝑓 )]2

Czyli minimalizujemy kwadraty róznic miedzy zmianami cen.

Innymi słowy takie h to hedging minimalizujacy wariancje - hedging minimalnej wariancji.

Popatrzmy jeszcze raz na Δ𝑊 - zmiane wartosci portfela zabezpieczonego:

∆𝑊 = ∆𝑃𝑘 − ℎ∆𝑃𝑓 = 0

𝜎2Δ𝑊 = 𝜎2

Δ𝑃𝑓+ ℎ2𝜎2

Δ𝑃𝑓− 2ℎ⟨∆𝑃𝑓∆𝑃𝑘⟩

gdzie:

𝜎𝑃𝑘- jest odchyleniem standardowym zmiany ceny na rynku kasowym ∆𝑃𝑘 w czasie trwania

zabezpieczenia.𝜎𝑃𝑓

- jest odchyleniem standardowym zmiany ceny na rynku terminowym w czasie trwaniazabezpieczenia.



Zabezpieczenie jest optymalne jesli powyzsza pochodna czastkowa wariancji zmian portfelapo współczynniku hedgingu sie zeruje, czyli:

𝜕𝜎2Δ𝑊

𝜕ℎ= 2ℎ𝜎2

Δ𝑃𝑓− 2⟨∆𝑃𝑓∆𝑃𝑘⟩ = 0

2ℎ𝜎2Δ𝑃𝑓

− 2⟨∆𝑃𝑓∆𝑃𝑘⟩ = 0

stad:

ℎ =⟨∆𝑃𝑓∆𝑃𝑘⟩

𝜎2Δ𝑃𝑓

czyli biorac pod uwage, ze współczynnik korelacji ∆𝑃𝑘 i ∆𝑃𝑓 - 𝜌 jest równy z definicji:

𝜌 =⟨∆𝑃𝑓∆𝑃𝑘⟩𝜎Δ𝑃𝑓

𝜎Δ𝑃𝑘

otrzymujemy ostatecznie znany wzór:

ℎ = 𝜌𝜎Δ𝑃𝑘

𝜎Δ𝑃𝑓

Mozna takze oszacowac optymalny współczynnik zabezpieczenia h uzywajac analizy regresji.

Podstawowe równanie wyjsciowe ma w tym przypadku nastepujaca postac.

∆𝑃𝑘 = 𝛼 + ℎ∆𝑃𝑓

Uzywajac regresji liniowej (najmniejszych kwadratów) wyliczymy, ze

ℎ = 𝜌(𝜎𝑝𝑘/𝜎𝑝𝑓 )

Metoda powyzsza jest pomocna w wielu przypadkach. Ponize rozpatrzone beda pewne przy-kłady zastosowania tej metody, przedstawione by lepiej zilustrowac sposoby postepowania wtakich przypadkach.

Zarzadzajacy portfelem, majacy portfel instrumentów inwestycyjnych o okreslonejjego wartosci w danym dniu moze chciec zabezpieczyc jego wartosc w najblizszymokresie czasu. Spodziewa sie bowiem przykładowo, ze cena aktywów moze chwi-lowo sie obnizyc ale uwaza, ze posiadane w portfelu aktywa sa warte trzymania.

Informacja: Alternatywnym działaniem moze byc sprzedanie całego portfela, by od-kupic go pózniej, po powrocie rynku do oczekiwanych wartosci. Takie działanie jestmozliwe teoretycznie ale bardzo trudne w praktyce do wykonania z powodu dostepno-sci aktywów i kosztów transakcyjnych opisanych operacji.

Chcac zabezpieczyc posiadany portfel na rynku instrumentów futures jest niezwykle trudno,wrecz niemozliwym by znalezc kontrakt futures odpowiadajacy swym zachowaniem zachowa-niu czasowemu portfela. Sposób w jaki mozna próbowac sie zabezpieczyc przed zmianami



stanu posiadania jest zabezpieczenie przy pomocy kontraktu futures na indeks giełdowy. Przy-kład ponizej ilustruje sposób postepowania i szukania współczynnika korelacji zmian wartosciportfela i kontraktu futures na indeks, potrzebnego do najlepszego w miare mozliwosci ( nieidealnego) zabezpieczenia portfela.

Jak uzywac kontraktów futures do zabezpieczania portfela?

Załózmy ,ze posiadamy portfel zdywersyfikowanych akcji. Powiedzmy, ze o wartosci 1 mi-liona USD ( waluta i skład portfela wybrany do wyjasnienia przykładu ponizej- czyli uzyciakontraktu futures na indeks S&P 500- podobnie mozna myslec uzywajac innych indeksów ryn-kowych na które sa kontrakty futures)). Wybieramy kontrakt futures na indeks S&P 500 celemzabezpieczenia portfela. Obawiamy sie o ,ze rynkowa wartosc portfela moze sie obnizyc . wtakiej sytuacji sprzedaz kontraktu futures na indeks moze byc sposobem na zabezpieczenie sieprzed obnizeniem sie wartosci portfela.

Jesli rynek spadnie zysk na pozycji krótkiej na rynku futures moze zrównowazy starte na port-felu. Jesli rynek jednak wzrosnie strate na pozycji futures bedzie pokrywac zysk na portfelu.

Kontrakt futures na indeks S&P 500 jest wyceniany jako wartosc indeksu pomnozona razy 250USD. Czyli zakładajac ,ze wartosc indeksu wynosi 2000 jego wartosc wynosi 500 000 USD ,Czyli Dwa kontrakty Futures stanowia wartosc porównywalna z wartoscia kasowa portfela.

Kontrakty futures na indeks S&P 500 maja cztery daty dostawy w roku. Marcowa czerwcowa,wrzesniowa i grudniowa. Na rynku sa dostepne równiez kontrakty e – mini S&P 500 którychwartosc jest 50 USD razy wartosc indeksu.

Te czesto daja lepsze dopasowanie do wielkosci portfela dzieki mniejszemu mnoznikowi niztypowe kontrakty na indeks S&P 500. Pierwszym krokiem do zabezpieczenia jest znalezieniekkorelacjizmian indeksu i zmian wartosci portfela. Stad mozna wyliczyc ilosc kontraktówktóre nalezy sprzedac by zabezpieczyc portfel.

Przykład zamieszony ponizej ilustruje sposób działania.

10.3.3 Zabezpieczenie portfela indeksem giełdowym

Załózmy, ze mamy gotówke i chcemy sa zabezpieczyc przed zmianami kursu za pomoca in-deksu giełdowego. W kolejnych kolumnach znajduja sie wartosci portfela oraz indeks S&P500z okresu 2000-09-15 do 2002-09-19. Uzywamy tych danych do zabezpieczenia kontraktemFutures na S&P500 w ostatnim dniu - czyli 2002-09-19.

import urllib2import numpy as npfile = "https://dl.dropboxusercontent.com/u/11718006/hedgefutures2.txt"file = "https://dl.dropboxusercontent.com/u/11718006/SP500_porfolio.txt"data = np.loadtxt(urllib2.urlopen(file))plt = line(enumerate(data[:,0]/data[-1,0]),figsize=(8,2))plt += line(enumerate(data[:,1]/data[-1,1]),color=’green’)plt.show()

Poniewaz zarówno indeks jak i gotówka jest w “innych jednostkach”, mozemy posługiwacsie bezwymiarowymi zwrotami, zamiast przyrostów cen. I tak zwroty z portfela i S&P500obliczamy:



dP = np.diff(data[:,0])/data[:-1,0]dSP500 = np.diff(data[:,1])/data[:-1,1]plt = line(enumerate(dP),figsize=(8,2))plt += line(enumerate(dSP500),color=’green’)plt.show()

Z tych danych widzimy, ze zachodzi duza korelacja miedzy zwrotami tych instrumentów.Współczynnik dopasowania obliczamy ze wzoru:

print "Wspolczynnik korelacji:",np.cov(dP,dSP500, bias=1)[0,1]/(np.std(dP)*np.std(dSP500))print "h=",np.cov(dP,dSP500, bias=1)[0,1]/(np.std(dSP500)**2)print "Ilosc kontraktów na SP500:",data[-1,0]/(data[-1,1]*250) * np.cov(dP,dSP500)[0,1]/(dSP500.std()**2)

Zauwazmy, ze majac obliczone “hedge ratio” - ℎ, liczbe kontraktów wyliczamy mnozac ℎ przezilosc jednostek S&P500, które w chwili zabezpieczenia maja dokładnie wartosc naszego port-fela. Oczywiscie nie mozna kupowac ułamkowej ilosci kontraktów futures. Zabezpieczajacysie musi kupic 5 kontraktów.

Dopasowysujac model linowej zaleznosci zwrotów otrzymamy znowu ten sam wynik:

var(’a b x’)model(x) = a * x + bdata = zip(dSP500,dP)find_fit(data,model)

10.4 Przykład obliczen hedgingu za pomoca kontrak-tów futures

Metoda najmniejszej wariancji jest skutecznie stosowana w procesie zabezpieczania sieprzed zmiennoscia ceny paliwa lotniczego stosowana przez niektóre linie lotnicze. Tak sieskłada ,ze kontrakty futures na paliwo lotnicze sa rzadkoscia na rynku i do zabezpiecza-nia stosuje sie kontrakty futures na olej opałowy, które to kontrakty sa bardziej płynne.Porównujac ceny paliwa lotniczego i ceny oleju opałowego widac ,ze zmiennosc cenyobu surowców jest w pewnej mierze podobny ale nie identyczny. Problemowi zabez-pieczania cen paliwa lotniczego przy pomocy instrumentów rynków futures poswieconesa ponizszae pozycje: (http://bettingthebusiness.com/2011/02/03/the-perils-of-hedging-the-price-of-jet-fuel/ https://www.kellogg.northwestern.edu/research/fimrc/papers/jet_fuel.pdfhttps://dspace.lib.cranfield.ac.uk/bitstream/1826/3029/1/Airline%20jet%20fuel%20hedging%20-%20theory%20and%20practice.pdf) Problem ten jest szeroko dyskutowany i analizowany.

10.4.1 Paliwo lotnicze oraz olej opałowy

Rozwazmy nastepujacy przykład. Chcemy zabezpieczyc cene na paliwo lotnicze na jeden mie-siac do przodu majac do dyspozycji kontrakty Futures na olej opałowy na 60 i 90 dni. Za-kładamy, ze istnieje duza korelacja pomiedzy tymi surowcami. Rzeczywiscie, ich historycznecomiesieczne notowania wygladaja nastepujaca:

import numpy as npJet = np.array([0.334,0.309,0.378,0.43,0.415,0.44,0.512,0.564,0.614,0.595,0.661,0.701,0.781,0.78,0.771,0.719,0.762,0.785,0.796,0.9,1.017,0.982,1.028,0.863,0.87,0.815,0.748,0.77,0.821,0.767,0.711,0.764,0.738,0.622,0.543,0.515,0.533,0.551,0.63,0.669,0.666,0.653])

10.4. Przykład obliczen hedgingu za pomoca kontraktów futures 105

http://bettingthebusiness.com/2011/02/03/the-perils-of-hedging-the-price-of-jet-fuel/

http://bettingthebusiness.com/2011/02/03/the-perils-of-hedging-the-price-of-jet-fuel/

https://www.kellogg.northwestern.edu/research/fimrc/papers/jet_fuel.pdf

https://dspace.lib.cranfield.ac.uk/bitstream/1826/3029/1/Airline%20jet%20fuel%20hedging%20-%20theory%20and%20practice.pdf

https://dspace.lib.cranfield.ac.uk/bitstream/1826/3029/1/Airline%20jet%20fuel%20hedging%20-%20theory%20and%20practice.pdf


Oil60 = np.array([0.341,0.317,0.388,0.435,0.428,0.445,0.515,0.563,0.611,0.595,0.65,0.667,0.704,0.724,0.702,0.651,0.724,0.779,0.785,0.883,0.987,0.971,0.999,0.895,0.805,0.756,0.705,0.744,0.776,0.764,0.709,0.745,0.73,0.643,0.568,0.548,0.541,0.548,0.64,0.673,0.674,0.658])

Oil90 = np.array([0.344,0.323,0.391,0.439,0.435,0.453,0.521,0.57,0.617,0.598,0.643,0.65,0.666,0.69,0.68,0.636,0.719,0.78,0.788,0.878,0.979,0.963,0.962,0.833,0.764,0.738,0.7,0.743,0.78,0.77,0.717,0.751,0.739,0.649,0.571,0.55,0.543,0.55,0.641,0.677,0.68,0.666])

plt = line(enumerate(Jet),figsize=(8,2))plt += line(enumerate(Oil90),color=’green’)plt.show()

Informacja: W pliku z danymi mamy w wierszach comiesieczne notowania, a w ko-lumnach kolejno: cene paliwa lotniczego, cene kontraktu Futures na 90 dni i na 60dni.

Korelacje widac gołym okiem, ale oczywiscie mozemy ja obliczyc numerycznie korzystajac znarzedzi znajdujacych sie w bibliotece numpy. Uczynimy to w dwóch krokach. W pierwszejkolejnosci obliczmy miesieczne zmiany cen. Dla wartosci ceny paliwa lotniczego na rynkukasowym jest to proste: obliczamy róznice pomiedzy kazda para kolejnych wartosci. Dla kon-traktu Futures jest torche bardziej skomplikowane zadanie. Jezeli kupimy kontrakt 90 dniowyto po 30 dniach mamy kontrakt 60 dniowy w rece. Dlatego majac mozliwosc handlu kontrak-tami 60 i 90 dniowymi mozemy efektywnie uzyc ich do hedgingu na 30 dni, biorac róznicemiedzy cena kontrakty 60 dniowego a cena 90 dniowego po miesiacu.

Informacja: Gdybysmy mieli do dyspozycji kontrakty 30-dniowe na olej opałowyobliczylibysmy po prostu róznice ich kolejnych cen.

W Sage obliczenia mozemy wykonac w nastepujacy sposób:

dJet = np.diff(Jet)dOil = Oil90[1:]-Oil60[:-1]

Mozemy teraz policzyc macierz kowariancii przyrostów cen oraz ich współczynnik kolelacji:

print "Macierz kowariancji:"show(matrix(np.cov(dJet,dOil)))print "Współczynnik korelacji:",np.cov(dJet,dOil)[0,1]/(np.std(dJet)*np.std(dOil))

Jaki bedzie współczynnik zabezpieczenia? Gdyby udało nam sie uzyskac idealy hedging tozachodziło by:

∆𝑆 = ℎ∆𝐹

Jest to pewnie nie mozliwe, ale przynajmniej chcemy znalezc takie ℎ, które minimalizuje⟨∆𝑆 − ℎ∆𝐹 ⟩2. Narysujmy wykres tej sredniej po naszych danych historycznych:

var(’h’)plot( lambda h:np.mean( (dJet-h*dOil)**2), (h,-3,4) ).show(figsize=3)print "Rozwiazujac rownanie:",solve( diff( np.mean( (dJet-h*dOil)**2),h), h)[0].rhs().n()

Taki sam wynik otrzymamy dopasowujac dane przyrostów cen do siebie w modelu liniowych(co jest czasem zwane regresja liniowa):

var(’a b x’)model(x) = a * x + bdata = zip(dOil,dJet)find_fit(data,model)



Jako ilustracje powyzszych rozwazan przykładowo zadajmy sobie pytanie: Ile kontraktów ter-minowych na stope procentowa potrzebujemy by zabezpieczyc 10 000 000 (np. BPF) instru-mentu pienieznego. Jesli to funty to wielkosc nominalna kontraktu futures - 500 000. Jak widacdo zabezpieczenia kredytu z ostatniego przykładu potrzebowalismy 20 kontraktów. Ile trzymie-siecznych kontraktów futures na stope procentowa potrzebujemy do zabezpieczenia 10 000 000BPF w półrocznych CD.

Instrumenty te róznia sie czułoscia na stope procentowa.

Biorac pod uwage powyzsze, ilosc kontraktów futures 𝐼𝑓 potrzebna do zabezpieczenia wynosi

• 𝐼𝑓 = Wart. nom. pozycji kasowejWart. nom. kontraktu futures × wsp. odpowiedniosci pienieznej × wsp regresji.

Czyli h jest równe iloczynowi dwu wielkosci: współczynnikowi odpowiedniosci pienieznej Ki współczynnikowi regresji R.

Wartosc odpowiedniosci pienieznej T mierzy zmiane ceny kontraktu terminowego lub aktywakasowego w zaleznosci od stopy procentowej. Zalezy ta zmiana od okresu do zapadalnosci.

Przykładowo T dla zmiany stopy procentowej o 0,01 % dla kontraktu wielkosci 1000 000 -wynosi:

Wartosc T (jednostki pieniezne)

1 rok 100 (tj. 1 000 000 x 0.0001x 12/12)9 miesiecy 75 (tj 1000 000 x 00001 x 9/12)6 miesiecy 50 (................... x 6/12)3 miesiace 251 miesiac 8.3

Współczynnik odpowiedniosci pienieznej K jest stosunkiem dwu odpowiednich wartosci T.

PrzykładW celu zabezpieczenia szesciomiesiecznego aktywa kasowego trzymiesiecznymi kon-traktami terminowymi współczynnik K jest równy 2. (t.j. 50/25). Innymi słowy, 2kontrakty terminowe sa potrzebne na zabezpieczenie kontraktu kasowego bo ten, kon-kretny kontrakt reaguje dwukrotnie silniej dla danej stopy procentowej niz trzymie-sieczny.Dociekliwym polecamy próbe odpowiedzi dlaczego tak byc moze???? Zagadnieniewystepowania zostanie omówione w innym miejscu dokładniej. W tym miejscu pole-camy wziac pod uwage duration instrumentów i ich kształt krzywej dochodowosci.

Współczynnik regresji.

Przyjmijmy, ze doswiadczalnie wyliczone równanie regresji dla CD i trzymiesiecznych futuresna stope procentowa daje nastepujace parametry - współczynnik regresji alfa:

• 𝛼 = 0.12

• ℎ = 0.95

Czyli chcac zabezpieczyc przed zmiana wartosci portfel o wartosci nominalnej 10 000 000 BPFw CD przy pomocy kontraktów futures na trzymiesieczna stope procentowa potrzebne jest:

• 𝐼𝑓 = 10 000 000500000

× 5025

× 0.95 = 38 kontraktów



Jak widac ilosc kontraktów jest rózna od prostej zaleznosci nominalnych wartosci kontraktówna obu rynkach.

10.4.2 Hedging portfela obligacji

Podsumowujac powyzsze rozwazania mozna stwierdzic:

Wartosc 𝑊 portfela to:

𝑊 = 𝑃𝑘 − ℎ𝑃𝑓

Gdzie: 𝑃𝑘 - wartosc pozycji kasowej a 𝑃𝑓 wartosc kontrakty futures. ℎ - współczynnik zabez-pieczenia.

Optymalna wartosc ℎ to taka wartosc gdy zabezpieczenie bedzie idealne czyli zmiana wartosciportfela nie ulegnie zmianie niezaleznie czy wartosc kasowego aktywa wzrosnie czy zmaleje.

Czyli

∆𝑊 = ∆𝑃𝑘 − ℎ∆𝑃𝑓 = 0

Stad:

ℎ =∆𝑃𝑘

∆𝑃𝑓

Czyli ilosc kontraktów futures 𝐼𝑓 potrzebna do zabezpieczenia pozycji na rynku kasowym jestrówna:

𝐼𝑓 =Wart. nom. pozycji kasowej

Wart. nom. kontraktu futures× ℎ

W przypadku dyskutowanych przykładów powyzej zmiany ceny aktywa na rynku futures byłytakie same jak zmiany ceny aktywa na rynku kasowym. Niestety nie zawsze tak jest w praktyce.Dlatego współczynnik zabezpieczenia h moze byc reprezentowany przez współczynnik regresjiceny instrumentu kasowego od ceny instrumentu terminowego. Współczynnik ten jednak mozelepiej okreslac powyzsza zaleznosc jesli bedzie traktowany jako zmienny w czasie niz jakoniezmienny.

W wielu pracach wykazano, ze prawdziwy zwiazek miedzy danymi finansowymi jest lepiejuchwycony, jesli stosuje sie modele o zmiennych w czasie parametrach niz modele o parame-trach stałych. Czesto, w praktyce, stosuje sie podejscie zwane filtrem Kalmana by oszacowaczmienny w czasie współczynnik hedgingu. Takie podejscie czesto jest statystycznie bardziejefektywne i ma lepsze własnosci przewidywania.

Zabezpieczanie przed ryzykiem stopy procentowej portfela obligacji.

Podobne jak w kazdym poprzednim przykładzie celem zabezpieczenia jest wyrównanie ewen-tualnych strat na kontrakcie kasowym zyskiem z kontraktu futures.

Ryzykiem, którego obawiaja sie zarzadzajacy portfelem instrumentów dłuznych jest ryzykostopy procentowej. Jesli zarzadzajacy obawia sie, ze w wyniku wzrostu stopy procentowejwartosc jego portfela obligacji spadnie to ma przed soba kilka mozliwosci rozwiazania tego



problemu. Moze spieniezyc (sprzedac) cały portfel a po wzroscie stóp odkupic jego zawartosc(a bedzie on tanszy). Jednak musimy pamietac o kosztach transakcyjnych i o tym, ze moze bycniemozliwym odkupic wszystkie poprzednio posiadane obligacje. Moze on równiez, kolejnatansza mozliwosc, uzyc kontraktu futures na obligacje. Na wiekszosci rynków futures takikontrakt jest wyceniany na podstawie wyceny koszyka obligacji “cheapest -to- deliver” (CDT).

Tak wiec kluczowym jest kupienie własciwej ilosci kontraktów do zabezpieczenia. Nalezywiec wyliczyc współczynnik zabezpieczenia (hedge ratio), która to wielkosc bedzie zalezec odzmiennosci cen instrumentów na rynku kasowym i rynku futures. Ilosc kontraktów, które na-lezy uzyc wynika z wielkosci współczynnika zabezpieczenia, który mozemy oszacowac jako:

ℎ =volatility ceny kontraktów kasowych

volatility kontraktów futures(10.1)

Nie musimy okreslac zmiennosci cen instrumentów. Jak juz wiemy jesli instrument kasowy jestmniej zmienny niz terminowy instrument zabezpieczenia to wieksza ilosc instrumentów zabez-pieczajacych jest potrzebna. Albowiem nie zawsze mozemy uzywac obligacji zachowujacychsie jak obligacje - „cheapest to deliver”.

Wsród metod dostepnych do wyliczenia współczynnika zabezpieczenia w powyzszym przy-padku najbardziej powszechnymi sa metody „współczynnika konwersji” zwana takze współ-czynnikiem ceny oraz metoda „zmodyfikowanej duration” (zwana równiez jako wycena punk-tów bazowych.)

Współczynnik konwersji dla kazdego instrumentu dłuzniego jest podawany na biezaco przezgiełdy futures dla kazdego instrumentu notowanego na tej giełdzie.

Kontrakt futures dla obligacji pozwala sprzedajacemu spełnic zobowiazania dostawy uzywajackazdej innej obligacji, tak by spełniac standard kazdego kontraktu. Cena kazdej z dostepnychobligacji moze zostac wyliczona przez zastosowanie współczynnika konwersji. Współczynnikkonwersji bazuje na matematycznym wyliczeniu wartosci aktualnej netto, co pozwala na po-równanie róznych dostepnych obligacji (z róznymi terminami do zapadalnosci i kuponami) nawspólnej bazie nominalnego kuponu.

Niektórzy autorzy (np. David Black - Financial Market Analysis) uzywa wielkosci współczyn-nika ceny, który jest odwrotnoscia współczynnika konwersji.

Niech bedzie sytuacja, gdy zarzadzajacy portfelem spodziewa sie wpływu ok. 1,5 milion USD,które to pieniadze zamierza ulokowac w obligacje „cheapest to delivery” - CDT. Załózmy,dla uproszczenia, ze cena obligacji CDT i kontraktu futures na nie porusza sie równolegle wczasie. Zwiazek pomiedzy zmiana ceny kontraktu terminowego i ceny obligacji CDT sa danerównaniem:

∆𝑃𝑓 =1

𝑃𝐹𝐶𝐷𝑇

× ∆𝑃𝐶𝐷𝑇

Gdzie :

• ∆𝑃𝑓 - zmiana ceny kontraktu terminowego na obligacje

• ∆𝑃𝐶𝐷𝑇 - zmiana ceny obligacji CDT

• 𝑃𝐹𝐶𝐷𝑇 - współczynnik ceny dla obligacji CDT



Niech współczynnik ceny (zgodnie z tabela giełdowa) wynosi 1.20833. Oraz niech sa handlo-wane po 125 za nominał 100. Aby zabezpieczyc wartosc portfela potrzebuje ilosc kontraktów𝐼𝑓 wyliczonych zgodnie z:

𝐼𝑓 =Wart. nom. ekspozycji kasowej

Wart. kontraktu futures× ℎ (10.2)

Gdzie ℎ to współczynnik zabezpieczenia równy ℎ = 𝑃𝐹𝐶𝐷𝑇 , oraz

Wartosc nominalna ekspozycji kasowej =Wartosc rynkowa ekspozycji kasowej

𝑃𝐶𝑇𝐷

przy czym 𝑃𝐶𝑇𝐷 to cena obligacji CTD.

Czyli innymi słowy:

𝐼𝑓 =1200000

50000× 1.20833 = 29

To niezłe zabezpieczenie.

Wykazano jak mozna uzyc kontraktów terminowych na obligacje do zabezpieczenia obligacji.

Kolejne pytanie to pytanie co moze zrobic zarzadzajacy uzywajacy kontraktów terminowychby zabezpieczyc obligacje inna niz CTD? Oraz drugie pytanie Jak mozna zabezpieczyc przypomocy kontraktów terminowych na obligacje portfel obligacji?

Mozna posłuzyc sie dwoma metodami przyblizonymi:

1. Metoda oparta na wspł. konwersji (ceny)

2. Metoda zabezpieczenia oparta na duration

Metoda 1.

Załózmy podobna sytuacje jak poprzednio: 1,5 miliona USD i zamierzamy uzyc obligacji 5-letniej o współczynniku ceny 1,1111 handlowanej w dniu planowania zabezpieczenia po 124za nominał 100.

Załózmy, ze jesli nastapi okreslona zmiana stopy procentowej to zmiana ceny obligacji CTDzmieni sie o 1,2 a cena obligacji, która zabezpieczamy zmieni sie o 1.8.

Te informacje posłuza nam do wyprowadzenia zmodyfikowane równania zabezpieczenia.

Jak zwykle ilosc kontraktów potrzebna do zabezpieczenia 𝐼𝑓 wynosi:

𝐼𝑓 =Wartosc nominalna ekspozycji na rynku kasowym

Wartosc nominalna kontraktu futures× 𝑃𝐹𝐶𝐷𝑇 × ℎ𝑧, (10.3)

gdzie:

• ℎ𝑧 to współczynnik zmiany zabezpieczenia dla obligacji zabezpieczanej

równy

• ∆𝑃𝐶𝐷𝑇 - zmiana ceny obligacji CDT przy takiej samej zmianie stopy procentowej

• ∆𝑃𝐻 - zmiana ceny obligacji zabezpieczanej przy takiej samej zmianie stopy procento-wej.



Czyli liczba kontraktów wynosi:

𝐼𝑓 =1200100

50000× 1.1111 × 1.8

1.2≃ 40.

Przyblizenie tej metody polega na tym ze zmiana stopy procentowej o 1% nie powoduje zmiancen obligacji dwa razy wiekszych niz zmiana stopy o 0.5%. Jak pamietamy z analizy obligacjita zaleznosc nie jest liniowa. Dlatego dokładniej jest uzywac metody opartej na duration.Definicja duration została wprowadzona z równania:

∆𝑃 = −𝐷 × 𝑃 × [∆𝑦/(1 + 𝑦)] (10.4)

Gdzie

• 𝐷 - duration obligacji (sredni czas do zapadalnosci)

• 𝑃 - cena obligacji

• 𝑌 - dochodowosc do zapadalnosci (yield to maturity)

Aby wyliczyc współczynnik zabezpieczenia w tej metodzie nalezy podzielic zmiane ceny ob-ligacji zabezpieczanej przez zmiane ceny obligacji CDT.

• ℎ𝐷 = współczynnik zabezpieczenia uwzgledniajacy “duration”.

• ℎ𝐷 = ∆𝑃𝐻/∆𝑃𝐶𝐷𝑇

wpisujac formalnie równanie (??) do powyzszego wzoru i zakładajac równoległe przesunieciekrzywych dochodowosci otrzymujemy

ℎ𝐷 = ∆𝑃𝐻/∆𝑃𝐶𝐷𝑇 = 𝐷𝐻 × 𝑃𝐻/𝐷𝐶𝐷𝑇 × 𝑃𝐶𝐷𝑇

Gdzie indeksy 𝐻 odnosza sie do obligacji zabezpieczanej a 𝐶𝐷𝑇 do obligacji ”cheapest todelivery”.

Zakładajac duration obligacji CTD jako 10 lat oraz duration obligacji zabezpieczanej jako 14lat otrzymujemy dla danych z poprzednich przykładów:

ℎ𝐷 = 14 × 124/10 × 125 = 1.38888

czyli w sensie duration 1 obligacja zabezpieczana jest równa około 1.4 obligacji CDT.

Konsekwencja bedzie wyliczenie ilosci kontraktów potrzebnych do zabezpieczenia kwoty za-inwestowanej w obligacje z poprzedniego przykładu (czyli o cenie 124 i współczynniku ceny1.1111):

𝐼𝑓 =Wartosc nominalna ekspozycji na rynku kasowym

Wartosc nominalna kontraktu futures× 𝑃𝐹𝐶𝐷𝑇 × ℎ𝐷,

czyli ilosc kontraktów wynosi:

𝐼𝑓 =1200100

50000× 1.1111 × 1.388 ≃ 37.

W przypadku portfela obligacji metoda najłatwiejsza do konstruowania strategii zabezpiecza-jacej zuzywajac kontraktów futures na obligacje wydaje sie byc metoda bioraca pod uwageduration portfela. Z analizy zachowania sie ceny obligacji wiemy, ze zmiana jej dochodowosci



skutkiem zmiana stopy procentowej jest nieliniowa, tak wiec przyblizenie liniowe jest niedo-kładne. Branie pod uwage duration portfela jako sredni (wazony wartoscia) czas do zapadal-nosci wszystkich instrumentów obligacyjnych portfela wydaje sie byc dokładniejsza metoda.

Majac, wiec, do zabezpieczenia portfel obligacji okreslamy jego duration a nastepnie okre-slamy współczynnik zabezpieczenia analogicznie jak w poprzednim przypadku.

Dla portfela otrzymujemy równa na współczynnik zabezpieczenia ℎ𝑝 w podobne, jak w po-przednim przypadku, postaci

ℎ𝑝 =∆𝑃𝐻

∆𝑃𝐶𝐷𝑇

= 𝐷𝑝 ×𝑃𝑝

𝐷𝐶𝐷𝑇

× 𝑃𝐶𝐷𝑇

Z tym, ze:

• 𝐷𝑝 - to duration portfela

• 𝑃𝑝 - to srednia wazona kapitałem cena obligacji w portfelu.

Majac wyliczony współczynnik zabezpieczenia dla portfela o okreslonej wartosci potrafimy,analogicznie jak w poprzednim przypadku wyliczyc ilosc kontraktów potrzebnych do zabez-pieczenia portfela obligacji:

𝐼𝑓 =Wart. nom. ekspozycji kasowej

Wart. kontraktu futures× 𝑃𝐹𝐶𝐷𝑇 × ℎ𝑝

10.5 Hedging przy pomocy opcji

Opcje wydaja sie byc bardziej elastycznymi narzedziami do zabezpieczania w porównaniuz kontraktami futures. Jak to wynika z samej ich natury mozna przy ich pomocy starac siezbudowac taka strategie zabezpieczania, która pozwoli na ograniczenie strat w przypadku nie-korzystnego ruchu cen, ale pozwoli na osiagniecie zysku w przypadku sprzyjajacych zmian narynku. Opcje sa bowiem, ze swej natury niesymetryczne. Kontrakt futures jako zabezpieczanieustalał cene na danym poziomie ale uniemozliwiał skorzystanie z zysków.

Generalnie kontrakty terminowe sa stosowane kiedy ilosci aktywów i czas zamkniecia pozycjijest znany z duza pewnoscia. Kontrakt terminowy ustala cene okreslonej ilosci aktywa w danymczasie w przyszłosci. Jesli którys z wymienionych parametrów nie jest znany raczej stosuje sieopcje.

Z rozwazan na temat opcji znane sa profile zysków i strat dla poszczególnych opcji.

Patrzac na te profile nasuwa sie strategia zabezpieczenia przy pomocy opcji.

Jesli posiadamy akcje ABC i chcemy zabezpieczyc sie przed spadkiem ich ceny, rozwiazaniemjest wykupienie opcji put na te cene. Jesli wykreslimy profil zysków i strat takiej strategii tołatwo jest dostrzec, ze wynik takiej transakcji (long akcji i long put) ma taki sam profil jakposiadanie (syntetycznej) opcji call.

Czyli sa mozliwe dwie strategie zabezpieczania dajace ten sam efekt koncowy. Czy to, zeefekt zabezpieczenia jest taki sam znaczy, ze sa sobie równowazne??? I która strategie nalezystosowac?



Majac bowiem akcje spółki ABC mozemy zabezpieczyc sie przed spadkiem ich kursu w okre-slonym czasie, kupujac do portfela opcje put wygasajaca w tym własnie czasie. Alternatywnastrategia to sprzedac akcje i kupic opcje call. Która wybrac?

Wybrac nalezy tansza strategie, biorac pod uwage, koszty opcji, ewentualna wypłate dywi-dendy, i stope wolna od ryzyka. Kupujac dzis opcje put i trzymajac ja do czasu wygasnieciaponosimy koszty zakupu opcji + koszty pieniadza w czasie, ale zyskujemy dywidende. Wprzypadku sprzedazy dzisiaj akcji ABC zyskujemy wartosc tej kwoty w czasie (do wygasnie-cia opcji call ale ponosimy koszty opcji call dzisiaj + jej wartosc w czasie. Oczywiscie niemamy dywidendy. Które z dwu przepływów finansowych jest mniejszy, te strategie stosujemy.Nalezy jeszcze uwzglednic w obliczeniach koszty transakcji.

Informacja: Generalnie stosuje sie nastepujaca zasade zabezpieczania stosujac opcje:• Jesli pozycja jest zagrozona strata w przypadku spadajacych cen to kupujemy

opcje put lub sprzedajemy call.• Jesli pozycja jest zagrozona strata w przypadku rosnacych cen sprzedajemy opcje

put lub kupujemy call.

Nalezy pamietac jakie zobowiazania ciaza na sprzedajacym opcje (koniecznosc dostarczeni/kupienia aktywa podstawowego po ustalonej cenie) a jakie na kupujacym opcje (ryzyko ogra-niczone do wysokosci straty premii).

10.6 Strategie opcyjne polegajace na stosowaniu kom-binacji opcji

Do zabezpieczenia pozycji mozemy kombinacje opcji. Opcji, które dotycza tego samego ak-tywa, tego samego czasu wygasniecia opcji i tej samej ceny wykonania (jesli nie potrafimyprzewidziec kierunku ruchu cen). Przykładem tego jest strategia, która polega na kupnie (badzsprzedazy) zarówno opcji put i call (at the money) (w równych ilosciach).

10.6.1 Dwie opcje

from scipy.stats import normimport numpy as npvar(’S’)def longCALL(S,K,P=0):


return max_symbolic(K-S,0)-Pdef shortCALL(S,K,P=0):

return -max_symbolic(S-K,0)+Pdef shortPUT(S,K,P=0):

return -max_symbolic(K-S,0)+P

def BlackScholes(S0,K,r,T,sigma):d1=(np.log(S0/K)+(r+sigma**2/2)*T)/(sigma*np.sqrt(T));d2=d1-sigma*np.sqrt(T);

10.6. Strategie opcyjne polegajace na stosowaniu kombinacji opcji 113


C = S0*norm.cdf(d1)-K*exp(-r*T)*norm.cdf(d2);P = K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2)-S0*norm.cdf(-d1);return (C,P)

def plotOptions(OPTIONS=[longCALL,longPUT],Ks=[125,120], cs=[’red’,’green’],alpha=None):var(’S’)S1,S2 = 100,140sigma = 0.1p = Graphics()Osum,BSsum = 0,0if alpha==None:

a = [1.0]*len(OPTIONS)+[1.0]else:

a = [alpha[1]]*len(OPTIONS)+[alpha[1]]a[alpha[0]]=1.0

for i,(OPTION,K,c) in enumerate(zip(OPTIONS,Ks,cs)):if "CALL" in OPTION.__name__:

No = 0else:

No = 1if "long" in OPTION.__name__:

C = +1.0else:

C = -1.0P = BlackScholes(115,K,0.0,1,sigma)[No]x = np.linspace(S1,S2,50)BS = C*( BlackScholes(x,K,0.0,1,sigma)[No] - P)p += plot( OPTION(S,K,P),(S,S1,S2),thickness=2.,color=c,alpha=a[i])p += line(zip(x,BS),color=c,thickness=1.,alpha=a[i])p += point([(K,0)],color=c,size=40,alpha=a[i])p += text(r"$K_%d$"%(i+1),(K,2),fontsize=15,color=c)Osum += OPTION(S,K,P)BSsum += BS

p += plot( Osum,(S,S1,S2),color=’black’,thickness=3.,alpha=a[-1])p += line(zip(x,BSsum),color=’black’,thickness=1.,alpha=a[-1])p += point([(115,0)],color=’brown’,size=40,gridlines=[Ks,[]])return p

@interactdef _(K1 = slider(100,145,1,default=125),K2=slider(100,145,1,default=120),s=[0,1,2,’all’]):

if s!=’all’:alpha = (s,.1)

else:alpha = None

p = plotOptions(OPTIONS=[longCALL,longPUT],Ks=[K1,K2], cs=[’red’,’green’],alpha=alpha)p.set_axes_range(ymin=-12,ymax=12)p.show(figsize=6)

p=plotOptions(OPTIONS=[longCALL,shortCALL,shortCALL,longCALL],Ks=[112,118,122,128], cs=[’red’,’green’,’green’,’blue’],alpha=[4,0.1])p.set_axes_range(ymin=-12,ymax=12)p.show(figsize=6)

Strategia ta jest nazywana Straddle - stelaz.

• Strategie ta jest stosowana, kiedy oczekujemy duzej zmiennosci ceny aktywa, ale niewiemy, w która strone

• Jesli kupimy straddle zyskujemy jesli akcje przesuna sie duzo w dowolna strone.



• Maksymalna strata to cena kupionych opcji.

Nalezy ponownie podkreslic, ze w przypadku uzywania opcji w celu zabezpieczenia mozemykupowac opcje albo je wystawiac. Opcje nie sa instrumentami o symetrycznym ryzyku. Wy-stawiajac opcje ryzykujemy koniecznosc dostawy aktywa wiec koszty nabycia takiego aktywasa czesto znacznie wyzsze niz premia za opcje a w przypadku kupna opcji ryzykujemy tylkostrate w wysokosci jej ceny.

Powyzszy przykład to strategia Long stradle czyli nabywamy opcje i nasze ryzyko jest ograni-czone do sumy premii zapłaconych za opcje a zysk jest praktycznie nieograniczony.

Jednakze jesli zastosujemy strategie short straddle czyli wystawimy ta sama ilosc opcji kupnai sprzedazy na ta sama cene wykonania i czas zapadalnosci, a stosujemy to gdy spodziewamysie, ze cena wykonania aktywa podstawowego nie zmieni sie. Jesli sprzedamy straddle, zysku-jemy jesli akcja nie przesunie sie w zadnym kierunku. Strategia jest opłacalna w sytuacji gdyspodziewana jest stabilizacja ceny instrumentu podstawowego na poziomie ceny wykonaniaS1. Wada tej strategii moze byc brak ograniczenia maksymalnej straty jaka mozna poniesc wwyniku zastosowania strategii. Maksymalny zysk wynikajacy z zastosowania takiej strategiijest równy sumie premii uzyskanych z tytułu wystawienia opcji.

Inne strategie tego typu.

Generalnie mozna stosowac strategie opcyjne polegajace na kupieniu i sprzedazy opcji o róz-nych cenach wykonania S1 i S2 róznych od siebie (poszerzony zakres niepewnosci). Przypadekgdy S1=S2 juz został omówiony powyzej.

Takie strategie zwane sa vertical spread.

Mozna tez uzywac kombinacji opcji o róznych okresach wygasniecia czyli tak zwany calendarspread. Pozwala to na zyski jesli cena wyjdzie poza obszar miedzy cenami wykonania.

Oczywiscie mozna stosowac kombinacje opcji o róznej cenie wykonania S1 i S2 oraz o róznychterminach wygasniecia T1 i T2. (tzw Zeus hedge).

Wybór strategii zalezy od tego przed czym chcemy sie zabezpieczyc.

Bardziej dokładne omówienie stosowania kombinacji opcji i jego praktycznych ograniczen,mozna znalezc np. w pracy autorstwa Jerzego Dziezy - O mozliwosciach arbitrazu na GiełdziePapierów Wartosciowych w Warszawie 2005 napisanej dla GPW i dostepnego w sieci Interneti na stronach GPW. Oraz w pracy Krzysztofa Piontka pracownika Katedry Inwestycji Finan-sowych i Ubezpieczen, Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu a zatytułowanej Weryfikacjaparytetu kupna/sprzedazy dla opcji notowanych na GPW w Warszawie - Problemy oraz przy-kłady strategii arbitrazowych - praca dostepna w sieci Internet.

10.6.2 Delta hedging

Wiedzac jak wrazliwa jest cena opcji na zmiane parametrów rynkowych wiedzac o znaczeniuwspółczynników greckich opcji (kolejne pochodne czastkowe- Patrz opcje rozdział Analizawrazliwosci ) Mozemy posłuzyc sie ta wiedza konstruujac strategie zabezpieczania pozycji(portfela) przed zmianami cen na rynku. Metoda zwana hedgingiem delta neutralnym ma nacelu utworzenie i zachowanie pozycji portfela składajacego sie z pozycji kasowej i pozycjiopcyjne majacego delte równa zero (delta neutralna na zmiany)i zachowanie jej w czasie. Delta



neutralny hedging jest taka strategia, w której stosunek pomiedzy iloscia opcji i iloscia akcji(aktywa zabezpieczanego) jest równa odwrotnosci delty opcji.

Zmiana ceny opcji przy zmianie ceny aktywa podstawowego nosi nazwe współczynnika delta.Jest to, innymi słowy, miara wpływu zmiany wartosci instrumentu bazowego na kurs opcji.Odpowiada na pytanie; O ile zmieni sie kurs opcji na wskutek zmiany wartosci instrumentubazowego?

∆ =𝜕𝑃0

𝜕𝑃𝑆

Dla opcji call, korzystajac z modelu Blacka Scholesa

∆call = 𝑁(𝑑1)

A dla opcji put:

∆put = 𝑁(𝑑1) − 1

Korzystajac z prostego przekształcenia widac, ze:

∆call − ∆put = 1

Ponadto, delta wskazuje ilosc akcji potrzebnych do otworzenia zwrotu z opcji.

Np., ∆𝑐𝑎𝑙𝑙 = 0.80 znaczy ze działa jak 0.80 akcji. Jesli cena akcji wzrosnie o 1, cena opcjicall wzrosnie o 0.80. cecha ta pozwala na budowanie strategii zabezpieczajacych. Ale wiecejo analizie wrazliwosci mozna znalezc w Analiza wrazliwosci opcji.

Informacja: Budujac strategie zabezpieczajace bazujace na zachowaniu niezaleznosciwartosci od zmiany ceny (∆ = 0) kierujemy sie zasada, która to zasada jest nastepu-jaca:

• Budujac zabezpieczenie pozycji krótkiej/(długiej) w opcjach (europejskich) callpolega na utrzymaniu pozycji długiej/(krótkiej) w N(d1) aktywach bazowych.

• W przypadku opcji put, (opcje europejskie - delta ujemna) pozycje długa/(krótka) w opcjach put zabezpieczamy pozycja długa/(krótka) w [N(d1) - 1]akcjach bazowych.

Współczynnik delta zmienia sie w wyniku upływu czasu do terminu wygasniecia opcji orazzmiany wartosci instrumentu bazowego. Przy zabezpieczaniu wystawionych opcji metoda deltahedging nalezy dokonywac okresowych korekt pozycji zabezpieczajacej zgodnie ze zmianawspółczynnika delta. Delta bowiem jest równa zero przez pewien czas i cierpi skutkiem zmiannie tylko czasu i zmiennosci ceny ale takze wielkosci mierzonych przez współczynniki theta iVega (kappa).

10.6.3 Delta hedging, przykład na drzewie binarnym

Wyobrazmy sobie, ze mamy rynek na którym opcja sprzedazy na aktywo ma cene godziwa 15.Ponadto wyobrazmy sobie, ze mamy chetnego na taka opcje za 16. Wynika z tego, ze moznazarobic 16-15=1 wystawiajac opcje sprzedazy. Jednak wystawieniem opcji narazamy sie na



ryzyko poniesienia niczym nie ograniczonej straty! Czy mozemy zarobic “nasza” złotówke nieponoszac ryzyka? Okazuje sie, ze tak i własnie delta-hedging moze nam w tym pomoc.

Postapimy tak. Wystawimy za 16 opcje. Zgodnie z idea hegdingu, bedziemy utrzymywactaki portfel by w KAZDYM scenariuszu ewolucji ceny aktywa, otrzymac zysk 1, wynikajacy zpoczatkowej róznicy ceny godziwej i rynkowej.

Do ilustracji tej sytuacji wykorzystamy model binarny. Najpierw zbudujemy czteropokole-niowe drzewo cen aktywa, startujac od wartosci 100. Bedzie to drzewo addytywne - zakła-damy, ze cena moze wzrosnac lub zmalec o 20 w jednym kroku. Ponadto dla przejrzystoscizakładamy zerowa stope procentowa. Łatwo sie przekonac, ze w takiej sytuacji model bedziewolne od arbitrazu jesli prawdopodobienstwa wzrostu lub spadku ceny aktywa beda równe 1

2.

Zacznijmy od zdefiniowania kilku pomocniczych funkcji:

import numpy as npdef gen_all(niter,SP = 4.0,q=0.175,delta1=None,delta2=None):

SP = [[SP]]





def gen_recombining(niter,SP = 4.0,q=0.175,delta1=None,delta2=None):SP = [[SP]]










plt+=point2d( (l,p),size=244,color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0,faceted=True )



plt+= text("%0.1f"%p,(l,p),color=’black’,figsize=(5,3))





plt+=arrow2d( (l-1,SP[l-1][int(i/2)]),(l,p), arrowshorten=16)plt+=point2d( (l,p),size=244,color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0,faceted=True )

plt+= text("%0.1f"%p,(l,p),color=’black’,figsize=(5,3))plt.axes_labels(["rok","wartosc"])plt.axes_range(xmin=-.2, xmax = len(SP)-1+0.2,ymin=0,ymax=SP[-1][0]+1)return plt









plt+=arrow2d( (l-1,SP[l-1][int(i/2)]),(l,p), arrowshorten=16)plt+=point2d( (l,p),size=244,color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0,faceted=True )

plt+= text("%0.2f"%op,(l,p),color=’black’,figsize=(5,3))plt.axes_labels(["rok","wartosc"])plt.axes_range(xmin=-.2, xmax = len(SP)-1+0.2,ymin=0,ymax=SP[-1][0]+1)return plt

print "Wczytano funkcje pomocnicze"

Wygenerujmy wiec nasze eksperymentalne drzewo cen aktywa i narysujmy je:

N = 3S0 = 100Delta = 20SP = gen_recombining(N,SP=S0,delta1=Delta,delta2=Delta)plt_sp = plot_tree(SP)plt_sp.set_axes_range(ymax=170)plt_sp.show()

Wycenimy teraz opcje sprzedazy aktywa za cene 𝐾 w czasie 𝑡 = 3. Zaczynamy od ceny opcji wczasie jej wynonania i propagujemy w dół drzewa obliczajac za kazdym razem srednie wazonez miara arbitrazowa 𝑝. Dochodzimy w ten sposób do ceny opcji w czasie 𝑡 = 0. Algorytmmoze byc zaimplementowany na przykład tak:



K = 100p = 0.5OP = [ [max(0,s-K) for s in SP[N]] ]for idx in range(N):

el = [ (p*OP[-1][i]+(1-p)*OP[-1][i+1]) for i in range(len(OP[-1])-1)]OP.append(el)

OP.reverse()print "Cena opcji Call wynosi:",OP[0]plot_tree2(SP,OP)

Majac ceny opcji i aktywa w kazdym miejscu drzewa, mozemy wyliczyc współczynnik delta.W przypadku modelu dyskretnego bedzie on dany przez:

∆𝑖 =𝑂𝑢𝑝

𝑖+1 −𝑂𝑑𝑜𝑤𝑛𝑖+1

𝑆𝑢𝑝𝑖+1 − 𝑆𝑑𝑜𝑤𝑛

𝑖+1

,

czyli delta w danym wezle drzewa jest ilorazem róznic cen opcji i aktywa w chwili nastepnej.Wynika z tego, ze delte mozemy policzyc dla wszystkich z wyjatkiem ostatniego pokolenia.Wykorzystujac procedure wizualizacyjna mozemy obliczyc wszystkie delty dla naszego drzewai zestawic wykres z wykresem ceny opcji.

delta_tree = [np.diff(np.array(op))/np.diff(np.array(sp)) for op,sp in zip(OP[1:],SP[1:])]delta_tree.append([0]*len(SP[-1]))html.table([[plot_tree2(SP,delta_tree),plot_tree2(SP,OP)]])

Strategia delta hedge zakłada, ze w kazdym momencie powinnismy miec dokładnie tyle jedno-stek aktywa ile wynosi delta. Mamy wiec:

• Wystawilismy opcje za która dostalismy 16

• Tworzymy portfel składajacy sie z aktywa i depozytu bankowego lub kredytu,na starcie mamy na depozycie 16 ze sprzedazy opcji

• W kazdym punkcie drzewa modyfikujemy portfel tak by miec dokładnie ∆jednostek aktywa. Jesli trzeba to sie zadłuzamy.

Mozemy wiec łatwo zaimplementowac funkcje calculate_evo,

która obliczy dla danego scenariusza w kazdym momencie portfel zabezpieczajacy.. Nastep-nie generujemy liste wszystkich scenariuszy i w elementcie interaktywnym obliczamy kolejneportfele.

def calculate_evo(SP,OP,p_,depo=0,c=1):Pt = [(0,depo,SP[0][0])]for i,(k,k_next) in enumerate(zip(p_,p_[1:])):

delta = c*(OP[i+1][k]-OP[i+1][k+1])/(SP[i+1][k]-SP[i+1][k+1])x = delta - Pt[-1][0]Pt.append( (delta,Pt[-1][1]-x*SP[i][k],SP[i+1][k_next]) )

return (Pt[-1][0]*Pt[-1][2]+Pt[-1][1]-max(c*( Pt[-1][2]-K),0),Pt)

all_paths = map(lambda x:[0]+np.cumsum(x).tolist(),CartesianProduct(*( N*[[0,1]])).list() )@interactdef _(path = all_paths):

p = plot_tree2(SP,OP)p += line( [( i,SP[i][p_] ) for i,p_ in enumerate(path)],color=’red’)if SP[-1][path[-1]]>K:

print "Opcja jest w cenie i musimy doplacic", SP[-1][path[-1]]-Kelse:



print "Opcja jest bezwartosciowa"html.table( calculate_evo(SP,OP,path,depo=16)[1])print "W czasie wykonania mamy w sumie:",calculate_evo(SP,OP,path,depo=16)[0]p.show(figsize=3)

10.6.4 Strategia gamma - neutralnej (przy delta = 0)

Strategia polegajaca na tworzeniu portfela o zerowym ∆ i zerowym Γ jednoczesnie.

Γ druga pochodna ceny opcji wzgledem ceny akcji. Γ jest pierwsza pochodna ∆ w stosunkudo ceny aktywa. Γ jest takze nazywana krzywizna.

Γ𝑐 =𝜕2𝐶

𝜕𝑆2=

𝜕∆𝑐

𝜕𝑆

Γ𝑝 =𝜕2𝑃

𝜕𝑆2=

𝜕∆𝑝

𝜕𝑆

Jesli gamma jest bliska zero, to znaczy ∆ nie zmienia sie wiele ze zmiana ceny.

Wiecej informacji na temat stosowania opcji do ograniczenia ryzyka mozna znalezc w pozy-cji autorstwa Ryszarda Wegrzyna - „Opcje jako instrumenty ograniczenia ryzyka cen akcji.Problemy optymalizacji.” - Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie - (2013).


ROZDZIAŁ 11

VaR

11.1 Wstep

Zarzadzanie portfelem to proces ustawicznej analizy sytuacji na rynku i zachowania sie cenaktywów, proces optymalizacji składu posiadanego portfela tak by zysk z niego był wysokioraz szukanie sposobów by ewentualna strata wartosci portfela była mozliwie najmniej bolesna.Ograniczanie strat, to podstawowe oczekiwanie zarzadzania ryzykiem a zródłem tego ryzykajest zmiennosc cen aktywów. Generalnie, optymalizacja w procesie zarzadzania portfelemsprowadza sie do maksymalizacji dochodu przy niezmiennym ryzyku albo do zmniejszaniaryzyka przy ustalonym dochodzie.

Coraz wieksze skomplikowanie instrumentów finansowych i transakcji wymagało stworzeniaw miare prostego, ale jednoczesnie elastycznego narzedzia kontroli ekspozycji na ryzyko.

Przykładowo w koncepcji CAPM takim parametrem charakteryzujacym poziom ryzyka akcjijest współczynnik beta. VaR jako metoda (a takze wskaznik podejmowanego ryzyka), po-wstała w zwiazku z koniecznoscia wyceny ryzyka instrumentów, portfeli instrumentów, któreto staja sie coraz bardziej wyrafinowane i skomplikowane gdyz nowe instrumenty pojawiajacesie na rynku sa coraz bardziej wyrafinowane. Wartosc VaR wyraza stopien ekspozycji pod-miotu na ryzyko w zakresie posiadania okreslonego portfela aktywów. Zadaniem VaRu jestokreslenie pewnej wartosci potencjalnej straty (przy załozonym poziomie prawdopodobien-stwa, przedziale czasowym, normalnych warunkach rynkowych i przy wycenie aktywów pocenach ostatnich zawartych rynkowo transakcji czyli Mark-to-Market). VaR informuje, na jakipoziom strat narazona jest pula aktywów, przy okreslonych warunkach pomiaru.

VaR (wartosc narazona na ryzyko, wartosc zagrozona) jest to kwota, jaka mozna stracic wwyniku inwestycji w portfel w okreslonym horyzoncie czasowym i przy załozonym poziomieufnosci. VaR jest statystyczna miara ryzyka, która szacuje strate na portfelu, jaka moze wy-stapic przy załozonym poziomie ufnosci. VAR zawsze okresla prawdopodobienstwo, zgodniez którym straty (dotkliwosc ryzyka) przy zadanym prawdopodobienstwie (przedział ufnosci)statystycznie nie powinny byc wieksze od wyliczone kwoty.

Definiujac VaR uznajemy, ze VaR jest poziomem straty, który moze zostac przekroczony zprawdopodobienstwem równym a.

Nie nalezy interpretowac wyliczonej wartosci VaRu jako stwierdzenie, ze „VaR jest maksy-malna strata” nawet jesli autorzy dodaja do tego wyrazenia uwage, ze mamy do czynienia ze

121


statystyka, np. „przy ustalonym poziomie istotnosci (ufnosci)”. Bywaja sytuacje, ze stratymoga byc duzo wyzsze 1

Innymi słowy VaR to wartosc strat, która moze byc przekroczona z prawdopodobienstwem𝛼 lub to wielkosc straty, która moze nie byc przekroczona z prawdopodobienstwem równym(1 − 𝛼) w kolejnym dniu. VaR jest bardzo wygodna i praktyczna miara ryzyka. Prostota jejto przede wszystkim to, ze jest to konkretna liczba. To daje prosta mozliwosc porównania ipewnosc w interpretacji odnosnie do porównywania zasad zarzadzania finansowego. Jest tometoda, która podaje ogólny poziom ryzyka, niezaleznie od rodzaju aktywów w powszechniezrozumiałych jednostkach jakimi sa pieniadze (wartosc rynkowa).

Konsekwencja zasady funkcjonowania VaR jest prosta: Jezeli dany portfel aktywów przynosiwieksze zyski, przy mniejszym poziomie ryzyka VaR, to nalezało zwiekszyc jego wielkosc. Je-zeli dane aktywo przynosi wieksze zyski przy takim samym poziomie VaR, to nalezało zwiek-szyc zaangazowanie w to aktywo. Jezeli zarzadzajacy generował wieksze zyski przy tym sa-mym poziomie VaR, to nalezy sie mu sie odpowiednio wieksza premia.

11.2 Kwantyle i percentyle

Z pojeciem VaR nieodłacznie zwiazane jest pojecie kwantyla. Cóz to jest kwantyl? Kwanty-lem rzedu 𝑝 zmiennej losowej 𝑋 o ciagłym rozkładzie danym gestoscia 𝑓(𝑥) nazywamy takawartosc 𝑥𝑝, ze zachodzi: ∫ 𝑥𝑝

−∞𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑥𝑝) = 𝑝

Percentylem, okresla sie kwantyl rzedu 𝑝100%

, czyli kwantyl rzedu 0.05 jest równy percentylowirzedu 5%. Dla rozkładu normalnego (Gaussa) o sredniej i variancji 𝜇 i 𝜎, odpowiednio, kwantylrzedu 𝑝 jest dany wzorem:

𝜇 + 𝜎√

2 erf−1(2𝑝− 1), (11.1)

co łatwo pokazac wiedzac, ze dystybuanta zmiennej normalnej wynosi:

1

2

[1 + erf

(𝑥− 𝜇

𝜎√

2

)]Wzór (11.1) ma wazna własnosci - widzimy, ze wystarczy znac kwantyl dla rozkładu o sred-niej zero i wariancji jeden by łatwo sobie przetransformowac na zmienna losowa o dowonychparametrach (oczywiscie gaussowska).

Wzory te sa dostepne w kazdym podreczniku statystyki wiec nie warto znac ich na pamiec, jed-nak warto sie dowiedziec jak wyliczyc wartosc kwantyla dla danych parametrów numerycznie.Niestety, widzimy, ze wzór (11.1) zawiera funkcje błedu Gaussa. Uzyjemy, Sage-a.

1 VaR jest konstrukcja oparta o statystyke rynków czyli zdarzen statystycznie najczesciej wystepujacych czylimimo, ze w 99 % sytuacji jest wspaniałym wynalazkiem, to niestety kiedy mamy do czynienie z ekstremalnasytuacja, VaR jest mało uzyteczny. Strate bowiem liczy sie, jako utrate wartosci liczona według zasady Mark-to-Market. Znaczy to, ze realna strata w przypadku katastrofy rynkowej jest z reguły duzo wyzsza. Powodemtego jest: płynnosc (a raczej jej brak w sytuacji kryzysowej) i bezwzglednosc konkurencji. Innymi słowy; strata,realizowana przy zamykaniu pozycji, w wyniku braku płynnosci na rynku, moze byc duzo wyzsza. Ponadto,konkurencja moze straty pogłebic, jeszcze bardziej zwiekszajac podaz.)

122 Rozdział 11. VaR


Poeksperymentujmy z kwantylami!Wartosci numeryczne róznych wartosci rozkładu normalnego (i nie tylko), moznaotrzymac w nastepujacy sposób:

T = RealDistribution(’gaussian’,1.0)k = T.cum_distribution_function_inv(0.05)print k

Teraz, sprawdzmy, ze rzeczywiscie wycałkowanie funkcji gestosci od

numerical_integral(T.distribution_function,(-oo,k))

Kwantyl mozemy obliczyc nie tylko dla normalnej zmiennej losowej. Załózmy, ze mamypewna liczbe (np. 100tys) realizacji zmiennej losowej w wektorze 𝑋 . Jezeli posortujemyte wartosci rosnaco i wezmiemy element o indeksie 5% × 100000 = 5000, to bedziemy mieliwartosc zmiennej losowej, ponizej której znajduje sie 5% “populacji” wyników losowania.Oczywiscie, jesli liczba losowan nie bedzie podzielna przez 20, to musimy np. zaokraglic. Wnumpy mamy przydatna funkcje np.percentile, która oblicza kwantyl z danego wektora danych.Nazwa sugeruje, ze podajemy na wejsciu 𝑝× 100%. Sprawdzmy sami:

import numpy as npX = np.random.randn(100000)X.sort()print X[5000]print "Wbudowana funkcja w numpy, daje:", np.percentile(X,int(5))

Przy małej liczbie danych widac pewne róznice pomiedzy np.percentile a nasza procedura,wynikajaca ze sposobu interpolacji. Warto tez zauwazyc, ze jesli dysponujemy mała próbkadanych, to wyznaczenie kwantyla obarczone jest duzym błedem. W szczególnosci jesli mamypróbke o liczebnosci 100 (co w analizie dnaych finansowych nie jest rzadkie) to kwantyl rzedu0.01, ma taka sama wariancje jak badana zmienna losowa, i jego wartosc bedzie tego samegorzedu co do wielkosci jak wariancja. Fakt ten znacznie rzutuje na wybór metod obliczeniowychstosowanych w analizie wartosci zagrozonej.

Warto tez nadmienic, ze wartosc kwantyla dla dowolnego poziomu mozna odczytac w arkuszukalkulacyjnym (np. OpenOffice, Excel,Arkusze Google) w funkcji: NORMSINV.

11.3 VaR - metody obliczania

Wartosc zagrozona (wartosc narazona na ryzyko, Value at Risk, VaR) w chwili t jest to takastrata wartosci rynkowej portfela, ze prawdopodobienstwo osiagniecia jej lub przekroczenia wrozpatrywanym okresie (t,) równe jest zadanemu poziomowi tolerancji 𝛼.

Literatura ; Jorion P., Value at Risk, 2nd edition, McGraw-Hill, 2001, Krzysztof Piontek, Aka-demia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych iUbezpieczen - http://www.kpiontek.ue.wroc.pl/testyVaR.pdf

Powyzsza definicje mozna zapisac w nastepujacy sposób:

Prawdopodobienstwo tego ze wartosc portfela pod koniec okresu bedzie nie mniejsza niz war-tosc portfela na poczatku okresu pomniejszona o VaR jest równa 𝛼.

11.3. VaR - metody obliczania 123


Taka jest istota VaRu. Jednak wyliczenie tej wielkosci to problem praktyczny który nie jest re-alizowany jednakowo. Stosuje sie bowiem w praktyce wiele metod aby oszacowac ta wartosc.Wartosc zagrozona w odniesieniu do portfela na rynku kapitałowym czy instrumentu finanso-wego, jest to taka strata jego wartosci rynkowej, ze prawdopodobienstwo jej osiagniecia lubprzekroczenia w zadanym okresie równe jest przyjetemu poziomowi tolerancji 𝛼. Zazwyczajprzyjmuje sie:

𝛼 = (0.01, 0.05),

przy czym im jest on nizszy, tym wyzsza jest wartosc VaR. Tak wiec przyjmuje sie najczesciejpraktycznie przyjmowane prawdopodobienstwo przekroczenia VaR wynosi 5% lub 1%. Oczy-wiscie, zakładamy typowe warunki rynkowej zmiennosci cen, znane z historii. Jest to pierwszez załozen jakie sa przyjmowane. Mozna by dyskutowac czy warunki z okresu lat 2003 - 2005mozna zastosowac do sytuacji rynku w roku 2007, albo czy dane z okresu 1925_1928 beda re-prezentatywne do tego co rynek pokazał pod koniec pazdziernika 1929roku, czyli w poczatkuWielkiego Kryzysu.

11.3.1 Metody wariancji - kowariancji

Bez wzgledu na metode, Value at Risk - miare straty mozna wyrazic jako wartosc absolutna lubjako jej procentowa wielkosc w stosunku do wartosci bazowej, badz w odniesieniu do wartoscisredniej portfela.

Omawianie tych metod zacznijmy od przykładu portfela składajacego sie z pojedynczego ak-tywa. Wartosc rynkowa aktywa zmienia sie rynkowo w czasie. Jest ona wieksza lub mniejsza.Trend jest raczej trudny do przewidzenia. Czesto zakładamy, ze ruch cen to ruch Browna.Duze zmiany wartosci sa rzadsze niz mniejsze. Obserwujac zmiany cen w dłuzszym okresiemozemy zauwazyc, ze duze zmiany sa mało prawdopodobne a ekstremalnie duze, wrecz nie-mozliwe. Decydujac jak bardzo mało prawdopodobne sa to zmiany decydujemy jakie skoki sapraktycznie niemozliwe czyli jakie straty portfela sa bardzo mało prawdopodobne ( lub nawetniemozliwe). Wybrany poziom prawdopodobienstwa to poziom tolerancji . Mówimy tutaj oufnosci a własciwie poziomie ufnosci.

Jesli poziom tolerancji czyli prawdopodobienstwo przekroczenia to 𝛼, to poziom ufnosci 𝑐 jestrówny 1 − 𝛼.

Wartosc VaR dla portfela składajacego sie z jednego aktywa jest funkcja:

• wartosci ( mierzonej w pieniadzu) portfela

• zmiennosci ceny aktywa, mierzonej jako odchylenie standardowe

• poziomu tolerancji

• horyzontu czasowego.

Jesli staramy sie okreslic VaR dla kolejnego, jednego dnia mozemy przyjac załozenie, ze sred-nia zmian dla jednego dnia wynosi zero.

Dla portfela jednego aktywa i jednego dnia zmian VaR wynosi:

𝑉 𝑎𝑅 = 𝑊 × 𝜎 × 𝑘, (11.2)



gdzie:

𝑊 - wartosc portfela w dniu poprzednim( w okresie poprzednim)

𝜎 - odchylenie standardowe ceny aktywa

𝑘 - liczba odchylen standardowych ponizej sredniej odpowiadajace 𝛼 kwanty-lowi wystandaryzowanego rozkładu normalnego.

Dla poziomu ufnosci 95%, 𝑐 = 0.95 czyli (1− 𝑐) jest piatym kwantylem (czyli 5%) standardo-wego rozkładu normalnego. Odpowiadajaca temu wartosc 𝑘 = −1.645, a gdy 1−𝛼 = 0.99, to𝑘 = −2.326.

PrzykładMamy portfel o wartosci 100000 jednostek pienieznych składajacy sie z akcji spółki“Reflex. SA.”. Załózmy, ze odchylenie standardowe dziennego zwrotu na tych akcjachwynosi 0.0251 ( 2.51%) dziennie.Chcac wiedziec z pewnoscia 95% jaki jest VaR naszego portfela prowadzimy wylicze-nia nastepujaco:

𝑊 × 𝜎 × 𝑘.

Czyli:

10000 × 0.0251 ×−1.645 = −4128.95

Znaczy to, ze posiadajac taki portfel w ciagu nastepnego dnia istnieje 5% szans na to,ze straty portfela moga wynies 4129 jednostek pienieznych lub wiecej. Czyli wartoscportfela moze spasc ponizej 95871 jednostek pienieznych.

Poszerzenie na wiecej niz jeden okres czasowy

Aby wycenic wartosc VaR w czasie wiecej niz jeden dzien (okres czasowy), korzysta sie zzaleznosci odchylenia standardowego od czasu.

Odchylenie standardowe po t okresach (np. dniach) jest równe odchyleniu standardowemudziennemu (jednego okresu) razy pierwiastek z ilosci okresów. Zachodzi to oczywiscie, jezeliprocesy zmiany ceny w kazdym z okresów sa niezaleznymi od siebie normalnymi zmiennymilosowymi o tych samych parametrach.

𝜎𝑡 =√𝑡𝜎1, (11.3)

gdzie 𝑡 - oznacza ilosc okresów( dni)

𝜎𝑡 - oznacza odchylenie standardowe dzienne ( jednego okresu)

𝜎1 - oznacza odchylenie standardowe po t okresach ( dniach).

Czyli jesli chcemy znac VaR naszego portfela w ciagu miesiaca na poziomie 95% pewnosci(przyjmuje sie srednio jako 22 dni robocze) wyliczamy:

𝑉 𝑎𝑅 = 10000 × 0, 0251 × 1.645 ×√

225 = 19 366.5 jednostek pienieznych



Nalezy jeszcze uogólnic sytuacje na przypadek, gdy ze srednia wartosc rozkładu zmiany cenyw danych okresie jest niezerowa. W takim przypadku kwantyl jest równy:

𝑅𝛼 = 𝜇− 𝑘𝜎 (11.4)

Czyli VaR jest równy:

𝑉 𝑎𝑅 = (𝜇− 𝑘𝜎)𝑊 (11.5)

Gdzie

𝑊 - wartosc portfela

𝜇 - srednia wartosc rozkładu

𝜎 - odchylenie standardowe stopy zwrotu

𝑘 - stała rozkładu

Portfel składajacy sie z wielu aktywów

Co jesli w naszym portfelu znajduje sie wiecej niz jedno aktywo? Wtedy nalezy uwzglednicistnienie korelacji miedzy zachowaniem sie aktywów.

Uwzglednienie korelacji prowadzi do stosowania tych samych elementów jak teori portfelaktórej autorem jest Markowitz. Z tej teorii wiadomo, ze ryzyko portfela zmniejsza jego dywer-syfikacja i taki efekt powinna odzwierciedlac równiez miara ryzyka jaka jest VaR.

Aby wyliczyc wartosc VaR takiego portfela nalezy dodatkowo okreslic:

• wage aktywa w portfelu (jego udział w wartosci portfela), udział jest bowiem wazonykapitałem

• odchylenie standardowe stopy zwrotu kazdego z aktywów portfela

• korelacje miedzy stopami zwrotu kazdego aktywa portfela.

Czyli VaR dla portfela aktywów o cenach danych przez wektor 𝑥𝑖 moze byc opisany przezunormowany do jednosci wektor:

w = (𝑤1, 𝑤2, ..., 𝑤𝑛).

Wartosc portfela wyraza sie przez:

𝑊 =𝑛∑

𝑖=1

𝑤𝑖𝑥𝑖

Uwaga: Wartosc portfela jest wiec liniowa funkcja (kombinacja) parametrów rynku.To załozenie nie zawsze jest spełnione, jesli w portfelu mamy instrumenty takie jakopcje czy kontrakty terminowe to ich wartosc zalezy w pewnien nieliniowy sposób np.od wartosci stóp procentowych czy cen instrumentów bazowych.



VaR jest dany przez taki sam wzór:

𝑉 𝑎𝑅 = (𝜇𝑃 − 𝑘𝜎𝑃 )𝑊 (11.6)

jednak wartosci 𝜇𝑃 i 𝜎𝑃 sa odpowienio: srednia wartoscia oraz odchyleniem standardowymcałego portfela. Niech ceny aktywów beda dane jako wektor 𝜇 = (𝜇1, 𝜇2, ..., 𝜇𝑛). Zakłada-jac, ze mamy do czynienia z gausowskimi zmiennymi losowymi, srednie odchylenie i wartoscportfela dane sa przez:

𝜎𝑃 = wTΣw

𝜇𝑃 = w𝜇(11.7)

Uwaga: Liniowa kombinacja zmiennych gaussowskich ma rozkład Gaussa wiec za-kładajac, ze mamy normalne rozkłady zmian cen bedziemy mogli opisywac rozkładwartosci portfela przez (11.7)

Wielowymiarowy rozkład stóp zwrotów składników portfela (wymiarowosc jest okreslonaprzez liczbe składników) jest wiec wielowymiarowym rozkładem normalnym o wektorze sred-nich 𝜇:

𝜇 =

⎡⎢⎢⎣𝜇1

𝜇2

. . .𝜇𝑛

⎤⎥⎥⎦ , (11.8)

i macierzy kowariancji danych Σ:

Σ =

⎡⎢⎢⎣𝜎11 𝜎12 . . . 𝜎1𝑛

𝜎21 𝜎22 . . . 𝜎2𝑛

. . . . . . . . . . . .𝜎𝑛1 𝜎𝑛2 . . . 𝜎𝑛𝑛

⎤⎥⎥⎦ (11.9)

gdzie 𝑛 jest liczba składników portfela.

Wartosci 𝜇𝑃 oraz Σ𝑃 mozemy wyliczyc korzystajac z wektora dryftu i macierzy kowariancjidanych.

Σ =𝑛∑

𝑖=1

𝑛∑𝑗=1

𝑤𝑖𝑤𝑗𝜎𝑖𝑗 (11.10)

𝜇 =𝑛∑

𝑖=1

𝑤𝑖𝜇𝑖

Zas 𝜇 oraz 𝜎 sa okreslone przez powyzszym wektorem 𝜇 i macierza Σ. Po podstawieniuostatnich dwu wzorów do wzoru (11.5) obliczyc mozna VaR. Powyzsze podejscie nosi nazwemetody wariancji-kowariancji.



PrzykładNiech portfel o wartosci poczatkowej 100000 składa sie z dwu składników jednego owadze 60% i odchylenie standardowym 1% i drugiego o o wadze 40% i odchyleniu 2%oraz współczynnik korelacji miedzy nimi niech wynosi 0.4.Przypomnijmy, ze współczynnik korelacji dla dwóch zmiennych losowych 𝑋, 𝑌 wiazesie w nastepujacy sposób z elementem pozadiagonalnym macierzy kowariancji:

𝜌𝑋𝑌 =⟨𝑋𝑌 ⟩𝜎𝑋𝜎𝑌

Dla takich danych:

𝜎𝑃 =√

𝑤2𝑋𝜎

2𝑋 + 𝑤2

𝑌 𝜎2𝑌 + 2𝑤𝑋𝑤𝑌 𝜌𝜎𝑋𝜎𝑌 (11.11)

w_X = 0.6w_Y = 1-w_Xrho = 0.4sigma_X = 0.01sigma_Y = 0.02sigmaP = sqrt(w_X^2*sigma_X^2+w_Y^2*sigma_Y^2 + 2*w_X*w_Y*rho*sigma_X*sigma_Y)print sigmaPT = RealDistribution(’gaussian’, 1.0)k = T.cum_distribution_function_inv(0.05)print ’k = ’,kprint "VaR procentowy= ",sigmaP*kprint "VaR pieniezny = ", 100000*sigmaP*k

11.3.2 Metody symulacji historycznej

Metoda ta sprowadza sie do wykorzystania historycznych stóp zwrotu instrumentu finansowego(np. portfela akcji). Najczesciej przyjmuje sie dzienne historyczne stopy zwrotu. Obserwujesie stopy przez pewien (odpowiednio długi) okres czasu, przykładowo 1 rok - czyli około 225obserwacji- z dni transakcyjnych. Historyczne stopy zwrotu pozwalaja okreslic empirycznyrozkład. Umozliwia to oszacowanie kwantyla rozkładu i wyznaczenie wartosci ryzykownej.Skutecznosc symulacji historycznej jest uwarunkowana niezmiennoscia stóp zwrotu w przy-szłosci w stosunku do danych historycznych. Stad korzysta sie z n obserwacji objetych bada-niem według formuły:

𝑅𝑡 =𝑛∑

𝑖=1

𝑤𝑖𝑅𝑖𝑡 (11.12)

W ten sposób zostaje wygenerowany rozkład statystyczny stóp zwrotu. Wyznaczenie odpo-wiedniego kwantyla tego rozkładu pozwala na wyliczenie VaR bezposrednio z definicji, czyliwg. pokazanych w poprzednich metodach zasad. Tym razem nie zakłada sie, ze rozkład jestrozkładem normalnym oaz unika sie szacowania parametrów takich jak srednia czy odchyleniestandardowe korzystajac z danych historycznych.



11.3.3 Metoda symulacji Monte Carlo

W metodzie Monte Carlo przyjmuje sie pewien model kształtowania sie cen rynkowych ak-tywa. Wybór modelu zalezy od autorów, ich doswiadczenia praktycznego czy teoretycznego.Niemniej jednak musi on zostac starannie sprawdzony na danych historycznych czy rzeczy-wiscie charakteryzuje własciwie zachowania sie danych rynkowych instrumentu finansowego.Nastepnie generuje sie wiele (tysiace) obserwacji stóp zwrotu instrumentów finansowych two-rzacych portfel. Otrzymuje sie, w ten sposób rozkład stóp zwrotów z portfela. Wyznaczenieodpowiedniego kwantyla tego rozkładu prowadzi do obliczenia VaR.

Schemat obliczen Monte Carlo jest nastepujacy:

• obliczamy parametry procesu zmian parametrów od których zalezy cena portfela - tzn.srednia i macierz kowariancji

• konstruujemy wektor zmiennch losowych o wczesniej obliczonych parametrach

• dla kazdej wartosci tego wektora, obliczamy wartosc przyszła indeksów a nastepnie war-tosc portfela

• wyliczmy odpowiedni kwantyl rozkladu wartosci portfela.

Pojawia sie praktyczne pytanie - jak majac standardowy generator niezaleznych liczb pseudo-losowych o rozkładzie normalnym (𝑁(0, 1)) wygenererowac wektor o zadanej sredniej i kowa-riancji. Wartosc srednia to nie jest problem, bo wystarczy dodac zadana srednia do wektora ozerowej sredniej. Natomiast, aby wynikowy wektor miał pozadane korelacje nalezy pomnozycgo przez pierwiastek z macierzy kowariancji.

Rzeczywiscie, niech:

𝑥𝑖 = 𝜇𝑖 +√

𝑆𝑖𝑘𝑁𝑘(0, 1)

wtedy:

⟨𝑥𝑖𝑥𝑗⟩ =⟨(

𝜇𝑖 +√

𝑆𝑖𝑘𝑁𝑘(0, 1))(

𝜇𝑗 +√

𝑆𝑗𝑙𝑁𝑘(0, 1))⟩

wymnazamy dwa nawiasy i otrzymujemy sume srednich nastepujacych składników, które sieupraszczaja do:

⟨𝜇𝑖⟩⟨𝜇𝑗⟩ = 𝜇𝑖𝜇𝑗

zmienna losowa 𝑁𝑖(0, 1) ma srednia zero wiec mamy:

⟨√

𝑆𝑖𝑘𝑁𝑘(0, 1)𝜇𝑗⟩ = 0

⟨√

𝑆𝑗𝑙𝑁𝑙(0, 1)𝜇𝑖⟩ = 0

i ostatni wyraz zawiera:

⟨√

𝑆𝑖𝑘𝑁𝑘(0, 1)√

𝑆𝑗𝑙𝑁𝑘(0, 1)⟩

Wykonujac sredniowanie, widzimy, ze poniewaz zmienne 𝑁𝑖(0, 1) sa niezaleznie i zachodzi

⟨𝑁𝑘(0, 1)𝑁𝑙(0, 1))⟩ = 𝛿𝑘𝑙



to ostatecznie otrzymujemy:

⟨𝑥𝑖𝑥𝑗⟩ = 𝜇𝑖𝜇𝑗 +√

𝑆𝑖𝑘

√𝑆𝑗𝑙𝛿𝑘𝑙 = 𝜇𝑖𝜇𝑗 + 𝑆𝑖𝑗

czyli:

⟨𝑥𝑖𝑥𝑗⟩ − 𝜇𝑖𝜇𝑗 = 𝑆𝑖𝑗

VaR z uwzglednieniem wartosci ekstremalnych - “Grube ogony rozkładu”

Dokładna analiza stóp zwrotu doswiadczalnych szeregów finansowych czasowych pozwalastwierdzic, ze to co dosc czesto było w powtarzane, czyli o rozkładzie normalnym jako modelu,w wielu przypadkach jest nieprawda. Wiekszosc szeregów finansowych wykazuje: istnienie „grubych ogonów” czyli prawdopodobienstwo pojawienia sie skrajnych wartosci, czy bardzoduzych zmian jest wyraznie wieksze niz w przypadku rozkładu Gaussa.

Wykresy rozkładów zwrotów pokazuja, ze duze zmiany wystepuja znacznie czesciej niz prze-widuje to rozkład normalny, natomiast mniej jest srednich zmian (wartosci odchylajacych sieod sredniej od 0.5 do 2.5 odchylen standardowych). W zwiazku z powyzszym koniecznejest poszukiwanie o nowych modeli. Na podstawie przeprowadzonych analiz ( np. Ka-tarzyna Brzozowska-Rup, Wiesław Dziubdziela „ESTYMACJA INDEKSU OGONA” WY-BRANYCH SZEREGÓW FINANSOWYCH ZA POMOCA ENTROPII RENYI’EGO. -szukajhttp://www.wne.sggw.pl/czasopisma/pdf/EIOGZ_2006_nr60_s69.pdf) oraz ( Ewa Miłos- Fi-nansowy Kwartalnik Internetowy „e-Finanse” 2011, vol. 7, nr 1 www.e-finanse.com Wyz-sza Szkoła Informatyki i Zarzadzania w Rzeszowie) wykazac mozna, ze w wielu zjawiskachwartosci ekstremalne pojawiaja sie zgodne z rozkładami potegowymi. W obliczeniach VaRskupiamy sie na poziomie ufnosci 99% zakładajac, ze strata sie nie zdarzy. W modelach war-tosci ekstremalnych skupiamy sie na tych niekorzystnych zdarzeniach, które maja bardzo małeprawdopodobienstwo wystapienia ale moga przyniesc duze straty. Szczególnie w instytucjachubezpieczeniowych istnieje potrzeba analizy zjawisk katastrof. Rozkłady wykazujace cechy „grubych ogonów to przykładowo rozkład t- Studenta, Pareto, etc. Modele rozkładów jakie sto-sowane sa w analizach i szacowaniach VaR opisane sa przykładowo (Tomasz Bałamut- Metodyestymacji Value AT Risk - NBP- Materiały i studia; zeszyt 147; 2002r.)

11.3.4 Nieliniowa funkcja wyceny

W przypadku, gdy portfel składa sie z instrumentów podstawowowych, to jego wartosc jestliniowa funckja cen składników. Moze sie jednak zdarzyc, a dzieje sie to czesto w praktyce,ze nasz portfel zawiera instrumenty, które w nieliniowy sposób zaleza od parametrów rynku.W takim przypadku metody: historyczna i Monte-Carlo moga byc zastosowane bez wiekszychmodyfikacji, jednak metoda wariancji-kowariancji musi byc zmodyfikowana.

Niech wartosc portfela bedzie funkcja 𝑃 (𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) parametrów rynku x = (𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛).Załózmy, ze znamy wartosc tych parametrów dzisiaj: x0 i chcemy dowiedziec sie jak zmienisie wartosc portfela do jutra. Niech przyrosty zmiennych beda dane przez proces:

dx = 𝜇𝑑𝑡 +√S𝑑𝑡𝑁(0, 1) (11.13)

gdzie 𝑑𝑡, 𝑆 to przedział czasu i macierz kowariancji przyrostów procesu na tym przedziale.


http://www.wne.sggw.pl/czasopisma/pdf/EIOGZ_2006_nr60_s69.pdf


Zakładamy wiec, ze przyrosty indeksów dx w okresie 𝑑𝑡 sa skorelowanymi zmiennymi gaus-sowskimi. W metodzie wariancji-kowariancji dla liniwej funkcji wyceny, to załozenie impli-kowało normalnosc rozkładu wartosci portfela. Nie jest to jednak prawda jesli funkcja wycenyjest nielinowa. Mozemy jednak wyznaczyc parametry rozkładu normalnego, który jak najlepiejprzpliza rzeczywisty rozkład wartosci portfela.

W tym celu, naturalnym wydaje sie byc zlinearyzownaie funkcji wyceny i zastosowanie wzo-rów (11.7). Popełnilibysmy jednak duzy bład. Pamietajmy, ze jezeli chcemy otrzymac wynik,który jest rzedu pierwszego w 𝑑𝑡 to musimy uwglednic mozliwosc pojawienia sie kwadratówczłonów

√S𝑑𝑡𝑁(0, 1). Innymi słowy musimy rozwinac funkcje 𝑃 (𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) w szereg

Taylora do drugiego rzedu włacznie, podstawic za przyrosty procesy (11.13) i obliczyc z takimrozkładem 𝜇𝑃 oraz 𝜎𝑃 , z dokładnoscia do 𝑑𝑡.

Ostatecznie odpowiedniki wzorów (11.7) przybiora postac:

𝜇𝑃 = 𝜇∇𝑃 +1

2Tr (H(𝑃 )S) 𝑑𝑡

𝜎𝑃 = ∇𝑃S∇𝑃 𝑇𝑑𝑡(11.14)

gdzie:

• ∇𝑃 - gradient wektora wartosci portfela obliczony dla wartosci poczatkowej x0

• 𝐻(𝑃 ) - Hessian wektora wartosci portfela obliczony dla wartosci poczatkowej x0

11.3.5 Przykład obliczenia VaR

Uwaga: Ponizsze komórki sa od siebie zalezne wiec nalezy wykonywac poprzednieby działały kolejne.

Zaimportujmy sobie dane historyczne notowac dwóch spółek, Comarch i Colian. W tym przy-padku pliki z danymi mamy w publicznym katalogu serwisu Dropbox, ale moga byc to dowolnemiejsca w sieci, dostepne poprzez www. Po zaimportowaniu, danych narysujemy historie no-towac i ich dziennych zmian.

import urllibimport numpy as npimport scipy.linalg

fp = urllib.urlopen("https://dl.dropboxusercontent.com/u/11718006/COMARCH.mst")d1 = np.loadtxt(fp,skiprows=1,usecols=range(1,7),delimiter=’,’)fp = urllib.urlopen("https://dl.dropboxusercontent.com/u/11718006/COLIAN.mst")d2 = np.loadtxt(fp,skiprows=1,usecols=range(1,7),delimiter=’,’)

# ostatni rokd1,d2 = d1[-248:,1],d2[-248:,1]

p1 = point(enumerate(d1))+\point(enumerate(d2),color=’red’,figsize=(8,2))

p2 = line(enumerate(np.diff(d1)/d1[1:]))+\line(enumerate(np.diff(d2)/d2[1:]),color=’red’,figsize=(8,2))



dataVAR = np.vstack([d1,d2]).Tshow(p1),show(p2)

W tym stanie mamy dane historyczne dwóch aktywów w tabeli dataVAR, w której kolumnyodpowiadaja kolejnym aktywom, a rzedy kolejnym okresom czasowym.

Zdefiniujemy sobie teraz funkcje, która obliczy nam wartosc portfela dla danych wartosci pa-rametrów rynku - valueP. Funkcja ta pobiera dwa argumenty, P - portfel, bedacy wektoremilosci aktywów (dwuelementowym w tym przypadku) oraz stan rynku m. Dodatkowa zabudo-wana jest funkcjonalnosc obliczenia wartosci na pewnej historii rynku, wówczas zwracany jestwektor wartosci portfela w tychze chwilach.

def valueP(P,m):if len(m.shape)==2:

stock = sum([ m[:,i]*P[i] for i in range(len(P))])else:

stock = sum([ m[i]*P[i] for i in range(len(P))])return stock

P = np.array([1,21])mrkt = np.array( [ 87.01, 3.01] )

print "Wartosc portfela",P," dla notowan",mrkt,"wynosi:",valueP(P,mrkt)

Metoda historyczna

Majac wczytane dane rynkowe oraz portfel w powyzszy sposób, dosc łatwo mozemy sobiezaimplementowac metode historyczna. W tym celu obliczamy przyrosty notowan, działajac namacierz dataVAR funkcja np.diff wzgledem rzedu. Nastepnie zapisujemy w pod nazwahist_sim hipotetyczne kursy przyszłe aktywów, dla kazdej wartosci przyrostu. Pozostajejuz tylko wycenic portfel dla nowych wartosci rynku i wziac piaty kwantyl.

dataVAR_dx = np.diff(dataVAR,axis=0)hist_sim = mrkt+dataVAR_dxchanges = valueP(P,hist_sim) - valueP(P,mrkt)print "VaR, metoda historyczna",np.percentile(changes,int(5))

Metoda wariancji kowariancji

W metodzie wariancji-kowariancji obliczamy najpierw wektor sredni avg oraz macierz ko-wariancji Cov z dziennych zmian cen dataVAR. Nastepnie korzystajac z formuł (11.7) obli-czamy parametry portfela 𝜇𝑃 i 𝜎𝑃 i wyliczamy odpowiedni kwantyl rozkładu normalnego wtymi wartosciami.

dataVAR_dx = np.diff(dataVAR,axis=0)avg = np.average(dataVAR_dx,axis=0)Cov = np.cov(dataVAR_dx.T)

sigma2P = (P.T).dot(Cov).dot(P)muP = avg.dot(P)

T = RealDistribution(’gaussian’, 1.0)k = T.cum_distribution_function_inv(0.05)



print "VaR metoda wariancji-kowariancji:", muP + np.sqrt(sigma2P)*k

Metoda symulacji Monte-Carlo

W metodzie symulacji Monte-Carlo postepujemy podobnie jak w historycznej, z ta róznica,ze generujemy zestaw nowych cen nie z pomoca historycznie zaobserwowanych zmian, alesztucznie wygenerowanych. Zakładamy, ze zmiany parametrów rynku ( w tym przypadku -ceny dwóch aktywów) powodujace zmiany wartosci portfela sa wektorem normalnych zmien-nych losowych, zadanym przez wektor srednich i macierz kowariancji. Te ostatnie, jak wpoprzedniej metodzie obliczamy z dostepnej historii.

N = dataVAR.shape[1]dataVAR_dx = np.diff(dataVAR,axis=0)avg = np.average(dataVAR_dx,axis=0)Cov = np.cov(dataVAR_dx.T)

sqrtCov = np.real_if_close(scipy.linalg.sqrtm(Cov))values = np.array([ valueP(P,mrkt + avg + \np.dot(sqrtCov,np.random.randn(N))) for i in range(10000)])

print "VaR, MC:",np.percentile(values-valueP(P,mrkt),int(5))

Porównanie wyników

Zauwazmy, ze VaR obliczony metoda wariancji-kowariancji i Monte Carlo - sa do siebie badzozblizone. W rzeczywistosci powinny one dawac w tym przypadku dokładnie ta sama wartosc.Dlaczego? Zauwazmy, ze mamy liniowa zaleznosc wartosci porftela od indeksów rynkowych.Oznacza to, ze symulowany rozkład bedzie normalny (jako liniowa kombinacja załozonych wMC normalnych rozkładów zmian indeksów. Najlepiej zobaczyc do na wykresie:

Gaussian(x,mu,sigma) = 1/sqrt(2*pi*sigma^2)*exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2))print muP,sigma2Pnbins = 100H = np.histogram(values-valueP(P,mrkt),bins=nbins)normalizacja = H[0].sum()*(H[1].max()-H[1].min())/nbinspoint( zip(H[1],H[0]/normalizacja) )+\plot(Gaussian(x,muP,sqrt(sigma2P)),(x,-16,16),color=’red’,figsize=5)

Porównajmy wiec dofitowany rozkład normalny z tym który realizuje sie w rzeczywistosci -który mozemy otrzymac przez znormalizowanie histogramu przyrostów historycznych:

nbins=55H = np.histogram(np.diff(valueP(P,dataVAR)),bins=nbins)normalizacja = H[0].sum()*(H[1].max()-H[1].min())/nbinsline( zip(H[1],H[0]/normalizacja) )+\plot(Gaussian(x,muP,sqrt(sigma2P)),(x,-16,16),color=’red’,figsize=5)

Widzimy, ze tu róznice sa znaczne. Interpretujac histogram danych rzeczywistych widzimy, zew praktyce mamy o wiele wieksze prawdopodobienstwo zajscia duzych fluktuacji niz przewi-duje rozkład Gaussa.



VaR w systemie Risk Metrics

VaR jako miara ryzyka powstała przy opracowaniu systemu pomiaru ryzyka w J.P. Morgan napoczatku lat 90. Na ten system składa ( składało w przeszłosci przy opracowywaniu systemu)sie metodologia, zgromadzone dane dotyczace setek instrumentów na całym swiecie i oprogra-mowanie pozwalajace na wyliczenia VaR zgodnie z metodologia i zebranymi danymi. Systempowstał w celu wprowadzenie wystandaryzowanej miary ryzyka dla całej organizacji jaka jestJ.P Morgan. Miara ta została oparta o analize odchylen zwrotów z danych instrumentów fi-nansowych oraz zaleznosci miedzy nimi. Po publikacji systemu RiskMetricsTM przez J.P.Morgan, VaR stała sie miara powszechnie uzywana w zarzadzaniu ryzykiem finansowym, nietylko w instytucjach finansowych. Miara ta została przyjeta przez Nadzór Finansowy jako re-gulacyjna metoda oceny ryzyka dla banków. Dotyczy to regulacji europejskich w tym polskich.Model podstawowy obliczania VaR stosowany przez RiskMetricsTM jest oparty o załozenie,ze zwroty sa generowane w geometrycznym ruchu Browna. Jest to ogólnie mówiac metodawariancji - kowariancji.

11.3.6 Wady i zalety VaR-u

VaR to stosunkowo prosta w praktycznym działaniu metoda porównania ryzyka w przypadkuinstytucji działajacej na rynku. Porównanie jest stosunkowo proste bo polega na porównaniuwielkosci wyliczonych VaR dla proponowanych portfeli . Wielkosc ta wyrazona jest w pienia-dzu i jest konkretna liczba. Interpretacja i porównanie jest wiec proste. Pozwala na łatwiejszezarzadzanie ryzykiem pojedynczego portfela jak i na wyzszych szczeblach zarzadzania ryzy-kiem działu czy całej instytucji. Pozwala na oszacowanie wielosci i tworzenie rezerwy kapi-tałowej na wypadek strat. Jest metoda uznana przez Nadzór Finansowy. Nie jest to jednakwartosc idealna.

Wady jej biora sie z załozen stosowanych modeli do wyliczen VaR. VaR jest liczony dla „ nor-malnych” warunków rynku. Normalny rynek to rynek danych historycznych. Jesli tylko rynekodchodzi od „ normalnosci”, model moze zawiesc. Jak wykazuje historia rynków zachowanietypowe rynków wystepuje od czasu do czasu. Czy rynek w okresie 2004 - 2005 jest typowymrynkiem dla wycen w roku 2007? W przypadku niepokojów na rynkach, rynki zachowuja sie“nietypowo” a straty wtedy sa szczególnie duze. Przy gwałtownych zmianach na rynku VaRmoze byc zawodny.

Liczenie VaR-u moze byc pracochłonne ( wyliczenia VaR portfeli metoda Monte Carlo).

Główny wpływ na jakosc wyników VaR ma estymacja zdarzen i trafnosc doboru modeli. Ist-nieja lepsze, alternatywne metody pomiaru ryzyka np. oczekiwana wartosc strat wiekszych odVaR w danym przedziale czasowym czyli warunkowa wartosc oczekiwanych strat

Podsumowujac warto podkreslic. Jest to najbardziej popularne obecnie narzedzie oceny ry-zyka. Jednakze, zadne narzedzie uzywane w finansach nie jest rynkowo neutralne. VaR jestuproszczeniem modelowym rynku. Zalezy od jakosci tego uproszczenia. „Modelowa mate-matycznosc” wyceny oraz ustalenie poziomu ufnosci VaR na stosunkowo wysokim poziomie,powoduje złudzenie posiadania kontroli, podczas gdy nalezy miec duzy szacunek do rynku,oraz pamietac, ze zerowe prawdopodobienstwo nie istnieje.



Słabosci VaR

W praktyce, co wynika po czesci z uregulowan prawnych, okreslanych przez instytucje nad-zorujace rynek, wartosc zagrozona (VaR) jest jedna z szerzej stosowanych miar ryzyka. Majednak pewne wady, z których najwieksza, z punktu widzenia stosowania VaR w analizie port-felowej, jest to, ze VaR nie spełnia warunku addytywnosci. Oznacza to, iz VaR policzona dlazdywersyfikowanego portfela moze byc wieksza niz suma VaR-ów wyznaczonych dla instru-mentów składowych. Tylko w przypadku współczynnika korelacji równego lub mniejszego od0 warunek addytywnosci jest spełniony. Ale taka sytuacje zachowania 𝜎 juz znamy z analizyportfela, a dokładnie dywersyfikacji wg. Markowitza.

Nalezy ponownie zwrócic uwage na jeszcze jedno przyjete załozenie. Załozono, ze rozkładyzmiany cen sa rozkładem normalnym, lub do niego zblizony. W rzeczywistosci rozkładydoswiadczalne zmian cen aktywów finansowych czesto nie odpowiadaja rozkładowi normal-nemu. W praktyce, rzeczywiscie, wiekszosc zmian cen oscyluje wokół wartosci oczekiwanej,ale wystepuja jednak czesciej (niz w rozkładzie normalnym) zmiany ekstremalne. Zmiany techarakteryzuja wystepowanie tzw. „grubych ogonów” rozkładu, co wpływa na zwiekszeniezmiennosci i nie sa ujmowane w VaR, w sposób adekwatny. Przyjecie załozenia o rozkładzienormalnym zmian wartosci ułatwia jednak obliczeniach znacznie zmniejsza koszty pomiaruryzyka.

Nadzorcy rynku, mimo, ze formalnie uznaja VaR jako narzedzie zarzadzania ryzykiem pozwa-lajace na okreslenie wielkosci rezerwy tworzonej na wypadek ewentualnej straty to wielkosctej rezerwy wymaganej przez Nadzór jest wiekszy zazwyczaj od wyliczonego tak jak powyzejo współczynnik - a zwiekszajac rozmiar tej rezerwy 𝑎 razy.

11.3.7 Analizy Scenariuszy

Jak to juz było podkreslane Var jest prosta miara ryzyka. To pewna wartosc pieniedzy, któremoga byc „stracone” przy niekorzystnej sytuacji zmiennosci rynku. Pierwsze co wydaje siekoniecznym do zrobienia to weryfikacja otrzymanych wyników w ujeciu historycznym.

Sposób myslenia zwany z angielska „ back testing” czyli porównanie historyczne.

Majac juz opracowany model i sposób liczenia Var dla portfela warto popatrzec wstecz jak wy-liczony z metody i modelu VaR miał sie do rzeczywistych wyników. Warto popatrzec na np.100 ostatnich wyliczen VaR ( np. . 95%, jednodniowego) i porównac ten wynik z rzeczywi-stymi stratami portfela w tym okresie. Interesujacym jest odpowiedz na pytanie czy wyliczonyVaR był przekraczany w przeszłosci i jak czesto.

Jesli wyliczany VaR jest systematycznie za niski znaczy to, ze przyjety model nie dowartoscio-wuje ryzyko i dlatego straty portfela przekraczaja. Znaczy to, ze nalezy zwiekszyc „mnoznik“dla liczenia wymogów kapitałowych. Jesli VaR jest „za wysoki“ model przecenia ryzyko iwymagany kapitał jest moze byc za duzy (czyli - za drogi). Kolejne kryterium analizy to Ana-liza Czułosci. Znajac skład portfela powinnismy wyliczyc na jakie zmiany I jakich wielkoscijest szczególnie czuły nasz portfel. Takiej analizie słuzy zrózniczkowanie równania na wartoscportfela w zaleznosci od zmiennych rynkowych.

O ile analiza czułosci jest daje dobre wyniki dla niewielkich zmian rynku to jesli mamy doczynienie z warunkami kryzysowymi to nie jest dobra aproksymacja ryzyka.



“Stress testing” to metoda testowania w warunkach znacznych zmian otoczenia rynkowego.W stress testing, stosujemy duze zmiany czynników, i wyliczamy dla nich wartosc portfela.Celem stress testing pokazanie w jasny sposób, co sie moze wydarzyc z ryzykiem i z czymbedzie trzeba sie zmierzyc. Przykładowo, typowe zdanie z stosowania metody stress testingmoze byc „jesli stopy procentowe wzrosna o 2%, mozemy stracic $15 millionów; jesli wzrosnao 4%, stracimy $28 millionów.”

Zazwyczaj, ruchy rynku podaje sie w sposób standaryzowany, aby były lepiej rozumiane wfirmie. Na przykład, zmiany cen akcji przy zmianie o -20%, -10%, oraz +10% i +20% . Za-sadnym jest podjecie decyzji które dane bedzie grupowac razem co bedzie lepiej ilustrowałoproblem.

Metoda” scenariuszy awaryjnych”.

Stress testing i analiza scenariuszy sa podobnymi metodami i sa stosowane celem wyliczeniaco sie moze wydarzyc w okreslonej sytuacji na rynku. Jednakze, w metodzie stress testing,zmiany czynników ryzyka sa zazwyczaj podobne i sa niejako typowe i obiektywne. W analiziescenariuszy, zmiany sa dobrane subiektywnie i celowo. W metodzie scenariuszy awaryjnych,uzywa sie takich danych by stworzyc kilka scenariuszy – najgorszego przypadku. Kazdy sce-nariusz odpowiada szczególnemu przypadkowi kryzysu rynku, np. kryzys USA 2007, upadekgospodarki Chin, podniesienie cen przez OPEC, wstrzymanie eksportu surowców energetycz-nych przez Rosje, itd . Zazwyczaj wybiera sie 5- 10 najgorszych scenariuszy.

Scenariusze zazwyczaj bazuja na: poprzednich kryzysach, aktualnym portfelu firmy, opiniachekspertów (scenariusze proponuja: Risk Menedzer, szefowie pionów etc.) . Biorac pod uwagiubiegłe kryzysy, porównuje sie dane historyczne z róznych rynków i sprawdza sie co by siestało gdyby aktualnie to sie nam przydarzyło dzis. Przykładowo, jesli 20% spadek w jedendzien na rynku U.S.A. ( co miało miejsce w1987), wydarzył by sie na rynkach euro?? Scena-riusz konfliktu zbrojnego etc.

Tak wiec, oprócz formalnego liczenia VaR dla statystycznych danych metoda powinna zostacprzetestowana tak jak opisano powyzej i wyliczenia dla scenariuszy powinny uzupełniac for-malne, codzienne wyliczenia VaR.

Taki zestaw analiz pozwala na lepsze zrozumienie ryzyka.


ROZDZIAŁ 12

Przykład - obliczenie VaR dla nieliniowej funkcjiwyceny

Uwaga: Ponizsze komórki sa od siebie zalezne wiec nalezy wykonywac poprzednieby działały kolejne.

Wyobrazmy sobie, ze posiadamy dwie akcje na rynku krajowym, oraz pozycje krótka na ze-rokuponowa obligacje na rynku zagranicznym. Z tej perspektywy rynek opisany przez czteryparametry, czas, wartosc aktywa, stope procentowa na rynku zagranicznym oraz kurs wymianywaluty obcej. Wartosc naszego portfela zalezy bowiem od tych parametrów. W przypadkuceny akcji jest to zaleznosc liniowa, ale wartosc obligacji zalezy nieliniowo od czasu, stopyprocentowej i kursu wymiany.

Rozwazmy historie rynku zawarta w tabeli, w której kazdy rzad oznacza:

• czas w dniach liczony od 1.1.1997

• cena aktywa

• stopa procentowa na rynku zagranicznym

• kurs wymiany waluty obcej.

Mamy:

import numpy as npimport scipy.linalg

dataVAR= np.array([[ 1. , 282. , 5.28 , 3.5 ],[ 2. , 283. , 5.26 , 3.47 ],[ 3. , 285. , 5.23 , 3.46 ],[ 4. , 280. , 5.24 , 3.45 ],[ 5. , 282. , 5.25 , 3.45 ],[ 6. , 281. , 5.24 , 3.46 ],[ 7. , 282. , 5.24 , 3.45 ],[ 8. , 286. , 5.25 , 3.43 ],[ 9. , 285. , 5.25 , 3.47 ],[ 10. , 286. , 5.26 , 3.443],[ 11. , 288. , 5.27 , 3.42 ],[ 12. , 289. , 5.28 , 3.42 ],[ 13. , 290. , 5.28 , 3.41 ],[ 14. , 289. , 5.28 , 3.42 ],

137


[ 15. , 291. , 5.29 , 3.46 ],[ 16. , 293. , 5.31 , 3.41 ],[ 17. , 294. , 5.32 , 3.4 ],[ 18. , 290. , 5.34 , 3.49 ],[ 19. , 287. , 5.35 , 3.47 ],[ 20. , 288. , 5.34 , 3.48 ],[ 21. , 289. , 5.35 , 3.46 ],[ 22. , 281. , 5.36 , 3.44 ],[ 23. , 283. , 5.23 , 3.45 ],[ 24. , 285. , 5.24 , 3.42 ],[ 25. , 288. , 5.25 , 3.41 ],[ 26. , 289. , 5.26 , 3.41 ],[ 27. , 287. , 5.26 , 3.43 ],[ 28. , 285. , 5.28 , 3.42 ],[ 29. , 290. , 5.27 , 3.44 ],[ 30. , 291. , 5.27 , 3.42 ],[ 31. , 289. , 5.27 , 3.37 ],[ 32. , 288. , 5.29 , 3.39 ],[ 33. , 290. , 5.28 , 3.41 ],[ 34. , 293. , 5.31 , 3.44 ],[ 35. , 292. , 5.32 , 3.41 ],[ 36. , 293. , 5.28 , 3.42 ],[ 37. , 293. , 5.3 , 3.42 ],[ 38. , 293. , 5.31 , 3.44 ],[ 39. , 292. , 5.32 , 3.41 ],[ 40. , 293. , 5.3 , 3.4 ]])

Na przykład dnia 13.1.1997 było:

print dataVAR[12]

Wyobrazmy sobie, ze jest 10.2.1997 i mamy portfel dwóch akcji i jestesmy dłuzni jedna obli-gacje na sto jednostek waluty zagranicznej z data wykonania 8 maja 2000. Oznaczmy przez Pstrukture danych okreslajaca nasz portfel, stan rynku przez mrkt10Feb97 oraz zdefiniujmyfunkcje wyceny portfela valueP:

from datetime import datemrkt10Feb97 = np.array( [[40,293,5.3,3.4]] )P = [2,(-1,(date(2000,5,8)-date(1997,1,1)).days)]

def valueP(P,m):if len(m.shape)==1:

stock = m[1]*P[0]bond = 100*m[3]*exp(-m[2]/100. * (P[1][1]-m[0])/365.25) * P[1][0]

else:stock = m[:,1]*P[0]bond = 100*m[:,3]*exp(-m[:,2]/100. * (P[1][1]-m[:,0])/365.25) * P[1][0]

return stock+bond

print "Wartosc portfela na 10 Feb 1997",valueP(P,mrkt10Feb97)[0]

138 Rozdział 12. Przykład - obliczenie VaR dla nieliniowej funkcji wyceny


12.1 Metoda historyczna

Wycenmy wartosc zagrozona ryzykiem VaR na poziomie 20% metoda historyczna. W tymprzypadku mamy taki sam sposób postepowania jak w przykładzie z liniowa funkcja wyceny:

dataVAR_dx = np.diff(dataVAR,axis=0)hist_sim = mrkt10Feb97+dataVAR_dxchanges = valueP(P,hist_sim)-valueP(P,mrkt10Feb97)print "Metoda historyczna",np.percentile(changes,int(20))

12.2 Metoda wariancji kowariancji

W tej metodzie mamy znaczna róznice, nie obowiazuja bowiem proste formuły

dataVAR_dx = np.diff(dataVAR,axis=0)avg = np.average(dataVAR_dx,axis=0)Cov = np.cov(dataVAR_dx.T)

m=mrkt10Feb97[0]h = 0.01dx = h*np.eye(4)dP = [(valueP(P,m+dx[i])-valueP(P,m))/h for i in range(4)]dP = np.array(dP)

m = mrkt10Feb97[0]dx = h*np.eye(4)d2P = [[(valueP(P,m+dx[i]+dx[j])+valueP(P,m)-\

valueP(P,m+dx[i])-valueP(P,m+dx[j]))/h^2 for i in range(4)] for j in range(4)]d2P = np.array(d2P)

muP = avg.dot(dP)+0.5*np.trace(d2P.dot(Cov))sigma2P = dP.dot(Cov).dot(dP.T)T = RealDistribution(’gaussian’, 1.0)k = T.cum_distribution_function_inv(0.2)print "VaR, metoda wariancji kowariancji:",muP + np.sqrt(sigma2P)*k

12.3 Metoda Monte Carlo

import scipy.linalgsqrtCov = np.real_if_close(scipy.linalg.sqrtm(Cov))values = np.array([ valueP(P,mrkt10Feb97 + avg + \

np.dot(sqrtCov,np.random.randn(4)))[0] for i in range(10000)])

print "VaR, MC:",np.percentile(values-valueP(P,mrkt10Feb97)[0],int(20))

12.4 Porównanie

Gaussian(x,mu,sigma) = 1/sqrt(2*pi*sigma^2)*exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2))print muP,sigma2P

12.1. Metoda historyczna 139


nbins = 20H = np.histogram(np.diff(valueP(P,dataVAR)),bins=np.linspace(-12,12,nbins))

normalizacja = H[0].sum()*(H[1].max()-H[1].min())/nbinsline( zip(H[1],H[0]/normalizacja) )+\plot(Gaussian(x,muP,sqrt(sigma2P)),(x,-16,16),color=’red’,figsize=5)

140 Rozdział 12. Przykład - obliczenie VaR dla nieliniowej funkcji wyceny

ROZDZIAŁ 13

Dodatek: Komputerowa analiza drzew binarnych

Modele zachowania zmienajacej sie w czasie ceny pewnego aktywa 𝑆, dziela sie na te z czasemciagłym i dyskretnym. W przypadku modeli z czasem dyskretnym, zakładamy, ze zmiany cenaktywa oraz wszelkie transakcje maja miejsce w pewnym wybranych momentach czasu, np.raz na dzien.

Najprostszym wariantem modelu z czasem dyskretnym, jest taki, w którym cena aktywa wczasie 𝑡 + 1 moze przybierac jedna z dwóch wartosci:

𝑆𝑖+1 =

{𝑆+ z prawdopodobienstwem 𝑝𝑆− z prawdopodobienstwem 1 − 𝑝

Startujac z pewnej wartosci aktywa w chwili poczatkowej, w pierwszym okresie mamy dwiemozliwosci. W drugim okresie, kazda z tych mozliwosci prowadzi do kolejnych dwóch.Uogólniajac po 𝑁 okresach mamy 2𝑁 mozliwych scenariuszy ewolucji ceny.

Wartosci 𝑆+ 𝑆− generalnie moga byc dowolne, ale z przyczyn praktycznych stosuje sie kilkareguł. Po pierwsze wartosc aktywa 𝑆𝑖+1 zalezy od poprzedniej wartosci 𝑆𝑖. Po drugie chcemy,zeby drzewo wartosci aktywa generowane przez proces zmian cen w czasie było drzewem“rekombinujacym”. Oznacza to, ze jesli aktywo zdrozeje a nastepnie potanieje to jego cena be-dzie dokładnie taka sama jakby najpierw potaniało a potem zdrozało. Wtedy, pomimo tego, zeliczba scenariuszy po 𝑁 okresach nadal pozostaje równa 2𝑁 , to liczba mozliwych do osiagnie-cia róznych cen aktywa wynosie 𝑁 + 1. Zdecydowanie ułatwia to wykonywanie rachunków nawiekszych drzewach.

Nastepujace dwa scenariusze wyboru reguł zmian cen prowadza do drzew rekombinujacych.

• drzewa addytywne: Jesli cena aktywa po jednym okresie moze wzrosnac o ∆1 lub zmaleco ∆2 i wartosci te sa stałe w czasie oraz niezalezne od wartosci ceny aktywa, to

• drzewa multiplikatywne: Jesli cena aktywa po jednym okresie moze wzrosnac do 𝑆𝑢 lubzmalec do 𝑆𝑑, dla pewnych liczb 𝑢 > 1 oraz 0 < 𝑑 < 1, niezaleznych od ceny akcji iczasu.

Do operacji na drzewach uzyjemy list zagniezdzonych. Bedziemy stosowali kilka funkcji po-mocniczych, które beda generowały drzewa jak i przedstawiały je graficznie.

import numpy as npdef gen_all(niter,SP = 4.0,q=0.175,delta1=None,delta2=None):

SP = [[SP]]

141






def gen_recombining(niter,SP = 4.0,q=0.175,delta1=None,delta2=None):SP = [[SP]]for i in range(niter):










plt+=point2d( (l,p),size=244,color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0,faceted=True )plt+= text("%0.1f"%p,(l,p),color=’black’,figsize=(5,3))





plt+=arrow2d( (l-1,SP[l-1][int(i/2)]),(l,p), arrowshorten=16)plt+=point2d( (l,p),size=244,color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0,faceted=True )plt+= text("%0.1f"%p,(l,p),color=’black’,figsize=(5,3))





142 Rozdział 13. Dodatek: Komputerowa analiza drzew binarnych







plt+=arrow2d( (l-1,SP[l-1][int(i/2)]),(l,p), arrowshorten=16)plt+=point2d( (l,p),size=244,color=’gray’,alpha=0.2,zorder=0,faceted=True )plt+= text("%0.1f"%op,(l,p),color=’black’,figsize=(5,3))


Opis programuFunkcja gen_all generuje zadana przez pierwszy parametr liczbe poziomów drzewabinarnego. Startujemy z wartosci SP. Z danej wartosci w poprzednim okresie sa gene-rowane dwie nowe. Zgodnie z reguła addytywna: s+delta1, s-delta2 a z mul-tiplikatywna mamy (1+q)*s, s/(1+q). Reguła multiplikatywna jest domysna, afunkcja uzyje wersji addytynej jesli na wejsciu podamy parametry delta1,delta2.Struktura danych w której bedziemy przechowywac dane wyjsciowe (drzewo binarne)to lista wartosci w kazdym okresie - czyli zagniezdzona lista list. Poniewaz gen_allgeneruje wszystkie scenariusze nalezy pamietac wiec by 𝑛 nie było zbyt duze, bo iloscscenariuszy jest ∼ 2𝑛.Funkcja gen_recombining ma ten sam wywołania jak gen_all. Róznica polegana tym, ze liczba mozliwych stóp procentowych w n-tym okresie wynosi 𝑛 + 1 a nie2𝑛.Funkcje plot_tree i plot_tree2 przedstawiaja graficznie drzewa binarne, przyczym ta ostatnia wersja pozwala naniesc wartosci z dodatkowego drzewa. Ma to zasto-sowanie w przypadku wizualizacji ewolucji cen opcji.

Drzewa multiplikatywne maja kilka zalet. Po pierwsze cena nie bedzie ujemna. Nie jest toprawda w modelu addytywnym! Po drugie, załozenie stałej zmiany, niezaleznej od ceny aktywawydaje sie nierzeczywiste. Rozsadniejszym wydaje sie podanie wzglednej zmiennosci cenyaktywa, co własnie implementuje model multyplikatywny.

Wygenerujmy dla przykładu drzewo z czterema rozgałezieniami, rekombinujace i multiplika-tywne:

plot_tree(gen_recombining(4,SP=30,q=0.1)),plot_tree(gen_all(4,SP=30,q=0.1))

Zauwazmy, ze w pełnym drzewie binarnym mamy w 𝑛-tym okresie 2𝑛 wartosci, z którychtylko 𝑛 jest liczbowo róznych. Procedura rysujaca wszystkie wartosci, rysuje stopy procen-towe w kółkach o kolorze jasnoszarym, przy czym jezeli narysujemy wiecej niz raz jasnoszarekółko jedno na drugim to kolor bedzie ciemniejszy (zwiazane jest to z opcja alpha=0.2, któraokresla stopnien przezroczystosci koloru). Wynika z tego, ze im ciemniejszy kolor tym wiecejelementów pełnego drzewa dwumiennego ma dana wartosc.

W pełnym drzewie binarnym istnieje tylko jedna sciezka realizujaca kazda gałaz. Wobec tego

143


mozna powiedziec, ze liczba sciezek realizujacych stope procentowa jest proporcjonalna doodcienia na powyzszym rysunku. Wyraznie widzimy, ze skrajne wartosci sa duzo mniej praw-dopodobne od tych w srodku.

Drzewa binarne, sa fundamentalnym elementem modelowania rynku finansowego. Rozwaza-nia z zakresu teorii rynków finansowych moga byc łatwo zademnostrowane na rynkach skon-czonych, które sa naturalnym rozszerzeniem rynku jednookresowego, dwustanowego.

13.1 Drzewa binarne

Rozwazmy drzewo binarne w którym aktywo zmienia sie poczawszy od wartosci poczatkowej𝑆0 = 100 o 20 jednostek w góre lub w dół. Ponizszy kod generuje takie drzewo:

sage: N = 3sage: SP = gen_recombining(N,SP=100,delta1=20,delta2=20)sage: plt_sp = plot_tree(SP)sage: plt_sp.set_axes_range(ymax=170)sage: plt_sp

Mozemy go samodzielnie uruchomic:

N = 3SP = gen_recombining(N,SP=100,delta1=20,delta2=20)plt_sp = plot_tree(SP)plt_sp.set_axes_range(ymax=170)plt_sp.show()print SP

Majac drzewo w postaci struktury zagniezdzonej listy, mozemy wygenerowac sobie wszystkiescenariusze ewolucji na tym drzewie:

Wezmy prawdopodobienstwa 𝑞 jako wartosci miary (jeszcze nie wiemy czy martyngałowej):

sage: var(’q’)sage: q = 1/2sage: Q = [q,1-q]



Wybierzmy sobie z naszego drzewa pewna cene z okresu drugiego oraz dwie mozliwosci jejewolucji w czasie.

sage: SP[2][1],SP[3][1],SP[3][2](100, 120, 80)

mozemy sobie narysowac to na drzewie, aby sprawdzic czy sa to dokładnie te wezły o którenam chodzi.

sage: point([ (2,SP[2][1]),(3,SP[3][1]),(3,SP[3][2])],color=’yellow’,size=600,zorder=-10,ymin=0,ymax=170,xmax=3.4)+plt_sp

Dla miary 𝑞 = 12

mozemy obliczyc jaka bedzie stopa oprocentowanie wolnego od ryzyka, którezapewni to, ze ta miara bedzie miara arbitrazowa:

sage: var(’r’)sage: eq = SP[2][1]*(1+r) == q*SP[3][1]+(1-q)*SP[3][2]sage: show(eq)

100 𝑟 + 100 = 100

Ile wynosi 𝑟?

sage: solve(eq,r)[r == 0]

Bedzie to zachodziło dla kazdego wezła, sprawdzmy:

sage: def calculate_r(i=2,j = 1):...... eq = SP[i][j]*(1+r) == q*SP[i+1][j]+(1-q)*SP[i+1][j+1]... show([SP[i][j],SP[i+1][j],SP[i+1][j+1]])... return solve(eq,r)[0].rhs()

sage: calculate_r(i=1,j = 1)0

[80, 100, 60]

13.1. Drzewa binarne 145


Definiujemy tablice wszystkich sciezek (historii) ewolucji ceny aktywa, z notaja, ze:

• 0 - oznacza wzrost ceny

• 1 - oznacza spadek ceny

sage: all_moves = CartesianProduct(*( N*[[0,1]]) ).list()

Ruchom tym przyporzadkowujemy prawdopodobienstwa. Korzystamy z faktu, ze miara mar-tryngałowa jest taka sama w kazdym punkcie drzewa binarnego.

sage: Qmoves = [ map(lambda x:Q[x],m) for m in all_moves ]

Mozemy teraz obliczyc prawdopodobienstwo kazdej sciezki:

sage: map(prod,Qmoves)[1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8]

Zobaczmy czy sumuja sie one do jednosci:

sage: try:... print sum(map(prod,Qmoves)).full_simplify()sage: except:... print sum(map(prod,Qmoves))1

Jesli dla kazdej sciezki obliczymy jej koncowa wartosc - biorac pod uwage rekombinacje tomamy po prostu sume:

sage: map( sum, all_moves)[0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3]

To biorac odpowiedznie prawdopodobienstwa zajscia sciezek:

sage: map(prod,Qmoves)[1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8]

Otrzymamy - Rozkład dwumianowy (Bernoulliego!)

sage: binom = (N+1)*[0]sage: for m,p in zip( map( sum, all_moves), map(prod,Qmoves) ):... binom[m] += psage: binom[1/8, 3/8, 3/8, 1/8]

sprawdzmy korzystajac np. z jego implementacji w pakiecie scipy:

sage: import scipy.statssage: binom_dist = scipy.stats.binom(N,1-q)sage: #bar_chart([binom_dist.pmf(x) for x in range(21)])sage: d = [binom_dist.pmf(x) for x in range(N+1)]sage: d[0.12500000000000003, 0.375, 0.375, 0.12500000000000003]

Mozemy teraz obliczyc srednia z ceny aktywa po Obliczny srednia po sciezkach:

sage: for q_,p_,in zip(Qmoves,all_paths):... print q_,p_,round( prod(q_)*SP[N][p_[N]] )



[1/2, 1/2, 1/2] [0, 0, 0, 0] 20[1/2, 1/2, 1/2] [0, 0, 0, 1] 15[1/2, 1/2, 1/2] [0, 0, 1, 1] 15[1/2, 1/2, 1/2] [0, 0, 1, 2] 10[1/2, 1/2, 1/2] [0, 1, 1, 1] 15[1/2, 1/2, 1/2] [0, 1, 1, 2] 10[1/2, 1/2, 1/2] [0, 1, 2, 2] 10[1/2, 1/2, 1/2] [0, 1, 2, 3] 5

Srednia wartosc aktywa 𝑆 wynosi: ∑𝑝∈𝑃

(∏𝑞𝑖

)𝑆𝑃𝑁,𝑝𝑁

gdzie oznaczylismy przez dla sciezki 𝑝 ze zbioru wszystkich sciezek 𝑃 przez:

• 𝑞𝑖 - prawdopodobienstwo, skoku ceny miedzy okresami 𝑖 i 𝑖 + 1

• 𝑝𝑁 - indeks w drzewie wartosci aktywa na koncu sciezki 𝑝

• 𝑆𝑃𝑖,𝑗 jest tablica cen aktywa, w 𝑖 oznacza okres a 𝑗 indeks w drzewie wartosci.

Na przykład mamy:

sage: sum([prod(q_)*SP[N][p_[N]] for q_,p_,in zip(Qmoves,all_paths)])100

Majac takie narzedzie mozemy policzyc srednia po realizacjach (sciezkach) dowolnej funkcjiceny aktywa. Na przykład akcji sprzedazy, której cena jest dana przez: max(0, 𝑆 −𝐾)

sage: K=100sage: sum([prod(q_)*( max(0,SP[N][p_[N]]-K) ) for q_,p_,in zip(Qmoves,all_paths)])15

13.1.1 Ewolucja portfela na drzewie binarnym.

Mamy portfel 𝑃 - [akcje,obligacje] w chwili 𝑡 = 0. Obliczmy jego ewolucje czasowa. Zanimto uczynimy, policzmy jak zmienia sie cena aktywa na pewnej sciezce:

sage: for i,p_ in enumerate(all_paths[6]):... print "czas:",i,"cena",SP[i][p_]czas: 0 cena 100czas: 1 cena 80czas: 2 cena 60czas: 3 cena 80

co graficznie mozemy przedstawic:

sage: plot_tree(SP)+line( [( i,SP[i][p_] ) for i,p_ in enumerate(all_paths[6])],color=’red’)



sage: r = 0sage: P = [1,123]sage: for i,p_ in enumerate(all_paths[6]):... print "czas:",i,"cena",SP[i][p_],"wartosc portfela:",P[0]*SP[i][p_]+P[1]*(1+r)^iczas: 0 cena 100 wartosc portfela: 223czas: 1 cena 80 wartosc portfela: 203czas: 2 cena 60 wartosc portfela: 183czas: 3 cena 80 wartosc portfela: 203

sage: K=100sage: [prod(q_)*( max(0,SP[N][p_[N]]-K) ) for q_,p_,in zip(Qmoves,all_paths)][15/2, 5/2, 5/2, 0, 5/2, 0, 0, 0]

sage: [max(0,s-K) for s in SP[N]][60, 20, 0, 0]

sage: OP = [ [max(0,s-K) for s in SP[N]] ]

sage: OP[[60, 20, 0, 0]]

13.1.2 Hedging na drzewie binarnym:

Przypuscmy, ze mamy kupca na opcje po 16, której cena godziwa, tzn. taka przy której niezachodzi arbitraz, wynosi 15. Istnieje mozliwosc zarobienia. Wystawiajac jednak opcje nara-zamy sie na duze ryzyko. Na naszym modelowym rynku idealnym jestesmy zainteresowanizyskiem bez ponoszenia ryzyka.

Idea hegdingu, jest taka konstrukcja portfelem by w KAZDYM scenariuszu ewolucji ceny ak-tywa, otrzymac zysk = 1 (wynikajacy z poczatkowej róznicy ceny godziwej i rynkowej).

Po pierwsze bedziemy potrzebowali ceny opcji w kazdym wezle drzewa. Niech drzewo cenopcji bedzie w strukturze zagniezdzonej listy OP.

sage: OP = [ [max(0,s-K) for s in SP[N]] ]sage: for idx in range(N):



... el = [ q*OP[-1][i]+(1-q)*OP[-1][i+1] for i in range(len(OP[-1])-1)]

... OP.append(el)sage: OP.reverse()

sage: plot_tree2(SP,OP)

sage: OP[[15], [25, 5], [40, 10, 0], [60, 20, 0, 0]]

sage: p_ = all_paths[6]sage: p_[0, 1, 2, 2]

sage: p_ = [0,0,1,2]sage: Pt = [(0,16,SP[0][0])]sage: for i,(k,k_next) in enumerate(zip(p_,p_[1:])):... delta = (OP[i+1][k]-OP[i+1][k+1])/(SP[i+1][k]-SP[i+1][k+1])... x = delta - Pt[-1][0]... print k,delta,Pt[-1][0]... Pt.append( (delta,Pt[-1][1]-x*SP[i][k],SP[i+1][k_next]) )0 1/2 00 3/4 1/21 1/2 3/4

sage: Pt[(0, 16, 100), (1/2, -34, 120), (3/4, -64, 100), (1/2, -39, 80)]

sage: Pt[-1][0]*Pt[-1][2],Pt[-1][1](40, -39)

sage: print "mamy akje szt.:",Pt[-1][0],"po",Pt[-1][2]sage: print "oraz depozyt/dlug:",Pt[-1][1]sage: print "i obiecanke za opcje:",-max( Pt[-1][2]-K,0)mamy akje szt.: 1/2 po 80oraz depozyt/dlug: -39i obiecanke za opcje: 0



sage: total = Pt[-1][0]*Pt[-1][2]+Pt[-1][1]-max( Pt[-1][2]-K,0)sage: total1

sage: def calculate_evo(SP,OP,p_,c=1):... Pt = [(0,0,SP[0][0])]... for i,(k,k_next) in enumerate(zip(p_,p_[1:])):... delta = c*(OP[i+1][k]-OP[i+1][k+1])/(SP[i+1][k]-SP[i+1][k+1])... delta = 3.0 ## try -1 0... x = delta - Pt[-1][0]... Pt.append( (delta,Pt[-1][1]-x*SP[i][k],SP[i+1][k_next]) )... return (Pt[-1][0]*Pt[-1][2]+Pt[-1][1]-max(c*( Pt[-1][2]-K),0),Pt)

sage: def calculate_evo(SP,OP,p_,c=1):... Pt = [(0,0,SP[0][0])]... for i,(k,k_next) in enumerate(zip(p_,p_[1:])):... delta = c*(OP[i+1][k]-OP[i+1][k+1])/(SP[i+1][k]-SP[i+1][k+1])... x = delta - Pt[-1][0]... Pt.append( (delta,Pt[-1][1]-x*SP[i][k],SP[i+1][k_next]) )... return (Pt[-1][0]*Pt[-1][2]+Pt[-1][1]-max(c*( Pt[-1][2]-K),0),Pt)

sage: calculate_evo(SP,OP,[0,0,1,2])[0]-15

sage: for path in all_paths:... print SP[-1][path[-1]],calculate_evo(SP,OP,path)[0],-max(SP[-1][path[-1]]-K,0)160 -15 -60120 -15 -20120 -15 -2080 -15 0120 -15 -2080 -15 080 -15 040 -15 0

13.1.3 Niezerowa stopa procentowa

Pominmy teraz nierealistyczne załozenie o niezerowej stopie procentowej.

max(0,K-s) - czyli mamy do czynienia z opcja sprzedazy

sage: rate = 28.59sage: (1+rate/3/100).n(),exp(rate/3/100).n()(1.09530000000000, 1.09998880227224)

sage: C = exp(rate/3/100).n()sage: C1.09998880227224

sage: C=1.1

Generujemy drzewko prawdopodobienstw arbitrazowych:



sage: QP = []sage: for k in range(N):... q_ = [ (sp*C-sp1)/(sp0-sp1) for j,(sp,sp0,sp1) in enumerate(zip(SP[k],SP[k+1sage: ],SP[k+1][1:]))]... # print k,j,sp,sp0,sp1,(sp*C-sp1)/(sp0-sp1)... QP.append(q_)

sage: QP[[0.750000000000000], [0.800000000000000, 0.700000000000000], [0.850000000000000, 0.750000000000000, 0.650000000000000]]

sage: plot_tree(SP)

Generacja drzewka prawdopodobienstw martyngałowych z 𝑞 = 𝑞𝑡

sage: K = 100sage: OP = [ [max(0,K-s) for s in SP[N]] ]sage: for idx in range(N):... el = [ 1/C*(QP[N-idx-1][i]*OP[-1][i]+(1-QP[N-idx-1][i])*OP[-1][i+1]) for i in range(len(OP[-1])-1)]... OP.append(el)sage: OP.reverse()

sage: plt=plot_tree2(SP,OP)sage: plt.set_axes_range(ymax=170.0)sage: plt += line([(0,100),(3,100* exp(rate/100))],color=’red’)sage: plt += line([(i,100*(1+rate/3/100.)^i) for i in range(4)],color=’green’)sage: plt



sage: OP[[3.13673929376408], [0.826446280991734, 11.3223140495868], [0.000000000000000, 4.54545454545454, 30.9090909090909], [0, 0, 20, 60]]

sage: q= 0.657756377113472sage: 1/C*(q*20+(1-q)*60)30.6270408322374

sage: plot_tree(SP)

sage: path = [0,0,0,1]sage: path = [0, 0, 1, 2]sage: plt = plot_tree2(SP,OP)sage: plt += line( [( i,SP[i][p_] ) for i,p_ in enumerate(path)],color=’red’)sage: plt.set_axes_range(xmin=-1)sage: plt



sage: def calculate_evo(SP,OP,p_,c=1,rate=28.59,depozyt=0):... """ Zwraca zysk/strate na zabezpieczeniu pozycji opcji P/C technika delta-hegde...... :param SP: drzewo cen akcji... :param SP: drzewo cen opcji... :param c: 1 - dla wystawienia opcji, -1 - dla kupna opcji... """... C = exp(rate/3/100).n()... Pt = [(0,depozyt,SP[0][0])]... for i,(k,k_next) in enumerate(zip(p_,p_[1:])):... delta = c*(OP[i+1][k]-OP[i+1][k+1])/(SP[i+1][k]-SP[i+1][k+1])... x = delta - Pt[-1][0]... #print delta,x,-x*SP[i][k]... Pt.append( (delta,C*( Pt[-1][1]-x*SP[i][k]),SP[i+1][k_next]) )... return (Pt[-1][0]*Pt[-1][2]+Pt[-1][1]-c*max(c*( Pt[-1][2]-K),0),Pt)

sage: [SP[i][k] for i,k in enumerate(path)][100, 120, 100, 80]

sage: calculate_evo(SP,OP,path,c=-1,rate=28.59)[1][(0, 0, 100), (0.262396694214876, -28.8633425389616, 120), (0.113636363636363, -12.1131898459641, 100), (1/2, -55.8239405508766, 80)]

sage: calculate_evo(SP,OP,path,c=-1,rate=28.59)[0]4.17605944912340

Załózmy, ze kupilismy opcje za 2.5, wtedy mamy depozyt=2.5:

sage: calculate_evo(SP,OP,path,c=-1,rate=28.59,depozyt=-2.5)[0]*exp(-rate/100)0.637631093519873

Wartosc opcji w czasie 𝑡 = 3 wynosi:

sage: (OP[0][0])*1.1^34.17499999999999

Efekt zabezpieczenia - kazdy scenariusz prowadzi do tego samego wyniku finansowego.

sage: for path in all_paths:... print path,SP[-1][path[-1]],calculate_evo(SP,OP,path,c=-1,rate=28.59)[0][0, 0, 0, 0] 160 4.17544866397274



[0, 0, 0, 1] 120 4.17544866397274[0, 0, 1, 1] 120 4.17605944912340[0, 0, 1, 2] 80 4.17605944912340[0, 1, 1, 1] 120 4.17667022805639[0, 1, 1, 2] 80 4.17667022805639[0, 1, 2, 2] 80 4.17707741815681[0, 1, 2, 3] 40 4.17707741815681

Widzimy, ze dla kazdego scenariusza mamy ten sam stan koncowy!

sage: exp(0.1/sqrt(3))^3e^(0.100000000000000*sqrt(3))


Documents

Analiza Rynków Finansowych - visual.icse.us.edu.plvisual.icse.us.edu.pl/ARF/analiza_rynków_finansowych.pdf · Analiza danych rynkowych Oprogramowanie Sage a w szczególno´sci zawarte