Ma. Guadalupe Flores BarreraAndrés Rivera Díaz

Contenido EMAT-HIDALGO

i Introducción

iii Organización de la Antología EMAT-Hidalgo

1 Programación Tercer Grado, EMAT-Hidalgo

Septiembre

4 Programas equivalentes (86)

5 “Deshacer” operaciones (94)

6 Criterios congruencia de triángulos LLL, LAL y ALA (Actividad didáctica)

8 Figuras directa o inversamente congruentes (124-125)

Octubre

10 Radios (132-133), Cuerdas (134-135) y Tangentes (136-137)

16 Ángulos en la circunferencia (Actividad didáctica)

18 ¿Grados Fahrenheit o centígrados? (118-119)

20 ¿No podría ir más rápido? (120)

Noviembre

21 Problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado (Actividad didáctica)

22 Resolviendo ecuaciones de segundo grado (Actividad didáctica)

24 Idea de triángulos semejantes (146-147)

26 Polígonos regulares y Generaliza para cualquier polígono regular (43-46)

Diciembre

30 Simulación con el modelo de urna (2) (133)

31 Simulación con el modelo de urna (3) (134-135)

Enero

33 Analizando gráficas de rectas (123)

34 Construyendo varias gráficas de funciones en Cabri (Actividad didáctica)

35 Comprobación de la fórmula general de segundo grado (Actividad didáctica)

36 Funciones cuadráticas (129-130)

Febrero

38 Teorema de Tales (150-151)

40 Recíproco del teorema de Tales (152-153)

42 Unidad 10 RAZÓN Y PROPORCIÓN (85-91)

49 La homotecia como aplicación del teorema de Tales (154-157)

Marzo y Abril

53 ¿Una ecuación para desalojar la escuela? (125)

54 Números poligonales (Actividad didáctica)

55 Teorema de Pitágoras (158-159)

57 Unidad 20 TRIÁNGULOS (174-182)

66 Explosión demográfica (98) e Inflación contra salario (99-100)

69 Interés compuesto (101-102) y Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto (103-104)

Mayo

73 Construyendo algunos cuerpos geométricos (Actividad didáctica)

74 Uso de Fórmulas de Superficie y Volumen de Sólidos (Actividad didáctica)

76 Problema de Optimización de Área o Volumen. (Parte uno) (Actividad didáctica)

77 Problema de Optimización de Área o Volumen. (Parte dos) (Actividad didáctica)

Junio

78 Lanzamiento de dados (Parte I) (Actividad didáctica)

80 Lanzamiento de dados (Parte II) (Actividad didáctica)

82 ¿Cómo se dibuja un diagrama de caja? (Actividad didáctica)

84 Bibliografía

                                                                                                   

Introducción

Las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) suponen un revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos a una era de cambio y de modificaciones constantes que influyen significativamente en nuestras vidas.

Mantenernos expectantes o tomar las riendas de emergentes procesos de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por cada uno de nosotros.

En el ámbito educativo las TIC pueden suponer una importantísima ayuda como medio de acceder al currículum, así como también favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas, como un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada y, una herramienta fundamental de trabajo para el profesor.

En definitiva pudiéramos preguntarnos, ¿Qué aspectos caracterizan a las TIC que las hacen tan especial en la educación matemática? Una reflexión alrededor de esta pregunta nos podría conducir a definir un grupo de aspectos que lo podrían caracterizar:

1. Aprendizaje continuo, por parte del alumno y del profesor, pues éste tendrá que estar actualizado para planificar con éxito las tareas docentes que realizarán los estudiantes.

2. Las TIC no solo pueden ser objeto de estudio sino que éstas deben pasar a ser herramienta indispensable para el alumno, tienen que ser integradas al entorno educativo.

3. Garantiza el desarrollo de una enseñanza significativa y facilita de antemano una educación integral.

4. Dinamiza el papel del profesor y del alumno, este último, de sujeto pasivo dentro del proceso pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tendrá como función rectora la orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean utilizadas en el proceso.

5. Humaniza el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollarán sus actividades con el apoyo de las tecnologías, economizando tiempo y energía.

Además de estas ventajas que nos proporcionan las Tecnologías Educativas en el

proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor interdisciplinaridad, o sea podemos relacionar el contenido matemático con el de otras asignaturas que contribuyan a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes hidalguenses.

Por lo anterior, la Dirección General de Educación Básica del Estado de Hidalgo, ha implementado el proyecto:

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo)

a través de la Coordinación Estatal de los profesores: Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz, quienes imparten un curso-taller programado, un día al mes, durante el ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, de cada modalidad de Educación Secundaria, para que a la vez ellos lo multipliquen con sus profesores que imparten matemáticas de sus zonas correspondientes, en un día al mes también.

I

Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre las cuatro herramientas tecnológicas: Hoja electrónica de Cálculo, Calculadora TI-92, Geometría Dinámica y Programación computacional, las cuales son propuestas originales de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se ha diseñado y compilado una Antología EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar de educación secundaria.

Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida, aplicaremos esta Antología de Tercer Grado, EMAT-Hidalgo, por el bienestar de nuestros alumnos hidalguenses.

Mtro. Pablo Moreno Calva

Director General de Educación Básica

SEP, Estado de Hidalgo

 

II

Organización de la Antología

PRESENTACIÓN

La Antología Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de actividades didácticas que contemplan el uso de cuatro piezas de tecnología estrechamente relacionadas, cada una con las áreas específicas de la geometría, el álgebra, la aritmética, la resolución de problemas y la modelación matemática. La Antología cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de matemáticas, para las modalidades de Educación Secundaria (General, Técnica y Telesecundaria).

En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas cuatro piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico, respectivamente, que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico.

La propuesta Hidalgo, es trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o espacio asignado con equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde el inicio de curso escolar, los directivos deben elaborar los horarios, asignando en forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.

En la Antología, se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de geometría euclidiana; la calculadora TI-92 para la introducción a la sintaxis algebraica y a la resolución de problemas; el software de LOGO, lenguaje de programación con representación geométrica, al igual que la hoja electrónica de cálculo, para la enseñanza del álgebra, la resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información.

En el espacio para desarrollar el proyecto EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las hojas de actividades didácticas programadas semanalmente en la Antología.

Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello la programación de las actividades es de la siguiente manera:

MES DE OCTUBRE Semana BLOQUE UNO Herramienta Actividad Pág.

1ra 3. Representen sucesiones numéricas o con

figuras a partir de una regla dada y viceversa. Hoja de cálculo Generando secuencias de

Números (38-39)

11

III

En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a:

Explorar. Formular y validar hipótesis. Expresar y debatir ideas.

Aprender comenzando con el análisis de sus propios errores.

Las sesiones EMAT-Hidalgo, se organizan a partir de actividades didácticas en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la computadora, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas actividades ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados.

Finalmente, una reflexión:

La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional,

podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños.

Los autores: Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz

Coordinadores Estatales de EMAT-Hidalgo

 

IV

PROGRAMACIÓN TERCER GRADO

    MES DE SEPTIEMBRE 

Sem.  BLOQUE UNO Herramienta Actividad  Pág.. 

1ra 1. Transformen expresiones algebraicas en 

otras equivalentes al efectuar cálculos. Calculadora 

Programas equivalentes (86) 

4

2da Calculadora 

“Deshacer” operaciones (94) 

5

3ra 2. Apliquen los criterios de congruencia de 

triángulos en la justificación de propiedades de figuras geométricas. 

Geometría Dinámica 

Criterios congruencia de triángulos LLL, LAL y ALA (Actividad didáctica) 

6

4ta  Geometría Dinámica 

Figuras directa o inversamente 

congruentes (124‐125) 

8

    MES DE OCTUBRE 

Sem.  BLOQUE UNO Herramienta Actividad  Pág.

1ra 3. Resuelvan  problemas  que  implican 

relacionar ángulos  inscritos y centrales de una circunferencia. 

Geometría Dinámica 

Radios (132‐133) Cuerdas (134‐135) Tangentes (136‐137) 

10

2da  Geometría Dinámica 

Ángulos en la circunferencia 

(Actividad didáctica) 

16

3ra 4. Resuelvan problemas que implican 

determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráficamente. 

Calculadora ¿Grados Fahrenheit o centígrados? (118‐119) 

18

4ta  Calculadora ¿No podría ir más rápido? (120) 

20

    MES DE NOVIEMBRE 

Sem.  BLOQUE DOS Herramienta Actividad  Pág.

1ra 1. Resuelvan problemas que  implican el uso 

de  ecuaciones  de  segundo  grado, asumiendo  que  éstas  pueden  resolverse mediante  procedimientos  personales  o canónicos. 

Hoja de Cálculo Problemas que implican el uso de ecuaciones de 

segundo grado (Actividad didáctica) 

21

2da  Calculadora Resolviendo ecuaciones de segundo grado (Actividad didáctica) 

22

3ra 2. Resuelvan problemas que implican utilizar 

las propiedades de la semejanza en triángulos y en general en cualquier figura. 

Geometría Dinámica 

Idea de triángulos semejantes (146‐147) 

24

4ta  LOGO Polígonos regulares y Generaliza para 

cualquier polígono regular (43‐46) 

26

 

1

 

    MES DE DICIEMBRE 

Sem.  BLOQUE DOS Herramienta Actividad  Pág.

1ra  3. Resuelvan problemas de probabilidad que impliquen utilizar la simulación. 

Hoja de Cálculo Simulación con el modelo de urna (2) 

(133) 

30

2da  Hoja de Cálculo Simulación con el modelo de urna (3) 

(134‐135) 

31

    MES DE ENERO 

Sem.  BLOQUE TRES Herramienta Actividad  Pág.

1ra 1. Interpreten y representen, gráfica y 

algebraicamente, relaciones lineales y no lineales. 

Hoja de Cálculo Analizando gráficas de 

rectas (123) 

33

2da Geometría Dinámica 

Construyendo varias gráficas de funciones en 

Cabri (Actividad didáctica) 

34

3ra 2. Utilicen adecuadamente la fórmula 

general para resolver ecuaciones de segundo grado. 

Calculadora Comprobación de la fórmula general de segundo grado 

(Actividad didáctica) 

35

4ta  Hoja de Cálculo Funciones cuadráticas(129‐130) 

36

    MES DE FEBRERO 

Sem.  BLOQUE TRES Herramienta Actividad  Pág.

1ra 3. Resuelvan problemas geométricos que 

implican el uso del teorema de Tales. 

Geometría Dinámica 

Teorema de Tales (150‐151) 

38

2da Geometría Dinámica 

Recíproco del teorema de Tales (152‐153) 

40

3ra 4. Conozcan las condiciones que generan 

dos o más figuras homotéticas, así como las propiedades que se conservan y las que cambian. 

LOGO Unidad 10 RAZÓN Y 

PROPORCIÓN (85‐91) 

42

4ta Geometría Dinámica 

La homotecia como aplicación del teorema de Tales (154‐157) 

49

  

 

 

 

 

2

 

 

    MESES DE MARZO Y ABRIL 

Sem.  BLOQUE CUATRO Herramienta Actividad  Pág.1ra  1. Representen algebraicamente el término 

general, lineal o cuadrático, de una sucesión numérica o con figuras. 

Calculadora ¿Una ecuación para desalojar la escuela? 

(125) 

53

2da  Hoja de Cálculo Números poligonales (Actividad didáctica) 

54

3ra  2. Resuelvan problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras y razones trigonométricas. 

Geometría Dinámica 

Teorema de Pitágoras (158‐159) 

55

4ta  LOGO Unidad 20 TRIÁNGULOS (174‐182) 

57

5ta  3. Resuelvan problemas que implican el uso de procedimientos recursivos, tales como el crecimiento poblacional o el interés sobre saldos insolutos. 

Hoja de Cálculo Explosión demográfica (98) 

Inflación contra salario (99‐100) 

66

6ta  Hoja de Cálculo Interés compuesto (101‐102) 

Tiempos de duplicación en el crecimiento 

compuesto (103‐104) 

69

    MES DE MAYO 

Sem.  BLOQUE CINCO  Herramienta Actividad  Pág.1ra  1. Resuelvan problemas que impliquen 

calcular el volumen de cilindros y conos o cualquier término de las fórmulas que se utilicen. Anticipen cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones. 

Geometría Dinámica 

Construyendo algunos cuerpos geométricos (Actividad didáctica) 

73

2da  Hoja de Cálculo Uso de Fórmulas de Superficie y Volumen de 

Sólidos (Actividad didáctica) 

74

3ra  Geometría Dinámica 

Problema de Optimización de Área o Volumen. (Parte uno) (Actividad didáctica) 

76

4ta  Geometría Dinámica 

Problema de Optimización de Área o Volumen. (Parte dos) (Actividad didáctica) 

77

    MES DE JUNIO 

Sem.  BLOQUE CINCO  Herramienta Actividad  Pág.1ra  2. Describan la información que contiene 

una gráfica del tipo caja‐brazos. Hoja de Cálculo 

Lanzamiento de  dados (Parte I) 

(Actividad didáctica) 

78

2da Hoja de Cálculo 

Lanzamiento de dados (Parte II) 

(Actividad didáctica) 

80

3ra Hoja de Cálculo 

¿Cómo se dibuja un diagrama de caja? (Actividad didáctica) 

82

 

3

 

PPrrooggrraammaass  eeqquuiivvaalleenntteess..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..   

   

Llamaremos programas equivalentes a los programas que producen los mismos resultados. 

 

1. Escribe sobre la línea dos programas que sean equivalentes al programa A × 1 

 _______________________________________________________________________ 

2. Un alumno dice que el programa A × 1 es equivalente al programa A. ¿Estás de acuerdo 

con él?   _______ Escribe en tu calculadora el programa A y compara los resultados con el programa 

A × 1. Escribe tus conclusiones a continuación   __________________________________ 

_________________________________________________________________________ 

_________________________________________________________________________ 

3. Construye tres programas equivalentes al programa 3 × B. Pruébalos en tu calculadora y, 

si producen los mismos resultados, escríbelos a continuación. 

1)  

 

2)  

3)  

 

4. De la siguiente lista de programas, subraya los que sean equivalentes al programa B. No 

debes tener errores. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas. 

 

A ÷ 2 + A ÷ 2  

 

4 × B – 4 × B  

5 × C – 4 × C  

B + B  

1 × D × 1 

5. Comprueba la equivalencia de las siguientes expresiones algebraicas. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas. 

                       

                              

, si                                                  , si   

 

   

 

4

““DDeesshhaacceerr””  ooppeerraacciioonneess..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  

   

Gerardo y Silvia  resolvieron  la ecuación 5  (a + 2) + 4 = 59 “deshaciendo” operaciones. Su estrategia consistió  en  usar  operaciones  inversas  a  las  que  se muestran  en  la  ecuación.  La manera  en  que razonaron se describe a continuación. 

Primero notaron que si 5 (a + 2) + 4 = 59, entonces el valor de 5 (a + 2) lo podían obtener “deshaciendo sumar 4” a través de restar 4. Esto los condujo a la ecuación 5 (a + 2) = 55. 

La ecuación 5 (a + 2) = 55 para hacerla más sencilla “deshicieron” multiplicar por 5, dividiendo entre 5. Con esto obtuvieron la ecuación a + 2 = 11, porque a + 2 es la quinta parte de 5 (a + 2) y la quinta parte de 55 es 11. 

Por  último  resolvieron  la  ecuación  a  +  2  =  11,  decidieron  “deshacer”  sumar  2,  restando  2.  Así encontraron que a = 9, esto es la solución de la ecuación 5 (a + 2) + 4 = 59. 

¿Entendiste  la  estrategia  que  usaron  Gerardo  y  Silvia?  Si  tu  respuesta  es  afirmativa,  resuelve  las siguientes ecuaciones como ellos lo hicieron. Usa tu calculadora para realizar esta actividad. Verifica las respuestas, recuerda que sólo debes escribir respuestas correctas. 

 

a)  3925)8(7 =+−a  

 

 

b)  94)4(818 =++ b  

 

 

c) 552)1(5

52

=−+ b  

 

d)  522

8=−

−x 

 

e)  2231215 =

++

y 

 

f) 16935

85.0

=+−x

 

 

g)  263

)5(4−=−

−x 

 

h)  17127

)3(5=+

−x 

 

    

 

5

Criterios de Congruencia de triángulos Vamos a hacer uso de Cabri Géomètre para este contenido matemático, para ello tendrás que usar las herramientas de: edición numérica, semirrecta, transferencia

de medida, circunferencia, rotación, triángulo, distancia y longitud, marca de ángulo, ángulo.

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son; sin embargo puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son HOMOLOGAS.

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan CRITERIOS DE CONGRUENCIA los cuales son:

1. Criterio LLL: si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triángulos son congruentes.

Construye un triángulo, cuyas medidas de sus tres lados sean 8.7, 9 y 5.5, respectivamente

6

2. Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Construye un triángulo, cuyas medidas de dos lados adyacentes sean 7.3 y 4.7, respectivamente y el ángulo que forman sea de 120 grados

3. Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Construye un triángulo, cuyas medidas de dos ángulos midan 100° y 47°, respectivamente y el lado entre ellos mida 8.2

7

 

   iiiggguuurrraaasss   dddiiirrreeeccctttaaa   ooo   iiinnnvvveeerrrsssaaammmeeennnttteee   ...   ...   ...   ...   ...   ...     Triángulos y cuadriláteros      cccooonnngggrrruuueeennnttteeesss   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 ¿Cómo  son  entre  sí los triángulos formados por las diagonales que atraviesan el rombo de arriba? 

 

 

Algunos son directamente congruentes, mientras otros son inversamente congruentes. 

 

 Si  el  punto  de  intersección  de  las  diagonales  es  el  vértice  común  de  los  cuatro triángulos,  ¿Qué  valor  tiene  el  ángulo,  en  este  vértice  común,  en  cada  uno  de  los  cuatro triángulos? _____________________________ 

 Por  lo  tanto,  para  clasificar  los  triángulos  como  directamente  o inversamente  congruentes,  bastará  una  rotación  o  una  reflexión, respectivamente. 

 

FF  

Propósito: Distinguir cuando dos figuras son directamente congruentes o 

inversamente congruentes. 

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

_______________________________________________ 

8

   

...   ...   ...      ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...      ...   ...   ...   ...   TTTeeerrrccceeerrr   gggrrraaadddooo   

 ¿Cuáles son los 

triángulos directamente 

congruentes? 

 

 Demuestra lo 

anterior utilizando el comando 

ROTACIÓN y describe lo que 

pasa. 

 

 ¿Cuáles son los 

triángulos inversamente 

congruentes? 

 

 Demuestra lo anterior 

utilizando el comando SIMETRÍA 

AXIAL y describe lo que pasa. 

 

 

 

 

 

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_____________________________________________

9

  rrraaadddiiiooosss...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...     El circulo    

                   

 Elige dos puntos, A y B, sobre la circunferencia de centro O.                               

            

 

 

 

RR  

Propósito: Descubrir propiedades de la circunferencia. 

O

A

B

10

   

...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   TTTeeerrrccceeerrr   gggrrraaadddooo   

 El triángulo AOB, 

¿tiene alguna característica 

particular? 

 

 Ahora, si desplazas el 

punto B sobre la circunferencia. 

¿qué ocurre con el triángulo 

AOB? 

 

 Si desde O trazas la 

perpendicular a la cuerda AB, ésta 

intersecta a la cuerda en un 

punto dado al que se llamará L. Al 

mover B o A sobre la 

circunferencia, ¿qué relación se 

tiene entre las longitudes de AL y 

LB? 

 

 

 

 

 

 

 

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_________________________________________________ 

11

  uuueeerrrdddaaasss...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...      ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...     El circulo     

                      

 Sobre una circunferencia de centro O  elige dos puntos A y B; traza la cuerda que los une y encuentra su punto medio M. Une por medio de un segmento (trazo punteado) M y O.  

 ¿Cuánto mide el ángulo AMO? _____________________________ Ahora desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿Cambia el ángulo AMO? ¿A qué atribuyes lo anterior? _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

      

 

   

 

CC  

Propósito: Descubrir propiedades de las cuerdas en la circunferencia. 

O

A

B

M

12

   

...   ...   ...   ...   ...   ......   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   TTTeeerrrccceeerrr   gggrrraaadddooo   

 Traza  el  punto  diametralmente  opuesto  a  B  y  llámalo  B’.  BB’  es  un  diámetro  de  la 

circunferencia. Si  trazas el segmento B’A, ¿Qué posición guarda  respectivamente del segmento 

OM? ___________________________________________________________________________ 

_______________________________________________________________________________ 

 

 Desplaza el punto A sobre  la circunferencia. ¿sigue manteniéndose  la propiedad entre 

B’A  y  OM? ___________________________________________________________________ 

_______________________________________________________________________________ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

  

aaannngggeeennnttteeesss...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...      ...   ...     El circulo   

Nombre ________________________________________________ Edad ______________ 

Escuela ________________________________________________ Fecha _____________ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 P  es  un  punto 

exterior  a  la  circunferencia 

desde el  cual  se  traza un  rayo 

que  la  intersecta  en  dos 

puntos: M y N. 

¿Qué  particularidad  tiene  el 

triángulo OMN? 

 ¿Cómo son los 

ángulos OMN y ONM? 

 

 

  

TT  

Propósito: Descubrir qué propiedades caracterizan a la recta tangente de la 

circunferencia. 

O

PN M

65,7 °

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________ 

_____________________________________________________

_____________________________________________________ 

14

   

...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   TTTeeerrrccceeerrr   gggrrraaadddooo   

   

 ¿Cómo se llama la 

semirrecta PM (o PN) con 

respecto a la circunferencia? 

 Al mover la semirrecta PM, ¿qué le ocurre al ángulo OMN? _______________________ 

_______________________________________________________________________________ 

¿Qué valor toma el ángulo OMN si M coincide con N? ___________________________________ 

En este caso, ¿cómo se le llama a la semirrecta PM? _____________________________________ 

¿Y el triángulo OMP? ______________________________________________________________ 

 Escribe los pasos a 

seguir para trazar la tangente 

desde un punto P exterior a 

una circunferencia dada. 

              

 

________________________________________________

________________________________________________ 

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________

____________________________________________________ 

15

Ángulos en la circunferencia Con el uso de cabri, corrobora las definiciones y las construcciones

Ángulo central Es aquel ángulo formado por dos radios de una circunferencia. Su medida es proporcional a su arco que sostiene y la razón de proporcionalidad es el radio.

Ángulo inscrito Llamaremos ángulo inscrito en una circunferencia a aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son rectas secantes..Su medida es la mitad del arco que abarca

Ángulo semiinscrito Es aquel ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, un lado tangente y el otro secante. Su medida es la mitad del arco que abarca. 

  

   

16

Ángulos en la circunferencia (Continuación) Con el uso de cabri, corrobora las definiciones y las construcciones

Ángulo exinscrito Se le llama así al ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, un lado es secante y el otro exterior a la circunferencia. Su medida es la semisuma de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo y entre los lados del opuesto por el vértice.

Ángulo interior Es aquel que tiene el vértice en el interior de la circunferencia. Su medida es igual a la semisuma de los arcos interceptados por él por su opuesto por el vértice.

Ángulo exterior Su vértice esta fuera de la circunferencia y sus lados son secantes. Su medida es la semidiferencia entre las amplitudes de los arcos que abarca.

 

 

Ac

17

¿¿GGrraaddooss  FFaahhrreennhheeiitt  oo  cceennttííggrraaddooss??..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..   

En México se usa  la escala en grados centígrados para medir  la temperatura y en otros países se 

usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla muestra algunas equivalencias entre esas escalas.  

Fahrenheit  ‐13  ‐4  5  32  100 

Centígrados  ‐25  ‐20  ‐15  0  37.77 

1. Usa  los datos de esa tabla para hacer una gráfica de puntos. En el eje x representa  los valores en grados Fahrenheit y en el eje y los valores en grados centígrados. 

2. ¿Puedes construir una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime 

        a  ellos?  _________ ¿Qué tipo de gráfica construirías? ______________________________________ 

¿Qué ecuación usaste para construir tu gráfica? ____________________________________________ 

3. Usa  la  ecuación que  construiste para  completar  la  siguiente  tabla  y  compara  los  valores que 

obtuviste con la tabla de valores dados.  

x (Fahrenheit}  ‐13  ‐4  5  32  100 

y (centígrados)           

Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tabla que se te dio, 

ajusta la ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación. 

¿Obtuviste una nueva ecuación?   ______________ ¿Cuál es? ________________________________ 

____________________________________________________________________________  4. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso. 

a) ¿A cuántos grados centígrados equivalen 60 grados Fahrenheit? ____________________________ 

b) ¿A cuántos grados centígrados equivalen ‐12 grados Fahrenheit? _______________________________ 

c) ¿A cuántos Fahrenheit equivalen 24 grados centígrados? _________________________________ 

d)  El  agua  hierve  a  100°C,  ¿a  qué  temperatura  hierve  el  agua  si  la  medimos  en  grados Fahrenheit?  ________________________________________________________________________ 

 

 

tividad 

82

18

..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ¿¿GGrraaddooss  FFaahhrreennhheeiitt  oo  cceennttííggrraaddooss??  

5. Compara tus respuestas con  las de tus compañeros. ¿Encuentras diferencias  notables?   ____________ 

¿A qué crees que se deban?______________________________________________________________ 

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________  

 

ó. ¿Podrías usar  los datos de  la  tabla que  se  te dio al  inicio de esta actividad para encontrar una 

fórmula que te permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit a grados centígrados? ______ 

  ___________________ ¿Cómo lo harías? ________________________________________________ 

Si pudiste hacerlo, completa la siguiente fórmula: °F = __________________________________  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

  19

¿¿NNoo  ppooddrrííaass  iirr  mmááss  rrááppiiddoo??..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..   

   

Un automóvil viaja a velocidad constante. En el  

eje y se muestra la distancia en metros que recorre.  

En el eje x se registró el tiempo del recorrido   

en intervalos de 2 segundos.  

 Escala en el eje x: 1 

               Escala en el eje y: 2 

 Contesta lo que se pide en cada caso usando la información que da esa gráfica. 

1.  ¿Durante cuánto tiempo se registró el movimiento del automóvil? _______________________________ 

2. ¿Cuántos metros había recorrido el automóvil después de 2 segundos? ____________________________ 

3. ¿Qué distancia recorrió el automóvil al término de 6 segundos? _________________________________ 

      ¿Y de 7 segundos? ___________________________________________________________________ 

4. ¿Cuánto tiempo empleó el automóvil en recorrer 100 metros? _______________________________ 

    ¿Cuánto en recorrer 110 metros? ________________________________________________________ 

5.  Construye  una  gráfica  que  pase  por  esos  puntos.    ¿Qué  ecuación  utilizaste  para  construirla? 

__________________________________________________________________________________ 

    ¿Qué hiciste para encontrar la ecuación? _______________________________________________ 

6. Usa la ecuación que encontraste para contestar las siguientes preguntas. 

     a) Si el automóvil se mantiene a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá durante 

          2 minutos? _______________________ ¿En una hora? ______________________ ¿En una hora 

          y 20 minutos? ________________________ 

     b) ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer dos kilómetros? ___________________________________ 

     c) ¿A qué velocidad se está moviendo el automóvil? ____________________________________ 

         ¿Qué hiciste para responder esta pregunta? ____________________________________________ 

7. Un  alumno dice que  la  ecuación  y  =  20x  le permite  representar  el movimiento del  automóvil? 

¿Estás de acuerdo con lo que dice? _______________________________________________________ 

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________  

Actividad 

83

20

Problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado

Para poder resolver los siguientes problemas, haremos uso de la hoja de cálculo, en donde se modelará cada problema y mediante estimación y cálculo mental se irán acotando la o las soluciones.

a) Encontrar dos números cuya diferencia es 8 y su producto sea 48.

b) La suma de un número con su recíproco es 26/5. Encontrar el número.

c) Una sala rectangular cuya longitud excede a su ancho en 3 m. requiere 54 m2 de alfombra de pared a pared. ¿Cuáles son las dimensiones del cuarto?

d) Un estudiante universitario se encontraba a 4 Km. del edificio donde tenía la siguiente clase una hora más tarde. Primero caminó un kilómetro y luego tomó un transporte cuya velocidad media fué 12 Km/hr. mayor que su velocidad a pie. Encontrar la velocidad con la que caminó si llegó a la hora de su clase.

e) Una bandera tiene una cruz blanca, de anchura uniforme, sobre fondo rojo. Encuentre el ancho de la cruz, que ocupe exactamente la mitad del área total de la bandera, si ésta mide 4m x 3m.

f) Encuéntrese un número negativo tal que la suma de su cuadrado con el quíntuplo del mismo sea igual a 6.

g) El área de un triángulo es 42 m2 . Encuentre la base y la altura si la última excede a la primera en 5m.

h) El costo de la fiesta anual de un club se divide entre los miembros que asisten. En 2 años consecutivos, el costo total fue $500.00 y $570.00, respectivamente, pero el costo por miembro fue $ 0.50 menor el segundo año. Calcúlese el número de miembros que asistieron a cada fiesta, si la asistencia en el segundo año fue de 10 miembros más que en el primero.

i) Varias personas planearon un viaje, contribuyendo cada uno con $600.00, pero luego calcularon que con un grupo más grande, podrían reducir sus gastos en $30.00 diarios por persona y alargar el viaje un día más con la misma contribución de $600.00. Calcule el costo diario por persona que habían planeado para el grupo original.

21

Resolviendo ecuaciones de segundo grado Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de la

forma: 02 =++ cbxax , donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.

Con el uso de la calculadora TI-92, aprovechando su manipulación simbólica, comprueba cada uno de los ejercicios ya resueltos intentando hacer los pasos correspondientes

para lograr el despeje de la variable. Además de resolver los ejercicios tipo. Raíz Cuadrada Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma especial en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en la siguiente forma:

02 =+ cax El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 Resuelve por medio de la raíz cuadrada

032 2 =−x SOLUCIÓN:

2623

2332032

2

2

2

±=

±=

=

=

=−

x

x

x

xx

Ejercicio tipo:

1) 082 =−x

2) 0273 2 =+x

3) 482 22 −=− xx

Factorización

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax son tales que la expresión

02 =++ cbxax puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales: Si a y b son números reales, entonces: a⋅b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero) Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.     

22

Ejemplo 1 Resuelve por factorización

xx 32 2 = SOLUCIÓN:

( )( )

23 o 0

032 o 003203232

2

2

==

===−=−

=

xx

x- xxx

xxxx

Ejercicio tipo:

1) 01522 =−+ xx

2) 213535202 −=++ xxx

3) xxxx 10578 22 +=−

Completando el trinomio cuadrado perfecto El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la cuadrática

general 02 =++ cbxax para que quede así: ( ) BAx =+ 2. Donde A y B son constantes.

Ejemplo 1

Resuelve 0262 =−+ xx por el método de compleción del cuadrado SOLUCIÓN:

0262 =−+ xx Sumamos 2 a ambos miembros de la ecuación para eliminar -2 del miembro izquierdo.

262 =+ xx Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos el cuadrado del coeficiente de x, en ambos miembros de la ecuación.

29962 +=++ xx Factorizamos el miembro izquierdo.

( ) 113 2 =+x Resolvemos por medio de la raíz cuadrada.

113

113

±−=

±=+

x

x

Ejercicio tipo:

1) 01522 =−+ xx

2) 213535202 −=++ xxx

3) 0342 2 =−− xx

  

 

   

  23

  dddeeeaaa   dddeee   tttrrriiiááánnnggguuulllooosss   ssseeemmmeeejjjaaannnttteeesss...   ...      ...   ...   Semejanza y teorema de Pitágoras    

 

 

 

 

 

 

 

 Con la opción POLÍGONO REGULAR construye un triángulo equilátero PQR. 

 Ahora,  mide  cada 

uno  de  los  ángulos  en  los 

vértices P, Q, R. ¿Cuánto mide 

cada uno? 

 Si arrastras el vértice 

P, ¿qué le ocurre al triángulo?  

 

 

      

 

II  

Propósito: Descubrir, a partir de los triángulos equiláteros, los triángulos 

semejantes. 

_________________________________________________ 

_________________________________________________

_________________________________________________ 

_________________________________________________

_________________________________________________ 

24

   

...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...      ...   ...   ...   ...   TTTeeerrrccceeerrr   gggrrraaadddooo         

   

 ¿La medida de los 

ángulos cambia o se mantiene? 

 

 Anota las conclusiones 

a las que te lleva lo que has 

realizado. 

 

 

 Finalmente explica 

qué se mantiene y qué cambia 

en todos los triángulos 

equiláteros anteriores. 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

___________________________________________________________ 

___________________________________________________________ 

______________________________________________________ 

_________________________________________________________

_____________________________________________________ 

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________ 

25

Polígonos regulares  

•Escribe el procedimiento para que la tortuga dibuje un cuadrado.  

         

• ¿Y un triángulo equilátero?             

• Escribe procedimientos para dibujar tantos polígonos regulares como puedas  y llena la tabla de la siguiente página. 

  

 

 

 

 

   

 

 

  

26

 

 

Polígono  Número de lados Ángulo de rotación

Triángulo  120° 

Cuadrado  4  

Pentágono     

Hexágono  6   

Octágono    45° 

………..  N   

 

• Encuentra la relación entre el número de repeticiones y el ángulo.  

REPITE            [ AV 20 GD              ]  

                                                                                     ¿CONEXIONES? 

 

•Escribe tus observaciones.  _____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________ 

 

 

 

 

 

 

 

   

  

27

 

Generaliza: Un procedimiento para cualquier  

polígono regular   

•¿Cómo escribirías un procedimiento para dibujar cualquier polígono regular? 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

  

28

De polígonos a círculos.  

Usando tu experiencia en dibujar polígonos regulares: 

•¿Puedes escribir un procedimiento para dibujar un círculo? 

  

 

 

 

 

•¿Puedes hacer círculos de diferentes tamaños? 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Elabora un procedimiento para simular el movimiento de un reloj 

 

 

  

29

  IIImmmuuulllaaaccciiióóónnn   cccooonnn   eeelll   mmmooodddeeelllooo   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...PPrroobbaabbiilliiddaadd   dddeee   uuurrrnnnaaa   (((222)))                                                                                              

 

 

Simula  una  serie  de  volados  con  el  archivo ModeUrna.xls.  Escribe  en  las  celdas  reservadas  para  los 

colores las palabras águila y sol. 

¿Qué debes escribir en las cantidades? _______________________________________________ 

¿Hubiera sido lo mismo escribir en las cantidades 5 y 5 o 10 y 10?_________________________ 

¿Por qué? ______________________________________________________________________ 

En 20 volados ¿cuántas águilas esperas ver? ___________________________________________ 

 

Contesta la siguiente pregunta, explicando cómo llegaste a la respuesta. 

¿Qué es más probable que salga en los primeros dos tiros: dos águilas o un águila y un sol (en cualquier 

orden)? ______________________________________________________________________________ 

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________ 

 

 

 

 

 

 

SS  

30

  IIImmmuuulllaaaccciiióóónnn   cccooonnn   eeelll   mmmooodddeeelllooo   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...PPrroobbaabbiilliiddaadd   dddeee   uuurrrnnnaaa   (((333)))                                                                                              

 

 

Ahora imagina la siguiente situación. Cinco amigos toman cinco palillos, uno de ellos partido a la mitad, y acuerdan que el que saque 

el palillo corto usará primero la bicicleta que compraron entre todos. En  este  caso  quien  toma  el  palillo  corto  no  lo  regresa  sino  que  se  queda  con  él.  A  esto  en 

matemáticas se le llama sin reemplazo. En estos casos, las proporciones cambian conforme se toman los objetos. 

¿Cuál es la probabilidad de que el primero que toma el palillo saque el más corto? ____________ _______________________________________________________________________________ Si el primero que toma un palillo saca uno largo, ¿cuántos largos y cuántos cortos quedan?_____ _______________________________________________________________________________ ¿Cuál es entonces la probabilidad de que el segundo tome el palillo corto?__________________ _______________________________________________________________________________Si el primero que toma un palillo saca el corto, ¿cuántos largos y cuántos cortos quedan? ______ _______________________________________________________________________________ ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo muchacho en turno tome el palillo corto? _________ _______________________________________________________________________________ 

 Abre el archivo ModeUrna.xls para simular esta situación. Cambia  los colores por  las palabras 

largo y  corto,  con  sus  cantidades  respectivas  (4 y 1). Cambia  también  la  celda G3 de Con a Sin, para indicar que tienes una situación sin reemplazo. 

¿En qué extracción apareció el palillo corto? __________________________________________ ¿En qué extracción es más probable que aparezca el palillo corto? _________________________ _______________________________________________________________________________ ¿En qué extracción es menos probable que aparezca el palillo corto?_______________________ _______________________________________________________________________________ 

 El  experimento  que  aparece  en  la  siguiente  página  te  ayudará  a  saber  si  contestaste 

correctamente las preguntas anteriores.   

 

   

SS  

31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .Simulación con el modelo de urna (3) 

Oprime la tecla F9 y fíjate en que número de extracción salió el palillo corto. Marca en la tabla siguiente con una diagonal (/) el número que corresponda. Sigue apretando la tecla y marcando en dónde apareció el palillo corto. Después de haber  llenado una de  las filas, cuenta  las diagonales y escribe el total en  la columna correspondiente.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¿Qué extracción tiene el mayor total? ______________________________________________________ ¿Hay mucha variación con los otros totales o son más o menos similares?__________________________ _____________________________________________________________________________________  

Compara tus resultados con otros equipos de trabajo. Discute con todo el grupo cada uno de los resultados obtenidos y sumen en el pizarrón los totales de todos los equipos. 

¿A qué conclusión puedes llegar? ___________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 

 Considera las siguientes situaciones. 

Un maestro califica sus exámenes sacando fichas de una bolsa. En ella tiene siete palomitas (√) y tres taches  (X). Cada vez que saca una  ficha de  la bolsa evalúa una pregunta y después  la deja afuera hasta que termina de calificar el examen. Modela varias veces esta situación con el programa (supón que el examen tiene cinco preguntas). ¿Qué combinación de palomitas y taches es la más probable? ___________________________________ _____________________________________________________________________________________  Un  paquete  de  52  barajas  tiene  cuatro  ases.  Una  persona  te  dice  que  puede  sacarlos  todos  en  las primeras 20 cartas que ponga sobre la mesa. ¿Qué tan probable es esto? Simula esta situación y estudia la frecuencia de que aparezcan los cuatro ases en las primeras 10 extracciones.    

32

  nnnaaallliiizzzaaannndddooo   gggrrráááfffiiicccaaasss   dddeee   rrreeeccctttaaasss   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...AAllggeebbrraa                                                                                                 

 

¿Sabes que  la ecuación de una recta es de  la  forma: y = mx + b (donde m, b representan  los números 

cualesquiera)? _________________________________________________________________________ 

¿Qué significa esto? ______________________________________________________________ 

 

Para saberlo, encuentra el significado de los valores de m y b. Abre el archivo GraLin.xls; cambia 

a  tu gusto  los valores de m y b y observa qué sucede. Cambia varias veces el valor de b y observa el 

comportamiento de la gráfica. 

¿Qué nos indica el valor de b en la gráfica de la recta? ___________________________________ 

_______________________________________________________________________________ 

 

Toma el valor b = 0; cambia varias veces el valor de m y observa el comportamiento de la gráfica. 

¿Qué nos indica el valor de m en la gráfica de la recta? __________________________________ 

 

Con la información anterior, encuentra los valores apropiados de b y m para que la recta: 

a) Pase por el origen y el punto (2, 2). 

b) Corte el eje y en el valor 8 y corte el eje x en el valor –4. 

c) Corte el eje y en el valor 4 y baje 2 celdas en y por cada celda en x. 

d) Sea horizontal y que corte el eje y en el valor 4. 

 

Por último, introduce en el programa los coeficientes de una línea recta y pide a un compañero 

que  deduzca  la  ecuación  de  la  recta  estudiando  la  gráfica.  Cuando  la  haya  encontrado,  pídele  que 

determine los coeficientes de una línea recta para que tú los deduzcas. 

 

 

 

 

AA  

33

Construyendo varias gráficas de funciones en Cabri

En está actividad vamos a hacer uso del ambiente cabri, para realizar las gráficas de funciones: Lineal, cuadrática, cúbica y reciproca.

Las herramientas que se emplearán, en la secuencia para graficar, son:

1. Mostrar ejes 2. Punto sobre objeto (sobre el eje X), 3. Ecuación y coordenadas (del punto anterior), 4. Calcular (para evaluar la función con respecto a la abscisa del punto anterior y arrastrar

el resultado a la hoja de trabajo) 5. Transferencia de medida (del resultado anterior sobre el eje Y)

Si no se nota, mover el punto sobre el eje X hasta visualizarlo

6. Punto medio (entre los puntos localizados en ambos ejes) 7. Simetría (del punto origen con respecto al punto medio y, al punto resultante llamarlo P) 8. Lugar geométrico (del punto P con respecto al punto sobre el eje X) 9. Puntero (desplazar al punto de la abscisa sobre el eje X)

Los pasos anteriores se tienen que repetir para cada una de las siguientes funciones:

1) 23 −= xy

2) ( ) 62 −−= xxxf 3) xxxy 223 −−=

4) ( )x

xf 1=

   

34

Comprobación de la fórmula general de segundo grado Esta aplicación muestra cómo calcular la solución de una ecuación de segundo grado:

02 =++ cbxax Para hallar la solución de una ecuación de segundo grado, se va a completar el cuadrado del binomio que represente dicha ecuación, haciendo uso de la manipulación simbólica

de la TI-92. 1.Borra lo de la pantalla principal con F1 y opción 8 y después pulsa la tecla CLEAR. 2.En la pantalla principal, introduzca la ecuación general de segundo grado: 3.Reste c de ambos lados de la ecuación. 4.Divida ambos lados de la ecuación entre el coeficiente principal a. 5.Utilice la función desarr() para desarrollar el resultado de la última respuesta. 6.Complete el cuadrado añadiendo (b/2a)2 a ambos lados de la ecuación. 7.Factorice el resultado anterior, utilizando la función factor(). 8.Multiplique ambos lados de la ecuación por 4a2. 9.Obtenga la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación, aplicando las condiciones a>0 y b>0 y x>0. 10.Halle el valor de x restando b a ambos lados y dividiendo entre 2a.

35

  uuunnnccciiiooonnneeesss      cccuuuaaadddrrrááátttiiicccaaasss   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...AAllggeebbrraa       

 

Las llamadas funciones cuadráticas tienen la siguiente ecuación general: 

y = a x2 + b x + c 

donde a, b, c pueden ser cualquier número. 

Abre el archivo Cuadrati.xls. En el programa de hoja de cálculo puedes introducir los coeficientes 

de  la  ecuación  que  quieres  estudiar  y  la  hoja  te  dará  información  sobre  ella.  Los  coeficientes  que 

incluidos en el archivo que abriste son: a = 2, b = 3 y c = –2, los cuales representan la ecuación: 

y = 2 x2 + 3 x –2 

La primera información que da el programa de hoja de cálculo es el valor del discriminante de la 

ecuación. El signo del discriminante nos dice cuántas veces  la gráfica de  la función corta el eje x. Estos 

cortes están dados por los valores x1 y x2. 

Cambia  varias  veces el  valor del  coeficiente  c  como  te  indica  la  tabla de  abajo. En  cada  caso 

observa el signo del discriminante y su mensaje. Verifica en la gráfica el número de cortes que tiene con 

el eje x. También observa que los valores de x1 y x2 dados en el programa corresponden a estos cortes. 

Llena la tabla siguiente: 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FF  

36

Notarás que las gráficas tienen la forma de una parábola. 

¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica por el cambio del valor c? 

Forma: _________________________________________________________________________ 

Posición: _______________________________________________________________________ 

 

Cambia varias veces el valor del coeficiente a y observa su efecto (usa primero los valores 2, 3, 4, 

5, 6; y después –2, –3, –4, –5 y –6). 

¿A qué conclusiones puedes llegar? ________________________________________________________ 

_____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________ 

 

Analiza ahora las siguientes funciones cuadráticas (si es necesario, cambia el valor inicial de la tabla en la 

celda  A16  a  otro más  apropiado).  Puedes  calcular  la  posición  del  valor mínimo  (o máximo)  con  el 

promedio de x1 y x2, es decir: (x1+x2)/2, ya que está a la mitad entre estos puntos. 

 

 

 

 

 

 

 

Comprueba que en cada caso la posición de mínimo o máximo está dada por: –b/2a. Pídele a tu profesor 

que te explique cómo se calculan los cortes de la parábola, dónde aparece el discriminante y por qué su 

signo te informa sobre sus cortes. 

 

 

 

 

 

 

37

  

eeeooorrreeemmmaaa   dddeee   TTTaaallleeesss...      ...   ...   ......   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...      ...   ...   Semejanza y teorema de Pitágoras   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 El  resultado  fundamental de  la semejanza se conoce como  teorema de Tales y puede 

enunciarse así: dado cualquier triángulo ABC, si se traza una recta paralela a uno de los lados del 

triángulo, por ejemplo,  la  recta PQ paralela al  lado BC, esta  recta  intersecta  los otros  lados del 

triángulo  AB  y  AC  en  los  puntos  P  y  Q,  respectivamente;  los  lados  quedan  así  divididos  en 

segmentos proporcionales, esto es, P divide al lado AB en los segmentos AP y PB, mientras que el 

punto Q divide al  lado AC en  los  segmentos AQ y QC. Entonces,  si dividimos  la  longitud de AP 

entre  la  longitud de PB, este  cociente es el mismo que el obtenido al dividir  la  longitud de AQ 

entre la longitud de QC. 

Como la recta PQ es paralela a BC, verifica (midiendo) que: 

QCAQ

PBAP

=  

Es decir, los segmentos AP, PB y AQ, QC son proporcionales. 

 Traza otras rectas 

paralelas al lado BC y escribe 

en el espacio qué segmentos 

son proporcionales. 

 

 

TT  

Propósito: Presentar el resultado fundamental de la semejanza, es decir, el teorema 

de Tales. 

A

BC

PQ

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________ 

38

A

B

c

   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ......   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   TTTeeerrrccceeerrr   gggrrraaadddooo      

 Traza rectas 

paralelas a otro de los 

lados del triángulo ABC y 

explica en el espacio 

siguiente qué segmentos 

son  proporcionales. 

 

 

 

 

  

 Ahora, si eliges el punto medio de un lado, por ejemplo el lado AC, y por 

éste trazas la paralela al lado AB, ¿en qué punto intersectará el lado BC? 

_____________________________________________________________________________________ 

 Describe qué ocurre si 

arrastras con el puntero el 

vértice C. 

 

 

 

 

 

  

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_________________________________________________________ 

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

________________________________________________________

_______________________________________________________ 

39

BC

A

M

L

  eeecccíííppprrrooocccooo   dddeeelll   ttteeeooorrreeemmmaaa   dddeee   TTTaaallleeesss...      ...   ...   Semejanza y teorema de Pitágoras    

     

       

 El teorema  recíproco del teorema de Tales también es cierto y puede enunciarse así: si sobre dos lados de cualquier triángulo elegimos puntos, por ejemplo, L sobre BC y M sobre AC, de manera que cumplan el enunciado 

MCAM

LCBL

=  

entonces  al  trazar  la  recta  que  pasa  por  los  puntos  L  y M,  ésta  es  paralela  a  AB. Mide  los segmentos BL, LC y AM, MC, para obtener los cocientes correspondientes.  ¿Son iguales? ____________________________________________________________________ Si tu respuesta fue afirmativa, verifica que la recta que pasa por L y M sea paralela al lado AB. 

    

    

 En el dibujo anterior, los lados AB y AC están divididos en siete partes iguales; N es uno de los puntos de división del lado AB, esto es: 

=NBAN  

  

  

RR  

Propósito: Presentar el recíproco del teorema de Tales.

BC

A

N

40

A

B

cN

M

   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   TTTeeerrrccceeerrr   gggrrraaadddooo   

   Localiza sobre AC el punto de división para que el cociente de  los segmentos correspondientes sea el mismo que acabamos de obtener. Traza la recta por N y por el punto que elegiste; ¿es paralela al lado BC? ___________________________________________________________________________  

 Un caso de particular interés es cuando se eligen los puntos medios de dos lados de cualquier triángulo; veámoslo: 

 

 

 

 

 

 

 En el triángulo ABC del dibujo, M y N son puntos medios de los lados AC y AB respectivamente. ¿Cuál es el cociente de AM entre MC? ______________________________________________________ 

¿Cuál es el cociente entre AN entre NB? ________________________________________________ 

¿Qué posición guarda la recta que pasa por los puntos M y N con respecto al lado BC?  _____________ 

Ahora, localiza el punto medio del lado BC y denótalo por L, ¿Qué tipo de cuadrilátero es LCMN? ______ 

_______________________________________________________________________________ 

Por lo tanto:                                 BCLCNM21

==  

Finalmente, si consideras el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo dado, ¿cómo son el triángulo dado y el formado con los puntos medios? Escribe a continuación las características que comparten ambos triángulos; no olvides las relaciones entre perímetro y área.  

   

 

  

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________ 

41

Casas y pueblos otra vez 

 

Construye procedimientos para dibujar: letras, personas, familias y árboles.   

PARA MICASA AV 50 GD 60 AV 70 GD 60 AV 70 GD 60 AV 50 GD 90 AV 121 GD 90 FIN 

 Agrega al procedimiento una puerta y una ventana 

 • En el procedimiento MICASA, ¿qué instrucciones corresponden a los lados? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________   • Dada MICASA, construye un pueblo con casas iguales de diferentes tamaños.  • ¿Qué instrucciones cambian en MICASA al hacer una casa más grande? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ • ¿Qué instrucciones no cambian? _____________________________________________________________________________________  

  

42

Figuras a escala  

• Escribe un procedimiento para dibujar una letra. Por ejemplo:  • Luego edita tu procedimiento para multiplicar cada parte por una escala. 

•Intenta  • ¿Qué sucede con la letra?_________________________________ • ¿Qué tan grande la puedes hacer?__________________________ • ¿Qué tan pequeña?______________________________________

Elabora la primera letra de tu nombre y explora con diferentes escalas

  

43

Letras   

•Escribe un solo procedimiento para dibujar las letras E de abajo y otras de cualquier tamaño 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•¿cuáles son los comandos que varían y cuáles los que permanecen iguales? 

____________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

 

  

44

 

 

 

 

•Haz lo mismo para la letra Z 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•¿qué entrada de la variable  :ESCALA necesita para crear cada una de las letras? 

 

 

 

 

 

 

 

  

45

Personas   

•Con el procedimiento PERSONA crea personas con cabezas más grandes con piernas más o menos  largas  o como se le ocurra. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

46

Familias 

 •Usando PERSONA y los otros procedimientos que creaste en la actividad anterior, crea familias y 

hasta una población.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

47

Árboles  

•Diseña un solo procedimiento que dibuje estos árboles y otros de diferentes tamaños.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•Utiliza ARBOL para crear un bosque con árboles de diferentes tamaños. 

 

 

  

48

A

B

C

A'

B'

C'

  aaa   hhhooommmooottteeeccciiiaaa   cccooommmooo   aaapppllliiicccaaaccciiióóónnn...      ...   ...   Semejanza y teorema de Pitágoras   dddeeelll   ttteeeooorrreeemmmaaa   dddeee   TTTaaallleeesss  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Arriba  se  ilustra  la  transformación  llamada homotecia, mediante  la  cual  se obtuvo el 

triángulo A’B’C’ a partir del triángulo ABC; en este caso, además del objeto por transformar, se 

debe establecer un punto O,  llamado centro de homotecia, desde el cual se trazaron rectas (en 

nuestro  caso  con  dirección  a  los  vértices  del  triángulo  ABC)  sobre  el  plano  del  triángulo; 

finalmente es necesario indicar un número llamado razón de homotecia (en nuestro caso el 3). 

 

 

 Activa el comando HOMOTECIA y señala el objeto que se va transformar; 

luego  indica el centro de homotecia y al final señala  la razón de homotecia (este 

número se escribe utilizando el comando EDICIÓN NUMÉRICA). 

 

 

 

 

 

 

LL  

Propósito: Utilizar la homotecia como aplicación del teorema de Tales y sus 

recíprocos.

49

...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   TTTeeerrrccceeerrr   gggrrraaadddooo   

   

 Mide los segmentos OA y OA’; ¿qué relación tienen entre 

sí?_____________________________ 

_____________________________________________________________________________________ 

Ahora mide los segmentos OB y OB’; ¿qué puedes decir de su cociente? __________________________ 

Finalmente, mide los segmentos OC y OC’; ¿cuál es la razón entre ellos? __________________________ 

_____________________________________________________________________________________ 

 Arrastra uno de  los vértices 

del  triángulo  ABC.  ¿Qué  ocurre? 

Descríbelo. 

 

 ¿Qué posición guardan los lados AB y A’B’?  __________________________________________ 

¿Qué posición guardan los lados BC y B’C’? __________________________________________________ 

¿Y los lados CA y C’A’?  __________________________________________________________________ 

 

 Si mides los  lados  los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ y divides entre sí las medidas de los 

lados correspondientes del triángulo A’B’C’ al triángulo ABC obtienes: 

_____''____;''____;''===

CAAC

BCCB

ABBA

 

 ¿Cómo son los ángulos ABC y A’B’C’?  _______________________________________________ 

¿Y los ángulos BCA y B’C’A’?  _____________________________________________________________ 

¿Y los ángulos que faltan en cada triángulo?  ________________________________________________ 

También aparecen otros ángulos; ¿podrías decir cuáles son?  ___________________________________ 

_____________________________________________________________________________________ 

 

 

 

 

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

50

 

 Si comparas las áreas del triángulo A’B’C’ con las del triángulo ABC, ¿cuál es el cociente o razón 

entre ellas?  ________________________________________________________________ 

¿Qué relación tiene el cociente obtenido con la razón de homotecia?_____________________________ 

________________________________________________________________________________ 

 

 El dibujo  ilustra  la homotecia del cuadrilátero ABCD, con centro de homotecia O y razón de 

homotecia –2. 

 

A

D

C

B

-2

A'

D'

C'

B'

 

 

 

 Explica lo que observas:   _________________________________________________ 

                                                            

__________________________________________________

__________________________________________________

________________________________________________ 

 

  51

   

...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   TTTeeerrrccceeerrr   gggrrraaadddooo   

 Arrastra uno de 

los vértices del 

cuadrilátero ABCD y 

describe lo que sucede. 

 

 Calcula las áreas de ambos cuadrilátero y encuentra el cociente. 

14''''

=ABCDárea

DCBAárea 

 

 

 ¿Qué relación tiene este 

cociente con la razón de homotecia 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________ 

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________ 

52

¿¿UUnnaa  eeccuuaacciióónn  ppaarraa  ddeessaalloojjaarr  llaa  eessccuueellaa?? 

Lo siguiente ecuación permite calcular el tiempo que tardan los estudiantes en desalojar su escuela 

durante un simulacro. 

y = ‐5x + 400 1. Usa esa ecuación para construir una gráfica en la calculadora, ajusta el RANGO de manera que 

se  puedan  ver  las  intersecciones  de  la  gráfica  con  los  ejes  vertical  y  horizontal  del  plano 

cartesiano y reprodúcela "a mano" a continuación.  

 

 

 

 

 

 

 

2. Responde las siguientes preguntas y justifica claramente tus respuestas. 

a) ¿Cuántos estudiantes había dentro de la escuela antes del simulacro?  ____________________________ 

Justificación. _________________________________________________________________________________ 

__________________________________________________________________________________________ 

b) ¿Cuántos estudiantes estaban aún dentro de  la escuela cuando habían transcurrido 30 segundos del 

simulacro? __________________________________________________________________________ 

Justificación. _____________________________________________________________________ 

C)  ¿Cuántos  estudiantes  estaban  dentro  de  la  escuela  cuando  habían  transcurrido 

55 segundos del simulacro?  _______________________________________________________ 

Justificación. __________________________________________________________________________ 

d)  ¿Cuántos segundos habían transcurrido cuando quedaban 325 estudiantes?_______________ 

Justificación. _____________________________________________________________________ 

e)  ¿En cuánto tiempo quedó totalmente desalojada la escuela?  _____________________________ 

Justificación. ___________________________________________________________________ 

ctividad 

86 

53

Números poligonales

Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un pergamino o piedrecillas en la arena y los clasificaban según las formas

poligonales de estas distribuciones de puntos, es decir, asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular de puntos, cuya suma

determina el número representado.

Así obtenían los diversos tipos de números poligonales o figurados:

Los números triangulares (3, 6, 10, 15, ...) son enteros del tipo N = 1 + 2 + 3 + ... + n

Los números cuadrados (4, 9, 16, 25, ...) son enteros del tipo N = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1)

Los números pentagonales (5, 12, 22, ...) son enteros del tipo N = 1 + 4 + 7 + ... +(3n-2)

Los números hexagonales (6, 15, 28, ...) son enteros del tipo N = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3)

Los números heptagonales (7, 18, 34, ...) son enteros del tipo N = 1 + 6 + 11 + ... + (5n-4)

Con la ayuda de hoja de cálculo, construye columnas que modelen los números poligonales y trata de deducir la fórmula para cualquier orden.

 

  54

C

B

A

c

b

a

  eeeooorrreeemmmaaa   dddeee   PPPiiitttááágggooorrraaasss...      ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   Semejanza y teorema de Pitágoras    

 

 

 

 

 El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo; el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros se llaman catetos. La siguiente figura muestra un triángulo rectángulo  (aun  cuando  pueda  girarse,  sigue  siendo  un  triángulo  rectángulo)  y  tres  cuadrados, construidos cada uno sobre uno de los lados del triángulo. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Según se indica en la figura, los catetos son BC = a  y  CA = b. 

La hipotenusa en este caso es el segmento AB = c. 

 Reproduce el dibujo. 

 Anota  los  pasos  que 

seguiste  para  realizar  el  ejercicio 

anterior. 

   

   

TT  

Propósito: Usar el programa de cómputo para verificar el teorema de Pitágoras. 

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

55

      

...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...      TTTeeerrrccceeerrr   gggrrraaadddooo   

 Obtén las medidas de cada uno de los lados del triángulo.  

 ¿Cuánto mide el área de cada cuadrado?  

 Indica cuál de las siguientes relaciones se cumple.  

222 cba =+  222 acb =+  222 bac =+  

 

 Arrastra uno de  los  vértices del  triángulo  rectángulo ABC.  ¿Se  sigue  cumpliendo  la  relación 

anterior?    ____________________________________________________________________________ 

_____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________ 

 Teorema de Pitágoras Generalizado 

1) Dibuja un Triángulo rectángulo 2) Construye en cada lado del Triángulo un polígono regular, que tengan el mismo número de lados 3) Calcula el área de cada polígono regular 4) Suma las áreas más pequeñas y compara con el área mayor 5) Arrastra  uno  de  los  vértices  del  triángulo  rectángulo  ABC.  ¿Se  sigue  cumpliendo  la  relación 

anterior? ______________________________________________________________________ 

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ 

 

   

 

 

  

_______________________________________________________________ 

_______________________________________________________________

56

 

Triángulos rectángulos 1: Hipotenusas 

• Completa  el  procedimiento  para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo  (a partir de  la medida de sus catetos). • Usa el teorema de Pitágoras: 

                                                          HIPOTENUSA2= (CATETO1)2 + (CATETO2)2  Por  lo que:                                                           HIPOTENUSA =       (CATETO1)2 + (CATETO2)2                      •  ¿Cuál  sería  la  hipotenusa  de  un  triángulo  rectángulo  cuyos  catetos  miden  75  y  50?  (Teclea  ES HIPOTENUSA 75  50) _________________________________________________________________ Comprueba tu resultado con calculadora.  • Usa el procedimiento HIPOTENUSA para dibujar una o ambas diagonales de un cuadrado.   

   

   

57

 

Triángulos rectángulos 2: Catetos  • Usando el teorema de Pitágoras, encuentra  la  fórmula para un cateto, en relación a  la 

hipotenusa y el otro cateto.  

 

 

 

 

  CATETO2 = ______________________________________________ 

• Usa la fórmula para escribir un procedimiento que calcule el segundo cateto a partir de la hipotenusa, el cateto faltante y los dos ángulos agudos y, también que dibuje al triángulo  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

58

Triángulos rectángulos 3: Ángulos  • Para calcular los ángulos de un triángulo rectángulo se puede usar la siguiente fórmula trigonométrica. 

      

 • Por lo que, la medida del ángulo á, está dada por: 

•  Escribe  un  procedimiento  que  calcule  los  dos  ángulos  desconocidos  y  la  hipotenusa  a partir de dos catetos de un triángulo rectángulo y, también que lo dibuje. 

      

   • Usa tu procedimiento para encontrar el ángulo en la figura, entre la hipotenusa y el cateto que mide 160 (el otro cateto mide 100). 

      

• Completa lo que tienes que teclear:   ES ANGULO ____ ____ 

 El ángulo mide: _________ Comprueba tu resultado con calculadora. 

    

 

  

59

Triángulos rectángulos 4: Combina todo 

•  Usa  las  herramientas  que  construiste  en  las  actividades  anteriores  (procedimientos HIPOTENUSA, CATETO, ANGULO) para dibujar los siguientes triángulos rectángulos (intenta terminar con la tortuga en su posición y rumbo iniciales).         •  Completa lo siguiente:    

 

 

 

 

 

 

 

•  Completa la siguiente tabla: 

 

 

 

 

 

 

 

   

  

60

Triángulos rectángulos: Generaliza   

•  Usa  las  herramientas  que  construiste  en  las  actividades  anteriores  (procedimientos HIPOTENUSA y ANGULO) para escribir un procedimiento que dibuje un triángulo rectángulo cualquiera, a partir del valor de sus dos catetos. 

 

 

 

 

   

•Completa lo siguiente. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

  

61

Triángulos isósceles  • Usa el procedimiento CATETO de las actividades anteriores para determinar el valor de la altura del triángulo isósceles mostrado: 

 

 

 

 

 

•  Usa  el  procedimiento  TRIRECT  de  la  actividad  anterior  para  construir  un  triángulo isósceles.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

  

62

Triángulos en general ¿Ley de Senos o Cosenos?  • Para  construir un  triángulo cualquiera a partir de dos  lados y el ángulo entre ellos,  se puede utilizar la siguiente fórmula (la ley de los cosenos): 

 

 

 

 

 

 •  Escribe  los  procedimientos  que  calculen,  respectivamente,  el  tercer  lado  y  el  segundo ángulo de un triángulo a partir de sus dos primeros lados y el ángulo entre ellos. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

  

63

 

 

 

• Usa los procedimientos LADO3 y ANGULO2 para dibujar un triángulo cualquiera a partir de sus dos primeros lados y el ángulo entre ellos.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

  

64

Más sobre triángulos rectángulos  

 

• Para construir un triángulo rectángulo a partir de un cateto y su ángulo con la hipotenusa, se puede utilizar la siguiente fórmula:  cateto1 = cateto2 * (tangente del ángulo entre la hipotenusa y el cateto)  • Construye un procedimiento para trazar un triángulo rectángulo utilizando  :CATETO1 y :ANGULO.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

  

65

  xxxppplllooosssiiióóónnn      dddeeemmmooogggrrráááfffiiicccaaa...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...AAllggeebbrraa  yy  NNuueevvaass  iiddeeaass       

 En 1990 vivían en nuestro país aproximadamente 80 millones de habitantes. Si consideramos que el territorio mexicano tiene una extensión de casi dos millones de kilómetros cuadrados, ¿cuántas personas crees que había en promedio por cada kilómetro cuadrado? Al número de habitantes por kilometro cuadrado se le llama densidad de población. 

En  esta  actividad  conocerás  y  aplicarás  un  método  para  calcular  el  crecimiento  de  la población mexicana y cómo éste se refleja en su densidad de población. Para empezar, construye una hoja de cálculo de acuerdo con las siguientes instrucciones: 1.    En  la  columna  A  escribe  1990  y  encuentra  una  fórmula  para  generar  una  serie  que aumente  de diez en diez el año. 2.  En  la  columna  B  escribe  la  cantidad  de  habitantes  que  había  en México  en  1990.  Para calcular las poblaciones subsecuentes, establece un porcentaje de crecimiento, digamos 25% (esto  se  puede  precisar  consultando  los  resultados  del  censo  más  reciente).  Enseguida, escribe en  la celda B3  la fórmula = B2 + 0.25 * B2 (la población anterior más 25%) y cópiala hacia abajo. 3.  En  las  celda  C2  escribe  la  fórmula  =B2  /  2000000  (población/superficie)  que  calcula  la densidad poblacional respectiva y cópiala hacia abajo. 

 

  A  B  C  D 

1  AÑO  POBLACIÓN  DENSIDAD HAB.  POR KM2 

 

2  1990  80000000  40   

3  2000  100000000  50   

4  2010  125000000  63   

 ¿Qué densidad habrá en el año 2100? _____________________________________________ 

¿En qué año la densidad llegará a 10000 habitantes por kilómetro cuadrado?______________ 

_________________________________________________________________________ 

 Discute estos resultados y sus implicaciones con tus compañeros.  

 

 

EE  

66

  nnnffflllaaaccciiióóónnn   cccooonnntttrrraaa   sssaaalllaaarrriiiooo      ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...AAllggeebbrraa  yy  NNuueevvaass  iiddeeaass     

En esta actividad verás cómo la inflación reduce el salario efectivo de una persona. Primero es necesario establecer un par de  referencias. Considera que en 1990 el  salario de un 

trabajador era de $5000.00 mensuales y que en ese año un coche costaba $50000.00. ¿Cuántos  salarios  del  trabajador  eran  necesarios  para  pagar  el  coche?  Imagina  ahora  que  la 

inflación anual es pequeña, por ejemplo de 5%, y que el salario se mantiene fijo. Con los datos anteriores elabora una hoja de cálculo. Los pasos siguientes te pueden servir: 1. En la columna A escribe 1990 y encuentra una fórmula para generar una serie que aumente de  uno en uno el año. 2.  En la celda B2 escribe el salario sin cambio. 

  3. En la celda C2 escribe el costo inicial del coche. En la celda C3 escribe la fórmula = C2 + 0.05 * C2 para  calcular  cuánto  aumenta  el  costo  del  coche  anualmente  debido  a  la  inflación.  Copia  la fórmula hacia abajo. 4.  En  la  columna D  escribe una  fórmula  apropiada para  calcular  la  cantidad de  salarios que  se requieren para comprar el coche. 

 

 

 

 

 

 

¿En qué año se necesitarán 20 salarios para pagar el coche? _______________________________ 

¿En qué medida se ha reducido efectivamente el salario del trabajador? _____________________ 

________________________________________________________________________________ 

 

Considera ahora  la  situación en  la que el  salario crece en  la misma proporción que  la  inflación. 

Modifica la columna B para que el salario aumente 5% cada año. 

 

 

 

 

II  

67

 

 ¿Qué observas en la columna D? __________________________________________________________  

 ____________________________________________________________________________________  

 ____________________________________________________________________________________  

 

  La  situación  anterior  sería  ideal.  Por  lo  general  los  salarios  crecen  a  una  razón menor  que  la 

inflación real. Supón, por ejemplo, que la inflación real es de 30% anual. Aplica este porcentaje al costo 

del coche en la columna C. Piensa también que debido a esta inflación, los salarios se incrementan 20% 

anualmente.  Aplica  este  aumento  al  salario  en  la  columna  B.  Tu  hoja  debe  mostrar  los  siguientes 

resultados: 

 

 

 

 

 

 

De acuerdo con tus resultados, ¿cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 10 años? ________ 

_____________________________________________________________________________________ 

¿Cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 20 años? _________________________________ 

_____________________________________________________________________________________ 

 

Comenta los resultados de la actividad con tus compañeros y tu maestro. 

 

 

 

 

 

 

   

  68

  nnnttteeerrrééésss   cccooommmpppuuueeessstttooo   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...AAllggeebbrraa  yy  NNuueevvaass  iiddeeaass    

 

   

¿Sabes  cuál es  la diferencia entre  interés  simple e  interés  compuesto? A  continuación vas  a conocerla. 

    Si se tiene un capital inicial de $10000.00 y al depositarlo en una cuenta de inversión nos dicen que la tasa de interés anual es de 15%, ¿cuál será la ganancia que se obtenga? 

    Para saberlo, primero debes determinar cuánto es 15% de $10000.00.   Así, en el primer año tendremos un capital de:        10000 + 1500 = 11500 pesos     En el segundo año:      11500 + 1500 = 13000 pesos   ¿Y en el tercero? _______________________________________________________________          La manera en que calculaste la ganancia del capital inicial se llama interés simple, porque   éste se mantiene constante.     El interés simple no es muy justo si consideramos que, conforme pasan los años, cada vez   se tiene más dinero y por lo tanto los intereses deberían calcularse sobre las nuevas sumas y no   en función del primer depósito. A este principio se le llama interés compuesto. En el primer año   el capital es el mismo:      10000 + 1500 = 11500     En el segundo año tendremos un interés de:      0.15 * 11500 = 1725 (ya que en el banco hay ahora11500 pesos)        Así, el capital será de:      11500 + 1725 = 13225     ¿Cuál  será  el  interés  en  el  tercer  año  si  procedemos  de  la misma manera;  es  decir  si   aplicamos la fórmula 0.15 * 13225? ________________________________________________     ¿Cuál será entonces el capital? ________________________________________________ 

 

 

   

II  

69

 

Y así sucesivamente. 

La fórmula para calcular el interés compuesto puede escribirse así: 

Capital siguiente = Capital anterior + Tasa interés * Capital anterior 

Construye una hoja de cálculo que haga las operaciones automáticamente. Copia el modelo de  la 

siguiente tabla: 

 

 

 

 

 

 

¿Qué capital habrá en 10 años? ___________________________________________________________ 

¿Qué capital habría en 10 años si se calculara como interés simple?_______________________________ 

_____________________________________________________________________________________ 

¿Qué capital habrá en 20 años?____________________________________________________________ 

¿Qué capital habría en 20 años si se calculara como interés simple? ______________________________ 

_____________________________________________________________________________________ 

¿Qué capital tendrá una persona después de 20 años si deposita en el banco $1000.00 con un interés 

anual de 12%? _________________________________________________________________________ 

¿Qué población tendrá un país después de 20 años si actualmente tiene 500000 habitantes y su tasa de 

crecimiento es de 3% anual? ______________________________________________________________ 

¿Cuánto costará un cuadro famoso después de 20 años si actualmente tiene un valor de 10000 dólares y 

la tasa de crecimiento de su valor es de 80% anual? ___________________________________________ 

_____________________________________________________________________________________ 

 

 

 

 

 

    70

  iiieeemmmpppooosss   dddeee   ddduuupppllliiicccaaaccciiióóónnn   eeennn   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...AAllggeebbrraa  yy  NNuueevvaass  iiddeeaass   EEElll   cccrrreeeccciiimmmiiieeennntttooo   cccooommmpppuuueeessstttooo                                                                                                 

         Primero vamos a construir en una hoja de cálculo una tabla de crecimiento compuesto    como la que se muestra abajo.     En la columna A van los años. En la columna B se incrementa la cantidad inicial de 100 al 1%   anual. En  la  columna C  se  incrementa  la  cantidad  inicial de 100 al 2% anual. Continúa estas   columnas hasta el 10% (columna K)  

 

 

 

 

 

    Comprueba que los valores que se obtienen con las fórmulas son  los mismos que los de la   tabla de arriba.     Extiende  cada  columna  hasta  que  veas  el  valor  200.  El  tiempo  correspondiente  en  la   columna A se llama tiempo de duplicación, ya que empezaste con 100 y se llegó hasta 200. Con   los valores encontrados, llena la tabla siguiente:  

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

TT  

71

 

Discute con tus compañeros para qué pueden servir estos tiempos en los bancos, al prever poblaciones y 

estimar el valor de casas, antigüedades y obras de arte. 

Extiende tu hoja de cálculo hasta una tasa de crecimiento de 20% y reprodúcela en una hoja de papel. 

¿Qué le pasa a los tiempos de duplicación conforme la tasa de crecimiento; aumenta más y más? ______ 

_____________________________________________________________________________________ 

¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 100% anual?___________________ 

_____________________________________________________________________________________ 

¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 200% anual? __________________ 

_____________________________________________________________________________________ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

    72

Construyendo algunos cuerpos geométricos

Definición Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones

(largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.

Haciendo uso del ambiente de cabri, construye los siguientes cuerpos geométricos, aprovechando la propiedad de animación.

Cuerpos Planos Son sólidos geométricos que tienen superficies planas, tales como:

Paralelepípedo, prisma y pirámide …

Cuerpos Redondos Son sólidos geométricos que tienen superficies curvas, tales como:

El cilindro, el cono y la esfera.  

73

Uso de Fórmulas de Superficie y Volumen de Sólidos

Un sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por ciertas superficies que pueden ser planas o curvas.

Recurriremos a algunos casos bien conocidos para introducir el concepto así como estudiar los conceptos de superficie y volumen de un sólido, mediante el uso de Excel.

Paralelepípedo rectangular o caja rectangular.

Es aquel sólido que tiene base rectangular y sus aristas laterales son perpendiculares a la base. Si tiene todas las aristas iguales se llama cubo. Su superficie y volumen están dadas de la siguiente manera:

A= 2ab + 2ac + 2bc ;V = abc

Cilindro.

Es el sólido conformado por caras paralelas circulares y el conjunto de todos los segmentos de línea recta perpendiculares a sus caras y comprendidos entre ellas. El área de su superficie y su volumen, están dadas de la siguiente manera:

Prisma recto

Un prisma es un poliedro con dos caras que son regiones poligonales congruentes en planos paralelos y las caras laterales son rectángulos. La altura h es la distancia entre las caras paralelas. El volumen de un prisma es el producto de el área de la base por la altura y el área de la superficie es la suma de las áreas de las caras que lo limitan

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A=2πr2 + 2πrh ;   V= πr2h

Uso de Fórmulas de Superficie y Volumen de Sólidos

Cono circular recto.

Es el sólido cuya base es un círculo y su superficie lateral está formada por los segmentos de línea recta que unen un punto 0, sobre la línea perpendicular al círculo y por el centro de este, con los puntos del círculo. Cualquiera de estos segmentos de línea recta se denomina una generatriz y su longitud se denota con g. La distancia entre ese punto 0 y el centro del círculo se llama altura. Aquí denotamos con h a la altura y con r al radio de la base circular. El área de su superficie y volumen están dadas de la siguiente manera:

Esfera.

Está determinada por todos los puntos del espacio que se encuentran a una distancia menor o igual a r de un punto fijo llamado centro (superficie esférica junto con su interior). Su superficie y volumen están dadas de la siguiente manera:

Completa la siguiente tabla haciendo uso de la hoja de cálculo Superficie y volumen.xls:

Sólido geométrico

Superficie Volumen

Paralelepípedo rectangular

a= 3 cm b= c= 8 cm 96 cm3

Cilindro r= 4 m h= 251.33 m2

Prisma recto No Lados= 5 Long de Lado= 7 cm

h= 518.61 cm2

Cono circular recto

r= h= 5.3 m 64.16 m3

Esfera r= 314.16 cm2

 

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A = πr2 + 2πrg : donde g = h2 + r2

V = ⅓ πr2h

A = 4πr2         V = ⁴⁄₃ πr2

Problemas de Optimización (Parte uno) La aplicación Cabri nos permitirá por un lado realizar “experimentos”

geométricos, de manera que lleguemos a establecer las relaciones adecuadas y obtener tus propias conclusiones, y por otro lado facilita

la conexión interna entre distintas representaciones matemáticas. Uno de los objetivos de la Matemática es encontrar métodos que

permitan resolver problemas donde está presente algún criterio de optimización, lo que se debe entender en el sentido de que se busca

el máximo o el mínimo de cierta cantidad en presencia de algunas restricciones.

A continuación te enumeramos problemas y con la ayuda de Cabri resuélvelos:

1. Con un alambre de 10 cm. queremos construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo?

2. Indica cuál es el triángulo de área máxima de entre todos los isósceles de 9 cm

de perímetro.

3. Hallar las dimensiones de un depósito sin tapa, en forma de prisma recto de base

cuadrada, de 250 ml (o 250 cm3) de capacidad que tenga un revestimiento de costo mínimo.

   

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Problemas de Optimización (Parte dos) Uno de los objetivos de la Matemática es encontrar métodos que

permitan resolver problemas donde está presente algún criterio de optimización, lo que se debe entender en el sentido de que se busca

el máximo o el mínimo de cierta cantidad en presencia de algunas restricciones.

Lo anterior descrito lo haremos con Cabri

4. Una ventana tiene la forma de un rectángulo que está coronado por una semicircunferencia. Si el perímetro de la misma es de 6 m, determinar la longitud de la base que hace que ésta tenga la mayor área.

5. Se desea construir una lata de conservas en forma de cilindro circular recto de área total 150 cm2 y volumen máximo. Determinar su altura y su radio.

6. Con una cartulina de 10X8 cm. se desea construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja.

 

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Lanzamiento de dados (Parte I)

La teoría de la probabilidad está muy relacionada con los juegos de azar como el lanzamiento de dados. Antes de participar en cualquiera de estos juegos es conveniente saber cuál es la probabilidad de que salga un resultado u otro.

Si lanzamos un solo dado, existe la misma probabilidad de que salga cualquiera de los seis números, es decir, es tan probable que salga 1 como que salga 2 o 3 o 4 o 5 o 6.

Esta probabilidad es 1/6.

Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UNO_DOS Y TRES DADOS.xls, y en la hoja 1 “Un dado”, se hace la simulación de 2000 lanzamientos de un

solo dado.

Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces. 

FREC.  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15 16  17  18  19 20

Menor                                         

Mayor                                         

 

Compara tus resultados con otro compañero, ¿Hay mucha diferencia? _______

¿Los resultados son equiprobables? _________

¿Si tuvieras que apostar, a qué número lo harías? __________

 

78

0

50

100

150

200

250

300

350

400

DOS

TRES

CUATR

O

CIN

CO

SEIS

SIE

TE

OCHO

NUEVE

DIE

Z

ONCE

DOCE

DOSTRESCUATROCINCOSEISSIETEOCHONUEVEDIEZONCEDOCE

Ahora con dos dados Al lanzar dos dados, decimos que el número que cae es la suma de los números que aparecen en 

las caras de ambos dados. Por ejemplo, si en uno de los dados hay un 2 y en el otro un 4, decimos que cayó  un  seis.  Cuando  lanzas  dos  dados  no  todos  los  números  tienen  la misma  probabilidad  de  caer. Veamos cuáles son los números que pueden caer y cómo podrían obtenerse.

Fíjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas que puedes obtener al lanzar dos dados. En la columna de la derecha está el número de maneras de obtener esas sumas.

suma Manera de obtenerla total suma Manera de

obtenerla total

2 1 + 1 1 8 5

3 1 + 2 2 + 1 2 9 4

4 3 10 3

5 4 11 2

6 5 12 1

7 6 Total 36  

Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UNO_DOS Y TRES DADOS.xls, en la hoja 2 “Dos dados”, se donde se hace la simulación de 2000

lanzamientos de dos dados.  

Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces. 

Frecuencia  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20 

Menor                                         

Mayor                                         

  Compara tus resultados con otro compañero, ¿Hay mucha diferencia? _________________ 

¿Los resultados son equiprobables? _________________ 

¿Si tuvieras que apostar, a qué suma lo harías? __________________ 

 79

Lanzamiento de dados (Parte II)  

AHORA CON TRES DADOS ¿Qué crees que pase si lanzas 3 dados? ¿Habrá algún número que tenga más probabilidades que otro?

Fíjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas que puedes obtener al lanzar dos dados. En la columna de la derecha está el número de maneras de obtener esas sumas.

suma manera de obtenerla total suma manera de obtenerla total

3 1 + 1 + 1 1 11

4 1 + 1 + 2 1 + 2 + 1 2 + 1 + 1

3

12

5

1 + 1 + 3 1 + 2 + 2 2 + 1 + 2 2 + 2 + 1 3 + 1 + 1 1 + 3 + 1

6

13

6 14

7 15

8 16

9 17

10 18

Total 216   

  80

 

Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UNO_DOS Y TRES DADOS.xls, en la hoja 3 “Tres dados”, se donde se hace la simulación de 2000

lanzamientos de tres dados.

Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces.  

FREC.  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15  16  17  18  19 20

Menor                                         

Mayor                                         

Compara tus resultados con otro compañero, ¿Hay mucha diferencia? _______

¿Los resultados son equiprobables? _________

¿Si tuvieras que apostar, a qué suma lo harías? __________

¿Dónde están los números que tienen más probabilidad de caer? __________

¿Y los que tienen menos? _________ 

¿Se parece a la que se obtiene cuando lo haces con sólo dos dados? _______

¿Será una coincidencia? ________

0

50

100

150

200

250

300

TRE

S

CU

ATR

O

CIN

CO

SE

IS

SIE

TE

OC

HO

NU

EV

E

DIE

Z

ON

CE

DO

CE

TRE

CE

CA

TOR

CE

QU

INC

E

DIE

CIS

EIS

DIE

CIS

IETE

DIE

CIO

CH

O

TRES

CUATRO

CINCO

SEIS

SIETE

OCHO

NUEVE

DIEZ

ONCE

DOCE

TRECE

CATORCE

QUINCE

DIECISEIS

DIECISIETE

DIECIOCHO

 

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¿Cómo se dibuja un diagrama de caja? Recuerda las medidas de tendencia central, para tomarlas en cuenta en el momento de

realizar el dibujo de un diagrama de caja.

MEDIDA DE ASIMETRÍA

1) Diremos que una distribución es simétrica cuando su mediana, su moda y su media aritmética coinciden.

2) Diremos que una distribución es asimétrica a la derecha si las frecuencias (absolutas o relativas) descienden más lentamente por la derecha que por la izquierda.

3) Si las frecuencias descienden más lentamente por la izquierda que por la derecha diremos que la distribución es asimétrica a la izquierda.

Un diagrama de caja se construye como sigue:

1) Ordenar los datos de la muestra y obtener el valor mínimo, el máximo, y los tres cuartiles Q1, Q2 y Q3.

2) Dibujar un rectángulo cuyos extremos son Q1 y Q3 e indicar la posición de la mediana, Q2, mediante una línea.

3) Calcular con cualquiera de los procedimientos descritos anteriormente unos límites admisibles superior e inferior, Li y Ls, que identifiquen a los valores atípicos.

4) Considerar como valores atípicos los situados fuera del intervalo (Li, Ls).

5) Dibujar una línea que va desde cada extremo del rectángulo central hasta el valor más alejado no atípico, es decir, que está dentro del intervalo (Li, Ls).

6) Identificar todos los datos que están fuera del intervalo (Li, Ls), marcándolos como atípicos.

 

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Ejercicio 1) El precio de un interruptor magnetotérmico en 10 comercios de electricidad de una ciudad son : 25, 25, 26, 24, 30, 25, 29, 28, 26, y 27 Euros. Hallar la media, moda, mediana, diagrama de barras (en Excel) y el diagrama de caja (Corrobóralo con el dibujo)

| [El diagrama de cajas: caja desde Q1 a Q3 (50% de los datos), brazos el recorrido]

Ejercicio 2) Dada la siguiente distribución en el número de hijos (Xi) de cien familias, calcular la media, moda, mediana, diagrama de barras (en Excel) y el diagrama de caja (Dibújalo en el espacio asignado).

xi ni Ni Diagrama de caja

0 14 14

1 10 24

2 15 39

3 26 65

4 20 85

5 15 100

n=100 Ejercicio 3) El número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de iguales características han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 días. Calcular la media, moda, mediana, diagrama de barras (en Excel) y el diagrama de caja (Dibújalo al reverso de la hoja o en tu cuaderno).  

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BIBLIOGRAFIA 

 

EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Matemáticas con la hoja de cálculo. México: SEP. 

EMAT.  (2000).  Enseñanza  de  las  matemáticas  con  Tecnología.  Geometría dinámica. México SEP. 

EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. De los números al algebra en secundaria con el uso de la calculadora. México: SEP. 

EMAT. (2005). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Programación computacional para matemáticas de secundarias. México: SEP. 

SEP. (2006). Programas de estudios 2006. Matemáticas. Educación básica. Secundaria. México: SEP. 

SEP. (2006). Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, 2a ed., México. 

SEP. (2006). Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas Educación secundaria, 2a ed., México. 

 SEP. (2006). Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria, México.  

 

 

 

 

 

   

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DIRECTORIO 

Dra. Rocío Ruiz de la Barrera Secretaria de la S.E.P.H.

Lic. José Fermín Garrido Baños

Subsecretario de Educación Básica y Normal.

Mtro. Pablo Moreno Calva Director General de Educación Básica

Profr. Francisco Torres Ferra

Subdirector de Secundarias Generales

Profra. Elvia Licona Mejía Subdirectora de Telesecundarias

Profr. José Valdemar García Sánchez Subdirector de Secundarias Técnicas

Profra. Ma. Guadalupe Flores Barrera y

Profr. Andrés Rivera Díaz Coordinadores Estatales del Proyecto Enseñanza de las

Matemáticas con Tecnología, propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo)

Asesores externos

Dra. Teresa Rojano Ceballos Coordinación General de Enseñanza de las Matemáticas con

Tecnología

Dra. Ana Isabel Sacristán Rock Investigadora Titular del Departamento de Matemática Educativa

del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN