1

République Algérienne Démocratique et Populaire

ECOLE NORMALE SUPERIEURE D’ENSEIGNEMENT TECHNIQUE

- ORAN -

DÉPARTEMENT DU GÉNIE ELECTRIQUE

MAGISTER PREMIERE ANNEE

OPTION

ANALYSE ET COMMANDE DES MACHINES ELECTRIQUES

MODULE DES METHODES NUMERIQUES

Sous la direction de : Mr. BELAIDI.

Réalisé par : Mr. HAMANE BEKHADA.

E-mail :hamane.bekhada@yahoo.com

Promotion 2008-2009

Application des différentes méthodes

numériques d’interpolations en

2

Sommaire

Introduction générale 03

Chapitre I : Les méthodes numériques d’interpolation

I.1. Définition de l’analyse numériqueI.1.1. Définition généraleI.1.2. Définition mathématiqueI.1.3. Définition algorithmiqueI.1.4. Champ d’applicationI.2. Position du problèmeI.3. L’objectif de l’interpolationI.4. InterpolationI.4.1. Interpolation linéaireI.4.2. L’interpolation de LagrangeI.4.3. Limites de l’interpolation polynomialeI.4.4. Interpolation par des splinesI.4.5. Approximation au sens des moindres carrésI.4.5.1. Droite des moindres carrésI.4.5.2. Généralisation : polynôme des moindres carrésI.4.6. La méthode de NewtonI.4.6.1.Évaluation de polynômeI.4.6.2. Calcul des coefficientsI.4.7. La méthode de Neville

04040404040405050506060709091010101112

Chapitre II : Application de la méthode d’interpolation en MATLAB

II.1. Présentation de MATLABII.1.1. Introduction et Historique de MATLABII.1.2. Les particularités de MATLABII.1.3. MATLAB peut-il s’en passer de la nécessité de Fortran ou du CII.1.4.Écriture d’un programme MATLABII.1.5. Génération de graphique avec MATLABII.2. Opérations sur les polynômes dans MATLABII.2.1. Multiplication des polynômesII.2.2. Division des polynômesII.2.3. Manipulation de fonctions polynomiales dans MATLABII.2.4 Évaluation d’un polynômeII.3. Interpolation linéaire et splines cubiquesII.4. Interpolation de LagrangeII.5. Interpolation au sens des moindres carrésII.6. Interpolation par La méthode de NewtonII.6.1. Calcul Polynôme de NewtonII.6.2. Calcul le coefficient de NewtonII.7. Interpolation par La méthode de Neville

Conclusion généraleRéférence Bibliographique

141415151516161717181920212325252627

2829

3

Introduction générale

Depuis une vingtaines d’années, la puissance croissante des ordinateurs a permis d’aborder, puis de

résoudre complètement des problèmes de plus en plus nombreux et de plus en plus difficiles, par leur

complexité propre et par le nombre des informations à traiter ,l’ingénieur d’aujourd’hui ne doit pas

ignorer ces techniques ,ni les situations nouvelles qu’elles permettent de considérer .

De ce fait, il doit posséder une bonne formation tant en Analyse Mathématique qu’en Analyse

Numérique et en Analyse Statistique, en vue d’une meilleur compréhension des phénomènes et donc

d’une meilleur utilisation de ce nouveau moyen d’investigation et de décision.

Les principaux problèmes rencontrés par des ingénieurs dans les domaines scientifiques et techniques

ont souvent une origine dans une des grandes branches de la physique ou de la mécanique où les

équations différentielles, intégral, intégro-différentielles te aux dérivées partielles jouent un rôle tout à

fait fondamental.

On peut citer, par exemple, en :

Génie atomique, les problèmes de transfert de chaleur et de transfert de neutrons.

Sciences des matériaux, les problèmes de diffusion.

Mécanique quantique, les problèmes de propagations des ondes

(Equation de SCHRODINGER).

Génie civil, les problèmes de résistance des matériaux et de mécanique des sols.

Bâtiments, les problèmes de mécanique des structures et d’acoustique.

Automobile et Aviation, les problèmes de lissage des carrosseries et des cellules.

Electrotechnique, l’étude des réseaux complexes de distribution.

Hydraulique, les écoulements permanents et transitoires, la propagation d’ondes, les coups de

bélier.

Par ailleurs, dans toutes les branches d’activités industrielles et économiques, en particulier dans les

génies (chimique, civil, électrique, mécanique, métallurgique,...),les ingénieurs sont amenés à résoudre

des problèmes d’optimisation c’est-à-dire à choisir, entre plusieurs solutions possibles, celle qui est la

meilleure .Il s’agit donc de minimiser ,ou de maximiser ,un critère (coût, profit, distance, temps,

masse, énergie, rendement,…) sur l’ensemble est définit par un système d’équation et/ou d’inéquation

qui traduisent les contraintes imposées aux paramètres soit par des raisons techniques, soit par des

règlements.

Un problème d’optimisation se rencontre sous différentes formes en particulier en programmation

linéaire et non linéaire, en théorie de l’approximation, en théorie de contrôle (avec équations

différentielles ou aux dérivées partielles), en programmation stochastique, en programmation en

nombre entier, en programmation dynamique. [1]

Le travail présenté, consiste à l’étude des méthodes numériques de l’interpolation

Le premier chapitre sera consacré à l’étude des méthodes numériques et toutes les méthodesd’interpolation.

Enfin Le deuxième chapitre, consistera en une présentation de MATLAB et la programmationdes ces méthodes d’interpolation en MATL

4

Chapitre I :

Les méthodes numériques d’interpolation

I.1. Définition de l’analyse numérique : [1]

I.1.1 .Définition générale :

L’analyse numérique est le domaine des mathématiques où l’on étudie des algorithmes permettant derésoudre des problèmes de l’analyse mathématiques au moyen du calcul arithmétique.

I.1.2. Définition mathématique :

La mathématique de l’analyse numérique s’intéresse à l’étude des conditions d’existence et d’unicitéde la solution ainsi qu’aux performances du procédé de résolution (convergence, stabilité, précision,etc.) d’un problème.

I.1.3 .Définition algorithmique :

La résolution algorithmique d’un problème comporte : L’approximation d’un problème mathématique décrit en termes d’opérateurs de l’analyse (i.e. :

dérivées, intégrales …) par un problème numérique définit au moyen des seuls opérationsarithmétiques.

L’élaboration d’un procédé de résolution de ce problème numérique associé.

I.1.4 .Champ d’application :

Les méthodes numériques s’intéressent à trouver une approximation de la solution de :1-Problème dont on ne connaît pas l’expression analytique.2-Problème dont la solution analytique est inconnue ou inexploitable.Les méthodes numériques ont donc les caractéristiques suivantes :

Elles peuvent remplacer les méthodes analytiques quand celles-ci font défaut ou qu’elles sontde mise en œuvre trop complexe ;

Elles conduisent à une approximation de la solution, la précision pouvant généralements’améliorer au prix d’un effort de calcul plus important.

Elles sont directement adaptables sur ordinateur, mais elles peuvent parfois échouer.

Pour mon cas j’ai choisi les méthodes numériques des interpolations.

I.2. Position du problème : [5]

Étant donné un ensemble de doublets numériques (résultats expérimentaux, par exemple), le problème

à résoudre consiste à trouver un modèle mathématique (polynomial, trigonométrique, exponentiel,

etc.), et ses paramètres significatifs (c'est à dire ses coefficients), afin de réduire (on parle de

régression) toute une information en une expression mathématique utilisable, c’est à dire calculable,

intégrable, dérivable, etc. Lorsque les doublets sont considérés comme ‘sûrs’, au sens expérimental du

mot, on tentera une interpolation qui restituera toutes les valeurs numériques des doublets là où ils se

trouvent. Lorsque les doublets sont entachés d’incertitudes sur leurs déterminations, en particulier s’ils

sont très nombreux, on tentera une approximation qui restituera ‘au mieux’ l’information contenue

dans les doublets. On raisonne sur une fonction numérique ‘f’ à une seule variable réelle x, connue

pour N valeurs. Soit n, le nombre de paramètres du modèle mathématique à déterminer.

5

(a) (b)

Figure. I.1. (a) : Le modèle est vérifié pour tous Les doublets interpolation

Figure. I.1. (b) : Le modèle est optimisé entre tous les doublets approximation

I.3. L’objectif de l’interpolation : [5]

L’objectif principal de l’interpolation est d’interpoler des données connues à partir des points discrets.Dans ce cas, la valeur de la fonction entre ces points peut être estimée. Cette méthode d’estimationpeut être étendue et utilisée dans divers domaines ; à savoir la dérivation et l’intégration numérique despolynômes.

I.4. Interpolation : [5]

Étant donné (n+1) points {(x0,y0), (x1,y1),..., (xn,yn)}.Les (xi)0 i n sont appelés points d’interpolation.Les (yi)0 i n représentent les valeurs d’interpolation. Pour interpoler une fonction f, on définit cesvaleurs d’interpolation comme suit :

yi = f (xi), i=0,…, n

I.4.1. Interpolation linéaire : [6]

L'interpolation la plus simple est l'interpolation linéaire qui s'écrit à une dimension.

f(c) = pfi + (1-p) fi+1 ; 1 i N-1

Ou [xi ; xi+1] est le sous-intervalle contenant x et

ii

i

xx

xxP

1

1

Cette méthode est imparable. Non seulement elle est rapide et ne présuppose pas un espacement

régulier des points, mais elle assure que f(x) est toujours situe dans le rectangle défini par les points

diamétralement opposes (xi ; fi) et (xi+1 ; fi+1). Son inconvénient majeur, surtout si l'échantillonnage est

« diffus", elle produit une fonction d'apparence non lissée, plutôt en ligne brisée. Ceci peut être tries

gênant (en particulier, la dérivée première est discontinue).

6

I.4.2 L’interpolation de Lagrange : [4]

Une solution simple, élégante et économique de ce problème est fournie par l’utilisation de la base despolynômes de Lagrange.On considère les n + 1 polynômes Li de degré ≤ n qui vérifient, pour tout i et j compris entre 0 et n, leségalités :

0)(

1)(

ji

ii

xL

xL

Les polynômes Li sont détermines de façon unique par les n + 1 équations ci-dessus.Il est facile de montrer qu’ils forment une base de l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal àn et qu’ils s’´ecrivent :

n

ijj ji

ji

xx

xxxL

0

)(

Exprimé dans cette nouvelle base, le polynôme d’interpolation s’´ecrit

n

i

ii xLyxP0

)()(

La relation ci-dessus, facile à vérifier, explique l’intérêt de la base de Lagrange.Les coefficients du polynôme d’interpolation cherché sont, dans cette base, tout simplement les valeursyi données. Exprimé autrement, le changement de base, de la base canonique à la base de Lagrange, atransformé le système à résoudre en un système à matrice identité.Il peut montrer que l'erreur dans l'interpolation polynôme est :

)(!

))...()(()()( )(21

1 nnn f

n

xxxxxxxPxf

Où le ξ se situe quelque part dans l'intervalle (x1, xn) ; sa valeur est autrement inconnue. Elle estinstructive pour noter que plus un point de repères est de x lointain, plus qu'il contribue à l'erreur au x.

I.4.3. Limites de l’interpolation polynomiale : L’interpolation polynomiale est la base de

nombreuses techniques numériques, en particulier les techniques d’intégration approchée. Elle se

généralise de façon naturelle aux cas de dimension supérieure à un. [4]

Cependant elle a des limites :

théoriques : on n’est pas assuré de la convergence du polynôme d’interpolation vers la fonctioninterpolée lorsque l’on fait tendre le nombre de points d’interpolation (et donc le degré dupolynôme) vers l’infini.

numériques : même dans le cas où la convergence théorique est assurée, les instabilités decalcul provenant de l’accumulation des erreurs d’arrondis, auxquelles le procédéd’interpolation polynomiale est particulièrement sensible, limite l’usage de cette technique dèsque le nombre de points d’interpolation dépasse la dizaine ;

pratiques : remarquons que dans de nombreux cas, les valeurs données résultent d’expériencesou de calculs préalables. Ces valeurs sont donc approximatives. Le problème réel n’est alorsplus un problème d’interpolation, mais plutôt un problème de meilleure approximation pourlequel les méthodes de moindres carrés, sont mieux adaptées.

7

I.4.4. Interpolation par des splines :

Pour éviter l’inconvénient, signalé plus haut, de l’augmentation du degré du polynôme et de

l’instabilité qui en résulte, lorsque le nombre de points est grand,

Figure. I.2 : Divergence de l’interpolation polynomiale pour la fonction21

1

xy

. Phénomène de

Runge .En pointillés : la fonction, en train pleins : le polynôme d’interpolation de

degré 10 Construit sur 11 points régulièrement espacés.

Tout en restant dans un procédé d’interpolation, on subdivise l’ensemble des points donnés en

plusieurs sous-ensembles. On réalise les interpolations sur ces petits sous-ensembles, ce qui permet de

se limiter à des polynômes de bas degré.

Les fonctions polynomiales par morceaux obtenues sont à la base des éléments finis de Lagrange.

Figure. I.3.Une fonction affine par morceaux

Figure. I.4.Une fonction polynomiale de degré deux par morceaux

Les interpolations ci-dessus produisent des fonctions globalement continues mais non continûment

dérivables.

Les splines cubiques d’interpolation sont des fonctions cubiques par morceaux, globalement C2. On

obtient leur expression analytique, segment par segment, en imposant les conditions suivantes aux

points xi d’interpolation

s (xi) = yi donné pour i = 0,…, n, s′ et s′′ continues

8

Figure .I.5 .Spline cubique d’interpolation pour21

1

xy

Les inconnues du problème sont alors les dérivées secondes Ci de la spline aux points xi. On suppose la

dérivée seconde de la spline affine par intervalles. On intègre deux fois en prenant en compte les

conditions de continuité de la dérivée et les valeurs données yi aux points xi. On en déduit les

expressions suivantes de la spline sur chaque intervalle [xi, xi+1] :

i

ii

i

iii

i

iii

i

ii

h

xxy

h

xxyxxhi

h

xxCxxh

h

xxCxS i

i )()()(

)(

6)(

)(

6)( 1

13

13

1

1

Avec hi = xi+1-xi, et où les Ci sont solutions du système tridiagonal :

1

11

11

11

1 )()(

636

i

iii

i

iii

ii

iii

i

h

yyy

h

yyC

hC

hhC

h

Pour i = 1,…, n- 1, complété, en général, par C0 = Cn = 0.

Voici par exemple (Figure .1.4) la spline cubique d’interpolation de la fonction

21

1)(

xxf

Sur 10 intervalles. On observe la stabilité de cette interpolation par contraste avec le résultat obtenu

(Figure. 1.2) par interpolation polynomiale.

I.4.5. Approximation au sens des moindres carrés : [3]

L’instabilité du procédé d’interpolation polynomiale lorsque le nombre de points augmente, d’une part,

l’incertitude des résultats de mesure, d’autre part, conduisent à préférer à l’interpolation des méthodes

d’approximation. Ainsi il est clair que l’expérimentateur qui relèvera 100 points quasiment alignés sera

plus intéressé par la droite passant “ au mieux ” par ces 100 points plutôt que par le polynôme de degré

99 réalisant l’interpolation exacte.

9

Figure. I. 6.Droite des moindres carrés

La plus célèbre et la plus utile des méthodes d’approximation est la méthode des moindres carrés. La

formalisation de l’idée intuitive d’une droite représentant “au mieux” un nuage de points au sens des

moindres carrés fait de la manière suivante.

I.4.5.1. Droite des moindres carrés :

Soient N valeurs y1, y2, ...yi, ...yN données aux N abscisses x1, x2, ...xi, ...xN .

Le polynôme P de degré un : P(x) = a0 + a1x (représenté par une droite) qui réalise la meilleure

approximation au sens des moindres carrés des valeurs yi données aux points xi est celui qui minimise

la somme des carrés des écarts entre les yi et les P (xi), soit

N

i

ii xaayaaS1

21010 )]([),(

S apparaît comme le carré de la norme euclidienne du vecteur de composantes yi -(a0 + a1xi). La

minimisation de S s’interprète donc comme la recherche du vecteur le plus proche du vecteur Y

RN de composantes yi, dans le sous-espace de dimension deux engendré par les vecteurs U, de

composantes toutes égales à 1, et X, de composantes xi. Comme la norme utilisée est la norme

euclidienne, le vecteur le plus proche est le projet´e orthogonal. On obtient ses composantes a0 et a1 en

écrivant les relations d’orthogonalité :

N

i

iii

N

i

ii

xxaayXXaUaY

xaayUXaUaY

1

1010

1

1010

0)]([)(

01)]([)(

Ceci conduit au système dit des équations normales pour a0 et a1, coefficients de la droite des moindres

carrés (ou de régression) cherchée.

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

yx

y

a

a

xx

xN

1

1

1

0

1

2

1

1

10

I.4.5.2. Généralisation : polynôme des moindres carrés :

Il est facile de généraliser le calcul précédent au cas de la recherche du polynôme de degré ≤ m,

avec m << N, qui réalise la meilleure approximation au sens des moindres carrés des yi. Ce polynôme

minimise

2

1

22101 ....(),...,,( 0

N

i

mimiiim xaxaxaayaaaS

On obtient les relations d’orthogonalité :

0...

....

0...

0...

10

10

10

mmm

mm

mm

XXaXaUaY

XXaXaUaY

UXaXaUaY

Où l’on a noté Xm le vecteur de composantes.m

ix

Les valeurs des coefficients ak du polynôme des moindres carrés s’en déduisent après résolution du

système linéaire déduit de la formule précédente.

I.4.6. La méthode de Newton : [2]I.4.6.1.Évaluation de polynôme :

Bien que la méthode de Lagrange soit conceptuellement simple, elle ne se prête pas à un algorithme

rentable. Le meilleur procédé informatique est obtenu par la méthode de Newton, la où le polynôme

d’interpolation est écrit sous la forme :

nnn axxxxxxaxxxxaxxaxP ))...()((...))(()()( 1213212111

Ce polynôme se prête à un procédé d'évaluation rentable. Considérez, par exemple, quatre pointsdonnés (n = 4). Ici le polynôme d’interpolation est :

4332211

3213212113

)()()(

))()(())(()()( 4

axxaxxaxxa

axxxxxxaxxxxaxxaxP

11

Ce qui peut être évalué avec les relations de récurrence suivantes :

)()()(

)()()(

)()()(

)(

2

3

113

1222

031

40

xPxxaxP

xPxxaxP

xPxxaxP

axP

Pour n arbitraire nous avons :

naxP )(0 ; 1,...,2,1),()()( 1 nkxPxxaxP kknknk

I.4.6.2. Calcul des coefficients:

Les coefficients de Pn−1 (x) sont déterminés en forçant le polynôme pour passer par chaque pointdonné : yi = Pn−1 (xi), i = 1, 2,…, N. Ceci rapporte les équations simultanées (a):

nnnnnnn axxxxxxaxxay

axxxxaxxay

axxay

ay

))...()((...)(

))(()(

2)(

121111

3232133

1212

11

311

Présentation des différences divisées :

1

111

3

322

3

2

22

1

1

,...,5,4,

,...,4,3,

,...,3.2,

nn

nn

in

n

i

ii

i

ii

i

ii

xx

yyy

nixx

yyy

nixx

yyy

nixx

yyy

i

La solution de l’équation (a) est : 11 ya 22 ya 32

3 ya ... nn

n ya

Si les coefficients sont calculés à la main, il est nécessaire de travailler avec le format dans le

tableau.I.1 suivant (pour n = 5) :

12

Les limites de diagonale (y1, ∇y2, ∇2y3, ∇

3y4 et ∇4y5) dans la table sont les coefficients du polynôme. Si

les points donnés sont énumérés dans l'ordre différent, les entrées dans la table changeront, mais le

polynôme résultant sera même-rappellent qu'un polynôme du n−1 interpolant n de degré des points

donnés distincts est unique.

I.4.7. La méthode de Neville : [2]

La méthode de Neville d'interpolation implique deux étapes : calcul des coefficients, suivi de

l'évaluation du polynôme. Ceci fonctionne bien si l'interpolation s’effectué à plusieurs reprises à

différentes valeurs de x utilisant le même polynôme. Si seulement un point est pour être interpolé, une

méthode qui calcule l'interpolant dans un pas à pas, comme L'algorithme de Neville, est un meilleur

choix.

Laissez le Pk [xi, xi+1,…, xi+k] dénotent le polynôme du degré k qui passe de k+ 1 des points donnés (xi,

yi), (xi+1, yi+1),…, (xi+k, yi+k). Pour un seul point de repères, nous avons : P0 [x0]= yi

L'interpolant basé sur deux points de repères est :

1

100111

)()(,

ii

iiiiii

xx

xPxxxPxxxxP

C'est facile de vérifie que P1 [xI, xi+1] passe les deux des points donnés ; c'est-à-dire,

P1 [xI, xi+1] = yi quand x = xi , et P1 [xI, xi+1] = yi+1 quand x = xi+1.

L'interpolant à trois points est :

2

2,11112212

)(,)(,,

ii

iiiiiiiii

xx

xxPxxxxPxxxxxP

Pour prouver que cet interpolant est intersecté les points donnés, nous substituons la seconde x = xi,On obtenant :

P2[xi, ,xi+1 ,xi+2] = P1[xi, ,xi+1]=yi

13

De même, rendements x = xi+2

P2 [xi, xi+1, xi+2] = P1 [xi+1, xi+2] = yi+2

En conclusion, quand x = xi+1 que nous avons

P1 [xi, xi+1] = P1 [xi+1, xi+2] = yi+1

De sorte que :

1

2

11121212

)()(,,

i

ii

iiiiiiiii y

xx

yxxyxxxxxP

Après avoir établi le modèle, nous pouvons maintenant déduire la formule récursive générale :

kii

kiiikikiiikkikiii

xx

xxxPxxxxxPxxxxxP

,...,,)(,...,,)(,...,,

21111112

Etant donné la valeur de x, les calculs peuvent être effectués dans le format tabulaire. I.2 suivant(montré pour quatre points de repères) :

14

Chapitre II :

Application de la méthode d’interpolation en MATLAB

II.1. Présentation de MATLAB : [5]II.1.1. Introduction et Historique de MATLAB : [5]

MATLAB est une abréviation de Matrix LABoratory. Écrit à l’origine, en Fortran, par C. Moler,MATLAB était destiné à faciliter l’accès au logiciel matriciel développé dans les projets LINPACK etEISPACK. La version actuelle, écrite en C par the Math Works Inc., existe en version professionnelleet en version étudiant. Sa disponibilité est assurée sur plusieurs plates-formes : Sun, Bull, HP, IBM,compatibles PC (DOS, Unix ou Windows), Macintosh, IMac et plusieurs machines parallèles.

MATLAB est un environnement puissant, complet et facile à utiliser destiné au calcul scientifique. Ilapporte aux ingénieurs, chercheurs et à tout scientifique un système interactif intégrant calculnumérique et visualisation. C'est un environnement performant, ouvert et programmable qui permet deremarquables gains de productivité et de créativité.

MATLAB est un environnement complet, ouvert et extensible pour le calcul et la visualisation. Ildispose de plusieurs centaines (voire milliers, selon les versions et les modules optionnels autour dunoyau Matlab) de fonctions mathématiques, scientifiques et techniques. L'approche matricielle deMATLAB permet de traiter les données sans aucune limitation de taille et de réaliser des calculsnumériques et symboliques de façon fiable et rapide. Grâce aux fonctions graphiques de MATLAB, ildevient très facile de modifier interactivement les différents paramètres des graphiques pour lesadapter selon nos souhaits.

L'approche ouverte de MATLAB permet de construire un outil sur mesure. On peut inspecter le codesource et les algorithmes des bibliothèques de fonctions (Toolboxes), modifier des fonctions existanteset ajouter d’autres.

MATLAB possède son propre langage, intuitif et naturel qui permet des gains de temps de CPUspectaculaires par rapport à des langages comme le C, le Turbo Pascal et le Fortran. Avec MATLAB,on peut faire des liaisons de façon dynamique, à des programmes C ou Fortran, échanger des donnéesavec d'autres applications (via la DDE : MATLAB serveur ou client) ou utiliser MATLAB commemoteur d'analyse et de visualisation.

MATLAB comprend aussi un ensemble d'outils spécifiques à des domaines, appelés Toolboxes (ouBoîtes à Outils). Indispensables à la plupart des utilisateurs, les Boîtes à Outils sont des collections defonctions qui étendent l'environnement MATLAB pour résoudre des catégories spécifiques deproblèmes. Les domaines couverts sont très variés et comprennent notamment le traitement du signal,l'automatique, l'identification de systèmes, les réseaux de neurones, la logique floue, le calcul destructure, les statistiques, etc.

MATLAB fait également partie d'un ensemble d'outils intégrés dédiés au Traitement du Signal. Encomplément du noyau de calcul MATLAB, l'environnement comprend des modules optionnels quisont parfaitement intégrés à l'ensemble :

1) une vaste gamme de bibliothèques de fonctions spécialisées (Toolboxes)

2) Simulink, un environnement puissant de modélisation basée sur les schémas-blocs et de

15

simulation de systèmes dynamiques linéaires et non linéaires.

3) Des bibliothèques de blocs Simulink spécialisés (Blocksets).

4) D'autres modules dont un Compilateur, un générateur de code C, un accélérateur,...

5) Un ensemble d'outils intégrés dédiés au Traitement du Signal : le DSP Workshop.

II.1.2. Les particularités de MATLAB : [5]

MATLAB permet le travail interactif soit en mode commande, soit en mode programmation ; tout enayant toujours la possibilité de faire des visualisations graphiques. Considéré comme un des meilleurslangages de programmations (C ou Fortran), MATLAB possède les particularités suivantes par rapportà ces langages :

la programmation facile, la continuité parmi les valeurs entières, réelles et complexes, la gamme étendue des nombres et leurs précisions, la bibliothèque mathématique très compréhensive, l’outil graphique qui inclut les fonctions d’interface graphique et les utilitaires, la possibilité de liaison avec les autres langages classiques de programmations (C ou Fortran).

Dans MATLAB, aucune déclaration n’est à effectuer sur les nombres. En effet, il n'existe pas dedistinction entre les nombres entiers, les nombres réels, les nombres complexes et la simple ou doubleprécision. Cette caractéristique rend le mode de programmation très facile et très rapide. En Fortranpar exemple, une subroutine est presque nécessaire pour chaque variable simple ou double précision,entière, réelle ou complexe. Dans MATLAB, aucune nécessité n’est demandée pour la séparation deces variables.

La bibliothèque des fonctions mathématiques dans MATLAB donne des analyses mathématiques trèssimples. En effet, l’utilisateur peut exécuter dans le mode commande n’importe quelle fonctionmathématique se trouvant dans la bibliothèque sans avoir à recourir à la programmation.

Pour l’interface graphique, des représentations scientifiques et même artistiques des objets peuventêtre créées sur l’écran en utilisant les expressions mathématiques. Les graphiques sur MATLAB sontsimples et attirent l’attention des utilisateurs, vu les possibilités importantes offertes par ce logiciel.

II.1.3. MATLAB peut-il s’en passer de la nécessité de Fortran ou du C : [5]

La réponse est non. En effet, le Fortran ou le C sont des langages importants pour les calculs de hauteperformance qui nécessitent une grande mémoire et un temps de calcul très long. Sans compilateur, lescalculs sur MATLAB sont relativement lents par rapport au Fortran ou au C si les programmescomportent des boucles. Il est donc conseillé d'éviter les boucles, surtout si celles-ci est grande.

II.1.4.Écriture d’un programme MATLAB : [5]

En MATLAB, les programmes se terminent par une extension ‘.m’ dans le nom du fichier programme.Aucune compilation n’est à faire avant l’exécution du programme. Au cours de l’exécution, unmessage d’erreur apparaît et indique les lieux où se trouvent les erreurs.

Pour lancer l’exécution du programme, il faut se mettre toujours dans le même répertoire où se trouvece programme.

16

Ce dernier se trouve dans c:\utilisateur ; il faut changer tout d’abord de répertoire après avoir lancéMATLAB en tapant "cd c:\utilisateur».

Les fichiers de données sont enregistrés avec une extension ‘.mat’ et les variables sont enregistrées endouble précision.

II.1.5. Génération de graphique avec MATLAB : [5]

MATLAB est un outil très puissant et très convivial pour la gestion des graphiques, que ce soit en une

dimension, en deux dimensions ou en trois dimensions. Pour tracer une courbe y=sin(x) par exemple,

où x=0 :50 ; il suffit de faire :

>>x=0:50;y=sin(x);

>>plot(x, y)

Ci-dessous, un petit résumé très succinct est donné pour tracer, concernant le traçage des graphiques etla manipulation des axes et des échelles :

-xlabel(‘temps’) pour donner un titre à l’axe x, ylabel(‘vitesse’) pour donner un titre à l’axe y, title(‘évolution de la vitesse’) pour donner un titre au graphique, grid on afficher le quadrillage dans le graphique, grid off masqué le quadrillage dans le graphique, hold(‘on’) traçage des courbes sur le même graphique à chaque fois qu’on exécute la

fonction plot, hold(‘off’) traçage de chaque courbe sur un nouveau graphique à chaque fois qu’on exécute

la fonction plot, close figure(i) fermer (ou quitter) la figure (i), close all fermer tous les graphiques ouverts, plot(x,y,x,z,x,w) tracer y, z et w en fonction de x sur le même graphe, polar(x,y) tracer la courbe y en fonction de x en coordonnées polaires, plot(x,y,’+g’) tracer y en fonction de x avec des marques ‘+’ en couleur verte, plot3(x,y,z) tracer z en fonction de x et de y en 3D,

fplot(‘f_nom’,[x-mini, x-maxi]) tracer la fonction f_nom selon les axes données (x), axis(‘square’) tracer un graphe géométriquement carré, axis(‘off’) masque les axes x et y, axis(‘on’) affiche les axes x et y, axis([x-mini, x-maxi, y-mini,y-maxi]) affiche le graphique selon les limites contour(x,y,z,’niveau’) tracer les lignes iso-valeurs de z dans le plan (x,y) où le niveaureprésente le nombre de lignes iso-courbes.

Exemple 1: x=0 :50 ; y=sin(x) ; z=cos(y) +4*x ; contour(x,y,z,40) on obtient 40 iso- courbes.

II.2. Opérations sur les polynômes dans MATLAB :

Dans MATLAB, les polynômes sont représentés sous forme des vecteurs lignes dont les composantes

sont données par ordre des puissances décroissantes. Un polynôme de degré n est représenté par un

vecteur de taille (n+1).

17

Exemple 2:Le polynôme : f(x)= 8.x5 + 2.x3 -3.x2 +4.x -2 est représenté par :

>>f= [8 0 2 -3 4 -2]f =8 0 2 -3 4 -2

D’autres fonctions dans MATLAB telles que : ‘conv’, ‘deconv’, ‘roots’, etc. peuvent être utilisées en

plus des opérations propres aux vecteurs

II.2.1. Multiplication des polynômes :

La fonction ‘conv’ donne le produit de convolution de deux polynômes. L’exemple suivant montrel’utilisation de cette fonction.Soient :Exemple 3 :

1.5.3.2)(

4.2.3)(24

23

xxxxg

xxxxf

Le produit de convolution : h(x)=f(x)*g(x) est donné par :

>>f = [3 2 -1 4];>>g= [2 0 -3 5 -1];>>h=conv(f,g)h= 6 4 -11 17 10 -19 21 -4

Ainsi, le polynôme h(x) obtenu est :

4.21.19.10.17.11.4.6)( 234557 xxxxxxxxh

II.2.2. Division des polynômes :La fonction ‘deconv’ donne le rapport de convolution de deux polynômes (déconvolution descoefficients du polynôme). L’exemple suivant montre l’utilisation de cette fonction.Exemple 4 :Soient les mêmes fonctions précédentes f(x) et g(x) :

1.5.3.2)(

4.2.3)(24

23

xxxxg

xxxxf

La division de g(x) par f(x) : est donnée par la fonction ‘deconv’ :)(

)()(

xf

xgxh

>>f = [3 2 -1 4];>>g= [2 0 -3 5 -1];>>h=deconv(g,f)h = 0.6667 -0.4444

Et le polynôme h(x) obtenu est : h(x)=0.6667*x - 0.4444

18

II.2.3. Manipulation de fonctions polynomiales dans MATLAB :

Soit le polynôme suivant :

012

21

1 .......)( axaxaxaxaxP nn

nn

Où n est degré du polynôme et ai (i=0,1,2,…n) sont les coefficients du polynôme.Ce polynôme peut être écrit sous la forme :

))....).).((...(...()( 0121 axaxaxaxaxP nnn

Après factorisation, on a :

))...().().(.()( 321 nrxrxrxrxaxP n

Où r0, r1, r2,…rn sont les racines du polynôme P(x)

Exemple 5:

12.8.7.2)( 234 xxxxxPCe polynôme est équivalent à :

)12).8).7).2(((()( xxxxxP

Ou encore :

)3).(2).(2).(1()( xxxxxP

Un polynôme d’ordre n possède n racines qui peuvent être réelles ou complexes.

Dans MATLAB, un polynôme est représenté par un vecteur contenant les coefficients dans unordre décroissant.

Exemple 6:Le polynôme : P(x)=2.x3 + x 2 + 4.x +5 qui est représenté dans MATLAB par :

>>P= [2 1 4 5];

A pour racines . Pour trouver ces racines, on doit exécuter la fonction ‘roots’. D’où :

>>r=roots(P);Et le résultat donné est :>> rr =0.2500 + 1.5612i0.2500 - 1.5612i-1.0000Les trois racines de ce polynôme (dont 2 sont complexes) sont données sous forme d’un vecteurcolonne. Quand les racines ri sont connues, les coefficients peuvent être recalculés par la commande‘poly’.

19

Exemple 7:

>>poly(r)ans =1.0000 0.5000 2.0000 2.5000La fonction ‘poly’ accepte aussi une matrice comme argument dont elle retourne le polynômecaractéristique.

Exemple 8 :

>>A= [3 1;2 4];>>p=poly(A)p =1 -7 10

Ainsi, le polynôme caractéristique de la matrice A est : 10.7)( 2 xxxPLes racines de ce polynôme sont les valeurs propres de la matrice A. ces racines peuvent être obtenuespar la fonction ‘eig’ :

>>Val_prop=eig (A)Val_prop =25

II.2.4. Évaluation d’un polynôme :

Pour évaluer le polynôme P(x) en un point donné, on doit utiliser la fonction ‘polyval’. On évalue cepolynôme pour x=1, par exemple :

>>polyval (P,1)ans = 12

Exemple 9:On veut évaluer en x=2.5 le polynôme suivant :

1.2.7.3 234 xxxxy

>>C= [3 -7 2 1 1];>>x=2.5;>> y=polyval(C, x)y = 23.8125

Si x est un vecteur contenant plusieurs valeurs, y sera aussi un vecteur qui contiendra le même nombred’éléments que x.

20

II.3. Interpolation linéaire et splines cubiques:

Une interpolation consiste à relier les points expérimentaux par une courbe sous forme de segments de

droites ou de courbes polynomiales. Ceci peut être réalisé par la fonction ‘interp1’. La commande

‘interp1(x,y,xi,’type’)’ retourne un vecteur de mêmes dimensions que xi et dont les valeurs

correspondent aux images des éléments de xi déterminées par interpolation sur x et y. Si f est

l’interpolation de y, la chaîne ‘type’ spécifie alors le type d’interpolation qui doit être parmi les

suivants :

‘linear’ à interpolation linéaire ‘spline’ à interpolation par splines cubiques, ‘cubic’ à interpolation cubique.

Si on ne spécifie pas le type, l’interpolation linéaire est choisie par défaut.

Exemple 10:

>>x = 0:10; y = sin(x); xi = 0:.25:10;>>yi = interp1(x,y,xi,’cubic’); plot(x,y,'o',xi,yi)

Figure. II.1 : Interpolation cubique

Exemple 11 :

Dans le cas suivant, on étudiera ces différents types d’interpolation linéaire et cubique sur un mêmeexemple de valeurs discrètes de la fonction ‘cosinus’. On appellera l’algorithme : ‘exo_2.m’.

%*************************************% Utilisation de la commande interp1 *%*************************************

clear all;clc;x=0:10;y=cos(x); % Points à interpolerz=0:0.25:10; % Le pas du vecteur z est inférieur à celui de x

21

% Interpolation linéairefigure(1);f=interp1(x, y, z);

% Tracé des valeurs réelles et de la courbe d'interpolationplot(x,y,'*r',z,f);grid on;xlabel('Interpolation');

% Interpolation par splines cubiquesfigure(2);f=interp1(x,y,z,'spline');plot(x,y,'*r',z,f);grid on;xlabel('Interpolation par splines cubiques');

En exécutant ce programme, on obtient les courbes suivantes :

Figure. II.2 : Interpolation par splines cubiques Figure. II.3 : Interpolation linéaire

Remarque : La fonction ‘interp2’ réalise l’interpolation dans l’espace trois dimensions (3D).

II.4. Interpolation de Lagrange :

Exemple 12 : Les masses volumiques du matériau pour différentes températures sont données par letableau II.1 ci-dessous :

i 1 2 3Température T (en °C) 94 205 371Masse volumique R(T) : (en kg/m3) 929 902 860

1-Écrire la formule d’interpolation de Lagrange qui permet d’interpoler les différents points dedonnées précédentes.

2-Trouver les masses volumiques du sodium pour T=251 °C, T=305 °C et T=800 °C en utilisantl'interpolation de Lagrange.

22

Solution :

a) Puisque le nombre de points est égal à 3, alors le polynôme de Lagrange sera de degré 2. Cepolynôme s’écrit :

3

,1

3

1 )(

)(.)()(

ijj ji

j

i

i

TT

TTTRTR

Soit :

)860.()205371).(94371(

)205).(94()902.(

)371205).(94205(

)371).(94()929.(

)37194).(20594(

)371).(205()(

TTTTTTTR

D’où pour T=251 °C, on obtient R(251) = 890.5 kg/m3.

L'algorithme de calcul de R(251), R(305) et R(800) est : ‘exo_4.m’ qui est listé ci-dessous :

%****************************************% Interpolation polynomiale de Lagrange *%****************************************clc;clear;T=[94 205 371];R=[929 902 860];Ti=[251 305 800];Ri=zeros (size(Ti)); % Initialisation des Tin=length(R); % Nombre de points

For i=1:ny=ones(size(Ti));For j=1:n

If i~=jy=y.*(Ti-T(j))/(T(i)-T(j));

EndRi=Ri+y*R(i)

EndEndReturn

Il suffit maintenant d’exécuter le programme ‘exo_4.m’ pour obtenir les résultats de Ri. Ces résultatssont les suivants :>>RiRi = 890.5561 876.9316 742.45559

23

II.5. Interpolation au sens des moindres carrés :

Dans le domaine de l’analyse numérique des données, on a souvent besoin d’établir un modèlemathématique liant plusieurs séries de données expérimentales. L’interpolation polynomiale consiste àapprocher la courbe liant les deux séries de mesures par un polynôme. Les coefficients optimaux de cepolynôme sont ceux qui minimisent la variance de l’erreur d’interpolation. Ce principe est connu sousle nom de la méthode des moindres carrés. La fonction ‘polyfit’ retourne le polynôme P de degré npermettant d’approcher la courbe y=f(x) au sens des moindres carrés.

Exemple 13:

>> x= [1.1 2.3 3.9 5.1];

>>y= [3.887 4.276 4.651 2.117];

>>a=polyfit(x, y, length(x)-1)a =-0.2015 1.4385 -2.7477 5.4370

Ainsi, le polynôme d’interpolation de y (d’ordre length(x)-1=3) est :

4370.5.7477.2.4385.1.2015.0)( 23 xxxxP

Pour déduire l’erreur entre les valeurs expérimentales et le modèle obtenu par la fonction ‘polyfit’, ondispose de la fonction ‘polyval’ qui retourne la valeur du polynôme P pour toutes les composantes duvecteur (ou de la matrice) x. Ainsi, cette fonction donne :

>>yi=polyval (a, x)yi =3.8870 4.2760 4.6510 2.1170

On remarque ici que les valeurs expérimentales de y sont bien restituées (y=yi). Dans ce cas, on a uncoefficient de corrélation qui est égal à 1.

Exemple 14 : Pour mieux comprendre ces fonctions prédéfinis dans MATLAB, on va simuler unecourbe expérimentale par une sigmoïde à laquelle on superpose un bruit du type Gaussien. Cettecourbe sera donnée par :

))(.1(.05.01

1xlengthrandn

ey

x

Le programme exo_3.m correspondant à l’approximation des ces données dans MATLAB par est lesuivant :

clc; % Effacer l'écranclear all; % Effacer des variables de l'espace de travailx=-5:0.1:5; % Intervalle de définition et de calcul de la sigmoïde

% Fonction sigmoïde bruitéey=1./(1+exp(-x))+0.05*randn(1,length(x));plot (x,y); % Tracé de la sigmoïde bruitée

24

title('Fonction sigmoïde bruitée - Polynôme d''interpolation');xlabel('x');ylabel('y');

% Polynôme d'interpolation d'ordre 1P=polyfit(x,y,1);

% Valeurs du polynôme d'interpolationVp=polyval(P,x);

% Tracé du polynôme d'interpolationhold on;

plot(x,Vp,'--');% Calcul de l'erreur d'interpolationerreur=y-Vp;% Tracé de la courbe de l'erreurplot(x,erreur,':')grid

gtext('Mesures')gtext('Erreur')gtext('Modèle')hold off% Affichage du polynôme d'interpolationdisp('Polynôme d''interpolation')PVar_erreur=num2str(std(erreur).^2);disp(['La variance de l''erreur d''interpolation est : ',Var_erreur])

Après exécution du programme, on obtient à l’ordre 1 (droite affine : figure 4 ci-dessous) les résultatssuivants :

>> regres

Polynôme d'interpolationP =0.1309 0.5008

La variance de l'erreur d'interpolation est : 0.011277

On remarque ici que le polynôme d’interpolation d’ordre un n’est pas une bonne approximation pour

ces données. En effet, un polynôme d’ordre 5 donne une meilleure approximation de la sigmoïde

(Figure II.5). On change dans le ‘1’ par ‘5’ dans la fonction ‘polyfit’,

et on obtient les résultats suivants :

>> regresPolynôme d'interpolationP =0.0002 -0.0000 -0.0111 0.0008 0.2326 0.4844

La variance de l'erreur d'interpolation est : 0.002279

25

Figure. II.4 : Interpolation linéaire d’ordre 1

Figure. II.5 : Interpolation par un polynôme d’ordre 5

II.6. Interpolation par La méthode de Newton :

II.6.1. Calcul Polynôme de Newton :La dénotation x-coordonne le choix des points de repères par xData, et le nombre de points de repères

par n, nous avons l'algorithme suivant pour calculer Pn−1 (x) :

Exemple 15:Function p = newtonPoly (a, xData, x)% renvoie la valeur du polynôme de Newton dans x% a = choix de coefficient du polynôme% a doivent être calculés d'abord par le newtonCoeff.% xData = x-coordonne des points de repères.n = length (xData);p = a (n);For k = 1: n-1;p = a (n-k) + (x - xData (n-k))*p;End

26

II.6.2. Calcul le coefficient de Newton :Des calculs d’ordinateur sont mieux effectués dans unerangée unidimensionnelle une utilisation de l'algorithme suivant :

Example 16:Function a = newtonCoeff (xData, yData)% renvoie la valeur du coefficient de Newton dans x% xData = x-coordonne des points de repères.% yData = y-coordonne des points de repères.n = length (xData);a = yData;For k = 2: na(k:n) = (a(k:n) - a(k-1))./(xData(k:n) - xData(k-1));End

Au initial, a contient les y-valeurs des données, de sorte qu'il soit identique à la seconde colonne dans

le tableau1.1. Chaque passage par la boucle produit des entrées dans la prochaine colonne, qui

recouvrent les éléments correspondants de a. Par conséquent, a extrémités contenant vers le haut les

limites diagonales du tableau.1.1 ; c.-à-d., les coefficients du polynôme.

Exemple 17 : Les points de repères dans la table.II.2 se trouvent sur la parcelle de terrain def (x) = 4.8 cos πx/20. Interpolez ces données par la méthode de Newton à x = 0, 0.5, 1.0,…, 8.0 etcomparez les résultats au « exigent » des valeurs données par y = f (x).

Solution:

xData = [0.15; 2.3; 3.15; 4.85; 6.25; 7.95];yData = [4.79867; 4.49013; 4.22430; 3.47313;2.66674; 1.51909];a = newtonCoeff (xData, yData);’ x yInterp yExact’For x = 0: 0.5: 4y = newtonPoly (a, xData, x);yExact = 4.8*cos(pi*x/20);fprintf(’%10.5f’,x,y,yExact)fprintf(’\n’)End

Le résultant est.

x yInterp yExact0.00000 4.80003 4.800000.50000 4.78518 4.785201.00000 4.74088 4.740901.50000 4.66736 4.667382.00000 4.56507 4.565072.50000 4.43462 4.434623.00000 4.27683 4.276833.50000 4.09267 4.092674.00000 3.88327 3.88328

x 0.15 2.30 3.15 4.85 6.25 7.95y 4.79867 4.49013 4.2243 3.47313 2.66674 1.51909

27

II.7. Interpolation par La méthode de Neville :

Cet algorithme fonctionne avec la rangée unidimensionnelle y, qui contient au initialisant les y-

valeurs des données (la deuxième colonne dans le tableau 1.2). Chaque passage par la boucle calcule

les limites dans la prochaine colonne de la table, qui recouvrent les précédents éléments de y à la fin de

la procédure, y contient les limites diagonales de la table. La valeur de l'interpolant (évalué à x) qui

passe tous les points de repères est y1, le premier l'élément de y.

Exemple 18 :

Function yInterp = neville (xData, yData,x)% renvoie la valeur d’interpolation dans x% xData = x-coordonne des points de repères.% yData = y-coordonne des points de repères.n = length (xData);y = yData;For k = 1: n-1y(1:n-k) = ((x - xData(k+1:n)).*y(1:n-k)+ (xData(1:n-k) - x).*y(2:n-k+1))/(xData(1:n-k) -xData(k+1:n));EndyInterp = y(1);

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Conclusion générale

L’analyse numérique est donc une science de base dont tout ingénieur doitconnaître le langage afin de :

résoudre les problèmes simple (ou complexe). dialoguer avec les spécialistes pour les problèmes plus complexes.

On trouve des différentes méthodes numériques de résolution, parexemple :

la résolution d’intégral. Calcul des dérivés et des dérivés partiels. La résolution des équations algébriques. L’interpolation. La résolution des équations différentielles. Régime linéaire. Méthodes des moindres carrés. La résolution des matrices. Calcul des valeurs propres et les vecteurs propres.

Au terme de ce travail nous avons consacré notre temps à l’étude desméthodes numériques et toutes les méthodes d’interpolations et leursprogrammations.

En premier lieux dans le chapitre 1 nous avons présenté l’analysenumérique et toutes les méthodes d’interpolation

Enfin de le chapitre 2 la présentation de MATLAB leursprogrammations en MATLAB

29

Référence Bibliographie

[1] : Méthodes numériques Appliquées.

Par A.GOURDIN et M.BOUMAHRAT.

[2]: Numerical Methods in Engineering with MATLAB.

By JAAN KIUSALAAS.

[3]: METHODES NUMERIQUES : FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE.

Par JEAN-PIERRE DEDIEU.

[4] : METHODES NUMERIQUES : Eléments d'un premier parcours.

Par JEAN –MARC Huré.

SITES INTERNET :

[5] : http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/aloui/m_numeri/31inpoly/31inpoly.htm#1

[6] : http://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_(math%C3%A9matiques)#Interpolation_lin.C3.A9aire