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Física para Engenharia II4320196 (FEP2196)
Turma 2011211 – Sala C2-13 3as – 15h00 / 5as – 9h20.
Prof. Antonio Domingues dos SantosDepto. Física Materiais e Mecânica – IF – USPEd. Mário Schemberg, sala [email protected]
Página do curso (Stoa -> Cursos -> IF -> Poli -> 4320196)http://moodle.stoa.usp.br/course/view.php?id=722
Módulo 3 – Ondas e Referenciais não inerciais
� Módulo 3 (9 aulas):� Ondas.
� Forças de Inércia, referenciais não inerciais, sistemas de coordenadas curvilíneas.
Bibliografia:� H. Moisés Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol. 2 – Capítulo 5
(Ondas) e Capítulo 6 (Som).
� P. Boulos e D.L. Zagottis, Mecânica e Cálculo, vol 1 (Ed. Edgard
Blücher, 2000) – Capitulo 17 (Sistemas de coordenadas curvilíneas).
� H. Moisés Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol. 1 - Capítulo 13
(Forças de Inércia).
SomO Som se caracteriza por efeitos ondulatórios que se propagam através de meios materiais, como fluídos (líquidos e gases) e sólidos.
Ondas sonoras são ondas longitudinais, associadas a variações de pressão
Relação pressão-densidadePara processos isotérmicos:
Para processos adiabáticos:
0
0T
PV nRT
nRTP
V
PP
ρ
ρ ρ
=
= ∝
∂= ∂
0
0s
nRTP
V
PP
γρ
γρ ρ
= ∝
∂= ∂
2 2
2 2 2
1 d u d u
v dt dx=
0( / )v P ρ= ∂ ∂
com
Velocidade do som em gasesPara processos isotérmicos:
(Newton)
Para processos adiabáticos:
(Laplace)
0
0T
PP
ρ ρ ∂
= ∂
0
0s
PPγ
ρ ρ ∂
= ∂
2 2
2 2 2
1 d u d u
v dt dx=
0( / )v P ρ= ∂ ∂
com
0( / ) 280 /v P m sρ= ∂ ∂ =
0( / ) 334 /
( 1,4)
v P m sρ
γ
= ∂ ∂ =
=
0 0/ /v P RT mγ ρ γ= =
Velocidade do som na águaPara a água
B é o modo de elasticidade volumétrico
9 22,2 10 /P
B x N mρρ
∆= = ∆
2 2
2 2 2
1 d u d u
v dt dx=
0( / )v P ρ= ∂ ∂
com
0/v B ρ=
1483 /v m s=
Em sólidos, em geral, B é maior
3000 /v m s∼
Ondas sonoras harmônicas
f ~ 20 a 2000 Hz
V ~ 340 m/s
/v fλ =
Para a onda de pressão pode-se escrever:
( , ) cos( )u x t U kx tω δ= − +
1,7 ~17cm mλ =
2
0( , )u
p x t vx
ρ∂
= −∂
Onde temos a onda de densidade
0( , )u
x tx
δ ρ∂
= −∂
2
0( , ) sin( )p x t v kU kx tρ ω δ= − +
Intensidade de uma onda sonora
Limite de audibilidade= 10-12 W/m2
Limite de sensação dolorosa= 1 W/m2
Intensidade é a média em um período, dividido pela A
2 2 2
0
( , ) ( , )
sin ( )
F x t p x t A
uF A v kU kx t
tω ρ ω δ
=
∂= − +
∂
2 2
0
1
2I v kUωρ=
Força e a potencia instantanea:
Unidade de intensidade sonora é o bel
10
0
10log ( )I
dbI
α =
Sons musicais
Sons musicais se caracterizam por Intensidade, Altura e Timbre
Som musical ≠ ruído ⇒ Periodicidade
Unidade de intensidade sonora é o bel
10
0
10log ( )I
dbI
α =
Timbre
Amplitudes da série de Fourier
Colunas de ar
Ressonâncias ocorrem quando hácoincidência entre o comprimento do tubo e o da coluna de ar
Se classificam pelos extremos fechados ou abertos
Membranas bi-dimensionais
Efeito Doppler
Se o observador se aproxima da fonte, a frequência das franjas aumenta
Corresponde a percepção diferente da “altura”de um som devido ao movimento da sua fonte ou do observador
0 0 01/ /f T v λ= =
(Velocidades sub-sônicas)
Fonte em repouso
(observador com velocidade u)
0 0/f f u λ= +
0 (1 / )f f u v= +
Se o observador se afasta da fonte, a frequência das franjas diminui
0 (1 / )f f u v= −
Fonte
parada0 (1 )
uf f
v= ±
0 0vTλ =Fonte em movimento (V)
(observador parado)
Se a fonte se aproxima do observador
0 0
0 (1 / )
VT
V v
λ λ
λ λ
= −
= −
Fonte em
movimento 0 (1 )V
vλ λ= ∓
0
1
ff
V
v
=∓
Efeito Doppler Cone de Mach
Após um intervalo de tempo t, a fonte se deslocou Vt e a frente de onda apenas vt.
Assim, as frentes de onda formam um cone com vértice na fonte e abertura α.
(Velocidades supersônicas)
Vamos considerar um intervalo de tempo Dt muito
pequeno e que a fonte chega em Fn em n Dt.
Para Fo
Ângulo em que as frentes de ondas são simultâneas
vsen
Vα =
0cos sinv
Vθ α= =
0 0 /t r v=
Para Fn
/n nt n t r v= ∆ +
0 0 cosn nr r F F θ≈ −
0 / cosn
Vt n t r v n t
vθ∴ = ∆ + − ∆
0 1 cosn
Vt t n t
vθ ∴ − = ∆ −
02
πθ α= −
Fonte se deslocando com velocidade V > v
O efeito Doppler relativístico
Uma fonte de luz em repouso na origem O’ de S’, emite pulsos periodicamente. Dois pulsos consecutivos são emitidos em t’1= 0 e t’2= T0.
Mas f= 1/T, portanto:
Considerando o receptor na origem O de S, ele veria o primeiro pulso ser emitido em t1= 0. O segundo pulso seria emitido nas coordenadas
22
02
22
0
22
/1)''(
/1)''(
cv
vTvtxx
cv
Tx
c
vtt
−=+=
−=+=
γ
γ
O segundo pulso chegaria em O de S no instante T= t2 + ∆t. Onde,
2/1
0
22
02
)/1
/1(
/1
/
cv
cvTT
cv
cvT
c
xt
−+
=
−==∆
2/1
0
0
0
)/1
/1(
1
cv
cvff
Tf
+−
=
=
Na aproximação, a frequencia aumenta.
Forças de Inércia
vetorialmente:
MRU com velocidade V
A transformação de Galileu
x x Vt
y y z z
t t
′ = −
′ ′= =
′ =
⋯
x x
y y z z
dx dxv V v V
dt dt
v v v v
′′ = = − = −
′′ ′= =⋯
~2 2
2 2x x
y y z z
d x d xa a
dt dt
a a a a
′′ = = =
′′ ′= =⋯
r r Vt
t t
′ = −
′ =
�� �
v v V
a a
′ = −
′ =
�� �
� �
Forças de Inércia
Mas, como m´=m (não relativístico) e
as forças em geral dependem de distâncias mútuas (gravitacionais, elétricas e de contato).
Neste caso,
MRU com velocidade V
A transformação de Galileu
F F
F m a
′ =
′ ′ ′=
� �
� �
Para referenciais não inerciais
0r r r
t t
′′ = −
′ =
� � �
0v v V At
a a A
′ = − −
′ = −
��� �
�� �
2
0 0
1
2r V t At′ = +
���
2
0
1
2r r V t At′ = − −
��� �
Forças de Inércia
Mas, como m´=m (não relativístico) e
as forças em geral dependem de distâncias mútuas (gravitacionais, elétricas e de contato).
Neste caso,
Referencial acelerado
F F ma
a a
F m a mA
′ = =
′≠
′ ′ ′⇒ = +
� � �
� �
�� �
0r r r
t t
′′ = −
′ =
� � �
0v v V At
a a A
′ = − −
′ = −
��� �
�� �
2
0 0
1
2r V t At′ = +
���
2
0
1
2r r V t At′ = − −
��� � *
*
in
in
F m a F mA
F F F
F mA
′ ′= = −
= +
= −
�� ��
� � �
��
Forças de Inércia
No referencial inercial
Foguete sendo acelerado
T mg=� �
No referencial não inercial
0 in
a o
T F T mg
′ =
⇒ = + = −
�
� � � �
Acelerômetro
T mg=� �
T mg mA+ =�� �
Ref.
inercial
Ref. não
inercial
0inT mg F+ + =� ��
0T mg mA+ − =�� �
/tg mA mg
A g tg
θθ
=
= ⋅
Forças de Inércia
No referencial inercial
Força Centrífuga
2
2
ˆ
ˆ
cp
cp
T ma
a rr
T m rr
ω
ω
=
= −
⇒ = −
� �
�
�
No referencial não inercial
2
0
ˆ
in
in
a o
T F T ma
F ma m rrω
′ =
⇒ = + = −
= − =
�
� � � �
� �N P mg= − = −� � �
v rω=com
Forças de InérciaCoordenadas Polares
ˆ
ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆˆ cos
r
r rer
r e cos i sen j
e sen i jθ
θ θ
θ θ θ
=
= = +
= = − +
�
com
ˆˆ
ˆˆ
r
r
dee
d
dee
d
θ
θ
θ
θ
=
= −
?
?
v
a
=
=
�
�
ˆ
ˆ
r
r r
v v v
v re
v r e
θ
θ θθ
= +
=
=
� � �
�ɺ
� ɺ
2 ˆ( )
ˆ( 2 )
r
r r
a a a
a r r e
a r r e
θ
θ θ
θ
θ θ
= +
= −
= +
� � �
� ɺɺɺ
� ɺɺ ɺɺ
Forças de InérciaForça de Coriolis
v v rθ θ ω′= +
Vamos supor que em S’ a velocidade da pessoa seja vθ’.
Em S, a velocidade seria
No referencial inercial2
2 ˆ ˆcp
vF m rr m r
r
θω= − = −�
Que se origina no atrito com o solo2 2
22
( )ˆ ˆ
ˆ( 2 )
cp
cp
v v rF m r m r
r r
vF m r v r
r
θ θ
θθ
ω
ω ω
′ += − = −
′′= − + +
�
�
No referencial não inercial
2
2
ˆ
ˆ ˆ2
cp in
in
a o
vma m r F F
r
F m rr m v r
θ
θω ω
′ ≠
′′⇒ = − = +
′= +
�
� ��
�
Força centrífuga Força de Coriolis
Forças de InérciaForça de Coriolis
tg r
v r
a v
θ ω
ω
∆ = ∆
=
Vamos supor que em S’ a velocidade da pessoa seja vr’.
Em S´,teríamos
No referencial inercial
r r
tg r
t
v v
a v
θ ωθ
ω
∆ = ∆
∆ = ∆
=
2 2r ra v vθ ω ω ′= =
No referencial não inercial
2 ˆˆ 2in rF ma m rr m vω ω θ′= − = −� �
Força centrífuga Força de Coriolis
2 ˆˆ 2 ra rr vω ω θ′= − +�
Movimentos circulares
Identifica-se a força de Coriolis como fictícia ou inercial devido ao fato desta existir somente em
referenciais em movimento circular em relação a um inercial. Neste caso a força de Coriolis aparece junto
com a força centrífuga, e como a força centrífuga, não é uma força na definição precisa do termo, ou seja,
real. A força de Coriolis depende da velocidade do corpo em relação ao referencial girante, e é nula, por
definição, no caso de um corpo imóvel em relação a este referencial. A força centrífuga, por sua vez,
depende da posição do corpo em relação ao centro de rotação, e na maioria das vezes não é nula, mesmo
para partículas paradas em relação ao referencial em rotação. Pode-se assim dizer que a força centrífuga
é o componente estático da força inercial que se manifesta no referencial em rotação enquanto que a
força de Coriolis é o componente dinâmico.
Força de Coriolis
ω����
×== vmamFc 2
Forças de Inércia
Movimentos circulares
Na presença de zonas atmosféricas
de baixas pressões:
Força de Coriolis e Ciclones
ω����
×== vmamFc 2
Outros
exemplos:
Pêndulo de
Foucault e o
ralo da pia.
Pressão
Força de Coriolis
Forças de Inércia