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AREA DE REGIONES PLANAS
Anteriormente se introdujo la integral definida para calcular el área bajo una curva. En
particular, cuando f(x) ≥ 0 en [a, b] considerábamos una aproximación para el área A la
igualdad
A=∑i=1
n
f (t i ) ∆ x i
y como valor real del área el límite de las sumas de Riemann, cuando el número de
rectángulos aumentaba indefinidamente, es decir,
A= lim‖P‖→0
∑i=1
n
f (t i ) ∆ x i
En esta separata extenderemos la noción para dos funciones f y g continuas y tales que que f( x) ≥ g(x) en [a, b].Para ello se considerarán rectángulos de área [f(ti ) – g(ti)] Δxi los cuales, al efectuar las sumas de Riemann y el paso al límite, proporcionan el valor real del área entre las curvas como la igualdad
A=∫a
b
[ f ( x )−g(x )] dx
AREA ENTRE DOS CURVAS
Dadas las funciones f y g continuas en el intervalo [ a , b] tales que f( x) ≥ g(x) en [a, b] Debemos encontrar el area de la región plana, R, limitada por ambas curvas y las rectas x = a , x = b, como se observa en la siguiente figura,
1
Para el efecto utilizamos el cálculo integral. Sea P una partición del intervalo [ a, b], tal que,
P: a= x0 < x1 < x2 <…..< xn-1 < xn= b
[xi-1 , xi ] es el i-esimo subintervalo cuya longitud es ∆x iSea ti un elemento arbitrario de [xi-1 , xi ] , entonces el elemento rectangular
( llamado elemento carácteristico) de altura f( ti ) – g(ti ) y cuyo ancho es ∆ x i ; el ‘area de
ese elemento rectangular es:
∆ A i=[ f ( ti )−g ( ti ) ] ∆ x i
Entonces una buena aproximacion del área de la región plana es
A ≈∑i=1
n
∆ A i=∑i=1
n
[ f ( ti )−g ( ti ) ]∆ x i
Si ||P|| tiende a cero, entonces el área de R , es
A= lim‖P‖→0
∑i=1
n
[f (t i )−g (t i ) ] ∆ x i=∫a
b
[ f ( x )−g ( x ) ] dx . . . .. . . .. .(1)
La existencia del límite anterior está garantizada por ser f y g continuas en [ a, b ]
Observaciones
i. En la definición anterior, si g(x) = 0 entonces la integral definida ∫a
b
f ( x )dx será el valor del
área de la región limitada por la función y = f (x) , las rectas x = a , x = b y el eje X.
ii. Si se quiere calcular el área encerrada por el eje X, las rectas , x= a x= b y una curva
g(x) situada por debajo del eje X basta hacer f(x)= 0 en la fórmula (1) y se obtiene:
A=−∫a
b
g (x ) dx
Nótese que como g(x) < 0 , entonces ∫a
b
g ( x ) dx<0
2
Ejemplo 1. Encuentre el área de la región delimitada por la parábola y = 6 - x2 y la rectay = x
Solución:
6 − x 2
xk
Δxk
Primeramente encontraremos los puntos de intersección, igualando la parábola y = 6 - x2
y la recta y = x, para determinar el intervalo de integración.
6 - x2 = x
6 - x2 = x ⇔ x2 + x - 6 = 0 ⇔ (x + 3)(x - 2) = 0
cuyas soluciones son x = -3 y x = 2. Entonces el área es
∫−3
2 [ (6−x2 )−x ] dx=
1256
¿¿
Ejemplo 2. Encuentre el área de la región delimitada por las gráficas de las funcionesy = x2 y y = x3
Solución:
3
Y=x
x2
x3
dx
entonces el área es ∫0
1[ x3−x
2 ] dx=1
12¿
¿
Ejemplo 3. Encuentre el área de la región delimitada por las gráficas de la parábola x = y2
y la recta x - 2y -3 =0
Solución:
x
x − 3 x2
− x
Las ordenadas de las intersecciones están dadas por las soluciones de:
y2 = 2y +3 ⇔ y2 - 2y -3 = 0 ⇔ (y -3)(y +1) = 0 ⇔ y1 = 3 , y2 = -1
siendo los correspondientes valores de x: x1 = 1, x2 = 9., luego el área será
4
∫0
1
[ √x−(−√x ) }dx+∫1
9
(√x− x−32
)dx
El problema que nos condujo a tener que separar en dos integrales se debe a que en toda el área de integración no podemos encontrar un rectángulo genérico uniforme, es decir, uno cuyo extremo superior se encuentre en la función de arriba y el extremo inferior en la de abajo.
Si en vez de considerar diferenciales de área verticales, los tomamos horizontales, sí será posible encontrar un rectángulo genérico uniforme, solo que tendremos que expresar a nuestras funciones en términos de y, es decir, tendremos que trabajar con las funciones inversas correspondientes.
y dy
x = y2x = 2y + 3
Para cada y en el intervalo [ -1 , 3 ] , los rectángulos característicos son horizontales , de modo que
el área es
∫−1
3
[ (2 y−3 )− y2 ] dy=¿32/3¿
5
EJERCICIOS
Hallar el área de la región limitada por las curvas dadas :
1) y = x ² -x - 6 ; y = 0 2) y = 20 – x ² , y = x ² - 12
3) y = e x – 1 , y = x ² - x , x = 1 4 ) x – 2y + 7 = 0 , y ² - 6y - x = 0
5 ) y = sen x , y = - cos x , x = 0 , x = π
6 ) y = e x , y = e – x , x = 1
7 ) y= 1
1+x ² , y= x ²
2
8 ) y = x 3 , y = 2x – x ² .
9) la circunferencia x² + y² = 8 está dividida por la parábola 2y = x ² en dos partes . Hallar el área de las dos regiones.
10) x = y² ( y – 1 ) y por el eje de las ordenadas.
11) La región está comprendida entre las parábolas y = x ² , 2y = x ² y bajo la recta y = 2x
12) y = x² , x = y3 , x + y – 2 = 0
13 y = | x | ; y = (x + 1 ) ² -7 ; x = - 4
14. 3y = x3 – 2x² - 15x ; y = x3 – 4x² - 11x + 30
6
1.- VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCION :
Sean : f es una función continua sobre el intervalo cerrado [ a , b ]
R la región del plano limitada por la curva y = f ( x ) , las rectas x = a , x = b y el eje X
El problema es encontrar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando la región R, gira alrededor de un eje . Este eje puede ser un eje coordenado o cualquier recta paralela a alguno de ellos .
1.1.- METODO DEL DISCO CIRCULAR :
A ) Si la región R , descrita , rota alrededor del eje X
Si f (x) > 0 sobre [a , b ] , si P es una partición del intervalo [a , b ]
P = { xo = a < x1 < x 2< . . .< x i-1 < x i < . . . < x n = b } con ∆ i x = x i- x I-1 , longitud del i- ésimo subintervalo [ x i-1 , x I ] generado por la partición , є i un elemento arbitrario en [ x i-1 , x I ] , para todo i = 1 , 2 , 3, ... , n .
Con base ∆ i x y altura f (є i ) se forma un rectángulo que al girar alrededor del eje X genera un cilindro de revolución de radio f(є i ) y altura ∆ i x , cuyo volumen es :
V i = Π [ f (є i ) ]2 ∆ i x , para todo i = 1 , 2,3,…, n
Un valor aproximado del volumen del sólido es la suma de los volúmenes de los cilindros así generados
V ≈ ∑i=1
n
f (εi ) Δi x
Cuando la norma de la partición tiende a cero , el volumen del sólido será expresado por:
7
V = l i m// P //→0
∑i=1
n
f (εi ) Δi x = l i m// P //→0
Π∑i=1
n
[ f (εi )]2 Δi x = Π∫a
bf 2( x )dx
V= Π∫a
bf 2 ( x )dx
B) Si la región R es acotada por la curva x = g( y ) , las rectas y = c , y = d , y por el
eje Y , si R rota alrededor del eje Y , entonces el volumen del sólido generado es
V= Π∫c
dg2 ( y )dy
C) Si R es la región limitada por las curvas y = f ( x ) , y = g ( x ) , las rectas x = a
x = b , siendo f y g continuas y f(x) > g(x) > 0 sobre [a , b ] , entonces la región
generada por la rotación de R alrededor del eje X , es
V= Π ∫a
b [ f 2 ( x )−g2 ( x ) ] dx
D) Si la región dada en C) gira alrededor de la recta y = c ; para c< g ( x) ; entonces le
volumen del sólido generado será :
V= Π ∫a
b [ ( f ( x )−c )2−( g ( x ) −c ) 2 ] dx
¿ Cuál es el volumen del sólido generado cuando esta región plana gira alrededor de
y = k k > f ( x ) ?
1.2.- METODO DE LA CORTEZA CILÍNDRICA
A) La región R rota alrededor del eje Y .
Si f es una función continua y positiva sobre [ a , b ] ; a > 0 , si la región plana R,
limitada por la curva y = f ( x ) , las rectas x = a , x = b , y el eje X ; rota alrededor del
eje Y .
8
Si en el i – ésimo subintervalo definido por una partición P del intervalo [a , b ] se
considera el punto medio mi , para cada i = 1,2,3, ... , n ;siendo
mi =12( x i−1 + x i )
Si el rectángulo de altura f ( m i ) y base ∆ i x , para todo i = 1 , 2,3,…, n gira
alrededor del eje Y , genera una corteza cilíndrica , cuyo volumen es :
V i = Π ( x i )2 f ( mi )−Π ( x i−1 )2 f ( mi )
= Π f ( mi ) [ ( xi )2 − ( xi−1 )2 ]
= Π ( x i +xi−1) ( x i −x i−1 ) f ( mi ) = Π 2 m i f ( mi ) Δi x
∴ V i = 2 Π m i f ( mi ) Δi x
EL volumen aproximado del sólido será :
V ≈ ∑i=1
n
V i = ∑i=1
n
2 Π m i f ( mi ) Δi x
Si la norma de la partición tiende a cero , entonces el volumen del sólido generado será
V = l i m// P //→0
∑i=1
n
2 Π m i f ( mi ) Δi x = 2 Π ∫a
bx f ( x ) dx
∴V = 2 Π ∫a
bx f ( x ) dx
B) Si R es la región comprendida entre la curvas y = f ( x ) , y = g ( x ) , las rectas x =
a , x = b siendo f y g funciones continuas y positivas definidas sobre el intervalo [ a ,
9
b ] , con f (x) > g ( x ) sobre todo el intervalo . Si R rota alrededor del eje x = c , siendo
c > b ; entonces el volumen del sólido generado, es
V= 2 Π ∫a
b( c−x ) [ f ( x )−g( x ) ] dx
¿ Cuál será la fórmula para calcular el volumen del sólido que genera la región R dada
en B) si el eje de giro es la recta x = k , con k < a ? .
Ejercicios .
Hallar el volumen del sólido que se obtiene por rotación de la región limitada por las curvas
dadas , alrededor del eje especificado :
1. y = √ x−1 , y = 0 , x = 3 , eje X
2. y = x3 – 5x² +8x -4 , y el eje X ; eje X
3. ; eje X
4. y = x , y = x ² y el eje X , eje y = 2
5. y = e –2x , y = 1 + x , x = 1 ; eje X
6. y = x 3 y = 8 , x = 0 ; a) eje Y b) del eje x = 2
7. x ² - y ² = a ² , x = a + h ; a , h son positivos ; eje Y
8. y = x 3 , y = x ² ; eje y = 1
9. La región limitada por los ejes coordenados y por la curva y = 1 + Cos(x) gira
alrededor de la recta x = -1
10. La región limitada por la gráfica de 2y = x² , y la recta y = 2 girando alrededor del eje
Y, genera un sólido S . En ese sólido se hace una perforación ( orificio que atraviesa
el sólido) en forma de un cilindro circular recto cuyas bases tienen sus centros en el
eje Y. después de la perforación , el sólido pierde la cuarta parte de su volumen.
Hallar el radio del orificio.
V. Cada integral representa el volumen de un sólido . Describa el sólido en cada caso :
1)∫0
π2
2 π x cos x dx 2)∫0
π2
2π cos² x dx 3 )∫0
2
2 π y ( 4− y ² ) dy
10
VOLÚMENES DE SÓLIDOS CUYA SECCIÓN TRANSVERSAL ES CONOCIDA
Un sólido conocido es el cilindro, el cual está limitado por una región plana B1,
conocida como la base, y una región congruente B2 en un plano paralelo.
El cilindro consta de todos los puntos sobre los segmentos rectilíneos perpendiculares a
la base y que unen B1 con B2. Si el área de la base es A y la altura del cilindro (la
distancia desde B1 hasta B2) es h, su volumen V se define como
V=Ah
Si la base es un círculo con radio r, entonces el cilindro es circular con volumen V=π r2
Si la base de un sólido es un rectángulo con largo l , ancho w y altura h, entonces se
trata de una caja rectangular con volumen, V=Ah=lwh.
V=Ah
V=π r2 h
Para un sólido S, que no sea un cilindro, “cortaremos” en partes el sólido” S y
aproximaremos cada parte con un cilindro. Estimamos el volumen de S sumando los
volúmenes de los cilindros. Llegaremos al valor exacto del volumen de S por un
proceso límite en el que el número de partes va en aumento.
11
B2
B1
h
h
r
h
lw
V=lwh
Comencemos cortando S con un plano perpendicular a un eje , se obtendrá una región
plana denominada sección transversal de S.
En la figura se muestra un sólido cuyas secciones perpendiculares al eje X tienen un
área conocida A( ti ), donde A(t) es una función integrable ∀ t∈ [ a ,b ] , ti∈[ x i−1 , x i ] y ∆ x i es el espesor del i- ésimo elemento de volumen, entonces el volumen del elemento será:∆ V i=A (t i)∆ x i y su suma
V ≈∑i=1
n
∆ V itendrá un valor aproximado al volumen V del sólido; la aproximación
mejora al disminuir la norma de la partición, es decir ,
V= lim|P|→0
∑i=1
n
A (t i)∆ x i=∫a
b
A ( x ) dx .
donde A(x) es el área de la sección transversal de S en un plano P x, perpendicular al
eje x y que pasa por el punto x1 donde a ≤ x≤ b, que corta S .
12
Definición de volumen: Sea S un sólido que se encuentra x=a y x=b. Si el área de
la sección transversal de S en el plano P x, que pasa por x y es perpendicular al eje
de X, es A(x), donde A es una función continua, entonces el volumen de S es.
V= limn→ ∞
∑i=1
n
A ( x i ) ∆ x=∫a
b
A (x)dx
NOTA: Cuando usamos la fórmula del volumen V=∫a
b
A (x)dx es importante recordar
que A(x) es el área de una sección transversal móvil obtenida al cortar con un plano que
contiene x, y perpendicular al eje X.
Observación
El volumen de un sólido de revolución que se presentará en el próximo módulo se
puede obtener como caso particular de la fórmula anterior si A(x) se cambia por el área
de un círculo o de un anillo circular, según el caso.
Ejemplo 1: Demostrar que el volumen de la esfera e radio r es V= 43
π r3
X
Solución:
Si colocamos la esfera de modo que su entro esté en el origen, entonces el plano P x
corta la esfera en un círculo cuyo radio es.
y=√r2−x2
⇒ A ( x )=π y2=π (r2−x2)
Aplicamos definición de volumen, con a= - r y b= r, resulta
V=∫−r
r
A (x)dx=∫−r
r
π ( r2−x2 ) dx
¿2 π∫0
r
(r 2−x2) dx
¿2 π|r2 x− x3
3 |r0=2 π (r3−r3
3 ) = 43
π r3
13
-r rO
y
x
r
Ejemplo 2:
Demostrar que el volumen de un cono circular recto de radio “a” y de altura “h” es
π a2h3
.
Solución
Sabemos que A ( x )=π r2
Por semejanza de triángulos: rx=a
h
Reemplazando el valor de “r” tenemos: A ( x )=π a2 x2/h2
Por lo tanto el volumen del cono estará dado por:
V=∫0
h
A ( x ) dx=∫0
h
π a2 x2
h2 dx=π a2 h3
3 h2 =π a2 h
3
Ejemplo 3
Halle el volumen de una pirámide recta de altura h y una base cuadrada de lado a.
Solución
Tomemos el plano XY perpendicular al plano de la base y pasando por el eje principal
14
a
r
de la pirámide
Toda sección plana perpendicular al eje Y es un cuadrado. Para calcular su lado,
consideramos los triángulos semejantes AMN y AOB. Tenemos entonces,
MNOB
= AMAO
… …………………………………… (1)
Pero OB=α2
, AO=h , AM=AO−MO = h - t 1
Reemplazando en (1) y despejando MN obtenemos
MN=(h−t 1 ) a
2h
Por lo tanto el lado del cuadrado que se busca es
2 M N=( h−t 1 ) a
h
Y el volumen se escribirá
V= lim|P|→0
∑i=1
n [ ( h−t 1 ) ah ]
2
∆ y i=∫0
h
[ (h− y ) ah ]
2
dy=13
a2 h
Ejemplo 4:
Un cilindro circular recto cuyo radio es r, es cortado por un plano inclinado que pasa
por un diámetro de la base formando un ángulo α a lo largo de un diámetro de la
sección plana circular. Calcular el volumen del sólido “S” generado,
Solución
La siguiente figura ilustra el problema descrito.
15
Tomemos el plano XY perpendicular al eje del cilindro y el origen O sobre este eje.
La ecuación de la circunferencia C, que resulta de interceptar el cilindro con el plano perpendicular a su eje, es
C : x2+ y2=r2
Toda sección plana del sólido perpendicular al eje X y formando un ángulo α en la
Abscisa, es un triángulo rectángulo de base y i=√r2−ti2 y altura
hi= y i tanα=√r 2−ti2 tan(α) .
Por lo tanto su área será
Ai=12 √r2−ti
2 √r2−t i
2 . tan (α )=12
(r2−t i2 ) . tan (α )
Entonces el volumen será
V= lim‖P‖→0
∑i=1
n12
(r2−t i2) . tan (α )∆ x i=
12∫−r
r
(r2−x2 ) tan (α ) dx
V=12
tan (α ) .2∫0
r
(r2−x2 ) dx=23
r3 . tan (α)
También se pudo considerar secciones transversales rectángulos de área A(x).
Se deja como ejercicio para el lector.
Ejemplo 5:
Un sólido “S” tiene una base circular de radio 5 unidades. Hallar el volumen de “S” si
toda sección transversal plana perpendicular a un diámetro fijo es un triángulo
equilátero.
16
Solución
La siguiente figura ilustra el problema descrito, donde la circunferencia de la base tiene por ecuación x2+ y2=25
A(x)
x 5
0
-5
5
X
La sección transversal se observa en la siguiente figura:
El área del triángulo es: A ( x )=(2 y ) (√3 y )
2=√3 y2
Despejando y2 de la ecuación de la circunferencia se tiene y2=25−x2 , entonces el
área es
A ( x )=√3 (25−x2 )
Entonces el volumen es : V (s )=2∫0
5
√3 ( 25−x2 ) dx=500√3
u3
Ejemplo 6:La base de cierto sólido es la parábola: x=4− y2; y∈ [−2 ,2 ] Las secciones
transversales perpendiculares al eje X son triángulos equiláteros; encontrar el volumen del
sólido.
Solución
17
2Y
Y Y
La base del triángulo será 2y, Por ser el triángulo equilátero h=√4 y2− y2= y √3
Ejemplo 7: Calcular el volumen de una piramide de base rectangular de dimensiones 2a y a y
de altura h .
Solución
Se podría tomar el origen del sistema en el centro del rectángulo, la altura se mide sobre el eje
Y con lo cual las secciones transversales perpendiculares esta vez al eje Y son rectángulos de
lados 2x , y x .
El volumen de una tajada tomada así es ∆ V =2 x2 ∆ y ……………………… (1)
Para poder expresar x en términos de y se usa semejanza de triángulos donde
18
El área del triángulo es
∆ A=(2 y )( y √3)
2= y2 √3
Entonces la sección transversal tiene un volumen
∆ V = y2 √3 ∆ x= (4−x )√3∆ x
Es decir,∆ V =√3(4−x )∆ x , x∈ [ 0 , 4 ]
Luego el volumen del sólido es,
V=∫0
4
(4−x ) dx=4 x− x2
2¿0
4=8
h-y
h x
xa=h− y
h⇒ x=a
h(h− y ) reemplazando x en(1) ,se tiene;
∆ V =2a2
h2 (h− y )2
∆ y
De allí que,
V=2a2
h2∫0
h
(h− y)2
dy
Luego, V=13
h(2a2)
que corresponde a la fórmula geométrica Volumen = 13¿Area de la base)(altura)
También se pudo tomar el vértice de la pirámide en el origen , la altura medida sobre el eje X ,
el centro de los rectángulos queda sobre el eje X y las secciones perpendiculares al eje X son
rectángulos de lados 2y , y , y ; el volumen de una sección transversal es ∆ V =2 y2∆ x -
Para expresar y en términos de x, se usan triángulos semejantes con ya= x
h , ademas
Ejemplo8: Las secciones transversales de cierto sólido por planos perpendiculares al eje Y son
semicírculos con diámetros que van desde la curva x = y2 hasta la curva el sólido
está entre los puntos de intersección de las dos curvas; encontrar el volumen.
Solución
19
Puntos de intersección : y2=8− y2⇒ y=± 2 los puntos son(4 ,2 ) y ( 4, -2)
Como las secciones transversales son perpendiculares al eje Y ,un elemento de volumen estará
dado por
∆ V =(∆ A )∆ y
El diámetro de cada semicírculo será ∆ d=(8− y i2 )− y i
2=8−2 y i2 , el radio entonces
Con lo cual
Ejemplo 9: Un tronco tiene forma de cilindro circular recto de radio a. A éste tronco se le va a
quitar un trozo en forma de cuña haciéndole un corte vertical y otro a un ángulo α , de manera
que los dos cortes se interseptan en un diámetro del tronco. Calcular el volumen de la cuña.
Solución
20
Las secciones son triángulos rectángulos donde un ángulo vale α La altura de cada triángulo es
z.
Para la base tanα =base
z⇒b ase=z tan α y A ( z )=1
2( z ) (z Tanα )=1
2z2Tanα
Cada cuña tiene espesor ∆ y ; el volumen de cada tajada es ∆ V =12
z2Tanα (∆ y )
Como el tronco es circular cada punto (y,z) satisface la ecuación y2+z2=a2; entonces
Ya se puede hacer el caso particular de que el ángulo sea de 45° ó de 30° ó cualquier otro .
Ejercicios Propuestos:
1. A una naranja de forma esférica y de radio R, por medio de dos semiplanos que pasan
por un mismo diámetro formando entre sí un ángulo de 30º se le extrae una tajada.
Calcular el volumen del resto de la naranja.
2. Si un sólido S es cortado por planos perpendiculares al eje X, genera secciones
transversales circulares con diámetro extendido entre las curvas y=x2 , y=8−x2
Hallar el volumen del sólido comprendido entre los puntos de intersección de las
curvas.
21
3. La base de un sólido es la región acotada por una elipse que tiene la ecuación
3 x2+ y2=6. Encontrar el volumen del sólido si todas las secciones planas
perpendiculares al eje x son cuadrados.
4. La base de un sólido es la región limitada por la hipérbola 25 x2−4 y2=10 y la
recta x=4. Determinar el volumen del sólido si todas las secciones planas
perpendiculares al eje x son cuadrados.
5. La base de un sólido es la región encerrada por una circunferencia que tiene un
radio de 7 cm. Encontrar el volumen del sólido si todas las secciones planas
perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos equiláteros.
6. La base de un sólido es la región encerrada por una circunferencia que tiene un
radio de 7cm. Encontrar el volumen del sólido si todas las secciones planas
perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos isósceles, cuya
altura es igual a la distancia de la sección plana desde el centro de la
circunferencia.
7. La base de un sólido es la región limitada por la hipérbola 25 x2−4 y2=10 y la
recta x=4. Obtener el volumen del sólido si todas las secciones planas
perpendiculares al eje x son triángulos equiláteros.
8. La base de un sólido es la región acotada por una circunferencia con radio de r
unidades, y todas las secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo de la
base son triángulos isósceles rectos, cuya hipotenusa está en el plano de la base.
Encontrar el volumen del sólido.
9. Determinar el volumen de una pirámide recta cuya altura es h unidades y tiene
una base cuadrada de a unidades por lado.
10. Hallar el volumen de un tetraedro con 3 caras perpendiculares entre sí y 3 aristas
también perpendiculares entre sí, cuyas longitudes son 3, 4 y 7 cm.
22
11. La base de un sólido es la región encerrada por una circunferencia con un radio
de 10cm. Y cada sección plana perpendicular a un diámetro fijo de la base, es un
triángulo isósceles con una altura de 25cm una cuerda del círculo como base.
Hallar el volumen del sólido.
12. La base de un sólido es la región limitada por una elipse cuya ecuación es
2 x2+ y2=8. Encontrar el volumen del sólido si todas las secciones planas
perpendiculares al eje x son triángulos isósceles con una altura y longitud de
base.
13. La base de un sólido es la región acotada por una circunferencia con un radio de
9cm y cada sección plana perpendicular a un diámetro fijo de la base es un
cuadrado que tiene una cuerda de la circunferencia como su diagonal. Encontrar
el volumen del sólido.
14. Dos cilindros circulares rectos, cada uno con un radio de r unidades, tienen ejes
que se cortan en ángulos rectos. Determinar el volumen del sólido común a
ambos cilindros.
15. Una cuña se corta de un sólido, con forma de cilindro circular recto con un radio
de r cm, por un plano que pasa por un diámetro de la base y tiene una
inclinación de 45º respecto al plano de dicha base. Hallar el volumen de la cuña.
16. De un cilindro circular recto se corta una cuña con un radio de r cm, por medio
de dos planos, uno perpendicular al eje del cilindro y el otro cortando al primero
en un ángulo de 60º a lo largo de un diámetro de la sección plana circular,
calcular el volumen de la cuña.
17. La base de un sólido es la región acotada por la curva x=2√ y y las rectas X+Y
= 0 y Y=9. Encontrar el volumen del sólido si todas las secciones planas
perpendiculares al eje Y son cuadrados y tienen una diagonal con un punto
extremo en la recta X+Y= 0 y el otro punto extremo en la curva x=2√ y.
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18. La base de un sólido es la región limitada por una circunferencia cuyo radio
tiene r unidades. Obtener el volumen del sólido si todas las secciones planas
perpendiculares a un diámetro fijo de la base, son triángulos con una altura igual
a la mitad de la longitud de la cuerda de la circunferencia que forma la base del
rectángulo.
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