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Geometría y
Trigonometría
Actividad 1.2
Áreas y volúmenes
G. Edgar Mata Ortiz
Geometría y Trigonometría Áreas y Volúmenes
http://licmata-math.blogspot.mx/ 1
La geometría ha acompañado al ser humano desde hace miles de
años, se cuenta con evidencia histórica, como el papiro Rhind que
se muestra a la izquierda, y contiene el procedimiento para
calcular el área de un triángulo isósceles.
Este papiro, conocido también como papiro Ahmes, mide 6 metros
de longitud por 32 cm de ancho. Está bien conservado a pesar de
que se estima que fue escrito a mediados del siglo XVI a. C.
Contenido El cuadrado. ..........................................................................................................................................................2
El cubo. .................................................................................................................................................................2
El triángulo:...........................................................................................................................................................2
El cilindro: .............................................................................................................................................................2
La esfera: ..............................................................................................................................................................2
El cono: .................................................................................................................................................................2
Problemas de razonamiento. ...................................................................................................................................3
Fundamentos de geometría. ....................................................................................................................................5
Propiedades de las figuras geométricas planas. ..................................................................................................5
Medidas de ángulos, y ángulos entre paralelas. ..................................................................................................5
Puntos notables en el triángulo............................................................................................................................6
Ejercicios sobre volúmenes. .....................................................................................................................................6
“Yuan rong jiao yi (Tratado sobre geometría) es una edición de 1847 de
una obra que dictó en 1608 el jesuita italiano Matteo Ricci (1552–
1610) al erudito y funcionario Li Zhizao (1565–1630). Ricci, cuyo
nombre chino era Li Madou, era una de las figuras fundadoras de la
misión jesuita de China. Bautizó a Li Zhizao en 1610, quien tomó el
nombre de Leo. Zhizao estudió con Ricci y escribió los prefacios de
muchos de sus libros. Ricci dictó varias obras a Li, quien las escribió en
un chino aceptable. El tratado se imprimió por primera vez en Pekín en
1614.”
Información tomada de la página:
https://www.wdl.org/es/item/7107/
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Introducción
El cálculo de áreas y volúmenes es una importante herramienta para la
resolución de problemas, con la ventaja de que contamos con las fórmulas de
áreas y volúmenes de muchas figuras regulares. Por ejemplo:
El cuadrado.
Área: 𝑨 = 𝒍𝒂𝒅𝒐 × 𝒍𝒂𝒅𝒐 = 𝒍 × 𝒍 = 𝒍𝟐
Perímetro: 𝑷 = 𝟒 × 𝒍𝒂𝒅𝒐 = 𝟒 × 𝒍 = 𝟒𝒍
El cubo.
Volumen: 𝑽 = 𝒂𝒓𝒊𝒔𝒕𝒂 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒃𝒐 = 𝒂𝟑
Área lateral: 𝑨 = 𝟔 × 𝒂 × 𝒂 = 𝟔𝒂𝟐
Completa la información faltante:
El triángulo: Área: _____________________________________
Perímetro: _________________________________
El cilindro: Volumen: ___________________________________
Área lateral: _________________________________
La esfera: Volumen: ___________________________________
Área lateral: _________________________________
El cono: Volumen: ___________________________________
Área lateral: _________________________________
La Geometría
Sólidos
Platónicos
Sólo existen 5 sólidos que
reciben este nombre:
El tetraedro, formado por 4
triángulos equiláteros:
El hexaedro o cubo, formado
por seis cuadrados:
El octaedro, formado por 8
triángulos equiláteros:
El dodecaedro, formado por
12 pentágonos regulares:
Y el icosaedro, formado por 20
triángulos equiláteros:
Investiga el procedimiento
requerido y construye los
sólidos platónicos con las
dimensiones indicadas en
clase.
Áreas y volúmenes
𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎 = 𝑎
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Problemas de razonamiento. El modelado matemático es el proceso mediante el cual se plantean y resuelven problemas reales empleando
herramientas de esta ciencia. Muchos de estos problemas solamente requieren la aplicación directa de alguna
de las fórmulas ya conocidas, sin embargo, en otros casos, es necesario realizar un análisis de la información
disponible para aplicar, además de las fórmulas, alguna estrategia que permita obtener la respuesta.
Veamos un ejemplo:
La figura adjunta es el plano de un área recreativa que se va a construir al
oriente de la ciudad. Tiene la forma de un cuadrado de área igual a 7225
metros cuadrados. El semicírculo de la derecha está destinado a una
alberca con área de regaderas y espacios para tomar el sol; las restantes
áreas, a juegos infantiles, espacios con mesas y sillas para los visitantes, y
un área verde. Los límites del área verde son: el espacio para la alberca,
parte de una diagonal del cuadrado, y un cuarto de círculo con centro en el
vértice B. Determina la cantidad de pasto en rollo que se debe comprar
para colocar en dicha área verde.
Resuelve el problema y escribe la solución en las siguientes líneas.
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Además de obtener la solución del problema, es necesario ser capaz de comunicar el procedimiento que se
aplicó para llegar a la solución, elabora un documento electrónico, puede ser en Word, Power Point, Publisher
o algún otro software de tu preferencia, para elaborar un reporte en el que expliques detalladamente el
procedimiento que seguiste para resolver el problema.
Anota en las siguientes líneas, los conocimientos y fórmulas que utilizaste para resolver el problema.
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Para la resolución de estos problemas, es necesario utilizar numerosas fórmulas que es difícil mantener en la
memoria, descarga un formulario de áreas y volúmenes tan amplio como sea posible y consérvalo para futuras
referencias (debe contener las fórmulas de sector circular y segmento circular).
Ya que resolviste el problema del área recreativa utilizando ciertas fórmulas y conocimientos, con base en el
formulario que descargaste, resuelve el problema aplicando algunas de las nuevas fórmulas que consultaste y
anótalos en las siguientes líneas:
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Elabora un documento electrónico, puede ser en Word, Power Point, Publisher o algún otro software de tu
preferencia, para elaborar un reporte en el que expliques detalladamente el nuevo procedimiento que seguiste
para resolver el problema y compáralo con el proceso anterior, señalando las ventajas y desventajas de cada
método.
Resuelve los siguientes problemas explicando los pasos del procedimiento y señalando las fórmulas y
conocimientos que empleaste en cada problema. Estas explicaciones deben elaborarse en formato electrónico
y publicarse en el blog.
1. En la figura, las dos circunferencias tienen un radio de 20
cm cada una, y son tangentes entre sí, las rectas l1 y l2 son
tangentes a las circunferencias como se observa en la
figura. Determina el área sombreada.
2. El cuadrado menor está inscrito en el círculo, y el área de dicho
cuadrado es de 81 in2. El círculo es tangente al cuadrado mayor en sus
cuatro lados. Determina el área del círculo y del cuadrado mayor.
3. En la figura de la derecha, el triángulo ABC es un triángulo
rectángulo e isósceles. Las tres semicircunferencias tienen como
diámetro las dimensiones del lado AB y sus centros están en los
puntos medios de los lados del triángulo. Determina el área
sombreada.
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Fundamentos de geometría. Al resolver los problemas anteriores se utilizaron algunas propiedades de las figuras geométricas además de las
fórmulas de áreas y volúmenes, rectas perpendiculares, puntos medios, tangentes, entre muchos otros. Es
necesario revisar estas propiedades con mayor detenimiento.
Propiedades de las figuras geométricas planas. Existen muchas figuras geométricas cuyas propiedades pueden ser útiles en la resolución de un problema,
investiga y elabora una síntesis de las propiedades de las 10 figuras geométricas que consideres más
importantes, como el círculo, cuadrado, triángulo, entre otros.
Medidas de ángulos, y ángulos entre paralelas. Como habrás notado, algunas de las propiedades de las figuras investigadas están relacionadas con las
características de los ángulos y, en ocasiones, de los ángulos formados por dos o más rectas paralelas que son
cortadas por una transversal.
Completa la siguiente información:
Un ángulo agudo mide: _____________________________________________________
Un ángulo recto mide: ______________________________________________________
Un ángulo obtuso mide: ____________________________________________________
Un ángulo que mide 180° se llama: ___________________________________________
Un ángulo mayor de 180° se llama: ___________________________________________
Un ángulo de 270° se llama: _________________________________________________
Un ángulo de 360° se llama: _________________________________________________
Otros nombres de ángulos: __________________________________________________
Investiga los nombres de los ángulos formados en la siguiente figura y sus relaciones.
Anota la información encontrada en las siguientes líneas:
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Puntos notables en el triángulo. Investiga los siguientes puntos notables en el triángulo, sus
propiedades y cómo se trazan. Una vez que dispongas de la
información, construye en AutoCAD cada uno de los puntos
notables en el triángulo empleando los trazos geométricos
básicos: segmentos, arcos y circunferencias, es decir,
empleando solamente una regla no graduada y un compás.
Los puntos que debes investigar son: incentro, circuncentro, baricentro y ortocentro. Posteriormente
construye, en AutoCAD y siguiendo las mismas instrucciones, una figura que contenga la recta de Euler.
Ejercicios sobre volúmenes. Cuando se desea obtener el volumen de una figura regular, sencillamente se aplica la fórmula correspondiente
teniendo cuidado de emplear las unidades indicadas y así se obtiene el resultado correcto. Sin embargo,
frecuentemente es necesario determinar el volumen de una figura que está formada por varios de los sólidos
geométricos. En tal caso, es necesario aplicar alguna estrategia o razonamiento que, mediante la suma y resta
de diversos volúmenes, nos permita determinar el resultado deseado.
Traza las figuras, primero a mano y luego en AutoCAD, y calcula los volúmenes siguientes.
1. Un tramo comercial de tubería de acero tiene una longitud de 6.4 metros. Se desea determinar el
volumen de material con que está fabricado un tramo comercial de tubería de acero, cédula 80, de una
pulgada de diámetro nominal si sabemos que el diámetro interno de esta tubería es de 24.31 mm y el
espesor de la pared es de 4.55 mm.
2. Calcula el volumen de la pieza de la izquierda.
3. Si a la pieza de la izquierda se la realizan dos perforaciones con
un diámetro de 8 unidades en la sección que tiene un espesor
de 10 unidades, ¿cuál será su volumen después de ser
realizadas estas perforaciones?
4. Si las perforaciones se realizan en la sección que tiene un
espesor de 20 unidades, ¿cuál será el volumen de la pieza
después de ser realizadas dichas perforaciones?
5. Una alberca tiene una longitud de 40 metros y un ancho de 12 metros. Determina su volumen total si la
profundidad va aumentando linealmente de 1 a 2 metros.
6. Utiliza un vernier para medir un tornillo de cabeza hexagonal que mida,
al menos, media pulgada de diámetro y 4 pulgadas de longitud y
determina su volumen.
Explica cómo calculaste el volumen de cada parte del tornillo: (1) cabeza
(2) cuello y (3) rosca. Comprueba el resultado determinando su volumen
mediante el principio de Arquímedes.
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Bibliografía
