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Marcosapb Matemática Algebra 2013 1 VOLÚMENES Y ÁREAS DE LOS PRINCIPALES POLIEDROS Volumen y Área de un Ortoedro Consideremos el siguiente ortoedro: Arista: Línea formada por la unión de dos caras. Cara: Cada uno de los rectángulos que forman el ortoedro. Desarmando la figura: h b a V ………………Expresión que permite calcular el volumen de un ortoedro. total área el calcular permite que Expresión ab b a h B A A ab B entonces bases dos tiene Como base la de Área ab B lateral área el calcular permite que Expresión b a h bh ah A b a h bh ah bh bh ah ah A L T L L ......... 2 ) ( 2 2 2 2 : , .... . )......... ( 2 2 2 ) ( 2 2 2 Volumen: Espacio que ocupa un cuerpo. Área Lateral: Es el área de las caras laterales de un poliedro. Área de la Base: Es el área sobre la cual descansa la figura. Área Total: Es la suma del área lateral más el área de las bases. Todas las caras son rectángulos, hay 2 caras que sirven de base, y 4 que son caras laterales a b h h h a b Base Base base la de área B atotal áre A lateral área A volumen V T L Diagonal h b a d . 2 2 2 a b h Cara Arista 2 2 b a El volumen de un ortoedro es igual al producto de sus tres dimensiones: largo x ancho x alto ) ( h b a h b a V El volumen se expresa en unidades al cubo, o sea, exponente tres (3): ... , , 3 3 3 km cm m

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  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    1

    VOLMENES Y REAS DE LOS PRINCIPALES POLIEDROS

    Volumen y rea de un Ortoedro Consideremos el siguiente ortoedro:

    Arista: Lnea formada por la unin de dos caras.

    Cara: Cada uno de los rectngulos que forman el ortoedro.

    Desarmando la figura:

    hbaV Expresin que permite calcular el volumen de un ortoedro.

    totalreaelcalcularpermitequeExpresinabbahBAA

    abBentoncesbasesdostieneComo

    baseladereaabB

    lateralreaelcalcularpermitequeExpresinbahbhahA

    bahbhahbhbhahahA

    LT

    L

    L

    .........2)(22

    22:,

    ....

    .).........(222

    )(222

    Volumen: Espacio que ocupa un cuerpo.

    rea Lateral: Es el rea de las caras laterales de un poliedro.

    rea de la Base: Es el rea sobre la cual descansa la figura.

    rea Total: Es la suma del rea lateral ms el rea de las bases.

    Todas las caras son rectngulos, hay 2 caras que sirven de base, y 4 que son caras

    laterales

    a

    b

    h

    h h a

    b Base Base

    baseladereaB

    atotalreA

    lateralreaA

    volumenV

    T

    L

    Diagonalhbad .222

    a

    b

    h

    Cara

    Arista

    22 ba

    El volumen de un ortoedro es igual al

    producto de sus tres dimensiones: largo x

    ancho x alto )( hba

    hbaV

    El volumen se expresa en

    unidades al cubo, o sea,

    exponente tres (3):

    ...,, 333 kmcmm

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    2

    EJEMPLO 1.

    Hallemos el volumen, el rea lateral, rea total y la diagonal de un ortoedro cuyas

    dimensiones son: 8cm, 5cm y 2cm.

    Solucin:

    Calculando el rea de la base:

    2cm4058 cmcmB

    Calculando el rea total: 22222 132cmcm52cmcm52cm 80)40(22BAA LT

    Calculando diagonal:

    9,64cm 9342564258 222222 hbad

    Otra forma para calcular el rea total: se halla el rea de cada cara y se suma

    El rea total es: 2T 132cmA 222222 161610104040 cmcmcmcmcmcm

    210cm

    Para la cara lateral derecha, que es igual a la izquierda, el rea es:

    21025 cmcmcm

    Para la cara base, que es igual a la superior, el rea es: 24058 cmcmcm

    Para la cara lateral del frente, que es igual a la del fondo, el rea es:

    21628 cmcmcm

    8cm

    5cm

    2cm

    8cm

    5cm

    2cm

    5cm

    8cm

    240cm

    216cm

    8cm 5cm

    2cm

    Calculando el volumen:

    380cm

    cmcmcmabhV

    cmhcmbcma

    258

    2.5.8

    Calculando el rea lateral:

    252cm

    cmcmA

    cmcmcmbahA

    L

    L

    134

    58222

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    EJEMPLO 2.

    La siguiente figura representa un depsito de agua construido en una comunidad

    Solucin:

    a) El volumen del depsito se halla multiplicando las tres dimensiones: 33 000.400.102104,10102)16)(5,20)(8,30( cmmmmmV

    b) Aplicando una regla de tres simple directa, calculamos los litros que puede contener:

    litrosxdondeDe

    x

    cmLitros

    400.102.101000

    000.400.102101:

    000.400.10210

    10001

    3

    Vendiendo los 10102.400 litros de agua a $14.5, se recauda:

    800.484146$)400.10210(5,14Re caudo

    c) Como cada casa consume en promedio 99,5 litros de agua por da, las 135 casas

    consumen en un da: litros5,13432)5,99(135

    Aplicando una regla de tres simple directa . Entonces:

    dasxdondeDe

    x

    dasLitros

    08,7525,13432

    400.10210:

    400.10210

    15,13432

    d) Como a ms personas consumiendo agua, la misma alcanza para menos das, en este caso, aplicamos una regla de tres simple inversa. La primera familia tiene 15

    miembros y la segunda 20 miembros, porque segn el enunciado, tiene 5 ms.

    Entonces:

    30,8m

    20,5m 16m

    a) Hallemos el volumen aproximado del depsito b) Cuntos litros de agua puede contener c) Si un litro de agua se vende a $14,5. Cunto dinero

    se recauda?

    d) Si en la comunidad hay 135 casas y cada una consume en promedio 99,5 litros de agua cada da,

    para cuntos das alcanza el agua?

    e) Si una familia de 15 miembros puede consumir el depsito en 30 das, en cuntos das lo consumir

    otra familia que tiene 5 miembros ms?

    33

    3

    1000000

    1000

    1

    1

    :Re

    cmm

    cmlitro

    quecuerde

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    4

    dasxx

    dondeDe

    x

    dasPersonas

    5,2220

    1530

    15

    2030:

    20

    3015

    EJERCICIOS

    1. Para cada figura, calcule el volumen, el rea total y la diagonal:

    2. Las dimensiones de un paraleleppedo rectangular miden: 6m, 8m y 3m. a) Cunto cartn se debe comprar para construir el paraleleppedo sin tapa y cunto, con

    tapa? Sugerencia: Halle el rea de las caras.

    b) Si el m2 de cartn cuesta $ 46.9, con cunto dinero se pueden construir los

    paraleleppedos?

    3. Se van aguardar libros en una bodega de dimensiones 4m, 3m y 2m. Si la dimensin de

    cada libro es 20cm, 10cm y 4cm, calcule el nmero de libros que se puede guardar en

    esa bodega.

    4. Las dimensiones de una piscina que tiene forma de ortoedro miden 10m x 7m x 3m. a) Halle el volumen de la piscina b) Si se estima que una persona tiene un volumen de 51000cm3, cuntas personas

    caben en la piscina?

    c) Si el litro de agua cuesta $25, cunto cuesta llenar la piscina? d) Si una llave que vierte 20 litros por segundos, llena la tina en 12 horas, en cuntas

    horas la llenar otra llave que vierte las 2/5 de la primera en el mismo tiempo?

    Nota: Para cada ejercicio, construya una grfica que represente la situacin.

    5m

    6m

    9m

    8cm

    7cm

    4cm

    4cm

    6cm

    V = 192cm3

    d = ?

    a = ?

    hb

    VaAyuda

    :

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    Volumen y rea de un Cubo o Hexaedro

    Para calcular la arista: 3

    Vk El volumen de un cubo es igual a la arista al cubo, o sea, elevada a la 3.

    Desarmando la figura:

    EJEMPLO 1.

    Calculemos el volumen, el rea total y la diagonal de un cubo de 4,25m de arista.

    Solucin:

    Todas las caras son cuadrados y dos de ellas sirven de base

    K

    K

    K

    K

    K

    K K

    K

    K

    K

    K

    mmkd

    mmmkA

    mmkVmk

    T

    35,7)25,4(73,13

    .37,108)062,18(6)25,4(66

    76,76)25,4(.25,4

    2222

    333

    4,25m

    Todas Las caras son cuadrados

    73,13

    k

    k

    k

    Arista

    kd 3 Volumen: 33 kV kkkkV

    rea lateral: 2

    L

    22222 4kA kkkkkAL 4

    rea de la base: 2

    kB

    rea total:

    2

    T

    222222

    6kA

    k

    622 kkkkkBAA LT

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    EJEMPLO 2.

    Si la arista de un cubo se duplica, en cunto crece el nuevo volumen?

    12

    2

    1

    3

    3

    2

    1

    33

    2

    33

    1

    8:,8

    1

    8

    :)2()1(

    )2.....(8)2()1.....()(

    :

    VVdondedeV

    V

    k

    k

    V

    V

    yvolmeneslosentreproporcinlandoEstablecie

    kkVkkV

    volmeneslosHallemos

    El nuevo volumen (2) es 8 veces el volumen inicial (1) o el volumen inicial (1) es la octava

    parte del volumen final (2). Lo que indica, que por cada unidad del volumen (1), hay ocho

    unidades del volumen (2). O sea, estn en una proporcin de 1:8 de 8:1

    Haciendo uso de la ecuacin anterior ( 12 8VV ), complete la siguiente tabla para los

    valores indicados e indique la proporcin

    1V 2V Proporcin

    8

    3

    30 1:8

    15

    5

    Qu puedes opinar acerca de las proporciones? EJEMPLO 3.

    El volumen de un cubo es de 64cm3, hallemos la arista, el rea total y la diagonal

    Como se puede observar, la

    arista del cubo de la derecha es

    el doble de la del cubo de la

    izquierda k

    1V

    2k

    2V

    64cm3

    k

    k

    k

    Como: 4cm.kV 3 3 33 64cmVk .este es

    el valor de la arista

    rea total: 22 96)16(6)4(6 cm 2T 6kA

    Diagonal: cmkd 92,6)4(73,13

    73,13

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    EJERCICIOS

    1. Para cada cubo o hexaedro, realice el clculo exigido:

    2. La diagonal de un cubo mide 10,38cm. Halle: La arista, el rea total y el volumen.

    Ayuda: 73,13.3

    d

    k

    3. Cunto cartn se necesita para construir un caja de forma cbica de 9,5 cm de arista.

    Si el m2 cuesta $ 50. Cunto dinero se necesita?

    4 Si la arista de un cubo se triplica, en cunto crece el nuevo volumen y la nueva rea

    total? Ayuda: kk 3

    5 Si la arista de un cubo se reduce a la mitad, en cunto decrece el nuevo volumen y la nueva rea total?

    Volumen y rea de un Prisma

    n = Nmero de lados. L = longitud de los lados. h = altura.

    B = rea de la base. a = apotema. P = permetro.

    4m

    ?.?.? dAV T

    5,8cm

    ?.?.? dAV L

    V = 512cm3

    ?.?.? dAk T

    3 Vk

    Ayuda

    a

    L

    L

    h

    DESARMANDO LA FIGURA:

    En este caso, el prisma es pentagonal, porque su

    base es un pentgono. Cualquier polgono puede

    servir de base. Todas las caras son rectngulos.

    L

    L

    h

    L

    L

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    8

    BhV . Pero: 22

    PanLaB . Entonces:

    2

    ahnBhV

    L .

    nLhAL

    h)nL(aAT

    )(222

    hanLnLhnLanLhnLhBAnLa

    T

    El volumen de un prisma es igual al producto del rea de la base por la altura.

    El rea lateral de un prisma es igual al producto de la altura(h) por el permetro de la

    seccin recta.

    EJEMPLO

    Un prisma triangular recto tiene por base un tringulo equiltero de 8m de lado. Si la altura

    del prima es de 10m, calculemos el volumen y el rea total.

    Solucin:

    totalreaelesestammBAA

    baseslasdereaelesestamB

    lateralreaelesestammnlhA

    n

    volumenelesestemmBhV

    LT

    L

    2

    2

    2

    3

    295,36m

    55,36m

    240m

    276,8m

    22

    2

    2

    36,552402

    .)68,27(22

    .)10)(8(3

    .3

    )10(68,27

    8m

    10m

    2

    3 Lh

    ... Frmula altura de un tringulo equiltero.

    2

    hbA

    . rea de un tringulo.

    268,272

    36,55

    2

    )92,6(8

    2

    92,62

    84,13

    2

    )8(73,1

    2

    3

    10.8

    cmhb

    BA

    cmL

    h

    cmhbcmL

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    9

    EJERCICIOS

    1. Para cada prisma, realice el clculo exigido:

    2. Un prisma tiene por base un cuadrado de 10m de lado. Si alcanza una altura de 5m,

    halle el volumen y el rea total.

    3. Un prisma tiene por base un rombo cuyas diagonales miden 9m y 14m. Si el prisma

    alcanza una altura de 3m, halle el rea total y el volumen.

    4. Para almacenar agua, una comunidad construye un lago en un terreno. Dos de las caras laterales son trapecios issceles cuyas bases miden 9m y 12m, el fondo y las otras

    paredes son rectngulos. Las caras trapezoidal estn separadas por una distancia de

    100m. Si mxima altura que alcanza el agua almacenada es de 5m, determine:

    a) La capacidad(volumen) del lago. Exprese el volumen en litros

    b) Si cada litro de agua tiene un valor de $245,86 cunto dinero recaudar la

    cominudad?

    Volumen y rea de una Pirmide

    BAABh

    BhLT

    V .33

    1

    El volumen de una pirmide es igual a 1/3 del producto del rea de la base por la altura.

    El rea lateral se halla sumando las reas de los tringulos (caras laterales).

    En una pirmide regular, la apotema es la altura de los tringulos issceles de las caras

    laterales

    Cara lateral

    Altura

    Arista

    Base

    h

    8m

    ?.? TAV

    12m

    15m

    4

    3:

    :

    ?.?

    2LAequiltero

    tringuloreaAyuda

    AV T

    4cm

    Tringulo

    equiltero

    7cm

    12m

    ?.? TAV

    2m 1,7m

    6m

    hexgonoapotemaL

    a

    AV T

    2

    3

    ?.?

    18cm

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    10

    EJEMPLO

    Hallemos el volumen de una pirmide que tiene una altura de 11m y su base es un

    rectngulo de 7m y 4m de lado

    Solucin:

    EJERCICIOS

    1. Para cada pirmide, realice el clculo pedido:

    2. Una de las pirmides de Egipto tiene como base un cuadrado de 9m de lado y alcanza una altura de 4m. Halle el volumen de la pirmide.

    32

    2

    66,1023

    )11(28

    3:

    28)4(7:

    .33

    1

    mmmBh

    V

    mmmB

    BAABh

    BhV

    pirmideVolumen

    baseladerea

    LT

    11m

    7m

    4m

    ?V

    4cm

    5cm

    ?V

    8cm

    50cm

    14cm

    ?V

    8cm

    Altura

    Tetraedro regular: pirmide cuya base y

    caras laterales son tringulos equilteros.

    tetraedroalturaLh

    caraunadereaL

    A

    tetraedrovolumenL

    V

    ....3

    2

    ....4

    3

    .....12

    2

    2

    3

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    11

    Volumen y rea de un Cilindro Circular Recto

    )(2)(222

    2.2..

    .1416,3.2

    .2

    ....

    2

    22

    rhrArhrrrhA

    BAArhArBhrV

    drrd

    GeneratrizgAlturahRadiorDimetrod

    TT

    LTL

    EJEMPLO1.

    Hallemos el volumen y el rea lateral de un cilindro que tiene un dimetro de 9cm y una

    altura de 14cm.

    Solucin:

    12cm

    9cm .29,339)12)(5,4)(1416,3(22

    4,763)12)(25,20)(1416,3(

    ).12()5,4)(1416,3(

    .1416,3.12.5,42

    9

    2.9

    2

    22

    22

    cmcmcmrhA

    cmcmcmV

    cmcmhrV

    cmhcmcmd

    rcmd

    L

    El volumen de un cilindro se halla

    multiplicando el nmero por el radio

    al cuadrado y por la altura

    h

    r

    d

    h

    r

    r2

    r

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    12

    EJEMPLO 2.

    Cul debe ser el radio de un cilindro para que el rea lateral sea el triplo del rea de la

    base?

    Solucin:

    El ejemplo nos muestra, que el rea lateral equivale tres veces el rea de la base, entonces:

    .3

    2

    3

    232

    :),1()3()2(Re).3().2(2

    )1(3

    3

    22

    2

    2

    hh

    rh

    r

    rrrh

    tieneseenyemplazandorBrhA

    BA

    L

    L

    El radio debe ser las dos terceras partes de la altura.

    Halle el valor del radio para las siguientes alturas: 10m, 15cm, 25m y 36cm.

    EJERCICIOS

    1. Para cada cilindro, realice el clculo exigido:

    2. Un tanque cilndrico tiene 1000cm de dimetro y 12cm de altura. Cuntos galones de gasolina puede contener? Ayuda: Galn = 3,78 litros.

    3. Un tanque cilndrico tiene 500cm de dimetro y 2,5m de altura. Calcule el rea total y el volumen.

    4. Cul es el radio de un cilindro, si el rea lateral es el doble del rea de la base?

    ?? TAV

    6cm

    3cm

    ?? TAV

    16m

    15m

    3

    2

    10001

    :?

    cmlitro

    r

    VhAyudah

    36cm

    V = 40 litros

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    13

    Volumen y rea de un Cono

    )()(

    ..3

    1..

    2

    2222

    rgrArgrrgrBAA

    rBrgAhrVrghGeneratrizg

    TLT

    L

    EJEMPLO

    Dos conos tienen la misma altura y los dimetros de sus bases miden 1,12m y 2,4m. En

    qu proporcin estn sus volmenes?.

    Solucin:

    h g

    d2

    h g

    d1

    mmd

    r

    mmd

    r

    mdmdhh

    2,12

    4,2

    2

    56,02

    12,1

    2

    .4,2.12,1.

    22

    11

    21

    h g

    r

    r

    g

    r2

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    14

    VVV

    V

    h

    h

    V

    V

    proporcinlandoEstablecie

    hhhrVhhhrV

    volmeneslosCalculando

    122

    1

    2

    1 55

    1

    5

    1

    10

    22,0

    48,0

    10,0

    :

    .48,0)2,1(3

    1

    3

    1.10,0)56,0(

    3

    1

    3

    1

    :

    22

    22

    22

    11

    Los volmenes estn en una proporcin de 1 a 5, o sea, que V1 es la quinta parte de V2 o en

    su efecto, V2 es 5 veces V1.

    EJECICIOS

    1. Para cada cono, realice el clculo exigido:

    2. Dos conos tienen la misma altura y los dimetros de sus bases miden 8cm y 4cm. En qu proporcin estn sus volmenes?

    3. Si el rea total de un cono es 75,24cm2 y la generatriz es el doble del radio de la base, determine el volumen.

    4. La capota de una lmpara es de forma cnica. Su dimetro es de 6,5cm y su altura es de 14cm. Cul es el volumen?

    Volumen y rea de una Esfera

    ?? TAV

    10cm

    25cm

    30cm

    ?? TAV

    10m

    3m

    14m

    ?? TAV

    12m 6m

    9m

    33

    2

    13

    4

    3.

    4

    4.6

    1

    3

    4

    82.

    2

    2233

    33

    3

    VVr

    Ar

    drAdrV

    ddr

    dr

    r

    Semiesfera, la mitad de una esfera

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    15

    EJEMPLO

    Si el dimetro de una esfera es tres veces el radio de otra esfera, determine:

    a). La razn entre los dos radios. b). La razn entre las dos reas.

    c). La razn entre los dos volmenes.

    Solucin:

    .2

    9

    24

    108

    3

    8

    274

    3

    2

    34

    3

    4:1

    .4

    9:.

    4

    9

    4

    9

    4

    9

    :

    .4.94

    94

    2

    344:1

    .3

    2

    2

    3

    .2

    332

    33

    33

    3

    1

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    2

    2

    21

    2

    1

    1

    22

    22

    1

    2

    11

    2

    1

    2

    1

    11

    12

    2:exp.

    2

    3

    rr

    rr

    r

    VesvolumenEl

    A

    A

    r

    r

    A

    A

    reaslasentreproporcinlandoEstablecie

    rAr

    rrrAesreaEl

    rry

    rr

    r

    r

    rr

    esreaslasderaznLa

    quetieneseresinanteriorlaDeesradioslosderaznLa

    .8

    27:.

    8

    27

    8

    27

    8

    327

    3

    4

    2

    9

    .3

    4:2

    2

    1

    22

    2

    2

    1

    2

    3

    2

    3

    3

    3

    2:

    esvolmeneslosderaznLa

    volmeneslosentreproporcinlandoEstablecie

    V

    V

    r

    r

    r

    r

    V

    V

    r

    VesvolumenEl

    EJERCICIOS

    1. Calcule el volumen y el rea de una esfera de 1,5cm de radio.

    2. Halle el volumen y el rea de una esfera de 6m de dimetro

    Esfera 1 Esfera 2

    D1 = 3r2 2r1 = 3r2

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    16

    3. 8cm y 10cm son los dimetros de dos esferas. En qu proporcin estn los volmenes y las reas?

    4. Halle el volumen y el rea de una semiesfera de 9m de dimetro.

    5. Encuentre el espesor de una esfera hueca, si la superficie exterior mide 4m2 y la interior 3,8m

    2. Ayuda: Calcule los dos radios y establezca la diferencia.

    6. El rea de una esfera mide 40cm2. Halle el radio y el volumen de la esfera. 7. El volumen de una esfera es de 27m3. Halle el radio y el rea.

    8. Por qu nmero debe multiplicarse el dimetro de una esfera para que: a). Su rea se duplique? b). Su volumen se triplique?

    9. Si el dimetro de una esfera es el doble del radio de otra esfera, determine: a). La razn entre los dos radios. b). La razn entre las dos reas. c). La razn entre los

    dos volmenes.

    RELACIN ENTRE EL VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR CIRCUNSCRITO A UNA

    ESFERA (LA ESFERA DENTRO DEL CILINDRO)

    V cV eoV eV cV e

    V c

    V e

    V c

    x

    x

    x

    x

    yvolmenesdoslosentrerelacinlandoEstablecie

    3

    2

    2

    3

    2

    3

    2

    3

    4

    6

    4

    6

    :)2()1(

    3

    3

    3

    3

    6

    4

    Lo anterior se interpreta a s: El volumen del cilindro es 3/2 del volumen de la esfera o el volumen de

    la esfera es 2/3 del volumen del cilindro

    x

    x

    Como se puede observar, dentro del cilindro hay una esfera

    cuyo dimetro es igual a la altura y al dimetro del cilindro

    Hallemos los volmenes y establezcamos la relacin:

    )2.....(6

    3

    3

    3

    24

    3

    34.

    2

    )1.....(4

    )()2

    .2

    )(

    (.3222

    xrr

    Esfera

    xhrhrrxh

    Cilindro

    x

    V ex

    xxV cx

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    17

    VOLMENES DE SLIDOS TRUNCADOS, SECCIONADOS Y EN DIFERENTES

    POSICIONES

    Volumen de un Tronco de Pirmide

    EJERCICIOS

    1. Para cada tronco de pirmide, halle el volumen:

    2. Los volmenes de un tronco de pirmide y una pirmide miden 36m3 y 20m3. Si el tronco sostiene la pirmide y las dos bases estn separadas por una distancia de 10m, halle la altura de

    la pirmide y la altura que alcanzan las dos figuras.

    VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO

    r

    8cm2

    16cm2

    7cm

    4m

    10m

    8m

    Las bases son cuadrados Las bases son

    tringulos equilteros

    12cm

    5cm

    10cm

    )(

    )(

    33

    1

    ..

    .2.2.

    22

    22

    222

    2

    1

    2

    21

    ..

    rRAA

    rRgA

    RrrRhRrrRhV

    r

    R

    h

    h

    r

    R

    d

    D

    rdRDhhh

    R

    LT

    L

    menorcrculoRadiormayorcrculoRadio

    h

    h2

    h1

    R

    .

    33

    1

    .2.1

    3

    31

    2

    1

    22121

    22121

    21

    2

    1

    21

    2

    .

    2

    h

    h

    V

    V

    hBBBBhBBBBV

    hhhh

    h

    h

    baseladereaBbaseladereaB

    prmideladeAltura

    basesdoslasseparaqueAltura

    pirmideladevrticeelhastabaseladesdevaqueAltura

    h B2

    h1

    h2

    B1 B2

    B1

    h

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    18

    EJERCICIOS

    Para cada tronco de cono, halle el volumen:

    VOLUMEN OTROS POLIEDROS

    12cm

    5cm

    8cm

    5cm

    4cm

    3cm

    Adems, halle el volumen

    del cono superior y de todo

    el cono

    9cm

    10cm

    H h

    6cm

    Cilindro hueco

    )( 22 rRhV

    R r

    h

    Cilindro truncado

    )( 212 hhRV

    1h 2

    h R

    Cilindro oblicuo

    R h

    hRV 2

    R

    d D

    k

    Elipsoide

    3

    4 DdkV

    Cono oblicuo

    3

    2hRV

    R

    h

    Sector esfrico

    h

    3

    2 2hRV

    Segmento esfrico

    reassonbyB

    hhbBV

    ,

    62

    3

    b

    B

    h

    n

    R

    Cua

    gradosenngulon

    nRV

    3603

    4 3

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    19

    PRINCIPALES POLIEDROS

    Poliedro: Slido que tiene varias caras.

    Poliedro regular: Cuando las caras son polgonos regulares iguales.

    Figura

    Nombre

    Caractersticas

    Tetraedro regular

    Tiene 4 caras iguales. Las caras son tringulos

    equilteros

    Cubo o hexaedro

    Tiene 6 caras iguales. Las caras son cuadrados

    Prisma recto

    Poliedro limitado por varios paralelogramos y

    dos polgonos iguales cuyos planos son

    paralelos(bases)

    Paraleleppedo

    Prisma cuyas bases so paralelogramos

    Pirmide

    Poliedro que tiene una cara llamada base, que

    es un polgono cualquiera y las otras , llamadas

    caras laterales son tringulos que tienen un

    vrtice comn.

    Cilindro

    Slido formado por dos curvas cerradas

    paralelas.

    Cilindro

    Slido formado por dos curvas cerradas

    paralelas.

    Esfera

    Slido o espacio limitado por una superficie

    curva cuyos puntos equidistan todos de otro

    interior llamado centro.

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    20

    VOLUMEN TOTAL

    El volumen total de un cuerpo slido que est formado por varios poliedros regulares, se

    halla sumando los volmenes.

    321 VVVVT TV Volumen total. 1V Volumen primer slido.

    2V Volumen segundo slido. 3V Volumen tercer slido.

    Volumen slido cuatro, cinco, seis, siete, ocho,

    EJERCICIO

    Para cada figura, halle el volumen total:

    3

    4..

    3

    32.

    2

    ..

    32

    2

    3

    rhr

    hr

    BhPahnlah

    BhabhK

    5cm

    3cm 3cm

    11cm

    8cm

    4cm

    1

    10m

    10m 10m

    12m

    9m

    2

    14,78m 8m

    9,8m

    7,96m

    11,6m

    5m

    16m

    10m

    3

    Halle el rea total de las figuras 2 y 3

    Anlisis:

    Halle por separado el volumen de cada

    uno de los slidos involucrados en la

    figura, luego, sume los volmenes

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    21

    VOLUMEN LIMITADO POR DOS SLIDOS

    El volumen limitado por dos slidos, se halla estableciendo la diferencia (resta) entre el

    volumen del slido mayor y el slido menor.

    memaL VVV . LV Volumen limitado por los dos slidos.

    maV Volumen slido mayor. meV Volumen slido menor.

    EJERCICIO

    Para cada figura, halle el volumen limitado:

    14m

    17m

    5

    7 8

    8

    1

    7cm

    9cm

    19cm

    15,79cm

    6

    19m

    10,5m 8,2m

    4

    18cm

    18cm

    6cm

    2

    Anlisis:

    Calcule el volumen del slido mayor.

    Calcule el volumen del slido menor.

    Halle la diferencia (resta) entre los dos volmenes

    14,6m

    3

    3cm

    4cm

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    22

    ALGEBRA Y GEOMETRA -- VOLUMEN

    En este captulo estableceremos una relacin entre la aritmtica, el lgebra y la geometra.

    Expresaremos algebraicamente los clculos que sobre los principales poliedros (slidos)

    realizamos aritmticamente. Es importante recalcar, que la conexin se establece con los

    mismos conceptos que sobre volumen y reas conocemos de cada poliedro.

    Ejemplo

    Dada la siguiente figura, hallemos la expresin algebraica que representa el volumen y el

    rea de la regin sombreada. Adems, el valor numrico para x = 2.

    , valor numrico

    Para la regin sombreada:

    La misma es un rectngulo cuyos lados miden . Pero es la diagonal de la cara

    frontal del poliedro, aplicando el teorema de Pitgoras para esta diagonal:

    5221244)1()2( 22222 xxxxxxxxd , este es el valor del

    lado del rectngulo, calculando el rea del rectngulo ( regin sombreada):

    5121162522)1()1( 2342 xxxxxxxxdA

    212,36u 1535244448325)2(12)2(11)2(6)2(2 234A

    Solucin: El poliedro involucrado es un ortoedro de

    dimensiones . Entonces:

    ,

    esta es la expresin algebarica que representa el

    volumen

    d

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    23

    EJERCICIOS

    1. Aplicando el concepto y la frmula para cada slido, halle la expresin algebraica

    que representa el volumen y el rea total de cada figura. Si en alguna figura hace

    falta informacin, no realice el clculo exigido

    RECUERDE:

    El volumen se expresa en unidades cbicas.u3 = unidad cbica.

    Despus de reemplazar las letras por su valor numrico, y realizadas la operaciones

    indicadas, al nmero que resulta se agrega u3.

    2. Para cada figura, halle el volumen limitado.

    2x + 2

    5x

    4x + 3

    1

    2

    2y + 1

    2y + 6

    2y

    3

    3z + 1

    z + 4 z

    6

    2y +4 2z + 2

    z + 1

    4 5

    2x 1

    x = 2, y = 3, z =

    4

    Halle el rea

    lateral y total

    de las figuras:

    1, 3, 4 y 8

    3

    x 1

    3x

    3x + 2

    6x 2

    2 3y + 1

    5y 2

    x

    2x + 1

    2x + 3

    7 8 x + 4

    2x + 1

    y + 4

    2y + 3

    y

    9

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    24

    FRMULAS DE REA DE LOS PRINCIPALES POLGONOS

    3x + 2

    5

    5x 4

    5z 3

    z 4

    b

    h bhA

    ctnguloRe

    b

    bhA

    ramoParale log

    h

    b

    b 2bbbA

    Cuadrado

    b

    Tringulo

    h 2

    bhA

    L

    Equiltero

    Tringulo

    4

    3 2LA

    L L

    b

    h 2

    )( hbBA

    Trapecio

    B

    Rombo

    2DdA

    d

    D

    L

    gulares

    Polgonos

    Re

    a

    2nLaA

    L

    2rA

    crculo

    r

    Elipse

    DdA

    D d

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    25

    TRINGULO RECTNGULO: tiene un ngulo recto, es decir, que mide 90 grados.

    Todos son tringulos rectngulos.

    Elementos

    Teorema de Pitgoras Ejemplo 1 Hallemos el lado desconocido del siguiente tringulo:

    90 90

    90

    90

    R

    B

    D

    r

    d

    b

    Hipotenusa: lado ms largo

    Cateto

    Cateto

    r = hipotenusa d = cateto b = cateto

    90

    Este teorema o ley se enuncia as: en todo tringulo rectngulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto es:

    222 dbr

    catetobcatetodhipotenusar ..

    R

    B

    D

    r

    d

    b

    Hipotenusa

    Cateto

    Cateto

    r = ? 6m

    8m

    En este caso, no se conoce la hipotenusa.

    Entonces:

    m

    dondede

    10100

    :1006436)8()6(

    r

    r 222

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    26

    Ejemplo 2 Hallemos el lado desconocido del siguiente tringulo: EJERCICIO Para cada tringulo, realice el clculo exigido: TRINGULO 30, 60 Y 90

    x = ?

    20m 12m

    En este caso, no se conoce un cateto. Entonces:

    16mx

    22

    2222

    x

    luegodondeDe

    entonces

    xx

    xx

    256

    256:144400:

    144400:)12()20(

    r = ?

    4m

    3m

    y = ?

    15cm

    9cm

    x = ?

    20m 25m

    r = ?

    14m

    10m

    En todo tringulo 30, 60 y 90: el cateto opuesto al ngulo de 30 es la mitad de la hipotenusa. Esto es:

    dr

    r

    formaigualDe

    Entonces

    aopuestocatetodhipotenusar

    22

    :

    :

    30.

    d

    R

    B

    D

    r

    d

    90 30

    60

    b

    No olvides que: Siempre se inicia con la hipotenusa

  • Marcosapb Matemtica Algebra 2013

    27

    Ejemplo 1 Hallemos el lado desconocido del siguiente tringulo: Ejemplo 2 Hallemos el lado desconocido del siguiente tringulo: EJERCICIO Para cada tringulo, realice los clculos exigidos:

    El tringulo es 30, 60 y 90, entonces:

    cmxdondeDe

    entonces

    PitgorasAplicando

    Entoncescatetox

    aopuestocatetoyhipotenusam

    xx

    xx

    y

    32,17310300:

    300100400

    100400:

    :

    102

    20:.

    .30.20

    )10()20(

    22

    2222

    20cm

    y = ?

    60

    x = ?

    El tringulo es 30, 60 y 90, entonces:

    cmxdondeDe

    entonces

    PitgorasAplicando

    rr

    Entoncescatetox

    aopuestocatetohipotenusar

    xx

    xx

    3,475,18:

    75,1825,625

    25,625:

    :

    5)5,2(22

    5,2:.

    .305,2.

    )5,2()5(

    22

    2222

    2,5cm r = ?

    30

    x = ?

    40cm

    y = ?

    60

    x = ? 8cm

    r = ?

    30

    y = ? 10cm y = ?

    30

    x = ?