ARITMÉTICA FINANCIERA

Juan Carlos Ballabriga EscuerMatemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

Departamento de MatemáticasIES Benjamín de Tudela

Sucesiones y Progresiones• Aritméticas:– 3,5,7,9,…… sumamos 2 al término anterior– 2,-1,-4,-7,… restamos 3 al término anterior

• Geométrica:– 3,6,12,24,…… multiplicamos por 2– 6,3,3/2,3/4,… dividimos por 2

• Otras– 1,1,2,3,5,8,13,… sumamos los 2 anteriores– 2,6,12,20,30,… n2+n

Notación

Término generalEj: 2,4,6,…

¿?

63

42

21

3

2

1

nan

a

a

a

naSubíndice: indica el término

Término: tiene un valor determinado

Progresiones Aritméticas

• Cada término se obtiene del anterior sumándole siempre la misma cantidad

2

26

24

2

1

233

122

1

nnn aaa

aaa

aaa

a

(Ley de recurrencia)

En el caso general

Término general de una progresión aritméticadnaaddaadaa

daaddaadaa

daaddaadaa

daadaa

aa

nnnnn )1(

3

2

121

142434

131323

1212

11

dnaan )1(1

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

Cada pareja suma lo mismo por, tanto hay n/2 sumandos iguales, es decir basta conocer el primero y el último de los términos a sumar

nnnn aaaaaaS 12321

naa

S nn

21

Ejemplos:

• Sea la progresión: 4,7,10,13,….a) Hallar el término general:b) Hallar el término 4501c) Hallar la suma desde a10 hasta a100

Solución:Como es progresión aritmética el término general es

3)1(4)1(1 ndnaan135041350043)14501(4 na

41951912

8913191

22100101

aan

aaS nn

Progresiones Geométricas

• Cada término se obtiene del anterior multiplicándolo siempre la misma cantidad

3

318

36

2

1

233

122

1

nnn aaa

aaa

aaa

a

(Ley de recurrencia)

En el caso general

Término general de una progresión geométrica

1121

3142434

2131323

1212

11

nnnnnn raarraaraa

raarraaraa

raarraaraa

raaraa

aa

11

nn raa

Suma de los n términos consecutivos de una progresión geométrica

)1(

)1( / / /

11

11

11

11

14

13

12

11

11

21

31

2111

1321

r

raaS

raaSrraaSrS

rarararararaSr

rararararaaS

aaaaaS

n

n

nn

nnn

nnn

nnn

nnn

restando

11)1(111111

r

aa

r

aa

r

raaS nn

n

n

Caso particular

En caso de que |r|<1 se pueden sumar “todos” los términos de una progresión geométrica

)1(1

r

aS

Ejemplo:

22/11

1

8

1

4

1

2

11

2

11

,8

1,

4

1,

2

1,1

1

S

an

n

Índices de variaciónAumentos y disminuciones porcentuales

Ej: Si queremos aumentar una cantidad en un 7% lo que haríamos es lo siguiente:

Este número es el que utilizaremos para multiplicar la cantidad a aumentar para obtener la finalSi partimos de 1000€: 1000x1,07=1070€(En caso de ser disminución )

ICC IF I

CC FI

07,1100

107% 107% 7% 100

93,0100

93% 93% 7% 100

Interés simple

• Nos ofertan un interés que aplicamos a la cantidad ingresada durante todo el periodo

• Ejemplo: 1500€ al 5% anual durante 6 años 0,05x1500=75€ 75x6=450€1500+450=1950€ tendremos al final, ó de forma

equivalente 1500(1+0,05x6)=1450€

)1(0 trCC

Interés compuesto• Cada periodo acumulamos el interés anterior• Ejemplo: 1500€ al 5% anual durante 6 años 1er año 0,05 x 1500 = 75€ 1500+75=1575€ 2o año 0,05 x 1575 = 78,75€

1575+78,75 = 1653,75€ 3eraño 0,05 x 1653,75 = 82,69€

653,75 + 82,69 = 1736,44€……. Al final …….2010,14€

De otra forma 1500 x 1,05 = 1575 € 1575 x 1,05 = 1653,75€ 1653,75 x 1,05 = 1736,44€

1736,44 x 1,05 = 1823,26€ 1823,26 x 1,05 = 1914,42€ 1914,42 x 1,05= 2010,14 €

De manera resumida 1500x1,056 =2010,14 €

trCC )1(0

Índice de variación

Periodos de capitalización distintos a un año

• El periodo de capitalización es el tiempo en el que se abonan

los intereses por un capital.• La fórmula se transforma en la siguiente

Donde n representa el nº de periodos anuales en el que se abonan (Ej: trimestres 4, semestres 2,…)

tn

n

rCC

10

Ejemplo:

Se disponen de 5000€ a un interés compuesto del 7,5% durante 3 años con periodos de capitalización mensuales. Si Hacienda retiene el 18% cuando se recupera el capital, calcular el capital final

Los intereses son:Hacienda retiene:El capital final neto será:

€23,625712

075,0150001

312

0

tn

n

rCC

€93,603030,22623,6257

€30,22618,023,1257

€23,1257500023,6257

Tasas y números índices• Tasas:

• Tasa de alcoholemia 0,15 0,15cm3/l• Tasa de paro 12% 12 parados por cada 100 personas en edad laboral• Tasa de natalidad: 21,640/00 nacieron 21,64 bebés por cada 1000 habitantes

• Números índices:• Índice de Precios al Consumo (IPC)• Índice de las bolsas IBEX35

Capitalización

• Supongamos que cada periodo de tiempo ingresamos la misma cantidad y queremos averiguar cuánto dinero tendremos al final de todo el tiempo que estamos utilizando

• El interés que aplicamos es compuesto, es decir después de cada periodo se produce la liquidación de intereses y por tanto vamos acumulando intereses

Caso general

• Llamaremos C0 al capital invertido

• C es la cantidad final que obtendremos• r es el interés o rédito (expresado en %)• t el número de años que estamos pagando

)1(C

r)(1Cr)(1CC

r)(1Cr)(1Cr)(1CC

r)(1Cr)(1Cr)(1Cr)(1CC

0

2t000

1t0

2000

t0

30

2000

r

t0

30

200 r)(1Cr)(1Cr)(1Cr)(1CC

r

r

r

r 1-r)(1)1(C

1)1(

)1(C-r)(1CC

t

00

1t0

sumando

Veamos un ejemplo

Nos planteamos crear un plan de pensiones y nos ofrecen dos posibilidades:• Liquidaciones anuales al 5% anual• Liquidaciones trimestrales al 4,5% anual

¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 20 años si ingresamos en el primer caso 6000€ cada año y en el segundo 1500€ cada trimestre?

• 1er caso

• 2º caso€51,208315

105,0

10,05

1-1

0,051

6000

r1-

r1

CC

10211tn

0

nr

nn

€9,195140

40,045

40,045

1-4

0,0451

1500C

1024

T.A.E.• La Tasa Anual Equivalente, es la tasa de interés que

produce el mismo capital final si los periodos de capitalización fuesen anuales.

n es el nº de periodos

Ejemplo: Hallar el TAE de un deposito al 5% si los periodos de capitalización son mensuales

%116,5100112

05,01

12

TAE

10011

n

n

rTAE

Amortización de préstamos

• Nos hacen un préstamo y tenemos que devolverlo

• El dinero prestado genera intereses que tenemos que devolver también

• Las cuotas que vamos pagando a su vez también generan intereses al banco que deben reflejarse en la cuota

Ejemplo: Un banco nos concede un préstamo de 10000€ que debemos amortizar en un año mediante 12 pagos mensuales idénticos. El banco dice que cobra un interés del 12% anual y fija la cuota en 888,49€

• La primera mensualidad se pagará al cabo de un mes, es decir hemos dispuesto de 10000€. Los intereses generados en ese mes es de 1%, por tanto 1% de 10000=100€. Como la cuota era fija, realmente hemos amortizado

888,49-100=788,49€Y lo que nos queda realmente por pagar es

10000-788,49=9211,51€• La segunda mensualidad: 1% de 9211,51=92,12€

Cantidad amortizada 888,49-92,12=796,37€Deuda pendiente 9211,51-796,37=8415,14€

Tabla de los 12 pagos

Mensualidad Deuda antes del pago

Intereses pendientes Pago Cantidad

amortizadaDeuda

pendiente

1 10.000 € 100 € 888,49 € 788,49 € 9.211,51 €2 9.211,51 € 92,12 € 888,49 € 796,37 € 8.415,14 €3 8.415,14 € 84,15 € 888,49 € 804,34 € 7.610,80 €4 7.610,80 € 76,11 € 888,49 € 812,38 € 6.798,41 €5 6.798,41 € 67,98 € 888,49 € 820,51 € 5.977,91 €6 5.977,91 € 59,78 € 888,49 € 828,71 € 5.149,20 €7 5.149,20 € 51,49 € 888,49 € 837,00 € 4.312,20 €8 4.312,20 € 43,12 € 888,49 € 845,37 € 3.466,83 €9 3.466,83 € 34,67 € 888,49 € 853,82 € 2.613,01 €

10 2.613,01 € 26,13 € 888,49 € 862,36 € 1.750,65 €11 1.750,65 € 17,51 € 888,49 € 870,98 € 879,67 €12 879,67 € 8,80 € 888,49 € 879,69 € -0,03 €

Ejemplo 2:Recibimos un préstamo de 20000€, al 15% anual, que tenemos que devolver en 5 pagos anuales idénticos. Nos quieren cobrar 5966,31€. Comprobar que es correcto

Mensualidad Deuda antes del pago

Intereses pendientes Pago Cantidad

amortizadaDeuda

pendiente

1 20.000 € 3.000 € 5.966,31 € 2.966,31 € 17.033,69 €

2 17.033,69 € 2.555 € 5.966,31 € 3.411,26 € 13.622,43 €

3 13.622,43 € 2.043 € 5.966,31 € 3.922,94 € 9.699,49 €

4 9.699,49 € 1.455 € 5.966,31 € 4.511,39 € 5.188,10 €

5 5.188,10 € 778 € 5.966,31 € 5.188,09 € 0,01 €

Ejemplo 3: Un banco nos concede un préstamo de 50000€ que debemos amortizar en un año al 10% anual mediante 4 pagos anuales. Los tres primeros pagos son de 15000€. ¿A cuánto ascenderá el último pago?

Mensualidad Deuda antes del pago

Intereses pendientes Pago Cantidad

amortizadaDeuda

pendiente

1 50.000 € 5.000 € 15.000,00 € 10.000,00 € 40.000,00 €

2 40.000,00 € 4.000 € 15.000,00 € 11.000,00 € 29.000,00 €

3 29.000,00 € 2.900 € 15.000,00 € 12.100,00 € 16.900,00 €

4 16.900,00 € 1.690 € x 16.900,00 € 0,00 €

X=16900+1690=18590€

Caso general

• Llamaremos C al capital prestado• C0 son los pagos que realizamos

periódicamente• r es el interés o rédito• t el número de años que estamos pagando

0

3t000

2t0

2000

1-t0

30

2000

C

r)(1Cr)(1CC

r)(1Cr)(1Cr)(1CC

r)(1Cr)(1Cr)(1Cr)(1CC

1-t0

2000

t r)(1Cr)(1Cr)(1CCr)C(1

rr

1-r)(1C

1)1(

C-r)(1Cr)C(1

t

00

t0t

Sumandoe igualando

t32 r)C(1r)C(1r)C(1r)C(1C

1-r)(1

rr)(1C

t

t

0

C

Las fórmulas generalizadas

• Para periodos n (meses, trimestres,…)

• Capitalización

• Amortización

nr

nnr

1-r

1CC

1tn

0

1-r

1

r1

CC tn

tn

0

n

nr

n

Productos financieros

• Acciones: Participaciones del capital de una empresa. Las transacciones se realizan en

el mercado de valores (bolsa)

• Bonos: Se adquiere el compromiso de devolver una cantidad en un tiempo determinado.

A largo lazo se llama obligaciones

• Crédito hipotecario: Además de los intereses hay otros gastos: comisión de apertura, tasación, notaría

• Fondos de inversión: Ahorro colectivo. Renta fija, variable y mixta

• Planes de pensiones: Ahorro en edad laboral