Automaták és formális nyelvek el®adások · VÁRTERÉSZ MAGDA Automaták és formális nyelvek el®adások 2017/18-as tanév 1. félév

VÁRTERÉSZ MAGDA

Automaták és formális nyelvek

el®adások

2017/18-as tanév 1. félév

Tartalomjegyzék

1. El®zetes tudnivalók 4

2. Bevezetés 15

3. Ábécé, szó, formális nyelv 17

4. M¶veletek nyelvekkel 244.1. Boole-m¶veletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2. Reguláris m¶veletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3. Reguláris kifejezések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5. Formális rendszerek 325.1. A generatív rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2. A Markov-algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6. Generatív nyelvtanok 416.1. A generatív nyelvtan és az általa generált nyelv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2. A generatív nyelvtanok alkalmazása a programozásban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.3. A Chomsky-féle nyelvosztályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7. Reguláris nyelvek 547.1. A determinisztikus véges automata mint felismer® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2

Tartalomjegyzék 3

7.2. A nemdeterminisztikus véges automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.3. A 3 típusú nyelvek osztályának jellemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8. Környezetfüggetlen nyelvek 778.1. Levezetési fák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.2. Chomsky-féle normál alak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.3. A Cocke-Younger-Kasami algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.4. Nemdeterminisztikus veremautomaták . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.5. LL(k) elemzés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9. Környezetfügg® nyelvek 1069.1. Turing-gépek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Irodalomjegyzék 111

1. fejezet

El®zetes tudnivalók

Különböz® dolgokat (tárgyakat, személyeket, fogalmakat, objektu-mokat stb.) halmazokba sorolhatunk. Az egy halmazba sorolt dolgoka halmaz elemei.

− h eleme a H halmaznak: h ∈ H− h nem eleme a H halmaznak: h 6∈ HA halmazt megadási módjai:

− kapcsos zárójelben felsoroljuk az elemeit: {h1, h2, . . . , hn}− megadunk egy a halmaz elemeit jellemz® tulajdonságot:

{h∣∣ a h elem T tulajdonságú}

4

5

− A K halmaz a H halmaz részhalmaza, azaz K ⊆ H , ha mindenh ∈ K esetén h ∈ H is.

− Ha K ⊆ H és H ⊆ K, akkor H és K ugyanazon elemeket tar-talmazzák, ilyenkor a két halmazt egyenl®nek nevezzük (jelölése:H = K).

− Pontosan egy olyan halmaz van, amelyiknek nincs eleme, neveüres halmaz, jele ∅.

− Két halmaz diszjunkt, ha nincs közös elemük.

− Egy adott U halmaz összes részhalmazai is halmazt alkotnak,melyet U hatványhalmazának nevezünk, és P(U)-val jelölünk.

6 1. El®zetes tudnivalók

Vezessünk most be m¶veleteket P(U)-n. A H1 és a H2 P(U)-belihalmazok

− uniója: H1 ∪H2 {h | h ∈ H1 vagy h ∈ H2}

− metszete: H1 ∩H2 {h | h ∈ H1 és h ∈ H2}

− különbsége: H1 \H2 {h | h ∈ H1 de h 6∈ H2}

− komplementere: H1 {h | h ∈ U de h 6∈ H1}

P(U)-beli halmaz.

A H1, H2, . . . , Hn (n ≥ 1) nemüres halmazok Descartes-szorzata

H1×H2×. . .×Hn {(h1, h2, . . . , hn) | hi ∈ Hi, i = 1, 2, . . . , n}.

H1×H2× . . .×Hn részhalmazait (n−változós) relációknak nevez-zük.

7

Az R ⊆ H × H kétváltozós vagy binér reláció. ((h1, h2) ∈ Rjelölése ilyenkor gyakran: h1Rh2). Azt mondjuk, hogy az R binérreláció

− re�exív, ha minden h ∈ H-ra hRh;

− irre�exív, ha egyetlen h ∈ H-ra sem igaz, hogy hRh;

− szimmetrikus, ha minden h1, h2 ∈ H-ra, melyre h1Rh2, fennállh2Rh1 is;

− aszimmetrikus, ha egyetlen h1, h2 ∈ H-ra sem teljesül egyszerreh1Rh2 és h2Rh1;

− tranzitív, ha minden h1, h2, h3 ∈ H-ra, melyre h1Rh2 és h2Rh3,teljesül h1Rh3 is;


Jelölje a H1, H2, . . . , Hn halmazok Descartes-szorzatát H . AzF ⊆ H × K reláció H-ból K-ba képez® n-változós függvény vagym¶velet, ha minden h ∈ H-hoz legfeljebb egy olyan k ∈ K van,amelyre (h, k) ∈ F . Ha az F ⊆ H × K reláció függvény, azF : H → K jelölést használjuk.

− Az F függvényértelmezési tartománya azon H-beli elemek hal-maza (jelölése: Dom(F )), melyekre van olyan k ∈ K, hogy(h, k) ∈ F

− F minden h ∈ Dom(F )-hez egy jól meghatározott k ∈ K elemetrendel, amit F (h)-val jelölhetünk, és az F függvény h helyenfelvett helyettesítési értékének, vagy a h elem képének nevezünk,h-t pedig az F (h) ®sképének hívjuk.

− Az Rng(F ) {F (h)∣∣ h ∈ Dom(F )} halmaz az F értékkészlete.

Természetesen Rng(F ) ⊆ K.

9

Az F függvény

− szürjektív, ha Rng(F ) = K;

− injektív, ha különböz® elemek képe különböz®;

− bijektív vagy kölcsönösen egyértelm¶, ha szürjektív és injektív.

Ha F injektív függvény, akkor a Rng(F ) képtér minden k eleméhezegyértelm¶en hozzá tudjuk rendelni az ®sképét. Ily módon egy újabbfüggvényt nyerhetünk, amelynek értelmezési tartománya Rng(F ),képtere pedig Dom(F ). Ez a függvény az F inverze, és F−1-gyeljelöljük.Azokat a függvényeket, melyek értelmezési tartománya valamely

n ∈ N0-ra a {0, 1, . . . , n} halmaz, vagy maga a természetes számokhalmaza, véges, illetve végtelen sorozatoknak nevezzük. Ha egy ilyenfüggvény i helyen felvett értékét si-vel jelöljük, akkor s0, s1, . . . , sn,illetve s0, s1, . . . formában adhatjuk meg ®ket.


Legyenek ◦ : H ×H → H és • : H ×H → H binér m¶veletek. A◦ m¶velet

− asszociatív, ha minden h1, h2, h3 ∈ H-ra (h1 ◦ h2) ◦ h3 = h1 ◦(h2 ◦ h3);

− kommutatív, ha minden h1, h2 ∈ H-ra h1 ◦ h2 = h2 ◦ h1;− idempotens, ha minden h ∈ H-ra h ◦ h = h.

− disztributív a • m¶veletre nézve, ha minden h1, h2, h3 ∈ H-ra

(h1 • h2) ◦ h3 = (h1 ◦ h3) • (h2 ◦ h3)és

h3 ◦ (h1 • h2) = (h3 ◦ h1) • (h3 ◦ h2).

11

Egy 〈H ;M〉 pár, ahol M a H-n értelmezett m¶veletek egy hal-maza, algebrai struktúra. H a struktúra alaphalmaza, az M -belim¶veletek a struktúra alapm¶veletei .

− Egy struktúra grupoidoknak , ha egy kétváltozós alapm¶velete van.Ha ez a m¶velet asszociatív, akkor a struktúra félcsoport , ha mégkommutatív is, kommutatív félcsoport .

− Ha a 〈H ; ◦〉 félcsoportban e ∈ H olyan, hogy e ◦ h = h ◦ e = hminden h ∈ H-ra, akkor e 〈H ; ◦〉 neutrális eleme. Egy félcso-portban legfeljebb egy ilyen elem van. Legyen e 〈H ; ◦〉 neutráliseleme. Ha h ∈ H-hoz van olyan h∗ ∈ H , hogy h∗◦h = h◦h∗ = e,akkor h∗ h inverze. Az inverz, ha létezik, egyértelm¶.

− A csoport olyan félcsoport, amelyben van neutrális elem, és min-den elemnek van inverze. Ha a csoport alapm¶velete még kom-mutatív is, Abel-csoportról beszélünk.


A 〈H ; •, ◦〉 struktúra− gy¶r¶ , ha 〈H ; •〉 Abel-csoport, 〈H ; ◦〉 félcsoport, és ◦ disztribu-

tív •-ra nézve. A 〈H ; •〉 Abel-csoportot a gy¶r¶ additív csoport-jának , a 〈H ; ◦〉 félcsoportot a gy¶r¶ multiplikatív félcsoportjánaknevezzük. A gy¶r¶ kommutatív , ha a multiplikatív félcsoportjakommutatív. Az additív csoport neutrális elemét a gy¶r¶ nullele-mének nevezzük. Ha 0 a 〈H ; •, ◦〉 gy¶r¶ nulleleme, tetsz®legesh ∈ H-ra 0 ◦ h = h ◦ 0 = 0.

− A 〈H ; •, ◦〉 gy¶r¶ test , ha 〈H ′; ◦〉 csoport, ahol H ′ H-nak a null-elemt®l különböz® elemeit tartalmazza. Ez a csoport a test mul-tiplikatív csoportja. A multiplikatív csoport neutrális elemét atest egységelemének nevezzük. A test kommutatív , ha a multip-likatív csoportja kommutatív.

13

Ha két halmaz között van bijekció, akkor a két halmazt mennyisé-gileg egybevágónak � ekvivalensnek � tekintjük. Ez a viszony re�exív,szimmetrikus és tranzitív.Minden halmazhoz egyértelm¶en úgy rendelünk egy ún. számossá-

got, hogy az egymással mennyiségileg egybevágó halmazokhoz ugyanaz,az egymással mennyiségileg nem egybevágó halmazokhoz pedig kü-lönböz® számosság tartozzon.(Egy ilyen hozzárendelés nem függvény, hisz egy függvény értel-

mezési tartománya halmaz. Az ilyen hozzárendelést operációnak ne-vezzük. Megjegyezzük, hogy a számosságoperáció létezik ugyan, delétezése nem nyilvánvaló, hanem bizonyításra szorul.)


Tetsz®leges n ∈ N0 természetes számra jelölje n a {0, 1, . . . , n−1}halmazt (n = 0 esetén 0 legyen ∅). n elemeinek száma n.

− AH halmaz véges és számossága n, ha van olyan n ∈ N0, melyren és H mennyiségileg egybevágó. Ha n és m különböz® termé-szetes számok, n és m mennyiségileg nem egybevágóak.

−N0 egyetlen n ∈ N0-ra sem egybevágó mennyiségileg az n hal-mazzal, tehát N0 nem véges, azaz végtelen. Ha egy H halmazmennyiségileg egybevágó N0-lal, akkor H-t megszámlálhatóanvégtelen számosságúnak mondjuk és ezt ℵ0-lal jelöljük.

− Belátható az is, hogy P(N0) végtelen, de mennyiségileg nem egy-bevágó N0-lal. A P(N0)-lal mennyiségileg egybevágó halmazoknem megszámlálhatóak, azt mondjuk, hogy kontinuum számos-ságúak.

2. fejezet

Bevezetés

A hallgatóság által már el®zetesen használt formális nyelvek:

• programozási nyelvek,

• a matematikai logika nyelve,

• stb.A formális nyelvek elmélete módszereket ad

• formális nyelvek de�niálására,

• a formális elemek nyelvhez való tartozásának eldöntésére,

• a nyelvi elemek struktúrájának felismerésére.15

16 2. Bevezetés

Az el®adáson használt nyelvek

• a magyar nyelv mint természetes nyelv,

• a matematika nyelve: a matematika szimbólumaival kevert ter-mészetes nyelv,

• az el®adáson példaként szerepl® formális nyelvek.

A szimbólum fogalmát alapfogalomnak tekintjük, ezért formálisannem is de�niáljuk. A szimbólum lehet írott jel, egy anyag mágnese-zettségi foka, egy jelzés vagy állapot megléte, ill. hiánya stb.

3. fejezet

Ábécé, szó, formális nyelv

3.1. definíció.•Ábécé: szimbólumok (bet¶k) tetsz®leges véges, nemüres hal-maza. Az ábécét alkotó szimbólumokról feltesszük, hogy külön-böznek egymástól külön-külön is, csoportosítva is.

• Legyen V egy ábécé. V feletti szó: V -beli szimbólumok végessorozata. Az ábécé szimbólumaiból álló a1, a2, . . . , an (n ≥ 1)sorozat mint szó jelölése: a1a2 . . . an. Az üres sorozatot üresszónak nevezzük és λ-val jelöljük.

• V feletti nyelv: V feletti szavak tetsz®leges halmaza. A V felettiösszes szót tartalmazó nyelv a teljes nyelv, ezt V ∗-gal jelöljük.

17

18 3. Ábécé, szó, formális nyelv

3.2. definíció. Egy v ∈ V ∗ szó hosszán a szót alkotó V -beliszimbólumok számát értjük, és ezt `(v)-vel jelöljük.

Jelölje v az a1 . . . an és w a b1 . . . bm V ∗-beli szavakat. Ekkor `(v) =n és `(w) = m.

3.3. definíció. A v és w szavak azonosak, azaz v = w, ha `(v) =`(w) és minden i = 1, . . . , `(v) esetén ai = bi.

3.4. definíció. A v és w szavak konkatenációja az

a1 . . . anb1 . . . bm

V ∗-beli szó. Jele: vw.

3.5. tétel. V ∗ a konkatenációval (mint kétváltozós m¶velettel) egység-elemes félcsoportot alkot.

Bizonyítás vázlat. A konkatenáció asszociatív, mert (uv)w =u(vw) és λ egységelem, mert λv = vλ = v minden u, v, w ∈ V ∗

esetén.

19

3.6. definíció. De�niáljuk szavak hatványát. Legyen v0 λ ésminden n ≥ 1 esetén vn vn−1v.

3.7. definíció. A v szó a w szó részszava, ha vannak olyan x, y ∈V ∗ szavak, hogy w = xvy és valódi részszava, ha még xy 6= λ ésv 6= λ is. A w szó v részszava kezd®szelete w-nek, ha x = λ, ésvalódi kezd®szelete, ha x = λ, v 6= λ és y 6= λ.

3.8. definíció. Egy v = a1a2 . . . an−1an szó tükörképén az

anan−1 . . . a2a1

szót értjük, és v−1-gyel jelöljük.

3.9. tétel. Tetsz®leges v ∈ V ∗ szóra és n ≥ 0 esetén

(v−1)−1 = v és (vn)−1 = (v−1)n.


3.10. példa.

• V1 = {a, b, c} egy ábécé,aabab egy szó, melynek hossza 5, azaz `(aabab) = 5,az aba szó pedig egyik részszava.A V1 ábécé feletti teljes nyelv:

V ∗1 = {λ, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc, aaa, . . .},egy további nyelv:

LV1 = {λ, abc, aabbcc, aaabbbccc, . . .} = {anbncn | n ≥ 0}.

• V2 = {0, 1} egy másik ábécé, mely feletti nyelvek példáula kettes számrendszerben felírt páratlan számok nyelve:

LV21 = {1, 1v1 | v ∈ V ∗2 },

vagy az egy bájton leírható szavak halmaza

LV22 = {v | v ∈ V ∗2 és `(v) = 8}

21

.

• A V3 = {if, then, else, for, do, a, b, c} ábécé feletti szó:

if b then a else c

Ennek a szónak a hossza 6.

• Bármilyen ábécé felett nyelv

� az egyetlen szót sem tartalmazó üres nyelv (üres halmaz)

� és az egyetlen szót, épp az üres szót tartalmazó nyelv, a {λ}nyelv.

A félév során olyan nyelvekkel foglalkozunk, amelyek megadhatókvégesen speci�kálható eszközökkel: generatív nyelvtanokkal éskülönböz® típusú automatákkal.


3.11. definíció. Legyen V1 és V2 két tetsz®leges, nem feltétlenülkülönböz® ábécé. A V ∗1 -ot V

∗2 -ra képez® függvényeket szófüggvé-

nyeknek nevezzük. Egy f : V ∗1 → V ∗2 szófüggvény

• hossztartó, ha `(f (v)) = `(v) minden v ∈ V ∗1 esetén;• kezd®szelettartó, ha f (uv) = f (u)w minden u, v ∈ V ∗1 eseténvalamilyen w ∈ V ∗2 -re.

3.12. példa.

• A szavak tükörképét el®állító szótükröz® szófüggvény hossztartó:

tükörkép(v) v−1.

• A fej szófüggvény kezd®szelettartó:

fej(v)

{λ, ha v = λ,v els® bet¶je egyébként.

• A törzs szófüggvény kezd®szelettartó: törzs(v) az a szó, melyre av = fej(v)törzs(v) egyenl®ség teljesül.

23

Elemi szóm¶veletek azok a szófüggvények, amelyek a jellegzetesgépelési hibákat korrigálják:

• egy bet¶ beszúrása a szóba, adott helyre;

• egy adott helyen lév® bet¶ törlése a szóból;

• egy adott helyen lév® bet¶ másikra való kicserélése;

• adott helyen lév® két szomszédos bet¶ felcserélése.

Két szó távolságán azon elemi szóm¶veletek minimális számát ért-jük, amelyek alkalmazásával az egyik szóból el®áll a másik.Mi csak az els® két elemi szóm¶velettel foglalkozunk. Jelölje av = a1a2 . . . an és a w = b1b2 . . . bm szavak távolságát d(n,m):

d(i, j)

i + j, ha i = 0 vagy j = 0,d(i− 1, j − 1), ha ai = bj,min {d(i− 1, j), d(i, j − 1)} + 1, egyébként.

4. fejezet

M¶veletek nyelvekkel

4.1. Boole-m¶veletek

4.1. definíció. Tesz®leges L1, L2 ⊆ V ∗ nyelvek esetén értelmez-het® a nyelvek (mint halmazok)

• uniója: (L1 ∪ L2) {v | v ∈ L1 vagy v ∈ L2}•metszete: (L1 ∩ L2) {v | v ∈ L1 és v ∈ L2}• különbsége: (L1 \ L2) {v | v ∈ L1 de v 6∈ L2}• komplementere: L1 {v | v ∈ V ∗ de v 6∈ L1}Ezeket a m¶veleteket Boole-m¶veleteknek nevezzük.

24

4.2. Reguláris m¶veletek 25

4.2. Reguláris m¶veletek

4.2. definíció. Nyelvek között az alábbi ún. reguláris m¶vele-teket is de�niálhatjuk:

• összedás: (L1 + L2) L1 ∪ L2• szorzás: (L1L2) {vw | v ∈ L1 és w ∈ L2}• iteráció: L∗ {λ} + L + (LL) + (LLL) + . . .

4.3. megjegyzés. Tetsz®leges V ábécé esetén V egyúttal nyelv és

V ∗ = {λ} + V + (V V ) + (V V V ) + . . . .

Tehát a V ∗ jelölés konzekvens.

26 4. M¶veletek nyelvekkel

4.4. tétel. A V feletti nyelvek halmazán értelmezett

• összeadás: kommutatív és asszociatív, zéruselem az üres nyelv,

• szorzás: asszociatív, egységelem a {λ} nyelv.A két m¶velet együtt disztributív.

Vizsgálni fogjuk bizonyos nyelvosztályok m¶veletekre vonatkozózártsági tulajdonságait.

4.5. definíció. A L nyelvosztály zárt egy nyelveken értelmezhet®m¶veletre nézve, ha valahányszor L-beli nyelveken végezzük el am¶veletet, mindannyiszor L-beli nyelvet kapunk eredményül.

4.3. Reguláris kifejezések 27

4.3. Reguláris kifejezések

4.6. definíció. A V ábécé feletti reguláris kifejezések azon és csakazon szavai a (V ∪ {∅, (, ),+,∗ })∗ nyelvnek, melyeket a következ®szabályok véges sokszori alkalmazásával állíthatunk el®:

• ∅ reguláris kifejezés.•Minden a ∈ V reguláris kifejezés.

• Ha R1 és R2 reguláris kifejezések, akkor (R1 + R2), (R1R2) ésR∗1 is reguláris kifejezések.

4.7. példa. A V = {a, b} ábécé feletti reguláris kifejezések:

∅∗, (a + b)∗, ((ab)a∗).


4.8. definíció. Legyen R egy V ábécé feletti reguláris kifejezés.Az R által reprezentált LR nyelv a következ®:

• Ha R = ∅ (mint szimbólum), akkor LR = ∅ (mint nyelv).

• Ha R = a, akkor LR = {a}.• Ha R = (R1 +R2), akkor LR = LR1

+ LR2.

• Ha R = (R1R2), akkor LR = LR1LR2

.

• Ha R = R∗1, akkor LR = L∗R1.

Egy L ⊆ V ∗ nyelv reguláris nyelv, ha van olyan V feletti reguláriskifejezés, mely reprezentálja.


4.9. példa. A fenti reguláris kifejezések az alábbi reguláris nyelve-ket határozzák meg:

• L∅∗ = L∗∅ = {λ} + ∅ + (∅∅) + . . . = {λ}• L(a+b)∗ = L∗

(a+b)= (La + Lb)

∗ = {a, b}∗ == {λ, a, b, aa, ab, ba, bb, . . .}• L((ab)a∗) = L(ab)La∗ = (LaLb)L

∗a =

= {ab}{λ, a, aa, aaa, . . .} = {ab, aba, abaa, abaaa, . . .}


4.10. tétel. A reguláris nyelvek osztálya zárt a reguláris m¶vele-tekre nézve.

Bizonyítás. Legyenek L1, L2 reguláris nyelvek, azaz vannak olyanR1 és R2 reguláris kifejezések, melyekre LR1

= L1 és LR2= L2.

Ekkor a 4.6. de�níció szerint (R1 + R2), (R1R2) és R∗1 is regu-láris kifejezések. Továbbá a 4.8 de�níció értelmében L(R1+R2)

=

L1+L2, L(R1R2)= L1L2 és LR∗1

= L∗1. Tehát az (L1+L2), (L1L2)és az L∗1 nyelvek is reprezentálhatók reguláris kifejezéssel, ezért re-gulárisak.


4.11. tétel.Minden véges nyelv reguláris.

Bizonyítás. Legyen V egy ábécé és L ⊆ V ∗ egy véges nyelv.

• Ha L = ∅, akkor L reguláris, hisz az ∅ reguláris kifejezés repre-zentálja.

• Ha L = {λ}, akkor is reguláris L, az ∅∗ reguláris kifejezés repre-zentálja.

• Ha L = {a1a2 . . . an}, mivel az {ai} minden 1 ≤ i ≤ n-rereguláris nyelv (ai reprezentálja), és L ezek szorzata, a zártságmiatt L is reguláris.

• Ha L = {v1, v2, . . . , vm}, mivel L = {v1} + {v2} + . . . + {vm},és minden 1 ≤ j ≤ m-re {vj} reguláris nyelv, a zártság miattösszegük, azaz L is az.

5. fejezet

Formális rendszerek

5.1. definíció. Az F = 〈V,H〉 pár egy formális rendszer, ahol

• V egy ábécé,

•H ⊂ V ∗×V ∗ nem üres, véges halmaz, helyettesítési szabályokhalmaza.

H tulajdonképpen egy V ∗ feletti binér reláció:az (x, y) ∈ H helyettesítési szabály szokásos jelölése x→ y, és úgyolvassuk, hogy az x szó helyettesíthet® az y szóval.

32

33

5.2. definíció. Az F = 〈V,H〉 formális rendszerben a v ∈ V ∗

szóból közvetlenül levezethet® a w ∈ V ∗ szó, ha vannak olyanu1, u2 ∈ V ∗ szavak és van olyan x→ y ∈ H , hogy

v = u1xu2 és w = u1yu2.

Ezt a tényt v ⇒ w-vel jelöljük.

5.3. definíció. Az F = 〈V,H〉 formális rendszerben a v ∈ V ∗

szóból levezethet® a w ∈ V ∗ szó, ha vagy v = w, vagy van olyanu0, u1, . . . , un ∈ V ∗ szósorozat (n ≥ 1), hogy

u0 = v, un = w, és ui⇒ ui+1 minden 0 ≤ i ≤ n− 1 esetén.

Jelölése: v ⇒∗ wSzóproblémának nevezzük azt a kérdést, hogy egy adott F for-

mális rendszerben egy adott v szóból levezethet®-e vagy sem egyadott w szó. A szóprobléma algoritmikusan nem eldönthet® prob-léma.

34 5. Formális rendszerek

5.4. példa. Az

〈{a, b, c, d}, {ba→ ab, caa→ ca, bbc→ bc, c→ ccc, λ→ d}〉formális rendszerben fennállnak az

• abc⇒∗ abc• bbabcab⇒∗ abcabrelációk, de nem igaz, hogy abcab ⇒∗ bbabcab. A fenti formálisrendszer néhány tulajdonsága:

• A c és d bet¶ket nem tartalmazó részszavak az els® szabály alkal-mazásával (bet¶k szerint) rendezhet®k.

• A c bet¶t közvetlen követ® a-k, illetve a c bet¶t közvetlen meg-el®z® b-k egy kivételével eltüntethet®k.

• A c-k száma kettesével növelhet®.

• Bárhová írható d.

35

5.5. feladat. Legyen V = {a, b} egy ábécé. Adjunk meg helyet-tesítési szabályoknak olyan rendszerét, amely mellett

• tetsz®leges v ∈ V ∗-b®l tetsz®leges w ∈ V ∗ levezethet®;• v ⇒∗ w pontosan akkor, ha `(v) = `(w).


5.1. A generatív rendszer

5.6. definíció. AW = 〈V,A,H〉 hármast generatív rendszerneknevezzük, ahol

• 〈V,H〉 egy formális rendszer,

• A ⊂ V ∗ véges halmaz, axiómák halmaza.

W-hez hozzárendelünk egy V feletti nyelvet, az ún. W által gene-rált nyelvet:

LW {w ∈ V ∗ | van olyan v ∈ A, hogy v ⇒∗ w}5.7. példa. Az 〈{a, b}, {λ, a, b, ab}, {a → aa, b → bb}〉generatív rendszer az {anbm | n,m ≥ 0} nyelvet generálja.5.8. feladat. Adjuk meg, melyik nyelvet generálja az

〈{a, +, ·, (, )}, {a}, {a→ a + a, a→ a · a, a→ (a)}〉generatív rendszer.

5.1. A generatív rendszer 37

5.9. példa. Legyen adva a V = {a, b} ábécé feletti {anbn | n ≥ 0}nyelv. Célunk meghatározni, melyik generatív rendszer generál-hatná:

〈V, {λ, ab}, {ab→ aabb}〉

5.10. feladat. Adjuk meg, melyik generatív rendszerrel generál-ható az V = {a, b, c} ábécé feletti

{v ∈ V ∗ | v egyenl® számú a-t b-t és c-t tartalmaz}nyelv.

5.11. megjegyzés. A generatív rendszer kifejez®ereje gyakran nemelegend®. Például az olyan egyszer¶ nyelvet, mint az

{v ∈ {a, b}∗ | v = tükörkép(v)},sem lehet megadni generatív nyelvtannal.


5.2. A Markov-algoritmus

5.12. definíció. AMarkov-algoritmus egy olyanM = 〈V,H,Z〉hármas, ahol

• 〈V,H〉 egy formális rendszer,

•H = {x1→ y1, . . . , xm→ ym} a felsorolás szerint rendezett, és

• Z ⊆ H pedig az ún. záróhelyettesítések halmaza.

5.13. definíció. Az M Markov-algoritmus alkalmazható a v ∈V ∗ szóra, ha van olyan helyettesítési szabály, amelynek a bal oldalarészszava v-nek.

5.2. A Markov-algoritmus 39

5.14. definíció. LegyenM alkalmazható a v szóra, továbbá legyenxi → yi a rendezés szerinti els® olyan helyettesítési szabály, amely-nek a bal oldala részszava v-nek. Válasszuk az u1 részszót úgy, hogyv = u1xiu2, de xi az u1xi szóban csak egyszer forduljon el®. A vszóra M alkalmazásának eredménye a w = u1yiu2 szó. Jelölése:ha xi→ yi ∈ Z, akkor v ⇒ .w, egyébként v ⇒ w.

5.15. definíció. Az M = 〈V,H,Z〉 Markov-féle algoritmusban av ∈ V ∗ szóból levezethet® a w ∈ V ∗ szó, ha• vagy v = w,

• vagy van olyan u0, u1, . . . , un ∈ V ∗ szósorozat (n ≥ 1), hogy

� u0 = v, un = w, és ui⇒ ui+1 minden 0 ≤ i ≤ n−2 esetén,� továbbá vagy un−1 ⇒ .un, vagy un−1 ⇒ un és un-re M nemalkalmazható.

Jelölése: v ⇒∗ w.


5.16. példa.

• A 〈{a, b, c}, {ba→ ab, ca→ ac, cb→ bc}, {}〉Markov-algoritmusa v ∈ {a, b, c}∗ szavakban rendezi a bet¶ket.

• A 〈{a, b, ′}, {a → λ, ′b → bb′, ′ → λ, b → ′b}, {′ → λ}〉Markov-algoritmus a v ∈ {a, b}∗ szavakból törli az a-kat és dup-lázza a b-ket.

6. fejezet

Generatív nyelvtanok

6.1. A generatív nyelvtan és az általa generált nyelv

6.1. definíció.Generatív nyelvtannak egy 〈Vn, Vt, S,H〉 né-gyest nevezünk, ahol

• Vn egy ábécé, a nemterminális bet¶k ábécéje,

• Vt egy ábécé, a terminális bet¶k ábécéje, amire Vn ∩ Vt = ∅,• S ∈ Vn a kezd® szimbólum,

•H pedig olyan α → β helyettesítési szabályok véges halmaza,melyekben α, β ∈ (Vn∪ Vt)∗, és az α-ban van legalább egy nem-terminális bet¶.

41

42 6. Generatív nyelvtanok

6.2. megjegyzés. Tehát ha V = Vn ∪ Vt, akkorH ⊂ (V ∗ \ V ∗t )× V ∗.

6.3. példa. Az

〈{S,A}, {a, b}, S, {S → aAb, aA→ aaAb, A→ λ}〉négyes egy generatív nyelvtan.

6.4. definíció. LegyenG = 〈Vn, Vt, S,H〉 egy generatív nyelvtan.G-hez hozzárendelünk egy Vt feletti LG nyelvet az ún. G nyelvtanáltal generált nyelvet:

LG = {v ∈ V ∗t | S ⇒∗ v}.6.5. példa. Az 6.3. példabeli nyelvtan esetén érvényes az

S ⇒ aAb⇒ aaAbb⇒ aaaAbbb⇒ aaabbb

levezetés. Könny¶ belátni, hogy e nyelvtan által generált nyelv az

{anbn | n ≥ 1}.

6.1. A generatív nyelvtan és az általa generált nyelv 43

6.6. definíció. Két generatív nyelvtan ekvivalens, ha ugyanazta nyelvet generálják.

6.7. példa. Az 6.3. generatív nyelvtan és a

〈{S}, {a, b}, S, {S → aSb, S → ab}〉generatív nyelvtan is az

{anbn | n ≥ 1}nyelvet generálják, tehát a két generatív nyelvtan ekvivalens egy-mással.

Általános esetben a következ® jelölések lesznek érvényben:

• az a, b, c, d szimbólumok Vt bet¶i,

• az u, v, w, x, y, z szimbólumok V ∗t szavai,

• az A,B,C, . . . , S szimbólumok Vn bet¶i,

• az α, β, γ, δ szimbólumok (Vt ∪ Vn)∗ szavai.


6.2. A generatív nyelvtanok alkalmazása a programozásban

A programozási nyelvek esetén alapvet® fontosságú, hogy

• a programozó tudja, milyen formai szabályokat kell betartani aprogram írásakor, és hogy

• a fordítóprogram ellen®rizni tudja, betartotta-e a programozó eze-ket a szabályokat.

Most egy olyan generatív nyelvtant adunk meg, ami egy egyszer¶programozási nyelv programjait (szavait) generálja. Tehát ha en-nek a grammatikának a helyettesítési szabályait �gyelembe vesszükegy szó leírásakor, az a programozási nyelvünkben egy program lesz,és a fordítóprogram lefordítja. Ha hibázunk a helyettesítési szabá-lyok alkalmazása során, az eredmény nem program, amit a fordítófelismer.

6.2. A generatív nyelvtanok alkalmazása a programozásban 45

A programozási nyelvünket (Pro) megadó generatív nyelvtan legyena következ®:

Vn { 〈program〉, 〈 utasításlista〉, 〈 utasítás〉,〈értékadó〉, 〈 feltételes〉, 〈 ciklus〉, 〈 blokk〉,〈reláció〉, 〈kifejezés〉, 〈tag〉,〈relációjel〉, 〈m¶veleti jel〉,〈változó〉, 〈 konstans〉 }

Vt { ;, :=, if, then, else, while, do, begin, end,

<,>,=,+, ∗, x, y, z, 0, 1 }

S 〈program〉


H {〈program〉 → 〈utasításlista〉〈utasításlista〉 → 〈utasítás〉 | 〈utasítás〉 ; 〈utasításlista〉〈utasítás〉 → 〈értékadó〉 | 〈feltételes〉 | 〈ciklus〉 | 〈blokk〉〈értékadó〉 → 〈változó〉 := 〈kifejezés〉〈feltételes〉 → if 〈reláció〉 then 〈utasítás〉 else 〈utasítás〉〈ciklus〉 → while 〈reláció〉 do 〈utasítás〉〈blokk〉 → begin 〈utasításlista〉 end

〈reláció〉 → 〈kifejezés〉〈relációjel 〉〈kifejezés〉〈kifejezés〉 → 〈tag〉 | ( 〈kifejezés〉〈m¶veleti jel〉〈kifejezés〉 )〈tag〉 → 〈változó〉 | 〈konstans〉〈relációjel〉 → < |> |=〈m¶veleti jel〉 → + | ∗〈változó〉 → x | y | z〈konstans〉 → 0 | 1}

6.2. A generatív nyelvtanok alkalmazása a programozásban 47

• A generatív nyelvtan által generált Pro programra példa:

x := 0;z := 1;while x < z do

begin x := ((x + 1) + 1);z := (z ∗ x);

end

• Az alábbi jelsorozatok viszont nem programok Pro-ban:

x := 0;z := 〈konstans〉;while x < z do

begin x := ((x + 1) + 1);z := (z ∗ x);

end


x := 0z := 1;while x < z do

begin x := ((x + 1) + 1);z := (z ∗ x);

end

x := 0;z := 1;while x := z do

begin x := ((x + 1) + 1);z := (z ∗ x);

end

A megírt szöveg ugyanis pontosan akkor Pro program, ha levezet-het® a 〈program〉 nemterninálisból a H helyettesítési szabályok al-kalmazásával, és már csupa terminális szimbólumot tartalmaz.

6.3. A Chomsky-féle nyelvosztályok 49

6.3. A Chomsky-féle nyelvosztályok

Chomsky a generatív nyelvtanok helyettesítési szabályaira vonatkozókülönböz® megszorítások alapján négy nyelvtantípust de�niált.

6.8. definíció. A G = 〈Vn, Vt, S,H〉 generatív nyelvtan

• 0 típusú (mondatszerkezet¶), ha nincs megszorításunk.

• 1 típusú (környezetfügg®), ha H minden eleme αAβ → αγβalakú, ahol A ∈ Vn, α, β, γ ∈ (Vn ∪ Vt)∗ és γ 6= λ. Ez alól csakaz S → λ alakú szabály lehet a kivétel, ekkor azonban S nemszerepelhet egyetlen helyettesítési szabály jobb oldalában sem.

• 2 típusú (környezetfüggetlen), ha H minden eleme A → αalakú, ahol A ∈ Vn, α ∈ (Vn ∪ Vt)∗.• 3 típusú (jobblineáris), ha H minden eleme A→ x vagy A→xB alakú, ahol A,B ∈ Vn, x ∈ V ∗t .


6.9. példa. • Az 6.3. példában a generatív nyelvtan 0 típusú.

• 1 típusú vagy környezetfügg® nyelvtan:〈{S,A,B,C}, {a, b, c}, S, {S → aSAC, S → abC,CA→ BA,BA→ BC,BC → AC, bA→ bb, C → c}〉• A Pro nyelvet generáló nyelvtan 2 típusú vagy környezetfüggetlen.

• 3 típusú vagy jobblineáris nyelvtan:〈{S}, {0, 1}, S, {S → 0, S → 1, S → 0S, S → 1S}〉

6.10. megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy

• minden nyelvtan 0 típusú is,

• minden 3 típusú nyelvtan egyben 2 típusú is,

• de a 2 és 3 típusú nyelvtanok nem mind 1 típusúak, hisz az el®b-biekben az A → λ alakú szabályok el®fordulhatnak, míg az 1típusú nyelvtanokban csak a speciális S → λ esetben.


6.11. tétel. (Üresszólemma)Minden 2 típusú (környezetfüg-getlen) nyelvtanhoz megadható vele ekvivalens 1 típusú (környezet-függ®) nyelvtan.

Bizonyítás vázlat. Legyen G = 〈Vn, Vt, S,H〉 egy környezet-független nyelvtan. Ekvivalens átalakítások sorozatával el fogunkjutni egy G′′′ környezetfügg® nyelvtanhoz. Legyen V = Vn ∪ Vt.

• Vezessünk be egy új S′ nemterminális bet¶t, egy új S′ → Sszabályt, és legyen S helyett S′ az új kezd® bet¶. A G′ = 〈Vn ∪{S′}, Vt, S′, H ∪ {S′→ S}〉 ekvivalens G-vel.

• Ha A → αBβ,B → λ, de A 6→ αβ (A,B ∈ Vn, α, β ∈ V ∗),akkor b®vítsük a szabályok halmazát az A → αβ szabállyal.Az átalakítás ekvivalens nyelvtanhoz vezet. Véges sok ilyen lépésután már nem lehet tovább b®víteni, így eljutunk egy olyan G′′ =〈Vn∪{S′}, Vt, S′, H ′′〉 környezetfüggetlen nyelvtanhoz, amely az


eredetivel ekvivalens, S′ csak az S′→ S szabályban fordul el®, ésha A → αBβ,B → λ (A,B ∈ Vn, α, β ∈ V ∗), akkor A → αβis teljesül.

• Hagyjuk el H ′′-b®l a B → λ alakú szabályokat, ahol B ∈ Vn,de B 6= S′. A generált nyelv ezzel az átalakítással sem változott.G′′′ viszont már nemcsak 2, hanem 1 típusú is.

6.12. definíció. Egy a V ábécé feletti L nyelv i típusú, ha vanolyan i típusú G = 〈Vn, V, S,H〉 generatív nyelvtan, ami éppen azL nyelvet generálja.

6.13. megjegyzés. Az i típusú nyelvek osztályát jelölje Li. A be-vezetett nyelvosztályokat Chomsky-féle nyelvosztályoknak ne-vezzük. Bizonyítható, hogy a

L3 ⊂ L2 ⊂ L1 ⊂ L0tartalmazások érvényesek. Ez a Chomsky-féle nyelvhierarchia.


6.14. definíció. Egy A → B (A,B ∈ Vn) alakú helyettesítésiszabályt átnevezésnek nevezünk.

6.15. lemma.Minden i típusú nyelvtanhoz megadható vele ekvi-valens átnevezéseket nem tartalmazó i típusú nyelvtan.

Bizonyítás vázlat. Legyen G = 〈Vn, Vt, S,H〉. Ekvivalens át-alakításokkal eljutunk egyG′′′ = 〈Vn, Vt, S,H ′′′〉 átnevezéseket nemtartalmazó ugyanolyan típusú nyelvtanhoz.

• Ha az A → B ∈ H és B → C ∈ H (A,B,C ∈ Vn), akkorvegyük fel a helyettesítési szabályok közé azA→ C átnevezéseketis, mindaddig, amíg H b®víthet®.

• HaA→ B ∈ H ′ ésB → α ∈ H (A,B ∈ Vn, de α 6∈ Vn), akkorvegyük fel a helyettesítési szabályok közé az A→ α szabályokat.

• Legyen H ′′′ azon H ′′-beli szabályok halmaza, melyek nem átne-vezések. A nyelvtan típusa és a generált nyelv nem változott.

7. fejezet

Reguláris nyelvek

7.1. A determinisztikus véges automata mint felismer®

7.1. definíció. Az A = 〈Q, V, δ, q0, Qv〉 rendezett ötöst deter-minisztikus véges automatának nevezzük, ahol

• Q 6= ∅ véges halmaz, elemei az ún. bels® állapotok,

• V egy bemen® ábécé,

• δ : Q× V → Q az állapotátmenet-függvény,

• q0 ∈ Q a kezd®állapot,

• Qv ⊆ Q a végállapotok halmaza.

54

7.1. A determinisztikus véges automata mint felismer® 55

7.1. ábra. A véges automata mint felismer®

Egy A determinisztikus véges automata m¶ködését a következ®-képpen írhatjuk le:Legyen a1a2 . . . an ∈ V ∗ a bemen® szó.1. lépés: A q0 kezd®állapotban az automata beolvassa a bemen® szó

els® bet¶jét, aminek hatására a p1 = δ(q0, a1) állapotba kerül.

2. lépés: A p1 állapotban az automata beolvassa a bemen® szó kö-vetkez® bet¶jét, aminek hatására a p2 = δ(p1, a2) állapotba kerül.

...

n. lépés: A pn−1 állapotban az automata beolvassa a bemen® szóutolsó bet¶jét, aminek hatására a pn = δ(pn−1, an) állapotbakerül.Ha pn ∈ Qv, akkor az A automata felismerte (elfogadta) az

a1a2 . . . an bemen® szót, ha pedig pn 6∈ Qv, akkor az A nem is-

56 7. Reguláris nyelvek

merte fel (visszautasította) a bemen® szót.

7.2. példa. Tekintsük a 〈{q0, q1, q2}, {0, 1}, δ, q0, {q2}〉 automatát,melynek állapotátmenet-függvénye a következ®:

δ(q0, 0) = q0 δ(q0, 1) = q1δ(q1, 0) = q0 δ(q1, 1) = q2δ(q2, 0) = q0 δ(q2, 1) = q2

• A 011011 szóra az automata bels® állapotainak a

q0, q0, q1, q2, q0, q1, q2

sorozatát kapjuk. Az automata ezt a szót felismerte, hiszen q2végállapot.

• Az 1101 bemen® szóra az automata bels® állapotainak a

q0, q1, q2, q0, q1

sorozatát kapjuk. q1 nem végállapot, így az automata ezt a szótnem ismerte fel.


7.3. definíció. Legyen A = 〈Q, V, δ, q0, Qv〉 egy determinisztikusvéges automata. Az

LA = {v ∈ V ∗ | A felismerte v-t }V feletti nyelvet az A automata által felismert nyelvnek nevez-zük.

7.4. példa. A 7.2. példabeli automata által felismert nyelv:

L = {v11 | v ∈ {0, 1}∗}.

7.5. definíció. Két determinisztikus véges automata ekvivalens,ha ugyanazt a nyelvet ismerik fel.


7.6. definíció. Egy determinisztikus véges automata minimális,ha az állapotainak száma nem haladja meg egyetlen, vele ekvivalensdeterminisztikus véges automata állapotainak számát.

7.7. definíció. Egy determinisztikus véges automata p és q álla-pota ekvivalens egymással, ha tetsz®leges bemen® szóra

1. vagy mindkét állapotból végállapotba jutunk,

2. vagy egyik állapotból sem jutunk végállapotba.

Ha a két állapot nem ekvivalens egymással, akkor a két állapotmeg-különböztethet®.


Módszer determinisztikus véges automaták minimalizálására.

1. Jelöljük meg ∗-gal az összes olyan állapotpárt, melyben az egyikvégállapot, a másik pedig nem.

2. Minden jelöletlen állapotpárhoz rendeljünk egy üres listát.

3. Válasszunk egy jelöletlen állapotpárt. Minden bet¶re gy¶jtsükössze, hogy az állapotátmenet során milyen állapotpárokat nyer-nénk a pár állapotaiból. Ha a nyert állapotpárok között

(a) van ∗-gal jelölt, jelöljük meg ∗-gal a vizsgált jelöletlen párt éshozzá a listában tartozó párokat.

(b) nincs ∗-gal jelölt, akkor írjuk be a nyert állapotpárokhoz tar-tozó listákba a vizsgált állapotpárt (amikor pár állapotai kü-lönböz®ek).

4. Ha már nincs ki nem választott jelöletlen állapotpár, vonjuk összea jelöletlen (ekvivalens) állapotokat, egyébént folytassuk 3-mal.


7.2. A nemdeterminisztikus véges automata

7.8. definíció. Az A = 〈Q, V, δ, q0, Qv〉 rendezett ötöst nemde-terminisztikus véges automatának nevezzük, ahol

• Q 6= ∅ véges halmaz, elemei az ún. bels® állapotok,

• V egy bemen® ábécé,

• δ : Q× V → P(Q) az állapotátmenet-függvény,



7.2. A nemdeterminisztikus véges automata 61

Egy A nemdeterminisztikus véges automata m¶ködése:Legyen a1a2 . . . an ∈ V ∗ a bemen® szó.

1. lépés: A q0 kezd®állapotban az automata beolvassa a bemen® szóels® bet¶jét, aminek hatására a {p11, p12, . . . , p1k1} = δ(q0, a1)leheteséges állapotok valamelyikébe kerül. Legyen

Q1 = {p11, p12, . . . , p1k1}.

2. lépés: Ha a p1i ∈ Q1 állapotba került, az automata beolvassa abemen® szó következ® bet¶jét, aminek hatására aQ(i) = δ(p1i, a2)állapotok valamelyikébe kerül (1 ≤ i ≤ k1). Tehát az a2 beolva-sásának hatásásra az automata a

Q2 = Q(1) ∪Q(2) ∪ . . . ∪Q(k1)

állapotok egyikében van....


n. lépés: Az el®z® lépés eredményeképpen lehetséges valamely p ál-lapotban az automata beolvassa a bemen® szó utolsó bet¶jét,aminek hatására a δ(p, ak) állapotok valamelyikébe kerül. Ezenlehetséges állapotok halmaza legyen Qn.

Ha van olyan p ∈ Qv, hogy p ∈ Qn, akkor az A automata felis-merte (elfogadta) az a1a2 . . . an bemen® szót, egyébként az A nemismerte fel (visszautasította) a bemen® szót.


7.9. példa. Tekintsük a 〈{q0, q1}, {a, b}, δ, q0, {q1}〉 automatát, mely-nek állapotátmenet-függvénye a következ®:

δ(q0, a) = {q0} δ(q0, b) = {q0, q1}δ(q1, a) = {q0, q1} δ(q1, b) = ∅

• A aaa szót nem ismeri fel, mert az automata a szó beolvasásánakhatására a q0 állapotban marad.

• Az baba bemen® szót felismeri, mert az automata a {q0, q1} bels®állapotok valamelyikébe kerül.

7.10. definíció. LegyenA = 〈Q, V, δ, q0, Qv〉 egy nemdeterminisz-tikus véges automata. Az

LA = {v ∈ V ∗ | A felismerte v-t }

V feletti nyelvet az A automata által felismert nyelvnek nevez-zük.


7.11. tétel. A nemdeterminisztikus véges automatákkal felismer-het® nyelvek osztálya megegyezik a determinisztikus véges automa-tákkal felismerhet® nyelvek osztályával.

Bizonyítás vázlat. LegyenA = 〈Q, V, δ, q0, Qv〉 egy nemdeterminisz-tikus véges automata. Az A′ = 〈Q′, V, δ′, q′0, Q

′v〉 determinisztikus

véges automata, ahol

• Q′ = P(Q),• q′0 = {q0}• Q′v = {H ⊆ Q | H ∩Qv 6= ∅}• δ′ : Q′ × V → Q′ pedig tetsz®leges H ∈ Q′ és a ∈ V eseténδ′(H, a) =

⋃q∈H δ(q, a),

ugyanazt a nyelvet ismeri fel, amit A.


7.12. példa. A 7.9. pédabeli nemdeterminisztikus véges automatá-hoz konstruáljuk meg a megfelel® determinisztikus véges automatát.Legyenek

• Q′ = {∅, {q0}, {q1}, {q0, q1}},• q′0 = {q0},• Q′v = {{q1}, {q0, q1}}• és

δ′(∅, a) = ∅ δ(∅, b) = ∅δ({q0}, a) = {q0} δ({q0}, b) = {q0, q1}δ({q1}, a) = {q0, q1} δ({q1}, b) = ∅δ({q0, q1}, a) = {q0, q1} δ({q0, q1}, b) = {q0, q1}


7.3. A 3 típusú nyelvek osztályának jellemzése

Ebben a részben megmutatjuk, hogy tetsz®leges V ábécé esetén a Vfeletti

• 3 típusú nyelvek osztálya,

• véges automatával felismerhet® nyelvek osztálya,

• reguláris nyelvek osztálya

egymással megegyeznek.

7.13. lemma. Egy átnevezéseket nem tartalmazó 3 típusú nyelv-tanhoz megadható vele ekvivalens olyan 3 típusú nyelvtan, melybenminden szabály A → aB vagy A → λ alakú, ahol A,B ∈ Vn ésa ∈ Vt.Bizonyítás vázlat. Legyen G = 〈Vn, Vt, S,H〉 egy átnevezése-ket nem tartalmazó 3 típusú nyelvtan. Konstruáljuk meg a G′ =

7.3. A 3 típusú nyelvek osztályának jellemzése 67

〈V ′n, Vt, S,H ′〉 3 típusú nyelvtant a következ®képpen:

•Minden H-beli A → a1a2 . . . anB helyettesítési szabályt, aholn > 1, a1, a2, . . . , an ∈ Vt, cseréljünk ki az

A→ a1A1, A1→ a2A2, . . . , An−1→ anB

szabályokra, ahol A1, A2, . . . , An−1 új nemterminális szimbólu-mok.

•Minden H-beli A→ a1a2 . . . an helyettesítési szabályt, ahol n >1, a1, a2, . . . , an ∈ Vt, cseréljünk ki az

A→ a1A1, A1→ a2A2, . . . , An−1→ anAn, An→ λ

szabályokra, ahol A1, A2, . . . , An új nemterminális szimbólumok.

Legyen továbbá V ′n a Vn és az el®bbi konstrukció során keletkezettúj nemterminálisok halmazának egyesítése.


7.14. tétel. Tetsz®leges 3 típusú nyelv felismerhet® nemdetermi-nisztikus véges automatával.

Bizonyítás vázlat. Ha L 3 típusú nyelv, akkor tudunk konst-ruálni olyan nemdeterminisztikus véges automatát, amely felismeriaz L nyelvet. Legyen L a G = 〈Vn, Vt, S,H〉 3 típusú nyelvtannalgenerálható. A 7.13. lemma értelmében feltehet®, hogy G mindenszabálya A → aB vagy A → λ alakú. Az A = 〈Vn, Vt, δ, S,Qv〉nemdeterminisztikus véges automata, ahol

• Qv = {A ∈ Vn | A→ λ ∈ H},• δ(A, a) = {B ∈ Vn | A→ aB ∈ H}.felismeri az L nyelvet.


Az általánosított véges automata gráfjának éleit reguláris kife-jezésekkel címkézzük meg. Egy ilyen gráfban minden út meghatározegy reguláris nyelvet reprezentáló reguláris kifejezést. Az általánosí-tott automata által felismert nyelv a kezd®állapotból induló, végál-lapotba vezet® utak által reprezentált nyelvek összege.Az általánosított automatákon ekvivalens átalakításokat hajha-

tunk végre, melyek csökkentik az élek számát, de nem módosítjáka felismert nyelvet. Elérhetjük, hogy a gráfnak egyetlen éle legyen,mely címkéje éppen az eredeti automata által felismert nyelvet rep-rezentáló reguláris kifejezés.


7.15. tétel. (Kleene tétele) Tetsz®leges determinisztikus vé-ges automatával felismerhet® nyelv reguláris.

Bizonyítás vázlat.Mivel a nyelv determinisztikus véges auto-matával felismerhet®, meg tudjuk adni ennek az automatának a gráf-ját.

• λ-átmenetek segítségével átalakítjuk az automatát úgy, hogy egyet-len, a kezd®állapottól különböz® végállapota legyen.

• Amíg a gráf több élt tartalmaz, ekvivalens átalakításokat hajtunkvégre.

A végül megkapott egyetlen él címkéje az eredeti automata által felis-mert nyelvet reprezentáló reguláris kifejezés. Tehát a nyelv reguláris.


7.16. tétel. Tetsz®leges reguláris nyelv generálható 3 típusú nyelv-tannal.

Bizonyítás vázlat. Legyen a reguláris nyelvet reprezentáló re-guláris kifejezés R. Ha

• R = ∅, akkor LR = ∅ generálható G = 〈{S}, V, S, ∅〉-vel.• R = a, akkor LR = {a} generálható a G = 〈{S}, V, S, {S →a}〉 nyelvtannal.• R = (R1 + R2), akkor LR = LR1

+ LR2. Tegyük fel, hogy az

LR1és LR2

reguláris nyelvek generálhatóak 3 típusú nyelvtannal,legyenek ezek G1 = 〈V1, V, S1, H1〉, G2 = 〈V2, V, S2, H2〉, aholV1 ∩ V2 = ∅. Legyen

G = 〈V1 ∪ V2 ∪ {S}, V, S,H1 ∪H2 ∪ {S → S1, S → S2}〉.

Ekkor nyilvánvaló, hogy G is 3 típusú nyelvtan és LG = LR.


• R = (R1R2), akkor LR = LR1LR2

. Tegyük fel, hogy az LR1és LR2

reguláris nyelvek generálhatóak 3 típusú nyelvtannal, le-gyenek ezek G1 = 〈V1, V, S1, H1〉, G2 = 〈V2, V, S2, H2〉, aholV1 ∩ V2 = ∅. Legyen most

G = 〈V1 ∪ V2, V, S1, H〉,ahol H a legsz¶kebb olyan szabályhalmaz, melyre

� ha A→ xB ∈ H1, akkor A→ xB ∈ H ,

� ha A→ x ∈ H1, akkor A→ xS2 ∈ H ,

�H2 minden eleme H-nak is eleme.



• R = (R∗1), akkor LR = L∗R1. Tegyük fel, hogy az LR1

regu-láris nyelv generálható 3 típusú nyelvtannal, legyen ez G1 =〈V1, V, S1, H1〉. Legyen

G = 〈V1 ∪ {S}, V, S,H〉,ahol H a legsz¶kebb olyan szabályhalmaz, melyre

� S → S1, S → λ ∈ H ,

� ha A→ xB ∈ H1, akkor A→ xB ∈ H ,

� ha A→ x ∈ H1, akkor A→ xS ∈ H .



7.17. tétel. (Pumpálási lemma) Legyen L reguláris nyelv. Ek-kor megadható olyan n ≥ 1 természetes szám, hogy minden olyanx ∈ L, amely `(x) ≥ n felírható x = uvw alakban,

1. `(uv) ≤ n,

2. `(v) ≥ 1,

3. minden i = 0, 1, 2, . . . természetes számra az uviw ∈ L.

A lemma szükséges feltételt ad meg arra, hogy egy nyelv regulárislegyen.


7.18. következmény. Van olyan környezetfüggetlen nyelv, ame-lyik nem reguláris.

Bizonyítás vázlat. Tekintsük a

G = 〈{S}, {a, b}, S, {S → aSb, S → ab}〉környezetfüggetlen nyelvtant és az általa generált

LG = {ambm|m ≥ 1}nyelvet. Meg lehet mutatni, hogy a pumpálási lemmában megfo-galmazott szükséges feltételek nem teljesülnek LG-re, tehát a nyelvnem reguláris.Tegyük fel ugyanis, hogy teljesülnek ezek a feltételek, és n a megad-ható természetes szám. Legyen m = n. Ekkor `(anbn) = 2n ≥ n,így felírható uvw alakban, ahol `(uv) ≤ n, de `(v) ≥ 1. Ezértv = al alakú, ahol l ≥ 1. Tehát uviw 6∈ L, ha i 6= 1.


7.19. példa. Az {akba2k|k ≥ 0} nyelv nem reguláris.Tegyük fel ugyanis, hogy reguláris, ekkor a pumpálási lemmábanmegfogalmazott tulajdonságú a nyelv és legyen n a lemma szerintmegadható természetes szám. Legyen k = n. Ekkor `(anba2n) =3n+1 ≥ n, így felírható uvw alakban, ahol `(uv) ≤ n, de `(v) ≥ 1.Ezért v = al alakú, ahol l ≥ 1. Tehát uviw 6∈ L, ha i 6= 1, mert pl.a keletkez® szóban elöl n®tt az a-k száma, de hátul nem változott.

7.20. példa. Az {akblam|m > k + l} nyelv nem reguláris.Tegyük fel ugyanis, hogy reguláris, ekkor a pumpálási lemmábanmegfogalmazott tulajdonságú a nyelv és legyen n a lemma szerintmegadható természetes szám. Legyen k = l = n és m = 2n + 1.Ekkor `(anbna2n+1) = 4n+ 1 ≥ n, így felírható uvw alakban, ahol`(uv) ≤ n, de `(v) ≥ 1. Ezért v = al alakú, ahol l ≥ 1. Tehátuviw 6∈ L, ha i > 1, mert a keletkez® szóban hátul az a száma nemváltozik.

8. fejezet

Környezetfüggetlen nyelvek

8.1. Levezetési fák

8.1. definíció. LegyenG = 〈Vn, Vt, S,H〉 környezetfüggetlen nyelv-tan. G-beli levezetési fának nevezzük azokat a fagráfokat, melyek

• csúcsai Vn ∪ Vt ábácé bet¶i,

• gyökere az S kezd® szimbólum, és

• ha az A ∈ Vn csúcs gyermekei balról jobbra rendreX1, X2, . . . , Xk ∈ Vn ∪ Vt, akkor A→ X1X2 . . . Xk ∈ H .

A levezetési fa eredménye az a szó, amelyet úgy kapunk, hogy afa leveleit jelöl® bet¶ket balról jobbra haladva egymás mellé írjuk.

77

78 8. Környezetfüggetlen nyelvek

8.2. példa. Vizsgáljuk a

G = 〈{S,A}, {a, b, c,+, ·, (, )}, S,{S → S + S, S → A · A,A→ (S + S), S → a|b|c, A→ a|b|c}〉

környezetfüggetlen nyelvtant. Határozzuk meg a c + (a + b) · b szóG-beli levezetési fáját.

8.3. tétel. Legyen G = 〈Vn, Vt, S,H〉 környezetfüggetlen nyelv-tan. Tetsz®leges v ∈ Vt szóra S ⇒∗ v pontosan akkor, ha van olyanG-beli levezetési fa, melynek eredménye v.

8.1. Levezetési fák 79

8.4. tétel. (Bar-Hillel-lemma) Legyen L környezetfüggetlennyelv. Ekkor megadható olyan n ≥ 1 természetes szám, hogy min-den v ∈ L esetén, ha `(v) > n, akkor vannak olyan u, x, w, y, z ∈ Lszavak, melyekre az alábbi feltételek teljesülnek:

1. v = uxwyz,

2. `(xwy) ≤ n, `(w) ≥ 1, `(xy) ≥ 1, és

3. minden i = 0, 1, 2, . . . természetes számra az uxiwyiz ∈ L.

8.5. következmény. Van olyan környezetfügg® nyelv, amely nemkörnyezetfüggetlen.

Bizonyítás vázlat. Az L = {anbncn | n ≥ 1} nyelvet generáljaa 6.9. példában említett környezetfügg® nyelvtan. Be lehet látni a8.4. tétel alapján, hogy környezetfüggetlen nyelvtannal nem generál-ható.


8.2. Chomsky-féle normál alak

8.6. definíció. Egy környezetfüggetlen nyelvtan Chomsky-féle nor-mál alakú, ha minden szabálya

vagy A→ a, vagy A→ BC

alakú, ahol A,B,C ∈ Vn és a ∈ Vt.

8.7. tétel.Minden olyan környezetfüggetlen nyelvtanhoz, mely-ben a szabályok jobb oldalán nem fordul el® az üres szó, van veleekvivalens Chomsky-féle normál alakú nyelvtan.

Bizonyítás vázlat. Legyen 〈Vn, Vt, S,H〉 környezetfüggetlen nyelv-tan. Ekvivalens átalakításokkal eljutunk egy 〈V ′′n , Vt, S,H ′′′〉 Chomsky-féle normál alakú nyelvtan

• Küszöböjük ki az átnevezéseket (H ′).

8.2. Chomsky-féle normál alak 81

•Minden egyes ai ∈ Vt terminális szimbólumhoz, mely valamelyhelyettesítési szabály jobb oldalán nem egyedül szerepel, vezes-sünk be új Ai 6∈ Vn nemterminális szimbólumot, és legyen

V ′n = Vn ∪ {A1, . . . , Ak}.A H ′′-beli szabályokat úgy kapjuk a H ′-beliekb®l, hogy mindenH ′-beli szabályban ai helyére Ai-t írunk és felvesszük az Ai→ aiúj szabályokat minden 1 ≤ i ≤ k-ra.

• Az A→ B1B2 . . . Bm (m > 2) alakú szabályokat helyettesítsük

A → B1C1

C1 → B2C2...

Cm−2 → Bm−1Bm

szabályokkal H ′′′-ben, ahol V ′′n = V ′n ∪ {C1, . . . , Cm−2}.


8.8. példa. Adjuk meg az

〈{S,D} , {a, b, c} , S, {S → aSc|D,D → bD|b}〉nyelvtannal ekvivalens Chomsky-normálalakú nyelvtant:

• a három terminális miatt három új nemterminálist vezetünk be:

〈{S,A,B,C,D} , {a, b, c} , S,{S → ASC|D,D → BD|b, A→ a,B → b, C → c}〉

• a jobb oldalukon kett®nél több nemterminálist tartalmazó szabályok kiküszö-

bölése:

〈{S,A,B,C,D,E} , {a, b, c} , S,{S → AE|D,E → SC,D → BD|b, A→ a,B → b, C → c}〉

• az átnevezések kiküszöbölése:

U(D) = {S} nemterminálisok azon halmaza, melyekb®l levezethet® D

〈{S,A,B,C,D,E} , {a, b, c} , S,{S → AE|BD|b, E → SC,D → BD|b, A→ a,B → b, C → c}〉


8.9. példa. Adjuk meg az

〈{S,A} , {a, b} , S, {S → A,A→ AbA|a〉

nyelvtannal ekvivalens Chomsky-normálalakú nyelvtant:

• terminálisok helyett nemterminálisok:

〈{S,A,B} , {a, b} , S, {S → A,A→ ABA|a,B → b〉

• a jobb oldalukon kett®nél több nemterminálist tartalmazó szabályok kiküszö-

bölése:

〈{S,A,B,C} , {a, b} , S, {S → A,A→ AC|a, C → BA,B → b〉

• az átnevezések kiküszöbölése:

U(A) = {S} nemterminálisok azon halmaza, melyekb®l levezethet® A

〈{S,A,B,C} , {a, b} , S, {S → AC|a,A→ AC|a, C → BA,B → b〉


8.10. példa. Alakítsuk Chomsky-normálformára a helyettesítési szabályok alábbi

halmazát:

{S → AaA|CA|BaB,A→ aaBa|CDA|aa|DC,B → bB|bAB|bb|aS,C → Ca|bC|D,D → bD|λ}

• az üres szót tartamazó szabályok kiküszöbölése:

{A→ CA|C,C → λ,D → b} ⇒ {S → A,A→ DA|D|λ,C → a|b} ⇒{S → aA|Aa|a|C|λ,A→ CD} ⇒ {B → a}{S → AaA|CA|BaB|A|aA|Aa|a|C,A→ aaBa|CDA|aa|DC|CA|C|DA|D|CD,B → bB|bAB|bb|aS|a,C → Ca|bC|D|a|b,D → bD|b}• az átnevezések megszüntetése

{S → AaA|CA|BaB|aaBa|CDA|aa|DC|Ca|bC|bD|a|b|DA|CD|aA|Aa,A→ aaBa|CDA|aa|DC|CA|Ca|bC|bD|a|b|DA|CD,B → bB|bAB|bb|aS|a,C → Ca|bC|bD|a|b,D → bD|b}


• terminálisok helyett nemterminálisok:

{S → AXA|CA|BXB|XXBX|CDA|XX|DC|CX|Y C|Y D|a|b|DA|CD|XA|AX,A→ XXBX|CDA|XX|DC|CA|CX|Y C|Y D|a|b|DA|CD,B → Y B|Y AB|Y Y |XS|a,C → CX|Y C|Y D|a|b,D → Y D|b,X → a, Y → b}• csak két nemterminális a jobboldalon:

{S → AZ|CA|BU |VW |CP |XX|DC|CX|Y C|Y D|a|b|DA|CD|XA|AX,A→ VW |CP |XX|DC|CA|CX|Y C|Y D|a|b|DA|CD,B → Y B|Y AB|Y Y |XS|a,C → CX|Y C|Y D|a|b,D → Y D|b,X → a, Y → b, Z → XA,U →XB, V → XX,W → BX,P → DA}


8.3. A Cocke-Younger-Kasami algoritmus

Legyen a környezetfüggetlen nyelvtanunk Chomsky-féle normál alakú.Keressük egy adott bemen® szóhoz a levezetési fáját. Egy n hosszú-ságú bemen® szó esetén a levezetési fa lehetséges csúcsait tartalmazócellák olyan háromszög alakú alakzatba rendezhet®k,

• melynek alsó sora n cellát, és minden további sora eggyel kevesebbcellát tartamaz, mint az alatta lev®,

• az alsó sorában a cellák � a bemen® szó bet¶sorrendjében � azonnemterminális szimbólumokat tartalmazzák, melyek a bemen® szóegyes bet¶ivel a helyettesítési szabályok szerint helyettesíthet®k.

• minden további cellába azon helyettesítési szabályok bal oldalaikerülnek, melyek jobb oldalán álló két nemterminális szimbóluma cella alatti háromszög alakzat két különböz® szárán lev® �meg-felel®� két cellában rendre megtalálhatók.

8.3. A Cocke-Younger-Kasami algoritmus 87

Ha a legfels® sorban szerepl® egyetlen cellába bekerül az S kez-d®szimbólum, akkor a bemen® szó a nyelvtan által genereált nyelvszava, és az alakzatból leolvasható a szó minden levezetési fája.


8.4. Nemdeterminisztikus veremautomaták

8.11. definíció. Az A = 〈Q, V,W, δ, q0, z0, Qv〉 rendezett hetestnemdeterminisztikus veremautomatának nevezzük, ahol

• Q 6= ∅ véges halmaz, elemei állapotok,

• V a bemen® ábécé,

•W a veremábécé,

• δ : Q × (V ∪ {λ}) × W → P(Q × W ∗) az állapotátmenet-függvény,


• z0 ∈ W a kezd®jel a veremmemóriában,


8.4. Nemdeterminisztikus veremautomaták 89

8.12. definíció. Az A veremautomata pillanatnyi kon�guráció-ján értünk egy (q, x1x2 . . . xn, y1y2 . . . ym) hármast, ahol

• q ∈ Q a veremautomata pillanatnyi bels® állapota,

• x1x2 . . . xn ∈ V ∗ a bemen® szó még be nem olvasott része,

• y1y2 . . . ym ∈ W ∗ a veremmemória pillanatnyi tartalma.

8.13. definíció. AzA veremautomata (q, x1x2 . . . xn, y1y2 . . . ym)kon�gurációja átvihet®

• a (q′, x2 . . . xn, y1y2 . . . ym−1w) kon�gurációba, ha (q′, w) ∈ δ(q, x1, ym),• a (q′, x1x2 . . . xn, y1y2 . . . ym−1w) kon�gurációba, ha (q′, w) ∈δ(q, λ, ym).


8.14. definíció. Azt mondjuk, hogy az A veremautomata végál-lapottal felismer egy v ∈ V ∗ bemen® szót, ha van A-beli kon�gu-rációknak egy olyan véges sorozata, melynek

• els® eleme (q0, v, z0),

• utolsó eleme (q, λ, w), ahol q ∈ Qv, w ∈ W ∗, és• a sorozatban az utolsót kivéve minden kon�guráció átvihet® az ®tkövet®be.

8.15. definíció. Azt mondjuk, hogy az A veremautomata üresveremmel felismer egy v ∈ V ∗ bemen® szót, ha van A-beli kon�-gurációknak egy olyan véges sorozata, melynek

• els® eleme (q0, v, z0),

• utolsó eleme (q, λ, λ), ahol q tetsz®leges állapot, és

• a sorozatban az utolsót kivéve minden kon�guráció átvihet® az ®tkövet®be.


8.16. példa. Tekintsük a 〈{q0, q1, q2}, {a, b}, {0, 1}, δ, q0, 0, {q0}〉veremautomatát, melynek állapotátmenet-függvénye a következ®:

δ(q0, λ, 0) = {(q0, λ)} δ(q1, a, 1) = {(q1, 11)} δ(q2, b, 1) = {(q2, λ)}δ(q0, a, 0) = {(q1, 01)} δ(q1, b, 1) = {(q2, λ)} δ(q2, λ, 0) = {(q0, λ)}• Az aabb szóra a veremautomata kon�gurációinak a

(q0, aabb, 0), (q1, abb, 01), (q1, bb, 011), (q2, b, 01), (q2, λ, 0), (q0, λ, λ)

sorozatát kapjuk. A veremautomata ezt a szót végállapottal is,üres veremmel is felismerte.

• Az abaab bemen® szóra a veremautomata kon�gurációinak a

(q0, abaab, 0), (q1, baab, 01), (q2, aab, 0)

sorozatát kapjuk, így a veremautomata ezt a szót nem ismertefel.


8.17. definíció. AzA veremautomata által végállapottal felismertszavak halmazát az A által végállapotokkal felismert nyelvnek,az üres veremmel felismert szavak halmazát az A által üres verem-mel felismert nyelvnek nevezzük.

8.18. tétel. Egy nyelv pontosan akkor ismerhet® fel valamely A1nemdeterminisztikus veremautomatával üres veremmel, ha felismer-het® valamely A2 nemdeterminisztikus veremautomatával végálla-potokkal.


8.19. példa. Tekintsük a 〈{q0, q1, q2}, {a, b}, {z0, a, b}, δ, q0, z0, {q2}〉veremautomatát, melynek állapotátmenet-függvénye a következ®:

δ(q0, a, z0) = {(q1, z0a)} δ(q1, a, a) = {(q1, a), (q2, a)}δ(q0, b, z0) = {(q1, z0b)} δ(q1, b, a) = {(q1, a)}

δ(q1, a, b) = {(q1, b)}δ(q1, b, b) = {(q1, b), (q2, b)}

Ez a veremautomata az {ava, bvb | v ∈ {a, b}∗} nyelvet ismeri felvégállapottal.


8.20. példa. Tekintsük a 〈{q0, q1, q2}, {a, b, c}, {Z0, X}, δ, q0, Z0, {q2}〉veremautomatát, melynek állapotátmenet-függvénye a következ®:

δ(q0, a, Z0) = {(q0, Z0X)}δ(q0, b, Z0) = {(q0, Z0X)}δ(q0, c, Z0) = {(q1, Z0)}δ(q0, a,X) = {(q0, XX)} δ(q1, a,X) = {(q1, λ)}δ(q0, b,X) = {(q0, XX)} δ(q1, b,X) = {(q1, λ)}δ(q0, c,X) = {(q1, X)}

δ(q1, λ, Z0) = {(q2, Z0)}Ez a veremautomata az {v1cv2 | l(v1) = l(v2), v1, v2 ∈ {a, b}∗} nyel-vet ismeri fel végállapottal.


8.21. példa. Adjunk meg az{anb2n | n ≥ 0

}nyelvet végállapottal

elfogadó veremautomatát!

〈{q0, q1, q2, q3}, {a, b}, {Z0, X}, δ, q0, Z0, {q3}〉,ahol az állapotátmenet-függvény a következ®:

δ(q0, a, Z0) = {(q1, Z0XX)} δ(q1, a,X) = {(q1, XXX)}δ(q1, b,X) = {(q2, λ)} δ(q2, b,X) = {(q2, λ)}

δ(q0, λ, Z0) = {(q3, Z0)} δ(q2, λ, Z0) = {(q3, Z0)}


8.22. példa. Adjunk meg az {anv | n ≥ 0, v ∈ {a, b}∗, l(v) ≤ n}nyelvet végállapottal elfogadó veremautomatát!

〈{q0, q1, q2, q3}, {a, b}, {Z0, X}, δ, q0, Z0, {q2}〉,ahol az állapotátmenet-függvény a következ®:

δ(q0, a, Z0) = {(q1, Z0X)} δ(q1, a,X) = {(q1, XX), (q2, λ)} δ(q2, a,X) = {(q2, λ)}δ(q1, b,X) = {(q2, λ)} δ(q2, b,X) = {(q2, λ)}

δ(q0, λ, Z0) = {(q2, Z0)} δ(q2, a, Z0) = {(q3, Z0)}δ(q2, b, Z0) = {(q3, Z0)}


8.23. tétel. Tetsz®leges környezetfüggetlen L nyelvhez van olyanA nemdeterminisztikus veremautomata, amely végállapottal felis-meri az L nyelvet.

Bizonyítás vázlat. Legyen L a G = 〈Vn, Vt, S,H〉 környezet-független nyelvtannal generálható. Az A = 〈{q0, q1, q2}, Vt, Vt ∪Vn∪{Z0}, δ, q0, Z0, {q2}〉 nemdeterminisztikus véges automata, aholδ értelmezése

• δ(q0, λ, Z0) = {(q1, Z0S)},• δ(q1, λ, A) = {(q1, α−1)|A→ α ∈ H minden A ∈ Vn,• δ(q1, a, a) = {(q1, λ)} minden a ∈ Vt-re, és• δ(q1, λ, Z0) = {(q2, Z0)},végállapottal felismeri az L nyelvet.

8.24. tétel. Tetsz®leges nemdeterminisztikus veremautomata ál-tal felismert nyelv környezetfüggetlen.


8.25. példa. Az 〈{S,A,B} , {0, 1}, S,H〉 egy környezetfüggetlennyelvtan, ahol a helyettesítési szabályok:{S → SA|AB|1, A→ BS|1, B → SA|0}.Konstruáljunk olyan veremautomatát, amelyik felismeri a nyelvtanáltal generált nyelvet:〈{q0, q1, q2}, {0, 1} ∪ {S,A,B} ∪ {Z0}, δ, q0, Z0, {q2}〉, ahol

δ(q0, λ, Z0) = {(q1, Z0S)} δ(q1, λ, S) = {(q1, AS), (q1, BA), (q1, 1)}δ(q1, λ, A) = {(q1, SB), (q1, 1)}δ(q1, λ, B) = {(q1, AS), (q1, 0)}δ(q1, 0, 0) = {(q1, λ)}δ(q1, 1, 1) = {(q1, λ)}δ(q1, λ, Z0) = {(q2, Z0)}

(q0, 101, Z0)→ (q1, 101, Z0S)→ (q1, 101, Z0AS)→ (q1, 101, Z0A1)→(q1, 01, Z0A)→ (q1, 01, Z0SB)→ (q1, 01, Z0S0)→ (q1, 1, Z0S)→(q1, 1, Z01)→ (q1, λ, Z0)→ (q2, λ, Z0)

8.5. LL(k) elemzés 99

8.5. LL(k) elemzés

Az LL(k) elemzés során a levezetés a kezd®szimbólumból indul. Baloldali levezetést használunk (jelölése ⇒l), azaz minden egyes lépés-nél kicseréljük a legbaloldalibb nemterminálist (legyen most ez A)valamelyik szabály alapján. Ha egyetlen A → β alakú szabályunkvan, akkor ez a csere egyértelm¶. Ha több ilyen van, akkor pe-dig az elemzend® szóban lév® következ® k darab szimbólum alapjándöntünk, hogy melyik szabályt alkalmazzuk. Az LL(k) nyelvtanokolyan nyelvtanok, amelyeknél ez az információ bármelyik elemezend®szó esetén elegend® az egyértelm¶ döntéshez.Elnevezés:

• Left to right, using a Leftmost derivation

• döntés k terminális szimbólum el®reolvasásával


Formálisan megfogalmazva: legyen k ≥ 1 egész szám,α ⇒∗l β jelentse azt, hogy α-ból β bal oldali levezetéssel (mindigcsak a bal oldali nemterminális kicserélésével) levezethet®,els®k(α) az α-ból levezethet® szavak k hosszúságú terminális kezd®-szeleteinek halmaza:

els®k(α) = {x|α⇒∗l xβ, l(x) = k} ∪ {x|α⇒∗l x, l(x) < k}8.26. definíció. Egy nyelvtan akkor LL(k) nyelvtan, ha valahány-szor teljesülnek a

S ⇒∗l wAβ ⇒ wα1β ⇒∗l wx,S ⇒∗l wAβ ⇒ wα2β ⇒∗l wy,

els®k(x) = els®k(y)feltételek, akkor

α1 = α2is teljesül.


8.27. példa. Az 〈{S,A} , {a, b} , S, {S → AS|λ,A→ aA|b〉 nyelv-tan LL(1) nyelvtan, ugyanis ha a legbaloldalibb nemterminális

• S, az S → AS szabályt kell alkalmazni, akár a, akár b az elem-zend® szó következ® bet¶je, és az S → λ szabályt, ha nincs márkövetkez® bet¶ az elemzett szóban,

• A, az A → aA szabályt alkalmazzuk, ha a a következ® bet¶, ésaz A→ b szabályt, ha b a következ® bet¶.

a b λ

S S → AS S → AS S → λA A→ aA A→ b

Az aabab szó elemzése:S ⇒ AS ⇒ aAS ⇒ aaAS ⇒ aabS ⇒ aabAS ⇒ aabaAS ⇒aababS ⇒ aabab


8.28. példa. Az

〈{S,A} , {a, b, c} , S, {S → aAab|bAbb, A→ c|λ〉nyelvtan LL(1) nyelvtan, ugyanis ha a legbaloldalibb nemterminális

• S, az S → aAab szabályt kell alkalmazni, ha a, az S → bAbbszabályt kell alkalmazni, ha b az elemzend® szó következ® bet¶je,

• A, az A→ c szabályt alkalmazzuk, ha c a következ® bet¶, és azA→ λ szabályt, ha a vagy b a következ® bet¶.

A nyelvtantanhoz tartozó LL(1) elemz® táblázat:

a b c

S S → aAab S → bAbbA A→ λ A→ λ A→ c

Az acab szó elemzése: S ⇒ aAab⇒ acabAz bbb szó elemzése: S ⇒ bAbb⇒ bbb


8.29. példa. Készítsük el az

〈{S,A,B,C} , {a, b, c, d, e, f} , S,{S → aA|bBc,A→ Bd|Cc,B → e|λ,C → f |λ}〉

nyelvtantanhoz tartozó LL(1) elemz® táblázatot:

a b c d e f

S S → aA S → bBcA A→ Cc A→ Bd A→ Bd A→ CcB B → λ B → λ B → eC C → λ C → f


8.30. példa. Készítsük el az

〈{S,A} , {a, b, c, d} , S, {S → aS|A,A→ bAc|d}〉nyelvtantanhoz tartozó LL(1) elemz® táblázatot:

a b c d

S S → aS S → A S → AA A→ bAc A→ d


Az〈{S,A} , {a, b} , S, {S → abA|λ,A→ Saa|b〉

nyelvtan LL(2) nyelvtan. Látható ugyanis, hogy például az

S ⇒l abA⇒l abSaa⇒l ababAaa

és azS ⇒l abA⇒l abSaa⇒l abaa

levezetések utolsó lépésében egy bet¶ el®reolvasásával mindkét eset-ben az a-t kapjuk, és az S-re alkalmazott szabály csak két szimbólum(az ab és az aa) el®reolvasásával határozható meg.

9. fejezet

Környezetfügg® nyelvek

9.1. Turing-gépek

9.1. definíció. Az T = 〈Q, V,W, δ, q0〉 rendezett ötöst Turing-gépnek nevezzük, ahol

• Q 6= ∅ véges halmaz, elemei állapotok,

• V a bemen® ábécé és V ⊆ W a szalagábécé,

• δ : Q × (W ∪ {t}) → (Q ∪ {qacc}) × (W ∪ {t}) × {L,R} azállapotátmenet-függvény,

• q0 ∈ Q a kezd®állapot.

106

9.1. Turing-gépek 107

9.2. definíció. A T Turing-gép pillanatnyi kon�gurációján ér-tünk egy (ua, q, bv) hármast, ahol

• q ∈ Q a Turing-gép pillanatnyi bels® állapota,

• ua ∈ V ∗ a szalagon található szó olvasófejt®l balra lev® része,

• bv ∈ W ∗, az olvasófej b-t olvassa a szalagon.

9.3. definíció. A T Turing-gép (ua, q, bv) kon�gurációja átvi-het®

• a (u, q′, acv) kon�gurációba, ha δ(q, b) = (q′, c, L),

• a (uac, q′, v) kon�gurációba, ha δ(q, b) = (q′, c, R).

108 9. Környezetfügg® nyelvek

9.4. definíció. Azt mondjuk, hogy a T Turing-gép elfogadja egyw ∈ V ∗ bemen® szót, ha van T-beli kon�gurációknak egy olyanvéges sorozata, melynek

• els® eleme (t, q0, w),• utolsó eleme (u, qacc, v), ahol u, v ∈ W ∗, és• a sorozatban az utolsót kivéve minden kon�guráció átvihet® az ®tkövet®be.

9.1. Turing-gépek 109

9.5. példa. Kövessük a T = 〈{q0, q1}, {a, b}, {a, b}, δ, q0〉δ(q0, a) = (q1, a, R) δ(q1, a) = (q1, a, R)δ(q0, b) = (q0, b, R) δ(q1, b) = (q1, b, R)

δ(q1,t) = (qacc,t, R)Turing-gép m¶ködését a bbaab szóra.(t, q0, bbaab) → (b, q0, baab) → (bb, q0, aab) → (bba, q1, ab) →

(bbaa, q1, b)→ (bbaab, q1,t)→ (bbaab, qacc,t)

110 9. Környezetfügg® nyelvek

9.6. példa. Kövessük a

T = 〈{q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6}, {0, 1}, {0, 1, X}, δ, q0〉

δ(q0, 0) = (q1, X,R) δ(q0, 1) = (q2, X,R) δ(q0,t) = (qacc,t, R)δ(q1, 0) = (q1, 0, R) δ(q1, 1) = (q1, 1, R) δ(q1,t) = (q3,t, L)δ(q2, 0) = (q2, 0, R) δ(q2, 1) = (q2, 1, R) δ(q2,t) = (q4,t, L)δ(q3, 0) = (q5,t, L)

δ(q4, 1) = (q6,t, L)δ(q5, 0) = (q5, 0, L) δ(q5, 1) = (q5, 1, L) δ(q5, X) = (q0, X,R)δ(q6, 0) = (q6, 0, L) δ(q6, 1) = (q6, 1, L) δ(q6, X) = (q0, X,R)

Turing-gép m¶ködését a 001, az 1001 és a λ bemen® szavakkal.

Irodalomjegyzék

[1] Bach Iván: Formális nyelvek, Typotex, 2001.

[2] Demetrovics János, J. Denev, R. Pavlov: A számítástudománymatematikai alapjai, Tankönyvkiadó, Budapest, 1989.

[3] Fazekas Attila, Dömösi Pál: Formális nyelvek és automaták,jegyzet, mobiDiák Könyvtár, 2004.

[4] Fülöp Zoltán: Formális nyelvek és szintaktikus elemzésük, Poly-gon, Szeged, 1999.

[5] Horváth Géza, Mecsei Zoltán, Nagy Benedek: Gyakorlati össze-foglaló, feladatgy¶jtemény, mobiDiák Könyvtár, 2004.

111

112 Irodalomjegyzék

[6] Kása Zoltán: Automaták és formális nyelvek, (Informatikai al-goritmusok II. c. könyv 19. fejezete; Iványi Antal szerk.) EötvösKiadó, Budapest, 2005.

[7] Papp Zoltán: Automaták és formális nyelvek, el®adás fóliák,http://www.inf.unideb.hu/� pappzol

Documents

Automaták és formális nyelvek el®adások · VÁRTERÉSZ MAGDA Automaták és formális nyelvek el®adások 2017/18-as tanév 1. félév