BAB I Himpunan Kabur - eprints.unm.ac.ideprints.unm.ac.id/10398/4/BAB I.pdf · menyatakan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh anggota-anggotanya disebut metode kaidah ... diskrit

Himpunan Kabur

1

BAB I

Himpunan Kabur

1.1 Pengantar Himpunan

Konsep himpunan merupakan suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Konsep-konsep himpunan tersebut muncul secara eksplisit dan implisit dalam setiap cabang matematika. Para pembaca dianggap telah terbiasa dengan konsep-konsep himpunan, sehingga bagian ini hanyalah sebagai penyegaran terhadap konsep-konsep dasar himpunan dan pengenalan notasi dan terminologi yang bermanfaat dalam pembahasan himpunan kabur.

Pada keseluruhan buku ini, himpunan–himpunan akan dituliskan dengan huruf-huruf kapital dan anggota-anggotanya akan dituliskan dengan huruf kecil. Huruf kapital U menyatakan sebagai himpunan semesta.

Secara intuitif, suatu himpunan merupakan sebuah daftar, kumpulan atau kelas objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Objek-objek dalam himpunan dapat berupa apa saja. Objek-objek ini disebut elemen-elemen atau anggota-anggota dari suatu himpunan. Suatu himpunan dapat didefinisikan dengan menyatakan secara jelas atau mendaftarkan semua anggota-anggotanya. Metode pendefinisian himpunan yang demikian disebut metode tabulasi (the list method). Himpunan yang didefinisikan dengan menyatakan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh anggota-anggotanya disebut metode kaidah (the rule method). Metode tabulasi hanya dapat digunakan untuk himpunan-himpunan yang anggota-anggotanya berhingga, sedangkan metode kaidah dapat digunakan untuk himpunan-himpunan yang anggota-anggotanya berhingga maupun tak berhingga. Metode lain yang biasa

Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur

2

digunakan untuk mendefinisikan himpunan adalah metode keanggotaan (the membership method). Metode ini menggunakan fungsi nol-satu (fungsi

karakteristik), yang dinyatakan dengan Aμ . Fungsi Aμ ini memetakan

anggota-anggota himpunan semesta U ke himpunan {0,1}, yaitu :

Aμ : U {0,1}, sedemikian sehingga :

1 jika

( )0 jika

xx

x

A

A

A , x U

Fungsi Aμ disebut fungsi keanggotaan sedangkan nilai dari x( )Aμ untuk

xU disebut derajat keanggotaan. Apabila nilai derajat keanggotaan sama dengan satu maka x merupakan anggota dari himpunan A, dan apabila nilai derajat keanggotaan sama dengan nol maka x bukan merupakan anggota dari himpunan A.

Dari pendefinisian himpunan, terlihat bahwa keanggotaan suatu anggota himpunan dalam suatu himpunan sangatlah jelas atau tegas, yaitu anggota himpunan atau bukan anggota himpunan, tidak ada kemungkinan lain. Oleh karena itu, himpunan biasa (himpunan yang dikenal sebelum dikenalnya himpunan kabur) dinamakan himpunan tegas. Penamaan ini muncul setelah diperkenalkannya himpunan kabur.

Contoh 1.1

Misalkan himpunan semua pesawat yang pernah mendarat di bandara Cengkareng sebagai himpunan semesta U. Kita dapat mendefinisikan himpunan-himpunan dalam U berdasarkan keadaan pesawat. Misalkan kita definisikan dua buah himpunan dalam U, yaitu himpunan A sebagai himpunan pesawat-pesawat bermesin dua, dan himpunan B sebagai himpunan pesawat-pesawat buatan Amerika. Himpunan A dinyatakan sebagai :

A = {xU | x bermesin dua}

atau xAμ ( ) =1 jika bermesin dua

0 jika tak bermesin dua

x

x

, xU

Kita mengalami sedikit kesulitan dalam menentukan anggota himpunan B, karena pesawat-pesawat yang dibuat di Amerika belum tentu keseluruhan komponen-komponennya juga adalah buatan Amerika. Apakah pesawat yang dibuat di Amerika tapi komponen sayap dan rodanya buatan IPTN Indonesia dapat dikategorikan sebagai anggota dari himpunan B? Permasalahan semacam ini dibahas dalam himpunan kabur.

Himpunan Kabur

3

Selanjutnya kita akan membahas beberapa operasi yang penting pada himpunan tegas dengan menggunakan fungsi keanggotaan.

Komplemen

Misalkan himpunan AU. Komplemen dari A ditulis sebagai cA . Jika xA

maka x cA dan sebaliknya, sehingga kita dapat menyatakan bahwa :

1( )A x μ jika dan hanya jika 0( )A

x μ c atau

1( )A

x μ c jika dan hanya jika 0( )A x μ

Secara singkat kita dapat menyatakan :

1( ) ( )x x μ μc AA, xU

Irisan dan Gabungan

Misalkan himpunan A U dan B U. Irisan dan gabungan himpunan A dan

himpunan B berturut-turut adalah A B dan A B. Dengan menggunakan fungsi keanggotaan, kita dapat menuliskan :

1

0

jika( )

jika

xx

x

μA

A

A,

1

0

jika( )

jika

xx

x

μB

B

B xU,

sehingga, 1

0

jika ( )( )

jika ( )

xx

x

μA B

A Β

A B

dan 1

0

jika ( )( )

jika ( )

xx

x

μA B

A Β

A B, xU.

Dari nilai derajat keanggotaan ( )xμA B , terlihat bahwa nilainya adalah sama

dengan satu apabila ( )A xμ dan ( )xμB masing-masing bernilai satu, dan

sebaliknya bernilai sama dengan nol apabila salah satu atau kedua ( )A xμ

dan ( )xμB bernilai nol, sehingga kita dapat menyatakan bahwa :

( ) min( ( ), ( ))x x x μ μ μA B A B , xU (1.1)

Selanjutnya, dari nilai derajat keanggotaan ( )xμA B , terlihat bahwa nilainya

adalah sama dengan satu apabila salah satu atau kedua ( )A xμ dan ( )xμB

bernilai satu, dan sebaliknya bernilai sama dengan nol apabila ( )A xμ dan

( )xμB bernilai nol, sehingga kita dapat menyatakan bahwa :

( ) max( ( ), ( ))x x x μ μ μA B A B , xU (1.2)


4

Selisih dan Jumlah Disjungtif

Misalkan himpunan A U dan B U. Selisih dan jumlah disjungtif dari

himpunan A dan himpunan B berturut-turut adalah A – B = A cB dan c c( ) ( ) A B A B A B . Apabila kita menggunakan derajat

keanggotaan, maka A – B dapat dinyatakan sebagai:

x x c( ) ( )

( ) ( )μ μA B A B

cmin( ( ), ( ))x x μ μA B, xU (1.3)

Selanjutnya, jumlah disjungtif dapat dinyatakan sebagai:

c( )( ) ( )

( ) ( )c

μ x μ xA BA B A B

c c( ) ( )max( ( ), ( ))x x

μ μ

A B A B

( ) ( )max( ( ), ( ))x x μ μA B A B , xU (1.4)

1.2 Himpunan Kabur

Marilah kita mulai pembahasan himpunan kabur dengan terlebih dahulu memberikan beberapa illustrasi sebagai berikut:

Ilustrasi 1

Misalkan himpunan orang-orang botak didefinisikan sebagai orang yang memiliki helai rambut kurang atau sama dengan 50.000 helai. Apabila seseorang memiliki tepat 50.000 helai rambut, maka orang tersebut akan masuk dalam kategori orang botak. Akan tetapi, apabila ada seseorang yang memiliki tepat 50.001 helai rambut, maka orang tersebut akan masuk dalam kategori orang yang tidak botak. Pada kenyataannya, orang yang memiliki helai rambut sebanyak 50.000 helai dengan orang yang memiliki 50.001 helai rambut tidak akan berbeda kebotakannya atau ketidakbotakannya. Sehingga sangat tidak adil jika kebotakan atau ketidakbotakan kedua orang tersebut dibedakan secara tajam.

Ilustrasi 2

Misalkan umur manusia dibagi menjadi tiga kategori, yaitu muda apabila seseorang berumur kurang dari 35 tahun; paruh baya apabila seseorang

Himpunan Kabur

5

berumur 35 tahun sampai dengan 55 tahun; tua apabila seseorang berumur lebih dari 55 tahun. Apabila seseorang berumur tepat 35 tahun, maka ia dikatakan berumur paruh baya. Akan tetapi, apabila ada seseorang yang berumur kurang satu hari dari 35 tahun, maka ia akan masuk dalam kategori umur muda. Demikian juga, apabila seseorang berumur tepat 55 tahun, maka ia masuk dalam kategori umur paruh baya. Akan tetapi, apabila ada seseorang yang berumur lebih satu hari dari 55 tahun, maka ia masuk dalam kategori umur tua. Sepertinya sangatlah tidak adil jika orang yang berumur 55 tahun dengan orang yang berumur 55 tahun 1 hari dibedakan secara tajam kategori umurnya.

Dari kedua ilustarasi di atas, terlihat bahwa perubahan kecil saja pada suatu nilai mengakibatkan perbedaan kategori yang cukup signifikan atau perubahan dari suatu anggota himpunan menjadi bukan anggota himpunan terjadi secara tiba-tiba sehingga batas di antara himpunan sangat jelas.

Ilustrasi 3 Misalkan S adalah himpunan semua jenis sayuran yang berwarna hijau. Jelas wortel dan lobak bukanlah anggota S. Di antara anggota S antara lain adalah: kangkung, bayam, buncis, sawi dan daun singkong. Akan tetapi apakah hijaunya kangkung, bayam, buncis, sawi dan daun singkong semua sama? Belum tentu. Setiap anggota S memiliki derajat warna hijau yang tertentu dan tidak perlu sama dengan derajat anggota S yang lain. Jadi, setiap anggota S memiliki derajat keanggotaan tertentu. Inilah yang menghantarkan kita kepada konsep himpunan kabur. Ini pulalah yang membedakan himpunan kabur dengan himpunan biasa. Pada himpunan biasa derajat keanggotaannya hanyalah nol atau satu. Suatu objek x memiliki derajat keanggotaan sama dengan nol bila x bukan anggota himpunan yang dibicarakan dan objek x memiliki derajat keanggotaan sama dengan satu bila x merupakan anggota dari himpunan yang dibicarakan.

Selanjutnya pandang kembali Contoh 1.1. Kesulitan menentukan anggota B disebabkan oleh tidak jelasnya batas-batas dari himpunan B. Teori himpunan biasa mengharuskan bahwa suatu himpunan haruslah terdefinisi dengan jelas, sehingga kita sangat sulit untuk mendefinisikan himpunan ”semua pesawat buatan Amerika yang pernah mendarat di bandara Cengkareng”. Untuk mengatasi keterbatasan teori himpunan biasa ini, maka diperkenalkanlah konsep himpunan kabur.


6

Definisi 1.1

Misalkan U adalah suatu himpunan semesta dengan x U. Suatu himpunan

kabur dalam U adalah himpunan pasangan-pasangan terurut elemen x dengan derajat keanggotaannya, yaitu:

A = { (x, ( )A

μ x ) | xU } (1.5)

Aμ merupakan fungsi keanggotaan yang memetakan setiap x U ke interval

[0,1]. Nilai dari ( )A

μ x dalam interval [0,1] disebut nilai keanggotaan atau

derajat keanggotaan dari elemen x dalam A , sedangkan interval [0,1] sendiri disebut ruang keanggotaan. Pada himpunan biasa, anggota dari ruang keanggotaannya hanyalah nol dan satu, sehingga himpunan kabur merupakan perluasan dari himpunan biasa. Derajat keanggotaan menunjukkan besarnya keterlibatan suatu anggota dalam suatu himpuanan. Gambar 1.1 memperlihatkan suatu grafik fungsi keanggotaan himpunan biasa, dan Gambar 1.2 memperlihatkan suatu grafik fungsi keanggotaan

himpunan kabur dalam .

xA

Gambar 1.1 Suatu grafik fungsi keanggotaan himpunan biasa A

xA

0

0,5

1

Himpunan Kabur

7

Himpunan kabur dapat dinyatakan dengan dua cara, yaitu secara ekstensional dan intensional. Cara ekstensional dilakukan dengan menyebutkan satu persatu derajat keanggotaan masing-masing anggota himpunan, sedangkan cara intensional dilakukan dengan mendefinisikan fungsi keanggotaan secara matematis. Cara ekstensional hanya dapat dilakukan jika anggota dari himpunan adalah diskrit dan berhingga, sedangkan cara intensional dipakai untuk himpunan-himpunan yang kontinu dan berhingga maupun tak berhingga. Beberapa bentuk fungsi yang biasa digunakan untuk mendefinisikan fungsi keanggotaan akan dibahas dalam Bagian 1.5.

Himpunan kabur selalu merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan semesta U, sehingga ada beberapa literatur yang menyatakan himpunan kabur sebagai himpunan bagian kabur (fuzzy subset). Himpunan semesta U merupakan himpunan biasa dan dapat berupa objek-objek yang diskrit ataupun kontinu.

Contoh 1.2

Pandang kembali Contoh 1.1, kita dapat mendefinisikan himpunan B sebagai

himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan ( )xμB = p(x), di mana p(x)

merupakan persentase dari komponen-komponen pesawat x yang dibuat di Amerika. Misalnya jika pesawat x0 mempunyai 60% komponen dibuat di

x

xA~

Gambar 1.2 Suatu grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur A~

1

0

0,5


8

Amerika, maka kita katakan bahwa pesawat x0 merupakan anggota dari himpunan kabur B dengan derajat keanggotaan 0.6.

Contoh 1.3

Seorang pengusaha real estate ingin mengklasifikasikan jenis rumah yang ia tawarkan kepada pelanggannya. Salah satu indikasi kenyamanan dari rumah-rumah tersebut adalah banyaknya kamar tidurnya. Misalkan U = {1, 2, 3, …, 10} menyatakan himpunan jenis-jenis rumah yang dinyatakan oleh banyaknya kamar. Himpunan kabur “jenis rumah yang cocok untuk keluarga dengan

empat anggota keluarga” dapat dinyatakan sebagai: A = {(1, 0.2), (2, 0.5), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.7), (6, 0.3)}. Gambar 1.3 memperlihatkan grafik fungsi

keanggotaan himpunan kabur A .

Dari Contoh 1.3 di atas, terlihat bahwa jenis rumah berkamar empat mempunyai derajat keanggotaan satu, sehingga jenis rumah tersebut merupakan jenis rumah paling cocok untuk keluarga dengan empat anggota keluarga dibandingkan dengan jenis-jenis rumah yang lain yang derajat keanggotaannya kurang dari satu.

Contoh 1.4

Misalkan U adalah himpunan ibu kota propinsi di Sulawesi. Himpunan kabur

B menyatakan “kota-kota yang penduduknya ramah tamah” dapat dinyatakan sebagai berikut:

1-

-

-

-

-

-

-

-

- - 0

0,5

1 2 3 4 5 6

xA~

Gambar 1.3 Grafik fungsi keanggotaan A~ (Contoh 1.3)

x

Himpunan Kabur

9

B ={(Makassar, 0.8), (Manado, 0.9), (Gorontalo, 0.85), (Kendari, 0.7),

(Palu, 0.75), (Mamuju, 0.65)}

Contoh 1.5

Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Jika 5

5

( )

C

xμ x xU, maka

himpunan kabur C adalah:

C = {(1, 0.8), (2, 0.6), (3, 0.4) (5, 0), (6, 0.2), (7, 0.4), (8, 0.6), (9, 0.8)}

Dari Contoh 1.3 dan 1.5, himpunan semesta U merupakan objek-objek yag diskrit terurut, sedangkan pada Contoh 1.2 dan 1.4, himpunan semesta U merupakan objek-objek yang diskrit tidak terurut.

Contoh 1.6

Misalkan U adalah himpunan bilangan real . Himpunan kabur D

menyatakan “bilangan-bilangan yang dekat ke nol” dapat dinyatakan sebagai:

DD x x {( , ( ))}μ

di mana x dan 0

0 ; 1

1 ; 1 0( )

1 ; 1

0 ; 1

D

x

x xμ x

x x

x

(1.6)

Gambar 1.4 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur D .

-1 0 1 x

0,5 -

1 -

xD~

Gambar 1.4 Grafik fungsi keanggotaan D~ (Contoh 1.6)


10

Kita juga dapat mendefinisikan fungsi keanggotaan D

x( )μ sebagai:

2x

Dμ x e( ) x (1.7)

Dari Contoh 1.6, terlihat bahwa kita dapat menggunakan fungsi keanggotaan yang berbeda untuk suatu himpunan kabur. Akan tetapi, fungsi keaggotaan sendiri tidaklah kabur. Fungsi keanggotaan merupakan suatu fungsi matematika yang jelas (tepat). Apabila suatu sifat kabur dinyatakan oleh fungsi keanggotaan, misalnya “bilangan yang dekat ke nol” dinyatakan oleh (1.6) dan (1.7), maka sifat kabur tidak akan kabur lagi. Jadi dengan memberikan fungsi keanggotaan pada suatu deskripsi kabur, maka pada dasarnya kita “membuat tidak kabur” (defuzzyfy) deskripsi kabur tersebut. Ada kesalahpahaman sebagian orang tentang teori himpunan kabur, mereka beranggapan bahwa teori himpunan kabur mencoba untuk “mengaburkan” (fuzzyfy) dunia nyata, padahal sebaliknya, teori himpunan kabur digunakan untuk defuzzyfy dunia nyata.

1.3 Beberapa Konsep Dasar yang Berhubungan dengan Himpunan Kabur

Pada bagian ini diperkenalkan beberapa konsep dasar dan istilah-istilah yang berhubungan dengan himpunan kabur. Beberapa diantaranya merupakan perluasan dari konsep-konsep dasar yang ada dalam himpunan biasa, dan sebagian merupakan konsep tersendiri dalam kerangka himpunan kabur.

Definisi 1.2

Support dari suatu himpunan kabur A , yaitu S( A ), adalah himpunan semua

elemen x dalam U yang derajat keanggotaannya dalam A lebih besar dari nol, yaitu:

S( A ) = 0 { | ( ) }A

x μ xU (1.8)

Support dari suatu himpunan kabur merupakan suatu himpunan biasa.

Contoh 1.7

Support untuk himpunan kabur A pada Contoh 1.3 adalah

S( A ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Himpunan Kabur

11

Support untuk himpunan kabur D pada Contoh 1.6 adalah

S( D ) = 1 1 |x x = (-1, 1)

Definisi 1.3

Potongan- (-cut) dari suatu himpunan kabur A , yaitu A , adalah

himpunan semua elemen x dalam U yang derajat keanggotaannya dalam A

lebih besar atau sama dengan suatu nilai yang ditentukan, [0, 1]:

A ={xU | x ( ) ,A

μ [0, 1]} (1.9)

Apabila derajat keanggotaan xU dalam himpunan kabur A lebih besar dari

nilai yang ditentukan, yaitu :

'A = {xU | x ( ) ,

Aμ [0, 1]},

maka 'A merupakan potongan- kuat (strong -cut). Himpunan A dan

'A merupakan himpunan biasa.

Contoh 1.8

Pandang kembali Contoh 1.3 dan 1.6. Untuk = 0.3, potongan- himpunan

kabur A pada Contoh 1.3 adalah 0 3.A = { 2, 3, 4, 5, 6}. Sedangkan

potongan- kuat untuk A adalah 0 3.'A = { 2, 3, 4, 5}. Untuk = 0.2,

potongan- untuk himpunan kabur D pada Contoh 1.6 adalah 0 2.D = {x

| -0.8 x 0.8}

Apabila himpunan semesta U merupakan himpunan semua n-tuple

bilangan rill dalam ruang vektor Euclidean n, maka konsep kekonveksan

(convexity) dapat diperluas ke himpunan kabur.

Definisi 1.4

Suatu himpunan kabur disebut konveks jika dan hanya jika potongan- nya

merupakan suatu himpunan konveks untuk sebarang [0, 1].

Suatu himpunan kabur konveks mempunyai fungsi keanggotaan yang monoton naik atau monoton turun atau monoton naik kemudian monoton turun. Secara eqivalen dapat dikatakan bahawa jika untuk semua elemen x, y

dan z dalam himpunan kabur A , relasi x < y < z yang mengakibatkan A

μ y( )


12

min[A

μ x( ) , A

μ z( ) ], maka himpunan kabur A merupakan himpunan kabur

konveks. Gambar 1.5.a memperlihatkan suatu grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur yang konveks, dan Gambar 1.5.b memperlihatkan suatu grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur yang tidak konveks.

Perlu diperhatikan bahwa definisi kekonveksan pada himpunan kabur tidak berarti bahwa fungsi keanggotaan himpunan kabur konveks tersebut haruslah suatu fungsi konveks.

Definisi 1.5

Inti (core) dari himpunan kabur A , yaitu inti ( )A , adalah himpunan semua

elemen x dalam U sedemikian sehingga ( )A

μ x = 1, atau dapat dinyatakan

sebagai:

Inti ( )A = { x U | ( )A

μ x = 1 } ( 1.10 )

Contoh 1.9

Pandang kembali Contoh 1.3, 1.4, dan 1.6. Inti dari himpunan kabur A pada Contoh 1.3 adalah:

Inti ( )A = {4}

Inti dari himpunan kabur B pada Contoh 1.4 adalah:

Inti ( )B = .

x y z x y z

(a) (b)

Gambar 1.5 Suatu grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur konveks (a) dan non konveks (b)

x x

1

0

1

0

Himpunan Kabur

13

Inti dari himpunan kabur D pada Contoh 1.6 adalah:

Inti ( )D = {0}.

Definisi 1.6

Tinggi (height) dari suatu himpunan kabur A , yaitu tinggi ( )A , adalah

derajat keanggotaan terbesar yang dicapai oleh suatu elemen x dalam A .

Tinggi( )A = x

[ ( )]Ax U

max μ (1.11)

Contoh 1.10

Pada Contoh 1.3, tinggi dari himpunan kabur A adalah satu, sedangkan

pada Contoh 1.4, tinggi dari himpunan kabur B adalah 0,9.

Definisi 1.7

Suatu himpunan kabur disebut normal jika tinggi dari himpunan kabur tersebut sama dengan satu. Atau dapat dikatakan bahwa suatu himpunan kabur disebut normal jika intinya bukan himpunan kosong.

Contoh 1.11

Himpunan kabur A pada Contoh 1.3 merupakan himpunan kabur normal

karena intinya bukan himpunan kosong, sedangkan himpunan kabur B pada Contoh 1.4 bukanlah himpunan kabur normal karena intinya merupakan himpunan kosong.

Definisi 1.8

Titik silang (crossover point) dari suatu himpunan kabur A , yaitu

Crossover( A ), adalah himpunan semua elemen x dalam U, sedemikian

sehingga ( ) 0,5A

μ x , yaitu :

Crossover( A ) = {xU | ( ) 0,5A

μ x } (1.12)

Definisi 1.9

Titik tunggal (fuzzy singelton) adalah suatu himpunan kabur yang supportnya tunggal.


14

Definisi 1.10

Kardinalitas dari suatu himpunan kabur berhingga A didefinisikan sebagai

( ),A

x U

A μ x sedangkan kardinalitas relatif dari himpunan kabur

berhingga didefinisikan sebagai A

AU

. Jika U tak berhingga, maka

kardinalitas A adalah ( )x A

A μ x dx .

Dari definisi di atas, kardinalitas relatif himpunan kabur sangat tergantung pada kardinalitas himpunan semestanya, sehingga untuk membandingkan himpunan-himpunan kabur dengan menggunakan kardinalitas relatifnya maka himpunan kabur tersebut haruslah dalam himpunan semesta yang sama.

1.4 Operasi-operasi Dasar Himpunan Kabur

Konsep-konsep dasar yang dibahas pada Bagian 1.3 hanyalah merupakan himpunan kabur yang tunggal. Dalam bagian ini, kita akan membahas operasi-operasi dasar pada himpunan kabur. Seperti pada operasi antar himpunan biasa pada Bagian 1.1 yang menggunakan fungsi keanggotaan, maka operasi-operasi pada himpunan kabur juga menggunakan fungsi keanggotaan. Operasi-operasi pada himpunan kabur tersebut merupakan perluasan dari operasi-operasi himpunan biasa. Untuk

pendefinisian berikut, himpunan kabur A , B , dan C merupakan himpunan

kabur dalam himpunan semesta U.

Kesamaan

Kita katakan A = B jika dan hanya jika ( )A

μ x = ( )B

μ x xU. Apabila

( )A

μ x ( )B

μ x , xU, maka dikatakan bahwa B termuat dalam A dan

apabila ( )A

μ x ( )B

μ x , xU maka dikatakan bahwa A termuat dalam

B .

Gabungan

Gabungan dari himpunan kabur A dan B , yaitu A B , mempunyai fungsi keanggotaan yang didefinisikan sebagai:

( )

( )A B

μ x = max[ ( )A

μ x , ( )B

μ x ], xU (1.13)

Himpunan Kabur

15

A B merupakan himpunan kabur terkecil yang mengandung A dan B .

Contoh 1.12

Misalkan himpunan semesta U = {a, b, c, d, e}. Himpunan kabur A dan B pada U didefinisikan sebagai:

A = {(a, 0.2), (b, 0.7), (c, 0.1), (d, 0), (e, 0.5)}

B = {(a, 0.5), (b, 0.3), (c, 1), (d, 0.1), (e, 0.5)}

Maka A B = {(a, 0.5), (b, 0.7), (c, 1), (d, 0.1), (e, 0.5)}.

Contoh 1.13

Misalkan himpunan kabur A dan B dalam masing-masing didefinisikan

sebagai berikut:

A = “ x jauh lebih besar dari 10 ”

B = “ x mendekati 11 ”

Fungsi keangotaan dari himpunan kabur tersebut masing-masing didefinisikan sebagai :

2 11

0 ; 10( )

( ( 10) ) ; 10x

A

xμ

x x , x

dan 11 4 -1( ) (1 ( ) )B

μ x x , x , maka

x

( )A B

μ = max[(1 + (x – 10)-2)-1, (1 + ( x – 11)4)-1], x

Irisan

Irisan dari himpunan kabur A dan B , yaitu A B , mempunyai fungsi kenggotaan yang didefinisikan sebagai :

( )A B

μ x = min[ ( )A

μ x , ( )B

μ x ], xU (1.14)

A B merupakan himpunan kabur terbesar yang terkandung dalam A dan

dalam B .

Contoh 1.14

Pandang kembali himpunan kabur A dan B dalam Contoh 1.12, maka:

A B ={(a, 0.2), (b, 0.3), (c, 0.1), (d, 0), (e, 0.5)}.


16

Contoh 1.15

Pandang kembali himpunan kabur A dan B dalam Contoh 1.13, maka

( )A B

x

μ =4 1-2 -1

0 ; 10

min[(1 ( 10) ) ,(1 ( 11) ) ] ; 10

x

x x x

, x

( x jauh lebih besar dari 10 dan mendekati 11 )

Gambar 1.6 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur

A B pada Contoh 1.13 dan A B pada Contoh 1.15.

Komplemen

Komplemen dari himpunan kabur A , yaitu cA , mempunyai fungsi keanggotaan yang didefinisikan sebagai:

( )A

μ xc = 1 – ( )xA

μ , xU (1.15)

Contoh 1.16

Pandang kembali Contoh 1.12, komplemen himpunan kabur A adalah :

cA = {(a, 0.8), (b, 0.3), (c, 0.9), (d, 1), (e, 0.5)}

Contoh 1.17

Komplemen dari himpunan kabur A pada Contoh 1.13 adalah cA , dengan

fungsi keanggotaan:

11 10

xBA~~

xBA~~

Gambar 1.6 Grafik fungsi keanggotaan BA~~

dan BA~~

(Contoh 1.13 dan 1.15) 1.16)

0

1

-

0,5 -

x

Himpunan Kabur

17

( )A

μ xc =-2 -1

1 untuk 10

1- (1+ ( -10) ) untuk 10

x

x x

, x.

Gambar 1.7 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur cA .

Selisih dan Jumlah Disjungtif

Selisih dari himpunan kabur A dan B adalah A B A B , dengan fungsi keanggotaan:

( )A B

μ x = min [ ( ), ( )]cA Bμ x μ x

= min [ ( ), ( )]1A B

μ x μ x , xU (1.16)

Adapun jumlah disjungtif dari himpunan kabur A dan B adalah A B = c c ( ) ( )A B A B , dengan fungsi keanggotaan:

x( )A B

μ = max

c[ ( ), ( )]cA B A Bμ x μ x

=max x x

[ ( ), ( )]A B B-A

μ μ , xU (1.17)

Contoh 1.18

Selisih dari himpunan kabur A dan B pada Contoh 1.12 adalah:

A - B = {(a, 0.2), (b, 0.7), (e, 0.5)}

Adapun jumlah disjungtifnya adalah:

A B = {(a, 0.5), (b, 0.7), (d, 0.1), (e, 0.5)}

Gambar 1.7 Grafik fungsi keanggotaan cA

~ (Contoh 1.17)

1

0,5

10

)(~ xA

)(~ xcA

x 0


18

Hasil Kali Kartesian dan Jumlah Kartesian

Misalkan himpunan kabur A pada U1 dan himpunan kabur B pada U2.

Hasil kali kartesian dari A dan B , yaitu A B , merupakan himpunan

kabur pada U1U2 dengan fungsi keanggotaan:

( , )A B

μ x y = min[ ( ), ( )A B

μ x μ y ], xU1, yU2 (1.18)

Adapun jumlah kartesian dari A dan B , yaitu A + B merupakan himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan:

( , )A B

μ x y = max[ ( ), ( )A B

μ x μ y ], xU1, yU2 (1.19)

Contoh 1.19

Misalkan himpunan semesta U1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan U2={a, b, c, d, e}.

Himpunan kabur A pada U1 didefinisikan sebagai A = {(1, 0.5), (2, 0.3), (3,

0.6), (4, 0.1), (5, 0.9), (6, 0.8)} dan himpunan kabur B pada U2 didefinisikan

sebagai B = {(a, 0.2), (b, 0.7), (c, 0.1), (d, 0), (e, 0.5)}, maka himpunan kabur

hasil kali kartesian A B adalah:

A B = {((1, a), 0.2), ((1, b), 0.5), ((1, c), 0.1), …, ((6, a), 0.2), ((6, b), 0.7),

((6, c), 0.1), ((6, d), 0), ((6, e), 0.5)}

Adapun jumlah kartesian A + B adalah:

A + B = {((1, a), 0.5), ((1, b), 0.7), ((1, c), 0.5), …, ((6, a), 0.8), ((6, b), 0.8),

((6, c), 0.8), ((6, d), 0.8), ((6, e), 0.8)}

Berikut ini diberikan beberapa sifat dari operasi-operasi dasar himpunan kabur :

i. Komutatif :

A B B A

A B B A

ii. Assosiatif :

( ) ( )

( ) ( )

A B C A B C

A B C A B C

iii. Distributif :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A B C A B A C

A B C A B A C

iv. Idempoten :

A A A

A A A

Himpunan Kabur

19

v. Absorpsi oleh U dan : A U =UA

vi. Identitas : A = AA U A

vii. Absorpsi :

( )

( )

A A B A

A A B A

viii. Involusi : c c ( )A A

ix. Hukum De Morgan’s : A B A B

A B A B

c c c

c c c

( )

( )

Bukti

Akan dibuktikan bagian (i) dan (ix), sedangkan pembuktian bagian lainnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

(i) Untuk membuktikan A B B A , maka akan diperlihatkan bahwa

x x

( ) ( )A B B A

μ μ , x U yaitu:

x

( )A B

μ = max[ x( )A

μ , x( )B

μ ] max[ x( )B

μ , x( )A

μ ]

( )B A

μ x , x U

Dengan cara yang serupa, A B B A dapat dibuktikan sebagai berikut:

( )A B

μ x = min[ x( )A

μ , x( )B

μ ] min[ x( )B

μ , x( )A

μ ]

x

( )B A

μ , x U ■

(ix) Untuk membuktikan c( )A B = cA cB , maka cukup diperlihatkan

bahwa identitas

1 – min[ x( )A

μ , x( )B

μ ] = max[1– x( )A

μ ,1– x( )B

μ ] (1.20)

adalah benar. Untuk memperlihatkan bahwa identitas (1.20) tersebut benar, akan ditinjau dua kemungkinan:


20

A

μ ( )x x( )B

μ , maka:

1 – A

μ ( )x 1 – x( )B

μ (*)

dan 1 – min[A

μ ( )x , x( )B

μ ] = 1 – x( )B

μ (**)

dari (*) dan (**), maka (1.20) benar

A

μ ( )x < x( )B

μ , maka :

1– A

μ ( )x > 1– x( )B

μ (▪)

dan 1 – min[A

μ ( )x , x( )B

μ ] = 1 – A

μ ( )x (▪▪)

dari (▪) dan (▪▪) , maka (1.20) benar.

Dari kedua kemungkinan tersebut, maka lengkaplah bukti untuk (1.20). Dengan cara yang serupa, dengan mudah dapat dibuktikan bahwa

A B A Bc c c ( ) ■

Semua sifat-sifat operasi pada himpunan kabur juga berlaku pada himpunan biasa, akan tetapi sebaliknya tidaklah berlaku.

1.5 Fungsi Keanggotaan

Fungsi keanggotaan merupakan suatu fungsi yang memetakan setiap elemen himpunan semesta U ke interval [0,1]. Fungsi keanggotaan tersebut sangat penting dalam mengkonstruksi suatu himpunan kabur. Penentuan fungsi keanggotaan pada suatu himpunan kabur bersifat subjektif, artinya penentuan fungsi keanggotaan untuk suatu konsep himpunan kabur dapat berbeda pada setiap orang. Subjektifitas tersebut disebabkan oleh perbedaan individu dalam mengekspresikan konsep-konsep abstrak. Meskipun bersifat subjektif, namun penentuan fungsi keanggotaan tersebut tidak dapat ditentukan secara bebas. Penentuannya harus merefleksikan konteks persoalan yang dipandang.

Secara konseptual, terdapat dua pendekatan untuk menentukan fungsi keanggotaan. Pertama, menggunakan pengetahuan atau pengalaman seorang ahli untuk menspesifikasikan fungsi keanggotaan tersebut. Biasanya pendekatan ini hanya dapat memberikan suatu rumusan yang kasar dari fungsi keanggotaan tersebut. Kedua, menggunakan data yang dikumpulkan dari berbagai sumber. Pendekatan ini dilakukan dengan terlebih dahulu menspesifikasikan struktur fungsi keanggotaan dan kemudian memberikan

Himpunan Kabur

21

nilai-nilai pada parameter fungsi keanggotaan tersebut berdasarkan data yang ada.

Berikut ini diberikan beberapa bentuk fungsi yang biasa digunakan sebagai struktur fungsi keanggotaan dalam menentukan fungsi keanggotaan:

1. Representasi Linear

Pada representasi linear, pemetaan himpunan semesta U ke [0, 1] digambarkan sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini merupakan yang paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas. Terdapat dua bentuk fungsi dari representasi linear. Pertama, bentuk fungsi yang monoton naik yang dimulai dari domain dengan derajat keanggotaan nol bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi, yang biasa disebut representasi linear naik, seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.8.

Fungsi keanggotaannya adalah:

(x)=

x a

x a b a a < x < b

x b

0 ;

( )/( ) ;

1 ;

, x U (1.21)

dimana a dan b adalah parameter. Kedua, bentuk fungsi monoton turun yang dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan satu bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah, yang

(x)

b a 0

1

Gambar 1.8 Representasi linear naik


22

biasa disebut representasi linear turun, seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.9.

Gambar 1.9 Representasi linear turun


(x) =

0 ;

( )/( ) ;

1 ;

x b

b - x b - a a < x < b

x a

, x U (1.22)

2. Representasi kurva segitiga

Kurva segitiga merupakan gabungan antara garis linear naik dan garis linear turun, seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.10.

(x)

b x

a

1

0

(x)

c b a

0

1

x

Gambar 1.10 Representasi kurva segitiga

Himpunan Kabur

23


(x)=

0 ; atau

( )/( ) ;

( )/( ) ;

x a x c

x a b a a < x < b

c x c b b x < c

, xU (1.23)

Dengan menggunakan operator max dan min maka expressi lain dari fungsi keanggotaan segitiga adalah :

(x)= max

( ) ( )0

( ) ( )

x a c xmin , ,

b a c b, xU (1.24)

3. Representasi kurva trapesium

Bentuk fungsi ini berbentuk trapesium yang memiliki empat parameter (a, b, c, d ), seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.11.


x a x d

x a b a a x bμ x

b x c

d x d c c x d

0 ; atau

( )/( ) ;( )

1 ;

( )/( ) ;

, xU (1.25)

(x)

x

1

0

Gambar 1.11. Representasi kurva trapesium

a

b

c

d


24

Dengan menggunakan operator max dan min, maka ekspressi lain dari fungsi keanggotaan trapesium adalah:

( ) , 1, ,0x a d x

μ x max minb a d c

, xU (1.26)

4. Representasi Kurva – S

Bentuk kurva-S atau sigmoid berbentuk kurva pertumbuhan dan penyusutan dengan bentuk fungsi yang monoton naik atau monoton turun. Kurva-S untuk pertumbuhan akan bergerak dari sisi paling kiri ke arah kanan menuju nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan yang lebih tinggi, seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.12(a), sedangkan kurva-S untuk penyusutan akan bergerak dari sisi paling kiri kearah kanan menuju nilai domain yang lebih rendah, seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.12(b).

Fungsi keanggotaan kurva-S untuk pertumbuhan didefinisikan dengan menggunakan tiga parameter, yaitu parameter untuk titik dengan derajat keanggotaan nol, parameter untuk titik dengan derajat keanggotaan satu, dan parameter untuk titik silang, seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.13.

1

)(x

0

a b x

)(x

1

0

a bx

Gambar 1.12 Representasi kurva-S

(a) (b)

Himpunan Kabur

25

Fungsi keanggotaan kurva-S untuk pertumbuhan adalah:

(x)= S(x ; , , ) =

x-

-

-x

-

; x

;

;

- ;

x

x

x

2

2

0

2

1 2

1

, xU (1.27)

Fungsi keanggotaan kurva-S untuk penyusutan juga didefinisikan

dengan menggunakan tiga parameter, yaitu parameter untuk titik dengan

derajat keanggotaan satu, parameter untuk titik silang, dan parameter untuk titik dengan derajat keanggotaan nol, seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.14.

)(x

1

5,0

0

x

Gambar 1.13. Kurva-S untuk pertumbuhan


26

Fungsi keanggotaan kurva-S untuk penyusutan adalah:

(x)= S(x ; , , ) =

x

x

x

x

x

x

;

2

2

1 ;

1 2 ;

2 ;

0

, xU (1.28)

5. Representasi Kurva Bentuk Lonceng (Bell-Shaped)

Kurva bentuk lonceng merupakan kurva yang simetris pada suatu titik dan bentuknya menyerupai bentuk lonceng atau berbentuk kurva normal. Representasi kurva ini terbagi atas tiga kelas fungsi keanggotaan, yaitu fungsi

keanggotaan kurva-, fungsi keanggotaan kurva-beta dan fungsi keanggota-an kurva Gauss.

(i) Fungsi keanggotaan kurva-

Fungsi keanggotaan kurva- didefinisikan dengan menggunakan dua

parameter, yaitu parameter untuk titik tengah dengan derajat keanggotaan

Gambar 1.14 Kurva-S untuk penyusutan

)(x

1

5,0

0

x

Himpunan Kabur

27

sama dengan satu, dan parameter untuk lebar pita (bandwidth), seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.15.

Fungsi keanggotaan kurva- adalah sebagai berikut:

(x)=(x;,)=x

x

S ; , , x

S ; , , x

2

2

( ) ;

1 ( ) ;, xU (1.29)

(ii) Fungsi keanggotaan kurva-beta

Seperti halnya kurva-, kurva ini juga berbentuk lonceng dan simetris terhadap suatu titik. Fungsi keanggotaan kurva-beta didefinisikan dengan

menggunakan dua parameter, yaitu parameter untuk titik tengah dengan

derajat keanggotaan sama dengan satu, dan parameter untuk setengah lebar pita, seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.16.

)(x

1

5,0

0x

2

2

Gambar 1.15 Grafik fungsi keanggotaan kurva-


28

Fungsi keanggotaan kurva-beta adalah:

2

1( ) ( ; , ) ,

1

x xx

B xU (1.30)

(iii) Fungsi keanggotaan kurva-Gauss

Fungsi keanggotaan kurva-Gauss didefinisikan dengan dua parameter,

yaitu untuk titik tengah dengan derajat keanggotaan sama dengan satu, dan k untuk lebar pita, seperti diperlihatkan dalam Gambar 1.17.

Fungsi keanggotaan kurva-Gauss adalah

(x) = G(x ; k, ) = exp(–k( – x)2), xU (1.31)

Gambar 1.17. Grafik fungsi keanggotaan kurva-Gauss

k

1

5,0

0

( )x

x

1

0

Gambar 1.16. Grafik fungsi keanggotaan kurva-beta

)(x

5,0

Himpunan Kabur

29

Soal-Soal Latihan

1.1. Tuliskan himpunan berikut dengan menggunakan metode kaidah:

a. A terdiri atas huruf-huruf a, b, c, d dan e

b. B = {2, 4, 6, 8, …}

c. C terdiri atas negara-negara anggota FIFA.

d. D = {5}

e. E terdiri atas presiden B.J. Habibie, Abd. Rahman Wahid, Megawati Soekarno Putri dan Susilo Bambang Yudoyono.

1.2. Diketahui himpunan semesta U = 10.

a. Jika A = 5, tentukan fungsi keanggotaan A .

b. Jika 1 1 3 5 7 9

0

xμB x

x

jika , , , ,( )

jika yang lain, xU.

carilah anggota himpunan B.

1.3. Kembali ke soal no. 1.2, tentukanlah

a. cA Bμ x

( )( ) , xU.

b. ccA Bμ x( ) , xU.

c. cA Bμ x

( )( ) , xU.

1.4. Berikan lima buah contoh himpunan kabur yang Anda temui dalam kehidupan sehari-hari! Berikan alasan kenapa dikategorikan sebagai himpunan kabur.

1.5. Misalkan himpunan semesta U = {a, b, c, d, e, f}. Diketahui himpunan

kabur P dan Q dalam U dengan fungsi keanggotaan masing-masing

adalah:

0

0 4

1

P

x e f

μ x x a c d

x b

jika ,

( ) . jika , ,

jika

dan

0

0 2

0 5

1

xQ

x c

b e fμ x

x a

jika

. jika , ,( )

. jika

jika yang lain


30

Tentukanlah anggota himpunan kabur P dan Q .

1.6. Modelkan ekspressi berikut sebagai himpunan kabur:

a. Bilangan bulat besar

b. Mahasiswa pintar

c. Sayur-sayuran yang berwarna hijau.

1.7. Misalkan himpunan kabur A , B dan C didefinisikan pada interval U =

[0, 5] dengan fungsi keanggotaan:

2

1( )

1 5( 3)Ax

x

, ( ) 2 x

Bx ,

2( )

5C

xx

x

xU.

Tentukan fungsi keanggotaan dan gambar grafiknya pada setiap himpunan kabur berikut:

(a). cA , cB dan cC

(b). A B , AC dan B C

(c). A B , AC dan B C

(d). A cC dan ( cB C )c

1.8. Cari suatu sifat yang berlaku di himpunan biasa tapi tidak berlaku di himpunan kabur! Tunjukkan alasannya!

1.9. Tentukan support untuk himpunan kabur berikut:

a. A = {(3, 0.1), (4, 0.2), (5, 0.3), (6, 0.4), (7, 0.6), (8, 0.8), (10, 1),

(12, 0.8), (14, 0.6)}

b. B dimana ( )B

x = ( x + (x -10)2)-1

1.10. Tentukan semua potongan- dan semua potongan- kuat untuk

himpunan kabur A dan B dalam Soal no. 1.8 (untuk himpunan kabur

B , = 0.3, 0.5, dan 0.8)

1.11. Buktikan bahwa

a. ( ) ( )A B C A B C .

b. ( ) ( ) ( )c c c c c cA+B+C = A B C A B C A B C

( )A B C

Documents

BAB I Himpunan Kabur - eprints.unm.ac.ideprints.unm.ac.id/10398/4/BAB I.pdf · menyatakan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh anggota-anggotanya disebut metode kaidah ... diskrit