Bab II Persamaan Diferensial Biasa

BAB IIPERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Tujuan Pembelajaran Umum:1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar persamaan diferensial.2. Mahasiswa mampu menggunakan konsep dasar persamaan diferensial untuk menyelesaikan masalah-masalah teknik.

Tujuan Pembelajaran Khusus:1. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian persamaan diferensial.2. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan

metode pemisahan variabel, substitusi, faktor pengintegralan, dan persamaan Bernoulli.

3. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan diferensial linear orde dua dengan metode koefisien tak tentu tentu dan metode variasi parameter.4. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah penerapan persamaan diferensial

dalam bidang teknik mesin, seperti mekanika dan lenturan pada batang.

3.1 Pendahuluan

Beberapa pemodelan pada masalah teknik dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial, misalnya masalah mekanika dan lenturan pada batang. Oleh karena itu, materi persamaan diferensial penting dipelajari oleh mahasiswa jurusan teknik agar dapat menyelesaikan masalah teknik yang ditekuninya.

Sebuah persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan atau diferensial. Orde sebuah persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan. Persamaan diferensial orde satu adalah persamaan dengan turunan tertingginya turunan pertama, demikian seterusnya. Sebagai contoh, dapat dilihat persamaan-persamaan berikut ini.

1.dydx

= (1+x ) (1+ y ) adalah persamaan diferensial orde satu.

2.d2 yd x2 +8

dydx

−5 y=2x adalah persamaan diferensial orde dua.

Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) adalah persamaan yang hanya melibatkan satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial (partial differential equation). Persamaan diferensial yang disertai nilai awal disebut masalah nilai awal, sedangkan yang disertai nilai batas disebut masalah nilai batas. Nilai awal sebuah persamaan diferensial adalah nilai fungsi ataupun nilai turunan

Matematika Terapan 2 untuk TPKM 1

fungsi yang diberikan pada kondisi awal, misalnya y(0) = 2 , y’(0) = 1, dan seterusnya. Nilai batas adalah nilai fungsi ataupun nilai turunan fungsi yang diberikan pada kondisi tertentu, misalnya y(1) = 0 , y’(5) = 12, dan seterusnya.

Penyelesaian persamaan diferensial adalah persamaan berbentuk y=g ( x ) atau

berbentuk g ( x , y )=C , dengan C konstanta. Penyelesaian persamaan diferensial ada dua macam, yaitu

1. penyelesaian umum yaitu penyelesaian yang masih mengandung konstanta, penyelesaian ini diperoleh jika tidak diberikan nilai awal ataupun nilai batas;

2. penyelesaian khusus yaitu penyelesaian yang tidak mengandung konstanta karena telah disubstitusi oleh nilai awal dan nilai batas yang diberikan.

Metode penyelesaian persamaan diferensial bergantung pada orde dan bentuk persamaannya. Untuk persamaan diferensial orde satu terdapat beberapa metode. Metode penyelesaian yang cocok untuk persamaan pada contoh nomor satu di atas adalah metode pemisahan variabel. Teknik penyelesaiannya akan diuraikan dibawah ini.

3.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu

Metode penyelesaian persamaan diferensial orde satu bergantung pada bentuk persamaannya. Pembahasan akan diawali dari bentuk persamaan yang paling sederhana yang dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel, sampai pada persamaan yang agak rumit yaitu persamaan Bernoulli.

3.2.1 Persamaan dengan Variabel Terpisah

Persamaan diferensial ini berbentuk f ( y ) dydx

=g (x ). Penyelesaian persamaan ini

diperoleh dengan metode pemisahan variabel, yaitu:

∫ f ( y ) dy=∫ g ( x )dx .

Contoh 1: Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu

dydx

=(1+x ) (1+ y )

Jawab:

Langkah 1. Pisahkan suku-suku yang mengandung variabel x dan variabel y,

sehingga persamaan menjadi 1

1+ ydy=(1+x)dx.


Langkah 2. Kemudian lakukan integral pada kedua ruas

Penyelesaian yang diperoleh adalah y=K ex+1

2x2

−1.


dydx

= y2+x y2

x2 y−x2

Jawab:

Langkah 1. Pemisahan suku-suku yang mengandung variabel x dan variabel

y, menghasilkan persamaan ( y−1)

y2 dy=(1+x)

x2 dx

Langkah 2. Sebelum menghitung integral, sederhanakan dulu fungsi-fungsi integran di kedua ruas, sehingga persamaan di atas menjadi

( 1y−

1

y2 )dy=( 1

x2 +1x )dx

Setelah diintegralkan dan disederhanakan bentuknya maka penyelesaian yang diperoleh adalah

Kxy=e

x+ yxy

.

3.2.2 Persamaan yang Direduksi menjadi Persamaan Terpisah (Pemisalan)

Proses reduksi dari persamaan yang variabelnya tidak dapat dipisahkan menjadi dapat dipisahkan adalah dengan substitusi. Secara khusus pada subbab ini dibahas

persamaan yang berbentuk dydx

=f ( yx ) sehingga disubstitusi oleh persamaan y=vx .

Metode ini dikenakan pada persamaan diferensial linear orde satu homogen yaitu persamaan diferensial yang mengandung variabel x dan variabel y yang berderajat sama (pangkat tertinggi variabel x dan y sama). Persamaan diferensial homogen ini disubstitusi oleh persamaan y=vx, dengan v=v (x ) dan oleh turunannya yaitu

y '=v ' x+v sehingga hasilnya dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel.

Uraiannya dapat dilihat pada contoh berikut.



dydx

= x+3 y2 x

Jawab:

Langkah 1. Substitusi persamaan y=vx dan y '=v ' x+v pada persamaan diferensial,

sehingga persamaan menjadi v' x+v= x+3 vx

2 x=1+3 v

2 atau

dvdx

x+v=1+3 v2

. Ini adalah persamaan diferensial baru yang dihasilkan

setelah substitusi. Perhatikan, variabelnya sekarang adalah v dan x !

Langkah 2. Lakukan penyelesaian dengan metode pemisahan variabel!

Penyelesaian yang diperoleh adalah (1+ yx )

2

=Kx.


dydx

=2 xy+3 y2

x2+2xy

Jawab:

Langkah 1. Substitusi persamaan y=vx dan y '=v ' x+v pada persamaan diferensial

sehingga persamaan menjadi dvdx

x+v=2 v+3 v2

1+2 v .

Langkah 2. Lakukan penyelesaian dengan metode pemisahan variabel.

Penyelesaian yang diperoleh adalah xy+ y2=K x3.

3.2.3 Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear (persamaan diferensial yang variabel y -nya berderajat satu) yaitu metode faktor pengintegralan.

Bentuk umum persamaan diferensial linear ini yaitudydx

+Py=Q

dengan P dan Q masing-masing konstanta atau fungsi dalam x.


Faktor pengintegralan (Fi) adalah eksponen pangkat integral dari fungsi P terhadap variabel x. Ditulis

Fi=e∫P dx

dengan P=P (x) atau konstanta.

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Kalikan Fi dengan semua suku pada persamaan diferensial, yaitudydx

Fi+Py Fi=QFi

.

Perhatikan bahwa ruas kiri ekivalen dengan ddx

( y Fi ) sehingga diperoleh

d ( y Fi )=Q Fidx

jika kedua ruas dikalikan dengan dx.

2. Integralkan ruas kiri dan ruas kanan, diperoleh y Fi=∫Q Fidx .

Karena setiap penyelesaian langkah-langkahnya sama, untuk selanjutnya setelah diperoleh Fi, persamaan yang diperoleh pada langkah kedua dapat langsung digunakan. Perhatikan contoh-contoh berikut ini!

Contoh 1:

Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu dydx

− y=x !

Jawab:

Langkah 1. Bandingkan persamaan diferensial pada soal dengan bentuk umum persamaan diferensial Linear, diperoleh fungsi P=−1 dan fungsi Q=x .

Langkah 2. Tentukan Fi yaitu Fi=e∫−dx=e− x. Perhatikan, walaupun integral tak

tentu, hasil akhirnya tidak ditambahkan konstanta C.

Langkah 3. Tuliskan persamaan y Fi=∫Q Fidx, dalam hal ini ekivalen dengan

persamaan y e−x=∫ x e−x dx

Langkah 4. Selesaikan integral pada ruas kanan dengan metode pengintegralan parsial.

Penyelesaian yang diperoleh adalah y=C ex−x−1.


Contoh 2:

Soal: Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde satu xdydx

+ y=x3 !

Jawab:

Langkah 1. Tuliskan persamaan diferensial pada soal sesuai dengan bentuk umum persamaan diferensial Linear. Hal ini penting dilakukan untuk mendapatkan fungsi P dan Q dengan tepat. Untuk persamaan diferensial pada contoh ini, bagi setiap sukunya dengan x sehingga persamaan diferensial menjadi

dydx

+ yx=x2

Langkah 2. Bandingkan persamaan diferensial ini dengan bentuk umum persamaan

diferensial Linear maka diperoleh fungsi P=1x

dan fungsi Q=x2.

Langkah 3. Tentukan Fi yaitu Fi=e∫ 1

xdx=e ln x=x .

Langkah 4. Tuliskan persamaan y Fi=∫Q Fidx , dalam hal ini ekivalen dengan

persamaan y x=∫ x3 dx

Langkah 5. Selesaikan integral pada ruas kanan.

Penyelesaian yang diperoleh adalah y= 14

x3+C.


dydx

+ ycot x=cos x

Jawab:

Langkah 1. Bandingkan persamaan diferensial ini dengan bentuk umum persamaan

diferensial linear maka diperoleh fungsi P=cot x dan fungsi


Q=cos x.

Langkah 2. Tentukan Fi yaitu Fi=e∫cot xdx=eln sin x=sin x.

Langkah 3. Tuliskan persamaan y Fi=∫Q Fidx, dalam hal ini ekivalen dengan

persamaan y sin x= ∫ cos x sin xdx

Langkah 4. Selesaikan integral pada ruas kanan.

Karena hasil integral pada langkah 4 ada dua macam, penyelesaian yang diperoleh

juga dua macam, yaitu y=12

sin x+C cosec x atau y=−12

cos2 x+C cosec x .

3.2.4 Persamaan Bernoulli

Bentuk umum Persamaan Bernoulli adalahdydx

+P y=Q yn

dengan P dan Q masing-masing konstanta atau fungsi dalam x, dan n bilangan asli.

Langkah-langkah Penyelesaian:

1. Bagi setiap suku persamaan diferensial dengan yn.

2. Misalnya z= y1−n, kemudian tentukan dzdy

.

3. Substitusi persamaan diferensial dengan y dan dy pada langkah 2 sehingga diperoleh persamaan yang baru yaitu

dzdx

+P1 z=Q1

4. Selesaikan dengan metode faktor pengintegralan.

Untuk lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini!

Contoh 1:

Soal :Tentukan penyelesaian persamaa diferensial orde satudydx

+ yx=x y2!

Jawab:

Langkah 1. Bandingkan persamaan diferensial pada soal dengan bentuk umum persamaan bernoulli, diperoleh n=2. Bagilah persamaan diferensial dengan y2, diperoleh

1

y2

dydx

+ 1xy

=x .


Langkah 2. Misalnya z= y1−2= y−1, diperoleh

dzdy

=− y−2=−1

y2ataudy=− y2dz .

Langkah 3. Substitusikan hasil langkah 2 pada persamaan diferensial di langkah 1, diperoleh persamaan diferensial yang baru yaitu

−dzdx

+ zx=xatau

dzdx

− zx=−x .

Langkah 4. Selesaikan persamaan diferensial di langkah 3 dengan metode faktor

pengintegralan.

Penyelesaian yang diperoleh adalah

y= 1

−x2+Cx.


x2 y−x3 dydx

= y4 cos x !

Jawab:

Langkah 1. Tuliskan persamaan diferensial pada soal dalam bentuk umum persamaan bernoulli, untuk mendapatkan n yang tepat, yaitu

dydx

− yx=− y4

x3 cos x ,

diperoleh n=4. Bagilah persamaan diferensial ini dengan y4, diperoleh

1

y4

dydx

− 1

x y3=−cos x

x3.

Langkah 2. Misalnya z= y−3, diperoleh

dzdy

=−3 y−4=−3

y4atau dy=−1

3y4 dz .

Langkah 3. Substitusikan hasil langkah 2 pada persamaan diferensial di langkah 1 sehingga diperoleh persamaan diferensial yang baru yaitu


1−3

dzdx

− zx=−cos x

x3atau

dzdx

+ 3 zx

=3cos x

x3.

Langkah 4. Selesaikan persamaan diferensial di langkah 3 dengan metode faktor pengintegralan.

Penyelesaian yang diperoleh adalah

y3= x3

3sin x+C.

Latihan 1

A. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde satu berikut ini dengan metode pemisahan variabel atau metode substitusi !

1.dydx

=1+ y2+ x

2.dydx

=a−xb+ y

3.dydx

= y2 – 1x

4. x ydydx

= x2+1y+1

5. xdydx

= y+x y 6. ( x2−1 ) dydx

+2 xy=x

7.1x

dx− y

x2dy=0 8. cos xdx+ y dy=0

9. ( x3+3 x y2 ) dydx

+ y3+3 x2 y=010. y tan xdydx

=( 4+ y2) sec2 x

11. y exy dx+( x exy+ y ) dy=0 12. 2t ln y dt+ t 2

ydy=0

13. 2√ y−1=xdydx

14.dydx

= y2+1x

B. Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial orde satu berikut ini dengan metode pemisahan variabel atau metode substitusi !


1.4 x dx+9 y dy=0 ; y (3 )=0

2. vdvdt

=g ; v (0 )=v0

3. (2 y−x ) dydx

=2 x+ y ; y (2 )=3

4. ( y−1 )dx+( x−3 ) dy=0 ; y (0 )=23

.

5. 3 x2 y4 dx+4 x3 y3 dy=0 ; y (1 )=2.

Latihan 2

A. Tentukan Penyelesaian Umum dari Persamaan Diferensial Orde Satu berikut ini dengan Metode Faktor Pengintegralan atau Metode untuk Persamaan Bernoulli !

1.dydx

= x2+ y2

xy2. (x− y ) dy

dx=x+ y

3.2 x2 dydx

=x2+ y2 4. ( x2+xy ) dydx

=xy− y2

5. ( x+1 ) dydx

+ y=( x+1 )26. xdydx

−5 y=x7

7. (1−x2 ) dydx

−xy=18. ( x−2 ) dydx

− y=( x−2 )3

9. xdydx

+ y=x sin x 10 . tan xdydx

+ y=sec x

11.2 y−3dydx

= y4 e3 x 12. y−2 xdydx

=x ( x+1 ) y3

B. Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial orde satu berikut ini dengan metode faktor pengintegralan!


1.(x+4 ) dydx

+3 y=3 ; y (3 )=10.

2.dydt

−2 yt

=t2 cos2 t ; y (0 )=0

3.3 Penerapan Persamaan Diferensial Orde Satu

Pada subbab ini akan dibahas penerapan persamaan diferensial orde satu untuk masalah mekanika (gerak lurus) dan tekanan udara.

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Rumuskan model matematika soal yang diberikan, yaitu dalam bentuk persamaan diferensial orde satu!

2. Tentukan penyelesaian umum dan khususnya!3. Jawab pertanyaan pada soal!

Contoh 1. (Gerak Lurus)Soal:Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus. Jarak tempuh pada saat t dinyatakan oleh y, kecepatan benda pada saat t dinyatakan oleh v. Jika diketahui kecepatan benda linear, yaitu v=4 t+3. Jika y=5m, t=1detik . Tentukan jarak tempuh y pada saat t=5detik !

Jawab:

1. Persamaan diferensial orde satu v=dydt

=4 t +3 dengan syarat y (1)=5m

2. Penyelesaian: ∫ dy=∫ (4 t+3 )dt .

Jadi, penyelesaian umum: y=2t 2+3t +C

Penyelesaian khusus diperoleh dengan mensubstitusi syarat pada penyelesaian

umum maka 5=2+3+C, atau C=0.

Jadi, penyelesaian khusus: y=2t 2+3t

3. Jadi, y (5)=65 m atau jarak tempuh pada saat t=5detik adalah 65 m.

Contoh 2: (Tekanan Udara)Soal:


Dari pengamatan diketahui bahwa makin tinggi jarak dari permukaan laut maka makin rendah tekanan udaranya. Laju perubahan tekanan sebanding dengan tekanan pada ketinggian tersebut. Misalkan tekanan permukaan laut dinyatakan oleh y0. Jika tekanan pada ketinggian 6000 m adalah ½ dari tekanan permukaan laut, tentukan tekanan udara pada setiap ketinggian!

Jawab:

Diketahui: y = y ( x )=¿ tekanan pada ketinggian x = tekanan pada setiap ketinggian x = ketinggian dari permukaan laut

Syarat batas: y (6000 )=12

y0

Syarat awal: y0=¿tekanan permukaan laut ¿ y (0).Persamaan diferensial:

dydx

y⟹ dydx

=ky , k<0

(k negatif karena y mengecil ketika x membesar)

Ditanyakan: y ( x )=?

Penyelesaian:

∫ dyy

=∫k dx

ln|y|=kx+C

y=ekx +C=ekx eC=K ekx

Jadi, penyelesaian umumnya adalah y=K ekx ;dengan K=eC .

Substitusi syarat awal pada penyelesaian umum, diperoleh y0=K e0=K . Jadi,

y= y0ekx.....(*)

Substitusi syarat batas pada (*), diperoleh k=− ln 26000

=−1,155.10−4.

Jadi, penyelesaian khususnya adalah y= y0e−1,155.10−4 x.

Dengan demikian, tekanan udara pada setiap ketinggian (pada ketinggian x) adalah

y= y0e−1,155.10−4 x


dengan y0tekanan permukaan laut.

Contoh 3: (Hukum Pendinginan Newton)Soal:Dari pengamatan diketahui bahwa jika sebuah benda dimasukkan ke dalam sebuah medium yang suhunya berbeda dengan suhu benda tersebut maka terjadi perubahan suhu terhadap waktu. Laju perubahan suhu ini berbanding lurus dengan selisih suhu benda terhadap suhu medium. Misalnya, sebuah bola tembaga dipanaskan sampai suhu 1000 C. Kemudian bola panas ini dicelupkan ke dalam air yang suhunya dipertahankan tetap sebesar 300 C. Setelah 3 menit suhu bola menjadi 700 C. Tentukan waktu t ketika suhu bola menjadi 310 C!

Jawab:Diketahui: T=T (t) = suhu benda pada saat t (0 C)t = waktu (menit) t = 0 (saat bola panas mulai dicelupkan ke dalam air)dTdt

=¿ laju perubahan suhu benda terhadap waktu

Syarat awal: T (0 )=100℃Syarat batas: T (3 )=70℃

Persamaan diferensial:

dTdt

(T−30)⟹ dTdt

=k (T−30) , k<0

(k negatif karena T mengecil ketika t membesar)

Ditanyakan: T=31℃⟹t=?

Penyelesaian:

∫ dTT−30

=∫k dt

ln|T−30|=kt +C

T−30=ekt+C=K ekt

Jadi, penyelesaian umumnya adalah T=K ekt+30 ;dengan K=eC .

Substitusi syarat awal pada penyelesaian umum, diperoleh 100=K e0+30⟹K=70. Jadi,

T (t)=70 ekt +30.....(*)


Substitusi syarat batas pada (*), diperoleh k=13

ln47=−0,1865.

Jadi, penyelesaian khususnya adalah T (t)=70 e−0,1865 t+30.

Pada saat suhu bola mencapai 31℃ diperoleh

31=70 e−0,1865 t+30⟹ t=22,75 menit

Dengan demikian, waktu yang dibutuhkan agar suhu bola mencapai 31℃ adalah22,75 menit.

Latihan 3

1. Volume air dalam bejana adalah V m3 pada kedalaman h m. Jika kecepatan

perubahan V terhadap h adalah π (3 h−2 )2 m2, tentukan volume air di dalam

bejana pada kedalaman 2 m !2. Sebuah mobil mulai dalam keadaan diam kemudian berjalan hingga mencapai

kecepatan 100 m/detik selama 30 detik. Jika percepatannya konstan, berapakah jarak yang ditempuh selama 30 detik itu?

3. Sebuah roket ditembakkan lurus ke atas dengan kecepatan (8 t+7 ) m /detik . Jika setelah 20 detik mesin roket itu dimatikan, berapakah ketinggian yang dicapai roket itu sebelum jatuh kembali? (tekanan udara diabaikan).

4. Sebuah benda yang suhunya 100℃ dibawa ke ruangan yang suhunya 22℃. Setelah 20 menit, suhu benda berubah menjadi 70℃. Berapa waktu yang dibutuhkan agar suhu benda tersebut mencapai 40℃?

5. Harga sebuah suku cadang sebuah mesin Rp 8 juta. Harga suku cadang ini

mengalami penurunan dengan rumus dHd t

=−20 ( t+1 )2. H menunjukkan harga

suku cadang setelah t tahun pembelian. Berapakah harga suku cadang tersebut setelah 4 tahun?

6. Muatan listrik yang diterima oleh kondensor dari sebuah rangkaian listrik yang dialiri arus sebesar I ampere dalam waktu t detik adalah Q coulomb.

Jika arus I=5 sinπ3

t dan Q = 0 pada saat t=12

detik, tentukan muatan positif

terbesar pada kondensor!

3.4 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua

Bentuk umum dari Persamaan Diferensial Orde Dua adalah


y ' '+ p y '+qy=r ( x ) (3.1)

dengan y '=dydx

dan y ' '=d2 ydx2 .Jika r (x )≠ 0 , persamaan (3.1) disebut persamaan

diferensial orde dua tak homogen, tetapi jika r ( x )=0 persamaan ini disebut persamaan diferensial orde dua homogen. Sebagai contoh persamaan diferensial orde dua tak homogen yaitu persamaan y ' '+9 y=18 x2 . Pada contoh ini, berarti

p=0 , q=9 , dan r ( x )=18 x2 .

3.4.1 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

y ' '+ p y '+q y=0 (3.2)

Persamaan diferensial orde dua homogen diselesaikan dengan dua langkah yaitu:

1. Tuliskan persamaan karakteristik dari persamaan (3.2), yaitu: λ2+ pλ+q=0.

Kemudian tentukan akar-akarnya (λ1dan λ2¿.

2. a. Jika λ1≠ λ2 dan real, penyelesaian homogennya adalah

yh=A eλ1 x+B eλ2 x

b. Jika λ1=λ2= λ dan real, maka penyelesaian homogennya adalah

yh=( A+Bx)eλx

c. Jika λ12=α ± iβ (bilangan kompleks), maka penyelesaian homogennya adalah

yh=e∝ x ( Acos βx+Bsin βx)

Penyelesaian umum dari persamaan diferensial orde dua homogen ini adalah penyelesaian homogennya.

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian persamaan diferensial orde dua homogen

y ' '+3 y '−4 y=0

Jawab: Persamaan karakteristiknya adalah λ2+3 λ−4=0. Karena kedua akarnya real dan

berbeda, yaitu −4 dan 1, maka penyelesaian homogennya adalah yh=A ex+B e−4 x.

Jadi penyelesaian umumnya adalah y=A ex+B e−4 x.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial orde dua tak homogen atau tentukan penyelesaian masalah nilai awal berikut ini!

y ' '+3 y '−4 y=0; y (0 )=4 , y ' (0 )=5


Jawab: Karena ruas kiri persamaan ini sama dengan contoh 1 maka penyelesaian umumnya adalah

y=A ex+B e−4 x.

Untuk memperoleh nilai dari konstanta A dan B, substitusikan syarat awal pada penyelesaian umum. Karena y (0 )=4, diperoleh 4=A+B. Karena y ' (0 )=5 dan

y ' (x )=A ex−4 B e−4 x, diperoleh 5=A−4 B. Jadi A=1,2 dan B=−0,2.

Jadi, penyelesaian khususnya adalah y=1,2 ex−0,2 e−4 x.

3.4.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Dua Tak Homogen

Penyelesaian umum dari persamaan diferensial orde dua tak homogen adalah gabungan dari penyelesaian homogen dan integral khusus ( y ik ¿ ,ditulis y= yh+ y ik. Penyelesaian ini disebut juga penyelesaian umum lengkap.

Penyelesaian homogen diperoleh dengan cara yang telah dijelaskan pada subbab 3.4.1. Persamaan diferensial orde dua tak homogen dimisalkan sebagai persamaan diferensial orde dua homogen dalam hal ini. Integral Khusus dapat diperoleh dari metode koefisien tak tentu ataupun metode variasi parameter. Kedua metode ini memiliki kekurangan dan kelebihan. Metode koefisien tak tentu terbatas hanya untuk integral khusus berbentuk fungsi eksponen, polinom, trigonometri (sinus dan cosinus) ataupun kombinasi ketiganya. Pada metode variasi parameter, bentuk fungsi integral khususnya tidak terbatas pada tiga jenis fungsi tadi. Akan tetapi, dalam metode ini digunakan penghitungan integral pada bagian akhir penyelesaiannya.

a. Metode Koefisien Tak Tentu

Untuk memperoleh y ik dengan metode koefisien tak tentu, perhatikan r ( x ) pada ruas kanan persamaan diferensial orde dua tak homogen dan tabel berikut!

Tabel 2 Bentuk Umum Integral Khusus

No r ( x ) Bentuk Umum dari y ik

1. Eksponen x , yaitu aebx kebx

2. Polinom berderajat n k n xn+kn−1 xn−1+…+k1 x+k0

3. A cos∝ xatau B sin∝ x C1cos∝ x+C2 sin∝ x


4. A cosh∝ xatau B sinh∝ x C1cos h∝ x+C2 sin h∝ x

Bentuk umum dari y ik adalah pemisalan untuk integral khusus y ik. Jika telah ditentukan bentuk umumnya, selanjutnya bentuk umum ini dihitung turunan pertama dan turunan keduanya. Setelah itu, hasilnya disubstitusikan pada persamaan diferensial orde dua tak homogen sehingga diperoleh y ik yang sesungguhnya.

Contoh 1:

Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua tak homogen

y ' '+3 y '−4 y=x2+1!

Jawab: Dari contoh sebelumnya, diketahui bahwa penyelesaian homogennya adalah

yh=A ex+B e−4 x. Karena ruas kanan merupakan polinom berderajat dua, pemisalan

untuk y ik adalah

y ik=k2 x2+k1 x+k 0 ,

y ik' =2 k2 x+k1 , dan

y ik' '=2 k2.

Substitusikan y ik , y ik ' ,dan y ik ' ' pada persamaan diferensial orde dua tak homogen di atas, diperoleh

y ik' '+3 y ik

' −4 y ik=2k2+3 (2k¿¿2 x+k1)−4 (k2 x2+k1 x+k0 )=x2+1¿

sehingga k 2=−14

, k1=−38

, dan k 0=−2132

.

Jadi, y ik=−14

x2−38

x−2132

Dengan demikian, penyelesaian umum (lengkap) dari persamaan diferensial orde dua tak homogen di atas adalah

y= yh+ y ik=A ex+B e−4 x−14

x2−38

x−2132

.


Contoh 2.


y ' '+9 y=10 cos x !

Jawab:

Bentuk homogen persamaan diferensial orde dua tak homogen di atas adalah

y ' '+9 y=0. Jadi, persamaan karakteristiknya adalah λ2+9=0 . Akar-akar dari

persamaan karakteristik ini λ12=±3 i. Menurut langkah 2 penyelesaian homogennya

adalah yh=e0 x ( Acos3 x+Bsin3 x )=Acos3 x+Bsin3 x. Bentuk r ( x ) pada persamaan

diferensial ini berupa fungsi trigonometri dengan ∝=1 sehingga dengan bantuan tabel diperoleh pemisalan y ik yaitu

y ik=C1cos x+C2sin x,

y ik' =−C1sin x+C2 cos x, dan

y ik' '=−C1cos x−C2 sin x.

Substitusikan y ik , y ik ' ,dan y ik ' ' pada persamaan diferensial tak homogen, diperoleh

y ik' '+9 y ik=−C1cos x−C2 sin x+9 (C1 cos x+C2 sin x )=10 cos x

sehingga C1=54

,C2=0.

Jadi, y ik=54

cos x .


y= yh+ y ik=Acos 3 x+Bsin 3 x+ 54

cos x .

Contoh 3:


y ' '+3 y '−4 y=x+2e2 x!

Jawab: Dari contoh sebelumnya, diketahui bahwa penyelesaian umumnya adalah

y=A ex+B e−4 x.


Karena ruas kanan merupakan kombinasi dari polinom berderajat satu dan eksponen, pemisalan untuk y ik adalah

y ik=k1 x+k0+k e2x ,

y ik' =k1+2 k e2 x , dan

y ik' '=4 k e2x.

Substitusikan y ik , y ik ' ,dan y ik ' ' pada persamaan diferensial orde dua tak homogen di atas, diperoleh

y ik' '+3 y ik

' −4 y ik=4 k e2 x+3(k1+2 k e2 x)−4 (k 1 x+k0+k e2 x)=x+2 e2 x

sehingga k=13

, k1=−14

, dan k 0=−316

.

Jadi, y ik=−14

x− 316

−13

e2x .


y= yh+ y ik=A ex+B e−4 x−14

x− 316

−13

e2x .

Contoh 4: Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua tak homogen

y ' '+3 y '−4 y=2 e x!

Jawab: Dari contoh sebelumnya, diketahui bahwa penyelesaian umumnya adalah

y=A ex+B e−4 x.

Karena ruas kanan merupakan eksponen x, pemisalan untuk y ik adalah

y ik= y ik' = y ik

' '=k ex .

Hasil dari substitusi y ik , y ik ' ,dan y ik ' ' pada persamaan diferensial orde dua tak homogen di atas adalah

y ik' '+3 y ik

' −4 y ik=k ex+3 k ex−4 k ex=0 .

Hasil dari substitusi ini tidak diperoleh simpulan apa pun karena bentuk umum y ik

sama dengan salah satu suku pada penyelesaian homogen. Jadi, harus dipilih


pemisalan y ik yang lain, yaitu y ik=kx ex (dikalikan dengan variabelnya). Jika masih

sama dengan suku lain pada penyelesaian homogen, y ik dikalikan dengan variabelnya satu kali lagi.

Pada soal ini, pemisalan y ik=kx ex tidak lagi sama dengan salah satu suku pada

penyelesaian homogennya sehingga tidak perlu diganti dengan pemisalan yang lain.

Hasil dari substitusi y ik , y ik ' ,dan y ik ' ' pada persamaan diferensial orde dua tak homogen di atas adalah

y ik' '+3 y ik

' −4 y ik=2k ex+kx ex+3 (k e x+kxex )−4 kx ex=2 ex

sehingga diperoleh k=25

.

Jadi, y ik=25

xex .


y= yh+ y ik=A ex+B e−4 x+ 25

xex .

b. Metode Variasi Parameter

Integral khusus pada metode variasi parameter diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut

1. hitung determinan Wronski dari penyelesaian homogen. Misalnya penyelesaian homogen adalah yh=A f 1(x)+B f 2(x ), maka determinan

Wronskinya adalah

W ( x)=| f 1(x ) f 2( x)f 1 '(x ) f 2 ' (x)|=f 1 ( x ) f 2

' ( x )−f 2 ( x ) f 1' ( x ) .

2. hitung integral khususnya, yaitu

y ik=−f 1 ( x )∫ f 2 ( x ) r (x)W (x)

dx+ f 2 ( x )∫ f 1 ( x )r (x)W (x )

dx .


Contoh:

Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua tak homogen ini dengan metode variasi parameter y ' '+9 y=sec 3 x!

Jawab:

Dari contoh 2 pada pembahasan metode koefisien tak tentu, diketahui bahwa penyelesaian umum persamaan diferensial orde dua homogen y ' '+9 y=0adalah

y=Acos 3 x+Bsin 3x.

Penyelesaian ini merupakan penyelesaian homogen, maka determinan Wronskinya adalah

W ( x )=| cos 3x sin3 x−3sin 3 x 3cos3 x|=3 cos2 3x+3 sin2 3 x=3

dan integral khususnya adalah

y ik=−cos3 x∫ sin 3 x sec 3x3

dx+sin 3x∫ cos 3x sec 3 x3

dx

⟺ y ik=−13

cos3 x∫ tan 3 x dx+ 13

sin 3 x∫dx=19

cos3 x ln|cos3 x|+ x3

sin3 x .


y=A cos3 x+B sin 3 x+ 19

cos3 x ln|cos3 x|+ x3

sin 3 x

atauy=¿

Latihan 4

A. Tentukan penyelesaian umum dari persamaan diferensial orde dua tak homogen berikut ini!

1. E I y ' '=−12

w(l−x)2 , denganE , I , w dan l konstanta .

2. y ' '−5 y '+6 y=2 sin 4 x


3. y ' '−5 y '+6 y=e3 x

4. y ' '+4 y=4+2 ex+sin x

5. y ' '+4 y=4sin 2 x

6. y ' '+2 y '−3 y=x e−x

7. y ' '+4 y=cosec 2 x

B. Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan diferensial orde dua tak homogen berikut ini!

1. E I y ' '=wlx−12

w x2 ; y (0 )=5 , y ' ( l )=0

2. y ' '+k y '=−g ; y (0 )= y0 , y ' (0 )=v0

3. y ' '−5 y '+6 y=e6 x ; y (0 )= 112

, y ' (0 )=52

4. y ' '−2 y '−8 y=3e−2 x ; y (0 )=1 , y ' (0 )=32

5.d2 sd t2 +12t=16 sin t ; s (0 )=2 ,

dsdt

(0 )=−4

3.5 Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua

Pada subbab ini akan dibahas masalah mekanika dan lenturan pada batang yang mengandung bentuk-bentuk persamaan diferensial orde dua tak homogen. Pembahasan ini diharapkan akan memberikan gambaran tentang penerapan persamaan diferensial orde dua tak homogen pada teknik sipil.

a. Mekanika

Hukum dasar mekanika atau dinamika adalah hukum Newton, yaitu

F= ddt

(mv ) ,


dengan m massa objek yang bergerak, v kecepatan, t waktu, dan F gaya total yang bekerja pada projek itu. Besaran mv dinamakan momentum.

Jika m konstan, persamaan di atas menjadi

F=mddt

v=ma ,

dengan a percepatan.

Pada permukaan bumi, massa m dihubungkan dengan bobot W oleh W = mg dengan g percepatan gravitasi bumi.

Contoh:

Mobil yang sedang melaju dengan kecepatan 144 km/jam tiba-tiba direm, mengakibatkan percepatan negatif konstan 10 m/det2, berapa lamakah mobil itu akan berhenti dan berapa jarak yang ditempuh mobil sampai berhenti ?

Jawab:

Misalnya jarak tempuh mobil setelah direm pada waktu t detik adalah y(t). Waktu dan posisi saat mobil di rem diasumsikan pada t = 0 dan y = 0 . Jadi,

y (0 )=0 .

Karena kecepatan mobil 144 km/jam = 40 m/det, kecepatan awal mobil

y ' (0 )=40 .

Selanjutnya, percepatan mobil diartikan sebagai turunan kedua yaitu

y ' '=−10 . (3.3)

Dengan demikian, model matematika masalah tersebut adalah

y ' '=−10 ; dengan syarat awal y (0 )=0 , y ' (0 )=40.

Persamaan (3.3) merupakan persamaan diferensial orde dua tak homogen. Jika diselesaikan dengan cara seperti pada subbab sebelumnya diperoleh persamaan karakteristik λ2=0 , sehingga penyelesaian homogennya adalah yh=A+Bt . Jika integral khususnya diperoleh dengan metode koefisien tak tentu, pemisalan untuknya adalah

y ik=k 0t 2 ,

sehingga y ik ' '=2k0=−10. Oleh karena itu, k 0=−5. Jadi, penyelesaian umumnya adalah


y=A+Bt−5 t 2 .

Dengan mensubstitusikan syarat awal pada penyelesaian umum, diperoleh A=0 , dan B ¿40 sehingga diperoleh penyelesaian khusus

y (t )=40 t−5 t 2 .

Persamaan diferensial orde dua tak homogen (3.3) dengan nilai p=q=0 dapat diselesaikan dengan integral langsung. Cara ini akan memberikan penyelesaian khusus yang sama.

Ketika mobil berhenti y ' ( t )=0, turunan pertama penyelesaian khusus memberikan persamaan 40−10 t=0 , dan diperoleh t=4 detik . Jadi, mobil hanya bergerak selama 4 detik setelah direm dan jarak tempuh setelah direm adalah y (4 )=80 m.

b. Oscilasi Harmonik

Sebuah pegas tergantung secara vertikal pada suatu titik tetap. Pada ujung pegas diikatkan beban dengan massa m. Jika beban tersebut ditarik ke bawah kemudian dilepaskan, maka beban bergerak naik turun. Bagaimana persamaan gerak beban tersebut pada setiap waktu? Untuk merumuskan persamaan gerak beban ini, diambil asumsi gerakan beban hanya vertikal karena massa pegas diabaikan (perbandingan massa beban >> massa pegas).

Latihan 5

1. Sebuah mobil mencapai kecepatan 80 km/jam, tanpa kecepatan awal. Jika percepatannya konstan, berapakah jarak yang ditempuh dalam waktu 10 menit?

2. Sebuah bola menggelinding di permukaan tanah dengan kecepatan awal 35 kaki/detik. Jika bola mengalami perlambatan sebesar 7 kaki/detik2, berapakah jarak tempuh bola hingga berhenti?

3. Sebuah benda dengan berat 80 Newton dapat meregangkan pegas sejauh 5 cm. Tentukanlah persamaan gerak benda tersebut dalam y (t) jikaa. benda ditarik ke bawah sejauh 8 cm;b. benda ditarik ke bawah sejauh 4 cm dengan kecepatan awal 1,5 m/det;c. benda didorong ke atas sejauh 8 cm;d. benda didorong ke atas sejauh 4 cm dengan kecepatan awal 1,5 m/det!


4. Tentukanlah persamaan gerak benda yang dihasilkan pada soal nomor 3, jika sistem diberikana. redaman sebesar 100 kg/detik;b. redaman sebesar 120 kg/detik dan gaya luar F(t) = 2 sin t Newton!


Documents

Bab II Persamaan Diferensial Biasa