Bauer Ch15 [호환 모드]webbuild.knu.ac.kr/~jhdho/physics.files/Bauer_Ch15.pdf · · 2011-05-172 2011년5월16일 University Physics, Chapter15 3 결합진동의전파 §동일한질량을동일한용수철로길게연결시킨

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2011년 5월 16일 University Physics, Chapter 15 1

1515장장. . 파동파동1515장장. . 파동파동

§ 파동은시간함수로 공간이나매질을 진행해가는교란(또는 들뜸).§ 물질이이동하지는 않는다.§ 에너지를전달하며 서로간섭한다.


진동진동진동진동• 단순조화진동운동방정식

해

주기 진동수

d 2xdt 2 +

km

x = 0

( )0 0( ) sinx t A tw q= +

F = -kx

w0 =km

0

2T pw

= f = 1T

Þ

§ 결합진동 : 용수철에매단두질량사이에약한용수철을놓고운동시켜보자.

에너지가두용수철사이를오간다.

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결합진동의결합진동의 전파전파결합진동의결합진동의 전파전파

§ 동일한질량을 동일한용수철로 길게연결시킨일련의결합진동자를 조사해보자.

§ 질량 1 을 평형위치에서 밀면, 질량 1과 2 사이의용수철이늘어나서(또는 압축되어), 질량 2에힘을작용한다.

§ 질량 2가 움직여서 이웃한 질량 3에 힘을 작용하고, 질량 3은질량4에… 결국 질량 1을민 들뜸이 줄을따라진행한다.

§ 에너지는줄을 따라 전파되지만 질량은 전파되지않는다.

§ 각사진은 Dt=0.133s 간격으로촬영한것으로펄스가줄을 따라 진행하며 속도는 일정하다.


파동파동파동파동§ 파동의종류:

역학파동: 수면파, 음파, 지진파…

-매질이필요하다.

전자기파 : 라디오파, 마이크로파, 엑스선

-질이필요없다.

물질파: 양자역학… 수면파: 물결은아래위로진동하며동심원을그리며퍼져나가지만,물이실제움직이는것은아니다.

§ 횡파(가로파동)

• 진동자들이이웃한진동자에수직한방향으로만움직인다• 예: 전자기파, 수면파

§ 종파(세로파동)

• 진동자들이이웃한진동자에평행한방향으로만움직인다.• 예: 음파

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“파도타기“파도타기” ” 응원응원“파도타기“파도타기” ” 응원응원

문제: 파도타기응원의 진행속력은얼마나될까?답:

• 관중들은옆사람이일어나서손을드는것을보자마자일어나서손을들었다가자리에앉는다.

• 반응시간 ~ 0.1 s

• 관중석의자의간격~ 0.6 m

• 파도는 0.1s에 0.6m 진행한다⇒ v = (0.6 m)/(0.1 s) = 6 m/s

§ 경험적으로

• 파도의속력: v ~ 12 m/s (자기차례를 미리 예상)

• 흥미롭게도 (아마도…) 파도타기의 속력이 온도에의존할지도모른다(네브라스카대학교 연구)


파동의파동의 수학적수학적 기술기술파동의파동의 수학적수학적 기술기술

§ x=0 에서 시간 축을따라서파동을 살펴보자.

§ 진동이거리 x 를 진행하는 데 걸린 시간:

§ 변위의시간함수:

0( 0, ) sin( )y x t A tw f= = +

Dt = xv

0( , ) (0, ) sinx xy x t y t A tv v

w fæ öæ ö= - = - +ç ÷ç ÷è øè ø

§ 각진동수(주파수) f = 1/T 와파동의속력 v = lf

§ 각진동수:

§ 파수:

§ 파동방정식:

y(x, t) = Asin 2p f t - xv

æèç

öø÷+ f0

æèç

öø÷

y(x, t) = Asin wt -k x + f0( )

k =2pl

= Asin2ptT

-2p xl

+ f0æèç

öø÷

Tpw 2

=

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구면파구면파 vs. vs. 평면파평면파구면파구면파 vs. vs. 평면파평면파

§§ 구면파구면파: 파동이점원에서 생성되어지름방향 바깥쪽동심원모양으로 퍼져나간다.

§ 원둘레나구면에 있는점들은 원점으로부터일정한거리에있으므로 지름거리 r은 상수이다. 3차원에서진폭은 r 의함수이다

( )0( , ) ( )siny r t A r r tk w f= - +r

( )0( , ) sinAy r t r tr

k w f= - +r

§§ 평면파평면파 : 점원에서 생성된구면파는점원으로부터충분히먼 거리에도달하면 평면파로어림할수있다. 평면파는평면의 모든점에서위상이 일정한파동이다. 1차원파동과 동일한함수 형태이다.

§ 완벽한평면파의 진폭은상수이다.

( )0( , ) siny r t A x tk w f= - +r


결합진동자결합진동자: : 정량적정량적 분석분석결합진동자결합진동자: : 정량적정량적 분석분석

이웃한진동자와 용수철로 연결되어 있고 푸른색선을 따라아래위로 진동할 때,

ynyn-1

yn+1

평형위치평형위치

xx

yyF+ = -k(yn+1 - yn )

F- = -k(yn - yn-1)

( , )n ny y x t=

xD

K=용수철상수

§ n번째질량의 운동방정식 (F=ma):

§ 어림

1 12

1 12

( ) ( )

( 2 )

n n n n n

nn n n

ma F F k y y k y yym k y y yt

+ - + -

+ -

= + = - - - -

¶= - +

¶

st 11 derivative: n ny yy yx x x

+ -¶ D» =

¶ D D

1 12

nd 1 12 2

( ) ( )22 derivative:

n n n n

n n n

y y y y yy y yy x x x

x x x x

+ -

+ -

Dæ ö - -D -ç ÷ - +¶ Dè ø D D= » = =¶ D D D

2 22

2 2

y ym k xt x¶ ¶

Þ » D¶ ¶

§ 파동방정식

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파동방정식의파동방정식의 해해파동방정식의파동방정식의 해해

§ 모든 1차원파동을 기술하는 파동방정식:

§ 해: (Y = 임의의 함수)

§ 사인파동:

• 오른쪽으로진행:

• 왼쪽으로진행:

§ 파동속력:

2 2

2 2 2 2

1 1( , ) ( , ) 0y x t y x tt xw k¶ ¶

- =¶ ¶

1

2

( , ) ( )( , ) ( )

y x t Y t xy x t Y t x

w kw k

= -= +

y(x, t) = Asin wt -k x + f0( )

y(x, t) = Asin wt +k x + f0( )

v = wk= l f

1x

k ºD


줄에줄에 생긴생긴 파동파동줄에줄에 생긴생긴 파동파동

§ 현악기는줄의 진동으로음악적 소리를낸다. § 질량 M, 길이 L의 줄이 길이 Δx , 질량 m인 작은 조각들로구성되었다고하자.

(μ=선밀도)

§ 용수철힘=장력:

§ 파동속력

또는

§ 줄의선밀도를 증가시키면파동속력이 감소하고, 줄의장력을증가시키면파동속력이 증가한다.

xm M xL

mD= = D

T = kDx

kv xm

wk

= = D v = k(Dx)2

m=

Tm

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보기문제보기문제 15.1: 15.1: 엘리베이터엘리베이터 케이블케이블보기문제보기문제 15.1: 15.1: 엘리베이터엘리베이터 케이블케이블

문제: 엘리베이터 수리공(질량=73kg)이 고층건물 수직통로내부에 있는질량655kg의엘리베이터 위에앉아있다. 엘리베이터는 질량 38kg, 길이 61m의강철케이블에 매달려있다. 수리공은 망치로줄을 두드려수직통로위쪽에있는동료에게 신호를보낸다.망치가 만든펄스파동이 케이블을따라전달되는데걸린 시간은얼마인가?

답: 줄의장력=엘리베이터와수리공의 무게

§ 강철케이블의 선밀도

§ 파동속력

§ 케이블을따라 전달되는 시간

T = mg = (73 kg + 655 kg)(9.81 m/s2 ) = 7142 N

m =ML=

38 kg61 m

= 0.623 kg/m

v = Tm= 107 m/s

t = Lv=

61 m107 m/s

= 0.57 s


표면파표면파표면파표면파

§ 쓰나미 (2004년 12월 26일, 인도네시아) : 수중에서 지진이발생하면두지각판이 서로움직이면서 해양저가국소적으로이동하고상승하면서 100km 또는 그이상의매우 긴파장을 갖는압력파동이발생한다.

§ 파장은바다 깊이 d (4km)보다훨씬 크다. => 수면파 형성

§ 파동속력:

d ~ 4000 m => v = 450 mph

vsurface = gd

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파동의파동의 에너지에너지파동의파동의 에너지에너지

§ 용수철진동자의 에너지:

§ 파동은많은 결합진동자들의 진동으로 볼 수 있기때문에, 파동이 통과하는매질의작은 부피가 진동자당 위와 같은 진동에너지를갖는 셈이다.

용수철 상수

파동의 에너지

§ 파동이탄성매질을 통해서 진행한다면, 질량 m은 m =ρV 이다.

=> 파동의 에너지:

§ 부피는파동이 진행해가는 단면적 A⊥ (파동의 속도벡터와 수직인 면)과시간 t 동안 진행한 거리 l (l =vt)의 곱이다. 감쇠가 없으면 지름방향으로퍼져나가는 파동에너지는 지름거리에 상관없이 일정하다.

E = 12 kA2

k = mw 2

E = 12 mw 2A(r)2

E = 12 rVw 2A(r)2 = 1

2 r(A^l)w 2A(r)2 = 12 r(A^vt)w 2A(r)2

3d:

2d:

E = 12 r(A^vt)w 2A(r)2 = constant Þ

A^A(r)2 = constant

A^ = 4pr2 Þ r2A(r)2 = constant Þ A(r)µ1 / r

A^ = 2pr Þ rA(r)2 = constant Þ A(r)µ1 / r


파동의파동의 일률과일률과 세기세기파동의파동의 일률과일률과 세기세기

§ 일률 = 에너지/ 시간

§ 파동이방출하는 일률은 시간상수이다 (오른편 항은모두 상수이다!)

§ 파동의세기의 정의⇒ 단면적당 방출하는 일률;

§ 파동세기:

P =Et= 1

2 rA^vw 2A(r)2

I = PA^

I = 12 rvw 2A(r)2

§ 3d 구면파 ;

§ => 파동 세기:

§ 세기의비율

A(r)µ1 / r

I µ 1r2

I1

I2

=r2

r1

æèç

öø÷

2

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중첩원리중첩원리중첩원리중첩원리

§ 파동방정식은매우 중요한선형 특성을갖고있다.=> 함수 y 의 1차 항만 가지고 있다.

§ 선형미분방정식에대한 두개의 해 y1(x,t)과 y2(x,t)를 임의의 상수 a와 b로선형결합한다음 식도같은 선형미분방정식의해가된다.

§ 선형특성 ⇒중첩원리중첩원리:

y(x, t) = ay1(x, t) + by2 (x, t)

둘또는그이상의파동함수를더해서 또다른파동함수해를만들수있다

§ 보기 15.3 : 펄스 파동의 중첩

가우스파동묶음:y1(x, t) = A1e

-(x-v1t )2

y2 (x, t) = A2e-(x+v2 t )2


11차원차원 간섭간섭 (1)(1)11차원차원 간섭간섭 (1)(1)

§ 중첩원리의한 결과가간섭이다. 먼저 진폭, 파수, 각진동수가 같고 위상만

다른두 1차원파동의 합을 살펴보자.

§ 위상차 에 따라간섭 효과가 달라진다.

y(x, t) = Asin(k x -wt) + Asin(k x -wt + f0 )

0f

§ (참고) 2차원간섭

-파동의중심 간격이 Dx인두 구면파

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§ ω의부호만 반대이고, 다른것은 동일한두진행파동에서 특별한형태의중첩이발생한다.

§ 삼각함수의합 공식을 이용한 결과는 다음과 같다.

정지파정지파 (1)(1)정지파정지파 (1)(1)

y(x, t) = y1(x, t) + y2 (x, t)= Asin(k x +wt) + Asin(k x -wt)

y(x, t) = 2Asin(k x)cos(wt)

공간좌표와시간에대한의존성이분리되어 x만의함수와 t만의함수로분리된다. 또한중첩파동은 x축의특정한점에서마디(y=0)와배(y가최대)를갖게된다.


정지파정지파:: 파장과파장과 진동수진동수정지파정지파:: 파장과파장과 진동수진동수

§ 가능한파장은 다음과 같이 제한된다.

§ n=1:: 기본진동수, 1차조화파동

§ n=2: 2차조화파동, …

§ 가능한진동수

ln =2Ln

, n = 1,2,3,...

fn =vln

= n v2L

, n = 1,2,3,...

Þ= Ln n

2l

Þ= fv l

fn =vln

= n T2L m

= n T4Lm

, n = 1,2, 3,...

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