Bauer Ch8 [호환 모드]webbuild.knu.ac.kr/~jhdho/physics.files/Bauer_Ch8.pdf · · 2011-04-041 8장, 입자계와물체 April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 1 질량중심&

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8장, 입자계와 물체

April 4, 2011 University Physics, Chapter 8 1

질량중심 & 무게중심


• Fg 와 지지력이 동일 수직선상에 있으면• 알짜 힘=0 (중력=지지력), • 알짜 회전력(토크)=0® 평형상태

• Fg 와 지지력이 동일 수직선상에 있지 않을 때(중력벡터와 두 힘 사이의 모멘트 팔이 이루는각도 q 가 0이 아니다.)• 알짜 힘=0 • 알짜 회전력(토크)≠0® 알짜 토크가 있으므로 물체가 회전한다.

• 뉴턴역학에서는 물체의 크기와 형태는 고려하지 않고 물체의 모든 질량이한 점(질량중심)에 집중되어 있는 입자로 생각한다. 중력을 계산할 경우,무게중심으로 불러도 된다.

2

질량중심 구하기

• 두 물체계를 살펴보자.• 평형조건 =>

• 두 질량 m1 과 m2 의 질량중심은 다음과 같다.


1 1 2 2m r m r= -r r

• 실험적 방법(1) 물체를 임의의 한 점으로 매달고 아래방향 수직선을 그린다. (2) 물체를 다른 점으로 매달고 새로생긴 아래방향 수직선을 그린다. (3) 두 수직선이만나는 점이 바로 무게중심이다.

m1gm2g

r1 r2

Mg

N

21

2211

mmrmrmR

++

=rrr

여러 개의 물체 질량중심

• n개 물체의 질량중심을 다음과 같이 정의한다.


1 1 2 2 1

11 2

1

... 1...

n

i i nn n i

i inin

ii

rmr m r m r mR rm

m m m Mm

=

=

=

+ + += = =

+ +

åå

å

rr r rr r

M = mii=1

n

å

X =1M

ximii=1

n

å ; Y =1M

yimii=1

n

å ; Z =1M

zimii=1

n

å

x

ym1

m2

m3

m4

r1r2

r3

r4R질량물체의번째imi :

위치물체의번째iri :r위치질량중심의:R

r

3

토막쌓기• 동일한 토막을 그림처럼

쓰러트리지 않고 책상 밖으로 얼마나 멀리 쌓을 수있을까?


x1x2x3x4x5x6x7

12 l

x123x1234x12345x123456x1234567

x12

lxx 21

21 +=

x12 =x1m1 + x2m2

m1 + m2

= 12 (x1 + x2 ) ( )( ) lxxlx 4

1222

122

1 +=++=

112 3 2x x l= + 1

2 3 4x x lÞ = +

• 토막 2 위의 토막 1은 최대 l/2 만큼 삐져 나올 수 있다.

• 토막 1과 2가 합쳐진 무게 중심은

• 토막 1과 2의 무게 중심은 토막 3위에서 최대 l/2 만큼 삐져 나올 수 있다

토막쌓기


12 3 2 1 2 1 1 1123 12 3 3 3 33 3 3 2 3 3

(2 ) ( )2

x m x mx x x x l x x lm m

+= = + = + + = +

+

1123 4 2x x l= + lxx 6

143 +=Þ

• 토막 1,2,3의 합쳐진 무게 중심은

• 토막 1,2,3의 무게 중심은 토막 4위에서 최대 l/2 만큼 삐져 나올 수 있다

• nth 토막의 위치는 다음과 같다.

• n+1 개 토막까지 모두 더하면 다음과 같다.

• 따라서 맨 위의 토막을 책상 밖으로 멀리 쌓을 수 있다.

1 2 2n nlx x

n- = +-

1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 12 4 2 6 4 2 2

1

1...n

ni

x x l x l l x l l l x li+

=

æ ö= + = + + = + + + = = + ç ÷è øå

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연습문제 8.44: 질량중심 (1)• 한 변이 L = 3.40 cm 인 질량 0.205 kg 의 균일한 정사

각형 금속판에서 한 변이 L/4 인 정사각형을 떼어낸 왼쪽 아래 모서리가 그림처럼 (x,y) = (0,0)에 놓여 있다. 남아 있는 금속판의 질량중심은 원점에서 얼마나 떨어져 있는가?


m = mass of platemmissing = m /16 = mass of missing areaxplate = L / 2xmissing = L / 8

X =mxplate - mmisingxmissing

xplate - xmissing

=m L / 2( )- m /16( ) L / 8( )

m - m /16

X =L / 2( )- L /128( )

15 /16

X =L / 2( )- L /128( )

15 /16

X =3.40 cm / 2( )- 3.40 cm /128( )

15 /16X = 1.785 cmY = X = 1.785 cm

R = X 2 +Y 2 = 2X 2

R = 2 1.785 cm( )2 = 2.52 cm

모서리를떼어내기전에판의질량

떼어낸모서리의질량

구면좌표계와 원통좌표계• 구면좌표계의 위치좌표 (r, q, f )는

직각좌표계 (x,y,z)로 변환 가능.


x = r cosf sinqy = r sinf sinqz = r cosq

r = x2 + y2 + z2

q = cos-1 z

x2 + y2 + z2

æ

èçç

ö

ø÷÷

f = tan-1 yx

æèç

öø÷

• 원통좌표계의 위치좌표 (r, f, z )는직각좌표계 (x,y,z)로 변환 가능.

x = r̂ cosfy = r̂ sinfz = z

r̂ = x2 + y2

f = tan-1 yx

æèç

öø÷

z = z

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밀도분포와 무게중심• 물체를 여러 개의 동일한 정육면체(질량 dmi)로 나눈다. 각 정육면체의 중심

은 빨간 점으로 표시한 개별 질량중심이고, 빨간색 화살표는 정육면체의 위치벡터이다.

• 밀도의 정의 :

• 밀도가 균일하면 :

• 각 정육면체의 위치가 다르므로 무게중심은

• 정육면체의 크기를 0으로 접근하면 적분형태로 표현


( ) ii

dmrdV

r =r

r =MV

(for constant r)

1 ( )V

R r r dVM

r= òr r r

1 1

1 1 ( )n n

i i i ii i

R rdm r r dVM M

r= =

= =å år r r r

• 만약 밀도가 일정하면 무게중심은1 (for constant )

V V

R rdV rdVM Vr r= =ò ò

r r rX =

1V

x dV; Vò Y =

1V

ydV; Vò Z =

1V

z dVVò

부피적분

• 직각좌표계의 부피요소 dV 는 간단히 세 좌표의 곱이다.

• 직각좌표계에서 3차원 부피적분은 다음과 같다.


max max max

min min min

( ) ( )z y x

V z y x

f r dV f r dx dy dzæ öæ öç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø

ò ò ò òr r

dV = dxdydz

dV = r̂ dr̂ dfdz

max max max

min min min

( ) ( )z r

V z r

f r dV f r r dr d dzf

f

f^

^

^ ^

æ öæ öç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø

ò ò ò òr r

• 원통좌표계의 부피요소 dV 는 (r, f, z )의 함수.

• 원통좌표계에서 부피적분은 다음과 같다.

직각좌표계직각좌표계

원통좌표계원통좌표계

6


dV = r2dr sinqdqdf

max max max

min min min

2( ) ( )sinr

V r

f r dV f r d d r drf q

f q

q q fæ öæ öç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø

ò ò ò òr r

구면좌표계구면좌표계

• 원통좌표계의 부피요소 dV 는 (r, q, f )의 함수.

• 원통좌표계에서 부피적분은 다음과 같다.

부피적분

보기문제 8.5: 반구의 질량중심• 직교좌표로 반구의 부피적분을 수행해 보자.

– 반지름 R0 인 반구의 질량은 일정하다.– 분명히 무게중심이 z축 위에 있다.


• 무게중심의 z 좌표는

• 반구의 부피는

• 원통좌표의 부피요소

Z =1V

zdVVò

V =2p3

R03

z R0

220 zR -

z dVVò = zr df

0

2p

òæ

èçö

ø÷dr

0

R02 -z2

òæ

èçç

ö

ø÷÷

dz0

R0

ò

= z r df0

2p

òæ

èçö

ø÷dr

0

R02 -z2

òæ

èçç

ö

ø÷÷

dz0

R0

ò

= 2p z r dr0

R02 -z2

òæ

èçç

ö

ø÷÷

dz0

R0

ò = p z(R02 - z2 )dz

0

R0

ò =p4

R04 Z =

1V

zdVVò =

32pR0

3

pR04

4=

38

R0

dV = r̂ dr̂ dfdz

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풀이문제 8.5: 구멍 뚫린 원판의 질량중심 (1)• 밀도 r 가 일정한 원판에 직사각형 구멍이 뚫려 있다. 질량중심은 어디일까?


h=11.0 cmR=11.5 cmd=8.0 cmw=7.0 cm

구멍의오른편이 중심축에있다.

• X 좌표를 다음과 같이 표기한다.

• 아이디어: 구멍을 음의 밀도로 다룬다.

X =xdVdr - xhVhr

Vdr -Vhr=

xdVd - xhVh

Vd -Vh

X =(0 cm)(4570 cm3) - (-3.5 cm)(616 cm3)

(4570 cm3) - (616 cm3)= 0.545 cm

질량중심의 운동 & 운동량• 물체의 일반적인 운동은 복잡하게 보인다.• 그러나 질량중심의 운동을 살펴보면 간단하다.


일반적인 운동=> 질량중심의 운동

+ 질량중심에 대한 회전운동

• 질량중심을 무게중심과 같이 사용한다. – 중력이 없으면 무게중심도 없다.– (관성에 대한)질량중심은 항상 존재한다.

• 질량중심의 좌표

• 시간에 대해 미분하면 속도를 얻는다.

• 따라서 질량중심의 운동량은 다음과 같다.

1

1 n

i ii

R rmM =

= år r

1 1 1 1

1 1 1 1n n n n

i i i i i i ii i i i

d d dV R rm m r m v pdt dt M M dt M M= = = =

æ öº = = = =ç ÷è ø

å å å år r r r r r

1

n

ii

P MV p=

= =år r r

8

질량중심의 운동방정식• 운동량에 대한 시간미분으로 힘을 얻는다.

• 입자가 계 내부의 다른 입자에 작용하는 힘의 합은 반드시 0이므로


1 1 1( )

n n n

i i ii i i

d d d dP MV p p Fdt dt dt dt= = =

æ ö= = = =ç ÷è øå å å

r r rr r

netd P Fdt

=r r

• 2체충돌에서 운동량 보존 ( F = 0 ):

• 질량중심의 운동량 을 고려하면 운동량 보존법칙을다음과 같이 간단히 표기할 수 있다.

– 질량중심의 운동량은 충돌에서 불변이다.– 모든 충돌에서 성립한다.

,1 ,2 ,1 ,2f f i ip p p p+ = +r r r r

0d Pdt

=r

1 2P p p= +r r r

2체충돌• 두 물체의 상대운동량을 생각해 보자.

• 탄성충돌에서는 가 보존된다.• 완전비탄성충돌에서는 두 입자계의

질량중심의 속도가 같다.

11 22 ( )p p p= -

r r r


1 ,1 2 ,2

1 2

i if

m v m vv

m m+

=+

r rr

11 2

12 2

p P p

p P p

= +

= -

rr r

rr r

pr

• 대포에서 포탄을 발사하면 대포는 되튀게 된다.뉴턴의 제3법칙(작용-반작용)의 결과이며 동시에 운동량 보존의 결과이다.

예) 소방호스로 많은 양의 물을 뿌리면 소방호스가 되튀게 된다.

1 20i f f fP P p p= = Þ = -rr r r r

9

풀이문제 8.2: 대포의 되튐 (1)• 질량 13.7kg의 포탄을 질량 249.0kg의 대포로부터 2.30km 떨어진

표적을 향해 발사한다. 2.30km는 대포의 최대 사정거리이다. 대포와 표적은 같은 높이에 있고, 대포는 수평면에 정지해 있다.

문제: 대포의 되튐속도는 무엇인가?


답: 운동량 보존법칙에서 다음을 얻는다.(첨자 1은 대포, 2는 포탄)

• 대포는 수평으로 되튀게 된다. 따라서 수평성분은 다음과 같다.

• 발사각이 45°이므로 최대 도달거리는 다음과 같다.

21 2 1 1 2 2 1 2

1

0 mP p p m v m v v vm

= + = + = Þ = -r r r r r r r

21, 2,

1x x

mv vm

= -

R = v02 / g Þ v0 = gR

풀이문제 8.2: 대포의 되튐 (2)• 초기속도의 x 성분:

• 위 식을 운동량 보존식에 넣어서 다음을 얻는다.

• 수치계산:


2, 0 0cos 45 / 2 / 2xv v v gR= ° = =

2 21, 2,

1 1 2x xm m gRv vm m

= - = -

22

1,1

13.7 kg (9.81 m/s )(2.30 km) 5.84 m/s2 249 kg 2x

m gRvm

= - = - = -

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보기문제 8.2: 소방호스문제:

그림처럼 소방호스로 분당 360.L의 물을분사속도 v=39.0m/s로 뿌릴 때 호스를 잡고있는 소방관에 작용하는 힘의 크기를 구해라.

답:– 우선 분당 분사되는 물의 총질량부터 구해 보자.– 물의 질량밀도=> r = 1000 kg/L– 분당 분출되는 DV = 360.L 의 질량은 다음과 같다.

– 물의 운동량은 Dp = vDm이고, 시간당 운동량, 즉 힘은 다음과 같다.


Dm = DVr = (360 liter)(1.0 kg/liter) = 360 kg

F =

vDmDt

=(39.0 m/s)(360 kg)

60 s= 234 N

로켓의 운동 (1)• 운동하는 물체의 질량이 변하는 경우이다.

– 우주왕복선이 연료를 분출하며 발사된다.


• 뒤쪽으로 포탄을 발사하는 로켓모형을 생각해보자.

• 각 포탄의 질량은 Dm 이고, 로켓의 초기질량은 m0 이다. • 포탄은 로켓에 상대속도 vc 로 발사되므로 각 포탄의 운동량은 vcDm 이다.

• 첫 번째 포탄을 발사한 직후 로켓의 질량은 (m0- Dm)로 감소한다.• 로켓이 받는 되튐운동량은 포탄 운동량의 반대로 다음과 같다.

• 로켓의 속도 변화는 다음과 같다.

• 따라서 로켓의 총속도는 다음과 같다.

pr = -vcDm

Dv1 = -vcDm

m0 - Dm

1 1 10v v v= + D = D

11

로켓의 운동 (2)• 두 번째 포탄을 발사한다.

• 로켓의 질량은 (m0 - Dm)에서 (m0 - 2 Dm)로 감소하고, 다음의 되튐속력을추가로 얻게 된다


Dv2 = -vcDm

m0 - 2Dm• nth 째 포탄을 발사하면 로켓의 속도변화는 다음과 같다.

• 따라서 nth 째 포탄을 발사한 후 로켓의 속도는 다음과 같다.

• 위 식은 회귀관계식이다. 회귀식은 수치계산으로도 정확하게 풀이할 수있다.

Dvn = -vcDm

m0 - nDm

vn = vn-1 + Dvn

로켓의 운동(3)• 포탄의 질량이 로켓 전체의 질량보다 매우 작다고 가정하자.

여기서 vc 는 포탄의 속도이다. • 여기서 포탄의 질량이 작은 극한을 취하면 다음을 얻는다.

• 위 미분방정식의 해는 다음과 같다.


Dv = - vcDmm

ÞDvDm

= -vc

m

dvdm

= -vc

m

00( ) lnc

mv m v vm

æ ö= + ç ÷è ø

• 로켓이 연료를 태우면서 속도 vc 로 뜨거운 가스를 연속적으로 분출하고,• 초기조건 (질량 mi 와 속도 vi)과 최종조건 (질량 mf a 속도 vf)에 따른

로켓의 속도변화는 다음 식으로 주어진다.

ln if i c

f

mv v vmæ ö

= + ç ÷ç ÷è ø

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보기문제 8.3: 화성 탐사로켓

• 질량 5,000kg, 추진연료 205,000kg을 싣고 있는 로켓이 추진체를 5km/s의속도로 분사할 수 있다고 하자. 정지한 로켓이 도달할 수 있는 최대속도는얼마인가?


ln if i c

f

mv v vmæ ö

= + ç ÷ç ÷è ø

vi = 0

v f = 5 km/s × ln205,000 kg

5000 kgæèç

öø÷

v f = 8 km/s = 18,000 mph

로켓의 추진력• 고립계 에 대한 뉴턴의 제2법칙을 적용해 보자.

• 질량 m에 대한 속도의 변화율 =>

• dm 에 대한 속도의 변화율 =>

• 뉴턴의 제2법칙에서 다음을 얻는다.


0netd P Fdt

= =rr r

m dm+

/dv dtr

/cv dtr

cdv dmm ma vdt dt

= = -r

r r

• 다음을 로켓의 추진력이라고 부른다.

추진력이 31.3 MN 인 우주왕복선의 초기가속도를 구해보면 다음과 같다.

rvcdmdt

F = ma = thrust

a = thrustm

=3.13 ×107 N2.0 ×106 kg

= 16 m/s2 = 1.6 g

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