BBİİL 201 L 201 Boole Cebiri ve Temel GeçitlerBoole Cebiri ve Temel Geçitler

(Boolean Algebra & Logic Gates)(Boolean Algebra & Logic Gates)(Boolean Algebra & Logic Gates)(Boolean Algebra & Logic Gates)

Bilgisayar Mühendisligi Bölümü

Hacettepe Üniversitesi

Temel TanımlarTemel Tanımlar

• Kapalılık (closure)

• Birleşme özelliği (associative law)

• Yer değiştirme özelliği (commutative law)

• Eşlik öğesi (identity element) • Eşlik öğesi (identity element)

• Ters (inverse)

• Dağılım özelliği (distributive law)

İkili Boole Cebiriİkili Boole Cebiri

• B = {0,1}

• 2 ikili işlem : +, .

İkili Boole Cebiri 1/3İkili Boole Cebiri 1/3

• Kapalılık (closure)

1, 0 ∈ B

• Eşlik öğeleri (identity elements)

0 + 0 = 0 1 + 0 = 0 + 1 = 10 + 0 = 0 1 + 0 = 0 + 1 = 1

1 . 1 = 1 0 . 1 = 1 . 0 = 0

• Yer değiştirme (commutative)

doğruluk tablosunda görülmektedir.

İkili Boole Cebiri 2/3İkili Boole Cebiri 2/3

• Dağılma (distributive)

x . ( y + z) = (x . y) + (x . z)

x + (y . z) = (x + y)(x + z)

İkili Boole Cebiri 3/3İkili Boole Cebiri 3/3

• Tümler (complement)

x + x’ = 1 0 + 0’ = 0 + 1 = 1

1 + 1’ = 1 + 0 = 1

x . x’ = 0 0 . 0’ = 0 . 1 = 0 x . x’ = 0 0 . 0’ = 0 . 1 = 0

1 . 1’ = 1 . 0 = 0

• İki ayrı eleman

1 ≠ 0

İkili Boole Cebirinin İkili Boole Cebirinin Temel TeoremleriTemel Teoremleri

Dualite prensibi (Duality Principle)

Herhangi bir Boole eşitliğinde: + yerine . . yerine +1 yerine 0 0 yerine 1

konulursa, ilk eşitliğin duali olan yeni bir eşitlik elde edilir.

İşleç Önceliği (Operator Precedence) : Parantez, NOT, AND, OR

Teoremlerin İspatıTeoremlerin İspatı

x + x = x ...

x . x = x ...

x + 1 = x ...

x + xy = x ...

� De Morgan önermesinin doğruluk çizelgesi ile kanıtlanması: Boole İşlevleri (Boolean Functions)Boole İşlevleri (Boolean Functions)

• Boole değişkenleri (a, b, c, …, x, y, z, ..), Boole

değişmezleri (0 ve 1), Boole işleçleri (+, . ve ’) ile

belirli kurallara göre oluşturulan deyim.

• n değişken içeren her Boole deyimi n değişkenli bir• n değişken içeren her Boole deyimi n değişkenli bir

Boole işlevi tanımlar.

• n değişkenli bir Boole işlevinin değeri, değişkenlerin

2n birleşiminin her biri için bilindiğinde, işlev

kesinlikle tanımlanmış olur.

Boole İşlevleri : Bir örnekBoole İşlevleri : Bir örnek

� a b c f

Örnek : f(a,b,c) = b(a’+c’)

Tek bir doğruluk çizelgesi var, aynı f fonksiyonunu tanımlayan birden çok boole işlevi olabilir.

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

ÖrneklerÖrnekler

F1 = xyz’ F2 = x + y’z F3 = x’y’z + x’yz + xy’F4 = xy’ + x’z

MantıkMantık KapılarıKapıları (Logic gates)(Logic gates)

13

F3 == F4

Boole İşlevlerinin YalınlaştırılmasıBoole İşlevlerinin Yalınlaştırılması

• Deyimlerin azaltılması

• Değişkenlerin (literal) azaltılması

• İkisini birden azaltmak her zaman mümkün • İkisini birden azaltmak her zaman mümkün olmayabilir!

ÖrneklerÖrnekler• Aşağıdaki işlevleri minimum sayıda değişken içerecek

şekilde yalınlaştırınız. x + x’yx(x’ + y)x’y’z + x’yzxy + x’z + yzxy + x’z + yz(x + y)(x’ + z)(y + z)

Boole İşlevinin TümleriBoole İşlevinin Tümleri

• F1 = x’yz’ + x’y’z � F1’ = ? - De Morgan teoremi ileF1’ = (x’yz’ + x’y’z)’ = (x’yz’)’.(x’y’z)’

= (x + y’ + z)(x + y + z’)

• F2 = x (y’z’ + yz) � F2’ = ?- Dualini al

x + (y’ + z’).(y + z)- Herbir değişkenin tümlerini al

x’ + (y + z)(y’ + z’)

Standart Biçimler (Standard Forms)Standart Biçimler (Standard Forms)

Standart Çarpımlar Toplamı (sum of minterms)

Standart çarpım terimlerine kısaca minterm denir.

x’yz

n değişkenli Boole işlevlerini tanımlamak için kullanılann değişkenli Boole işlevlerini tanımlamak için kullanılan

2n standart çarpım terimi (minterm) vardır.

n değişkenli her Boole işlevi, n değişkenli minterm’lerden

birkaçının toplamına eşittir.

Standart Biçimler (Standard Forms)Standart Biçimler (Standard Forms)

Standart Toplamlar Çarpımı (product of maxterms)

Standart toplam terimlerine kısaca maxterm denir.

x’+y+z

n değişkenli Boole işlevlerini tanımlamak için kullanılann değişkenli Boole işlevlerini tanımlamak için kullanılan

2n standart toplam terimi (maxterm) vardır.

n değişkenli her Boole işlevi, n değişkenli

maxterm’lerden birkaçının çarpımına eşittir.

3 değişkenli çarpım ve toplam 3 değişkenli çarpım ve toplam terimleriterimleri

Standart Biçimler : Bir ÖrnekStandart Biçimler : Bir Örnek

Standart Biçimler : Bir ÖrnekStandart Biçimler : Bir Örnek

1. F1 = A + B’C boole işlevini standart çarpımlar toplamı şeklinde gösteriniz.

2. F2 = xy + x’z boole işlevini standart toplamlar çarpımı şeklinde gösteriniz.

4 değişkenli çarpım terimleri4 değişkenli çarpım terimleri

4 değişkenli 24 = 16 minterm vardır.

m0 = a’b’c’d’ m8 = a b’c’d’

m1 = a’b’c’d m9 = a b’c’d

m2 = a’b’c d’ m10 = a b’c d’

m = a’b’c d m = a b’c dm3 = a’b’c d m11 = a b’c d

m4 = a’b c’d’ m12 = a b c’d’

m5 = a’b c’d m13 = a b c’d

m6 = a’ b c d’ m14 = a b c d’

m7 = a’b c d m15 = a b c d

Diğer İkili İşlemler 1/2Diğer İkili İşlemler 1/2 Diğer İkili İşlemler 2/2Diğer İkili İşlemler 2/2

Temel Geçitler 1/2Temel Geçitler 1/2 Temel Geçitler 2/2Temel Geçitler 2/2

NAND ve NOR 1/2NAND ve NOR 1/2

• NAND ve NOR, sayısal devrelerin tasarımında çok kullanılan geçitlerdir.

a(ab)’

NAND Geçidi

a(a + b)’

NOR Geçidi

a

b(ab)’

a

ba' + b’

a

b(a + b)’

a

ba'b’

NAND ve NOR 2/2NAND ve NOR 2/2

• Bu geçitler, birleşme özelliğini taşımazlar!

a

b

cy1 = ((ab)’c)’ = ab + c’

a

b

c

y2 = (a(bc)’)’ = a’ + bc

y3 = (abc)’ = a’ + b’ + c’

abc

y1 ≠≠≠≠ y2 ≠≠≠≠ y3

NAND Geçidi : Bir ÖrnekNAND Geçidi : Bir Örnek 3 girişli XOR Geçidi3 girişli XOR Geçidi

F, giriş değişkenlerindeki 1lerin sayısının tek olup olmadığını ifade eder.

Tümleşik Devreler (Integrated Circuits)Tümleşik Devreler (Integrated Circuits)

Tümleşik devre yongaları içerdikleri devrelerin

karmaşıklığına göre aşağıdaki gibi sınıflandırılabilir:

� SSI (Small Scale Integration) : < 10� SSI (Small Scale Integration) : < 10

� MSI (Medium Scale Integration) : 10 – 100

� LSI (Large Scale Integration) : > 100

� VLSI (Very Large Scale Integration)

� XLSI (Extra Large Scale Integration)

Üretim TeknolojisiÜretim Teknolojisi

• TTL (transistor-transistor logic)

• ECL (emitter-coupled logicc)

• MOS (metal-oxide semiconductor)

• CMOS (complementary metal-oxide • CMOS (complementary metal-oxide semiconductor)

• Yayılma Gecikmesi (Propagation Delay)

• Güç tüketimi (Power dissipation)

Bazı tanımlarBazı tanımlar

• Fan-in and Fan-out

PozitifPozitif--Negatif MantıkNegatif Mantık