1

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

§1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1.1. Miền trong R2

1.2.Định nghĩa hàm nhiều biến

12.1. Định nghĩa:Cho DR2, ánh xạ f: D → R được gọi là hàm số hai biến số.

Ký hiệu là: f : D Rx,y Z f(x,y)

+ D là miền xác định của f; x,y là hai biến số độc lập. + f(D) = Dyxyxfz ),(|),( gọi là miền giá trị của hàm f

Hàm số n biến f(x1,x2,….,xn) được định nghĩa tương tự

Ví dụ: Z = 2x – 3y + 5 có D = R2 Z = 2 21 x y có D = 2 2 2(x, y) R / x y 1

Z = ln(x + y – 1) có D = 2(x, y) R / x y 1

Miền xác định: Cho hàm số Z = f(x,y), miền xác định của hàm f là tập hợp các cặp(x,y) sao cho f(x,y) có nghĩa. Ký hiệu là D.

+ D được gọi là liên thông trong R2 nếu với M1, M2 bất kỳ thuộc D luôn có thể nối với nhau bởi một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong D

+ D được gọi là mở nếu những điểm biên L của D không thuộc D + D được gọi là đóng nếu mọi điểm biên L của D đều thuộc D + D được gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều đường

cong kín rời nhau từng đôi một.

Bài tập tại lớp: Tìm miền xác định của các hàm số sau:

a) f(x,y) = 1x y 1

b) f(x,y) = 2x y

1.2.2. Biểu diễn hình học của hàm hai biến số. ( Tự nghiên cứu)

Giả sử Z = f(x,y) xác định trong miền D của mặt phẳng xOy

MP // OZ và MP = f(x,y) = Z

Khi M biến thiên trong D thì P biến thiên trong R3 và sinh ra

mặt S, S gọi là đồ thị của hàm Z = f(x,y) và Z = f(x,y) còn gọi là phương trình của mặt S.

Mỗi đường thẳng song song với trục OZ cắt mặt S không quá một điểm

P

M

O D

X Y

S

Z

2

Ví dụ: Cho Z = 3 – 3x – 32

y , xác định trên toàn bộ mặt phẳng xOy. Đồ thị của Z là mặt

phẳng cắt ba trục tọa độ theo thứ tự ở 3 điểm A(1,0,0),

B(0,2,0), C(0,0,3)

(phần đồ thị nằm trong góc phần tám thứ nhất)

1.2.3. Mặt bậc hai (Xem giáo trình)

1.3. Giới hạn của hàm số hai biến số 1. 3.1 Định nghĩa: Cho hàm số f(M) = f(x,y) , xác định

trong miền D chứa điểm M0(x0,y0) , có thể trừ điểm M0. Ta nói rằng L là giới hạn của f(x,y)

khi điểm M(x,y) dần tới điểm M0(x0,y0) nếu với mọi dãy Mn(xn,yn) thuộc D dần tới M0 ta

đều có : n nnlim f (x , y )

= L.

Ký hiệu: 0 0(x,y) (x ,y )

lim f (x, y)

= L hay 0M M

lim f (M)

= L

1.3.2. Ví dụ: Tính: a) (x,y) (0,0)

lim f (x, y)

với f(x,y) = 2 2

xyx y

b) (x,y) (0,0)

lim g(x, y)

với g(x,y) = 2 2xy

x y

Giải : a) Hàm số đã cho xác định trên R2 \ (0,0) và 2 2

xf (x, y) . y y

x y

,

(x,y) ≠ (0,0). Do đó n n(x , y ) → (0,0) đều có n n

n n(x ,y ) (0,0)lim f (x , y )

= 0.

Vậy f(x,y) có giới hạn 0 khi (x,y) →(0,0) hay (x,y) (0,0)

lim f (x, y)

= 0.

b) Ta có: Với dãy n(x ,0) → (0,0), ta có: nn

lim g(x ,0)

= 0

Với dãy n n(x , x ) → (0,0), ta có n nnlim g(x , x )

= 2n2nn

x 1lim2x 2

≠ 0

Do đó không tồn tại giới hạn (x,y) (0,0)

lim g(x, y)

1.4. Tính liên tục của hàm số hai biến số:

1.4.1 Khái niệm: Cho hàm số f(M) = f(x,y), xác định trong miền D, M0(x0,y0) là một điểm

thuộc D. Ta nói hàm số f(x,y) liên tục tại M0 nếu tồn tại0 0(x,y) (x ,y )

lim f (x, y)

và

0 0(x,y) (x ,y )

lim f (x, y)

= f(x0,y0).

Hàm số f(x,y) gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.

1.4.2 Chú ý: Đặt x = x0 + x ; y = y0 + y , ta có:

A(1,0,0) B(0,2,0

) X Y

Z

O

3

f(x,y) = f(x0 + x ; y0 + y ) và f = f(x0 + x ; y0 + y ) – f(x0,y0).

Có thể phát biểu: Hàm f(x,y) liên tục tại M0(x0,y0) nếu ( x , y) (0,0)

lim f 0

.

Bài tập tại lớp: Tìm giới hạn khi (x,y) → (0,0) của các hàm số sau:

a) f(x,y) = 2 25xy 3x y 12xy 1

b) f(x,y) =

2 2

2 2

2x 3y3x 2y

c) f(x,y) = 2 22 x y .sin y

2y

§2.ĐẠO HÀM RIÊNG.

2.1. Đạo hàm riêng:

2.1.1 Định nghĩa:

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong miền D, điểm Mo(xo, yo)D. Nếu cho y = yo, với yo là hằng số, mà hàm số một biến số x → f(x, yo) có đạo hàm tại x = xo thì đạo hàm đó được gọi là

đạo hàm riêng đối với x của hàm số f(x, y) tại (xo, yo).

Ký hiệu: f’x(xo, yo) hay fx

(xo, yo) hay zx

(xo, yo)

Nghĩa là: f’x(xo, yo) = o 0 o o

x 0

f (x x, y ) f (x , y )limx

Tương tự: Đạo hàm riêng đối với y của hàm số f(x, y) tại (xo, yo), ký hiệu:

f’y(xo, yo) = o o o o

y 0

f (x , y y) f (x , y )limy

Chú ý: + Đạo hàm riêng của hàm số n biến độc lập (n > 2) định nghĩa tương tự.

+ Khi tính đạo hàm riêng của một biến nào đó xem biến còn lại như một hằng số.

Ví dụ: 1) Hàm số z = x4 – 5x3y2 + 2y4 có: zx

= 4x3 –

15x2y2 và zy

= – 10x3y + 8y3

2) Hàm số z = xy , (x> 0) có zx

= yxy-1 và zy

= xy

lnx

3) Hàm số u = 2x.cosy. lnz có ux

= 2x.cosy. lnz. ln2

y

z

xo

yo

P(xo,yo,zo)

T1

C1 T2

C2

4

và uy

= – 2x.siny. lnz, uz

= x2 cos x

z

2.1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng:(Tự nghiên cứu )

Gọi S là đồ thị của hàm số z = f(x,y),

C1 là giao tuyến của S với mặt phẳng y = yo.

T1 là tiếp tuyến của giao tuyến C1 của mặt phẳng S

với mặt phẳng y = yo tại điểm P(xo, yo, zo).

(C1 là đồ thị của hàm 1 biến số y = f(x, yo) trên mặt phẳng y = yo)

T2 là tiếp tuyến của giao tuyến C2 của mặt phẳng S với mặt phẳng x = x0

f’x(xo,yo) = Hệ số góc của tiếp tuyến T1 của C1 taị Po(xo,yo,zo) với zo = f(xo,yo).

f’y(xo,yo) = Hệ số góc của tiếp tuyến T2 của C2 taị Po(xo,yo,zo) với zo = f(xo,yo).

2.2. Đạo hàm riêng cấp cao:

2.2.1 Định nghĩa:

Cho hàm số z = f(x,y) . Các đạo hàm f’x, f’

y là những đạo hàm riêng cấp một. Các đạo hàm

riêng của các đạo hàm riêng cấp một gọi là các đạo hàm riêng cấp hai. Các đạo hàm riêng của

các đạo hàm riêng cấp hai gọi là các đạo hàm riêng cấp ba,…..

Ký hiệu đạo hàm riêng cấp hai như sau:

2

2//

2 x

f f f x, yx x x

2

//yx

f f f x, yx y x y

2

//xy

f f f x, yy x y x

2

2//

2 y

f f f x, yy y y

2.2.2 Định lý:(schwarz) Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M0(x0, y0) hàm số z =

f(x,y) có các đạo hàm riêng f//xy , f//

yx và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại M0 thì f//xy =

f//yx tại M0 .

Ví dụ: Cho f(x,y) = x2ey +x3y2 – y5 có //xyf = 2xey + 6x2y = //

yxf

§3.VI PHÂN TOÀN PHẦN VÀ VI PHÂN CẤP HAI

3.1. Định nghĩa:

5

3.1.1. Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong miền D 2R , M0(x0, y0) và M(x0 + x ; y0 + y )

là hai điểm thuộc D. Nếu số gia f (x0,y0) = f(x0 + x ; y0 + y ) – f(x0,y0) có thể biểu diễn

dưới dạng f (x0,y0) = A x + B y + x y , (khi M → M0) thì ta nói hàm số f(x,y) khả

vi tại M0(x0, y0), biểu thức A x + B y gọi là vi phân toàn phần của hàm f(x,y) tại (x0, y0)

ứng với các số gia x , y và được ký hiệu là df(x0, y0) ( hay dz).

+ Hàm số f(x,y) gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền ấy.

Lưu ý:

+ Nếu f(x,y) khả vi tại (x0, y0), thì tồn tại các đạo hàm riêng f’x(x0, y0), f’

y(x0, y0).

+ Khác với hàm số một biến , nếu hàm số hai biến f(x,y) có các đạo hàm riêng f’x(x0, y0),

f’y(x0, y0) thì chưa chắc nó đã khả vi tại (x0, y0).

3.2. Điều kiện khả vi của hàm số nhiều biến:

Định lý: Nếu hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng trong một miền D, chứa điểm M0(x0, y0)

và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại M0 thì hàm số f(x,y) khả vi tại M0 , vi phân

toàn phần của f(x,y) tại M0 được tính theo công thức:

df(x0, y0) = f’x(xo, yo) x + f’y(xo, yo) y .

Lưu ý: Ta có x = dx ; y = dy, do đó df(x0, y0) = f’x(xo, yo) dx + f’y(xo, yo)dy.

Ví dụ: Tính vi phân toàn phần của hàm số:

a) z = 2 2x y b) u = xeyz

Giải:

a) Hàm số xác định trên R2: Đạo hàm riêng : 2 2

z xx x y

; 2 2

z yy x y

liên tục tại mọi

(x,y) ≠ (0,0) nên z khả vi trên R2\ (0,0) và dz = 2 2

xdx ydyx y

b) Hàm số xác định trên R3: Đạo hàm riêng yzu ex

; yzu xzey

, yzu xyez

liên tục trên

R3 và du = eyzdx + xzeyzdy + xyeyzdz = eyz(dx + xzdy + xydz)

3.3. Ứng dụng của vi phân toàn phần vào tính gần đúng:

6

Khi x , y khá nhỏ , ta có thể xem f (x0,y0) xấp xỉ bằng df(x0, y0) tức là :

f (x0,y0) = f’x(xo, yo) x + f’y(xo, yo ) y

hay f(x0 + x ; y0 + y ) f(x0,y0) + f’x(xo, yo) x + f’y(xo, yo ) y .

Ví dụ: Cho f(x,y) = x2 + 2xy – y2 Tính f (x0,y0) và df(x0, y0), nếu x0 = 2 , y0 = 3,

x = 0,03, y = – 0,02 .

Giải d(x,y) = (2x + 2y) x + (2x – 2y) y →

d(2,3) = (2. 2 + 2. 3)0,03 + (2. 2 – 2.3) (– 0,02) = 0,34

f (2, 3) = f(2,03; 2,98) – f(2; 3) = 0,3434. Vậy d(2,3) f (2, 3)

3.4. Điều kiện để biểu thức P(x,y)dx + Q(x, y)dy là một vi phân toàn phần:

Định lý: Giả sử các hàm số P(x , y) , Q(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trong một miền D

nào đó . Biểu thức P(x , y)dx + Q(x,y)dy là một vi phân toàn phần khi và chỉ khi :

P Qy x

, (x, y) D .

Ví dụ: Chứng minh rằng các biểu thức sau đây là vi phân toàn phần :

a) 2 21 (2x 5y )dx (6y 10xy)dy

b) 3

22

x3x (1 ln y)dx (2y )dyy

, với y > 0

Giải : a) Ta có P 10yy

và Q 10yx

→ P Q

y x

. Vậy 1 là một vi phân toàn phần .

b) Ta có 2P 13xy y

và 2Q 13xx y

→ P Q

y x

. Vậy 2 là một vi phân toàn phần

3.5. Phương trình của tiếp tuyến, pháp diện của đường cong tại một điểm.( Tự nghiên

cứu)

3.5.1.Đường cong trong không gian: Cho I R , t I . Ánh xạ cho tương ứng

mỗi số thực t với một vectơ trong R3 duy nhất

( )r t

gọi là một hàm vec tơ . Nếu x(t), y(t), z(t) là

ba thành phần của vec tơ ( )r t

thì ta viết:

( )r t

= (x(t), y(t), z(t)) hay ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k

. O

M

y

z

z(t)

y(t)

C

M0 ‘

P ‘

7

Đặt ( )OM r t

, điểm M có tọa độ là (x(t), y(t), z(t)) .

Giả sử các hàm số x(t), y(t), z(t) liên tục trên I .

Khi t biến thiên trong I điểm M vạch nên một đường cong C liên tục trong R3. Ta nói rằng

x = x(t), y = y(t), z = z(t) là các phương trình tham số của đường cong C.

( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k

là phương trình vec tơ của đường cong C.

3.5.2. Phương trình của tiếp tuyến:

Giả sử các điểm M0(x(t0), y(t0), z(t0)) và M(x(t0 + h), y(t0 +h), z(t0 + h)) thuộc đường

cong C . Các hàm số x(t), y(t), z(t) khả vi tại t0 thì /0( )r t

= (x/(t0), y/(t0), z/(t0)). Vị trí giới

hạn của cát tuyến M0M khi M dần tới M0 trên đường cong C nếu tồn tại là tiếp tuyến của C

tại M0 . Điểm P(x, y, z) thuộc tiếp tuyến C tại M0 khi và chỉ khi 0M P

cùng phương với

/0( )r t

, nghĩa là phương trình tiếp tuyến của đường cong C tại M0 là:

0 0 0/ / /

0 0 0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x x t y y t z z tx t y t z t

3.5.3. Pháp diện của đường cong:

Mặt phẳng đi qua M0 vuông góc với tiếp tuyến của đường cong Ctaij M0 gọi là pháp

diện của đường cong C tại M0. Điểm P(x, y, z) nằm trên pháp diện của đường cong C tại M0

khi và chỉ khi / /0 0 0 0( ) . ( ) 0M P r t hayM P r t

, nghĩa là phương trình pháp diện của đường

cong C tại M0 là: / / /0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ox x t x t y y t y t z z t z t

Ví dụ: Viết phương trình đường tiếp tuyến và pháp diện của đường xoắn ốc:

x = accost, y = asint, z = bt ; tại điểm ứng với t = 2

Giải: Ta có x( ) 0, ( ) , ( )2 2 2 2

y a z b ; x/(t) = -asint, y/(t) = accost, z/(t) = b

Nên / ( )2

x a , y/ ( ) 0

2

, z/ ( )2

b .

Vậy phương trình của tiếp tuyến với đường xoắn ốc tại điểm t = 2 là:

20

z bx y aa b

hay y = a, bx = a2

b z

x

x(t)

8

Phương trình pháp diện là: ax+b z - 02

b

§4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ẨN

4.1. Đạo hàm của hàm số hợp

4.1.1. Định nghĩa 1: Cho hàm số z = f(u,v), trong đó u = u(x), v = v(x) là những hàm số của

x. Ta nói rằng z = f(u(x),v(x)) là hàm số hợp của x.

.Định lý : Nếu z = f(u,v) là hàm số khả vi của u, v và u = u(x), v = v(x) là những hàm

số khả vi của x thì z là hàm số khả vi của x và ta có : dz f du f dvdx u dx v dx

(1)

4.1.2. Định nghĩa 2: Cho z = f(u,v), trong đó u = u(x,y), v = v(x,y) là những hàm số của hai

biến số độc lập x, y . Khi đó z = f(u(x,y), v(x,y)) là hàm số hợp của x, y.

Định lý: Nếu hàm số z = f (u, v) là hàm số khả vi của u, v và các hàm số u = u(x,y),

v = v(x,y) có các đạo hàm riêng / / / /x y x yu , u , v , v thì tồn tại các đạo hàm riêng z

x

, zy

và

ta có z f u f vx u x v x

, z f u f vy u y v y

.(2)

Ví dụ: 1)Tính dzdx

nếu z = u2 – uv + 2v2 , u = e –x , v = sinx.

Theo công thức (1) , ta có dz z du z dvdx u dx v dx

= (2u – v).( - e – x ) + ( - u + 4v)cosx

= - (2e – x - sinx)e –x + 4sinx – e –x )cosx

2) Tính ,z zx y

nếu z = eucosv, u = xy, v = xy

Ta có : osvuz e cu

, sinuz e vv

, ,u uy xx y

, 21 ,v v x

x y y y

Áp dụng công thức (2) ta có :

x 1os siny

xy xyz xe c y ex y y

; 2

xos siny

xy xyz x xe c x ey y y

4.2. Đạo hàm của hàm số ẩn

4.2.1.Định nghĩa hàm ẩn: Giả sử hai biến số x, y ràng buộc với nhau bởi phương trình

9

F(x, y) = 0. Ta nói y = f(x) là hàm số ẩn xác định bởi phương trình F(x,y) = 0 nếu

y = f(x) là một hàm số xác định trong một khoảng nào đó sao cho khi thế y = f(x) vào

phương trình F(x, y) = 0 ta được một đồng nhất thức.

Ví dụ: Phương trình x2 + y2 – a2 = 0 xác định hai hàm số ẩn y = 2 2a x và

y = – 2 2a x , trong khoảng – a ≤ x ≤ a.

4.2.2.Đạo hàm của hàm ẩn: Nếu F(x, y) khả vi trừ một số điểm, hàm số y = f(x) khả vi thì

/ / /x yF (x, y) F (x, y)y 0 hay

// x

/y

F (x, y)yF (x, y)

nếu /yF (x, y) 0

Ví dụ: Tính y/ nếu xy – ex + ey = 0

Vì F(x, y) = xy – ex + ey khả vi trên R2 nên: /

/ x/y

F (x, y)yF (x, y)

= x

y

y ex e

nếu x + ey ≠ 0

§5. CỰC TRỊ 5.1. Cực trị tự docủa hàm số hai biến số:

5.1.1. Định nghĩa: Hàm số z = f(x, y) gọi là đạt cực trị tại điểm Mo(xo, yo) nếu mọi điểm

M(x, y) khá gần điểm Mo nhưng khác Mo hiệu f(M) – f(Mo) có dấu không đổi.

F(M) – f (Mo) > 0 → Mo điểm cực tiểu ; f(Mo) giá trị cực tiểu

f(M) – f(Mo) < 0 → Mo điểm cực đại ; f(Mo) giá trị cực đại

Cực đại hay cực tiểu gọi chung là cựctrị. Điểm Mo được gọi là điểm cực trị.

Ví dụ: Hàm số z = x2 + y2 đạt cực tiểu tại O(0, 0) vì x2 + y2 > 0 (x, y) ≠ (0, 0).

5.1.2. Điều kiện cần của cực trị:

Định lý: Nếu hàm số z = f(x, y) đạt cực trị tại điểm M0(x0, y0) và tại đó các đạo hàm riêng

tồn tại thì f’x(xo, yo) = 0 , f’y(xo, yo) = 0

Những điểm mà tại đó các đạo hàm riêng cấp một bằng 0, gọi là điểm dừng.

5.1.3. Điều kiện đủ của cực trị:

Giả sử M0(x0, y0) là một điểm dừng của hàm số f(x,y) và hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng

cấp hai ở lân cận điểm M0 . Đặt A = //xxf (xo, yo), B = //

xyf (xo, yo) , C = //yyf (xo, yo). Khi đó:

+ Nếu B2 – AC < 0 thì f(x,y) đạt cực trị tại M0 và đạt cực tiểu nếu A > 0, cực đại nếu A < 0

+ Nếu B2 – AC > 0 thì f(x,y) không đạt cực trị tại M0

+ Nếu B2 – AC = 0 thì chưa kết luận được f(x,y) đạt cực trị hay không đạt cực trị tại M0

10

Ví dụ: a) Tìm cực trị của hàm số : z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8

Giải: Ta có z/x = 2x + 4 ; z/

y = 2y – 2

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ:

2x 4 02y 2 0

hệ có một nghiệm (– 2; 1)

Vì A = //xxz 2 > 0 , B = //

xyz 0 , C = //yyz 2 nên B2 – AC = – 4 < 0 . Vậy hàm số đạt

cực tiểu tại (– 2; 1) và Zmin = 3

b) Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 – 3xy ( sinh viên tự giải)

5.2. Cực trị có điều kiện:

5.2.1. Khái niệm: Cực trị của hàm số z = f (x, y) trong đó các biến số x và y bị ràng buộc

bởi hệ thức g(x,y) = 0 là cực trị có điều kiện.

5.2.2. Định lý: Giả sử M0(x0; y0) là điểm cực trị có điều kiện g(x ; y ) = 0 . Nếu ở lân cận

M0 hàm số f(x; y) , g(x ; y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục và các đạo hàm riêng

/ /;x yg g không đồng thời bằng 0 tại M0, khi đó ta có tại M0 : / /

/ / 0x y

x y

f fg g

.

Chú ý: Nếu các điều kiện của định lý được thỏa mãn thì tồn tại một số λ sao cho tại điểm

M0 ta có / /

/ /

( ; ) ( ; ) 0( ; ) ( ; ) 0

x x

y y

f x y g x yf x y g x y

. Hệ phương trình này cùng với phương trình

g(x;y) = 0 giúp tìm λ , x0, y0 . Số λ được gọi là nhân tử Lagrange. Phương pháp tìm λ , x0,

y0 được gọi là phương pháp nhân tử Lagrange

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm z = x2 + y2 với điều kiện ax + by + c = 0 ( c ≠ 0) .

Giải : / /

/ / 0x y

x y

f fg g

nên x ya b . Giải hệ

ax+by+c 0

x ya b

ta được một điểm tới hạn

duy nhất: M0 2 2 2 2;ac bc

a b a b

→ z(M0 ) = 2 2

2 2 2 2

ac bca b a b

11

=

2 2 2

22 2

c a ba b

=

2

2 2

ca b

5.3. Giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm hai biến số trong một miền đóng giới nội.

Muốn tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x, y) trong một miền đóng giới nội D ta thực

hiện các bước sau:

+ Tính các giá trị của f tại các điểm dừng thuộc miền D

+ Tính các giá trị của f tại các điểm biên của D

+ Số lớn nhất trong các giá trị đã tính ở trên là giá trị lớn nhất , số bé nhất trong các giá trị đã

tính ở trên là giá trị bé nhất cần tìm.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2 trong một miền đóng

D hình tam giác có các đỉnh A(–1; 1), B(2; 1) , C(–1; –2)

Giải : Ta có : /x/y

f 2x 2y 0

f 2x 6y 0

hệ có nghiệm (0;0) D → f(0, 0) = 0

+ Trên cạnh AB: y = 1; –1 x 2 . Tam thức đạt cực tiểu tại x = –1, ta có f(–1; 1) = 2 ;

f(2 ; 1) = 11

+ Trên cạnh AC: x = –1; –2 y 1, f(–1,y) = 3y2 – 2y + 1 ; đạt cực tiểu tại y = 13

f(–1; 13

) = 23

; f(–1; 1) = 2 ; f(–1; –2) = 17

+ Trên cạnh BC: x – y = 1, do đó y = x – 1 , f( x, x – 1) = x2 + 2x(x – 1) + 3(x – 1)2 ; –1

x 2 , đạt cực tiểu tại x = 23

, f( 23

; 13

) = 13

; f(2 ; 1) = 11; f(–1; –2) = 17.

So sánh các giá trị đã tính ta được : fmin = 0, fmax = 17

12

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1.1.Cho f(x,y) = 2 22

2xy

x y . Tính f(2,1) , f(-1,3)

1.2.Cho g(x, y, z) = x2 lnysinz. Tính g(-1, e2, 4 ).

1.3.Tìm miền xác định của hàm số:

a) f(x,y) = 11x y

b) f(x,y) = 2x y c) f(x,y) = ln( )x x y

d) f(x,y) = 1 1x y e) f(x,y) = 2 2 2 21 ln(4 )x y x y 1.4.Tìm giới hạn khi (x,y) → (0,0) của các hàm số sau:

a) f(x,y) = 2 25 3 12 1

xy x yxy

b) f(x,y) =

2 2

2 2

2 33 2

x yx y

c) f(x,y) = 2 22 sin

2x y y

y

d) f(x,y) = 2

2 2

( )x yx y

e) f(x,y) = 2 2

2 2 1 1x y

x y

1.5.Tính các đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau: a) f(x,y) = x2y2(x3 +y3) b) f(x,y) = yln(x2 – y2) c) f(x,y) = exytg(x – 2y)

d) f(x,y) = 2 2

xx y

e) f(x,y) = 234y x x y f) f(x,y) = 3

3

x yy x

g) f(x,y) = 2 22x xy ye h) f(x,y) = 2yx (x > 0) i) f(x,y) = sinxy yex

1.6.Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:

a) f(x,y) = 3 2 2x y x y b) f(x,y) = cos2(2x – 3y) c) f(x,y) = 3

2 2 2( )x y

1.7.Tính đạo hàm riêng cấp cao của các hàm số sau:

a) f(x,y) = x3y2 – 5x4y, tính ///xxxf và ///

yxyf b) f(x,y) = 2xye , tính ///xxyf và ///

yyxf

1.8.Tính vi phân toàn phần của các hàm số sau:

a) f(x,y) = x3 +y3 – 3xy b) f(x,y) = yexy c) f(x,y) = ln(x2 +3y2 +1)

1.9.Tính gần đúng các số sau:

a) 2 29.1,95 8,1 b) ln 3 3(0,09 0,99 ) c) 0,02 25 2,03e

1.10.Chứng minh các hàm số sau thỏa mãn phương trình utt = a2uxx:

a) u(x,t) = sin(kx).sin(akt) b) u(x,t) = (x – at)4 + (x + at)4

1.11.Tính dzdx

của các hàm hợp sau:

a) z = u3 + v3 , trong đó u = x2 + y2 , v = 2xy

b) z = u 21 v , trong đó u = xe – x , v = cosx

13

c) z = ln(u + v2) , trong đó u = 1 x , v = 1 + x

1.12.Tính ,z zx y

của các hàm hợp sau:

a) z = u2sinv, trong đó u = x2 + y2 , v = 2xy

b) z = sinu.cosv, trong đó u = (x – y)2 , v = x2 – y2

c) z = u2 – 3u2v3 , trong đó u = xey , v = xe –y

1.13.Tính đạo hàm của các hàm số ẩn:

a) y5 + 3x2y2 + 5x4 = 9 , tính y/

b) y3 +(x2 + 1)y + x4 = 0 , tính y/

c) xcosy + y cosx = 1 , tính y/

d) 1 + xey – yex = 0, tính y/

1.14.Tìm cực trị của các hàm số:

a) f(x,y) = 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 2y b) f(x,y) = xsiny c) f(x,y) = x4 + y4 - 4xy + 1

d) f(x,y) = (x – y )2 + ( x + y )3 e) f(x,y) = xy(1 – x – y ).

1.15.Tìm cực trị có điều kiện :

a) f(x;y) = 1 1x y với điều kiện

2 2 2

1 1 1x y a

b) f(x;y) = xy với điều kiện x + y = 1

c) f(x;y) = xy với điều kiện 2x + 3y – 5 = 0

d) f(x; y) = x2 + y với điều kiện x2 + y2 = 1

1.16.Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f trên miền D:

a) f(x, y) = 1 – x2 – y2 , D là miền tròn đóng (x – 1)2 + (y – 1)2 ≤ 1

b) f(x,y) = x2 + 3y2 + x – y , D là miền đóng giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, y = 1

và x + y = 1

c) f(x,y) = 1 + xy – x – y , D là miền đóng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = 4

1.17.Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong tại điểm P:

a) x = t, y = 2

2t , z =

3

3t , P(1, 1 1,

2 3)

b) x = 2t, y = 2 2 cost, z = 2 2 sin t , P( ,2, 22 )

14

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN KÉP

§1. TÍCH PHÂN KÉP.

2.1. ĐỊNH NGHĨA:

Cho hàm số hai biến số Z = f(x,y), xác định trong miền hữu hạn D, nằm trong mặt

phẳng Oxy. Thực hiện các bước sau:

+ Chia tùy ý miền D thành n miền nhỏ d0, d1 ,….dn – 1, có các diện tích tương ứng là

0 1 n 1, ,....., . i là đường kính của miền di ( đường kính là khoảng cách lớn nhất

giữa hai điểm bất kỳ trên biên của di )

+ Trong mỗi miền nhỏ di lấy một điểm tùy ý Mi( i i, ) và tính:

f(Mi) i = f( i i, ) i , ( i = 0,1,…,n – 1).

+ Lập tổng: In = n 1

i ii 0

f (M )

( gọi là tổng tích phân của hàm số f(x,y) trong miền D).

+ Tìm giới hạn của In khi n → +∞ sao cho max i → 0. Nếu tổng In tiến dần đến một giới

hạn xác định I , không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm Mi trong

mỗi miền nhỏ di thì giới hạn I được gọi là tích phân kép của hàm số f(x,y)trong miền

D, ký hiệu là D

f (x, y)d . Vậy D

f (x, y)d . = i

n 1

i imax 0 i 0(n )

lim f (M )

.

f(x,y) gọi là hàm số dưới dấu tích phân, d gọi là yếu tố diện tích. D gọi là miền lấy tích

phân, x và y gọi là các biến số tích phân.

Nếu D

f (x, y)d tồn tại thì ta nói rằng hàm số f(x,y) khả tích trong miền D

2.2. LƯU Ý:

+ Nếu hàm số f(x,y) liên tục trong miền hữu hạn D thì khả tích trong miền D

+ V =

i

n 1

i imax 0 i 0n

lim f (M )

= D

f (x, y)d .

+ Tích phân kép phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân f(x,y) và miền lấy tích phân

D, mà không phụ thuộc vào ký hiệu của biến số tích phân, nghĩa là :

15

D

f (x, y)d . = D

f (u, v)d .

2.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KÉP

2.3.1. Tính chất 1:

D

kf (x, y)d = kD

f (x, y)d ( k là hằng số).

2.3.2. Tính chất 2: 1 2 3D

f (x, y) f (x, y) f (x, y) d = 1D

f (x, y)d + 2D

f (x, y)d - 3D

f (x, y)d

2.3.3. Tính chất 3: Nếu miền lấy tích phân D chia thành hai miền D1 và D2 rời nhau thì

D

f (x, y)d . = 1D

f (x, y)d . + 2D

f (x, y)d .

2.3.4. Tính chất 4: Nếu tại mọi điểm thuộc miền D ta luôn có f(x, y) ≥ 0 thìD

f (x, y)d . ≥ 0,

còn nếu f(x,y) ≤ 0 tại mọi điểm thuộc miền D thì D

f (x, y)d . ≤ 0.

2.3.5. Tính chất 5: Nếu tại mọi điểm thuộc miền D ta luôn có f(x,y) ≥ (x, y) thì

D

f (x, y)d . ≥ D

(x, y)d .

2.3.6. Tính chất 6: Nếu m và M là các giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f(x,y) trong miền

D : nghĩa là m ≤ f(x, y) ≤ M tại mọi điểm (x,y) D thì :

mSD ≤D

f (x, y)d . ≤ MSD , trong đó SD là diện tích của miền D.

2.3.7. Tính chất 7: ( Định lý về giá trị trung bình) . Nếu f(x,y) liên tục trong miền D thì trong

miền đó tìm được ít nhất một điểm Mi( i i, ) sao cho:

D

f (x, y)d . = f( i i, )SD.

Giá trị của hàm số f(x,y) tại điểm Mi( i i, ) gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x,y) trong

miền D

§2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP

2.1. Cách tính tích phân kép trong tọa độ Đề - các. Có d = dxdy nên

D

f (x, y)d . = D

f (x, y)dxdy.

16

2.1.1. Trường hợp 1: Mọi đường thẳng song song với trục Oy cắt biên của miền D không quá

hai điểm:

V = D

f (x, y)d . = 2

1

(x)b

a (x)

( f (x, y)dy)dx

hay

D

f (x, y)dxdy. = 2

1

(x )b

a (x)

dx f (x, y)dy

(1)

trong đó a, b là hoành độ của hai điểm biên; biên được chia thành hai đường có phương

trình y = 1(x) và y = 2 (x)

2.1.2. Trường hợp 2: Mọi đường thẳng song song với trục Ox cắt biên của miền D không

quá hai điểm:

D

f (x, y)dxdy. = 2

1

(y)d

c (y)

dy f (x, y)dx

, (2) trong đó c và d là tung độ của hai điểm biên; biên

được chia thành hai đường có phương trình x = 1(y) và x = 2 (y)

Lưu ý : + Đối với trường hợp 1, đầu tiên tính 2

1

(x )

(x )

f (x, y)dy

, xem x là hằng số ,kết quả cho ta

một hàm số của x. Tính tích phân hàm số ấy theo x từ a dến b ta được kết quả phải

tìm.

+ Đối với trường hợp 2, đầu tiên tính 2

1

(y)

(y)

f (x, y)dx

, xem y là hằng số , kết quả cho ta

một hàm số của y. Tính tích phân hàm số ấy theo y từ c đến d ta được kết quả phải

tìm.

+ Trong trường hợp f(x, y) < 0 trong miền D , các công thức tính tích phân trên vẫn

đúng

Ví dụ 1. Xác định các cận tích phân D

f (x, y)dxdy với:

a) D là miền giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2.

b) D là miền giới hạn bởi các đường y = 0, y = x2 và x + y = 2

Giải:

a) Hoành độ của các giao điểm A và B được

xác định bởi phương trình :

2x2 = 2 → x = ± 1.

+ Áp dụng (1) tính tích phân theo y trước.

A B 2

x =2y

y = 2x2

D

17

Nhìn theo hướng dương của trục Oy, thấy đường cong AOB giới hạn phía dưới của miền

D

(có phương trình y = 2x2). Đường thẳng AB giới hạn phía

trên của miền D ( có phương trình y = 2) còn x biến thiên từ xA= -1 đến xB = 1 , nên

miền D được biểu diễn như sau: - 1 ≤ x ≤ 1 và 2x2 ≤ y ≤ 2.

Do đó D

f (x, y)dxdy. = 2

1 2

1 2x

dx f (x, y)dy

+ Áp dụng (2 ) tính tích phân theo x trước. Nhìn theo hướng dương của trục Ox, ta thấy

đường cong OA giới hạn phía dưới của miền D (có phương trình x = 2y

), đường cong

OB giới hạn phía trên của miền D (có phương trình x = 2y ) còn y biến thiên từ y = 0 đến

y = 2, nên miền D được biểu diễn như sau: 0 ≤ y ≤ 2 và y yx2 2

Do đó D

f (x, y)dxdy. =

y2 2

0 y2

dy f (x, y)dx

b) Hoành độ giao điểm được xác định bởi phương trình x2 = 2 – x hay x2 + x – 2 = 0

→x = 1→y = 1

+ Nếu Áp dụng công thức (1) ta có : D

f (x, y)dxdy. = OCB

f (x, y)dxdy. + CAB

f (x, y)dxdy.

Trong đó miền OCB là: 0 ≤ x ≤ 1 và 0 ≤ y ≤ x2 còn miền CAB là: 1≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ 2– x

Do đó = D

f (x, y)dxdy.21 x

0 0

dx f (x, y)dy + 2 2 x

1 0

dx f (x, y)dy

+ Nếu áp dụng công thức (2) , miền D được biểu diễn là : 0 ≤ y ≤ 1 và y x 2 y ,

do đó D

f (x, y)dxdy. = 2 y1

0 y

dy f (x, y)dx

.

Ví dụ 2: Tính 2

D

x ydxdy , D là miền giới hạn bởi :

a) Các đường thẳng x = 0 , x = 3 , y = 0 và y = 2.

b) Các đường y = x2 và y = 22 x

2

3 O

y = 2

x = 3 D

y

x

18

Giải:

a) Nếu áp dụng công thức (1) ta có D là miền: 0 ≤ x ≤ 3 và 0 ≤ y ≤ 2, do đó:

2

D

x ydxdy = 3 2

2

0 0

dx x ydy mà 2

2

0

x ydy = 2

2

0

x ydy = x2 2y

2│

y 2y 0

= 2

2 2x (2 0 )2

= 2x2

→ 2

D

x ydxdy. = 3

2

0

2x dx = 2.3x

3 │ x 3

x 0

= 3 32 (3 0 )3

= 18.

Nếu áp dụng công thức (2) ta có miền D là : 0 ≤ y ≤ 2 và 0 ≤ x ≤ 3 , do đó:

2

D

x ydxdy. = 2 3

2

0 0

dy yx dx = 2y9

2│

y 2y 0

= 18

b) Sinh viên tự giải

2.2. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực

Giả sử cần tính tích phân kép I =

D

f (x, y)d . trong hệ tọa độ cực , trong đó miền D có tính

chất là mọi tia xuất phát từ gốc cực O cắt biên của nó không quá hai điểm:

I = D

f (x, y)d = D

f (x, y)dxdy = D

f (r cos , r sin )rdrd

2.2.1. Trường hợp 1: Gốc cực O nằm ngoài miền D: Giả sử miền D nằm giữa các tia và

, mọi tia xuất phát từ gốc cực O cắt biên của D không quá hai điểm và r = g1(φ),

r = g2(φ) lần lượt là phương trình trong hệ tọa độ cực của đường biên:

D

f (r cos , r sin )rdrd = 2

1

g ( )

g ( )

d f (r cos , r sin )rdr

2.2.2. Trường hợp 2: Gốc cực O nằm trên biên của miền D:

Giả sử mọi tia xuất phát từ gốc cực O cắt biên của miền D không quá một điểm ( không kể

điểm O) và phương trình của biên trong hệ tọa độ cực là : r = g(φ) với α ≤ φ ≤ β:

D

f (r cos , r sin )rdrd = g( )

0

d f (r cos , r sin )rdr

2.2.3. Trường hợp 3: Gốc cực O nằm trong miền D:

Giả sử mọi tia xuất phát từ gốc cực O cắt biên của miền D tại một điểm và phương trình

của biên trong hệ tọa độ cực là : r = g(φ) với 0 ≤ φ ≤ 2π :

19

D

f (r cos , r sin )rdrd = g( )2

0 0

d f (r cos , r sin )rdr

Tóm lại : Muốn chuyển tích phân kép ( , )D

f x y dxdy từ hệ tọa độ Đề - các sang hệ tọa độ

cực , ta thay x và y trong hàm số dưới dấu tích phân bởi rcosφ và rsinφ, còn dxdy thay bằng

rdrdφ. Đồng thời phương trình đường cong giới hạn miền lấy tích phân D cũng phải đổi

sang hệ tọa độ cực bằng cách thay x = rcosφ, y = rsinφ. Sau đó tính

( cos , sin )D

f r r rdrd hoàn toàn giống như trong hệ tọa độ Đề - các

Ví dụ 1: Chuyển D

f (x, y)dxdy. từ hệ tọa độ Đề – các sang hệ tọa độ cực, trong đó D là miền

giới hạn bởi:

a) Đường tròn x2 + y2 = 4; b) Đường tròn x2 + y2 = 2x; c) Đường tròn x2 + y2 = 2y

d) Các đường thẳng y = x , y = – x và các đường tròn x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x

Gợi ý:

a) Phương trình đường tròn x2 + y2 = 4 có dạng r = 2.

Vì gốc cực O nằm trong miền D nên:

D

f (x, y)dxdy. = D

f (r cos , r sin )rdrd

= 2 2

0 0

d f (r cos , r sin )rdr

b) Phương trình đường tròn x2 + y2 = 2x

↔ (x – 1)2 + y2 = 1 có dạng r = 2cosφ.

Các tia kẻ từ gốc cực O và tiếp xúc với

đường tròn (biên của miền D) trùng với Oy’ và Oy,

do đó α = 2

và 2

.

Vì gốc cực O nằm trên biên của miền D nên:

D

f (x, y)dxdy. = D

f (r cos , r sin )rdrd

= 2cos2

02

d f (r cos , r sin )rdr

D O

x2 + y2 = 4 y

x

D O

y

x

x2 + y2 = 2x

2 . 1

x2 + y2 = 2y .

O

y

x

D

y

20

c) Phương trình đường tròn đã cho có dạng r = 2 sinφ;

α = 0, β = π; gốc cực O nằm trên biên của miền D

d) Phương trình các đường biên có dạng :

x2 + y2 = 2x → r = 2cos φ ;

x2 + y2 = 4x → r = 4cos φ

y = – x → r sin φ = – r cos φ ;

tgφ = – 1 , φ = –4

y = x → r sin φ = r cos φ ;

tgφ = 1 , φ = 4

Gốc cực O nằm ngoài miền D

§3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP

3.1. Thể tích vật thể:

Ví dụ: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt:

a) y = x2 , y = 1 , x + y + z = 4 và z = 0

b) z = 4 – x2 – y2 và z = x2 + y2

Giải: a) Vật thể đã cho là một hình trụ cong ,

đáy dưới là miền D trong mặt phẳng Oxy,

giới hạn bởi đường parabol y = x2 và đường thẳng y = 1,

đáy trên là mặt phẳng z = 4 – x – y .

Do đó V= D

(4 x y)dxdy = 2

1 1

1 x

dx (4 x y)dy

= 6815

b)Đường cong L được xác định bởi hệ hai phương trình: 2 2

2 2

z 4 x yz x y

Khử z được x2 + y2 = 2

1

2 2 2 2

D

V (4 x y x y )dxdy4 =

1

2 2

D

(4 2x 2y )dxdy = 1

2 2

D

2 (2 x y )dxdy

x2 +y2 = 2x

y = - x

O x

z = 4 – x – y

y = x2 y = 1

O

x

y

z

4

D

21

trong đó D1 là 14

mặt tròn x2 + y2 ≤ 2 nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy.

Đổi sang tọa độ cực ta có V = 22

3

0 0

8 d (2r r )dr

= 4π

3.2. Diện tích hình phẳng:

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

a) y = 2 – x2 và y = x

b) x2 + y2 = 2x , x2 + y2 = 4x , y = x và y = 0

Giải:

a) Tìm tọa độ giao điểm:

Giải x = 2 – x2 và x2 + x – 2 = 0

ta có x1 = - 2 và x2 = 1

Khi đó S = D

dxdy = 21 2 x

2 x

dx dy

=

12

2

9(2 x x)dx2

b) Đổi sang tọa độ cực phương trình các đường biên của D có dạng:

x2 + y2 = 2x → r = 2cos φ ; x2 + y2 = 4x → r = 4cos φ

y = x → 4

; y = 0 → 0 . Do đó 4cos4

D 0 2cos

rdrd d rdr

= 3 14 2

3.3. Diện tích mặt cong ( Tự nghiên cứu)

Ví dụ: Tính diện tích mặt cầu tâm O( 0,0,0) bán kính R: x2 + y2 + z2 = R2

Vì tính chất đối xứng của mặt cầu đối với gốc O và đối với các mặt phẳng tọa độ , nên chỉ

cần tính diện tích một phần tư mặt cầu nằm trong góc phần tám thứ nhất.

Khi đó : z = 2 2 2R x y , p = /x 2 2 2

xzR x y

; /

y 2 2 2

yq zR x y

2 2

2 2 2

R1 p qR x y

và S = 8 2 2 2

D

R dxdyR x y

,

trong đó D là 14

mặt tròn x2 + y2 ≤ R2

- 2

- 2 1

1 y = x

x

y

O

y = 2 – x2 2

22

Chuyển sang tọa độ cực ta có:

S = - 8RR2 2

2 2

2 20 0 0

rdrd 8R R rR r

│ r Rr 0

d = 2

2

0

8R ( R)d 8R2

= 4 π R2

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

1. Tính các tích phân sau:

a) 2 1

2

0 0

( 2 )dy x y dx b) 2 2

211

x

x

xdx dyy c)

2

0 asin

a

d rdr

d) 3cos2

2 2

02

sind r dr

2. Tìm cận của tích phân kép ( , )D

f x y dxdy với :

a) D là hình chữ nhật có các đỉnh : O(0,0) ; A(2, 0); B(2, 1); C(0, 1)

b) D là hình tam giác có các đỉnh là : O(0, 0); A(1, 0); B( 1, 1).

c) D là hình thang có các đỉnh : O(0, 0); A(2, 0); B( 1, 1); C( 0, 1)

3. Tính các tích phân kép sau:

a) 2 2D

xdxdyx y , D là miền giới hạn bởi các đường y =

2

2x và y = x

b) xy

D

e dxdy , D là miền tam giác cong giới hạn bởi các đường y2 = x, x = 0 và y = 1

4. Tính các tích phân sau trong hệ tọa độ cực: a) 2 2( )

D

x y dxdy , D là miền giới hạn bởi đường tròn x2 + y2 = 2ax

b) 2 21D

x y dxdy , D là mặt tròn , tâm tại gốc O, bán kính 1

c) 2 2

D

dxdyx y

, D là miền vành khăn nằm giữa hai đường tròn x2 + y2 = 1 và x2 + y2= 4

d) ( , )D

f x y dxdy , D là miền tam giác giới hạn bởi các đường y = x, y = - x và y = 1.

5. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt :

a) y = x , y = 2 x , x + z = 6, z = 0 b) z = 2x2 + y2 + 1 , x + y = 1 và các mặt tọa độ.

23

6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y2 = 4ax , x + y = 3a, y = 0 ( y ≥ 0, a > 0 ) b) y = 2x , y = 2-2x , y = 4

c) Tính diện tích phần mặt phẳng 6x + 3y + 2z = 12 ở trong góc phần tám thứ nhất.

d) Tính diện tích phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 nằm bên trong mặt trụ x2 + y2 = Rx

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

§1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT.

1.1. Định nghĩa tích phân đường loại một.

• Cho hàm số f(M) = f(x,y) xác định trên cung phẳng AB . Thực hiện các bước sau:

+ Chia tùy ý AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia Ao = A, A1, A2,… ,An-1, An = B. Gọi

độ dài cung i jA A là is .

+ Trên cung i 1 iA A lấy một điểm tùy ý Mi( i i, ) . Lập tổng In = n

i ii 1

f (M ) s .

+ Nếu khi n →∞ sao cho max is → 0, tổngn

i ii 1

f (M ) s dần tới một giới hạn xác định ,

không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn điểm Mi trên cung i 1 iA A thì giới

hạn đó được gọi là tích phân đường loại 1 của hàm số f(x,y) dọc theo cung AB , và được

kí hiệu là : AB

f (x, y)ds .

• Nếu tích phân ấy tồn tại ta nói hàm số f(x,y) khả tích trên AB .

• Chiều dài cung AB được tính bằng AB

ds

2. Cách tính tích phân đường loại một:

+ Giả sử cung AB trơn và được cho bởi phương trình : y = y(x) , a ≤ x ≤ b và giả sử hàm

f(x,y) liên tục trên cung AB thì AB

f (x, y)ds = b

'2

a

f (x, y(x)) 1 y (x)dx

+ Nếu cung AB được cho bởi phương trình tham số : x = x(t) , y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2 thì

y’(x) = '

'

y (t)x (t)

nên AB

f (x, y)ds = 2

1

t'2 '2

t

f (x(t), y(t)) x (t) y (t)dt

24

Ví dụ: Tính I = 2 2

L

x y ds , L là đường tròn x2 + y2 = ax (a> 0).

Giải:

Phương trình đường tròn có thể viết là 2 2

2a ax y2 4

, vì vậy phương trình tham số của

nó là : ax 1 cos t2

, y = a sin t2

, t .

Do đó 2

'2 '2 ax y4

, 2

2 2 2 2a tx y 1 cos t a cos2 2

, 2 2 t tx y a cos a cos2 2

,

vì t2 2 2

→ I = 2

2 2

0

a t t tcos dt a cos dt 2a sin |2 2 2 2

0

= 2a2

§2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI: 2.1 Định nghĩa:

Cho hai hàm số P(x,y) , Q(x,y) xác định trên cung AB . Thực hiện các bước sau:

+ Chia tùy ý AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia Ao = A, A1, A2,… ,An-1, An = B. Gọi

hình chiếu của vectơ i 1 iA A

lên hai trục Ox, Oy là i ix , y .

+ Mi( i i, ) là điểm tùy ý trên cung i 1 iA A . Lập tổng n

i i i i i ii 1

P( , ) x Q( , ) y

+ Nếu khi n →∞ sao cho max i ix 0, max y 0 , tổng n

i i i i i ii 1

P( , ) x Q( , ) y

dần

tới một giới hạn xác định , không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn điểm Mi

trên cung i 1 iA A thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại hai của các hàm số

P(x,y), Q(x,y) dọc theo cung AB và được ký hiệu là: AB

P(x, y)dx Q(x, y)dy

2.2. Chú ý:

+ Trong tích phân đường loại một không cần để ý đến chiều trên cung AB , nhưng trong tích

phân đường loại hai chiều trên đường lấy tích phân đóng vai trò quan trọng. Nếu ta đổi

chiều trên đường lấy tích phân thì hình chiếu của vectơ i 1 iA A

trên hai trục Ox, Oy đổi

dấu, do đó: AB

P(x, y)dx Q(x, y)dy = - BA

P(x, y)dx Q(x, y)dy

25

B(0,1)

A(0,-1)

O

y

x C

+ Thường ký hiệu tích phân đường dọc theo đường cong kín L theo chiều dương là:

( , ) ( , )L

P x y dx Q x y dy

+ Tích phân đường có các tính chất giống như tích phân xác định.

+ Cung AB cho bởi phương trình y = f(x) , x1 ≤ x ≤ x2 , được gọi là trơn nếu hàm số

x f (x) có đạo hàm liên tục trên 1 2x , x . Nếu cung AB cho bởi phương trình tham số

x = x(t), y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2 , được gọi là trơn nếu các hàm số t x(t) , y y(t) có đạo

hàm liên tục trên 1 2t , t

2.3. Cách tính tích phân đường loại hai:

+ Giả sử cung AB trơn và được cho bởi phương trình tham số : x = x(t) , y = y(t), các mút A,

B ứng với giá trị tA , tB của tham số và các hàm số P(x,y) , Q(x,y) liên tục trên cung AB

thì: AB

P(x, y)dx Q(x, y)dy = B

A

t' '

t

P(x(t), y(t))x (t) Q(x(t), y(t))y (t) dt

+ Nếu cung AB được cho bởi phương trình : y = y(x), a là hoành độ của điểm A, b là hoành

độ của B, ta có AB

P(x, y)dx Q(x, y)dy = b

'

a

P(x, y(x)) Q(x, y(x))y (x) dx

Ví dụ:

a) Tính I = L

xdy ydx . L là đường elip 2 2

2 2

x y 1a b

b) Tính I = 2 2

L

(2xy x )dx (x y )dy , L là cung AB của đường Parabol y2 =1 – x với

A(0,- 1) đến điểm B(0,1).

Giải :

a) Phương trình tham số của L là x = acost, y = bsint, 0 ≤ t ≤ 2π , chiều tăng của t ứng với

chiều dương của L. Ta có dx = - asintdt , dy = bcostdt.

Do đó I = 2

0

a cos t.bcos t bsin t. a sin t dt

=2

0

abdt 2 ab

b) Trên đường L ta có x = 1 – y2 , do đó dx = - 2ydy.

Nên I = 1

5 4 3 2

1

(2y 4y 4y 4y 2y 1)dy

26

= 21

4 2

0

(4y 4y 1)dy = 25 3y y4 4 y |

5 3

10

= 1415

Có thể tính cách khác: Chia cung AB thành hai cung AC và cung CB , khi đó phương trình của

cung AC là y = 1 x , còn phương trình của cung CB là y = 1 x

2.3. Công thức Green. Công thức Green là công thức liên hệ giữa tích phân đường loại hai dọc theo một đường

cong kín phẳng L và tích phân kép lấy trong miền D giới hạn bởi đường cong kín L.

Định lý: Nếu các hàm số P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong

miền D thì ta có công thức Green:

D L

Q P dxdy Pdx Qdyx y

, trong đó L là đường cong kín , biên của

miền D và chiều lấy tích phân trên đường cong L là chiều dương .

Chú ý :+ Công thức green vẫn còn đúng trong trường hợp D là miền

đơn liên và mọi đường thẳng song song với các trục

tọa độ cắt biên L của nó nhiều hơn hai điểm ,

hoặc D là miền đa liên.

+ Nếu D là miền nhị liên thì biên L của D gồm

hai đường cong L1 và L2 rời nhau ,

chiều dương trên L1 là ngược chiều kim đồng hồ;

chiều dương trên L2 cùng chiều kim đồng hồ .

L2

L1

y

x O

D

27

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

1. Tính các tích phân đường sau:

a) ( )AB

x y dx ; AB là đoạn thẳng nối hai điểm A(0,0) , B(4,3)

b) L

xyds ; L là biên của hình chữ nhật ABCD, A(0,0) , B(4,0) , C(4,2) , D(0,2).

c) 2L

yds ; L được xác định bởi x = t, y = 2

2t , z =

3

3t , 0 ≤ t ≤ 1

d) 2 2( ) ( )ABC

x y dx x y dy ; ABC là đường gấp khúc , A(0,0), B(2,2), C(4,0).

e) 2( )L

ydx y x dy ; L là cung parabol y = 2x – x2 nằm trên trục Ox theo chiều kim

đồng hồ.

f) 2 2( 2 ) (2 )AB

x xy dx xy y dy , AB là cung parabol y = x2 từ điểm A(1,1) đến điểm

B(2,4)

2. Dùng công thức Green tính:

a) 2 2 22( ) ( )L

x y dx x y dy , L là chu vi của tam giác có các đỉnh A(1,1), B(2,2), C(1,3).

b) I = ( ) ( )L

xy x y dx xy x y dy , L là elip 2 2

2 2 1x ya b

c) I = 2 2(1 ) (1 )L

x ydx x y dy , L là đường tròn x2 + y2 = R2 .

28

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1. Khái niệm:

+ Phương trình vi phân là phương trình có dạng F(x,y,y/,….,y(n) ) = 0 (1), trong đó x là

biến số độc lập; y = y(x) là hàm số phải tìm ; y/, y//, …..y(n) là các đạo hàm của nó.

Cấp cao nhất của các đạo hàm của y có mặt trong phương trình gọi là cấp của phương

trình

Phương trình (1) gọi là tuyến tính nếu biểu thức F là bậc nhất đối với y, y/, …,y(n) .

+ Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp n là:

y(n) + a1(x) y(n – 1) +…+ an – 1(x)y/ + an(x)y = f(x), trong đó a1(x),…, an(x), f(x) là những

hàm số cho trước.

+ Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thỏa mãn phương trình ấy

+ Giải một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Ví dụ: 1. Xét phương trình y’’ + y = 0. (1)

+ (1) là một phương trình vi phân. (tuyến tính cấp 2)

+ Các hàm số có dạng y = asinx + bcosx, với a,b tùy ý thuộc R đều là nghiệm của (1) vì:

y’ = acosx – bsinx

y” = – asinx – bcosx

Do đó y’’ + y = – asinx – bcosx + asinx + bcosx = 0.

2. Xét phương trình y’ + y2 = 0. (2)

+ (2) là một phương trình vi phân. (bậc 2 cấp 1).

+ Các hàm số có dạng y = 1x a

, với a tùy ý thuộc R đều là nghiệm của (2) vì:

y’ = 2

1x a

và y’ + y2 =

21

x a

+

21x a

= 2

1x a

+ 2

1x a

= 0

29

§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT. 2.1. Đại cương về phương trình vi phân cấp một

Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp một là: F(x, y, y’) = 0 (1)

Giải (1) được phương trình đối với y’ dạng : y’ = f(x,y).

Ví dụ: Xét phương trình : y’ – y = 0 (a)

Nhận thấy các hàm số y = Cex ( C là hằng số) là nghiệm của phương trình đã cho.

Khi x = 0 thì y = 2 và viết là y |x = 0 = 2 hay y(0) = 2 (*) , thế điều kiện này vào

y = Cex ta được 2 = Ce0 = C . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là y = 2ex .

Nhận xét:

+ Bài toán tìm nghiệm của phương trình (a) thỏa mãn điều kiện (*) gọi là bài toán giá trị ban

đầu ( hay bài toán Cauchy) và điều kiện (*) gọi là điều kiện ban đầu.

+ Nghiệm y = Cex gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (a). Nếu cho C một giá trị cụ thể

thì nghiệm tương ứng gọi là nghiệm riêng của phương trình.

+ Đôi khi không tìm được nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng tường minh

y = φ(x,C) mà chỉ tìm được dưới dạng ẩn ф(x,y,C) = 0 , hệ thức này gọi là tích phân tổng

quát của phương trình vi phân. Nếu cho C một giá tri xác định C0 thì biểu thức ф(x,y,C0)

gọi là tích phân riêng của phương trình.

2.2. Phương trình vi phân biến số phân ly

a) Định nghĩa:

Phương trình vi phân biến số phân ly là phương trình y’ = p(x).q(y) (2)

Phương trình (2) có thể viết là dy p(x).q(y)dx

hay nếu q(x) ≠ 0 viết dy p(x)dxq(y)

(**)

b) Cách giải: Gọi Q(y) là một nguyên hàm của 1q(y)

, P(x) là một nguyên hàm của p(x). Bằng

cách lấy nguyên hàm hai vế của (**) ta được Q(y) = P(x) + C với C là hằng số. Hệ thức này

gọi là tích phân tổng quát của phương trình (2) .

c) Ví dụ:

a) Tìm nghiệm của phương trình y’ = ex – y, thỏa mãn điều kiện y(1) = 1.

30

b) Giải bài toán giá tri ban đầu: 2 2x 1 y dy y 1 x dy 0 , y(0) = 1

c) Giải phương trình: 3 ' 2 2(x 1)y x y x

Giải:

a) Phương trình có thể viết lại là : x

y

dy edx e

hay ex dx = ey dy ey = ex + C, với C là hằng số tùy

ý, (lấy nguyên hàm hai vế).

Thế x = 1 và y = 1 vào hai vế ta được e = e + C → C = 0, do đó tích phân riêng là ey = ex

Vậy nghiệm riêng là y = x.

b) Chia hai vế của phương trình cho 2 21 x . 1 y , ta được 2 2

xd x yd y 01 x 1 y

→ 2 21 x 1 y 0 với C là hằng số tùy ý, (lấy nguyên hàm hai vế)

Thế x = 0 và y = 1 vào tích phân tổng quát ta có: 1+ 2 = C

Vậy tích phân riêng là : 2 21 x 1 y 1 2

c) Phương trình có thể viết là: →2

3

dy x (y 1)dx x 1

→

2

3

dy x dxy 1 x 1

(vì y + 1 = 0 không thỏa mãn

phương trình) → ln 33 31y 1 ln x 1 ln C ln C x 13

, với C là hằng số tùy ý (lấy nguyên

hàm hai vế). Do đó nghiệm tổng quát là: y = 3 31 C x 1

2.3. Phương trình vi phân cấp một thuần nhất

a) Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp một y’ = f(x,y) gọi là thuần nhất nếu vế phải f(x,y)

của nó có thể viết dưới dạng g y( )x

.

Ví dụ: Phương trình vi phân : 2 2

'2 2

x xy y x 2yyx y x y

là phương trình vi phân thuần nhất

vì nó có thể viết thành

2

'2

y y y1 1 2x x xy yy 11 xx

b) Cách giải: Giải phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất y’ = g y( )x

(3)

Đặt y = ux, trong đó u là một hàm số của x. Khi đó y’ = xu’ + u.

31

Thế vào phương trình (3) ta được : xu’ + u = g(u) hay dux g(u) udx

( Đây là phương

trình biến số phân ly). Giải phương trình này tìm được u(x).

Khi đó nghiệm của phương trình (3) là y = xu(x)

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1) 2

'2

2xy yyx xy

2) xdy – ydx = 2 2x y dx 3) xy2 dy = (x3 + y3) dx

Giải:

1) Phương trình đã cho viết lại là y’ =

2y y2x x

y1x

Đặt y = ux, ta được u’x + u = 22u u

1 u

→ 2du 2u ux u

dx 1 u

= u1 u

→ (1 u)du dxu x

→ du dxduu x → ln u – u = ln Cx với C là hằng số tùy ý, (lấy nguyên hàm hai vế)

Vậy ln uCx

= u hay uu eCx

hay yx

2

y eCx

hay y = Cy

2 xx e

1) Phương trình có thể viết là: xy’ = 2 2x y y → y’ = 2y y1

x x

,

Đặt y = ux. Với x > 0 ta được: 2dux u 1 u udx

→ 2

du dxx1 u

→ 2ln u 1 u ln x ln C ln Cx , với C là hằng số tùy ý (lấy nguyên hàm hai vế)

→ u + 21 u = Cx → 21 u = Cx – u → 1 = C2x2 – 2Cxu → 1 + 2Cy – C2 x2 = 0.

Với x < 0 cũng được kết quả trên

3) Phương trình đã cho viết lại là : 23 3

2dy x y x ydx xy y x

Đặt y = ux, ta được 2

du 1x u udx u

→ u2du = dxx

→3u ln Cx

3 , với C là hằng số tùy ý

(lấy nguyên hàm hai vế) → u3 = 3ln Cx → u = 3 3ln Cx , với C là hằng số tùy ý.

32

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là : y = x 3 3ln Cx

2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một:

a) Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng :

y’ + p(x)y = q(x) (4), trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục trong một khoảng IR.

Phương trình (4) gọi là thuần nhất nếu q(x) ≡ 0 trong I , trái lại gọi là không thuần nhất .

Ví dụ: y’+ xy = xsinx là phương trình tuyến tính không thuần nhât.

y’+ x2 + y2 = 0 là phương trình tuyến tính thuần nhất.

b) Cách giải: (Phương pháp biến thiên hằng số):

Để giải (4) ta giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng: y’+ p(x)y = 0.

Đây là phương trình biến số phân ly và y = 0 là một nghiệm của phương trình này.

Xét y ≠ 0, ta có y’+ p(x)y = 0 → dy p(x)dxy →

0

x

x

yln p( )dC

, với C là hằng số tùy ý, x0

là một điểm nào đó thuộc I → y = C

x

x0

p( )d

e

(***).

Cho C biến thiên, tức là tìm hàm số C(x) sao cho y = C(x)

x

x0

p( )d

e

thỏa mãn phương trình

không thuần nhất.

Từ y = C(x)

x

x0

p( )d

e

→ y’ =

x x

x x0 0

p( )d p( )d )

C'(x)e C(x)p(x)e

.

Thế vào (4) ta được

x

x0

p( )d'C (x)e q(x)

→

x

x0

p( )d'C (x) q(x).e

.

Gọi φ(x) là một nguyên hàm của

x

x0

p( )d

q(x).e

→ C(x) = φ(x) + K , với K là hằng số tùy ý .

Thế vào (***) ta được nghiệm tổng quát của (4) là y = (φ(x) + K)

x

x0

p( )d

e

hay y =

x x

x x0 0

p( )d p( )d )

(x)e Ke

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) ' y sin xy (x 0)x x

33

b) 3

'2

2y yy (x 0)x x

Giải:

1) Trước hết ta giải phương trình thuần nhất tương ứng dy y 0dx x

hay dy dx 0y x

→ ln|y| + ln|x|= ln|C| → ln|yx| = ln|C|, do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần

nhất là yx = C hay y = Cx

, với C là hằng số tùy ý.

Cho hằng số C biến thiên → y = C(x)x

. Thế vào phương trình ta được 'C (x) sin xx x

hay

C’(x) = sinx → C(x) = – cosx + K , K là hằng số tùy ý. Vậy y = cos x Kx x

2) Nhận thấy y = 0 là một nghiệm của phương trình.

Nếu y ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho y3, ta được 3 ' 22

2 1y y yx x

Đặt z = y – 2 , ta được z’ = -2y –3 y’ , do đó phương trình trở thành '2

1 2 1z z2 x x

.

Giải phương trình thuần nhất tương ứng: 1 dz 2 z 02 dx x

hay dz dz4z dx ta được nghiệm

tổng quát z = Cx4 , với C là hằng số tùy ý.

Cho hằng số C biến thiên , thế vào phương trình '2

1 2 1Z Z2 x x

ta được 4

'2

x 1C (x)2 x

→ '6 5

2 2C (x) C(x) Kx 5x

, K là hằng số tùy ý.

Thế vào z = 42

1 2Kx xy 5

→ 1

2 4 2y Kx x5

2.5. Phương trình vi phân toàn phần

a) Định nghĩa: Phương trình vi phân toàn phần là phương trình vi phân có dạng:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (5) , trong đó P(x,y)dx + Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của một

hàm số nào đó (tức là P Qy x

)

34

b) Cách giải: Tìm hàm số f(x,y) sao cho df = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. Khi đó tích phân tổng

quát của phương trình (5) là f(x,y) = C, C là hằng số tùy ý.

Ví dụ: Giải phương trình: (2xy – cosy) y’ + ex + y2 = 0.

Phương trình có thể viết là (ex + y2 )dx + (2xy – cosy) dy = 0

Đặt P(x,y) = ex + y2 , Q(x,y) = 2xy – cosy , ta có P Q2yy x

, 2(x, y) R .

Tìm f(x,y) sao cho df = P(x,y)dx + Q(x,y)dy, tức là : x 2f e yx

, (a), f 2xy cos yy

,(b)

Ta có:(a)→ f(x,y) = x 2e y x (y) (c), (lấy nguyên hàm theo x) → 'f 2xy (y)y

,(d)

(lấy đạo hàm theo y).

Từ (b) và (d), ta có '(y) cos y , do đó φ(y) = - siny + C, C là hằng số tùy ý.

Cho C = 0 ta tìm được f(x,y) = ex + xy2 – siny .

Do đó tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: ex +xy2 – siny = K, K là hằng số tùy ý

Lưu ý: Giả sử P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 không phải là phương trình vi phân toàn phần. Nếu

tìm được một hàm số α(x,y) sao cho α(x,y)[P(x,y)dx + Q(x,y)dy ] = 0 là phương

trình vi phân toàn phần, tức là P Qy x

, thì α(x,y) được gọi là thừa số tích

phân của phương trình P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

BẢNG TÓM TẮT:

y’ = p(x).q(y) y’ = f(x,y) với

f(x,y) = g y( )x

y’ + p(x)y = q(x) P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

dy p(x).q(y)dx

hay

dy p(x)dxq(y)

;

Tích phân tổng quát:

Q(y) = P(x) + C

Đặt y = ux, → y’ = xu’ + u →

xu’ + u = g(u) hay

dux g(u) udx

→ y = xu(x)

Giải y’+ p(x)y = 0

→ dy p(x)dxy

→0

x

x

yln p( )dC

→ C(x) = φ(x) + K →

Tìm f(x,y) sao cho

df = P(x,y)dx + Q(x,y)dy

tức P Qy x

→ f(x,y) = C, C là

35

y =

x x

x x0 0

p( )d p( )d )

(x)e Ke

hằng số tùy ý

§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG

3.1. Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 3.1.1. Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính thuần nhất hệ số không đổi là

phương trình dạng : y’’ + py’ +qy = 0 (1) , trong đó p, q là các hằng số .

3.1.2. Cách giải: Giải phương trình đặc trưng r2 + pr + q = 0.(2)

Trường hợp 1: ∆ = p2 – 4q > 0 → phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt r1 và r2. Khi

đó (1) có hai nghiệm riêng 1r x1y e , 2r x

2y e độc lập tuyến tính.

Vậy nghiệm tổng quát của (1) là 1 2r x r x1 2y C e C e , trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý.

Trường hợp 2: ∆ = p2 – 4q = 0 → phương trình (2) có nghiệm kép pr2

do đó 2r + p = 0 . Vậy phương trình (1) có một nghiệm riêng y1 = erx , ta chứng minh được rx

2y xe cũng là một nghiệm của (1) và y1 = erx , rx

2y xe độc lập tuyến tính.

Vậy nghiệm tổng quát của (1) là y = C1erx + C2xerx

Trường hợp 3: ∆ = p2 – 4q < 0 → phương trình (2) có hai nghiệm phức liên hợp r1 = α + βi và

r2 = α – βi, trong đó α , β là những số thực. Vậy nghiệm tổng quát của (1) là ( i )x ( i )x

1 2y K e K e , K1 và K2 là các hằng số tùy ý hay x1 2y e C cos x C sin x

Ví dụ: Giải các phương trình vi phân :

a) y’’ – 5 y’ + 6y = 0 b) y’’ + 6y’ +9y = 0 c) y’’ – 4y’ + 29y = 0

Giải: a) xét phương trình đặc trưng x2 – 5 x + 6 = 0

∆ = 1 > 0 → x1 = 2 , x2 = 3 . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 2x 3x

1 2y C e C e , trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý.

b) Xét phương trình đặc trưng : x2 + 6x + 9 = 0

∆ = 0 → nghiệm kép x = – 3 → hai nghiệm riêng thứ là: y1 = 3xe , y2 = x 3xe .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: y = C1e –3x + C2xe–3x

c) xét phương trình đặc trưng x2 – 4 x + 29 = 0

∆ = –100 < 0 → hai nghiệm phức x1= 2 + 5i , x2 = 2 – 5i

36

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 2x1 2y e C cos5x C sin5x

3.2. Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng

3.2.1. Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số không

đổi là phương trình có dạng y’’ + py’ +qy = f(x)(3), trong đó p, q là các hằng số .

3.2.2. Các dạng đặc biệt:

+ f(x) = xne .P (x) , trong đó α là một hằng số , Pn(x) là một đa thức bậc n:

- α không là nghiệm của phương trình đặc trưng (2), cần tìm nghiệm riêng của (3) dạng

Y = xne Q (x) , với Qn(x) là đa thức bậc n.

Biến đổi để đưa đến biểu thức: n

// / 2n n nQ (x) (2 p)Q ( p q)Q (x) P (x)

Sau đó dùng phương pháp hệ số bất định để tìm các hệ số của Qn(x).

- α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng(2), cần tìm nghiệm riêng dạng Y = x xne Q (x)

- α là một nghiệm kép của phương trình đặc trưng(2), cần tìm nghiệm riêng dạng

Y = x2 xne Q (x)

+ f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x) sin βx, trong đó Pm(x), Pn(x) lần lượt là các đa thức bậc m, n, còn

β là hằng số :

- Nếu i β không là nghiệm của phương trình đặc trưng(2) , cần tìm một nghiệm riêng của

phương trình(3) dạng : Y = Ql(x)cos βx + Rlsin βx, trong đó Ql(x), Rl(x) là những đa thức

bậc l = max(m, n) .

- Nếu i β là nghiệm của phương trình đặc trưng(2), , cần tìm nghiệm riêng dạng

Y = x( Ql(x)cos βx + Rlsin βx).

+) Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) y’’ + y’ – 2y = 1 – x b) y’’ – 3 y’ + 2y = 2sinx

Giải: a) f(x) = 1 – x = eαxP1(x) với α = 0, p1(x) = – x + 1.

Phương trình đặc trưng r2 + r – 2 = 0 có hai nghiệm r1 = 1, r2 = - 2 → nghiệm tổng

quát của phương trình thuần nhất y’’ + y’ – 2y = 0 là: Y = C1ex + C2e- 2x

Vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên ta tìm nghiệm riêng của

phương trình đã cho dưới dạng Y = 0x1e Q (x) = Q1(x), trong đó Q1(x) là đa thức bậc 1.

→ Y = Ax + B , với A,B là các hằng số phải tìm. → Y’ = A, Y’’ = 0 . Thế vào phương

trình đã cho ta được Y’’ + Y’ – 2Y = A – 2(Ax + B) = –2 Ax + A – 2B = 1 – x

37

→ A = 12

, B = 14

. Vậy Y = x 12 4 . Do đó nghiệm tổng quát của phương trình là :

y = C1ex + C2e –2x + x 12 4

b) f(x) = 2sinx = P0(x)sinβx, với P0(x) = 2, β = 1.

Phương trình đặc trưng có hai nghiệm r = 1 và r = 2, nên nghiệm tổng quát của phương

trình thuần nhất tương ứng là Y = C1ex + C2e 2x .

Vì i không là nghiệm của phương trình đặc trưng , nên cần tìm một nghiệm riêng

của phương trình dưới dạng Y = Acosx + Bsinx. → Y’ = – Asinx + Bcosx,

Y’’ = – A cosx – B sinx. Thế vào phương trình đã cho ta được:

(A – 3B) cosx +(3A + B)sinx = 2sinx → A = 35

, B = 15

→ Y = 35

cosx + 15

sinx.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : y = C1ex + C2e 2x + 35

cosx + 15

sinx.

BẢNG TÓM TẮT:

Nghiệm của phương trình vi phân cấp hai tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng:

Nghiệm của r2 + pr + q = 0 Nghiệm của y’’ + py’ +qy = 0, với p, q hằng số

r1, r2 thực , r1 ≠ r2 1 2r x r x1 2y C e C e

r1 = r2 = r rx1 2y e (C C x)

r1, r2 = α βi x1 2y e (C cos x C sin x)

Nghiệm của phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng :

Dạng của f(x) Nghiệm của

r2 + pr + q = 0 Nghiệm riêng củay’’+ py’+qy = f(x),

với p, q hằng số

α không là nghiệm xne Q (x)

α là nghiệm đơn x xne Q (x) f(x) = x

ne .P (x)

α là nghiệm kép x2 xne Q (x)

f(x) = Pm(x)cosβx + i β không là ghiệm Ql(x)cos βx + Rlsin βx, với l = max(m, n)

38

Pn(x) sin βx i β là nghiệm x( Ql(x)cos βx + Rlsin βx),Với l = max(m, n)

BÀI TẬP CHƯƠNG 4

1. Giải các phương trình biến số phân ly:

a) x(1 + y2)2 dx + y(1 + x2)2 dy b) (x2 + 1)y/ = xy c) ydx = (x2 – a2)dy

d) (x2 – yx2)y/ + y2 + xy2 = 0 e) (x – y2x )dx + (y – x2y)dy = 0

2. Giải các bài toán tìm giá trị ban đầu:

a) /2

31

xy xyx

, y(2) = 2 b) y/ + cos(x + 2y) = cos(x – 2y), y(0) = 4

c) x(y6 + 1)dx + y2(x4 + 1)dy = 0 , y(0) = 1 d) 2

21 0

1

xx ee tgydx dy

x

, y(1)=

2

3. Giải các phương trình vi phân cấp một thuần nhất sau:

a) 2

/2

xy yyx

b) / x yyx

c) /yxxy y xe d) / sin siny yxy y x

x x

e) (y – x )dx + (y + x) dy = 0 f) (x2 + y2)dx – xydy = 0 4. Giải các phương trình vi phân cấp một tuyến tính sau:

a) (x2 + 1)y/ + xy = - 2 b) / lnlnyy x x

x x (x > 0) , y(e) =

2

2e

c) y/ + 2xy = x d) y/ - 1 = y tg x (2 2

x )

e) x2y/ + 2xy = cosx , y(π) = 0 5. Xác định phương trình vi phân toàn phần và giải phương trình đó:

a) 2x + y2 + xyy/ = 0 b) (3x2 – 3y + 1)dx – (3x – 1)dy = 0

c) xsiny + (ycosx) y/ = 0 d) (cosy + y cosx)dx – (sinx – xsiny) dy = 0

e) (x2 + y)dx + ( x – 2y)dy = 0 f) 3xy – 2 + (3y2 – x2)y/ = 0

6. Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp biến thiên hằng số:

a) y// + 4y = x b ) y// - y/ = ex c) y// + y = tgx (0 < x < 2 )