Brojevni sistemi Organizacija podataka - alas.matf.bg.ac.rsalas.matf.bg.ac.rs/~mi13120/PrvaGodina/Literatura/01_Brojevni... · Oduzimanje binarnih brojeva: ... Slededa cifra se množi

Svetozara Markovica 24 www.systempro.rs

e-mail [email protected] tel: 011/324-34-64

Škola računara za talentovanu decu

Brojevni sistemi

Organizacija podataka

na računaru

Učenik: Termin:

Skripta za I godinu

oktobar 2015.

2015 Brojevni sistemi i organizacija podataka na računaru

2

Sadržaj

PREDGOVOR .................................................................................................................................................. 3

1. BROJEVNI SISTEMI ..................................................................................................................................... 4

1.1. Uvod. .................................................................................................................................................. 4

1.2. Binarni brojevni sistem. ...................................................................................................................... 5

1.3. Zašto baš dve cifre? ............................................................................................................................ 5

1.4. Vrednost binarnog broja (pretvaranje u dekadni ekvivalent): ........................................................... 7

1.5. Pretvaranje dekadnih brojeva u binarne: ........................................................................................... 9

1.6. Sabiranje binarnih brojeva: ................................................................................................................ 9

1.7. Oduzimanje binarnih brojeva: .......................................................................................................... 10

1.8. Množenje binarnih brojeva: ............................................................................................................. 12

1.9. Heksadekadni brojevni sistem:......................................................................................................... 14

1.10. Vrednost heksadekadnog broja (dekadni ekvivalent): ................................................................... 14

1.11. Pretvaranje dekadnog broja u heksadekadni: ................................................................................ 15

1.12. Pretvaranje heksadekadnog broja u binarni: ................................................................................. 15

1.13. Pretvaranje binarnog broja u heksadekadni: ................................................................................. 15

2. PREDSTAVLJANJE PODATAKA NA RAČUNARU, FAJLOVI .......................................................................... 17

2.1. Bit ..................................................................................................................................................... 17

2.2. Nibl (nibble) ...................................................................................................................................... 17

2.3. Bajt (byte) ......................................................................................................................................... 17

2.4. Organizacija bajtova u vede jedinice: ............................................................................................... 17

2.5. Fajlovi ............................................................................................................................................... 18

2.6 Predstavljanje teksta na računarima - ASCII kod ............................................................................... 20

2.7. Predstavljanje boja na računarima - RGB model .............................................................................. 21

2.8. Predstavljanje zvuka na računarima - PCM format ......................................................................... 22

Brojevni sistemi i organizacija podataka na računaru 2015

3

PREDGOVOR

Ova skripta namenjena je, prevashodno, učenicima I godine Škole za talentovanu decu Računarskog

centra Sistem Pro.

Zabranjeno je korišdenje i umnožavanje delova ove publikacije bez prethodnog odobrenja autora ili

Računarskog centra Sistem Pro (uz izuzetak da je bivši i sadašnji učenici škole mogu slobodno

razmenjivati u elektronskom obliku).

Autor zadržava pravo da sadržaj ove skripte u bududnosti iskoritsti u komrecijalne svrhe. Skice,

fotografije i grafikoni prikazani u ovoj publikaciji su delo autora.


4

1. BROJEVNI SISTEMI

1.1. Uvod.

Brojevni sistem je sistem pomodu koga se, kombinovanjem cifara, predstavljaju brojevi. U brojevnim

sistemima važe pravila koja određuju kako se formiraju vrednosti brojeva s obzirom na pozicije cifara u

broju i kako se nad brojevima obavljaju matematičke operacije, a cifre su ništa drugo nego znaci koji

odgovaraju brojčanim vrednostima.

Primera radi, broj 147 se sastoji iz tri cifre. Njegova vrednost se, naravno, ne dobija pukim sabiranjem te

tri cifre ved svaka od cifara ima svoju "težinu". Gledano sa desne strane, prema levo, prva cifra se naziva

cifrom jedinica i data cifra se pri formiranju vrednosti broja množi jedinicom. Druga cifra se naziva cifrom

desetica i, pri formiranju broja, množi se sa deset. Slededa cifra se množi sa 100 i tako redom. Na kraju se

sve ove pomnožene vrednosti sabiraju.

147 = 1 x 100 + 4 x 10 + 7 x 1

Ovde smo uradili nešto što je svako od nas u nižim razredima osnovne škole uradio mnogo puta, ali neke

stvari nismo razmotrili i jednostavno smo smatrali da se podrazumevaju (što, u praktičnom smislu i u

svakodnevnom životu, svakako jeste tako). Nismo razmatrali kojem brojevnom sistemu pripadaju ovi

brojevi i cifre!

Sve ovo što smo radili, bilo je u okvirima takozvanog dekadnog brojevnog sistema (na grčkom, reč

"deka", označava broj deset ). Smatra se da je dekadni brojevni sistem, kao takav, nastao iz razloga što

ljudi imaju deset prstiju.

Osnova brojevnog sistema je broj koji određuje koliko se cifara može pojaviti na nekoj poziciji u broju.

Tako recimo, u dekadnom sistemu cifra jedinica (ili desetica, ili bilo koja druga cifra), može biti bilo koja

cifra od 0 do 9 (primetimo da je to 10 cifara). Mogude je konstruisati brojevni sistem sa praktično bilo

kojom osnovom, međutim, u računarskoj tehnici i programiranju (pored dekadnog), najviše se koriste:

binarni sistem (osnova - 2), heksadekadni (osnova - 16) i, u nešto manjoj meri, oktalni sistem (osnova -

8).

Ukoliko broj koji zapisujemo ne pripada dekadnom sistemu, a želimu precizno da naglasimo kom

brojevnom sistemu pripada, osnovu datog brojevnog sistema zapisademo kao indeks (mali broj sa desne

strane), u zagradama, na slededi način:

11001010(2) BCAFEE9(16)

Na ovaj način mogu se označavati i brojevi dekadnog brojevnog sistema: 156(10), a postoji i način

obeležavanja gde se zapravo broj stavlja u zagradu, a osnova (kao indeks), van nje: (156)10.

Iako u ovoj skripti nedemo razmatrati samo binarni sistem (govoridemo detaljno i o heksadekadnom),

najviše pažnje posvetidemo upravo binarnom sistemu.


5

1.2. Binarni brojevni sistem.

Binarni brojevni sistem je takav brojevni sistem u kome se brojevi formiraju od dve cifre: nula i jedinica.

Naziv binarni, potiče od latinskih reči "bini" i "binarius", čiji bi grubi prevod mogao biti "duplo" ili

"dvostruko".

Binarni broj koji odgovara dekadnom broju 147 je: 10010011, a kada u binarnom sistemu zapišemo

100000, to zapravo nije "sto hiljada", ved je dekadni ekvivalent datog broja (broj iste vrednosti, ali,

različitog zapisa), broj 32 iz dekadnog sistema.

Binarni sistem za početak verovatno deluje malo "čudno" velikoj vedini ljudi. Međutim, pre nego što

pomislite da zaista i jeste u pitanju nešto čudno i da je binarni sistem jako komplikovan, znajte da binarni

sistem funkcioniše po istim osnovnim principima kao i dekadni i da, uz uloženu trud, ni u kom slučaju nije

komplikovano naučiti kako se u binarnom brojevnom sistemu formiraju brojevi i kako se obavljaju

računske operacije.

Čitanjem prethodnih redova, a možda i ranije, verovatno ste došli do pitanja: "zašto bismo uopšte

proučavali binarni brojevni sistem?" Zašto, kada je dekadni sistem funkcionalan i kada smo od malih

nogu naviknuti na njega? Ovaj sistem proučavademo zato što je to brojevni sistem koji se koristi u

računarima, te je stoga kao takav za nas zanimljiv, a osnovno pitanje koje se postavlja je: zašto računari

baš moraju da koriste dve cifre, umesto deset?

S obzirom da slededi odeljak sadrži objašnjenja koja bi mogla da nepotrebno zbune mlađe učenike koji

čitaju ovu skriptu, pomenuti učenici ga mogu preskočiti (i odmah predi na odeljak "Vrednost binarnog

broja"), pod uslovom da prihvate objašnjenje da, za sada, jednostavno tako mora biti, zato što su

računari koji rade u binarnom sistemu ipak mnogo praktičniji od onih koji bi koristili dekadni.

Za starije učenike (i one mlađe, koji zaista žele da znaju), sledi objašnjenje.

1.3. Zašto baš dve cifre?

Ako se podsetimo razloga za nastanak i korišdenje dekadnog sistema (ukupan broj prstiju na ljudskim

šakama), nede nam biti teško da zaključimo da ista logika ne važi za računare, jer računari naravno

nemaju dva prsta (niti bilo koji drugi broj prstiju). Sa druge strane, računarski procesori sastoje se iz

mnoštva tranzistora (u trenutku pisanja ove skripte, tipična vrednost je u opsegu od više stotina

miliona!), malih električnih elemenata koji su, kada se na određen način povežu u takozvane mreže

tranzistorskih prekidača, u stanju da prekidaju (uključuju i isključuju) dovod struje u različitim delovima

procesora. Ako je neki sklop isključen, njegovo naponsko stanje možemo shvatiti kao "0", a ako je

uključen, njegovo naponsko stanje je "1".

Ne postoji način da se brojevi, na računaru, predstave drugačije nego kao pomenuta naponska stanja!


6

Nula i jedan su takođe cifre binarnog brojevnog sistema, koje, unutar elektronskih kola u procesoru i

ostalim delovima računara, odgovaraju pomenutim naponskim stanjima. Šta su naponi i struje, je priča

koja prevazilazi okvire ove skripte, ali recimo da ako je sijalica na plafonu uključena - u njoj ima

električnog napona, a, ako je isključena - napona nema. Uz malo mašte, sijalice bismo mogli da

upotrebimo za "šifrovanje" poruka. Čak i jedna sijalica mogla bi da odgovara porukama: "da" i "ne", u

zavisnosti od toga da li je uključena ili isključena.

Primer 1: Korišdenjem jedne sijalice, možemo preneti dve poruke.

Međutim, u velikoj vedini svakodnevnih situacija, dve reči nisu dovoljne da izrazimo sve što je potrebno.

Ali, ako bismo poređali (recimo) osam sijalica, mogli bismo da osmislimo i raznovrsniji sistem poruka:

Primer 2: Koristedi osam sijalica, nismo više ograničeni na

samo dve poruke i možemo osmisliti mnogo više poruka

proizvoljne sadržine (tačnije - 256 poruka).

Pod uslovom da neko ko čita naše poruke razume njihov sadržaj, korišdenjem mnoštva sijalica, mogli

bismo zapisivati poruke izuzetno velike složenosti. O tome kako se na računarima, korišdenjem nula i

jedinica, mogu zapisivati tekst, zvuk, slike i drugi podaci, bide reči u poslednjim odeljcima ove skripte.

Iako ovo deluje prilično zanimljivo, pretpostavljamo da se mnogi od vas ipak i dalje pitaju zašto mora

ovako i zašto niko ne konstruiše elektronske sklopove koji prepoznaju deset naponskih nivoa,

omogudavajudi pri tom upotrebu dekadnog brojevnog sistema. Praktičan odgovor, svodi se na to da

sadašnji nivo tehnološkog razvoja i sadašnji nivo razumevanja prirode i tehnologije ne omogudavaju da se

to izvede na način koji bi bio bar koliko-toliko efikasan .

Računari koji su ved u upotrebi su izuzetno kompleksni sklopovi koji zahtevaju stotine sati za

projektovanje i znatna finansijska sredstva za izradu, a tržišne cene računarskih komponenti ni u kom

slučaju nisu male. Računari koji su "ispod haube" sposobni da operišu dekadnim brojevima, morali bi

umesto dva, da raspoznaju deset naponskih stanja, a to bi ih učinilo nemerljivo komplikovanijim za

razvoj, višestruko skupljim za proizvodnju (pri čemu bi naravno i krajnja cena ovakvih komponenti bila


7

mnogo veda); trošili bi mnogo više struje, mnogo se više zagrevali (što bi bio jako veliki problem, s

obzirom na to da je i grejanje sadašnjih računara ved popriličan problem) i bili mnogo podložniji

greškama u radu.

U praktičnom smislu, ovi razlozi su više nego dovoljni da usmere pažnju na računare na kakve smo

navikli.

1.4. Vrednost binarnog broja (pretvaranje u dekadni ekvivalent):

Vrednost binarnog broja, formira se po istim pravilima kao i vrednost dekadnog broja.

Za početak, podsetidemo se još jednom pravila za formiranja vrednosti dekadnih brojeva i staviti ved

pomenutu vrednost 147 u slededu tabelu:

U poljima gornjeg reda nalaze se poznate vrednosti kojima se množe cifre na određenim pozicijama.

Prvih pet cifara je neiskorišdeno, a sledede tri cifre daju računicu: 1 x 100 + 4 x 10 + 7 x 1 = 147.

Razmotrimo sada binarni broj 11011 (ne, nije u pitanju "jedanaesthiljadajedanaest" :)). Taj broj

ubacidemo u tabelu koja odgovara binarnom brojevnom sistemu.

Ovoga puta, u poljima gornjeg reda ne vidimo više vrednosti kao što su 10, 100, 1000 itd. Ovoga puta

vidimo vrednosti kao što su 2, 4, 8, 16, 32 i tako redom (ovo su naravno brojevi dekadnog brojevnog

sistema, ali, pošto tražimo dekadni ekvivalent binarnog broja, to je upravo ono što nam treba).

Nije teško primetiti razlike između ove dve grupe brojeva, ali za nas je mnogo korisnije ako uočimo

sličnosti.

Pre toga, podsetimo se:

-dekadni brojevni sistem za osnovu ima broj 10, a cifre dekadnog sistema su: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9;

-binarni brojevni sistem za osnovu ima broj 2, a cifre binarnog sistema su: 0 i 1.

Ako pogledamo umnoške iz prve tabele nede nam biti teško da sagledamo kako se oni formiraju:

kredemo od 1 i svaki slededi umnožak dobija se množenjem prethodnog brojem deset (brojem koji dati

brojevni sistem ima za osnovu):


8

Dekadni sistem: Binarni sistem:

1 1 x 10 = 10

10 x 10 = 100 100 x 10 = 1000

1000 x 10 = 10000 10000 x 10 = 100000

10000 x 10 = 1000000 100000 x 10 = 10000000

1 1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 4 x 2 = 8

8 x 2 = 16 16 x 2 = 32 32 x 2 = 64

64 x 2 = 128

........ i tako redom!

Vrednost broja demo formirati tako što demo prvo množiti svaku cifru onom vrednošdu koja odgovara

poziciji date cifre u broju, a potom demo dobijene vrednosti sabrati:

1 x 16 + 1 x 8 + 0 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 ..... što kao rezultat daje: 27.

Pogledajmo još jedan primer:

1 x 128 + 1 x 16 + 1 x 2 + 1 x 1 = 147

Brojevi koje smo pomenuli, kao što su 10, 100, 1000, u matematici, nazivaju se stepenima broja deset.

Brojevi kao što su 2, 4, 8, 16 32, nazivaju se stepenima broja dva.

Ovde možemo uočiti i jednu stvar po kojoj je binarni sistem zapravo jednostavniji od dekadnog: kada

računamo vrednost dekadnog broja, svaki od ovih stepena broja deset moramo množiti odgovarajudom

cifrom, pa se tek onda taj proizvod dodaje ukupnom zbiru koji predstavlja vrednost broja, dok, kada je u

pitanju binarni sistem, u zavisnosti od toga da li je na nekoj poziciji cifra nula ili jedan, jednostavno

odgovarajudi stepen broja dva dodajemo u zbir ili ne, bez ikakvog množenja.


9

1.5. Pretvaranje dekadnih brojeva u binarne:

Dekadni broj pretvaramo u binarni na slededi način: broj delimo sa 2; količnik upisujemo direktno ispod;

ostatak (0 ili 1) upisujemo sa desne strane i ceo postupak ponavljamo sve dok količnik ne postane 0.

Vrednost binarnog broja dobijamo iščitavanjem odozdo-na gore desne kolone u kojoj se nalaze ostaci.

Pogledajmo još i tabelu koja prikazuje vrednosti od 0 do 16 u dekadnom i binarnom obliku, kao i pravila

za sabiranje malih, jednocifrenih binarnih brojeva.

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

9 1001

10 1010

11 1011

12 1100

13 1101

14 1110

15 1111

16 10000

1 + 1 = 10

1 + 1 + 1 = 11

1 + 1 + 1 + 1 = 100

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 101

Bitno je da znamo da, u binarnom sistemu, zbir dve jedinice nije 2, ved 10. Čita se kao, "jedan-nula" (kao rezultat neke sportske utakmice). Sa

pravilima za sabiranje vedih binarnih brojeva upoznademo se u slededem odeljku.

1.6. Sabiranje binarnih brojeva:

Sabiranje binarnih brojeva funkcioniše isto kao i sabiranje dekadnih brojeva. Kredemo od kolone cifara na

krajnjoj desnoj strani i premeštamo se za jedno mesto ulevo posle svakog koraka. Ukoliko je zbir cifara


10

vedi od osnove (10 za dekadni sistem i 2 za binarni), krajnju desnu cifru upisademo ispod odgovarajude

kolone, a sve ostale cifre upisademo na odgovarajuda mesta iznad osnovnih sabiraka.

1.7. Oduzimanje binarnih brojeva:

Oduzimanje binarnih brojeva takođe se obavlja po istim pravilima kao i oduzimanje dekadnih brojeva.

Počinjemo sa kolonom cifara koja se nalazi skroz desno i u svakom koraku se pomeramo za jedno mesto

ulevo dok ne stignemo do kraja.

Navodimo pravila za oduzimanje cifara:

Operacija: Napomena:

1 - 1 = 0 Ispod kolone upisujemo dobijenu cifru; ništa se ne prenosi



0 - 1 = 1 Ispod kolone takođe upisujemo dobijenu cifru, ali, kada pređemo u slededu kolonu levo, oduzimamo 1 od rezultata te kolone

Četvrta situacija se popularno naziva pozajmica.

Pogledademo sada tri primera:


11

Prvi primer prikazuje stanje u kojem se pozajmica ni na jednom mestu ne koristi. Cifre oduzimamo

neposredno, po istim pravilima kojih bismo se pridržavali da je u pitanju dekadni brojevni sistem.

1) Primer 1 - situacija u kojoj uopšte nema pozajmice:

Ovde nema prave potrebe za dodatnim objašnjenjima, ali spomenimo ipak nekoliko stvari. U prva četiri

koraka jednostavno obavljamo oduzimanje cifara i upisujemo rezultate. U petom koraku nam fali cifra u

donjem broju, ali, setili smo se (setili smo se, zar ne?), da na tom mestu jednostavno možemo upisati

nulu, ne menjajudi pri tom vrednost broja.

2) Primer 2 - situacija u kojoj se javlja jednostavan oblik pozajmice:


12

Prva dva koraka predstavljaju neposredno oduzimanje, kao i u prethodnom primeru. U tredem koraku

dolazi do (sada ved dobro poznate) pozajmice. Ako bismo se za trenutak prebacili na primer iz dekadnog

sistema i pokušali da oduzmemo broj 19 od broja 34, uvideli bismo da oduzimanje 4 - 9 daje negativan

broj (-5), što naravno ne može biti cifra nekog broja. U ovakvim situacijama, mi smo navikli da se pravimo

da ne oduzimamo 9 od 4, ved da oduzimamo 9 od 14 (pri čemu je rezultat 5)! Pošto smo tu cifru desetica

"pozajmili" u prvom koraku, u drugom koraku je moramo vratiti. To demo uraditi ili tako što demo cifru

desetica umanjiti za 1, ili demo jednostavno za 1 umanjiti rezultat oduzimanja dve cifre.

Isto to radimo i u binarnom sistemu. Kada naiđemo na oduzimanje 0 - 1, takođe se pravimo da zapravo

obavljamo oduzimanje 10 - 1 (ne, rezultat nije 9; rezultat je 1).

Pošto pozajmljeno mora da se vrati (inače, ako ne vratimo, mi ne pozajmljujemo - ved krademo, a ko

krade ide u zatvor, gde se 14 sati dnevno obavljaju operacije nad binarnim brojevima), u slededem

koraku (korak 4.), rezultat osnovnog oduzimanja (1 - 0), umanjidemo za 1 i na taj način vratiti pozajmicu (i

izbedi tešku robiju :)).

3) Primer 3 - situacija u kojoj se javlja složeniji oblik pozajmice:

Ovde prelazimo direktno na četvrti korak (principi za rešavanje prva tri koraka su ved objašnjeni u

prethodnom primeru). Imamo oduzimanje 0 - 1 i imamo pozajmicu iz porethodnog koraka koju moramo

da vratimo. Rezultat oduzimanja 0 - 1 je 1, sa pozajmicom za slededu kolonu, ali, pošto ved imamo

pozajmicu iz 3. koraka, rezultat moramo umanjiti za 1!

U petom koraku, vradamo pozajmicu iz 4. koraka i dobijamo konačni rezultat.

1.8. Množenje binarnih brojeva:

Pozvademo se i ovde na dekadni sistem i podsetiti se kako u tom sistemu množimo brojeve:

121 x 34 možemo raščlaniti na 121 x 30 + 121 x 4, a rezultat je, naravno 4114.


13

Kada treba da iskoristimo neku cifru (recimo, cifra 3 iz broja 34) u ovoj računici, zanemarujemo sve što se

u broju nalazi sa leve strane date cifre, a na sva mesta sa desne strane stavljamo nule.

Ista pravila važe i u binarnom sistemu!

Pogledajmo primer: 11011 x 101

Jednostavno demo ovo raščlaniti na:

I onda sabrati:

Kako smo mi to tako jednostavno došli do umnožaka (recimo, zašto je 11011 x 100 baš 1101100)?

U dekadnom sistemu, kada dopišemo jednu nulu (ili više nula), mi dati broj množimo sa deset (sto,

hiljadu, i tako redom). Brojevi koji se sastoje iz jedinice i nula su (podsetimo se), stepeni broja deset.

Uprošdeno, množenje kao što je: 716554 x 10000, kao što znamo, uopšte nije komplikovano. Drugi broj

"skratimo" za jedinicu sa početka, a preostale nule jednostavno dopišemo prvom broju.

U binarnom sistemu, brojevi koji se sastoje iz jedinice i nula su - stepeni broja dva, a pravila koja u

dekadnom sistemu važe za množenje neke vrednosti nekim od stepena broja deset, važe i u binarnom

sistemu, za množenje nekog broja nekim od stepena broja dva.

Isto kao i malopre, množenje brojeva 1100111010111 i 100000, uopšte nije teško izvesti. Jednostavno

pet nula iz broja 100000 dopisujemo prvom broju i dobijamo rezultat: 110011101011100000.

Za proveru (i vežbu), probajte da pomnožite brojeve 1101 i 100, ali, tako što dete prvo oba broja

pretvoriti u dekadni oblik, množenje obaviti u dekadnom sistemu i onda rezultat pretvoriti u binarni

oblik.

Da li vas rezultat iznenađuje? :)


14

1.9. Heksadekadni brojevni sistem:

Heksadekadni brojevni sistem je brojevni sistem sa osnovom 16. Pošto je 16 jedan od stepena dvojke,

možemo smatrati da je ovaj brojevni sistem u bliskoj vezi sa binarnim. Pored toga, možemo spomenuti i

da se, za razliku od binarnog zapisa brojeva (koji računari koriste u svojim sklopovima, dok se korisnicima

putem operacija koje smo razmotrili, u vedini situacija prikazuju rezultati u dekadnom brojevnom

sistemu), heksadekadni zapis srede u svakodnovnoj upotrebi gde se koristi neporedno (o ovome de biti

reči u jednom od dodataka na kraju skripte, kada bude bilo reči o predstavljanju boja na računaru).

Bududi da osnovni skup cifara na koji smo do sada navikli (0, 1, 2 ,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), ne obuhvata sve

vrednosti cifara koje moraju biti zastupljene u heksadekadnom brojevnom sistemu, ovaj skup se

dopunjava znacima: A, B, C, D, E i F, tako da su cifre heksadekadnog brojevnog sistema (i njihove

vrednosti izražene u dekadnom sistemu) sledede:

Cifra: Vrednost u

dekadnom sistemu: Vrednost u

binarnom sistemu:

0 0 0000

1 1 0001

2 2 0010

3 3 0011

4 4 0100

5 5 0101

6 6 0110

7 7 0111

8 8 1000

9 9 1001

A 10 1010

B 11 1011

C 12 1100

D 13 1101

E 14 1110

F 15 1111

U ovom slučaju, pri formiranju vrednosti broja, vrednost cifara se množi stepenima broja 16: 1, 16, 256,

4096, 65536 itd.

1.10. Vrednost heksadekadnog broja (dekadni ekvivalent):

Pošto se u heksadekadnom sistemu sa malo cifara mogu zapisati prilično veliki verednosti, pogledademo

odmah jedan veliki broj od pet cifara: 1A7C8

x65536 x4096 x256 x16 x1

1 A 7 C 8


15

Do njegove vrednosti (izražene u dekadnom sistemu), dolazimo, kao i do sada, množenjem i sabiranjem:

1 x 3 + 12 (C) x 16 + 7 x 256 + 10 (A) x 4096 + 1 x 65536 = 108488

1.11. Pretvaranje dekadnog broja u heksadekadni:

Kao i sa binarnim brojevima, delidemo broj sa vrednošdu koja predstavlja osnovu datog sistema (u ovom

slučaju ta vrednost je 16), pisati količnik direktno ispod, a ostatak sa desne strane količnika. Krajnju

vrednost dobijamo iščitavanjem ostataka odozdo – nagore.

Za primer, uzedemo dekadni broj 1500, koji demo pretvoriti u heksadekadni ekvivalent:

1.12. Pretvaranje heksadekadnog broja u binarni:

Da bismo heksadekadni broj pretvorili u binarni, dovoljno je samo da svaku od njegovih cifara pretvorimo

u binarni broj iste vrednosti i da sve to redom zapišemo:

Primer: 5B6

Rezultat: 010110110110.

1.13. Pretvaranje binarnog broja u heksadekadni:

Pretvaranje binarnih brojeva u heksadekadne, obavlja se u nekoliko koraka:

-Ukoliko broj cifara binarnog broja nije deljiv sa četiri, potrebno je na početku dopisati onoliko nula

koliko je potrebno da broj cifara postane deljiv sa četiri. Posle toga, broj delimo na grupe od četiri cifre.

-Zatim, svaku od ovih grupa pretvoramo u heksadekadni ekvivalent,. Recimo: grupa 1001 ima vrednost

9, grupa 1100 ima vednost C, a grupa 1111 ima vrednost F (videti tabelu iz uvodnog odeljka o

heksadekadnim brojevima).

Za primer demo uzeti broj 110101111001010 i pretvoriti ga u heksadekadni ekvivalent.

Bududi da ovaj broj ima petnaest cifara, na početku demo dopisati jednu nulu


16

Primer pretvaranja binarnog broja u dekadni u tri koraka:

Kada izdelimo broj na grupe od četiri cifre, preostaje samo da svaku od grupa pretvorimo u heksadekadni

ekvivalent i redom ih zapišemo.

Rezultat je: 6BCA.


17

2. PREDSTAVLJANJE PODATAKA NA RAČUNARU, FAJLOVI

2.1. Bit

Osnovna jedinica računarske memorije naziva se bit (binary digit), i predstavlja binarnu cifru koja može

imati vrednost "0" ili "1". Jedan bit može predstaviti dve vrednosti i može se iskoristiti (recimo), za

prikazivanje suprotnih stanja: uključeno - isključeno, da - ne, gore - dole i slično.

2.2. Nibl (nibble)

Niz četiri bita naziva se nibl (engl. nibble). Niz od četiri bita je za nas zanimljiv jer odgovara ciframa

heksadekadnog brojevnog sistema (preko četiri bita možemo predstaviti šesnaest vrednosti, a u ovom

slučaju su to cifre od 0 do F).

2.3. Bajt (byte)

Bajt je niz od osam bitova i kao takav je najznačajnija struktura podataka u računarskoj tehnici. Bajt je

najmanja jedinica podataka koja se može adresirati na računaru. Bitovi u jednom bajtu često se

označavaju po slededoj šemi: zdesna - nalevo, prvi bit se označava sa "0", a poslednji sa "7".

Bit najnižeg reda (0), naziva se još i LSB - Least Significant Bit, dok se bit najvišeg reda naziva MSB - Most

Significant Bit.

Bajt možemo podeliti i na dva nibla, pri čemu bitovi 4-7 čine takozvani nibl višeg reda (High Order

Nibble), dok preostala četiri bita (0-3), čine nibl nižeg reda (Low Order Nibble).

Jednim bajtom može se predstaviti 256 vrednosti. Recimo, pozitivni celi brojevi od 0 do 255, celi brojevi

od -128 do 127. Takođe, jedan bajt dovoljan je za predstavljanje bilo kog znaka sa tastature, o čemu de

biti više reči kasnije.

2.4. Organizacija bajtova u vede jedinice:

Bajt je relativno mala jedinica kada govorimo o vedini stvari vezanih za upotrebu računara: zapisivanju

tekstualnog dokumenta od nekoliko stranica, pesme od 3 minuta, filma od 2 sata i mnogo čega još.

U takvim situacijama, veoma je uobičajeno i mnogo praktičnije upotrebaljavati vede jedinice kao što su

kilobajt, megabajt, gigabajt i terabajt.


18

Slededa table predstavlja odnose koji važe među informatičkim jedinicama:

Jedinica Vrednost

1 bajt 8 bita

1 kilobajt (KB) 1024 bajta

1 megabajt (MB) 1024 kilobajta

1 gigabajt (GB) 1024 megabajta

1 terabajt (TB) 1024 gigabajta

Ovde smo dužni jednu važnu napomenu. Zašto baš 1024, a ne 1000, verovatno se pitate (kilogram je

1000 grama, a ne 1024; kilometar je 1000 metara, a ne 1024). Podsetimo se da računari operišu

binarnim, a ne dekadnim brojevima. Stoga je prirodno da se u informatici koristi broj koji je stepen broja

2 (1024 je 2 na deseti stepen), a ne stepen broja deset (1000 je deset na tredi stepen).

Postoje,doduše, neke oblasti računarske tehnike gde se, opravdano ili neopravdano, ovaj standard ne

poštuje. Recimo, radni takt procesora označava se u megahercima i gigahercima, pri čemu je jedan

megaherc 1000000 herca, a ne 1048576 (1024 x 1024). Za kapacitet hard diskova koriste se jedinice

gigabajt i terabajt, koje odgovaraju umnošcima broja 10 (x1000), a ne stepenima broja 2 (x1024).

Takođe, veoma je uobičajeno i da jedinice za brzinu prenosa podataka koriste umnoške broja 10. Tako je

1 kilobit u sekundi (kb/s ili kbps) zapravo 1000 bita u sekundi, a ne 1024.

2.5. Fajlovi

Fajl ili datoteku možemo shvatiti kao niz bajtova koji se može zapisati u memoriji računara, a za korisnike

predstavlja neke korisne podatke. Uobičajeno, fajlovi se dele na tekstualne i binarne. Tekstualni fajlovi

obično imaju ekstenziju *.txt (mada ima i drugih ekstenzija za fajlove čiji je format suštinski tekstualni),

dok su binarni fajlovi veoma raznovrsni u smislu ekstenzija i formata sa kojima dolaze. Poznate ekstenzije

binarnih fajlova su *.exe (izvršni fajlovi kojima se pokredu računarske aplikacije), *.bmp, *.jpg, *.gif

(slike), *.wav, *.mp3 (zapis zvuka), *.docx, *.xlsx (dokumenta i tabele) i mnoge druge.

Ekstenzija i format su dva različita pojma. Ekstenzija je, ništa drugo nego dodatak imenu fajla koji

korisnika računara, operativni sistem i programe, upuduju na svrhu i sadržaj datog fajla. Format je nešto

drugo.

Format je način zapisivanja bajtova unutar fajla. Recimo: u tekstualnim fajlovima su bajtovi poređani tako

da svaki bajt odgovara jednom znaku unetog teksta, dok je tipičan format binarnih fajlova koji

predstavljaju slike takav da je prvih nekoliko desetina bajtova zaduženo za čuvanje podataka o

dimenzijama slike, dok se u preostalima redom čuvaju vrednosti o bojama svih piksela date slike.

O ovim formatima bide više reči u slededim odeljcima skripte.


19

Naravno, fajlovi ne služe samo za zapisivanje teksta i slika. U fajlove možemo zapisati: zvuk, notno pismo,

tehničke crteže, tabele sa proračunima, sadržaj web sajtova, recepte za omiljena jela, mapu Evrope i

drugih kontinenata, podatke o prodatim patikama u nekoj sportskoj radnji i mnogo šta još.


20

2.6 Predstavljanje teksta na računarima - ASCII kod

U odeljku u kome su opisani razlozi za korišdenje binarnih računara, spomunuli smo da se na računarima

direktno mogu predstaviti samo cifre "0" i "1". Osvrnuli smo se na problem koji bi nastao kada bismo

(preko naponskih stanja procesora), želeli da predstavimo cifre od 0 do 10. S obzirom na to da se u

velikoj vedini jezika srede po nekoliko desetina znakova, a u mnogim jezicima i stotine znakova, nije teško

razumeti da bi direktno predstavljanje ovih simbola bio i mnogo vedi problem.

Međutim, na računarima se svi ti znakovi mogu uspešno predstaviti različitim kombinacijama bitova po

utvrđenim pravilima koja predstavljaju stvar dogovora (kombinacija bitova koja predstavlja neki znak

naziva se kod datog znaka).

Standard na koji demo u ovom odeljku obratiti pažnju je ASCII. Prednost ovog standarda je što je široko

prihvaden, a nedostatak - to što podržava samo znake engleskog alfabeta (kao i nekoliko desetina drugih

vidljivih i "nevidljivih" znakova). ASCII je skradenica čije je značenje: American Standard Code for

Information Interchange. Za potrebe prikazivanja drugih znakova (među kojima su i znaci srpskog jezika),

razvijen je standard Unicode, ali, s obzirom na veliki broj znakova koji su njime obuhvadeni, on nede biti

predmet ove skripte.

ASCII je osmo-bitni kod kojim je mogude predstaviti 256 znakova, međutim, bududi da je u ranim fazama

svog razvoja ovaj standard koristio svega 7 bita, zapravo je samo prvih 128 znakova ASCII koda

standardizovano, a preostalih 128 je podložno određenim odstupanjima.

Izvorna ASCII tabela


21

U tabeli primedujemo: velika slova (označena kodovima 65-90), mala slova (97-122), cifre 0-9 (kodovi 48-

57), kao i druge znake i specijalne tastere Enter (Carriage Return), Tab, Del, ESC, SPace, itd.

Pogledajmo kako se nizovima bajtova predstavlja tekst:

Niz bajtova (pročitan, recimo, iz nekog fajla), predstavlja niz brojčanih vrednosti od 0 do 255.

Kada računar te vrednosti nađe u ASCII tabeli, interpretira ih (ispisuje) kao slova, znake interpunkcije i

specijalne znake (označeni tamnijom sivom):

Slova i znai interpunkcije se pri ispisu na ekranu vide upravo kako i očekujemo, a specijalni znaci imaju

određenu funkciju. ASCII kod 32 odgovara znaku "space", a to nije znak koji se vidi ved specijalni znak koji

razdvaja susedne znake po širini. ASCII kod 13 odgovara znaku "carriage return" (popularno - enter), što

je, kao što znamo, specijalni znak koji preostali tekst prebacuje u novi red.

Tekst iz prethodne tabele, na ekranu bi izgledao ovako:

Dobar dan!

Novi red.

(Primetimo da između redova postoje dva znaka za prebacivanje u novi red, te su zato redovi dodatno

razmaknuti.)

2.7. Predstavljanje boja na računarima - RGB model

Slika na monitoru sastoji se iz piksela (pixel je skradenica od "picture element"). Boja svakog piksela

dobija se kombinovanjem tri osnovne boje crvene (Red), zelene (Green) i plave (Blue).

Iako postoji više modela za predstavljanje boja na računarima, najuobičajeniji je onaj koji koristi 8 bita,

tojest jedan bajt, za svaku od tri osnovne boje.

Paleta za biranje boja (Color Picker) iz Windows aplikacija


22

Pošto je sa 8 bita mogude obuhvatiti 256 nijansi svake od osnovne tri boje, kombinacijom možemo dobiti

ukupno: 256 x 256 x 256 = 16777216 boja.

U oblasti we b dizajna, vrlo je popularan način zapisivanja boja preko heksadekadnih brojeva. To recimo

izgleda ovako: #43F579.

Iako ovo deluje komplikovano, zapravo nije. Prve dve cifre predstavljaju crvenu komponentu (43), druge

dve zelenu (F5), a poslednje dve plavu (79). Dve cifre heksadekadnog koda obuhvataju vrednosti od 0 do

255, a to je upravo jedan bajt.

Čista crvena boja označava se kao: #FF0000, čista zelena je #00FF00, a plava je #0000FF. Crna boja sastoji

se iz šest nula: #000000, a kod bele boje su svi bitovi uključeni: #FFFFFF.

Heksadekadni kod za boju koju vidite na slici je: # 00A2E8.

Slike na računarima su sastavljene iz piksela;

ukoliko dovoljno uvedamo neku sliku, možemo to i videti.

2.8. Predstavljanje zvuka na računarima - PCM format

Zvuk nastaje tako što se vibracije koje određena tela proizvode prenose putem (najčešde) vazduha.

Bubna opna ljudskog uha osetljiva je na ove vibracije i mi na taj način čujemo. Ove vibracije možemo

"beležiti" i reprodukovati preko takovaznih elektro-akustičkih pretvarača, tojest, mikrofona i zvučnika (u

zvučnike svakako spadaju i slušalice).

Mikrofon je uređaj koji na jednom kraju ima osetljivu opnu koja vibrira pod uticajem promenljivog

vazdušnog pritiska, a na drugom, električni priključak na kome se javlja promenljivi električni napon,

nastao od pomenutih vibracija koje su prenete putem vazduha.

Da bi ovaj zvuk nekako bio zapisan na računaru, potrebno je da se između mikrofona i računara priključi

takozvani Analogno-Digitalni konvertor (koji je, u vedini slučajeva, zapravo deo zvučne karte računara).

Ponešto pojednostavljen, princip rada ovog uređaja možemo opisati na slededi način: određen broj puta,

u jedinici vremena (verovatno najuobičajenija vrednost u tom smislu je 44100 puta u sekundi),

promenljivi napon koji se registruje na mikrofonskom priključku pretvara se u binarni broj (pošto

membrana mikrofona vibrira "napred-nazad", promenljivi napon napon na priključku mikrofona takođe


23

može biti i pozitivan i negativan, a samim tim i binarni broj koji se na ovaj način dobija). Svaki ovakav broj

naziva se uzorak (engl. sample). Ukoliko je zvuk glasan (na način kako bi to registrovale naše uši),

vazdušni pritisak de biti velik, a samim tim i napon koji dobijamo na izlazu mikrofona. Binarni broj koji

dobijamo u ovakvoj situaciji je takođe velik. Ukoliko je zvuk tih, vazdušni pritisak koji se stvara de biti

mali, pa de i napon na mikrofonu biti mali, čemu de odgovarati i vrednost binarnog broja na izlazu AD

konvertora.

Šema procesa AD konverzije (snimanje zvuka na računaru)

Šta ako je zvuk suviše glasan? U ovoj situaciji dolazi do zasidenja, tojest, sve binarne vrednosti koje

dobijamo na izlazu AD konvertora odgovaraju maksimalnoj mogudoj vrednosti za dati sistem. Ono što

čujemo je neprijatan, glasan zvuk, pun izobličenja.

Šta ako je zvuk suviše tih? U ovom slučaju vrednosti napona koji nastaje i binarnih brojeva koji se

dobijaju konverzijom, su bliske nuli. Čudemo zvuk koji je izrazito tih, ili, ako smo baš preterali, snimljeni

zvuk de se "utopiti" u šum pojačala (veoma tih zvuk nalik šuštanju lišda, koji nastaje kao posledica

nesavršenosti tranzistora i ostalih komponenti u audio pojačalima).

Kada snimamo zvuk, moramo voditi računa da jačina zvuka bude na "zlatnoj sredini" između suviše tihog

i preglasnog.

Format zapisa zvuka koji smo ovde (uprošdeno i primereno uzrastu učenika) opisali, stručno se naziva

PCM - Pulse Code Modulation. Tipične vrednosti vezane za ovaj format koje ste verovatno više puta videli

do sada su: 44100Hz i 16 bita. Prva vrednost je (ved pomenuta), učestalost (frekvencija) uzorkovanja

(semplovanja), a druga preciznost zapisivanja (engl. bit-depth).

AD

Konvertor

(pretvarač)

Računar

Električni signal

(promenljivi

napon)

Vibracije vazduha

(promenljivi

vazdušni pritisak)

Niz uzoraka

(nule i jedinice)

0111001010


24

Što je preciznost zapisivanja veda, time je veda i naša sposobnost da zabeleživo veliki tzv. dinamički

raspon (raspon između najtišeg zvuka koji se može zabeležiti iznad praga šuma i najglasnijeg zvuka koji se

može zabeležiti bez izobličenja), što praktično znači da na istom mediju za zapisivanje možemo beležiti i

veoma tihe i veoma glasne zvuke, što je dobar način da se očuva prirodnost i lepota zvučnog zapisa.

Semplovi - grafički prikaz zvuka električne gitare

(kada mali pravougaonik dovoljno uvedamo, vidimo pojedinačne uzorke)

Kada govorimo o reprodukciji zvuka, proces se obavlja u obrnutom smeru: uzorci (semplovi) se dovode

na ulaz digialno-analognog konvertora (razume se - istom učestalošdu koja je korišdena pri uzorkovanju),

a uređaj ih pretvara u promenljivi napon. Ovaj napon, pojačan preko pojačavača (na šemi demo ga

izostaviti jer, iako je u pitanju jako bitan uređaj, on ne menja prirodu signala, ved samo utiče na jačinu),

pokrede membrane zvučnika, a te vibracije posredstvom vazduha dolaze do naših ušiju i na taj način

čujemo ono što smo snimili.

Šema procesa DA konverzije - reprodukcija zvuka preko računara

DA

Konvertor

(pretvarač)

Računar

Električni signal

(promenljivi

napon)

Niz uzoraka

(nule i jedinice)

0111001010

Documents

Brojevni sistemi Organizacija podataka - alas.matf.bg.ac.rsalas.matf.bg.ac.rs/~mi13120/PrvaGodina/Literatura/01_Brojevni... · Oduzimanje binarnih brojeva: ... Slededa cifra se množi