Brojni Sistemi Vladimir Božanović

Vladimir Boanovi

BROJNI SISTEMI sa primerima

Prirunik za uenike III godine Sportske gimnazije

Sportska gimnazija Beograd Raunarstvo i informatika BROJNI SISTEMI

Prof. Vladimir Boanovi strana 2

Brojni sistemi 1. Nepozicioni Svojstvo cifre ne zavisi od pozicije na kojoj se nalazi Primer: rimski brojevi

XI

IX U oba sluaja cifra I ima vrednost 1 2. Pozicioni ili teinski Pozicioni brojni sistemi su oni u kojima se teina cifre (njen udeo u celokupnoj vrednosti broja) odreuje na osnovu njene pozicije u broju (to vea pozicija, to je vei i udeo u vrednosti broja) Primer: arapski brojevi

Npr. broj 11 ima dve cife 1 koje su razliite teine. to je pozicija cifre vie levo, teina cifre je vea.

Pozicioni brojni sistemi mogu biti 1. Sa osnovom 2. Bez osnove

Osnova - naziv brojnog sistema 2 - binarni 8 - oktalni 10 - decimalni 16 heksadekadni (heksadecimalni)



Naziv Osnova Cifre

binarni 2 0,1

oktalni 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

decimalni 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

heksadecimalni 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F

Prevoenje brojeva u dekadni brojni sistem

11(10)= 1*101 + 1*100 = 10+1= 11(10)

11(2) = 1*21 + 1*20 = 2+1 = 3(10)

11(8) = 1*81 + 1*80 = 8+1 = 9(10)

11(16) = 1*161 + 1*160 = 16+1 = 17(10)

Dekadni brojni sistem

Primer 1.

1863(10) = 1000 + 800 + 60 + 3 =1*1000 + 8*100 + 6*10 + 3*1 =1*103 + 8*102 + 6*101 + 3*100

Primer 2.

1357,25(10) = 1000 + 300 + 50 + 7 + 0,2 + 0, 05 = 1*103 + 3*102 + 5*101 + 7*100 + 2*10-1 + 5*10-2

Oktalni brojni sistem

1234,25(8)=1*83 + 2*82 + 3*81 + 4*80 + 2*8-1 + 5*8-2 = 512 + 128 + 24 + 4 +

+ 5/8 = 668,875(10)



Heksadekadni brojni sistem

19AB,2D(16) = 1*163 + 9*162 + 10*161 + 11*160 + 2*16-1 + 13*16-2 = 4096 +

2304 + 160 + 11 + 2/16 + 13/256 = 6571,0176(10)

Binarni brojni sistem

1101,01(2) = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 1/4

= 13,25(10)

Primer 1.

Prevoenje iz osnova 2, 16, 13 i 8 u osnovu 10: 1101(2) = X(10) 1101(16) = X(10) F9A (16) = X(10) 642(13) = X(10) 642(8) = X(10) Reenje:

1101(2) = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 13(10)

1101(16)=1*16

3 + 1*162 + 0*161 + 1*160 = 4096 + 256 + 1 = 4353(10) F9A (16)=F*16

2 + 9*161 + A*160 = 15*162 + 9*161 + 10*160 = 3994(10) 642(13)=6*13

2 + 4*131 + 2*130 = 1068(10) 642(8)= 6*8

2 + 4*81 + 2*80 = 418(10)



Primer 2.

Koji je dekadni ekvivalent binarnog broja 1011011? Reenje:

1011011(2)=1*26 + 0*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 64 + 16 + 8 + 2 +

1 = 91 (10) Primer 3.

0,1101(2)= 0*20 + 1*2-1 + 1*2-2 + 0*2-3 + 1*2-4 = 0,6875(10)

Primer 4.

1,01(2)= 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2 = 1*20 + 1*2-2 =1,2522(10)

Primer 5.

Prebacite sledee brojeve u dekadni brojni sistem 10111,01(2) = X(10) ACA,5(16) = X(10) 734,25(8) = X(10) Reenje:

10111,01(2) = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 + 0*2-1 +1*2-2 =

16 + 4 + 2 + 1 + = 23,25(10) ACA,5(16) = A*16

2 + C*161 + A*160 + 5*16-1 = 10*162 + 12*161 + 10*160 + 5*16-1 =2762,3125(10) 734,28(8) = 7*8

2 + 3*81 + 4*80 + 2*8-1 + 8*8-2 = 476,375(10)



Iz dekadnog u binarni brojni sistem (10 2)

Ostaci deljenja koji su zapisani predstavljaju traeni binarni broj koji treba itati obrnuto, tj. zadnja dobijena cifra je najznaajnija cifra, a prva dobijena cifra je najmanje znaajna cifra. Primer 1.

Treba pretvoriti dekadni broj 43(10) u binarni. Reenje:

43(10) = X(2)

Postupak je sledei: 43 : 2 = 21 ostatak 1 21 : 2 = 10 ostatak 1 10 : 2 = 5 ostatak 0 5 : 2 = 2 ostatak 1 2 : 2 = 1 ostatak 0 1 : 2 = 0 ostatak 1 Smer itanja 43(10) = 101011(2)

Tabela 2n n=0..10

20 = 1 26 = 64

21 = 2 27 = 128

22 = 4 28 = 256

23 = 8 29 = 512

24 = 16 210 = 1024

25 = 32 211 = 2048



Primer 2.

35(10) = X(2) Reenje:

35 : 2

Smer itanja

17 1

8 1

4 0

2 0

1 0

0 1

35(10) = 100011(2)= 1*2

5 + 0*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 32 + 2 + 1

Iz dekadnog u binarni brojni sistem 10 2 (Pretvaranje razlomljenog

dela broja)

Dekadni brojevi koji su manji od 1pretvaraju se u binarne brojeve primenom sledeeg postupka:

1. Pomnoiti dekadni broj brojem 2 2. Ako je dobijeni proizvod >1, iza take u binarnom broju se pie 1 i taj

broj se oduzima od dobijenog proizvoda. 3. Ako je dobijeni proizvod



Postupak je sledei: 0,625 * 2 = 1,25 pie se 1 1,25 = 1 + 0,25 0,25 * 2 = 0,5 pie se 0 0,5 * 2 = 1,0 pie se 1 0,625(10) = 0,101 (2) smer itanja Primer 2.

Odrediti binarni zapis broja 0,203125(10) = X(2) Reenje:

0, 203125 * 2 smer itanja 0, 40625*2

0, 8125*2

1, 625*2

1, 25*2

0, 5*2

1, 0

0,203125(10) = 0,001101 (2) Primer 3.

Odrediti binarni zapis broja 0,84375(10) = X(2)

Reenje:

0, 84375 * 2 smer itanja 1, 6875*2

1, 375*2

0, 75*2

1, 5*2

1, 0

0,84375 (10) = 0,11011 (2)



Primer 4.

Odrediti binarni zapis broja X = 0,17(10) na 4 decimale. Reenje:

0, 17 * 2 smer itanja 0, 34*2

0, 68*2

1, 36*2

0, 72*2

0,17 (10) = 0,0010 (2)

Primer 5.

Odrediti binarni zapis broja X = 0,27(10) na 5 decimala. Reenje:

0, 27 * 2 smer itanja 0, 54*2

1, 08*2

0, 16*2

0, 32*2

0, 64

0,84375 (10) = 0,01000 (2)

Iz dekadnog u oktalni brojni sistem (10 8)

Prilikom pretvaranja dekadnog broja u oktalni primenjuje se isti algoritam kao u sluaju pretvaranja dekadnog broja u binarni, sa tom razlikom to se u ovom sluaju deli brojem 8. Ostaci deljenja koji su zapisani predstavljaju



traeni binarni broj koji treba itati obrnuto, tj. zadnja dobijena cifra je najznaajnija cifra, a prva dobijena cifra je najmanje znaajna cifra.

Primer 1.

Pretvoriti dekadni broj 127(10) u oktalni. Reenje:

Postupak je sledei: 127 : 8 = 15 ostatak 7 15 : 8 = 1 ostatak 7 1:8 = 0 ostatak 1 127(10) = 177(8) Smer itanja Primer 2.

181(10)= X(8)

Reenje:

181 : 8

Smer itanja

22 5

2 6

0 2

181(10) = 265(8) = 2*8

2 + 6*81 + 5*80 = 128 + 48 + 5 Iz dekadnog u oktalni 10 8 (Pretvaranje razlomljenog dela broja) Dekadni brojevi koji su manji od 1 pretvaraju se u oktalne brojeve primenom sledeeg postupka:

1. Pomnoiti dekadni broj brojem 8. 2. Celobrojni deo proizvoda napisati. 3. Ostatak se mnoi brojem 8 i ponavlja se gore pomenuti postupak, sve

dok se ne dobije 0 kao rezultat iza decimalne take. Ostaci deljenja koji su zapisani predstavljaju traeni oktalni broj koji treba itati



odozgo, tj. poslednja dobijena cifra je najmanje znaaja cifra, a prva dobijena cifra je najznaajnija cifra.

Primer 1.

Pretvoriti dekadni broj 0,3125(10) u oktalni. Reenje:

Postupak je sledei: 0,3125 * 8 = 2,5 pie se 2 0,5 * 8 = 4 pie se 4 0,3125(10) = 0,24(8) Smer itanja Ako postoji realni dekadni broj koji je > 1, onda on moe da se pretvori u oktalni broj tako to se pretvaraju posebno celobrojni deo (levo od decimalne take) i deo iza decimalne take i dobijeni oktalni brojevi se pripajaju jedan drugom. Procedura je identina kao kod binarnih brojeva.

Iz dekadnog u heksadekadni brojni sistem (10 16)

Prilikom pretvaranja dekadnog broja u heksadekadni primenjuje se isti algoritam kao u sluaju pretvaranja dekadnog broja u binarni, sa tom razlikom to se u ovom sluaju deli brojem 16. Ostaci deljenja koji su zapisani predstavljaju traeni binarni broj koji treba itati odozdo, tj. poslednja dobijena cifra je najznaajnija cifra, a prva dobijena cifra je najmanje znaajna cifra. Primer 1.

Pretvoriti dekadni broj 127(10) u heksadekadni. Reenje:

Postupak je sledei:



127(10) = X(16) 127 : 16 = 7 ostatak 15 F 7:16 = 0 ostatak 7 Smer itanja 127(10) = 7F(16) Primer 2.

181(10)= X(16)

Reenje:

181 : 16

Smer itanja

11 5

0 11 (B)

181(10) = B5(16)= 11*16

1+5*160= 176+5

Iz dekadnog u heksadekadni brojni sistem 10 16 (Pretvaranje

razlomljenog dela broja)

Dekadni brojevi koji su manji od 1 pretvaraju se u heksadekadne brojeve primenom sledeeg postupka:

1. Pomnoiti dekadni broj brojem 16 2. Celobrojni deo proizvoda napisati. 3. Ako je dobijeni proizvod < 1, iza take u binarnom broju se pie 0. 4. Ostatak se mnoi brojem 16 i ponavlja se gore pomenuti postupak,

sve dok se ne dobije 0 kao rezultat iza decimalne take. Ostaci deljenja koji su zapisani predstavljaju traeni binarni broj koji treba itati odozgo, tj. poslednja dobijena cifra je najmanje znaaja cifra, a prva dobijena cifra je najznaajnija cifra.

Primer 1.

Pretvoriti dekadni broj 0,015625(10) u heksadekadni.



Reenje:

Postupak je sledei: 0,015625 * 16 = 0,25 pie se 0 0,25 * 16 = 4 pie se 4 0,015625(10) =0,04(16) Smer itanja Binarni zapisi oktalnih cifara

Oktalna cifra Binarni zapis

0 000

1 001

2 010

3 011

4 100

5 101

6 110

7 111

Iz oktalnog u binarni broj direktno (8 2)

Pretvaranje oktalnog u binarni broj vri se pojedinanim pretvaranjem svake

oktalne cifre u grupu od 3 binarne cifre po tabeli binarnih zapisa oktalnih

cifara.

Primer 1.

147(8)=X(2) Reenje:

1(8)=011(2) 4(8)=100(2) 7(8)=111(2) 147 (8) = 011 100 111 (2)



Primer 2.

Prevesti broj 67 iz oktalnog u binarni sistem. Reenje:

67(8) =X(2) 6(8) =110(2) 7(8) =111(2) 67(8) =110111(2) Primer 3.

Prevesti broj 54,12 iz oktalnog u binarni sistem. Reenje:

54,12(8) =X(2) 5=101 4=100 1=001 2=010 54,12(8) =101100,001010 (2)

Iz binarnog u oktalni broj direktno (2 8)

Binarne cifre se grupiu u grupe od po 3 cifre, poev od bitova najmanje teine. Ako ukupan broj bitova nije deljiv sa tri, dopisuje se potreban broj vodeih nula. Primer 1.

11111010001010(2) Reenje:

11111010001010(2)=



izdvajamo binarne cifre u grupe po 3, poevi od cifre sa najmanjom teinom, odnosno od prve cifre sa desne strane, ne raunajui cifre nakon decimalnog zareza. Ukoliko grupa najvee teine nema 3 cifre, po potrebi dodati vodee nule. = 011 111 010 001 010(2)

Svaku grupu od 3 cifre oitati pomou tabele binarnih zapisa oktalnih cifara = 37212(8)

Primer 2.

Odredite oktalni zapis sledeeg binarnog broja 11010100100(2) Reenje:

11010100100(2)= 011 010 100 100(2)= 3244(8)

Iz heksadekadnog u binarni broj direktno (16 2) Binarni zapisi heksadekadnih cifara

binarni heksadekadni binarni heksadekadni

0000 0 1000 8

0001 1 1001 9

0010 2 1010 10

0011 3 1011 11

0100 4 1100 12

0101 5 1101 13

0110 6 1110 14

0111 7 1111 15

Pretvaranje heksadecimalnog u binarni broj vri se jednostavnom zamenom odgovarajua etiri bita iz tabele za svaku heksadecimalnu cifru u broju. Primer 1.

Prevesti broj 67 iz heksadecimalnog u binarni sistem. Reenje:



67(10)=0110 0111(2) Primer 2.

Prevesti broj A3(16) iz heksadecimalnog u binarni sistem. Reenje:

A3(16) =1010 0011(2)

Iz binarnog u heksadekadni broj direktno (2 16)

Binarne cifre se grupiu u grupe od po 4 cifre, poev od bitova najmanje teine. Ako ukupan broj bitova nije deljiv sa 4, dopisuje se potreban broj vodeih nula. Primer 1.

Odredite heksadekadni zapis sledeeg binarnog broja 1001111000111000(2) Reenje:

1001111000111000(2)=X(16) = 1001 1110 0011 1000(2)= 9E38(16)

Iz heksadekadnog u oktalni broj (16 2 8)

Ako je neophodno vriti konverziju broja iz heksadecimalne u oktalnu brojnu prezentaciju, lake je koristiti binarnu prezentaciju kao meukorak. Svaka heksadekadna cifra ispie se u binarnom obliku u grupama po 4 binarne cifre, a zatim se cifre pregrupiu u grupe od po 3 binarne cifre. Zatim se svaka grupa od 3 cifre iita oktalno. Vodee nule celobrojnog dela broja dopisuju se sa leve strane, a vodee nule razlomljenog dela broja se dopisuju sa desne strane. Primer 1.



21A8E,2(16) = X(8) Reenje:

= 0010 0001 1010 1000 1110, 0010(2) = 000 100 001 101 010 001 110, 001 000 (2) = 415216,1(8)

Iz oktalnog u heksadekadni broj (8 2 16)

Konverzija broja iz oktalnog u heksadecimalni moe se izvriti preko binarne konverzije. Svaka oktalna cifra ispie se u binarnom obliku u grupama po 3 binarne cifre, a zatim se cifre pregrupiu u grupe od po 4 binarne cifre. Zatim se svaka grupa od 4 cifre iita heksadekadno. Vodee nule celobrojnog dela broja dopisuju se sa leve strane, a vodee nule razlomljenog dela broja se dopisuju sa desne strane. Primer 1.

1702,5(8) = X(16) Reenje:

11702,34(8) = 001 001 111 000 010, 101(2) = 0001 0011 1100 0010, 1010(2) = 13C2,A(16)

Binarno sabiranje

Binarno sabiranje obavlja se isto kao i decimalno sabiranje, osim to se prenos na sledee znaajno mesto obavlja nakon postignutog zbira (1+1).



Primer 1.

prenos 1001011(2) = 75(10) + 110100(2) = 52(10) 1111111(2) =127(10) jer je

1+0=1

0+1=1 Primer 2.

1111 prenos 1111001(2) = 121(10) + 1011110(2) = 94(10) 11010111(2) = 215(10) jer je

1+0=1

0+1=1

1+1=0 i prenosi se 1

Binarno oduzimanje

Binarno oduzimanje obavlja se kao i decimalno oduzimanje, osim to se pozajmljuje 1 od bita vee teine.



Primer 1.

0111(2) = 7(10) - 0101(2) = 5(10) 0010(2) = 2(10) Poinjemo od krajnje desne kolone i zavravamo sa krajnjom levom kolonom.

1 1 = 0 1 0 = 1 1 1 = 0 0 0 = 0

Primer 2.

Ako od broja 10(2) = 2(10) oduzimamo 01 (2) = 1(10) 1 zajam 01 zajam 10(2) = 2(10) - 01(2) = 1(10) Poinjemo od desne kolone.

0 - 1 neophodna nam je pozajmica. Pozajmljujemo jedinicu iz susedne kolone levo. U koloni iz koje pozajmljujemo 1 ostaje 0. Precrtamo 1 i dopiemo 0. U dvocifrenom broju 10 jedinica ima vrednost 1*21=2. Kada je prenesemo u levu kolonu, dvojka postaje dve jedinice, koje obeleavamo kao 1*20+1*20, odnosno 1+1.



Tada oduzimamo sa desna na levo:

2 - 1 = 1

0 - 0 = 0

1 zajam 01 zajam 10(2) = 2(10) - 01(2) = 1(10) 01

Primer 3.

Ako od broja 100(2) = 4(10) oduzimamo 001 (2) = 1(10)

100(2) = 4(10) - 001 (2) = 1(10)

Poinjemo od krajnje desne kolone.

0-1 neophodna nam je pozajmica. Pozajmljujemo jedinicu iz susedne kolone levo. U susednoj koloni je 0, tako da pozajmljujemo 1 iz prve sledee kolone u kojoj postoji 1. To je trea kolona zdesna. U koloni iz koje pozajmljujemo 1 ostaje 0. Precrtamo 1 i dopiemo 0. U trocifrenom broju 100 jedinica ima vrednost 1*22=4. Kada je prenesemo u srednju kolonu, etvorka postaje dve dvojke, koje obeleavamo kao 1*21+1*21, odnosno 1+1. Jedna dvojka ostaje u srednjoj koloni, a druga se pozajmljuje koloni sa desne strane kao 1*20+1*20

11 zajam 011 zajam 100(2) = 4(10) - 001 (2) = 1(10) 011(2) = 3(10) Nakon obavljene pozajmice, oduzimamo poevi od krajnje desne kolone:

2-1=1



1-0=1

0-0=0 Rezultat je 011(2) = 3(10) Primer 4.

1 zajam 11 zajam 01 zajam 11011101(2) = 221(10) - 1111000(2) = 120(10) 01100101(2) = 101(10)

U koloni iz koje je izvren zajam (obeleeno crvenim fontom), nakon zajma vrednost cifre nije vie 1 nego 0. Nakon obavljene pozajmice, oduzimamo poevi od krajnje desne kolone: Rezultat je 1100101(2) = 101(10) Primer 5.

11 1 zajam 01101 zajam 1001011(2) = 75(10) - 110100(2) = 52(10) 0010111(2) = 23(10) Primer 6. 1111 zajam 1111 zajam 1111001(2) = 121(10) - 1011110(2) = 94(10) 0011011(2) = 27(10)

Komplement broja

Komplement je pojam koji se esto koristi kada se govori o brojnim sistemima. Praktini smisao uvia se prilikom prikazivanja negativnih



brojeva i oduzimanja brojeva, odnosno prilikom realizacije ove operacije kroz operaciju sabiranja. Najoptija, uproena definicija komplementa bila bi da je to dopuna datog broja do neke unapred definisane vrednosti. U dekadnom brojnom sistemu postoje devetini i desetini komplementi. U binarnom brojnom sistemu definisana su samo dva komplementa i oba su od praktinog znaaja. Komplement jedinice (kao komplement najvee cifre) i komplement dvojke (kao komplement osnove sistema).

Dekadno oduzimanje komplementarna tehnika

U dekadnom brojnom sistemu postoje devetini i desetini komplementi. Primer 1. - Devetini complement

82(10) broj od koga oduzimamo (umanjenik) - 21(10) broj koji oduzimamo (umanjilac) Devetini komplement broja 21 dobijamo kad od maksimalnog dvocifrenog broja 99 oduzmemo 21. 99(10) maksimalni dvocifreni dekadni broj - 21(10) broj koji oduzimamo (umanjilac) 78(10) devetini komplement broja 21 Sabiranjem umanjenika i devetinog komplementa dobijamo nepotpuni rezultat. 82(10) broj od koga oduzimamo (umanjenik) + 78(10) devetini komplement 160(10) nepotpuni rezultat Iz nepotpunog rezultata izdvajamo cifru najvee teine (koja je premaila dvocifren broj) prenosimo iz krajnjeg levog bita u krajnji desni i sabiramo i dobijamo konaan zbir, odnosno razliku.



60 (10) nepotpuni rezultat bez cifre najvee teine + 1(10) cifra najvee teine prebaena u kolonu najmanje teine 61(10) konaan rezultat Primer 2. - Desetini komplement

82(10) broj od koga oduzimamo (umanjenik) - 21(10) broj koji oduzimamo (umanjilac) Desetini komplement broja 21 dobijamo kad od minimalnog trocifrenog broja 100 oduzmemo 21. 100(10) maksimalni dvocifreni dekadni broj - 21(10) broj koji oduzimamo (umanjilac) 79(10) desetini komplement broja 21 Sabiranjem umanjenika i desetinog komplementa dobijamo nepotpuni rezultat. 82(10) broj od koga oduzimamo (umanjenik) + 79(10) devetini komplement 161(10) nepotpuni rezultat Iz nepotpunog rezultata izbacujemo cifru najvee teine (koja je premaila dvocifren broj) i dobijamo konaan zbir, odnosno razliku. 161(10) 61(10)

Binarno oduzimanje komplementarna tehnika

U binarnom brojnom sistemu postoje jedinini i dvojini komplement. Jedinini komplement se dobija prostom zamenom u svakom pojedinanom bitu jedinica nulama i obrnuto. Dvojini komplement se dobija zamenom cifara i sabiranjem sa brojem 1. Primer 1.



Jedinini komplement broja 111000(2) je 000111(2). Primer 2.

Dvojini komplement broja 111000 je: 000111(2) = 7(10) jedinini komplement + 1(2) = 1(10) 1 1000(2) = 8(10) dvojini komplement Primer 1.

Klasino oduzimanje

00111001(2) = 57(10) - 00011110(2) = 30(10) 00011011(2) = 27(10)

Oduzimanje jedininim komplementom

11111111(2) = 255(10) maksimalni osmocifreni binarni broj - 00011110 (2) = 30(10) broj koji oduzimamo (umanjilac) 11100001(2) = 225(10) jedinini komplement 00111001(2) = 57(10) broj od koga oduzimamo (umanjenik) + 11100001(2)= 225(10) jedinini komplement 100011010(2) = 282(10) nepotpuni rezultat Iz nepotpunog rezultata izdvajamo cifru najvee teine (koja je premaila osmocifren broj) prenosimo iz krajnjeg levog bita u krajnji desni i sabiramo i dobijamo konaan zbir, odnosno razliku. 00011010(2) + 1(2) 00011011(2) 100011010(2) 00011011(2) = 27(10)



Primer 2.

Klasino oduzimanje

00111001(2) = 57(10) - 00011110(2) = 30(10) 00011011(2) = 27(10)

Oduzimanje dvoinim komplementom

100000000(2) = 256(10) minimalni devetocifreni binarni broj - 00011110(2) = 30(10) broj koji oduzimamo (umanjilac) 11100010(2) = 226(10) dvoini komplement 00111001(2) = 57(10) broj od koga oduzimamo (umanjenik) + 11100010 (2)= 226(10) dvoini komplement 100011011 (2) = 283(10) nepotpuni rezultat Iz nepotpunog rezultata cifru koja je premaila osmocifren broj odbacujemo i dobijamo konaan zbir, odnosno razliku. 100011011(2) 00011011(2) = 27(10)

Binarno mnoenje

Koristi se tehnika pomeri i saberi. Mnoenje u oktalnom brojnom sistemu

obavlja se mnoenjem svake cifre jednog broja sa svim ciframa drugog

broja. Rezultati mnoenja se potpisuju pomeranjem za jedno mesto udesno

ili ulevo.

Primer 1.



1100(2)* 1101(2) = 1100 00000 110000 vodee nule + 1100000 10011100

Binarno deljenje

Za binarno deljenje vae ista pravila kao i za dekadno:

nulom nije dozvoljeno

jedinicom - trivijalno Primer 1.

Broj 1100(2) podeliti sa 11(2).

Kada delimo, deljenik piemo sa desne strane, a delilac sa leve:

11(2) / 1100(2) =

S obzirom da je delilac dvocifren, gledamo prve dve cifre deljenika. Ako su prve dve cifre vee ili jednake od cifara delioca, u rezultatu piemo 1 u drugoj koloni, a ako nisu vee ili jednake piemo 0. Zatim od deljenika oduzimamo delilac i dopisujemo nulu iz sledee kolone 1 rezultat

11(2) / 1100(2) = - 11

00 Sada delimo 00 sa 11. Rezultat je 0 to upisujemo iznad tree kolone. Ponovo oduzimamo delioc od deljenika i ponavljamo proces. 10 rezultat

11(2) / 1100(2) = - 11

00 - 11

000



Kada doemo do poslednje kolone, deljenje je zavreno. Rezultat je 0 to upisujemo iznad etvrte kolone. 100 rezultat

11(2) / 1100(2) = - 11

00 - 11

000

11(2) / 1100(2) = 100(2)

Primer 2.


101(2) / 110101(2) =

S obzirom da je delilac trocifren, gledamo prve tri cifre deljenika. Prve tri cifre su vee od cifara delioca (110 je vee od 101), tako da u rezultatu piemo 1 u treoj koloni. Zatim od deljenika oduzimamo delilac i dopisujemo cifru 1 iz sledee kolone. 1 rezultat

101(2) / 110101(2) = - 101

0011 Sada delimo 011 sa 101. Rezultat je 0 to upisujemo iznad etvrte kolone. Dopisujemo cifru 0 iz sledee kolone. 10 rezultat

101(2) / 110101(2) = - 101

00110



Delimo 110 sa 101. Rezultat je 1 to upisujemo iznad pete kolone. Od 110 oduzimamo 101 i piemo rezultat 001. Dopisujemo cifru 1 iz sledee, poslednje kolone. 1010 rezultat

101(2) / 110101(2) = - 101

00110 -101 0011 Delimo 011 sa 101. Rezultat je 0 to upisujemo iznad este kolone.

101(2) / 110101(2) = 1010(2)

Primer 3.


110(2) / 101101(2) =

S obzirom da je delilac trocifren, gledamo prve tri cifre deljenika. Prve tri cifre su manje od cifara delioca (101 je manje od 110), tako da moramo da koristimo etvrtu cifru 1 iz sledee kolone. Cifra 1011 je vea od cifre 110, pa kao rezultat piemo 1 iznad etvrte kolone. Zatim oduzimamo 110 od 1011 i dobijamo rezultat 101. 1 rezultat

110(2) / 101101(2) = - 110

101 Dopisujemo cifru 0 iz sledee kolone. 1 rezultat

110(2) / 101101(2) = - 110

1010



Delimo 1010 sa 110. Rezultat je 1 to upisujemo iznad pete kolone. Zatim oduzimamo 110 od 1010 i dobijamo rezultat 100.Dopisujemo cifru 1 iz sledee, poslednje kolone. 11 rezultat

110(2) / 101101(2) = - 110

1010 - 110

1001 Delimo 1001 sa 110. Rezultat je 1 to upisujemo iznad este kolone.

111 rezultat

110(2) / 101101(2) = - 110

1010 - 110

1001 110(2) / 101101(2) = 111(2)

Sabiranje oktalnih brojeva

Sabiranje oktalnih brojeva vri se kao i sabiranje dekadnih. Ukoliko zbir

prelazi vrednost 7, u levu kolonu se prenosi 1.

Primer 1.

17(8) + 13(8)

Poinjemo od krajnje desne kolone i zavravamo sa krajnjom levom kolonom.

7 + 3 = 10 = 8 + 2, piemo 2 a prenosimo 1 1 + 1 + 1 = 3



17(8) + 13(8) 32(8)

Primer 2.

1750(8) + 377(8) 2347(8)

0 + 7 = 7

5 + 7 = 12 = 8 + 4, piemo 4 a prenosimo 1 7 + 3 + 1 = 11 = 8 + 3, piemo 3 a prenosimo 1 1 + 1 = 2

Primer 3.

2754(8) + 3721(8) 6675(8)

4 + 1 = 5

5 + 2 = 7


Oduzimanje oktalnih brojeva

Oduzimanje oktalnih brojeva vri se kao i oduzimanje dekadnih. Ukoliko je

umanjilac vei od umanjenika, pozajmljujemo 1 iz leve kolone.

Primer 1.

Od 213(8) oduzeti 17(8)

Reenje:

213(8) - 17(8) Poinjemo od krajnje desne kolone i zavravamo sa krajnjom levom kolonom.



3 - 7 ne moe. Pozajmljujemo jedinicu iz druge kolone, koja u treoj koloni postaje 8. U drugoj koloni nakon pozajmice ostaje 0.

0 - 1 ne moe. Pozajmljujemo jedinicu iz prve kolone, koja u drugoj koloni postaje 8. U prvoj koloni nakon pozajmice ostaje 1.

88 pozajmica 10 ostatak 213(8) - 17(8) Nakon zavrene pozajmice moemo da oduzimamo:

8 + 3 - 7 = 4

8 + 0 - 1 = 7

1 - 0 = 1

88 pozajmica 10 ostatak 213(8) - 17(8) 174(8)

Primer 2.

1035(8) - 536(8) Poinjemo od krajnje desne kolone i zavravamo sa krajnjom levom kolonom.

5 - 6 ne moe. Pozajmljujemo jedinicu iz tree kolone, koja u etvrtoj koloni postaje 8. U treoj koloni nakon pozajmice ostaje 2.



8 pozajmica 2 ostatak

1035(8) - 536(8)

2 - 3 ne moe. Ne moemo da pozajmimo iz druge kolone, jer je tu 0. Zato pozajmljujemo jedinicu iz prve kolone, koja u drugoj koloni postaje 8. U prvoj koloni nakon pozajmice ostaje 0. 8 8 pozajmica 0 2 ostatak 1035(8) - 536(8)

Pozajmljujemo jedinicu iz druge kolone, koja u treoj koloni postaje 8. U prvoj koloni nakon pozajmice ostaje 7. 888 pozajmica 072 ostatak 1035(8) - 536(8)

Nakon zavrene pozajmice moemo da oduzimamo:

8 + 5 - 6 = 7

8 + 2 - 3 = 7

7 - 5 = 2

888 pozajmica 072 ostatak 1035(8) - 536(8) 277(8)



Mnoenje oktalnih brojeva

Oktalne brojeve je mogue mnoiti na dva naina.

1. mnoenjem jednog broja svim pojedinanim ciframa drugog broja

2. mnoenjem svih pojedinanih cifara oba broja

Primer 1. prvi nain

25(8) * 16(8) =

Reenje:

Mnoimo 25 sa 6:

6 * 5 = 30 : 8 = 3 i ostatak 6

Ostatak piemo, a 3 prenosimo u levu kolonu.

6 * 2 = 12 + prenos 3 = 15 : 8 = 1 i ostatak 7

Ostatak piemo, a u levu kolonu prenosimo 1.

smer itanja 25(8) * 6(8) = 176(8)

Mnoimo 25 sa 1:

25(8) * 1(8) = 25(8)

Rezultat mnoenja sa 1 i mnoenja sa 6 sabiramo. Rezultat mnoenja sa 1 je vee teine, tako da ga prilikom sabiranja pomeramo za jedno mesto ulevo.



25(8) * 16(8) = 176 mnoenje sa 6 25 mnoenje sa 1 + 1 prenos (7+5=12=8+4 4 piemo, 1 prenosimo) 446(8) 25(8) * 16(8) = 446(8)

Primer 1. drugi nain

25(8) * 16(8) =

Reenje:

Mnoimo sve pojedinane cifre:

2 * 1 = 2 2 * 6 = 12 5 * 1 = 5 5 * 6 = 30

Rezultate moemo podeliti u 3 teinske grupe:

teina 81 80 prvi broj 2 5

drugi broj 1 6

1. Prvoj grupi pripada proizvod cifara iz kolone najvee teine (81),

odnosno 2 * 1 = 2

2. Drugoj grupi pripadaju proizvodi cifara iz kolona razliite teine, odnosno 2 * 6 = 12 5 * 1 = 5

3. Treoj grupi pripada proizvod cifara iz kolona najmanje teine (80), odnosno 5 * 6 = 30

Saberemo sve proizvode iste teine: 2 12 30 + 5 2 17 30



Ispod svakog broja dopisujemo najvei broj deljiv sa 8: 2 12 30 + 5

2 17 30 - 16 24

U levu kolonu prenesemo dopisan broj podeljen sa 8. Saberemo broj i prenos i oduzmemo dopisan broj:

2 12 30 + 5

2 17 30 + 2 3 prenos - 16 24 4 4 6 25(8) * 16(8) = 446(8)

Primer 2. prvi nain

42(8) * 36(8) =

Reenje:

Mnoimo 42 sa 6:

6 * 2 = 12 : 8 = 1 i ostatak 4


6 * 4 = 24 + prenos 1 = 25 : 8 = 3 i ostatak 1


smer itanja 42(8) * 6(8) = 314(8)

Mnoimo 42 sa 3:



3 * 2 = 6 : 8 = 0 i ostatak 6

Ostatak piemo, nulu nema potrebe prenositi.

3 * 4 = 12 : 8 = 1 i ostatak 4


smer itanja

42(8) * 3(8) = 146(8)


42(8) * 36(8) = 314 mnoenje sa 6 + 146 mnoenje sa 1 1774

42(8) * 36(8) = 1774(8)


42(8) * 36(8) =

Reenje:


4 * 3 = 12 4 * 6 = 24 2 * 3 = 6 2 * 6 = 12





drugi broj 3 6


odnosno 4 * 3 = 12


3. Treoj grupi pripada proizvod cifara iz kolona najmanje teine (80), odnosno 2 * 6 = 12


Ispod svakog broja dopisujemo najvei broj deljiv sa 8:

12 24 12 + 6 12 30 12 - 8 24 8


12 24 12

+ 6 12 30 12

+1 3 1 prenos - 8 24 8 1 7 7 4



25(8) * 16(8) = 1774(8)

Sabiranje heksadekadnih brojeva

Sabiranje heksadekadnih brojeva vri se kao i sabiranje dekadnih. Ukoliko

zbir prelazi vrednost 15, u levu kolonu se prenosi 1.

Primer 1.

19(16) + 18(16)



19(16) + 18(16) 31(16)

Primer 2.

1F4C(16) + 2E83(16) 4DCF(16)

C (12) + 3 = 15 = F

4 + 8 = 12 = C

F (15) + E (14) = 29 = 16 + 13 (D), piemo D, a prenosimo 1 1 + 2 + 1 = 4

Primer 3.

4AC2D(16) + 3BE2(16) 4E80F(16)



D (13) + 2 = 15 = F

2 + E (14) = 16 = 16 + 0, piemo 0, a prenosimo 1 C (12) + B (11) + 1 = 24 = 16 + 8, piemo 8, a prenosimo 1 A (10) + 3 + 1 = 14 = E

4 + 0 = 4

Oduzimanje heksadekadnih brojeva

Oduzimanje heksadekadnih brojeva vri se kao i oduzimanje dekadnih.

Ukoliko od manjeg broja treba oduzeti vei, iz leve kolone se pozajmljuje 1.

Primer 1.

152(16) - 84(16)


2 - 4 ne moe. Pozajmljujemo jedinicu iz druge kolone, koja u treoj koloni postaje 16. U drugoj koloni nakon pozajmice ostaje 4. 16 pozajmica 4 ostatak

152(16) - 84(16)

4 - 8 ne moe. Pozajmljujemo jedinicu iz prve kolone, koja u drugoj koloni postaje 16. U prvoj koloni nakon pozajmice ostaje 0.


152(16) - 84(16)

Nakon zavrene pozajmice moemo da oduzimamo:



16 + 2 - 4 = 14 = E

16 + 4 - 8 = 12 = C

0 - 0 = 0


152(16) - 84(16) CE

152(16) - 84(16) CE(16)

Primer 2.

2E83 (16) - 1F4C (16)

3 - C ne moe. Pozajmljujemo jedinicu iz tree kolone, koja u etvrtoj koloni postaje 16. U treoj koloni nakon pozajmice ostaje 7. 16 pozajmica 7 ostatak

2E83 (16) - 1F4C (16)

E - F ne moe. Pozajmljujemo jedinicu iz prve kolone, koja u drugoj koloni postaje 16. U prvoj koloni nakon pozajmice ostaje 1. 16 16 pozajmica 1 7 ostatak

2E83 (16) - 1F4C (16) Nakon zavrene pozajmice moemo da oduzimamo:



16 + 3 C (12) = 7 7 - 4 = 3

16 + E (14) F (15) = 15 (F) 1 - 1 = 0

16 16 pozajmica 1 7 ostatak

2E83 (16) - 1F4C (16) F37(16)

Mnoenje heksadekadnih brojeva

Heksadekadne brojeve je mogue mnoiti na dva naina.

1. mnoenjem jednog broja svim pojedinanim ciframa drugog broja

2. mnoenjem svih pojedinanih cifara oba broja (vai za dvocifrene

brojeve)

Primer 1. prvi nain

A5(16) * 3F(16) =

Reenje:

Mnoimo A5 sa F:

15 * 5 = 75 : 16 = 4 i ostatak 11 (B)


15 * 10 = 150 + prenos 4 = 154 : 16 = 9 i ostatak 10 (A)


smer itanja

A5(16) * F(16) = 9AB(16)



Mnoimo A5 sa 3:

3 * 5 = 15 : 16 = 0 i ostatak 15 (F)


3 * 10 = 30 : 16 = 1 i ostatak 14 (E)


smer itanja

A5(16) * 3(16) = 1EF(16)

Rezultat mnoenja sa 3 i mnoenja sa A sabiramo. Rezultat mnoenja sa 3 je vee teine, tako da ga prilikom sabiranja pomeramo za jedno mesto ulevo.

9AB(16) mnoenje sa 15 1EF (16) mnoenje sa 3 1 prenos (A+F=25=16+9 9 piemo, 1 prenosimo) +1 prenos (9+E+1=24=16+8 8 piemo, 1 prenosimo) 289B(16)

A5(16) * 3F(16) = 289B(16)


A5(16) * 3F(16) =



Reenje:


A * 3 = 10 * 3 = 30 A * F = 10 * 15 = 150 5 * 3 = 15 5 * F = 5 * 15 = 75


teina 161 160 prvi broj A 5

drugi broj 3 F


odnosno A * 3 = 10 * 3 = 30

2. Drugoj grupi pripadaju proizvodi cifara iz kolona razliite teine, odnosno A * F = 10 * 15 = 150 5 * 3 = 15

3. Treoj grupi pripada proizvod cifara iz kolona najmanje teine (160), odnosno 5 * F = 5 * 15 = 75


Ispod svakog broja dopisujemo najvei broj deljiv sa 16: 30 150 75 + 15

30 165 75 - 16 160 64



U levu kolonu prenesemo dopisan broj podeljen sa 16. Saberemo broj i prenos i oduzmemo dopisan broj: 30 150 75 + 15 30 165 75 +1 10 4 prenos - 16 160 64 1 24 9 11 Rezultat (1 24 9 11) nije konaan. Kao i sa svakim brojem koji prekorai 15, broj 24 treba posmatrati kao 24 = 16 + 8 piemo 8 i u levu kolonu prenosimo 1 1 + 1 = 2 A5(16) * 3F(16) = 289B(16)

Primer 2. prvi nain

115(16) * 24(16) =

Reenje:

Mnoimo 115 sa 4:

4 * 5 = 20 : 16 = 1 i ostatak 4


4 * 1 = 4 + prenos 1 = 5 : 16 = 0 i ostatak 5


4 * 1 = 4 : 16 = 0 i ostatak 4


smer itanja



115(16) * 4(16) = 454(16)

Mnoimo 115 sa 2:

2 * 5 = 10 : 16 = 0 i ostatak 10 (A)


2 * 1 = 2 : 16 = 0 i ostatak 2


2 * 1 = 2 : 16 = 0 i ostatak 2


smer itanja

115(16) * 2(16) = 22A(16)


115(16) * 24(16) = 454 mnoenje sa 4 + 22A mnoenje sa 2 26F4

115(16) * 24(16) = 26F4 (16)


15(16) * 24(16) =

Reenje:




1 * 2 = 2 1 * 4 = 4 5 * 2 = 10 5 * 4 = 20



drugi broj 2 4


odnosno 1 * 2 = 2


3. Treoj grupi pripadaju proizvodi cifara iz kolone najmanje teine (160), odnosno 5 * 4 = 20


Ispod svakog broja dopisujemo najvei broj deljiv sa 16: 2 4 20 + 10 2 14 20 - 0 0 16




2 4 20 + 10 2 14 20 + 1 prenos - 0 0 16 2 15 4 15(16) * 24(16) = 2F4(8)



Sadraj:

Brojni sistemi 2 Dekadni brojni sistem 3 Oktalnii brojni sistem 3 Heksadekadni brojni sistem 4 Binarni brojni sistem 4 Iz dekadnog u binarni brojni sistem 6 Iiz dekadnog u oktalni brojni sistem 9 Iz dekadnog u heksadekadni brojni sistem 11 Iz oktalnog u binarni broj direktno 13 Iz binarnog u oktalni broj direktno 14 Iz heksadekadnog u binarni broj direktno 15 Iz binarnog u heksadekadni broj direktno 16 Iz heksadekadnog u oktalni broj 16 Iz oktalnog u heksadekadni broj 17 Binarno sabiranje 17 Binarno oduzimanje 18 Komplement broja 21 Dekadno oduzimanje komplementarna tehnika 22 Binarno oduzimanje komplementarna tehnika 23 Binarno mnoenje 25 Binarno deljenje 26 Sabiranje oktalnih brojeva 29 Oduzimanje oktalnih brojeva 30 Mnoenje oktalnih brojeva 33 Sabiranje heksadekadnih brojeva 38 Oduzimanje heksadekadnih brojeva 39 Mnoenje heksadekadnih brojeva 41

Documents

Brojni Sistemi Vladimir Božanović