1

KL3103 Gelombang Acak

Buku teks :

Goda, Yoshimi. 2010. “Random Seas and Design of Maritime Structures 3rd Edition”. World Scientific,

Singapore.

Dean, R.G, Dalrymple. 1991. “Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists”. World Scientific

Mekanika Gelombang

Gelombang monokromatis = gelombang reguler.

Memiliki 1 nilai H dan 1 nilai T.

Merambat pada kedalaman perairan h.

[perairan dangkal]

[perairan dalam]

[perairan transisi]

Gelombang nyata memiliki bermacam nilai H dan T yang terjadi di kedalaman h.

Parameter utama gelombang air:

1. H

2. T

3. h → tempat kejadian

4. L → tidak independen, bergantung pada T dan H (persamaan dispersi)

T dan h →

= kecepatan sudut

= bilangan gelombang (wave number)

2

Elevasi Muka Air

Persamaan elevasi muka air (selanjutnya disingkat EMA) dari mekanika gelombang:

Keterangan:

H = tinggi gelombang (m)

Fungsi harmonik yang dipilih adalah fungsi cosinus.

Nilai cosinus bervariasi terhadap ruang x dan waktu t.

Dalam profesi Teknik Kelautan, yang disebut dengan data mentah (raw data) gelombang air adalah

record η = EMA sebagai fungsi waktu t.

Periode gelombang laut berkisar dari beberapa detik sampai dengan 30-an detik. Untuk mendapatkan

record η(t) yang dapat menunjukkan variasi η dalam waktu, harus dipilih Δt (jarak antara titik dalam

waktu) yang cukup kecil. Lazimnya diterapkan Δt = 0,5 s. Sehingga sampling rate-nya adalah

= 2 Hz.

Dalam kenyataannya, gelombang laut tidak monokromatik. Gelombang laut bersifat acak dalam tinggi

dan perioda. Diilustrasikan dalam ruang x dan waktu t sebagai berikut.

3

Gelombang perlu di-parameterkan (diwakili oleh parameter fisik tertentu) untuk menunjukkan

karakternya. Untuk gelombang reguler:

1. H

2. T

3. h

4. L

Untuk gelombang acak: ada 1 nilai h dan banyak nilai H, T, dan L.

Dua pendekatan untuk masalah gelombang acak

1. Pendekatan domain waktu.

Statistik gelombang individual yang diperoleh dari seri waktu EMA = η(t).

2. Pendekatan domain frekuensi.

Transformasi Fourier atas seri waktu EMA → spektrum gelombang

Gelombang acak dipecah menjadi beberapa gelombang individual (1 puncak dan 1 lembah)

Domain Waktu

Seri waktu EMA dipilah menjadi gelombang individual (Hi, Ti)

i = indeks gelombang individual = 1, 2, 3, ..., N

N = jumlah gelombang individual dalam data seri waktu yang dibahas

Misal:

Seri waktu EMA tersedia 1 tahun.

Periode rata-rata = 5 s.

= 6.307.200 gelombang individual

Cara mengidentifikasi gelombang individual:

1. Cara zero up-crossing

2. Cara zero down-crossing

4

Dalam praktek, data gelombang tidak langsung tersedia dalam bentuk H, T. Raw data berbentuk seri

waktu (time series) EMA.

Sketsa seri waktu EMA hasil pengukuran Δt lazimnya ≤ 0,5 detik (ukur gelombang). Dalam kenyataan,

gelombang laut acak (random). Perlu cara untuk mengkarakterisasi gelombang acak.

Gelombang Reguler Gelombang Acak

Diwakili oleh parameter:

h

H

T

L

Apa parameternya?

h (sama)

pendekatan domain waktu

pendekatan domain frekuensi

5

Pengenalan awal tentang domain waktu dan domain frekuensi

Domain Waktu Domain Frekuensi

Tinjau kronologis-fisik [sketsa timeseries] Seri waktu ema (η) diurai menjadi gelombang individual:

Zero up-crossing

Zero down-crossing

Tinjauan menggunakan transformasi Fourier Seri waktu η(t) ditransformasikan menjadi koefisien Fourier → spektrum gelombang

Goda (3rd edition) (2010) halaman 23-24: 4 jenis gelombang yang merepresentasi:

1. : gelombang tertinggi

2.

: gelombang “

”

3.

: gelombang signifikan atau gelombang “

”

4. : gelombang rata-rata (mean wave)

Hmax = tinggi gelombang individu terbesar dalam himpunan yang ditinjau

Tmax = periode gelombang yang menyertai Hmax

Hi = tinggi gelombang individual

Ti = periode gelombang individual

6

N = jumlah gelombang individual dalam himpunan

i = indeks gelombang individu = 1, 2, 3, ..., N (kronologis)

Diperkenalkan ranking

Ranking (r) (besar → kecil)

H individual (m)

T individual (m)

1 2 3

N

7,27 7,14 7,12

dst.

9,03 5,33 6,26

dst.

n = angka partisi yang dipilih misal : n = 3 →

n = 10 →

n = 100 →

! AWAS: r disusun berdasarkan H, bukan T

Distribusi Gelombang Individual

Tinjau hanya tinggi gelombang individual Hi.

i = 1, 2, 3, ..., N (Goda (2010), 2.2.1, page 24)

Dibuat histogram gelombang individual.

Dalam ilustrasi ini dibuat histogram per ½ meter tinggi gelombang

7

Histogram yang dinormalkan N = jumlah gelombang individual = tinggi gelombang rata-rata ΔH = interval histogram fisik

Seri waktu η(t)

↓

Gelombang individual (Hi, Ti)

↓

Histogram Hi saja

↓

Histogram dinormalkan dengan cara seperti dijelaskan

↓ Ini dapat menjadi satu karakter laut yang ditinjau (beda laut beda distribusi) Distribusi gelombang individual

Dari populasi gelombang individual

Hi = 1, 2, 3, ..., N

disusun grafik probabilitas sebagai berikut.

Distribusi tinggi gelombang individual dapat menjadi bagian dari karakter gelombang di suatu perairan.

Pembentukan grafik distribusi mudah (straight forward) → ikuti prosedur Goda.

Namun: hanya bisa menyusun grafik distribusi jika punya data riil gelombang individual dalam jumlah

besar atau kurun waktu lama. → ini langka karena pengukuran gelombang mahal.

8

Diperkenalkan: distribusi tinggi gelombang teoritis/sintetis → distribusi Rayleigh

(2.1) Goda (2010)

x p(x)

0.0 0.000

0.2 0.304

0.4 0.554

0.6 0.710

0.8 0.760

1.0 0.716

1.2 0.608

1.4 0.472

1.6 0.337

1.8 0.222

2.0 0.136

Apa gunanya?

1. Ini xp apa?

Hp = nilai tinggi gelombang yang paling banyak terjadi dalam populasi.

2. Luas yang diarsir terletak di antara:

Luasnya = p(x)∙[x2 – x1] = probabilitas kejadian gelombang yang tingginya H1 ≤ Hi ≤ H2.

3. Luas keseluruhan = jumlah bagian = 1 = probabilitas semua kejadian gelombang.

4. Kaitan dengan tinggi gelombang signifikan

= rata-rata dari 1/3 tinggi gelombang individual terbesar.

9

5. Kaitan dengan

(mirip dengan

)

6.

10

Distribusi Tinggi Gelombang Individual

Merupakan salah satu cara menyatakan karakter (sifat) gelombang acak.

Dapat dengan mudah dibuat jika data gelombang individual dimiliki (= himpunan Hi yang diperoleh dari

seri waktu ema). → ikuti prosedur di Goda (2010) butir 2.2.1.

Secara teoritis diperkenalkan distribusi gelombang individual Rayleigh.

Distribusi Rayleigh:

;

(2.1)

Diperkenalkan: probabilitas terlampaui

Ranking

r Hi

(meter) Probabilitas Terlampaui

1 2 3

N

10,37 10,16 9,71

0,01

0,000... 0,000... 0,000...

0,999...

Di-plot

Format 1: sumbu P mendatar

Format 2: sumbu P vertikal mengikuti fig. 2.4 (Goda, 2010)

11

Selanjutnya: probabilitas terlampaui mengikuti distribusi gelombang individual Rayleigh.

Probabilitas terlampaui teoritis sesuai distribusi Rayleigh

(2.2)

= distribusi gelombang individual Rayleigh

Pertanyaan:

1. Di mana posisi

?

2. Apa makna xb?

12

Hubungan Antar Nilai Tinggi Gelombang

Tinjau kembali distribusi gelombang individual Rayleigh.

Karena bentuk kurva Rayleigh tertentu, maka posisi ,

, ,

juga tertentu.

Dapat dicari hubungan antar mereka:

(2.3) → berdasarkan distribusi gelombang individual Rayleigh

Jika distribusi diperoleh dari data gelombang riil (lapangan), angka hubungan belum tentu sama dengan

angka Rayleigh.

Gelombang Maksimum

Di mana posisi

?

Hmax = gelombang tertinggi dalam himpunan yang ditinjau.

Hmax hanya ada satu dalam populasi, tidak bisa diwakili dengan angka luas tertentu. Maka, hubungan

Hmax dengan tinggi gelombang lain tidak bisa diturunkan seperti persamaan 2.3 Goda.

Makin besar populasi gelombang individual, makin besar peluang nilai Hmax lebih tinggi.

13

Goda (2010) memberikan rumus sebagai berikut:

1. Most probable value (modus)

(2.4)

N = jumlah populasi gelombang individual yang ditinjau.

2. Nilai “rata-rata” Hmax

(2.5)

= koefisien Euler = 0,5772

3. Nilai Hmax yang memiliki probabilitas terlampaui μ

(2.6)

Contoh 2.1 di halaman 30 Goda (2010)

Hubungan antar tinggi gelombang:

Berdasarkan data gelombang riil → site specific

Berdasarkan distribusi Rayleigh → teoritis, exact

Hubungan berbasis distribusi Rayleigh

Gelombang terbesar = Hmax → hanya ada 1 nilai Hmax dalam populasi.

Persamaan 2.4 sampai dengan 2.6 memberikan rumus Hmax yang bergantung kepada N = jumlah

gelombang individual dalam populasi. Mengapa?

14

Posisi xmax bergeser mengikuti nilai N. Makin besar nilai N, nilai xmax makin bergeser ke kanan (makin

besar).

Contoh dari Goda (2010) Example 2.1

Diketahui:

1. Populasi gelombang individu = 500

2.

= 6,0 m

Hitung: nilai modus dan nilai rata-rata Hmax.

Jawab:

Buat tabel untuk N berbeda.

N

500 5 000

50 000 500 000

5 000 000

10,6 m 12,4 m 13,9 m 15,3 m 16,6 m

11,1 m 12,8 m 14,3 m 15,7 m 16,9 m

Nilai Hmax meningkat dengan N

Untuk taksiran kasar, Goda merekomendasikan

(2.7)

Bagaimana dengan perioda?

Hubungan empiris dari sejumlah data lapangan:

15

Angka rata-rata:

(2.9)

Analisis gelombang acak:

Dalam domain waktu (time domain).

Dalam domain frekuensi (frequency domain).

Domain Waktu

Gelombang dipandang sebagai seri waktu kejadian ema yang

berubah terhadap waktu ↓

Seri waktu ema dipilah (broken down) menjadi gelombang

individual dengan identitas Hi, Ti

↓ Statistik gelombang individual

merupakan pokok bahasan dalam domain waktu

Domain Frekuensi

Gelombang acak dalam domain frekuensi dipandang sebagai sinyal. Analisis sinyal mengikuti disiplin

iptek yang sudah terlebih dahulu mapan, misalnya elektro.

Tool (perkakas) utama dalam analisis sinyal adalah deret Fourier.

Fourier menyatakan bahwa (hampir) setiap fungsi f(t) dapat didekati/diwakili oleh deret Fourier sebagai

berikut.

k = indeks Fourier = 1, 2, 3, ..., N

a0, ak, bk = koefisien Fourier

Fourier memandang fungsi f(t) sebagai superposisi gerak harmonik (sinus, cosinus) dengan suku deret

tidak terbatas. Dalam praktek perhitungan, tidak ada istilah ‘tidak terbatas’. Jumlah suku dalam deret

Fourier akan dibatasi suatu angka yang besar.

16

Ilustrasi deret Fourier

Secara matematika, koefisien Fourier dihitung dengan rumus sebagai berikut.

Semua formulasi di atas ditulis dalam bentuk matematika murni (integral, tak berhingga). Dalam praktek

komputasi, perlu adaptasi numerik agar perhitungan dapat dilakukan dengan bantuan komputer.

Pernyataan diskrit deret Fourier

= seri waktu ema yang diketahui

(11.14) Goda 2010

N = jumlah titik data dalam seri waktu η(t)

k = indeks Fourier

= 1, 2, 3, ..., N

(11.15)

k = 0, 1, 2, ...,

17

(11.16)

k = 1, 2, 3, ...,

DOMAIN WAKTU

DOMAIN FREKUENSI

koefisien Fourier

k = 1, 2, 3, ...,

Hendak diapakan?

Diperkenalkan: spektrum gelombang

Tata sumbu

f = frekuensi =

T = periode gelombang

S = power spectral density (PSD)

k = indeks Fourier = 0, 1, 2, ...,

k = 0 → S0 = S(f=0) = 0

k = 1, 2, ...,

→ Sk = S(fk) =

k =

→

tmax = durasi seri waktu η(t)

fk = k∙Δf

18

DOMAIN WAKTU

= 1, 2, ..., N

DOMAIN FREKUENSI

k = 0, 1, 2, ...,

Sk dihitung dengan rumus yang sudah diperkenalkan

Pengertian spektrum gelombang dari buku Dean, Dalrymple “Water Wave Mechanics” chapter 7:

(7.22)

an = amplitudo Tn = perioda = fasa

Komponen ke-n deret Fourier

Bandingkan, sebelumnya deret Fourier ditulis:

Ingat identitas trigonometri:

a = amplitudo

= fasa

A, B = koefisien Fourier

Dengan:

Jadi, deret Fourier dapat dinyatakn lebih dari satu cara tanpa mengubah esensi permasalahannya.

A, B → diperoleh dari transformasi Fourier → amplitudo a bisa dihitung ( )

19

Spektrum gelombang hanya butuh “a”. Informasi tentang fasa φ hilang dalam proses transformasi Fourier.

Mengikuti buku DD1991, susun sebagai berikut (fig. 7.2) :

1) Spektrum amplitudo

2) Spektrum energi

3) Spektrum kerapatan energi

4) PSD = power spectral density → dibuat kontinu

PSD =

Kini: Jika diberikan η(t) = seri waktu ema → dapat menyusun spektrum gelombang.

Butuh: “tools” (perkakas, software) untuk transformasi Fourier untuk mengkonversi η(t) menjadi a.

TF : Transformasi Fourier

ITF : Invers Transformasi Fourier

ηi : i = indeks ema = 1, 2, 3, ..., k k = jumlah titik data dalam seri waktu ema

an : n = 1, 2, 3, ..., N = indeks komponen Fourier N = jumlah komponen Fourier yang diperhitungkan

20

Hubungan parameter dalam domain waktu dan domain frekuensi.

tmax = durasi data ema (s) = k∙Δt k = jumlah titik data ema Δt = interval waktu antar titik data (s)

(Hz =

)

fnyq = frekuensi Nyqwist = frekuensi terbesar yang

dihitung dalam domain frekuensi

=

Kenapa dibatasi?

f kecil → T besar → gelombang panjang

f besar → T kecil → gelombang pendek

Gelombang terpendek yang bisa terekam dalam domain waktu adalah sebagai berikut:

Spektrum Gelombang Teoritis atau Semi-Empiris

Jika data riil gelombang tersedia → spektrum gelombang dapat dibuat. Tapi data riil gelombang langka.

Diperkenalkan spektrum gelombang yang telah diformulasikan dalam literatur teknik kelautan.

21

1. Formula baku spektrum gelombang (fully developed wind wave)

(2.10)

,

= gelombang signifikan

Spektrum ditentukan dari

,

→ misalnya dari penaksiran gelombang berbasis data angin

2. Spektrum BM (Bretschneider-Mitsuyasu)

(2.11)

3. Spektrum JONSWAP

(2.12)

Parameter baru: , ,

= 1 – 7, rata-rata 3.3

TP = periode puncak spektrum

(2.13) (2.14)

4. Spektrum Wallops

(2.16) (2.17)

22

= fungsi Gamma

Untuk m=5 → spektrum Wallops = spektrum BM

(2.18)

5. Spektrum TMA (Texel, Marsen, Arsole)

= spektrum JONSWAP (2.12)

(2.19)

6. Spektrum Bretschneider (buku Reeve (2004))

= tinggi gelombang signifikan = periode gelombang rata-rata (mean)

(3.17) Reeve 2004

Persamaan empiris Bretschnetider

= periode puncak spektrum

= periodegelombang signifikan

7. Spektrum PM (Pierson-Moskowitz)

α = 8.1 x 10-3 g = percepatan gravitasi = 9.8 m/s2

(3.18) Reeve 2004

Hubungan empiris Ochi

= kecepatan angin pada ketinggian 19,5 m di atas elevesi lahan/laut

23

Profil kecepatan angin

Alat ukur angin biasanya ditempatkan pada ketinggian 10 meter.

Dari catatan data angin (misalnya dari BMKG) diperoleh U10.

Nilai U19,5 didekati dengan rumus:

Selanjutnya:

Kini, hakikat spektrum gelombang telah dipahami. Spektrum menjadi salah satu acara untuk menyatakan

karakter gelombang.

Idealnya, spektrum gelombang disusun dari data riil gelombang.

Parameter domain waktu:

... (3.20) Reeve

24

Domain frekuensi juga memiliki parameter domain frekuensi yang dihitung dari spektrum gelombang.

Diperkenalkan:

Momen spektrum orde ke-k (k = 0, 1, 2, 3, ...)

Misal:

Luas daerah di bawah kurva spektrum

Hm0 = tinggi gelombang signifikan berbasis spektrum = 4,004

Periode gelombang berbasis spektrum

25

Sudah dibahas

Prosedur transformasi dari domain waktu ke domain frekuensi sudah baku dan tidak ada variasinya.

Siapapun yang melakukan transformasi secara benar akan mendapatkan spektrum gelombang yang

persis sama.

Bagaimana sebaliknya (Inverse Transformasi Fourier)?

Apakah akan diperoleh seri waktu ema tertentu untuk suatu spektrum gelombang yang diketahui? TIDAK

Suatu spektrum gelombang dapat diwujudkan dalam variasi seri waktu yang berbeda. Namun, semua

variasi seri waktu ema itu jika ditransformasi kembali ke domain frekuensi, akan menghasilkan spektrum

gelombang yang sama.

Mengapa bisa terjadi kondisi tidak simetris ini?

Tinjau kembali pendekatan Fourier atas seri waktu ema gelombang acak.

atau

c, d = koefisien Fourier

= amplitudo

T = perioda φ = fasa } komponen Fourier

n = indeks komponen Fourier = 1, 2, 3, ..., N

N = jumlah komponen Fourier yang dihitung

t = waktu

domain

waktu

domain

frekuensi transformasi

Cara teknik kelautan mengkarakterisasi

gelombang acak

26

Ketika ditransformasi, informasi yang dipertahankan dari domain waktu ke domain frekuensi adalah:

Informasi tentang φ tidak terbawa transformasi.

Ingat:

Dalam proses transformasi, φ (fasa) tidak terbawa.

Bagaimana caranya membuat seri waktu ema dari suatu spektrum gelombang? Bedah spektrum

gelombang

Komponen ke-n memiliki:

Frekuensi = fn

Periode = Tn =

Amplitudo an dari irisan spektrum

Tapi tidak mempunyai φn.

Persamaan harmonik komponen ke-n

an, Tn : diketahui dari spektrum

Fasa harus diambil

27

Penjumlahan dari semua komponen merupakan seri waktu ema

Spektrum gelombang mengandung informasi sebagai berikut:

Setiap tongkat (bar)dalam spektrum mewakili satu komponen Fourier.

Tinjau misalnya tongkat dengan:

Nilai frekuensi = f1

Komponen Fourier yang diwakili oleh f1 adalah gelombang sinusoidal dengan:

o Perioda

o Amplitudo = a1 dari tinggi tongkat

o Tinggi gelombang H1 = 2a1

Di mana t=0 nya?

Spektrum tidak memiliki informasi tentang fasa φ1.

Jadi dari spektrum gelombang diperoleh untuk tiap komponen Fourier:

Periode

Tinggi

Gelombang acak memandang seri waktu EMA sebagai deret Fourier.

28

Dibutuhkan angka φ (fasa) sebanyak N komponen Fourier agar dapat membuat seri waktu EMA berbasis

spektrum gelombang yang diketahui. Angka φ ini diperoleh dari generator angka acak (random number

generator) yang tersedia di kalkulator dan semua Library Subroutine pake bahasa komputer yang Anda

pakai (Fortran, Pascal, C, Matlab, dll.)

Generator memproduksi angka acak di antara 0 dan 1 secara merata sehingga rata-rata angka acak = 0,5

untuk N lebar.

Generator angka acak (random number generator)

Produksi angka acak terdistribusi merata dalam interval [0, 1].

29

Terkait kebutuhan dalam mendapatkan angka fasa gerak harmonik:

n = nomor produksi

N = jumlah produksi terkait dengan jumlah komponen Fourier dalam spektrum.

Fasa φn memiliki nilai dalam interval [0, 2π].

Produksi asli generator angka dalam interval [0, 1] dikalikan dengan 2π

Prosedur menciptakan seri waktu EMA berbasis spektrum gelombang yang diketahui:

1. Pastikan spektrum gelombang diketahui dengan benar.

2. Tetapkan Δf.

Ingat kaitan Δf (domain frekuensi) dengan tmax (domain waktu)

= panjang seri waktu yang akan diciptakan

3. Hitung jumlah komponen Fourier = jumlah gerak harmonik penyusun gelombang acak.

4. Siapkan untuk tiap komponen Fourier:

a. Periode

; fn = frekuensi

komponen dalam spektrum b. Amplitudo an

c. Fasa φn dari generator angka acak

Didapat seri waktu EMA

[Sketsa spektrum]

5. Ciptakan seri waktu EMA dengan persamaan

30

Kini proses bolak-balik antara

sudah selesai dibahas.

Selanjutnya dibahas aspek kuantitatif dari aspek bolak-balik ini.

Cara Mengukur EMA

Hasil ukur:

Perhatikan:

1. Ideal: η(t) diukur menerus tanpa jeda. Dulu, keinginan ini sukar dipenuhi (alasan baterai dan

memori). Kini pengukuran menerus tidak banyak kendala.

DW DF domain

waktu

domain

frekuensi

31

2. Sampai saat ini (lihat Goda (2010) hal. 435) pengukuran masih lazim dilaksanakan tidak menerus.

Kelaziman yang diterima adalah sebai berikut.

Dengan pola ukur ini, setiap interval ukur memiliki panjang 20 menit = 1200 detik.

Jika = 5s ada 240 gelombang individual per interval

Jika = 10s ada 120 gelombang Individual per interval

Jumlah 100-200 gel. individual per interval dianggap cukup untuk mewakili karakter gelombang pada jam yang ditinjau

3. Pengolahan data EMA dilakukan dengan basis = 0 (ema rata-rata = 0). Posisi elevasi rata-rata

ema belum diketahui saat pengukuran. AWAS, nilai ema rata-rata dalam kenyataan tidak konstan.

ADA PASANG SURUT (selalu).

Perhatikan skala waktu:

Periode pasut 12 jam atau 24 jam.

Periode gelombang < 30 detik.

Spektrum gelombang asli dari transformasi seri waktu ema tidak mulus (smooth). Variasi nilai

tidak halus, melainkan “erratic” mencerminkan keacakan gelombang.

32

an, bn = koefisien Fourier (INGAT!)

n = nomor/indeks komponen = 1, 2, 3, ..., N

tmax = panjang seri waktu ema

Semakin kecil , semakin besar variasi S(f).

Ini tidak baik. Grafik yang keriting mengindikasikan ketidakmantapan statistik.

Cara penanggulangan: SMOOTHING

Cara penghalusan 1: Bandwidth Smoothing

Setiap m nilai f diwakili oleh satu nilai f. m = integer, misal m = 7.

Semula spektrum memiliki spektrum memiliki resolusi

i = 1, 2, 3, ..., N

N = jumlah komponen Fourier =

=

Setelah diperhalus, resolusi menjadi lebih kasar m resolusi semula.

Nilai f kini mengikuti rumus sebagai berikut.

k = 1, 2, 3, ...,

= indeks komponen Fourier yang dihaluskan

Misal: m = 7 f setelah penghalusan

33

Nilai S dari spektrum yang dihaluskan hanya ada di fk (resolusi setelah dihaluskan).

tampak rumit. Sebenarnya hanya rata-rata sepanjang bandwidth

Penghalusan spektrum merupakan tindakan:

Meningkatkan reliability.

Mengorbankan resolusi.

Telah dibahas cara penghalusan 1 di mana penghalusan dilakukan dengan merata-rata satu bandwidth m

nilai S semula.

34

Cara ini mengandung kelemahan pada nilai

yang sangat kecil.

Ilustrasi: tmax = 4 jam = 4 3600s

Angka kecil sukar dioleh oleh komputer. Ada batas ketelitian angka digital.

Cara Penghalusan 2: Cara Ensemble

Seri waktu semula dikerat menjadi m ruas di mana m = bandwidth yang dipiih. Misalnya: m = 9.

! fnyq pada gelombang yang dikerat tidak berubah dari gelombang semula karena Δt tetap.

Tinjau ke belakang transformasi dan invers transformasi antara domain waktu dan domain frekuensi.

1. Diingatkan, ditegaskan bahwa data mentah gelombang berwujud seri waktu (time series) ema.

35

2. Dalam domain waktu diidentifikasi gelombang individual dengan cara zero up-crossing dan zero

down-crossing. Parameter gelombang acak dalam domain waktu adalah statistik dari himpunan

gelombang individual (Hi, Ti).

Hi = tinggi gelombang individual dengan indeks i

Ti = periode gelombang individual dengan indeks i

i = indeks = 1, 2, 3, ..., N

N = jumlah gelombang individual yang ditinjau

3. Transformasi dari domain waktu ke domain frekuensi adalah menyatakan seri waktu ema dalam

bentuk deret Fourier. Perkakas yang digunakan = TF = transformasi Fourier.

Diperoleh:

Fungsi deret Fourier uang mewakili seri waktu ema = penjumlahan dari komponen Fourier.

Komponen Fourier = gerak harmonik = gerak sinusoidal.

Gerak harmonik didefinisikan oleh 3 parameter:

1. Amplitudo C

2. Perioda T

3. Fasa φ

Dua cara menyatakan gerak harmonik:

1.

2.

k = indeks komponen Fourier = 1, 2, 3, ..., K

K = jumlah komponen Fourier yang diperhitungkan

4. Spektrum gelombang adalah grafik visualisasi komponen Fourier dengan cara yang disepakati.

Nilai Δf dan fmax sudah ditentukan dari seri waktu aslinya (seri waktu yang diolah transformasinya)

36

5. Pada kenyataannya data riil gelombang langka. Iptek teknik kelautan mengatasi hal ini dengan

dua akal:

1. Menaksir gelombang berdasarkan data angin wave hindcast

2. Menciptakan spektrum gelombnag semi-empiris.

Dengan dua perkakas ini, praktisi KL dapat memperoleh spektrum gelombang dari data angin.

6. Dalam domain frekuensi ada sejumlah parameter yang diperkenalkan untuk mewakili karakter

gelombang. Ada yang setara dengan parameter domain waktu.

DW DF

(2.40)

Tinggi gelombang signifikan

(10.4)

Periode gelombang rata-rata

S(f) = PSD (power spectral density) sebagai fungsi f

Periode gelombang signifikan

Tidak ada kesetaraan teoritis*

*) tidak terdapat kesetaraan antara

DW dengan

DF. Yang ada adalah hubungan empiris.

(Goda 2010, p. 34)

Untuk spektrum JONSWAP

= 1 – 7, rata-rata 3.3 (2.14)

(10.4)

7. Kegunaan spektrum gelombang (1).

Setelah S(f)diketahui:

Dalam bentuk rumus atau dalam bentuk grafik.

Berbasis data real gelombang atau berbasis rumus semi-empiris.

dapat diciptakan seri waktu ema. Seri waktu ema yang diciptakan tidak unik karena informasi

tentang fasa φ harus diambil sembarang generator angka acak.

37

Dari seri waktu yang diciptakan dapat dilakukan analisis DW seakan-akan seri waktu ema

diperoleh dari pengukuran.

Dari analisis DW dapat diperoleh semua parameter gelombang DW yang diperlukan.

,

Distribusi gelombang individual

Tabel kejadian gelombang individual akan dibahas lebih lanjut.

8. Kegunaan spektrum gelombang (2).

Dari uraian dalam butir sebelumnya, spektrum gelombang merupakan bentuk representasi

karakter gelombang di suatu perairan yang kompak, padat, komplit.

[Sketsa spektrum] +

Generator angka acak

Dari info ini, semua besaran gelombang acak dapat dihitung

9. Tabel kejadian gelombang individual

Dalam teknis lepas pantai dibutuhkan tabel ini untuk keperluan analisis struktur.

Tabel kejadian gelombang individual selama n tahun.

[Gambar tabel kejadian]

Misalnya n = 30 tahun biasanya n lebih besar dari masa layan bangunan lepas pantai.

Periode rata-rata gelombang individual = 5s.

Jumlah semua:

Dari mana diperoleh hitungan jumlah gelombang individual per sel?

Dari seri waktu empiris

invers transformasi Spektrum yang diformulasikan

adopsi rumus spektrum Parameter H dan T gelombang kelompok

hindcast Data angin

Per jam sesuai dengan resolusi data angin. Jumlah seri waktu ema sintetis = jumlah jam.

= 30 tahun 365 hari 24 jam = 262800

Pekerjaan berulang sangat banyak

Tak masalah dengan komputer

Awas harus ada rekayasa coba-coba agar dalam tabel ada satu angka Hmax yang cocok dengan

perhitungan gelombang maksimum.

Hmax = tinggi gelombang individual terbesar dalam populasi yang ditinjau.

Analisis gelombang maksimum = analisis periode ulang gelombang.

10. Tinjau ulang perhitungan gelombang maksimum (gelombang dengan periode ulang tertentu)

a) Untuk fenomena acak, tidak ada nilai maksimum absolut. Selalu ada kemungkinan angka

dilampaui oleh kejadian yang akan datang atau tidak tercatat.

b) Profesi teknik mengatasi masalah ini dengan mengenalkan konsep periode ulang di

mana angka maksimum diberi atribut melekat periode ulang.

38

Misal: H50 = 4,12 m tinggi gelombang dengan periode ulang 50 tahun.

Artinya: ada kemungkinan terjadi 1 kejadian tinggi gelombang sebesar 4,12 m setiap 50

tahun, berdasarkan data kejadian masa lalu.

Dalam fenomena acak (angin, hujan, gelombang, gempa) tidak ada nilai absolut

maksimum (tidak pernah diketahui). Iptek menyiasati kondisi ini dengan kaidah “nilai

maksimum dengan periode ulang”.

Dalam konteks penciptaan gelombang individual untuk kurun waktu n tahun, harus ada

satu kejadian gelombang individual yang memiliki nilai tepat berperiode ulang n tahun.

Hati-Hati!

a) Parameter gelombang yang dianalisis maksimumnya adalah tinggi gelombang

signifikan (

atau ).

b) Maka nilai berperiode ulang yang pertama adalah .

c) Yang diciptakan melaui invers transformasi adalah gelombang individual (Hi, Ti).

d) Tinggi gelombang individual maksimum dikaitkan dengan tinggi gelombang

signifikan melalui hubungan:

Hmax = (1,6 – 2,0)

(2.7) Goda 2010

e) Berapa angka yang selayaknya dipilih?

Goda (2010) hal. 30:

Untuk bangunan lepas pantai, Hmax ≥ 2.0

Untuk pemecah gelombang vertikal, Hmax = 1.8

Mengikuti distribusi tinggi gelombang individual rayleigh (lihat DD1991 –

Water Wave Mechanics – subbab 7.2)

Hrms = tinggi gelombang root-mean-squared

N = jumlah kejadian gelombang individual.

Hi = tinggi gelombang individual.

i = nomor urut (indeks) gelombang individual.

Nilai N

400 1 000

10 000 100 000

1 000 000

1,729 1,856 2,143 2,386 2,625

39

f) Bagaimana kemunculan dalam Tabel Kejadian Gelombang

Individual?

Jumlah Kejadian Gelombang Individual

T (s) H (m)

0 - 1 1 - 2 ... 13 - 14 Jumlah

0 – 0,5

0,5 – 1,0

13,5 – 14

Jumlah

akan muncul sebagai satu kejadian gelombang individual

maksimum dalam tabel ini.

Periode ulang Gumbel, Log-Pearson, Log-Normal

Perambatan Gelombang di Laut

Teknik kelautan memandang perambatan gelombang sebagai berikut.

Karena keterbatasan tool/perkakas analisis dan data riil gelombang, praktek perhitungan yang lazim

digunakan adalah:

1. Pembangkitan gelombang dihitung di perairan dalam agar faktor kedalaman perairan (h) tidak

berpengaruh.

2. Transformasi (refraksi-difraksi) dihitung sperti gelombang reguler/monokromatik (lihat mekanika

gelombang air) dengan parameter gelombang yang mewakili (HS, TS) gelombang signifikan.

40

3. Gelombang pecah di breaker line (BL). Dalam MGA, gelombang pecah saat dicapai kondisi ini:

Hubungan empiris yang lebih rumit ditawarkan dalam Goda (2010).

(3.32)

4. Arah rambat gelombang:

Di perairan dalam tidak ada pengaruh h.

Arah gelombang = arah angin pembangkitannya.

Di perairan transisi sampai dengan dangkal

Arah gelombang mengikuti kaidah refraksi.

5. Apakah gelombang berjalan mengikuti arah tunggal?

Ternyata tidak.

Diperkenalkan spektrum gelombang berarah.

Sudah dikenal

Spektrum gelombang arah tunggal representasi komponen Fourier

Kini spektrum gelombang berarah

(2.20)

fungsi sebaran arah (directional spreading function)

41

Spektrum gelombang satu arah (sudah dikenal dari awal)

Salah satu arti fisik:

Luas area di bawah kurva spektrum =

=m0 (10.4) Goda (2010)

(10.15)

Spektrum Gelombang Berarah

= spektrum berarah

= spektrum satu arah

= fungsi distribusi ruang

42

(2.22)

0 = arah rambat utama

(2.24)

= fungsi Gamma

(2.25)

(2.26)

U = kecepatan angin pembangkit gelombang

g = gravitasi

fp = frekuensi puncak spektrum =

Tp = periode puncak spektrum dapat diambil : Tp 1,05

Angka praktis:

Untuk wind wave Untuk swell dengan kecuraman gelombang tinggi Untuk swell dengan kecuraman gelombang rendah

(2.27)

Hanya fungsi yang memerlukan komputer untuk menghitung G0

Ilustrasi spektrum berarah

Kini:

m0 = volume di bawah kubah spektrum

(2.29)

43

Syarat:

(2.21)

Smax misalnya untuk wind wave = 10

Ambil 0 = 0

() G

-90 -60 -30 0

30 60 90

0,001 0,056 0,500

1 0,500 0,056 0,001

44