Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Manuel de... · Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico ... a saber, un sistema ... 125 A.1 Sistema

cnológico

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Subdirección Académica

Cuernavaca, Morelos, México. Febrero de 2013.

Subsecretaría de Educación Superior Dirección General de Educación Superior Tecnológica

Coordinación Sectorial Académica Dirección de Estudios de Posgrado e Investigación

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Análisis de Robustez de Linealización Exacta Prealimentada para Sistemas No Lineales Multivariables con Incertidumbre Paramétrica:

Enfoque de Aplanamiento Diferencial

presentado por

Ing. Manuel de Jesús López Pérez

como requisito para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis Dr. Alejandro Rodríguez Palacios

Codirector de tesis

Dr. Carlos Daniel García Beltrán

DSDS

Abstract

A new strategy of differential flatness-based controllers design, in control theory, called exact feedforward linearization was proposed recently. This strategy is used for the trajectory tracking from a class of non-lineal dynamic systems, called flats. For this class of systems, there exists an output, called flat output, such that parameterizes to all system variables (state, input and output).

The basis of power of exact feedforward linearization is the differential flatness property. For this system class, a nominal feedforward input signal is deduced from differential flatness, such that linearizes the system exactly by feedforward when being on the desired trajectory. Moreover, via exact feedforward linearization, it is possible to design a feedback controller to stabilize the deviations from the desired trajectory.

Stability of this control strategy is achieved with the stabilization of the tracking error dynamic. This dynamic is defined as the difference between the behavior real system and the desired. To stabilize the tracking error dynamic, a stability result by Kelemen is introduced.

The problem of the extension of exact feedforward linearization to multivariables flat non-lineal systems with parametric uncertainty was treated in this work. Robustness analysis of exact feedforward linearization for two flat no-lineal systems was achieved. An academic system and a magnetic bearing were the analyzed systems.

Those systems are flat. Hence, a control law is designed for the trajectory tracking when the systems are nominal, i.e., they do not have parametric uncertainty. The control law design methodology consist of two parts, a feedforward part, which makes the system converge to the desired trajectory, and feedback part, in this case an extended PID, which forces the system to keep it in the desired trajectory. In the case of structured parametric uncertainty, even have sense to apply the control law (nominal), because, it considering the results that in this work are presented, the trajectory tracking is done, at least, in a vicinity of desired trajectory.

For the robustness analysis of exact feedforward linearization, the tracking error dynamic was studied, and a stability result by Kelemen was used to verify that the uncertainty in the parameters do not affect the stability of tracking error dynamic, and consequence, it does the trajectory tracking.

In the case of structured parametric uncertainty, the robustness analysis of exact feedforward linearization for the academic system was formally verified. However, in the case of magnetic bearing, only via computer simulations the robustness analysis was done. The results of those cases of studio that in this work were presented, they exhibited that is possible to extend the robustness analysis of exact feedforward linearization methodology to multivariables flat non-lineal systems with parametric uncertainty.

DSDS

Resumen

Recientemente, en la teoría de control, se ha propuesto una nueva estrategia de control basada en aplanamiento diferencial denominada linealización exacta prealimentada. Mediante esta estrategia se logra el seguimiento de trayectoria de una clase de sistemas dinámicos no lineales, denominados planos. Para esta clase de sistema, existe una salida ficticia, denominada salida plana, que parametriza a todas las variables del sistema (estado, entrada y salida).

La base de esta novedosa estrategia se basa en la propiedad de aplanamiento diferencial que poseen los sistemas no lineales planos. Para esta clase de sistemas, se puede deducir una señal de entrada nominal, deducida de aplanamiento diferencial, que linealiza al sistema exactamente por prealimentación cuando se está en la trayectoria deseada. Además, se puede diseñar un controlador retroalimentado, que estabiliza las desviaciones de la trayectoria deseada.

La estabilidad de esta estrategia se consigue mediante la estabilización de la dinámica del error de seguimiento, el cual está definido como la diferencia entre el comportamiento real del sistema y el deseado. Para estabilizar dicha dinámica se introduce un resultado de estabilidad de Kelemen.

En este trabajo se abordó el problema de la extensión de la estrategia de control de linealización exacta prealimentada a sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica. Así, se analizó la robustez de la ley de control diseñada mediante linealización exacta prealimentada para dos sistemas no lineales planos, a saber, un sistema académico y un rodamiento magnético.

Estos sistemas no lineales poseen la propiedad de aplanamiento diferencial, y se les puede diseñar una ley de control para seguimiento de trayectoria cuando son nominales, es decir, cuando no presentan incertidumbre. Esta ley de control se constituye de dos partes, una prealimentada, la cual hace que el sistema converja a la trayectoria deseada, y otra parte retroalimentada, en este caso un PID extendido, que fuerza al sistema a mantenerse en dicha trayectoria. En el caso de incertidumbre paramétrica estructurada, todavía tiene sentido aplicar dicha ley de control (nominal), porque, de acuerdo a lo que se presenta en este trabajo de tesis, aún se puede realizar el seguimiento de trayectoria en, al menos, una vecindad de la trayectoria deseada.

Para el análisis de robustez de la ley de control de linealización exacta prealimentada, se estudia la dinámica del error de seguimiento y se hace uso del resultado de estabilidad de Kelemen para verificar que la incertidumbre en los parámetros no afecta la estabilidad de la dinámica del error de seguimiento, y en consecuencia, se realiza el seguimiento de trayectoria.

Para el caso de incertidumbre paramétrica estructurada, se verificó formalmente el análisis de robustez de linealización exacta prealimentada para el sistema académico; mientras que para el rodamiento magnético sólo se comprobó mediante simulaciones en computadora. Los resultados de los casos de estudio de este trabajo de tesis, muestran que es posible extender esta metodología para sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica.

DSDS

Dedicatoria

A mis abuelitos, Eligio y Eloísa, por el ejemplo tan grande de dedicación y fortaleza que siempre fueron para mí, que en donde

quiera que estén, este trabajo también es para ustedes.

A mis padres, Alejandro y Felicita, con toda mi admiración y respeto. Por ser los mejores padres del

mundo, por apoyarme siempre en todas mis decisiones. Por ustedes, he llegado hasta acá. Los amo.

A mis hermanos, Alejandra y Cristian, por compartir juegos, travesuras y momentos inolvidables que llevo en mis memorias.

A mi esposa, Cecilia, ya que le diste a mi vida el equilibrio, la paz y la felicidad que me hacían falta. Te amo.

DSDS

Agradecimientos

A mi familia, hoy y siempre, por su apoyo incondicional que me han otorgado en cada momento de mi vida. Sin ustedes, este logro no lo hubiese culminado.

A mi esposa, Cecilia Barragán, por toda su comprensión, cariño y apoyo que me permitieron culminar esta etapa de mi vida. Gracias por compartir conmigo las risas, las lágrimas, las desveladas, las buenas rachas y también las malas. Muchas gracias por estar conmigo en todos y cada uno de esos momentos que han hecho esta etapa de mi vida algo realmente trascendente.

Al Doctor Alejandro Rodríguez Palacios por su interés en mi formación. Muchas gracias por todas sus enseñanzas, consejos y sugerencias, no sólo en el ámbito académico, también en lo personal.

Al Doctor Carlos Daniel García Beltrán por compartir su conocimiento e inspirar en mí una gran admiración.

A mis profesores Gerardo V. Guerrero Ramírez, Carlos M. Astorga Zaragoza, Víctor M. Alvarado Martínez, Manuel Adam M, Guadalupe López L., Luis G. Vela Valdés, Guadalupe Madrigal, José Martín Gómez y Pedro R. Mendoza, por su sabiduría que me transmitieron en el desarrollo de mi formación profesional.

A mis amigos y compañeros de la maestría: Alfredo, Fernando Martínez, Félix, Raquel, Héctor, Luis, Carlos, Elfrich y Emanuel Sosa. Gracias por hacer placentera mi estancia en la maestría. En especial, a mi amigo Alfredo Gil Velasco, por toda su ayuda incondicional, que me facilitó culminar esta travesía.

Al GBGCIAC (Grupo de Becarios de la Gerencia de Control e Instrumentación Asociados y Conexos), actualmente GH del IIE: Indira, Emanuel Sotelo, Fernando Solís, Pedro, Martha y Jazmín, por todos los momentos que hemos pasado.

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología y a la Secretaría de Educación Pública por el apoyo económico que me facilitaron para culminar mis estudios de maestría.

Y finalmente, agradezco al Centro de Investigación y Desarrollo Tecnológico, por permitirme seguir creciendo profesionalmente.

…A todos, mil gracias…

Manuel de Jesús López Pérez

DSDS Índice general

i

Índice general Índice de figuras ...................................................................................................... v

Introducción ............................................................................................................. 1

1 Antecedentes y motivación .................................................................................. 5

1.1 Aplanamiento diferencial ....................................................................................................... 5

1.1.1 Planeación de trayectorias ............................................................................................... 9

1.1.2 Curvas de Bézier ........................................................................................................... 10

1.1.3 Seguimiento de trayectoria ............................................................................................ 11

1.2 Linealización exacta prealimentada ..................................................................................... 12

1.2.1 Planteamiento del problema .......................................................................................... 13

2 Fundamentos teóricos y estado de la metodología .......................................... 15

2.1 Introducción ......................................................................................................................... 15

2.2 Linealización exacta prealimentada ..................................................................................... 16

2.3 Estabilidad de linealización exacta prealimentada .............................................................. 17

2.3.1 Un resultado de estabilidad de Kelemen ....................................................................... 18

2.4 Linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales monovariables .................... 20

2.4.1 Diseño de la ley de control ............................................................................................ 25

2.4.2 Estructura de la dinámica del error ............................................................................... 26

2.4.3 Control PID extendido .................................................................................................. 27

2.4.4 Estabilidad para la estrategia de control ........................................................................ 28

2.5 Linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales multivariables. ................... 31


Índice general

ii

2.5.2 Estructura de la dinámica del error ................................................................................ 36

2.5.3 Control PID extendido ................................................................................................... 38

2.5.4 Estabilidad para la estrategia de control ........................................................................ 39

2.6 Linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales monovariables con incertidumbre............................................................................................................................. 41


2.6.2 Estructura de la ecuación del error ................................................................................ 44

2.6.3 Análisis de robustez ....................................................................................................... 45

3 Linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos .......... 49

3.1 Sistemas no lineales planos monovariables ........................................................................ 49

3.1.1 Casos de estudio ............................................................................................................ 50

3.1.2 Sistema de levitación magnética .................................................................................... 50

3.1.3 Manipulador de unión flexible ...................................................................................... 57

3.1.4 Levitador magnético de orden reducido ........................................................................ 60

3.2 Sistemas no lineales planos multivariables ......................................................................... 68

3.2.1 Casos de estudio ............................................................................................................ 69

3.2.2 Sistema académico ........................................................................................................ 69

3.2.3 Rodamiento magnético .................................................................................................. 76

3.3 Sistemas no lineales planos monovariables con incertidumbre paramétrica ...................... 83

3.3.1 Caso de estudio .............................................................................................................. 83

3.3.2 Levitador magnético de orden reducido ........................................................................ 84

4 Linealización exacta prealimentada para sistema no lineales planos

multivariables con incertidumbre paramétrica ................................................. 91

4.1 Introducción y motivación .................................................................................................. 91

4.2 Análisis de robustez de linealización exacta prealimentada ............................................... 92

4.2.1 Casos de estudio ............................................................................................................ 93

DSDS Índice general

iii

4.2.2 Sistema académico ........................................................................................................ 94

4.2.3 Rodamiento magnético ................................................................................................ 101

4.3 Formulación de una posible generalización del análisis de robustez de linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica 109

4.3.1 Diseño de la ley de control .......................................................................................... 112

4.3.2 Dinámica del error de seguimiento bajo incertidumbre paramétrica .......................... 113

4.3.3 Análisis de robustez .................................................................................................... 114

5 Conclusiones ..................................................................................................... 117

5.1 Aportaciones de la tesis ..................................................................................................... 118

5.2 Discusión y trabajos futuros .............................................................................................. 119

5.3 Ventajas y desventajas de la metodología ....................................................................... 1211

5.3.1 Ventajas ..................................................................................................................... 1211

5.3.2 Desventajas ............................................................................................................... 1222

Diagramas de simulación y códigos de programación ..................................... 125

A.1 Sistema de levitación magnética ....................................................................................... 125

A.1.1 Códigos de programación ........................................................................................... 126

A.2 Manipulador de unión flexible .......................................................................................... 128


A.3 Levitador magnético ......................................................................................................... 130


A.4 Sistema académico ............................................................................................................ 133


A.5 Rodamiento magnético ..................................................................................................... 137

5.1 Códigos de programación .............................................................................................. 138

Bibliografía........................................................................................................... 143

Índice general

iv

DSDS Índice de figuras

v

Índice de figuras

Figura 1.- Correspondencia entre las trayectorias (soluciones) del sistema y curvas

arbitrarias ......................................................................................................................................... 9

Figura 2- Curvas de Bézier de diferentes grados ........................................................................... 10

Figura 3.- Solución del sistema en la vecindad de la trayectoria deseada. .................................... 24

Figura 4.- Sistema de levitación magnética ................................................................................... 51

Figura 5.- Trayectoria nominal del levitador magnético. .............................................................. 53

Figura 6.- Seguimiento de trayectoria del sistema inestable usando sólo un control

prealimentado. ............................................................................................................................... 54

Figura 7.- Diagrama de bloques del esquema de control implementado en el sistema de

levitación magnética. ..................................................................................................................... 55

Figura 8.- Seguimiento de trayectoria utilizando un control prealimentado más un

retroalimentado. ............................................................................................................................. 55

Figura 9.- Esquema de control de linealización exacta prealimentada. ......................................... 56

Figura 10.- Trayectoria nominal a seguir. ..................................................................................... 58

Figura 11.- Efecto del control prealimentado. ............................................................................... 59

Figura 12.- Seguimiento de trayectoria con condición inicial consistente. ................................... 59

Figura 13.- Seguimiento de trayectoria con diferentes condiciones iniciales ............................... 60

Figura 14.- Gráfica de la salida plana y sus derivadas hasta el segundo orden ............................. 65

Figura 15.- Seguimiento de trayectoria utilizando sólo el control prealimentado. ........................ 65

Figura 16.- Seguimiento de trayectoria con la ley de control (3.43) ............................................. 68

Figura 17.- Seguimiento de trayectoria para cx1 con el controlador prealimentado ...................... 75

Figura 18.- Seguimiento de trayectoria para x2 con el controlador prealimentado ....................... 75

Figura 19.- Seguimiento de trayectoria para x1 con linealización exacta prealimentada. ............. 75

Figura 20.- Seguimiento de trayectoria para x2 con linealización exacta prealimentada .............. 75

Figura 21.- Rodamiento Magnético ............................................................................................... 76

Índice de figuras

vi

Figura 22.- Curva de Bézier para x1 .............................................................................................. 81

Figura 23.- Curva de Bézier para x2 .............................................................................................. 81

Figura 24.- Seguimiento para x1 sin linealización exacta prealimentada ...................................... 82

Figura 25.- Seguimiento para x3 sin linealización exacta prealimentada ..................................... 82

Figura 26.- Seguimiento para x1 con linealización exacta prealimentada .................................... 82

Figura 27.- Seguimiento para x3 con linealización exacta prealimentada .................................... 82

Figura 28.- Gráfica de la salida plana y sus derivadas. ................................................................. 87

Figura 29.- Seguimiento de trayectoria a diferentes valores del parámetro m ............................. 88

Figura 30.- Seguimiento de trayectoria a diferentes valores del parámetro k ............................... 88

Figura 31.- Seguimiento de trayectoria con parámetros nominales. ............................................. 88

Figura 32.- Seguimiento de trayectoria con incertidumbre en el parámetro “c” .......................... 88

Figura 33.- Seguimiento de trayectoria x1 bajo incertidumbre en el parámetro θ1 ....................... 99

Figura 34.- Seguimiento de trayectoria x2 bajo incertidumbre en el parámetro θ1 ....................... 99

Figura 35.- Seguimiento de trayectoria x1 bajo incertidumbre en el parámetro θ2 ..................... 100




Figura 39.- Seguimiento de trayectoria de x1 cuando los parámetros no son los nominales. ..... 101

Figura 40.- Seguimiento de trayectoria de x2 cuando los parámetros no son los nominales. ..... 101

Figura 41.- Seguimiento de trayectoria para x1 con incertidumbre en el parámetro m ............... 105

Figura 42.- Seguimiento de trayectoria para x3 con incertidumbre en el parámetro m ............... 105

Figura 43.- Seguimiento de trayectoria para x1 con incertidumbre en el parámetro R1 .............. 106




Figura 47.- Seguimiento de trayectoria para x1 con incertidumbre en el parámetro L0 .............. 107

Figura 48.- Seguimiento de trayectoria para x3 con incertidumbre en el parámetro L0 .............. 107

DSDS Índice de figuras

vii

Figura 49 .- Seguimiento de trayectoria para x1 con incertidumbre en el parámetro I0 .............. 108

Figura 50.- Seguimiento de trayectoria para x3 con incertidumbre en el parámetro I0 ............... 108

Figura 51.- Seguimiento de trayectoria para x1 con incertidumbre en el parámetro k ................ 108

Figura 52.- Seguimiento de trayectoria para x3 con incertidumbre en el parámetro k ................ 108

Figura 53.- Seguimiento de trayectoria para x1 con incertidumbre en todos los parámetros ...... 109

Figura 54.- Seguimiento de trayectoria para x3 con incertidumbre en todos los parámetros ...... 109

Figura 55.- Esquema de control para el sistema de levitación magnética ................................... 126

Figura 56.- Esquema de control para el manipulador de unión flexible. .................................... 128

Figura 57.- Esquema de control para el levitador magnético de orden reducido. ....................... 130

Figura 58.- Diagrama en SIMULINK® para el sistema académico. .......................................... 133

Figura 59.- Diagrama en SIMULINK del esquema de control para el rodamiento magnético. .. 137

Figura 60.- Interfaz para la modificación de los parámetros del rodamiento magnético ............ 141

Índice de figuras

viii

DSDS Introducción

1

Introducción

Una técnica nueva relativamente en la teoría de control es la de aplanamiento diferencial.

Este concepto se remota a los trabajos de E. Cartan y D. Hilbert en el contexto de conjuntos

subdeterminados de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, la formulación precisa de

aplanamiento diferencial en el contexto de sistemas de control se debe a la investigación de

Michel Fliess y sus colaboradores: Jean Lévine, Philippe Martin y Pierre Rouchon [Fliess et al.,

1992, 1994, 1999].

Aplanamiento diferencial es una propiedad estructural que poseen ciertos sistemas

dinámicos. Un sistema plano es aquel que tiene la propiedad de aplanamiento diferencial. En

términos generales, un sistema plano es aquel cuyas curvas integrales (curvas que satisfacen el

sistema de ecuaciones diferenciales) se pueden mapear de forma inyectiva en curvas algebraicas

(las cuales no necesitan satisfacer ninguna ecuación diferencial) en un espacio apropiado

[Rathinam, 1997].

Uno de los problemas en el control de sistemas no lineales es la planeación y el

seguimiento de trayectoria. La cual se refiere al hecho de generar una trayectoria que la dinámica

del sistema debe de seguir. Si un sistema es plano, se puede utilizar la propiedad de aplanamiento

diferencial para generar trayectorias de soluciones nominales de una forma fácil. De esta forma se

soluciona el problema de planeación de trayectorias.

El problema central en el control de sistemas es encontrar una manera factible técnicamente

para actuar en un proceso dado de tal manera que el proceso se comporte, tan cercanamente como

sea posible, como algún comportamiento deseado. A este problema se le conoce como

seguimiento de trayectoria.

Una contribución muy útil para la solución del problema de seguimiento de trayectorias es

la de Hagenmeyer y Delaleau. Ellos introdujeron la noción de linealización exacta prealimentada

basada en aplanamiento diferencial, para enfatizar que la propiedad de aplanamiento diferencial

se puede usar para diseñar leyes de control [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a, b]. Este concepto

permite diseñar controladores para sistemas no lineales planos aplicando una entrada nominal

prealimentada deducida de aplanamiento diferencial y un controlador retroalimentado

estabilizante simple.

Introducción

2

En el contexto de sistemas en variables del estado, para el desarrollo de un sistema de

control, la estructura matemática más empleada es la lineal. Sin embargo, esta estructura no está

presente en los sistemas no lineales. Para desarrollar un sistema de control para los sistemas no

lineales, se recurre a la linealización, la cual es una técnica con la que se obtiene un sistema lineal

equivalente cuando se cancelan las no linealidades del sistema original; lo que facilita la

implementación de un controlador.

Una técnica que linealiza un sistema es la linealización por retroalimentación del estado

[Isidori, 1995]. En la práctica, la incertidumbre siempre está presente en los sistemas, y al utilizar

esta técnica para linealizar un sistema, se puede presentar una cancelación imperfecta. La

cancelación imperfecta de las no linealidades de un sistema, puede provocar que el controlador a

diseñar induzca un comportamiento indeseado en el mismo. Además, cuando se utiliza esta

técnica, se tiene la desventaja de perder información física del sistema, debido a la cancelación de

los parámetros de los términos no lineales. Por tanto, al cerrar el lazo en presencia de

incertidumbre, el sistema controlado no será robusto [Drienmeyer et al., 2005].

Sin embargo, la técnica de linealización exacta prealimentada no comparte las

inconveniencias de la linealización por retroalimentación, ya que la primera no hace uso del

estado para cancelar las no linealidades del sistema. De esta manera, la linealización exacta

prealimentada se convierte en una metodología general de control para sistemas no lineales

planos.

Hablando de seguimiento de trayectorias, éste se debe de lograr aun en presencia de

incertidumbre en el proceso y de perturbaciones externas no controlables actuando en el proceso.

Con esta motivación, Hagenmeyer y Delaleau en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003c] presentan una

metodología para analizar la robustez de linealización exacta prealimentada como técnica de

control de sistemas no lineales planos monovariables que presenten incertidumbre paramétrica.

En la práctica, muchos de los sistemas no lineales son sistemas planos [Fliess et al., 1994].

Entre ellos se encuentran los sistemas mecánicos langrangianos tales como la grúa y el carro de

n remolques. En [Murray et al., 1995] se presenta una lista de estos sistemas, además, en [Lévine

et al., 1996] se demuestra que el rodamiento magnético es uno de ellos. Por lo tanto, a estos

sistemas se les puede aplicar linealización exacta prealimentada para el diseño de controladores

que realicen seguimiento de trayectorias. Sin embargo, sólo se ha presentado una metodología de

análisis de robustez de esta técnica para sistemas no lineales planos monovariables con

incertidumbre paramétrica.

DSDS Introducción

3

Propósito de la tesis

Según la revisión de la literatura realizada antes del inicio de esta tesis, se encontró que no

se había aplicado linealización exacta prealimentada a sistemas no lineales planos multivariables

con incertidumbre paramétrica. Por lo tanto, el objetivo de esta tesis fue el extender la aplicación

de linealización exacta prealimentada a sistemas no lineales multivariables que presenten

incertidumbre en los parámetros.

Para extender la aplicación de linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales

planos multivariables que presenten incertidumbre en los parámetros, fue necesario trasladar las

ideas presentadas en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a, b, c] a éste tipo de sistemas.

En resumen, la principal contribución de esta tesis en la metodología de control de

linealización exacta prealimentada es el análisis de robustez de ésta en dos sistemas no lineales

planos multivariables con incertidumbre paramétrica. Los sistemas analizados fueron: un sistema

académico y un rodamiento magnético.

Organización de esta tesis

Esta tesis está organizada en cinco capítulos. En el Capítulo uno se presenta la motivación

de este trabajo. Se describe en orden cronológico el surgimiento del método de linealización

exacta prealimentada. En el Capítulo dos se introducen los fundamentos y generalidades de la

metodología de linealización exacta prealimentada. Además, se describen los principales

conceptos que forman la base de los resultados obtenidos.

En el Capítulo tres se presentan los resultados del estudio de linealización exacta

prealimentada aplicada a sistemas no lineales planos nominales: monovariables y multivariables,

así como a monovariables con incertidumbre paramétrica.

En el Capítulo cuatro se presenta la aplicación de la metodología de linealización exacta

prealimentada a sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica. Esto

es, se presenta el análisis de robustez de linealización exacta prealimentada aplicada a dos casos

de estudios.

Finalmente, en el Capítulo cinco se mencionan las conclusiones y algunos trabajos futuros.

Introducción

4

Notación.

A continuación se introducen algunas notaciones que se usan a lo largo de esta tesis.

:= denota la igualdad por definición

denota al campo de los números reales.

X denota un espacio vectorial de dimensión n sobre el campo .

i n∈ denota un conjunto 1, 2, , i n∈

nx ∈ , denota un vector columna n -dimensional ( )1col , , nx x x= . Todos los vectores

se consideran como vectores columnas, siempre y cuando no se indique lo contrario.

Sea : n mf Ω ⊂ → diferenciable en 0x ∈Ω con Ω , la matriz Jacobiana se denota

mediante a matriz ( )0Df x de orden n m× definida por

( )

( ) ( )

( ) ( )0

1 10 0

1

0

0 0

n

x xm m

n n

f fx xx x

fDf xx

f fx xx x

=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

donde D es el operador derivada. Además, si m n= , entonces la matriz Jacobiana de f es de

orden n n× .

( )kC X , con 0 k< < ∞ , denota la clase de funciones que son k veces continuamente

diferenciables en X .

⋅ denota la norma Euclidiana de un vector.

El superíndice “* ” se utiliza para denotar una cantidad deseada.

0p denota el valor nominal del parámetro p

5

Capítulo 1

Antecedentes y motivación

En este capítulo se presenta un panorama general de los antecedentes de la metodología

de linealización exacta prealimentada en el contexto de incertidumbre paramétrica para el control

de sistemas no lineales planos. Esta revisión comprende una descripción breve de la teoría de

aplanamiento diferencial, en la cual se basa linealización exacta prealimentada para el diseño de

leyes de control para sistemas no lineales planos.

1.1 Aplanamiento diferencial

Aplanamiento diferencial es una propiedad que poseen ciertos sistemas dinámicos, la cual

permite simplificar las tareas de planeación de trayectorias, sin resolver ninguna ecuación

diferencial. La propiedad de aplanamiento permite una completa parametrización de todas las

variables (estado, entradas y salidas) en términos de un conjunto de variables libres, llamadas

salidas planas, y un número finito de sus derivadas [Fliess et al., 1994]. Esta idea general se

remonta a los trabajos de D. Hilbert y E. Cartan en sistemas subdeterminados de ecuaciones

diferenciales, donde el número de ecuaciones es estrictamente menor que el número de

incógnitas. A ellos se les considera los antecesores de aplanamiento diferencial, ya que en sus

trabajos buscaban transformaciones espaciales y temporales que volvieran al sistema de estudio

en uno integrable fácilmente, además de un conjunto de variables que parametrizaran las

soluciones del sistema sin resolver ninguna ecuación diferencial.

Fliess y colaboradores, en [Fliess et al., 1994], caracterizaron originalmente el concepto

de aplanamiento diferencial usando herramientas de algebra diferencial. En ese contexto, se

puede ver a un sistema como un campo diferencial que se genera por un conjunto de variables

(estado y entrada). Se dice que el sistema es plano si se puede encontrar un conjunto de variables,

1 Antecedentes y motivación

6

llamadas salidas planas, tal que el sistema es algebraico sobre el campo diferencial que se genera

por el conjunto de las salidas planas [Nieuwstadt et al., 1994], [Martin et al., 2003]. En términos

generales, un sistema es plano si se puede encontrar un conjunto de salidas (igual al número de

entradas) tal que todas las variables de estado y de la entrada se puedan determinar de estas

salidas sin resolver ninguna ecuación diferencial. Para ser más precisos, si el sistema tiene un

estado nx ∈ , y entrada mu ∈ , entonces el sistema es plano si se puede encontrar un conjunto

de salidas my ∈ de la forma

( )( ), , , , ry h x u u u= (1.1)

tal que

( )( )( )( )

0

11

, , ,

, , , .

q

q

x y y y

u y y y

ϕ

ϕ +

=

=

(1.2)

Esta técnica es muy útil en situaciones donde se requiere la generación explicita de

trayectorias. Sin embargo, es difícil aplicar los resultados del algebra diferencial [Fliess et al.,

1994], si el sistema tiene una estructura más geométrica. Desde hace un par de décadas, la noción

de aplanamiento diferencial se ha definido en un contexto más geométrico, donde las

herramientas para el control de sistemas no lineales están disponibles comúnmente. En

[Nieuwstadt et al., 1994] se presenta un nuevo contexto, donde aplanamiento diferencial se puede

describir en términos de la noción de equivalencia absoluta que fue definida por E. Cartan.

Indudablemente, aplanamiento diferencial está relacionado con la noción de equivalencia.

De hecho, en [Fliess et al., 1994], se menciona que los sistema planos son equivalentes a sistemas

lineales mediante un tipo de retroalimentación llamada endógena. En [Nieuwstadt et al., 1994] se

demuestra que un sistema monovariable es diferencialmente plano, si y sólo si, es linealizable por

retroalimentación estática del estado, en el contexto de equivalencia absoluta. Y en [Fliess et al.,

1999] se estudia la relación de equivalencia de sistemas utilizando el marco de la geometría

diferencial de jets de orden infinito y sus prolongaciones.


7

En el marco de jets de orden infinito, se dice que dos sistemas son equivalentes si

cualquier variable de un sistema se puede expresar como una función de las variables del otro

sistema y un número finito de sus derivadas temporales. Esto se conoce como isomorfismo de

Lie-Bäcklund. Además, se dice que dos variedades que se mapean de manera inyectiva y

diferenciable, son equivalentes en el sentido de Lie-Bäcklund (por brevedad, equivalente L-B).

En este contexto, un sistema dinámico es plano, si y solo si, es equivalente L-B a un sistema

trivial, es decir, un sistema sin dinámica. En otras palabras, si se describe por un conjunto de

variables ( )1 , , my y y= para las cuales no existe una relación entre éstas y sus derivadas

[Fliess, 1999]. En consecuencia, los sistemas triviales son equivalentes a sistemas lineales

controlables. La existencia de esta equivalencia L-B, garantiza la suprayectividad de las

funciones 0ϕ y 1ϕ de (1.2).

Desde la aparición de aplanamiento diferencial en la teoría de control, se ha incrementado

su aplicación a sistemas planos para la solución de problemas de control. Es importante

mencionar que muchas clases de sistemas que se utilizan comúnmente en la teoría de control son

sistemas planos. De hecho, cualquier sistema que se puede transformar en un sistema lineal por

un cambio de coordenadas, por retroalimentación estática o por retroalimentación dinámica, es un

sistema plano. En [Charlet et al., 1989] se demuestra que cualquier sistema de una sola entrada

que es linealizable por retroalimentación dinámica, también lo es por retroalimentación estática.

Por lo tanto, muchos de los sistemas a los que se pueden aplicar estas técnicas, son sistemas

planos.

Desde su aparición, aplanamiento diferencial se ha desarrollado activamente en el

contexto de sistemas de control. En [Murray, et al. 1995] se concentra en la caracterización de

aplanamiento diferencial para sistemas de control mecánicos (Langrangianos) y se demuestra

cómo las propiedades de inercia y simetría están relacionadas con aplanamiento diferencial. Para

el caso especial de este tipo de sistemas de control, se presenta mucha más información en el

aspecto matemático y geométrico. Precisamente, en este trabajo se exploran las implicaciones y

características de esta clase de sistemas.

En [Fliess y Márquez, 2000] se presenta una conexión muy interesante entre aplanamiento

diferencial y control predictivo para el caso de sistemas lineales. En este desarrollo se muestra la


8

facilidad relativa con la que aplanamiento diferencial se relaciona con respecto a algunos

enfoques de diseño de controladores ya establecidos. Por lo que, la conexión de aplanamiento

diferencial con muchas otras técnicas de diseño de control moderno y tradicional puede ser muy

ventajosa.

En [Morillo, 2001], el autor desarrolla un método para generar trayectorias en sistemas no

lineales de control que presentan la propiedad de aplanamiento diferencial, debido a que con esta

técnica permite trasladar el problema de la generación de trayectorias de la dinámica de los

sistemas, a la de construir curvas simples en el espacio de las salidas planas. Sin embargo, este

método se restringe sólo a sistemas no lineales que son linealizables por retroalimentación

estática.

En [Sira-Ramírez y Fliess, 2002] se utiliza aplanamiento diferencial para resolver el

problema de la regulación del chapoteo líquido de contenedores en movimiento, y presenta un

enfoque de control GPI basado en aplanamiento diferencial, debido a que los controladores

basados en esta técnica representan una alternativa al control optimo tradicional basado en

esquemas de regulación.

En [Sira-Ramírez y Agrawal, 2004] se examina y explota la propiedad de aplanamiento

diferencial en una gran variedad de sistemas dinámicos controlados. Mediante varios ejemplos, se

resalta la ventaja y sencillez que tiene aplanamiento diferencial para su uso en sistemas físicos,

tanto lineales como los no lineales.

Jean Lévine, en [Lévine 2009], proporciona todas las herramientas matemáticas para

comprender la noción de aplanamiento diferencial, desde sus fundamentos teóricos, en donde nos

presenta aplanamiento diferencial desde el punto de vista geométrico, en los marcos de la

geometría diferencial exterior y el de jets de orden infinito, así como el de equivalencia entre los

sistemas dinámicos de control. También se presenta las relaciones que hay entre aplanamiento

diferencial, controlabilidad y linealización; hasta las aplicaciones donde se pone en práctica y se

evidencia lo anterior.

Como se ha mencionado con anterioridad, la estructura de aplanamiento diferencial se

utiliza para la solución de los problemas más generales de control, a saber, planeación,

generación y seguimiento de trayectorias.


9

1.1.1 Planeación de trayectorias

En general, aplanamiento diferencial se reduce a la existencia de una salida plana tal que

todas las variables del sistema se puedan expresar como funciones de dicha salida y un número

finito de sus derivadas temporales. Lo que resulta en que, si se quiere construir una trayectoria

cuya condición inicial y final estén especificadas, es suficiente calcular la trayectoria de la salida

plana correspondiente, y no es necesario resolver las ecuaciones diferenciales del sistema. Es

decir, si un sistema es plano, entonces tiene una salida plana tal que parametriza a todas las

variables del sistema. Luego, si se especifican los valores iniciales y finales de x y u , entonces,

por la suprayectividad de las funciones 0 1 y ϕ ϕ , —recordando el isomorfismo de Lie Bäcklund

(ver Figura 1) — se pueden encontrar los valores iniciales y finales de y y sus derivadas con

respecto al tiempo, es decir, ( )( )1, , , qy y y + .

Figura 1.- Correspondencia entre las trayectorias (soluciones) del sistema y curvas arbitrarias

El problema de planeación y generación de trayectorias se resuelve al encontrar una

trayectoria ( )t y t que sea diferenciable 1q + veces, tal que satisfaga la condición inicial y

final especificada. Así, las trayectorias del sistema ( )t x t y ( )t u t se pueden deducir de las

funciones 0 1 y ϕ ϕ , es decir, de la salida plana y y sus derivadas sucesivas hasta el orden 1q + .

Además esta salida ( )t y t no necesita satisfacer ninguna ecuación diferencial. Entonces, se

puede calcular mediante una interpolación polinomial o por una curva de Bézier.

Espacio de las salidas planas

Espacio de las variables del estado

0x

1x

*y

ϕ


10

1.1.2 Curvas de Bézier

La curva de Bézier es un sistema desarrollado por el Dr. Pierre Bézier en la década de

1960 para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y de automóviles. Estas curvas

suaves se pueden usar para interpolar, aproximar, ajustar curvas y representar objetos.

Figura 2- Curvas de Bézier de diferentes grados

En la Figura 2 se muestran diferentes curvas de Bézier. A los puntos 0 , , nP P se les

denomina puntos de control, los cuales están conectados por segmentos, formando así un

polígono no cerrado que se le conoce como polígono de control. El número de lados de este

polígono representa el grado de la curva. Una curva de Bézier pasa por el primer y último punto

de control, y es tangente al polígono de control en estos puntos finales. Una curva de Bézier se

define por la siguiente expresión [Sederberg, 2011]:

( )

0 0

00

0 0 0

,

,

,

n i in

fi f

i f f

f f

P t t

t tn t tP t P t t ti t t t t

P t t

−

=

<

− −= < < − −

>

∑ (1.3)

donde 0P y fP son los valores inicial y final en los tiempos 0t y ft , respectivamente y, n es el

grado de la curva.

Entonces, hablando de un sistema plano, la expresión (1.3) se puede utilizar para planear

un movimiento, es decir, diseñar una curva algebraica en el espacio de las salidas planas y,

mediante la biyectividad de esta curva con respecto al espacio de las variables de estado, ésta


11

representa la trayectoria del sistema dinámico. Además, con (1.3) se puede enfrentar el problema

particular de llevar a un sistema dinámico de un estado inicial en reposo a otro estado final en

reposo, que se conoce como problema de control reposo a reposo (rest-to-rest). Luego, para

realizar el seguimiento de esta trayectoria se necesita diseñar un control que cumpla con esta

tarea.

1.1.3 Seguimiento de trayectoria

En general, es muy difícil diseñar un controlador lineal que otorgue un seguimiento de

trayectoria satisfactorio, estabilidad y rechazo a perturbaciones en un intervalo amplio de puntos

de operación, por lo que en [Trumper et al., 1997] se utiliza la linealización por retroalimentación

para enfrentar este problema, demostrando la superioridad de estos controladores no lineales

sobre los controladores convencionales.

La linealización por retroalimentación del estado es una técnica muy conocida [Isidori,

1995]. Con ésta se diseña una ley linealizante que cancela las no linealidades de un sistema no

lineal, y facilita el desarrollo de un controlador que realice el seguimiento de una trayectoria. Sin

embargo, en la práctica, la incertidumbre siempre está presente en los sistemas, y al utilizar esta

técnica para linealizar un sistema, se puede presentar una cancelación imperfecta. La cancelación

imperfecta de las no linealidades de un sistema, puede ocasionar que el controlador a diseñar

induzca un comportamiento indeseado en el mismo. Además, cuando se utiliza esta técnica, se

tiene la desventaja de perder información física del sistema, porque se cancelan los parámetros de

los términos no lineales. Por tanto, al cerrar el lazo en presencia de incertidumbre, el sistema

controlado no será robusto [Drienmeyer et al., 2005].

Hagenmeyer y Delaleau, en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a, b] introducen la noción de

linealización exacta prealimentada como una metodología general de control de sistemas no

lineales planos. Ésta utiliza la propiedad de aplanamiento diferencial para desarrollar

controladores que realicen el seguimiento de trayectorias. Además, los autores demuestran que

linealización exacta prealimentada no comparte las inconveniencias de la linealización por

retroalimentación que se mencionaron anteriormente.


12

1.2 Linealización exacta prealimentada

El enfoque de linealización exacta prealimentada permite el control, para el seguimiento

de trayectorias deseadas, de sistemas no lineales planos como una combinación específica de una

entrada nominal prealimentada, basada en aplanamiento diferencial, y un controlador

retroalimentado estabilizante simple, cuando no existe incertidumbre en el sistema.

Cuando un sistema no lineal plano presenta incertidumbre en sus parámetros, aún es

posible utilizar linealización exacta prealimentada para el seguimiento de una trayectoria

deseada. De hecho, en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003c] se presenta una metodología de análisis

de robustez de linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos monovariables

cuando los parámetros del sistema son desconocidos, pero constantes. Mediante el estudio de la

dinámica del error de seguimiento y un resultado de estabilidad de Kelemen, se muestra que es

posible realizar el seguimiento aceptable de una trayectoria deseada, a pesar del desconocimiento

del valor numérico de los parámetros del sistema.

En [Hagenmeyer y Delaleau, 2008] se presenta una estructura general basada en

aplanamiento diferencial para control predictivo no lineal en tiempo continuo, en el marco de

linealización exacta prealimentada que se presentó en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a, 2003b].

Se extienden los resultados presentados en [Fliess y Márquez, 2000] para el caso no lineal. De

este modo el aplanamiento diferencial proporciona un cálculo sencillo de las trayectorias

predichas considerando las restricciones respectivas del sistema.

En [Antritter, 2008], el autor realiza la comparación de tres esquemas de control basados

en aplanamiento diferencial para el seguimiento de trayectorias: linealización exacta

prealimentada, operador diferencial lineal y salida retroalimentada dinámica. En ese trabajo se

muestran las similitudes y diferencias de esos esquemas de control, las cuales se aplicaron a un

sistema de levitación magnética.

En su línea de investigación, Hagenmeyer y Delaleau, en [Hagenmeyer y Delaleau,

2010], extienden su metodología para análisis de robustez de linealización exacta prealimentada,

presentado en [Hagenmeyer y Delaleau., 2003c], pero ahora con respecto a perturbaciones


13

externas. El análisis toma en consideración el seguimiento de la ecuación del error junto con los

resultados de estabilidad de Kelemen.

En [Formentin y Lovera, 2011] se aborda el problema del diseño de una ley de control

para un helicóptero de cuatro motores. El problema de control lo dividen en el seguimiento de

trayectorias para la posición y la postura del helicóptero. Ellos utilizan la propiedad de

aplanamiento diferencial que posee la dinámica de la posición del helicóptero para diseñar un

controlador basado en linealización exacta prealimentada. Mientras que, para la postura utilizan

un controlador basado en pasividad. Los resultados que se presentan en ese trabajo muestran que

el esquema de control resultante posee un grado de robustez que permite el seguimiento de

trayectoria aun en presencia de incertidumbre.

1.2.1 Planteamiento del problema

Según la revisión de la literatura realizada hasta el momento, se encontró que no se ha

aplicado la metodología de linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos

multivariables con incertidumbre paramétrica. Por lo tanto, el propósito de esta tesis es obtener

una respuesta a la siguiente pregunta:

¿Es posible extender la metodología de linealización exacta prealimentada a sistemas no lineales

planos multivariables con incertidumbre en los parámetros?

Con este propósito se planteó el objetivo general de la tesis:

Analizar la robustez de la metodología de linealización exacta prealimentada basada en

aplanamiento diferencial con un controlador tipo PID en un sistema dinámico multivariable con


Para lograr dicho objetivo se parte de la siguiente hipótesis:

Dado un sistema no lineal plano multivariable que tiene salidas planas independientes de los

parámetros es posible extender la metodología de linealización exacta prealimentada con

respecto a incertidumbre paramétrica.


14

En el capítulo siguiente se presenta los fundamentos teóricos de la estrategia de control de

linealización exacta prealimentada basada en aplanamiento diferencial. Estos fundamentos se

utilizaron en el Capítulo 3 para realizar el seguimiento de trayectorias deseadas para sistemas no

lineales planos, y en el Capítulo 4, se extiende esta metodología al analizar la robustez de ésta

cuando se aplica a dos sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre en sus

parámetros.

15

Capítulo 2

Fundamentos teóricos y estado de la metodología

En este capítulo se presentan los fundamentos teóricos que sustentan la estrategia de control

del enfoque de linealización exacta prealimentada basada en aplanamiento diferencial para

sistemas no lineales planos.

Este trabajo tiene como objetivo extender la aplicación de linealización exacta

prealimentada a sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica. Esta

extensión se pretende lograr mediante el análisis de robustez de linealización exacta

prealimentada a esa clase de sistemas. Por lo anterior, se requiere el estudio de la metodología de

control de linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos. Así, los temas que

se abordarán en este capítulo son elementales para el desarrollo de esta metodología en el

Capítulo 3 y para la extensión de la aplicación de la misma en el Capítulo 4.

2.1 Introducción

La metodología de linealización exacta prealimentada es un nuevo enfoque de

aplanamiento diferencial para el control de sistemas no lineales planos. El seguimiento de

trayectoria vía linealización exacta prealimentada es posible a través de la propiedad de

aplanamiento diferencial [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a, b]. La idea de realizar seguimiento de

trayectoria cuando el sistema no lineal plano presenta incertidumbre surgió en [Hagenmeyer y

Delaleau, 2003c] con el análisis de robustez de linealización exacta prealimentada para sistemas

no lineales planos monovariables con incertidumbre en los parámetros. Ahora, la idea es realizar

seguimiento de trayectoria para sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre

paramétrica.

Los fundamentos teóricos se presentan de acuerdo con su jerarquía conceptual dentro del

contexto de linealización exacta prealimentada. Para esto, primero se presenta la noción general

2.Fundamentos teóricos y estado de la metodología

16

de esta metodología para el control de sistemas no lineales planos. Después, la estabilidad de ésta

se describe mediante el análisis del comportamiento de la dinámica del error de seguimiento

cuando se aplica un resultado de estabilidad de Kelemen. Luego, se muestra la metodología de

linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos monovariables, y

posteriormente para multivariables. Por último, se explora el análisis de robustez de linealización

exacta prealimentada para sistemas no lineales planos monovariables con incertidumbre

paramétrica.


En la teoría de control, la noción de aplanamiento diferencial se ha orientado a la solución

de los problemas de planeación y generación de trayectorias. Sin embargo, aplanamiento

diferencial no se restringe a la solución de estos problemas, ya que también se puede utilizar para

realizar seguimiento de trayectorias. Así, la noción de linealización exacta prealimentada se

introduce para enfatizar que la propiedad de aplanamiento diferencial también se puede

considerar para diseñar leyes de control que no linealizan a un sistema no lineal plano como lo

haría la linealización por retroalimentación [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a, b].

La metodología de linealización exacta prealimentada consiste en obtener una entrada

prealimentada para una trayectoria nominal tal que, si la condición inicial de ésta última es

consistente con la del sistema no lineal plano, entonces cuando se aplica dicha prealimentación al

sistema no lineal plano se obtiene una forma de Brunovský lineal sin cerrar el lazo. En otras

palabras, si las condiciones iniciales de la trayectoria nominal y del sistema son consistentes,

entonces se puede obtener una prealimentación nominal tal que, si se le aplica al sistema no lineal

plano, éste último es equivalente a una forma de Brunovský lineal. Por otro lado, si las

condiciones iniciales, de la trayectoria y del sistema, no son consistentes pero son muy cercanas,

entonces existe una solución del sistema tal que ésta se encuentra en una vecindad de la solución

de la forma de Brunovský mencionada con anterioridad.

Además, mediante linealización exacta prealimentada se puede desarrollar un controlador

retroalimentado que estabilice las desviaciones de la trayectoria deseada con una facilidad

relativa. La estabilidad de este esquema de control se demuestra cuando se utiliza un controlador

retroalimentado tipo PID extendido y un resultado de estabilidad de Kelemen. Por lo tanto, el

esquema de control total de linealización exacta prealimentada consiste de dos partes: un

controlador prealimentado, deducido de aplanamiento diferencial, el cual hace que el sistema

converja a una trayectoria deseada; y un controlador retroalimentado, que fuerza al sistema a

mantenerse en dicha trayectoria.

2.3 Estabilidad de linealización exacta prealimentada

17

A continuación se presenta el escenario en el cual el resultado de estabilidad de Kelemen se

utiliza para demostrar la estabilidad de la metodología de linealización exacta prealimentada.


La estabilidad del esquema de control de linealización exacta prealimentada es otro

problema de control que se debe abordar. A través de linealización exacta prealimentada, es

posible indicar en que parte de la señal prealimentada se debe agregar la salida del controlador

retroalimentado con el fin de estabilizar las deviaciones de la trayectoria deseada.

Con el propósito de estabilizar las desviaciones de la trayectoria de un sistema no lineal

plano, se necesita estudiar el comportamiento de éste bajo la ley de control que se diseña

mediante linealización exacta prealimentada. Para dicho estudio se introduce la dinámica del

error de seguimiento e , donde el error de seguimiento e se define como la diferencia entre el

comportamiento real del sistema no lineal plano y el deseado.

Al analizar la dinámica del error de seguimiento se concluye que si ésta diverge, entonces

el error de seguimiento nunca será cero y por lo tanto el sistema es incapaz de realizar un

seguimiento de trayectoria. Por otro lado, si el error de seguimiento se encuentra acotado,

entonces el sistema no lineal plano realiza un seguimiento de trayectoria en la vecindad de la

trayectoria deseada. Y si, la dinámica del error de seguimiento converge exponencialmente a

cero, entonces se garantiza que el comportamiento del sistema no lineal plano es el deseado, es

decir, se encuentra sobre la trayectoria planeada. Con este resultado se muestra que se pueden

estabilizar a los sistemas no lineales planos alrededor de trayectorias deseadas cuando se aplica

linealización exacta prealimentada con un controlador retroalimentado.

El problema de la estabilidad de la estrategia de linealización exacta prealimentada se

replantea como un problema de convergencia asintóticamente a cero de la dinámica del error de

seguimiento. Un resultado de estabilidad de Kelemen establece las condiciones que deben

cumplirse para garantizar dicha convergencia. Usando este resultado, se verifica la estabilidad de

la estrategia de control de linealización exacta prealimentada para el seguimiento de una

trayectoria deseada. Dicho resultado de estabilidad se presenta en la sección siguiente.

En el contexto de incertidumbre paramétrica estructurada, para realizar el seguimiento de

trayectoria, se debe verificar que la incertidumbre en los parámetros del sistema no lineal plano

no afecte la estabilidad de la dinámica del error de seguimiento. Para ello, se analiza la robustez

de esta estrategia mediante un resultado de estabilidad de Kelemen. Se determina la longitud

máxima del intervalo de incertidumbre numérica en los parámetros que garantiza la estabilidad de

la dinámica del error de seguimiento, y en consecuencia, el seguimiento de trayectoria.


18

2.3.1 Un resultado de estabilidad de Kelemen

Mediante la estrategia de control de linealización exacta prealimentada es posible

estabilizar la trayectoria de un sistema no lineal plano alrededor de una trayectoria deseada. Si se

utiliza un controlador retroalimentado tipo PID, la estabilidad de linealización exacta

prealimentada se verifica mediante un resultado de estabilidad de Kelemen presentado en

[Kelemen, 1986], y que fue reinterpretado por Lawrence y Rugh en [Lawrence y Rugh]. A

continuación se presenta dicho resultado.

Dado un sistema no lineal de la forma:

( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 g , , ,t t t t= = ≥η η ν η η (2.1)

donde ( )tη es el vector de estado de 1n × y ( )tν es el vector de entrada de 1m × . Se asume que:

• (H1): : g n m n× → es de clase 2C con respecto a sus argumentos,

• (H2): hay un conjunto abierto y acotado mΓ ⊂ y una función diferenciable

continuamente : nσ Γ → tal que, para cada valor de entrada constante υ ∈Γ ,

( )( ) 0g ,σ υ υ = ,

• (H3): hay un 0κ > tal que, para cada υ ∈ Γ , los eigenvalores de ( )( )g ,σ υ υ∂∂η tienen

partes reales no mayores que κ− .

La Hipótesis H1 garantiza que el sistema (2.1) tiene al menos una solución. La Hipótesis

H2 dice que el sistema tiene un conjunto de puntos de equilibrio de la forma ( )( ), σ υ υ , donde

para toda υ ∈Γ existe un ( )σ υ tal que el campo g se anula, es decir, ( )( ) 0g ,σ υ υ = .

La Hipótesis H3 garantiza que dichos puntos de equilibrios sean hiperbólicos y estables.

Y del Teorema de Hartman-Grobman [Perko, 1991], se tiene que si se define un sistema

dinámico lineal

η A= η , (2.2)

mediante la matriz Jacobiana

( )( ), gη

A σ υ υ∂=

∂ (2.3)


19

del campo g que define al sistema (2.1), el comportamiento dinámico de (2.2), que es la

aproximación lineal tangencial del sistema dinámico (2.1), es topológicamente equivalente al

comportamiento dinámico del sistema (2.1) en la vecindad de sus puntos de equilibrio.

En otras palabras, ya que ( )( ), σ υ υ es un punto de equilibrio de g y ( )( )g ,σ υ υ∂∂η no tiene

eigenvalores con parte real nula, entonces, por el Teorema de Hartman-Grobman, existe un

homeomorfismo que mapea las trayectorias de (2.1) en una vecindad de su punto de equilibrio

sobre las trayectorias de (2.2) en una vecindad de su punto de equilibrio, es decir, (2.1) y (2.2)

tienen la misma estructura cualitativa en una vecindad de sus puntos de equilibrio. Asimismo, ya

que ( )( )g ,σ υ υ∂∂η tiene eigenvalores con parte real negativa, entonces ( )( ), σ υ υ es un punto de

equilibrio hiperbólico y estable.

A continuación se enuncia el resultado de estabilidad de Kelemen.

Teorema 2.1 [Kelemen, 1986] [Lawrence y Rugh, 1990]. Suponga que el sistema (2.1) satisface las hipótesis (H1) - (H3). Entonces, existe un 0*ρ > tal que, dado cualquier

(0 *,ρ ρ ∈ y un 0T > , existen funciones ( )1δ ρ y ( )2 ,Tδ ρ para las cuales la siguiente

propiedad se verifica. Si una entrada diferenciable continuamente ( )t t→ν satisface ( ) ,t ∈ Γν

0T t≥ , ( )( )0 0 1tσ δ− <η ν y ( ) 2

1,

t T

td

Tτ τ δ

+<∫ ν 0t t≥ , entonces la solución correspondiente

de (2.1) satisface

( ) ( )( ) 0, t t t tσ ρ− < ≥η ν (2.4)

Un importante corolario de este teorema se muestra a continuación.

Corolario 2.2 [Lawrence y Rugh, 1990]. Si, además de las condiciones del Teorema 2.1, la señal de entrada satisface

( ) ( )lim 0 lim , ,t t

t t ∞→∞ →∞= = ∈Γν ν ν (2.5)

entonces la solución correspondiente de (2.1) satisface

( ) ( )lim .t

t σ ν ∞→∞= η (2.6)

Por lo tanto, si para algún 1 0T t> , se tiene que ( )t ∞= ∈ Γν ν para todo 1t T≥ , entonces

( )1Tη se encuentra en el dominio de atracción de la variedad de puntos de equilibrio estables

exponencialmente ( )( ),σ ∞ ∞ν ν .


20

Al aplicar la metodología de linealización exacta prealimentada a un sistema no lineal

plano se puede obtener una forma de Brunovský. Entonces, considerando la definición del error

de seguimiento como la diferencia entre el comportamiento real y el deseado, se puede obtener

un sistema no lineal de la forma (2.1), es decir, la dinámica del error de seguimiento. Por lo tanto,

se puede utilizar el resultado de estabilidad de Kelemen para analizar el comportamiento del error

de seguimiento. Mediante ese resultado se puede mostrar que, utilizando un controlador

retroalimentado se obtiene la convergencia a cero de la dinámica del error de seguimiento.

Entonces, mediante la estabilidad de la dinámica del error de seguimiento se garantiza la

estabilidad del esquema de control de linealización exacta prealimentada.

Cómo se mencionó anteriormente, en este capítulo se abordará la metodología de

linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos: monovariables y

multivariables nominales; y monovariables con incertidumbre paramétrica. Por lo tanto, se

exhibirá el análisis de la dinámica del error de seguimiento, que toma en cuenta el resultado de

Kelemen, para cada tipo de sistema.

Tomando en cuenta el propósito de esta tesis, se inició con la incursión a la metodología de

linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos monovariables nominales,

como se muestra a continuación.

2.4 Linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales monovariables

Considerando la noción general de linealización exacta prealimentada se tiene que, cuando

se aplica una prealimentación nominal, deducida de aplanamiento diferencial, a un sistema no

lineal plano monovariable, éste es equivalente, por un cambio de coordenadas, a una forma de

Brunovský lineal monovariable si la condición inicial del sistema es consistente con la de la

trayectoria nominal [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a].

Además, la información de la forma de Brunovský se utiliza para diseñar la ley de control

total, la cual consiste de la combinación de una parte prealimentada con una retroalimentada para

estabilizar las desviaciones de la trayectoria deseada. La estabilidad de este esquema de control se

demuestra mediante un resultado de Kelemen. A continuación se presentan los resultados de

[Hagenmeyer y Delaleau, 2003a], donde se expone lo anterior.


21

Dado un sistema no lineal monovariable, como se muestra a continuación

( ) ( )( ) ( ) 0, , 0x x x xf t u t= = (2.7)

donde el tiempo t ∈ , el estado ( )x nt ∈ , la entrada ( )u t ∈ y el campo vectorial

: n nf T× → es suave, se dice que el sistema (2.7) es un sistema plano diferencialmente,

si y solo si, existe una salida plana y ∈ , tal que

( )xy h= (2.8)

( )( )1, , ,x ny y yφ −= (2.9)

( )( ), , , nu y y yψ= (2.10)

donde h , φ y ψ son funciones suaves con respecto a sus argumentos por lo menos en un

conjunto abierto de n , n

y 1n+ , respectivamente.

Para una trayectoria deseada suave suficientemente de la salida plana, conocida como

trayectoria nominal, ( )*t y t , se puede usar a (2.10) directamente para diseñar la

prealimentación correspondiente:

( )( )** * *, , , nu y y yψ= (2.11)

Así, linealización exacta prealimentada basada en aplanamiento diferencial se enuncia en la

siguiente proposición.

Proposición 2.3 [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a]. Si la trayectoria deseada de la salida

plana ( )*t y t es consistente con la condición inicial ( ) ( ) ( ) ( )( )* 1* *0 0 , 0 , , 0nx y y yφ −=

entonces, cuando se le aplica una prealimentación nominal (2.11) al sistema no lineal plano diferencialmente (2.7), este último es equivalente, por un cambio de coordenadas, para todo tiempo a un sistema lineal en la forma de Brunovský.

Además, si la trayectoria deseada de la salida plana no es consistente con la condición inicial 0x , pero 0x se encuentra cerca suficientemente a la condición inicial definida por

( ) ( ) ( ) ( )( )10 0 0** *, , , ny y yφ −

, entonces, cuando se aplica (2.11) a (2.7), existe una solución

única de (2.7), en al menos un intervalo de tiempo finito en la vecindad de la trayectoria deseada, que representa la solución de la mencionada forma de Brunovský.


22

Parte de la demostración de la Proposición 2.3 se esboza a continuación con la finalidad de

exhibir las características de linealización exacta prealimentada, así como el punto en la fórmula

de la parte prealimentada donde se debe agregar la parte retroalimentada, es decir, la señal del

controlador PID extendido.

Demostración [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a]. De la Proposición 2.3, y tomando en

cuenta los resultados de [Charlet et al., 1989] se tiene que, por el difeomorfismo siguiente:

[ ] ( ) ( )11 2, , , , , , x

TT nn y y yξ ξ ξ − = = = Φ ξ

(2.12)

el sistema no lineal plano (2.7) se puede llevar a la forma normal siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1 1, , ,

,i i

n

t t i n

t t u t

ξ ξ

ξ α+= ∈ −

= ξ

(2.13)

donde ( ),α ⋅ ⋅ es suave con respecto a sus argumentos, y de (2.13) se tiene que

( ) ( )0 0 .x= = Φ0ξ ξ Además, en vista de (2.13) se observa que la solución de la ecuación

( ) ( )( ) ( )0 , nt u t tα ξ= −ξ (2.14)

es (2.10). Por lo tanto, si se define ( )nn yξ = , entonces se obtiene

( ) ( )( )( ), , n nt tα ψ ξ ξ=ξ ξ (2.15)

Ahora, debido a que (2.10) es la solución de (2.14), entonces, aplicar la prealimentación

(2.11) al sistema no lineal plano monovariable (2.7), es equivalente a aplicar la prealimentación

(2.11) al sistema (2.13), lo que resulta en:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

1

* *

, 1, , 1

, ,

i i

n n

t t i n

t t t t

ζ ζ

ζ α ψ ξ

+= = −

= ζ ξ

(2.16)

con [ ]1, ,T

nζ ζ=ζ y ( ) ( )0 00 x= = Φζ ζ .

Para probar lo anterior se necesita estudiar la solución ( )0,t tϕ ζ del sistema no

autónomo de ecuaciones diferenciales (2.16). En la cual se distinguen dos casos: cuando la

condición inicial del sistema es consistente con la condición inicial de la salida plana; y cuando

no lo es, pero éstas son muy cercanas.


23

Ya que ( ),α ⋅ ⋅ es suave, la existencia local y unicidad de la solución ( )0,tϕ ζ de (2.16) se

garantiza para [ ]1 10 0, ,t τ τ∈ > , como se muestra a continuación. Además, para distinguir los

dos casos, se denotan las soluciones ( )*0,t tϕ ξ y ( )0,t t ζ para la de condición inicial

consistente y la no consistente, respectivamente.

1.- Condición inicial consistente.

Para el caso de una condición inicial consistente, ésta se encuentra definida como

( )0 0 0= = Φζ ξ * x . Al utilizar (2.16) y considerar (2.15), se puede observar que ( ) ( )0t tϕ =ξ ξ* *, .

Entonces ( ) ( )0t tϕ =ξ ξ* *, también es la solución de la forma de Brunovský siguiente

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1i i

n n

t t i n

t t

ζ ζ

ζ ξ

+= ∈ −

= *

, , ,

(2.17)

con 0 0=ζ ξ * .

2.- Condición inicial no consistente

Para este caso, se requiere el uso del teorema siguiente:

Teorema 2.4 [Khalil, 1996]. Sea ( ), ,f t x λ continua en ( ), ,t x λ y Lipschitz1 localmente en

x (uniformemente en t y λ ) en [ ] 0 1 0,t t D cλ λ× × − ≤ , donde nD ⊂ es un conjunto abierto

conexo. Sea ( )0,y t λ una solución de ( )0, ,x f t x λ= con ( )0 0 0,y t y Dλ = ∈ . Se supone que

( )0,y t λ está definida y pertenece a D para todo [ ]0 1,t t t∈ . Entonces, dado un 0ε > , hay un

0δ > tal que si

0 0 0 y z y δ λ λ δ− < − < (2.18)

entonces hay una única solución ( ),z t λ de ( ), ,x f t x λ= que está definida en [ ]0 1,t t , con

( )0 0,z t zλ= = , y ( ),z t λ satisface

( ) ( ) [ ]0 0 1 ., , , ,z t y t t t tλ λ ε− < ∀ ∈ (2.19)

1 La condición de Lipschitz garantiza que existe la derivada de f en x , en otras palabras, que f es diferenciable,

es decir, al menos es de clase 1C .


24

En el caso de una condición inicial no consistente, ésta se encuentra definida como

0 0 .*≠ζ ξ Ya que la solución del caso consistente ( )0tϕ ξ *, de (2.16) es igual a la trayectoria

deseada ( )tξ * , se asegura que ( )0tϕ ξ *, pertenece a un cierto conjunto abierto conexo nD ⊂

para todo [ ]10,t t∈ , donde ( )1 0,t ∈ ∞ . De la aplicación del Teorema 2.4, se puede demostrar que

dado un 0ε > , hay un 0δ > , tal que si

0 0 δ− <ζ ξ * (2.20)

entonces hay una solución única ( )0,tϕ ζ de (2.16) que está definida en [ ]10,t , con condición

inicial ( ) ( )0 0 0, xtϕ = = Φζ ζ , y ( )0,tϕ ζ satisface

( ) ( ) [ ]*0 1, , 0, .t t t tϕ ξ ε− < ∀ ∈ζ (2.21)

En otras palabras, dado un vecindad tubular alrededor de ( )* tξ con radio ε , se puede

definir una vecindad circular de la condición inicial 0*ξ con radio δ , tal que las trayectorias que

salgan de esta vecindad circular no saldrán de esa vecindad tubular en el intervalo de tiempo

[ ]10,t t∈ , como se muestra en la Figura 3. La restricción del intervalo de tiempo [ ]10,t t∈ es

válida para sistemas inestables estructuralmente. Si el sistema es estable estructuralmente,

entonces los resultados se cumple para todo tiempo.

Figura 3.- Solución del sistema en la vecindad de la trayectoria deseada.


25

Tomando en consideración el resultado de la Proposición 2.3, la metodología del diseño de

la ley de control de linealización exacta prealimentada no linealiza al sistema, tal como lo haría la

linealización por retroalimentación del estado. Por lo tanto, evita la cancelación de los términos

“bien comportados”. Esta ley de control, linealiza el sistema exactamente por prealimentación

cuando se está en la trayectoria deseada y la estabiliza entorno a ella.

2.4.1 Diseño de la ley de control

Aplanamiento diferencial es una propiedad del sistema, y no implica que se intente

transformarlo, mediante una retroalimentación y un cambio de coordenadas, en un sistema lineal.

De hecho, la propiedad de aplanamiento diferencial es precisamente lo contrario, no linealizar

sistemas no lineales [Martin et. al, 1997]. Por lo tanto, la ley de control que se diseña consta de

dos partes, una parte prealimentada, deducida de aplanamiento diferencial, y otra parte

retroalimentada que toma en cuenta el error de seguimiento. La estructura de la combinación de

ambas partes constituye la ley de control de linealización exacta prealimentada, la cual se

establece a continuación.

Ya que el término *nξ en (2.17) juega el rol de la entrada a la forma de Brunovský, la nueva

entrada v se diseña como

( )* enξ= + Λv (2.22)

donde ( )Λ e constituye la parte retroalimentada de la ley de control de linealización exacta

prealimentada. Además, el error de seguimiento [ ]1, ,T

ne e=e se define como

*, i i ie i nξ ξ= − ∈ (2.23)

y generalmente se cumple que ( )Λ =0 0 . Es decir, si el error de seguimiento es cero, entonces la

parte retroalimentada no tiene ninguna acción en el control del sistema, pues significa que la

acción de la parte prealimentada es suficiente para mantener al sistema en la trayectoria deseada.

Entonces, el control retroalimentado ( )Λ e puede ser cualquier tipo de control, como por

ejemplo del tipo modos deslizantes, basada en la teoría de estabilidad de Lyapunov o un PID

clásico. Este último se utiliza en este trabajo, y su estudio se muestra más adelante. Luego, la

combinación de la parte prealimentada y la retroalimentada resulta en la siguiente ley de control

( ) ( )( )* * *, , enu ψ ψ ξ= = + Λξ ξ v (2.24)


26

La ventaja de esta estructura se hace evidente en vista de (2.15). Entonces, cuando se está

sobre la trayectoria deseada se obtiene

( )( ) ( )( )* *

* *, ,

, , , 1.α ψ

α ψ∂

= ∴ =∂

ξ ξξ ξ

vv v

v (2.25)

Esta última ecuación es importante cuando se estudia el error de seguimiento, tal cómo se

observará en la siguiente sección.

2.4.2 Estructura de la dinámica del error

Para estudiar el comportamiento del sistema no lineal plano monovariable bajo la ley de

control de linealización exacta prealimentada en la vecindad de la trayectoria deseada, la ley de

control (2.24) se aplica al sistema (2.13), con lo cual se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

1 , 1 1

, , , , .* * *

, ,

e

i i

n n

t t i n

t t

ξ ξ

ξ α ψ α ψ ξ

+= ∈ −

= = + Λξ ξ ξ ξ

v (2.26)

Si se utiliza la definición del error (2.23) y el sistema (2.26), entonces el sistema de error de

seguimiento correspondiente se puede denotar como

( )( )( )

1 1, , 1

, ,* * * *e e

i i

n n n

e e i n

e α ψ ξ ξ

+= ∈ −

= + + Λ −ξ ξ

(2.27)

donde *i i ie ξ ξ= − y *

i i ie ξ ξ= −

.

Luego, si se obtiene la matriz Jacobiana de (2.27), y se evalúa en e = 0 , es decir se linealiza

tangencialmente el sistema (2.27) alrededor de la trayectoria deseada, se obtiene

1

1 2

0 1 0

0 0 0

0 0 1

,

1

e

e e ,

, ,

m

m

i i i

ee

ee

i m

δ δ

γ γ γ

γ µ ν

=

∂ ∂ = = ∂ ∂

= +∈

0

(2.28)


27

donde

*e

ii

i i ieξα αµ

ξ ξ= =

∂∂ ∂= =

∂ ∂ ∂0 ξ ξ

, (2.29)

y en vista de (2.23), 1i

ieξ∂

∂ = , por lo tanto

( )

0 0 0e e e

ei

i i i

uu e e eαν

= = =

∂Λ∂ ∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂v v

v (2.30)

ya que 0e = , entonces ( )( )* *, ,α ξ ψ ξ =v v , luego ( )( )

1* *, ,α ψ∂

∂ =ξ ξ v

v.

La estructura (2.27) permite conocer el comportamiento del error de seguimiento de la

trayectoria deseada en el sistema no lineal plano monovariable. Por lo que, si este error converge

a cero se garantiza que el sistema plano no lineal se encuentra sobre la trayectoria deseada. Una

forma de obligar a que el error converja a cero es mediante la acción de un control

retroalimentado en conjunto con el control prealimentado. Este control retroalimentado puede ser

un control PID extendido simple, como se mostrará a continuación.

2.4.3 Control PID extendido

La metodología de linealización exacta prealimentada, además de contar con una parte

prealimentada, basada en aplanamiento diferencial, consta de una parte retroalimentada, la cual

puede ser cualquier tipo de control. Así, cuando se utiliza un controlador estabilizante tipo PID en

torno a la trayectoria deseada, entonces ( )eΛ se puede escribir como:

( ) ( ) ( )1

0 101

ekt

i ii

e d e tλ τ τ λ+

=

Λ = + ∑∫ (2.31)

donde 1 1, ,k n∈ − . Luego, si se define a 0e como

( )0 0 10:

te e dλ τ τ= ∫ , (2.32)

se tiene que la estructura de control dada por (2.24) se puede denotar como:

( )1

0

, , .* * *k

n i ii

u eψ ψ ξ λ+

=

= = +

∑ξ ξv (2.33)


28

Esta estructura de control consiste en una combinación de una parte prealimentada no lineal

basada en aplanamiento diferencial y una parte retroalimentada lineal simple de un controlador

tipo PID extendido. La estructura del PID se muestra en (2.31), si ésta se pasa al dominio de

Laplace, se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 1 1 2 2 1 1e, k k

e ss e s e s e s

sλ λ λ λ + +Λ = + + + + (2.34)

y tomando en cuenta a (2.27), (2.34) se puede reescribir como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 20 1 1 2 1 3 1 1 1e, k

k

e ss e s s e s s e s s e s

sλ λ λ λ λ +Λ = + + + + . (2.35)

Por lo tanto, de (2.35), se observa que 0, , ,i i nλ ∈ son las ganancias del controlador PID, y

éstas constituyen las ganancias de la parte integral, proporcional y k partes derivativas. La

expresión (2.35) muestra el porqué del calificativo “extendido” del controlador kPID . A

continuación se mostrará que este controlador puede proporcionar estabilidad en el control de un

sistema no lineal plano.

2.4.4 Estabilidad para la estrategia de control

Como se mencionó en la Sección 2.3, si la dinámica del error de seguimiento converge a

cero, se garantiza que el sistema plano se encuentra sobre la trayectoria deseada. Por lo tanto,

tomando en cuenta a (2.31), se obtiene que el sistema de error de seguimiento aumentado es

[ ]0 1e , , , Tne e e= , y entonces (2.27) se puede reescribir como:

( )1

0

0 1

* * * * *

, ,

e , , e ,

j j

n

n n i i ni

e e j n

e eα ψ ξ λ ξ β

+

=

= ∈ −

= + + − =

∑ξ ξ ξ

(2.36)

donde ( )** * *, , ,Tny y y = ξ

.

Luego, el sistema (2.36) se puede escribir como

( )*e e ,= ϒ ξ (2.37)

donde la salida plana deseada y sus n derivadas *ξ juegan el rol de la entrada al sistema de error

de seguimiento e .


29

El reescribir al sistema (2.36) como (2.37), hace posible la comparación de (2.37) con el

sistema (2.1) de la Sección 2.3.1 (esto es, eη y *ν ξ ). Luego, haciendo uso del Teorema 2.1

se demuestra que el sistema (2.7) es estable asintóticamente, tal como se muestra a continuación.

Si el sistema (2.36) cumple con las hipótesis del Teorema 2.1, entonces el sistema no lineal

plano monovariable (2.7) será estable asintóticamente bajo la ley de control de linealización

exacta prealimentada (2.33).

Analizando el sistema (2.36) se tiene que:

1. Es de clase 2C con respecto a sus argumentos por construcción.

2. Existe un conjunto acotado 1n+Γ ⊂ , el cual se debe a que las trayectorias deseadas suaves

suficientemente ( )*y t están acotadas, así como sus derivadas. Por lo tanto todos los puntos

en el tiempo de las entradas 1* n+∈Γ = Γ ⊂ξ , y al estudiar los puntos de equilibrio se

obtiene la función diferenciable continuamente 1: n+Γ →σ , en vista de (2.36), la cual

está definida por

( )( )10 , 0, , 1

0 ,* *,

i i nσ

β

+= ∈ −

= σ ξ ξ

(2.38)

Luego, vinculando las expresiones (2.10), (2.14) y (2.15) con (2.36) y (2.38), se obtiene que

el origen ( ) 0* =σ ξ es un punto de equilibrio.

3. Cuando se linealiza tangencialmente el sistema (2.37) en torno de la trayectoria deseada, es

decir, se calcula su matriz Jacobiana evaluada en e = 0 , se obtiene una estructura como

(2.28), donde los eigenvalores de esa matriz se encuentran dados por las raíces del

polinomio siguiente:

( ) 10 1 .n n

n np s s s sγ γ γ−−= + + + + (2.39)

Si se tiene en cuenta que cada 1, , ,i i nγ ∈ , considerando a (2.28) y (2.30), es función de

las ganancias del controlador PID extendido, entonces, al escoger las ganancias de diseño

respectivas del PID, se pueden manipular las raíces de (2.39) para que éstas tengan parte

real negativa, y por lo tanto que los eigenvalores del sistema linealizado también tengan

parte real negativa.


30

Luego, al cumplirse los tres puntos anteriores, se garantiza que las hipótesis del Teorema

2.1 también se cumplen, y el resultado de estabilidad de la estrategia de control de linealización

exacta prealimentada se puede expresar como a continuación.

Proposición 2.5 [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a]. Existe un 0*ρ > tal que para todo

(0 *,ρ ρ ∈ y 0T > , existen funciones ( )1δ ρ y ( )2 ,Tδ ρ para las cuales la siguiente propiedad

se cumple. Si una trayectoria deseada continua, diferenciable suficientemente ( )*y t satisface

( ) 1* nt +∈Γ ⊂ξ (donde Γ está definida como en la Hipótesis 2 del Teorema 2.1), 0 ,T t≥

( ) ( )0 1 2 0

1 y *e ,

t T

tt d t t

Tδ τ τ δ

+< < ≥∫ ξ (2.40)

entonces la solución correspondiente e de (2.36) satisface

( ) 0 .e ,t t tρ< ≥ (2.41)

Esto es, el error está acotado y el sistema no lineal plano monovariable (2.7) es estable bajo la ley de control de seguimiento (2.33).

Corolario 2.6 [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a]. Si además, la trayectoria deseada satisface

( ) ( )lim 0 lim * * *,t t

t t ∞→∞ →∞= = ∈Γξ ξ ξ , (2.42)

entonces la solución correspondiente de (2.36) satisface

( )lim .et

t→∞

= 0 (2.43)

Por lo tanto, si para algún 1 0T t> y ( ) ** t ∞= ∈Γξ ξ para todo 1t T≥ , entonces ( )1e T se

encuentra en el dominio de atracción del punto de equilibrio estable exponencialmente ( )*, ∞0 ξ .

Esto es, el sistema (2.7) es estable asintóticamente bajo la ley de control (2.33). El resultado

anterior se resume en la proposición siguiente.

Proposición 2.7. Si el error inicial ( )e 0 y la velocidad *ξ de la trayectoria deseada *ξ no

son muy grandes, entonces el error de seguimiento aumentado e está acotado uniformemente.

Además, si la trayectoria deseada de la salida plana alcanza el punto dado ( ) ,* *tξ ξ∞=

0,*t t∀ > > entonces el error de seguimiento e converge exponencialmente a cero.

2.5 Linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales multivariables

31

Como el objetivo de la tesis es extender la metodología de linealización exacta

prealimentada a sistemas dinámicos multivariables con incertidumbre paramétrica, se requiere

estudiar los resultados que se obtienen cuando se emplea linealización exacta prealimentada en

sistemas planos multivariables sin incertidumbre. Por esta razón, a continuación se muestra la

aplicación de esta metodología en el caso de sistemas con múltiples entradas y salidas. Estos

resultados se presentaron en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003b], y son parte de los elementos

necesarios para desarrollar lo que se presenta en el Capítulo 4.

2.5 Linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales multivariables.

En la Sección 2.3 se mostró que un sistema no lineal plano monovariable es estable

asintóticamente bajo la ley de control basada en linealización exacta prealimentada, la cual consta

de dos partes: una prealimentada basada en aplanamiento diferencial, y otra parte retroalimentada

que toma en cuenta el error de seguimiento.

En esta sección se muestra el esquema de control de linealización exacta prealimentada

para sistemas no lineales planos multivariables. Se demuestra que un sistema no lineal plano

multivariable, al cual se le aplica una señal de prealimentación deducida de aplanamiento

diferencial, es equivalente, por un cambio de coordenadas, a un sistema lineal en la forma de

Brunovský multivariable lineal sin cerrar el lazo si la condición inicial es consistente con la

condición inicial de la trayectoria deseada. Con el fin de estabilizar la trayectoria deseada, la

información de la forma de Brunovský multivariable se usa para diseñar una ley de control, la

cual es la combinación de una prealimentación nominal y una retroalimentación adicional. La

estabilidad de este esquema de control se demuestra mediante un resultado de Kelemen. A

continuación se presenta los resultados de [Hagenmeyer y Delaleau, 2003b] donde se expone lo

anterior.

Dado un sistema no lineal multivariable, como se muestra a continuación

( ) ( )( ) ( ) 0, , 0x x u x xf t t= = (2.44)

donde el tiempo t ∈ , el estado ( )x nt ∈ , la entrada ( )u mt ∈ y el campo vectorial

: n m nf T× → es suave, se dice que el sistema (2.44) es un sistema plano

diferencialmente, si y solo si, existe una salida plana mZ ∈ , tal que


32

( )( ), , , ,x u u uZ H ι= (2.45)

( )( ), , ,x Z Z Z χφ=

(2.46)

( )( )1, , ,u Z Z Z χψ +=

(2.47)

donde H , y son funciones suaves con respecto a sus argumentos por lo menos en un

conjunto abierto de ( )1n m ι+ + , ( )1m χ +

y ( )2m χ + , respectivamente.

Al igual que en el caso monovariable, con estas ecuaciones se demuestra que, para cada

trayectoria de la salida plana ( )t Z t , la evolución de las otras variables del sistema ( )xt t

y ( )ut t se pueden deducir sin resolver ninguna ecuación diferencial del sistema. Además,

dada una trayectoria deseada suave suficientemente para la salida plana, conocida como

trayectoria nominal ( )*t Z t , entonces, se puede usar a (2.47) directamente para diseñar la

familia de prealimentaciones nominales correspondientes como

( )( )* 1* * *, , , .u Z Z Z χψ +=

(2.48)

Así, linealización exacta prealimentada basada en aplanamiento diferencial para sistemas

planos multivariables se enuncia en la siguiente proposición.

Proposición 2.8 [Hagenmeyer y Delaleau, 2003b]. Si la trayectoria deseada de la salida plana ( )*t Z t es consistente con la condición inicial 0x esto es

( ) ( ) ( ) ( )( )** *0 0 , 0 , , 0x Z Z Z χφ=

, entonces cuando se le aplica una prealimentación nominal

(2.48) al sistema plano diferencialmente dado por (2.44), este último es equivalente, por un cambio de coordenadas, para todo el tiempo a un sistema lineal en la forma canónica de Brunovský multivariable con m cadenas de integradores.

Además, si la trayectoria deseada de la salida plana no es consistente con la condición inicial 0x , pero 0x se encuentra cerca suficientemente a la condición inicial definida por

( ) ( ) ( ) ( )( )** *0 , 0 , , 0Z Z Z χφ

, entonces, cuando se aplica (2.48) a (2.44), existe una solución

única de (2.44) en al menos un intervalo de tiempo finito en la vecindad de la trayectoria deseada, que representa la solución de la mencionada forma de Brunovský.

φ ψ


33

Parte de la demostración de la Proposición 2.8 se esboza a continuación con la finalidad de

exhibir las características de linealización exacta prealimentada, así como el punto en la fórmula

de la parte prealimentada donde se debe agregar la parte retroalimentada, es decir, la señal del

controlador PID extendido.

Demostración [Hagenmeyer y Delaleau, 2003b]. Por la Proposición 2.8 se tiene que, por

el cambio de coordenadas siguiente [Delaleau y Rudolph, 1998]:

( ) ( ) ( )

( )( )

1 1

1 1

1 1 11 1 1 2 1

1 1 1 2 1 2 1 1 1 2, , , , , , , ,

, , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , ,

x ,u,u, ,u

m m

m m

Tk k km m m m

T

k m k m m m k

z z z z z z z z

ϑ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

β

−

−

− − −−

−

=

=

=

ξ

ξ

(2.49)

el sistema (2.44) se puede llevar a la forma normal siguiente

( )( )1 1 1

.

, ,

,

, , ,

,u,u, ,u ;i

i

i j i j i

i k i

j k

i mσ

ξ ξ

ξ α

+= ∈ −

= ∈ξ

(2.50)

donde iα , i m∈ , es también suave en sus argumentos y, considerando (2.49), se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 00 , 0 , 0 , , 0x u u u ϑβ= =ξ ξ . (2.51)

Además, para todo sistema plano, existe un conjunto de ecuaciones algebraicas [Delaleau y

Rudolph, 1998]:

( )( ) , .,u,u, ,u ii iv i mσα = ∈ξ

(2.52)

cuya solución (para u ) es:

( )( )u ,V ,V , ,V σ= Θ ξ

(2.53)

donde [ ]1V , , Tmv v= y ( )max iσ σ= , i m∈ .

Comparando (2.50) y (2.52) se observa que:

( ) ( )11 , , ,

i

j ji kv i m jξ += ∈ ∈ (2.54)


34

Además, comparando (2.47) y (2.53) se observa que:

( )( ) ( )( )1, , , , , , ,Z Z Z χ σψ + = Θ ξ ξ ξ ξ

(2.55)

donde 1, ,V , ,i m

T

k m kξ ξ = = ξ

y ( )1 max 1i ikχ σ+ = + − , i m∈ . Y, considerando (2.52)-(2.54)

se obtiene:

( )( ) ,, , , , ,i

ii i k i mσα ξΘ Θ Θ = ∈ξ

(2.56)

Debido a que (2.53) es la solución al sistema de ecuaciones (2.50), entonces, aplicar la

prealimentación (2.48) al sistema (2.44), es equivalente a aplicar la prealimentación (2.48) al

sistema (2.50), la cual resulta en

( )( ) 1 1 1

1

, ,

** *,

, ,

, , , , ; , ,i

i

i j i j i

i k i

j k

i mσ

ζ ζ

ζ α ζ

+= ∈ −

= Θ Θ Θ ∈

(2.57)

Si se considera a (2.53) y (2.55) se tiene que:

( )( )** * * *ξ ,ξ ,ξ , ,ξ σΘ = Θ

. (2.58)

Además, considerando a (2.51), se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 00 , 0 , 0 , , 0** *x ϑβ= = Θ Θ Θζ ζ

(2.59)

Al igual que en el caso monovariable, cuando se estudia la solución del sistema (2.57) se

pueden distinguir dos casos, cuando la condición inicial es consistente con la de la salida plana, y

cuando no lo es, pero éstas se encuentran muy cercanas, una de la otra. A continuación se

muestra el caso cuando la condición inicial es consistente con la de la salida plana.

Para el caso donde la condición inicial de la salida plana ( )*t Z t es consistente con la

condición inicial 0x , esto es ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 , 0 , , 0** *x Z Z Z χφ=

, significa que 0 0

*=ζ ξ . Por la

existencial local y unicidad de la solución ( )0,t tϕ ζ de (2.57), se observa que ésta es igual a

( )* tξ en al menos en un intervalo de tiempo [ )10,t τ∈ , la cual se puede verificar al usar (2.57) y

(2.56). Además, esta solución también es la solución de la siguiente ecuación diferencial

1 1 1

1

, ,

*, ,

, ,

, ,i i

i j i j i

i k i k

j k

i m

ζ ζ

ζ ξ

+= ∈ −

= ∈

(2.60)


35

con 0 0*=ζ ξ . En esta ecuación los términos *

, ii kξ , que serán diferentes por cada salida plana *Z

que se escoja, juegan el rol de las entradas de (2.60). Consecuentemente, a (2.60) se le conoce

como una forma de Brunovský multivariable que se compone de m cadenas de iκ integradores

con entradas *, ii i kv ξ= , respectivamente. Para el caso en el que la condición inicial no sea

consistente con la condición inicial de la salida plana vea [Hagenmeyer y Delaleau, 2003b] y

[Khalil, 1996]. Tomando en consideración el resultado de la Proposición 2.8, la metodología del

diseño de control para el seguimiento de trayectorias deseadas se presenta a continuación.


La metodología de linealización exacta prealimentada no linealiza el sistema como lo haría

linealización exacta retroalimentada y por lo tanto, evita la cancelación de los términos “bien

comportados”. Esta metodología linealiza al sistema (2.44) exactamente por prealimentación

cuando se está sobre la trayectoria deseada y la estabiliza en torno a ésta. Por lo tanto, la ley de

control a diseñar consiste de dos partes: una parte prealimentada, deducida de aplanamiento

diferencial, y otra parte retroalimentada que toma en cuenta el error de seguimiento. Así, la

estructura de la combinación de ambas partes constituyen la ley de control de linealización exacta

prealimentada para el caso multivariable, la cual se establece a continuación.

Ya que en (2.60) los términos *, ii kξ , i m∈ juegan el rol a las entradas de la forma de

Brunovský multivariable, la nueva entrada v m∈ se diseña como:

( ) *, e ,

ii i k iv i mξ= + Λ ∈ (2.61)

donde el error de seguimiento 11 1 1 2 1 2 1 1 2, , , , , , ,e , , , , , , , , ,

m

T

k m m m ke e e e e e e = se define como:

( ) ( )1 11 1 1 y ** * *, , , , , ,

j ji i i i i i j i i i j i je z z e z zξ ξ ξ ξ− −= − = − = − = − (2.62)

Para la parte retroalimentada de (2.61), en un principio, se cumple que ( )e = 0Λ , es decir, si el

error de seguimiento es cero, entonces la parte retroalimentada no tiene ninguna acción en el

control del sistema, pues significa que la acción de la parte prealimentada es suficiente para

mantener al sistema en la trayectoria deseada.

El control retroalimentado ( )eiΛ puede ser de cualquier tipo de control, y en este trabajo,

al igual que el caso monovariable, se utiliza un control PID extendido.


36

Luego, considerando el diseño de (2.61), la combinación de la parte prealimentada (2.48) y

(2.61) resulta en la siguiente estructura de control

( )( )* , , , ,u V V V σξ= Θ

(2.63)

donde [ ]1 , , TmV v v= , con ,iv i m∈ como se definió en (2.61). La ventaja de esta estructura se

hace evidente en vista de (2.56) ya que, cuando se está sobre la trayectoria deseada se tiene que

( )( ) * , , , , ,ii iv i mσα Θ Θ Θ = ∈ξ

(2.64)

con Θ 2 igual que en (2.63). Lo que lleva a

( )( ) ( )( )( )

0 ,

1 , 0,

* *,

, , , , , , , , ,,,

i i iji i

ij kj j

i ji j

v v i j m k

σ σ δα αδ

≠= ∂ Θ Θ Θ ∂ Θ Θ Θ == =

∂ ∂ ∈ ∈

ξ ξ

(2.65)

Estas dos últimas ecuaciones son importantes cuando se estudia el error de seguimiento, tal

cómo se observará en la siguiente sección siguiente.

2.5.2 Estructura de la dinámica del error

El análisis de un sistema plano multivariable es muy similar al caso monovariable. Para

estudiar el comportamiento del sistema no lineal plano multivariable bajo la ley de control de

linealización exacta prealimentada en la vecindad de la trayectoria deseada, la ley de control

(2.63) se aplica al sistema (2.44), con lo cual se obtiene

( )( ) 1 1 1

1

, ,

,

, ,

, , , , ; , ,i

i

i j i j i

i k i

j k

i mσ

ξ ξ

ξ α ξ

+= ∈ −

= Θ Θ Θ ∈

(2.66)

donde Θ es igual que en (2.63). Usando (2.66) y (2.62), se puede denotar al sistema de error de

seguimiento correspondiente como:

( )( ) 1 1 1

1

, ,

* *, ,

, ,

, , , , ; , ,i

i i

i j i j i

i k i i k

e e j k

e e i mσα ξ ξ

+= ∈ −

= + Θ Θ Θ − ∈

(2.67)

2 Considerando a (2.58), se tiene que ( )( ) ( )( )1 *, , , , , , ,u Z Z Z V V Vχ σψ ξ+Θ = = = Θ

.


37

El sistema (2.67), linealizado (tangencialmente) en torno a la trayectoria deseada ( )0e =

está dado por:

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

, , ,

, , ,

, , ,

e e

m

m

m m m m

C C CC C C

C C C

δ δ

=

(2.68)

donde

1 21 2 3

0 1 0 00 0 0

0 0 1 0

y 0 0 0

0 0 0 1

1

, ,

, , , , , ,, , , , , , , ,

, ,, , , , ,

i

i

i ji i

i i i j

i j i j i j ki i i i i i i i k

k kk ki i i j

C C

C i m C i j

γ γ γγ γ γ γ

××

= =

∈ = ∈

1 , , ,m i j∈ ≠

(2.69)

y , , , , , ,i j k i j k i j kγ µ ν= + , con:

( )( ) ( )( )0 *

*,

, ,, , ,

, , , , , , , ,i ii ij k

i j ki j j k j k

e

e

e

σ σ

ξ ξ

α ξ α ξξµ

ξ ξ= =

∂ + Θ Θ Θ ∂ Θ Θ Θ∂= =

∂ ∂ ∂

(2.70)

( )( ) ( )0 0

0

*

, ,, , ,e ee

e ξ , , , , eii i i i

i j ki j k j k j ke e e

σα ν νν

ν= =

=

∂ + Θ Θ Θ ∂Λ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂

(2.71)

La estructura (2.67) permite conocer el comportamiento del error de seguimiento de las

trayectorias deseadas en el sistema no lineal plano multivariable. Por lo que, si este error

converge a cero se garantiza que el sistema no lineal plano se encuentra sobre la trayectoria

deseada. Entonces, se puede utilizar un resultado de estabilidad de Kelemen para determinar las

condiciones con las cuales se garantiza la estabilidad de la dinámica del error de seguimiento.

Una forma de obligar a que el error converja a cero, es decir, se logra la estabilidad de la

dinámica del error de seguimiento, es mediante la acción de un control retroalimentado en

conjunto al control prealimentado. Este control retroalimentado puede ser un controlador PID

extendido simple, como se mostrará en la sección siguiente.


38

2.5.3 Control PID extendido

A continuación se diseñará un controlador tipo PID extendido para la parte retroalimentada

de la ecuación (2.61). Con este fin, primero, se desarrollará un controlador PID iik para el primer

i-ésimo3 subsistema que retroalimenta los errores ,i je del mismo i-ésimo subsistema, así hasta el

grado 1,i ij k= + . Segundo, si es necesario, se desarrollarán controladores similares PID iik para

el i-ésimo subsistema para contrarrestar los acoplamientos de los l-ésimo4 subsistemas en la

vecindad de la trayectoria deseada.

Con

( ) 0 10 1, , , , ,

t

i ie e d i mτ τ= =∫ (2.72)

entonces ( )eiΛ de (2.61) se puede reescribir como

( )1 1

0 0

, , ,

, , , , , ,ei i i lk k

i i i j i j i l j l jj l i j

e e i mλ λ+ +

= ≠ =

Λ = + ∈∑ ∑ ∑ (2.73)

donde 1 1, , ,i i ik k∈ − , 1 0 1, , , ,i l lk k∈ − − y , ,i l jλ ∈ .

Por lo tanto, la estructura de control resultante es:

( )( )

1 1

0 0

1, ,

*

*, , , , , , ,

, , , ,

, ,i i i l

i

k k

i i k i i j i j i l j l jj l i j

u V V V

v e e i m

σξ

ξ λ λ+ +

= ≠ =

= Θ

= + + ∈∑ ∑ ∑

(2.74)

A pesar de que el término de corrección es lineal en el error de seguimiento, el esquema de

control completo en realidad es no lineal. A continuación se mostrará que, usando un resultado de

estabilidad de Kelemen, este esquema de control puede proporcionar la estabilidad de la dinámica

del error de seguimiento del sistema no lineal plano multivariable, y en consecuencia, que dicho

esquema de control permita el seguimiento de trayectoria.

3 El i-ésimo subsistema pertenece a los subsistemas denotados por ,i iC , ver (2.68). 4 El l-ésimo subsistema pertenece a los subsistemas denotados por , ,i jC i j≠ , ver (2.68).


39

2.5.4 Estabilidad para la estrategia de control

En esta sección se demuestra que la estrategia de control (2.74) es capaz de estabilizar al

sistema (2.44) alrededor de trayectorias deseadas *Z . En aras de la generalidad, en adelante, se

aplica la información del estado completo a las partes PID ,i jk del control (2.74), esto es

1, ., ,i j ik k i j m= − ∈

Como se mencionó con anterioridad, si la dinámica del error de seguimiento converge a

cero, se garantiza que el sistema plano se encuentra sobre la trayectoria deseada, por lo tanto,

tomando en cuenta a (2.72), el error de seguimiento aumentado es:

11,0 1,1 1, 2,0 ,0 ,1 ,, , , , , , , , ,

m

T

k m m m ke e e e e e e e = (2.75)

con lo cual, en vista de (2.67), se obtiene

( )( ) ( ) 1 0

; 1

, ,

* * *, ,

, ,

e , , , , e ,Z , ,i

i i

i j i j i

i k i i k i

e e j k

e i mσα ξ ξ β

+= ∈

= + Θ Θ Θ − = ∈

(2.76)

donde ( )** * * *, , , ,ZTσξ ξ ξ ξ =

y ( )max iσ σ= .

Por lo tanto, este sistema se puede escribir como:

( ), *e Ze = ϒ (2.77)

donde la salida plana deseada y sus 1χ + derivadas que se encuentran involucradas en *Z

juegan el rol de la entrada al sistema de error de seguimiento e .

El reescribir al sistema (2.76) como (2.77), hace posible la comparación de (2.77) con el

sistema (2.1) de la Sección 2.3.1 (esto es, eη y *Zν ). Luego, haciendo uso del Teorema

2.1

se demuestra que el sistema (2.44) es estable asintóticamente, tal como se muestra a

continuación.

Si el sistema (2.77) cumple con las hipótesis del Teorema 2.1, entonces el sistema no lineal

plano multivariable (2.44) será estable asintóticamente bajo la ley de control de linealización

exacta prealimentada (2.74).


40

Luego, si se analiza el sistema (2.77) se tiene que:


2. Existe un conjunto acotado 1χ +Γ ⊂ , el cual se debe a que las trayectorias deseadas suaves

suficientemente ( )*Z t están acotadas, así como sus derivadas. Por tanto, todos los puntos

en el tiempo de las entradas 1*Z χ +∈Γ = Γ ⊂ , y al estudiar los puntos de equilibrio se

obtiene la función diferenciable continuamente : n m+Γ →σ , la cual está definida por

( )( )10 , 0 1

0 ,

,

* *

, ,

,

i j i

i

j k

Z Z i m

σ

β

+= ∈ −

= ∈σ

(2.78)

de (2.76). Luego, el acoplamiento de la relación entre (2.52) - (2.54) con (2.76) y (2.78) se

obtiene que el origen ( ) 0*Z =σ es el punto de equilibrio.

3. Cuando se linealiza en torno de la trayectoria ( e = 0 ) se obtiene una estructura como (2.68),

donde se puede actuar sobre los eigenvalores de esa matriz al seleccionar apropiadamente

los parámetros de diseño respectivos de las partes 1PID ik − de la ley de control. Entonces,

, , , 0, , , , , ,i j k i j k ji j m k kν λ= ∈ ∈ en vista de (2.71). Por lo tanto, se puede asegurar que

hay un 0λ > tal que sus eigenvalores tienen parte real no más grande que λ− .

Al cumplirse los tres puntos anteriores, se garantiza que las hipótesis del Teorema 2.1

también se cumplen, y el resultado de estabilidad de la estrategia de control de linealización

exacta prealimentada se resume5 en la proposición siguiente:

Proposición 2.9.- Si el error inicial ( )e 0 y la velocidad *Ζ de la trayectoria deseada *Ζ

no son muy grandes, entonces el error de seguimiento aumentado e está acotado uniformemente. Además, si la trayectoria deseada de la salida plana alcanza el punto dado

( ) ,* *Z t Z∞= 0*t t∀ > > , entonces el error de seguimiento e converge exponencialmente a cero

Siguiendo con el estudio de la metodología de linealización exacta prealimentada para

sistemas no lineales planos, a continuación se presenta la aplicación de ésta a sistemas planos

monovariables con incertidumbre paramétrica.

.

5 El resultado completo se puede ver en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003b].

2.6 Linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales monovariables con incertidumbre

41


En los sistemas físicos, la incertidumbre está presente siempre, esto se debe a que ningún

modelo matemático puede representar exactamente a un sistema físico. Esta incertidumbre se

puede presentar en los parámetros o en la dinámica no modelada. En esta sección se muestra el

esquema de control de linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos

monovariables con incertidumbre paramétrica. Mediante el análisis directo de la dinámica del

error de seguimiento, a la cual se le puede aplicar un resultado de estabilidad de Kelemen, se

proporciona la estrategia para el análisis de robustez de linealización exacta prealimentada en el

contexto de incertidumbre paramétrica.

En las Secciones 2.4 y 2.5 se presentaron a detalle muchas de las propiedades estructurales

de la aplicación de la ley de control diseñada mediante linealización exacta prealimentada, a un

sistema no lineal plano, cuando los parámetros son los nominales. En esas secciones, se hizo uso

de un difeomorfismo para reconstruir el estado y obtener la dinámica del error de seguimiento.

Sin embargo, en el caso en el que los parámetros no sean los nominales no es posible hacer eso,

ya que se desconocen los valores numéricos de los parámetros. Por lo tanto, se realiza una

aproximación, con la cual se obtiene una dinámica del error de seguimiento específica. Y,

utilizando un resultado de estabilidad de Kelemen se puede analizar la robustez de linealización

exacta prealimentada. A continuación se presenta los resultados de [Hagenmeyer y Delaleau,

2003c] donde se expone lo anterior.

Considerando un sistema no lineal con incertidumbre en sus parámetros, cómo se muestra a

continuación

( ) ( )( ) ( ) 0, , 0x , x x xf t u t= =θ (2.79)

donde el tiempo t ∈ , el estado ( )x nt ∈ , la entrada ( )u t ∈ . Los parámetros del sistema

p∈θ , y se consideran constantes en el tiempo, pero desconocidos:

0 , , 1, , .,i i i i pθ θ θ = + ∈ =θ θ θ

(2.80)

Además, la incertidumbre de los parámetros es estructurada y el intervalo de ésta no cambia genéricamente la estructura dinámica del sistema. En (2.79), el campo vectorial

: p n nf × × → es suave.


42

Se dice que el sistema (2.79) es un sistema plano diferencialmente, si y solo si, existe una

salida plana ,y ∈ tal que

( )xy h= (2.81)

( )( )1, , , ,x ny y yφ −= θ (2.82)

( )( ), , , , nu y y yψ= θ (2.83)

En aras de la simplicidad, la salida plana es independiente de los parámetros de dos formas:

primero, la función ( )xh es algebraicamente independiente de θ , y segundo, ( )xh es la misma

función para todo θ definido en (2.80). Esta suposición no es tan restrictiva, ya que en muchos

casos reales la salida plana se escoge frecuentemente como una variable física del sistema, la cual

es independiente de los parámetros.

Además, para una trayectoria deseada suave suficientemente de la salida plana ( )*t y t

(trayectoria nominal), la ecuación (2.83) se puede usar para diseñar el control nominal para los

parámetros del sistema nominal 0θ . Para cada trayectoria nominal ( )*y t , hay una

prealimentación nominal ( )*u t , así la familia de prealimentaciones nominales está dada por

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 .** * *, , , , nu t y t y t y tψ= θ

(2.84)

Definición 2.10. La condición inicial de la trayectoria deseada de la salida plana

( )*t y t está definida por ( ) ( ) ( ) ( )10 0 0 0** * *, , ,

Tny y y − = ξ . Además, es consistente con la

condición inicial 0x , si ( )0 0, *x φ= θ ξ .

Entonces, la técnica de linealización exacta prealimentada basada en aplanamiento

diferencial que se establece en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a, b], se puede generalizar para el

caso de incertidumbre paramétrica en sistemas no lineales planos monovariables de la siguiente

manera:

Teorema 2.11 [Hagenmeyer y Delaleau, 2003c]. Si la trayectoria deseada de la salida plana es consistente con la condición inicial 0x y 0θ θ= , entonces, cuando se aplica la

prealimentación nominal (2.84) a (2.79), este último es equivalente por un cambio de coordenadas a un sistema lineal en la forma de Brunovský.


43

De otro modo, cuando se aplica (2.84) a (2.79), existe una solución única de (2.79), en al menos un intervalo de tiempo finito, en la vecindad de la trayectoria deseada ( )*t y t la cual

representa la solución de la mencionada forma de Brunovský.

Demostración [Hagenmeyer y Delaleau, 2003c] Por el Teorema 2.11, construyendo el

siguiente cambio de coordenadas

[ ] ( ) ( )1 11 2 , , , , , , , , x

TT nn y y yξ ξ ξ φ− − = = = Φ Φ = ξ θ

(2.85)

el sistema (2.79) se lleva a la forma normal siguiente

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 , 1 1, ,

, ,i i

n

t t i n

t t u t

ξ ξ

ξ α+= ∈ −

= θ ξ

(2.86)

donde α también es suave con respecto a sus argumentos. La condición inicial de (2.86)

corresponde con la de (2.79), es decir ( ) ( )0 00 , x= = Φξ ξ θ . Además, se tiene que (2.83) es la

solución para u de

( ) ( )( ) ( )0 , , nt u t tα ξ= −θ ξ (2.87)

y con ( )nn yξ = , se obtiene:

( ) ( )( )( ), , , , n nt tα ψ ξ ξ=θ ξ θ ξ (2.88)

Por lo que aplicar la prealimentación (2.84) al sistema plano (2.79) es equivalente a aplicar ( )*u t

de (2.84) al sistema (2.86), lo cual resulta en

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

1

* *0,

, 1, , 1

, , ,

i i

n n

t t i n

t t t t

ζ ζ

ζ α ψ ξ

+= = −

= θ ζ θ ξ

(2.89)

con ( ) ( )0 00 , x= = Φζ ζ θ .

Tomando en consideración el resultado del Teorema 2.11, la metodología del diseño de la

ley de control para el seguimiento de trayectorias deseadas cuando el sistema no lineal plano

monovariable presenta incertidumbre paramétrica se presenta a continuación.


44


En [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a, b] se utilizó linealización exacta prealimentada para

diseñar un controlador tipo PID para la estabilización de las trayectorias deseadas. La ley de

control consiste de dos partes, una parte prealimentada y una retroalimentada. Ésta última toma

en cuenta el error de seguimiento. La estructura de la combinación de ambas partes se presenta a

continuación.

Ya que el término nξ juega el rol de la entrada a la forma de Brunovský en (2.86).

Entonces, la nueva entrada v se diseña como

( )* ,env ξ= + Λ (2.90)

donde el error de seguimiento [ ]1, ,e T

ne e= y el error de seguimiento aumentado

[ ]0 1, , ,e Tne e e=

están definidos por

( )*0 10

, 1, , ; t

i i ie i n e e dξ ξ τ τ= − ∈ = ∫ (2.91)

Y la parte retroalimentada es

( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 101 0

ek kt

i i i ii i

e d e t e tλ τ τ λ λ+ +

= =

Λ = + =∑ ∑∫ (2.92)

donde 0, , 1k n∈ − . Por lo tanto, la estructura de control total se puede denotar como:

( )1

* * *0 0

0

, , , ,k

n i ii

u v eψ θ ψ θ ξ λ+

=

= = +

∑ξ ξ (2.93)

Esta estructura consta de una combinación específica de una parte prealimentada no lineal

basada en aplanamiento diferencial, y una parte retroalimentada lineal simple tipo PIDk

extendido. Nótese que esta estructura de control representa un control no lineal.

2.6.2 Estructura de la ecuación del error

En [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a, b] muchas de las propiedades estructurales de la

aplicación de (2.93) en (2.79) se discuten a detalle para el caso de los parámetros nominales

0=θ θ . Uno de los principales resultados en esos artículos es la prueba de estabilidad de (2.79)

bajo la estructura de control (2.93). Por lo que, en adelante se asume que (2.93) garantiza la

estabilidad de (2.79) en el caso de 0=θ θ .


45

En el caso de 0≠θ θ , que se define generalmente como en (2.80), todavía tiene sentido

aplicar la ley de control (2.93) si la diferencia entre los parámetros nominales 0θ y los reales θ

no es muy grande. Sin embargo, aparece una dificultad para la parte retroalimentada (2.92), ya

que el valor exacto de ξ no se puede reconstruir a través de x (en vista de (2.85)). Por lo tanto,

se tiene que considerar el estado aproximado siguiente:

( )0 , .xF=ζ θ (2.94)

Luego, el error de seguimiento para la parte retroalimentada (2.92) queda definido como

( )*0 10

, 1, , ; t

i i ie i n e e dζ ξ τ τ= − ∈ = ∫ (2.95)

donde j je e= , 0 1,j ∈ , ya que la salida plana es independiente de θ . Usando (2.95), la ley de

control no lineal (2.93) se puede reescribir cómo

( )1

* * *0 0

0

, , , ,k

n i ii

u v eψ θ ψ θ ξ λ+

=

= = +

∑ξ ξ

(2.96)

El análisis de robustez del sistema (2.79) bajo la ley de control (2.96) se muestra a

continuación.

2.6.3 Análisis de robustez

Para estudiar la robustez del sistema (2.79) bajo la ley de control (2.96) en la vecindad de la

trayectoria deseada, la ley de control (2.96) se sustituye en (2.86), con lo que se obtiene

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

1

1

00

0

1 1

* *

* *

, , ,

, , , ,

, , , , e ,

i i

k

n n i ii

n

t t i n

t t e

t

ξ ξ

ξ α ψ θ ξ λ

α ψ θ ξ

+

+

=

= ∈ −

= +

= + Λ

∑θ ξ ξ

θ ξ ξ

(2.97)

donde [ ]0 1, , , Tne e e e=

. Para encontrar la ecuación del error de seguimiento real *e = −ξ ξ , se

puede establecer la relación siguiente entre [ ]T

1e , , ne e= y e considerando (2.82) y (2.85):

( ) ( )( )

( )( )1

0 0

10

* *

* *

, , ,

, ,

e F x F

F e

θ θ φ θ

θ φ θ

−

−

= − = −

= + −

ξ ξ ξ

ξ ξ

(2.98)


46

Ya que 0 0e e= , la parte retroalimentada ( )eΛ se puede escribir como ( )eΛ . Entonces,

usando (2.97) el sistema de error de seguimiento aumentado en e se puede expresar como

( )( )( )1

0

1 1

* * * *

, ,

,e , , , e

i i

n n n

e e i n

e α ψ ξ ξ

+= ∈ −

= + + Λ −θ ξ θ ξ

(2.99)

A través del estudio del sistema del error de seguimiento (2.99), se muestra como se puede

analizar la estabilidad de la estrategia de control (2.96) cuando se le aplica al sistema (2.79).

El sistema de error de seguimiento aumentado se puede escribir estructuralmente como

( )1

0

1 1

*

, ,

, ,e ,i i

n

e e i n

e β+= ∈ −

= θ θ ξ

(2.100)

Por lo tanto,

( )*e e ,= ϒ ξ (2.101)

donde la salida plana y sus n derivadas *ξ juegan el rol de la entrada al sistema de error de

seguimiento aumentado en e . Si el sistema (2.100) cumple con las hipótesis del Teorema 2.1,

entonces el sistema no lineal plano monovariable (2.79) será estable asintóticamente bajo la ley

de control de linealización exacta prealimentada (2.96), tal como se muestra a continuación.

Si se analiza el sistema (2.100) se tiene que:


2. Existe un conjunto acotado 1n+Γ ⊂ , el cual se debe a que las trayectorias deseadas suaves

suficientemente ( )*y t están acotadas, así como sus derivadas. Por lo tanto todos los puntos

en el tiempo de las entradas 1* n+∈Γ = Γ ⊂ξ , y al estudiar los puntos de equilibrio se

obtiene la función diferenciable continuamente 1: n+Γ →σ , la cual está definida por

( )( )1

0

0 0 1

0 ,* *

, , ,

, ,

i i nσ

β

+= ∈ −

= θ θ ,σ ξ ξ

(2.102)

3. Cuando se linealiza en torno de la trayectoria ( e = 0 ) se obtiene una estructura como (2.28),

donde los eigenvalores de esa matriz están dados por las raíces del polinomio siguiente:

( ) 10 1 .n n

n ns s sθ γ γ γ−−℘ = + + + + (2.103)


47

Para determinar si el polinomio (2.103) tiene eigenvalores en el semiplano izquierdo, se

pueden aplicar algunos de los métodos mencionados en [Hagenmeyer y Delaleau 2003c].

Luego, si se cumplen los tres puntos anteriores, se garantiza que las hipótesis del Teorema

2.1 se satisfacen, y por lo tanto:

Existe un ( ) ( ) ( )1 2 10, 0, 0 y ,, eT Tρ δ ρ δ ρ δ> > > ∋ <0

( ) 2

1, 0.*t T

td t

Tτ τ δ

+< ≥∫ ξ

entonces la solución correspondiente e de (2.100) satisface

( ) 0 e ,t t tρ< ≥ (2.104)

Si se aplica el corolario de [Lawrence y Rugh, 1990] en el caso de ( ) , 0* * *y t y t t∞= ∀ > >

implica que el ( )lim 0et t→∞ = y ( )*e t está dentro del dominio de atracción del punto de

equilibrio estable, es decir el sistema (2.79) es estable asintóticamente bajo la ley de

control(2.96), lo cual se enuncia en el siguiente teorema.

Teorema 2.12 [Hagenmeyer y Delaleau, 2003c]. Si el error inicial ( )0e y la velocidad *ξ de la trayectoria deseada *ξ no son muy grandes, entonces el error de seguimiento

aumentado e está acotado uniformemente. Además, si la trayectoria deseada de la salida plana

alcanza el punto dado ( ) ,* *tξ ξ∞= 0*t t∀ > > , entonces el error de seguimiento e converge

exponencialmente a cero.

En este capítulo se presentó el marco conceptual de la metodología de linealización exacta

prealimentada basada en aplanamiento diferencial para el seguimiento de trayectoria. La

estabilidad de este esquema de control se demuestra mediante un análisis de comportamiento de

la ecuación del error de seguimiento cuando se aplica un resultado de estabilidad de Kelemen.

En el capítulo siguiente se aplica esta metodología a sistemas dinámicos no lineales planos

con los temas que se abordaron en este capítulo. Mediante casos de estudios se obtienen los

elementos necesarios para lo que se presenta en el Capítulo 4. En ése capítulo se extiende la

aplicación de la metodología de linealización exacta prealimentada a sistemas dinámicos no

lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica cuando se analiza la robustez de

ésta.


48

49

Capítulo 3

Linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos

En este capítulo se presentan los resultados del estudio realizado a la metodología de

linealización exacta prealimentada que se introdujo en el capítulo anterior. Para esto, se

escogieron, como casos de estudio, sistemas dinámicos que tuvieran la propiedad de

aplanamiento diferencial y a los que se les pudiera aplicar la metodología de linealización exacta

prealimentada. Estos casos de estudio, son sistemas no lineales planos monovariables y

multivariables. Para ambos tipos de sistemas, se analizaron y diseñaron los controladores

prealimentado y retroalimentado para realizar seguimiento de trayectoria. En el caso de sistemas

monovariables con incertidumbre paramétrica, se realizó un análisis de robustez de la

metodología de linealización exacta prealimentada.

Como en todo estudio, primero se partió de lo sencillo hacia lo complejo, es decir se inició

con el caso monovariable sin incertidumbre paramétrica (nominal), luego el caso multivariable

nominal, y por último, el caso monovariable con incertidumbre paramétrica; de esta manera, los

resultados también se presentan en ese orden.

3.1 Sistemas no lineales planos monovariables

En el Capítulo 2 se mostró que mediante linealización exacta prealimentada se puede

desarrollar una ley de control tal que sistemas no lineales planos monovariables realicen

seguimiento de trayectorias deseadas. El diseño de esta ley se basa en la propiedad de

aplanamiento diferencial que posee el sistema, la cual linealiza el sistema exactamente cuando se

encuentra en la trayectoria deseada y la estabiliza alrededor de ella. Además, esta ley de control

consiste de dos partes, una prealimentada y otra retroalimentada.

3 Linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos

50

Dado lo novedoso de linealización exacta prealimentada como metodología de control de

sistemas planos, en esta sección se presenta un estudio de esta metodología cuando se aplica a

sistemas no lineales planos monovariables nominales. Mediante tres casos de estudio se explora

las características de aplanamiento diferencial y linealización exacta prealimentada para obtener

los elementos necesarios de lo que se presenta en el Capítulo 4.

3.1.1 Casos de estudio

Los casos de estudio que se presentan en las secciones siguientes son: un sistema de

levitación magnética, un manipulador de unión flexible y un levitador magnético de orden

reducido.

En el primer caso de estudio, el sistema de levitación magnética, se demuestra que

aplanamiento diferencial linealiza al sistema no lineal de manera diferente a como lo haría la

linealización por retroalimentación estática. La linealización por prealimentación permitió la

implementación de un controlador tipo PID y el diseño, para este caso de estudio, de un esquema

de control diferente a lo propuesto en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a], que realiza el

seguimiento de una trayectoria deseada.

En el segundo caso de estudio, se muestra que, aplicando una prealimentación nominal,

deducida de aplanamiento diferencial, al sistema no lineal plano monovariable, se obtiene una

forma de Brunovský cuando las condiciones iniciales, del sistema y de la trayectoria, son

consistentes. De lo contrario, si éstas no lo son, pero son cercanas, la solución del sistema no

lineal se encuentra en la vecindad de la solución de la forma de Brunovský ya mencionada.

Por último, utilizando el levitador magnético de orden reducido, se exhibe que, para realizar

el seguimiento de una trayectoria deseada mediante linealización exacta prealimentada, se

requiere de controlador prealimentado, el cual hace que el sistema converja a la trayectoria

deseada, y un controlador retroalimentado, que fuerza al sistema a mantenerse en dicha

trayectoria.

En la sección siguiente se presentan los resultados en el orden descrito anteriormente.

3.1.2 Sistema de levitación magnética

Muchos de los sistemas dinámicos físicos son sistemas planos [Fliess et al., 1994], uno de

ellos es el sistema de levitación magnética, el cual se presentó en [Ollervides et al., 2005], y se

muestra en la Figura 4. Mediante este caso de estudio se realizó la primera incursión en la

metodología de linealización exacta prealimentada para el control de sistemas planos.


51

El esquema de control desarrollado para este sistema realiza el seguimiento de una

trayectoria deseada. Sin embargo, como se verá más adelante, este esquema no es el que se

propone en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a]. A continuación se presenta el desarrollo del

esquema de control para este sistema.

Figura 4.- Sistema de levitación magnética

Las ecuaciones que representan la dinámica del sistema de levitación magnética son:

1 3

2 3 12 1 2

1

22

3 212

x xx x xRx x x k u

k x k

kxx gmx

=

= − + +

= − +

(3.1)

donde 1x es la posición de esfera, 2x es la corriente del electroimán y 3x es la velocidad de la

esfera. Los parámetros y , ,R k m g representan: la resistencia del electroimán, la constante de

fuerza del electroimán, la masa de la esfera y la constante gravitacional, respectivamente, cuyos

valores nominales se muestran a continuación:

2

52 2

11 0 068 6 5308 10 9 81, . , . .Nm mR m Kg k y gA s

−= Ω = = × = (3.2)

El sistema (3.1) es plano con la salida plana 1y x= . Ésta parametriza a todas las variables

del sistema como se muestra a continuación:


52

( )

1

2

3

2

x y

m g yx y

kx y

=

−=

=

(3.3)

( )

22

y g yru mk y g yk g y

−= − − −

(3.4)

Con (3.3) y (3.4) se muestra que el sistema (3.1) tiene la propiedad de aplanamiento

diferencial, y que se puede usar dicha propiedad para realizar una planeación de movimiento

(trayectoria de referencia).

En aras de la simplicidad, una trayectoria de referencia (nominal) que lleve al sistema desde

su estado en reposo iy (condición inicial) a su régimen final estacionario fy (condición final),

que inicia en un tiempo 0t y finaliza en un tiempo ft , se puede realizar mediante un polinomio de

Bézier de primer orden (condición inicial cero), el cual se encuentra definido como [Mai et al.,

2006]:

( )2 3

0 03 2*f

t t t ty t yT T

− − = − ∆ ∆ (3.5)

donde [ ]0 1,t t t∈ , ( ) 0*y t = para 0t t< , ( )*fy t y= para ft t> y

0fT t t∆ = − .

El control de este sistema consiste en llevar la posición inicial de la esfera, que se encuentra

a 0 006 m.iy = de la punta del electroimán, a una posición final 0 008 m.fy = . Para esto se

construye una curva algebraica *y mediante una curva de Bézier con esas condiciones. Para ese

comportamiento, la curva de Bézier se construye usando (3.5). Tomando en cuenta la condición

inicial (distinta de cero), se obtiene la regla de correspondencia siguiente:

( )

0

2 3

0 003 2*

,

,

,

i

f i f

f f

y t t

t t t ty t y y t t tT T

y t t

≤

− − = − + < < ∆ ∆ ≥

(3.6)

donde [ ]0 1,t t t∈ , f f iy y y= − , 0fT t t∆ = − .


53

El sistema de levitación magnética es un sistema rápido relativamente, por lo que una curva

de Bézier que realice esa trayectoria, se encuentra dentro del comportamiento natural del sistema.

Por lo tanto, la curva de Bézier se construye desde un tiempo inicial 0 0 5.t = s. a un tiempo final

2 5.ft = s. Y, utilizando (3.6) la regla de correspondencia de la trayectoria nominal a seguir es:

( )2 3

0 006 0 5

0 5 0 50 002 3 2 0 006 0 5 2 5

2 2

0 008 2 5

*

. , .

. .. . , . .

. , .

t

t ty t t

t

≤

− − = − + < <

≥

(3.7)

cuya gráfica se muestra en la Figura 5 (En el Apéndice A.1 se presenta el esquema y códigos de

programación desarrollados para la simulación de este caso de estudio, con los que se obtuvieron

las figuras de esta sección).

Figura 5.- Trayectoria nominal del levitador magnético.

A continuación se presenta la ley de control que se diseñó para este caso de estudio.

Diseño de la ley de control

El sistema (3.1) es plano, y por lo tanto se puede utilizar a (3.4) para diseñar el controlador

nominal prealimentado ( )*t u t para la trayectoria nominal ( )*t y t , el cual se muestra a

continuación (ver Sección 2.4):

( )

22

* ** * *

*

y g yru mk y g yk g y

− = − − −

(3.8)

Sin embargo, un controlador prealimentado no es suficiente si el sistema es inestable o si se

encuentre en un ambiente susceptible a ruido o a perturbaciones que alteren el comportamiento

0 0.5 1 1.5 2 2.5 35.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5x 10

-3

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)

Curva de Bezier


54

natural del sistema. Si éste es el caso, el controlador prealimentado no detectará ningún cambio

en el comportamiento del sistema, por lo tanto, no toma ninguna acción correctiva. Debido a esto,

se requiere de un controlador retroalimentado que estabilice las desviaciones que se presenten en

un comportamiento deseado.

En la Figura 6 se muestra que, aplicando sólo la prealimentación (3.8) al sistema, éste no

realiza el seguimiento de la trayectoria nominal que se presentó en la Figura 5. Por lo que, el

control prealimentado, deducido de aplanamiento diferencial, no es suficiente para realizar el

seguimiento de la trayectoria nominal. Esto se traduce en lo siguiente: cuando el controlador

prealimentado intenta hacer el seguimiento de trayectoria, la acción de éste no es suficiente para

mantener al sistema en dicha trayectoria. Y en el caso del sistema de levitación magnética,

significa que la esfera es atraída completamente por el electroimán. Es decir, la fuerza magnética

del electroimán que se manipula mediante el voltaje en su bobina, y que éste a su vez, se

modifica por el control prealimentado, no es la adecuada para mantener a la esfera en la posición

deseada.

Figura 6.- Seguimiento de trayectoria del sistema inestable usando sólo un control prealimentado.

Por esta razón, se necesita un controlador retroalimentado. En este caso, se utilizó un

controlador lineal tipo PID, cuya estructura es:

1

11

1 s

NP I Ds N

+ + +

(3.9)

donde P es la parte proporcional, I es la parte integral, D es la parte derivativa y N es un

coeficiente de filtro. El esquema de control desarrollado para este caso de estudio se muestra en

la Figura 7.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 35.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5x 10

-3

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)

Seguimiento de trayectoria

Trayectoria nominalposición de la esfera


55

Figura 7.- Diagrama de bloques del esquema de control implementado en el sistema de levitación magnética.

Por simplicidad, este controlador fue sintonizado con la herramienta “tune” del bloque PID de

SIMULINK®. Los valores del PID sintonizado se muestran en la tabla siguiente:

Tabla 1.- Valores de los parámetros del PID sintonizado.

Parámetro P I D N

Valor -12186.654301 2.681791 0.013594 36405.256439

Como se observa en la Tabla 1, la magnitud de la parte proporcional del controlador es alta.

Esto se debe a que el valor numérico de la señal retroalimentada, que corresponde a la posición

de la esfera (mm), se encuentra en el orden de 310− ; y el valor numérico de la señal que entrega el

controlador, que corresponde al voltaje del electroimán (V), se encuentra en el orden de las

unidades; entonces la relación entre ambas señales está en el orden de 310 . Según (3.9), Nespecífica el coeficiente de filtro de la acción derivativa, la magnitud de éste es grande para

permitir que el controlador tenga acción sobre el sistema en frecuencias altas, lo cual se debe a

que el sistema físico es rápido relativamente. Las ganancias de este controlador se consideraron

para contrarrestar las desviaciones de la trayectoria deseada.

Figura 8.- Seguimiento de trayectoria utilizando un control prealimentado más un retroalimentado.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 35.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5x 10

-3

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)


Trayectoria nominalPosición de la esfera


56

En la Figura 8, se muestra que, al usar un control prealimentado basado en aplanamiento

diferencial (3.8) y un control retroalimentado lineal tipo PID (3.9), con el esquema de control que

se muestra en la Figura 7 se realiza un buen seguimiento de la trayectoria nominal. Sin embargo,

aunque este esquema de control es capaz de realizar el seguimiento de una trayectoria deseada,

no es el propuesto en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003a].

Recordando lo que se mostró en el Capítulo 2, el esquema de control de linealización

exacta prealimentada se muestra en la Figura 9, y éste es diferente al que se desarrolló con

anterioridad. Sin embargo, por la propiedad de aplanamiento diferencial que tiene el sistema, el

desarrollo de este esquema de control realiza el seguimiento de trayectoria. Esto se debe a que

este esquema de control es equivalente al de la linealización por retroalimentación estática.

Figura 9.- Esquema de control de linealización exacta prealimentada.

Una idea intuitiva de lo expuesto anteriormente se debe a que, el control prealimentado,

deducido de aplanamiento diferencial, mediante un cambio de coordenadas espacial y temporal,

linealiza al sistema en lazo abierto, el cual sería equivalente a la linealización por

retroalimentación del estado. Luego, en ambos casos, el control retroalimentado actúa sobre un

“sistema lineal” (ver [Nieuwstadt et al., 1994], [Sira-Ramírez y Agrawal, 2004], [Lévine, 2009],

[Lévine, 2010]).

En el sistema de levitación magnética se utilizó el control prealimentado, deducido de

aplanamiento diferencial, para “transformar” el sistema no lineal plano a un sistema lineal, y

luego, un control retroalimentado para realizar el seguimiento de trayectoria. Sin embargo, el

poder de aplanamiento diferencial es precisamente lo contrario, no transformar sistemas no

lineales en lineales mediante un cambio de coordenadas y una retroalimentación [Martin et al.,

1997].


57

Una segunda excursión a linealización exacta prealimentada, se realiza mediante otro caso

de estudio, un manipulador de unión flexible. Mediante éste sistema, se muestran algunas de las

propiedades de linealización exacta prealimentada. Las cuales se presentan a continuación.

3.1.3 Manipulador de unión flexible

Considere el siguiente sistema no lineal plano monovariable, un manipulador de unión

flexible de un solo eslabón, cuyas ecuaciones diferenciales son las siguientes [Sira-Ramírez y

Agrawal., 2004]:

( ) ( )

( )

1 2

2 1 1 3

3 4

4 1 3

sin

1

x xmgL kx x x x

I Ix x

kx x x uJ J

=

= − − −

=

= − +

(3.10)

Donde 1x es la posición angular del eslabón, 2x su velocidad angular, 3x es la posición

angular del eje del motor y 4x su velocidad correspondiente. La entrada de par se denota por u .

La flexibilidad de la articulación se modela como un resorte de torsión lineal con coeficiente de

rigidez k . Los parámetros físicos del sistema y , , ,m g l I J son: la masa del eslabón, la

aceleración de la gravedad, la longitud del eslabón, su momento de inercia, y el momento de

inercia del motor, respectivamente. Cuyos valores nominales son:

2

2

2

0 4 , 0 185 , 0 002 ,

9 81 , 0 0059 y 1 61

. . .

. . .

msm Kg L m J Nrad

m ms msg I N k Ns rad rad

= = =

= = =

El sistema es plano diferenciablemente con la salida plana 1y x= , la posición angular del

eslabón, la cual parametriza diferencialmente todas las variables del sistema como:

( )

( )

1

2

3

4

sin

1cos

x yx y

I mglx y y yk I

mglx y y y yk I

=

=

= + + = + +

(3.11)


58

( ) ( ) ( )( ) ( )4 2cos sin sinI mgl mglu J y y y y y y I y yk I I

= + − + + + (3.12)


diferencial, y que se puede usar dicha propiedad para realizar una planeación de movimiento

(trayectoria de referencia).

La posición del eslabón se rige por un motor de CD, por lo tanto, es un sistema

relativamente rápido. Entonces, se puede garantizar un comportamiento natural del sistema si se

construye una curva de Bézier que inicie en la posición de reposo (0°), y que finalice en su

régimen final (90°= 2π rad.) en un tiempo de dos segundos. Por lo tanto, la trayectoria nominal se

puede construir mediante un polinomio de Bézier de primer orden, desde un tiempo inicial 0 1t =

s. a un tiempo final 3ft = s., el cual se encuentra definido como [Mai et al., 2006]:

( )2 3 2 3

0 0

0 0

1 13 2 3 2

2 2 2 2*

f f

t t t t t ty tt t t t

π π − − − − = − = − − −

(3.13)

cuya gráfica se muestra en la Figura 10 (En el Apéndice A.2 se presenta el esquema y códigos de

programación desarrollados para la simulación de este caso de estudio, con los que se obtuvieron

las figuras de esta sección).

Figura 10.- Trayectoria nominal a seguir.

Ahora, sólo falta diseñar el controlador que permita el seguimiento de trayectoria. A

continuación se muestran algunas de las características que tiene el controlador prealimentado,

basado en aplanamiento diferencial.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tiempo (s)

Pos

ició

n

Trayectoria nominal


59

Control prealimentado

El sistema (3.10) es plano, y por lo tanto se puede utilizar a (3.12) para diseñar el

controlador prealimentado nominal ( )*t u t para la trayectoria nominal ( )*t y t , que se

muestra a continuación:

( ) ( ) ( )( ) ( )24 cos sin sin* * * * * * * * *I mgl mglu J y y y y y y I y yk I I

= + − + + + (3.14)

Este controlador, pareciera ser suficiente para realizar un buen seguimiento de la trayectoria

deseada, tal como se muestra en la Figura 11. Sin embargo, como se observa en la Figura 12,

indica lo contrario, esto se debe a que el sistema (3.10) es inestable, y un control prealimentado

no puede estabilizar a un sistema inestable, es decir, sin haber una retroalimentación, el control

prealimentado no tiene conocimiento del comportamiento del sistema y por lo tanto no puede

tomar acciones correctivas para estabilizarlo.

Figura 11.- Efecto del control prealimentado.

Figura 12.- Seguimiento de trayectoria con condición

inicial consistente.

Aunado a lo anterior, cuando la condición inicial no es consistente con la condición inicial

de la trayectoria nominal, entonces hay una solución del sistema en una vecindad tubular plana en

torno a la trayectoria nominal, como se muestra en la Figura 13.

Con los resultados que se obtuvieron en este sistema dinámico se concluye que: aplicando

una señal prealimentada, deducida de aplanamiento diferencial, al sistema no lineal plano, cuando

las condiciones iniciales, de la trayectoria nominal y del sistema, no son consistentes, el

comportamiento del sistema se encuentra en la vecindad de la trayectoria nominal. Además, la

solución del sistema que se encuentra en dicha vecindad es válida en un intervalo de tiempo. Este

intervalo se encuentra acotado debido a la inestabilidad estructural de este sistema plano. Y, la

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tiempo (s)

Pos

ició

n de

l esl

abón

(x1)

Posición del eslabónTrayectoria nominal

0 1 2 3 4 5 6 7 80

2

4

6

8

10

12

Tiempo (s)

Pos

ició

n de

l esl

abón

(x1)

Seguimiento de trayectoria con condición inicial consistente

Posición del eslabónTrayectoria nominal


60

longitud del intervalo se reduce cuando la diferencia entre las condiciones iniciales, de la

trayectoria nominal y del sistema, se incrementan (ver Sección 2.4).

Figura 13.- Seguimiento de trayectoria con diferentes condiciones iniciales

A continuación, con los resultados obtenidos anteriormente, se presenta la metodología de

linealización exacta prealimentada para un sistema no lineal plano monovariable, un levitador

magnético de orden reducido. En la siguiente sección, se desarrolló un esquema de control que

realiza seguimiento de trayectoria, el cual está basado en linealización exacta prealimentada.

3.1.4 Levitador magnético de orden reducido

En aras de la simplicidad, se presenta un levitador magnético, cuyo modelo de orden

reducido es [Hagenmeyer y Delaleau, 2003b]:

1 2

2

21

x x

k ix gm c x

=

= − −

(3.15)

donde 1x y 2x denota la posición y la velocidad de la esfera respectivamente, la entrada i es la

corriente eléctrica del electroimán, y los parámetros físicos son: m es la masa de la esfera, g es

la gravedad, k es una constante de construcción del electroimán y c es el intersticio nominal,

cuyos valores nominales se muestran a continuación:

3

2 2 20 0844 , 58 042 , 981 y 0 5 . . .cm Kg cmm Kg k g c cm

A s s= = = = (3.16)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tiempo (s)

Pos

ició

n de

l esl

abón

(rad

)

Seguimiento de trayectoria a diferentes condiciones iniciales

Trayectoria nominalCI=1.6CI=-1.6CI=0.05


61

El sistema (3.15) es plano, con la salida plana 1y x= . Ésta parametriza diferencialmente a

todas las variables del sistema como:

1

2

x yx y

=

= (3.17)

( ) ( )mi c y y gk

= − + (3.18)


diferencial. Y por lo tanto, para una trayectoria deseada ( )*t y t , se puede utilizar a (3.18)

para construir el control prealimentado nominal ( )*t i t :

( ) ( )* * *mi c y y gk

= − +

. (3.19)

Por otro lado, mediante el difeomorfismo6

( ) 1 1

2 2

xyx

xyξξ

= Φ = = =

ξ

(3.20)

el sistema (3.15) se puede llevar a la forma normal siguiente

1 2

2

21

k i gm c

ξ ξ

ξξ

=

= − −

.

(3.21)

Aplicar la prealimentación (3.19) al sistema no lineal plano (3.15) es equivalente a aplicar *i de (3.19) a (3.21), lo que resulta en una forma canónica controlable, es decir, una forma de

Brunovský lineal monovariable:

1 2

2 2*y

ζ ζ

ζ ξ

=

= =

(3.22)

Tomando en cuenta los resultados de la Sección 2.4 del capítulo anterior, la ley de control

de linealización exacta prealimentada consta de dos partes, una prealimentada y otra

retroalimentada que toma en cuenta el error de seguimiento. La cual se muestra en la sección

siguiente.

6 Note que el difeomorfismo se construye con la salida plana y un número finito de sus derivadas sucesivas con respecto al tiempo (ver[Hagenmeyer y Delaleau, 2003a], [Charlet et al., 1989])


62


La metodología de linealización exacta prealimentada no linealiza al sistema como lo haría

la linealización por retroalimentación. Además, esta metodología linealiza al sistema exactamente

por prealimentación cuando se encuentra en la trayectoria deseada y la estabiliza alrededor de

ella. Por lo tanto, la ley de control consiste de una parte prealimentada y otra retroalimentada. La

combinación de ambas, establece la estructura de la ley de control siguiente.

En (3.22) se observa que, sustituyendo el término 2*ξ por v , se obtiene una forma de

Brunovský, es decir,

11

22

0 1 0

0 0 1v

ζζζζ

= +

(3.23)

donde v juega el rol de la entrada a la forma de Brunovský (3.23), la cual se diseña como:

( )2 ev ξ= + Λ . (3.24)

Entonces, la estructura de control resulta en

( ) ( )( )2* * * *, , ei vψ ξ ψ ξ ξ= = + Λ (3.25)

es decir, tomando en cuenta (3.24), (3.23) y (3.19):

( ) ( )( )1 2* * * ei

mc gk

ξ ξ= − + Λ +

. (3.26)

Para la parte retroalimentada, el controlador puede ser de cualquier tipo. En esta

investigación se considera del tipo PID, el cual se muestra en la sección siguiente:

Control PID extendido

Si se utiliza un controlador tipo PID extendido para la parte retroalimentada, entonces

( )eΛ se puede escribir como:

( )1

0

1 1,k

i ii

e e k nλ+

=

Λ = = − =∑ (3.27)

donde:

( )0 10: , 1 2 , : .* ,

ti i ie i e e dξ ξ τ τ= − ∈ = ∫ (3.28)

y las , 0 1 2, ,i iλ ∈ son las ganancias del controlador PID (ver Sección 2.4.3).


63

Para estudiar el comportamiento del sistema no lineal plano monovariable bajo la ley de

control (3.26) (control prealimentado en conjunto con el control retroalimentado) en la vecindad

de la trayectoria deseada, se requiere obtener la dinámica del error de seguimiento. Ésta se

muestra en la sección siguiente.

Estructura de la dinámica del error de seguimiento

Aplicando la ley de control (3.26) al sistema no lineal plano (3.15) se obtiene

( ) ( )( )

1 2

2

1 2

21

* * emc gkk g

m c

ξ ξ

ξ ξξ

ξ

=

− + Λ + = − −

.

(3.29)

Entonces, utilizando (3.29) y (3.28) se obtiene la dinámica del error de seguimiento

siguiente:

( )( )( )

0 1

1 2

22

1

2 2 220

1 1

** *

*j j

j

e ee e

ce e g g

c e

ξξ λ ξ

ξ =

=

=

− = + + − −

− +∑

(3.30)

donde [ ]T

0 1 2, , e e e e= .

Luego, el sistema linealizado entorno a la trayectoria deseada ( 0e = ) está dado por (ver

Sección 2.4.2):

1 2 3

0 1 0

0 0 1e eδ δ

γ γ γ

=

(3.31)

donde:

( )

2

0

2

1

2

2

1 00

2

2 10

1

3 20

2

e

*

*e

e

ee

ee

ee

gc

γ λ

ξγ λ

ξ

γ λ

∂∂ =

∂∂ =

∂∂ =

= =

+= = +

−

= =

(3.32)


64

De (3.32) se observa que las ganancias del controlador PID extendido influyen en el

comportamiento de la dinámica del error de seguimiento. Luego, si éstas se seleccionan

adecuadamente, se puede garantizar estabilidad al hacer que esta dinámica converja a cero, y por

lo tanto, se realice un seguimiento de trayectoria.


El control de este sistema consiste en llevar la posición inicial 0P de la esfera, que se

encuentra a 0.35 cm de la punta del electroimán en el tiempo 0 0t = s., a una posición final fP que

se encuentra a distancia de 0.15 cm en el tiempo 0 8.ft = s. El punto de referencia es la cara

inferior del electroimán, las distancias medidas debajo de éste se consideran negativas. Se puede

utilizar una curva de Bézier con la regla de correspondencia siguiente para construir una curva

algebraica *y que cumpla con las condiciones anteriores [Sederberg, 2011]:

( )

0 0

00

0 0 0

n i in

fi f

i f f

f f

P t t

t tn t tP t P t t ti t t t t

P t t

−

=

≤

− −= < < − −

≥

∑ (3.33)

Entonces, para una curva de Bézier de orden 10n = , la regla de correspondencia para la

trayectoria nominal ( )*t y t es

( )10

0

-0.35, 0

10 0 8, 0 0 8

0 8 0 8

-0.15, 0 8

. .. .

.

n i i

ii

t

t tP t P ti

t

−

=

≤

− = < <

≥

∑ (3.34)

donde 0 35, 0, ,4.iP i= − ∈ , 5 0 10.P = − y 0 35, 6, ,10.iP i= − ∈ . Y cuya gráfica se muestra

en la Figura 14. En esta figura también se muestra la gráfica de la primera y segunda derivada

temporal de la salida plana, así como los máximos y mínimos de dichas derivadas. Estos puntos

(máximos y mínimos) son cruciales en el momento de diseñar el controlador retroalimentado que

permitirá el seguimiento de trayectoria, como se mostrará más adelante. (En el Apéndice A.3 se

presenta el esquema y códigos de programación desarrollados para la simulación de este caso de

estudio, con los que se obtuvieron las figuras de esta sección).


65

Figura 14.- Gráfica de la salida plana y sus derivadas hasta el segundo orden

Cómo se ha repetido a lo largo de este trabajo, un controlador prealimentado no es capaz de

realizar el seguimiento de trayectoria si el sistema a controlar es inestable. Por lo que, en la

Figura 15 se muestra que el control prealimentado puro deducido de aplanamiento diferencial no

es suficiente para realizar un buen de seguimiento de trayectoria.

Figura 15.- Seguimiento de trayectoria utilizando sólo el control prealimentado.

Por lo anterior, se requiere el uso de un controlador retroalimentado que otorgue estabilidad

al sistema y además permita el seguimiento de trayectoria. En la siguiente sección se presenta la

metodología para la selección de las ganancias del controlador retroalimentado tipo PID que

garantice la estabilidad del sistema no lineal plano.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Tiempo (s)

Derivadas de la salida plana

Salida plana1a. derivada2a. derivada

max(ξ´1=ξ2)=0.6152

min(ξ´2)=-2.929

max(ξ´´1=ξ´2)=2.929

ξ1(1)=-0.15ξ1(0)=-0.35

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

Tiempo (s)

Pos

ició

n (c

m)


Posición de la esferaTrayectoria nominal


66

Estabilidad

De acuerdo con las secciones anteriores, seleccionando apropiadamente las ganancias del

controlador retroalimentado se puede garantizar la estabilidad del sistema no lineal plano

monovariable.

Para que se garantice estabilidad, se necesita que el polinomio característico de (3.31)

( )23 2

2 1 01

2 * gs s s

cξ

λ λ λξ

+ − − + − −

(3.35)

tenga eigenvalores con parte real negativa.

Para lograr lo anterior, los coeficientes se deben escoger de tal manera que para todo

tiempo se cumpla la siguiente condición (Criterio de Routh-Hurwitz)

( )2

0 1 21

20 0 y 0

*

,g

cξ

λ λ λξ

+< + < <

−

(3.36)

Sin embargo, analizando la estructura del controlador retroalimentado, se observa que su

polinomio característico es (ver las expresiones (3.27), (3.28) y (3.30), además de la Sección

2.4.3):

( ) 20 2 1 0p s s sλ λ λ= + + (3.37)

Por lo tanto, la selección de los coeficientes de , 0 1 2, ,i iλ ∈ se realizó de tal manera que

el polinomio (3.37) tuviera una frecuencia natural no amortiguada de 15 radsnω = y un factor de

amortiguamiento 2 5.ζ = . Con éstas condiciones, se garantiza que los polos de (3.37) tienen

parte real negativa, es decir, se encuentran en

71 8693 y 3 1307. .− − , (3.38)

y se cumple con el criterio de Routh-Hurwitz. Por lo tanto, una posible selección de las ganancias

del controlador retroalimentado sería

0 1 2900, 300, 4.λ λ λ= − = − = − (3.39)

Sin embargo, estas ganancias no permiten el seguimiento de trayectoria. La razón de esto es que

no se cumple las tres condiciones de (3.36), es decir, se cumplen las condiciones uno y tres, pero

no la dos. De la Figura 14 se observa que 2981g ξ=

. Además, 10 5. ξ− siempre será positivo

mayor que cero y menor que 0.5. Entonces, se tiene que


67

( )2

1

2 981300 0

0 5

*

.ξ

ξ

+− >

−

, (3.40)

y por lo tanto, las ganancias (3.39) no permite el seguimiento de trayectoria.

Por otro lado, otra posible selección de las ganancias del controlador retroalimentado es:

0 1 290000, 30000, 400.λ λ λ= − = − = − (3.41)

Con estas ganancias se tiene que los polos de (3.37) son iguales que en (3.38), y cumple

con las condiciones (3.36) para todo tiempo. De hecho, con estas ganancias se tiene que los

eigenvalores de la matriz (3.31), cuando 0ξ = , son:

1

2

3

296 553

100 4249

3 022

.

..

ppp

= −

= −

= − (3.42)

Desde un punto de vista físico, el levitador magnético es un sistema rápido relativamente,

por lo tanto el controlador retroalimentado también lo debe de ser para contrarrestar las

desviaciones que el sistema pueda presentar, por lo que las ganancias de éste deben ser grandes,

tal como el análisis matemático lo muestra.

Por lo tanto, se concluye que, cuando se le aplica la señal de control

( )2

1 20

* * *i i

i

mi c e gk

ξ ξ λ=

= − + +

∑ (3.43)

al sistema (3.15), éste es estable asintóticamente.

En la Figura 16 se muestra que, utilizando linealización exacta prealimentada, se realiza el

seguimiento de trayectoria cuando las condiciones iniciales, del sistema de y la trayectoria

nominal, son consistentes. Además, se muestra que cuando la condición inicial del sistema

( )0 33 cm. y 0 37 cm.. .− − se encuentra en una vecindad de la condición inicial de la trayectoria

nominal ( )0 35 cm..− , se realiza un buen seguimiento de la trayectoria.

Con este caso de estudio, se exhibe que la ley de control que se diseña mediante la

metodología de linealización exacta prealimentada, permite realizar seguimiento de trayectoria

aun cuando la condición inicial de esta trayectoria deseada no sea consistente con la del sistema

no lineal plano. Además, se mostró que este sistema es estable asintóticamente bajo esta ley de

control.


68

Figura 16.- Seguimiento de trayectoria con la ley de control (3.43)

Como el objetivo de la tesis es extender la metodología de linealización exacta

prealimentada a un sistema dinámico multivariable con incertidumbre paramétrica, se requiere

estudiar los resultados que se obtienen cuando se emplea linealización exacta prealimentada en

sistemas planos multivariables nominales. Por esta razón, a continuación se muestra la aplicación

de esta metodología en el caso de sistemas con múltiples entradas y salidas. Esta es parte de los

elementos necesarios para desarrollar lo que se presenta en el Capítulo 4.

3.2 Sistemas no lineales planos multivariables

En la sección anterior se demostró que un sistema no lineal plano monovariable, un

levitador magnético de orden reducido, es estable asintóticamente bajo la ley de control basada en

linealización exacta prealimentada, la cual consta de dos partes: una prealimentada basada en

aplanamiento diferencial, y otra retroalimentada que toma en cuenta el error de seguimiento.

Luego, si se puede ver a un sistema no lineal plano con m entradas y salidas, como m sistemas

monovariables, entonces, en este contexto se puede extender la metodología de control de

linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos monovariables a sistemas

multivariables, como se mostrará en las secciones siguientes.

En esta sección se presenta un estudio de la metodología de linealización exacta

prealimentada cuando se aplica a sistemas no lineales planos multivariables nominales. Mediante

dos casos de estudio, se exploran las características del esquema de control de linealización

exacta prealimentada para sistemas multivariables. Los resultados que se obtienen con estos casos

de estudio, representan algunos de los elementos necesarios para lo que se presenta en el

Capítulo 4.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

Tiempo (s)

Pos

ició

n (c

m)


C.I. consisteCI=0.33CI=0.37


69


Los casos de estudios que se presentan en las secciones siguientes son: un sistema

académico y un rodamiento magnético. Con el primero de éstos, se realizó la primera incursión a

la metodología de linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales multivariables. En

ésta se exhibe el desarrollo del esquema de control de linealización exacta prealimentada, con la

cual se realiza el seguimiento de una trayectoria deseada.

Mediante el segundo caso de estudio, el rodamiento magnético, se demuestra que la

metodología de linealización exacta prealimentada se puede aplicar a sistemas físicos reales que

se puedan modelar como en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003b]. Con los resultados que se

obtuvieron con estos casos de estudio, se recopiló la información necesaria para lo que se

desarrolla en el Capítulo 4.

3.2.2 Sistema académico

El uso de un sistema académico es muy útil. A través de éste se pueden mostrar las

características de la metodología de linealización exacta prealimentada para el caso multivariable.

Con éstas se pudo examinar la posibilidad de extender esta metodología a sistemas multivariables

con incertidumbre paramétrica.

A continuación se presenta el sistema académico siguiente:

( )1 2 2 11

2 2 3 3 1 1

3 3 2 2

1x x u

x x x ux x u

θθθ θθ

= −

= −

= +

(3.44)

donde el estado 3x ∈ , la entrada 2u ∈ y 1 2 3, ,θ θ θ son los parámetros del sistema, los

cuales, en este caso, son invariantes y conocidos en el tiempo. Este sistema académico se

construyó de tal manera que tuviera la propiedad de aplanamiento diferencial, que sus variables

de estado no estuvieran muy acopladas y que tuviera características similares a los sistemas

dinámicos presentados anteriormente. Además, con el objetivo de utilizar este sistema para

cumplir el objetivo de esta tesis, se consideraron tres parámetros que cumplieran con las

siguientes características: que los parámetros estén multiplicando/dividiendo a las variables de

estado y éstas últimas multipliquen a las componentes de la entrada, así como una sustracción de

una variable del estado a un parámetro del sistema.


70

El sistema (3.44) es un sistema plano, cuyas salidas planas son [ ]1 2 1 1 1 2, ,, ,TTZ x x ξ ξ = = .

Las cuales parametrizan diferencialmente a todas las variables del sistema como:

1 1 1

2 1 2

3 1 2 3 1 1 12

1

,

,

, ,

xx

x u

ξ

ξ

ξ θ ξθ

=

=

= −

(3.45)

1 1 1 3 31 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1

2 2 1 2 2 2

1 y ,

, , , ,,

u u u uθ ξ θ θ

ξ ξ ξ θ ξθ ξ θ θ θ

= = + + −−

(3.46)

Con (3.45) y (3.46) se demuestra que el sistema (3.44) tiene la propiedad de aplanamiento

diferencial. Y por lo tanto, se puede utilizar a (3.46) para construir el control nominal siguiente:

( )

1 1 1 3 31 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1

2 2 1 2 2 2

1 1 2 1 1 11 1 2

2 2 12 2 1

1,

y

*,* * * * * * * *

, , , ,*,

* * *, , ,*

**,,

u u u u

u

θ ξ θ θξ ξ ξ θ ξ

θ ξ θ θ θ

ξ ξ ξθ

θ ξθ ξ

= = + + −−

= + −−

(3.47)

Además, se puede construir un difeomorfismo, tal como se muestra a continuación

1 1 1

2 1 2

2 1 2 3 3 1 1 1

,

,

, ,

xx

x u

ξξξ θ θ ξ

= = −

ξ

(3.48)

con el cual, el sistema (3.44) se puede llevar a la forma normal siguiente:

( )1 1 2 2 11

2 1 2 2

2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1

1,

, ,

, , , ,

x u

u u u

ξ θθ

ξ ξ

ξ θ θ ξ θ θ ξ ξ

= −

=

= + − −

(3.49)

La aplicación del control prealimentado nominal (3.47) al sistema no lineal plano (3.44) es

equivalente a la aplicación de (3.47) a (3.49), con la cual se obtiene una forma de Brunovský, tal

como se muestra a continuación:

1 1 1 1

2 1 2 2

2 2 2 2

*, ,

, ,

*, ,

ζ ξ

ζ ζ

ζ ξ

=

=

=

(3.50)


71

Tomando en cuenta los resultados de la Sección 2.5 del capítulo anterior, la ley de control

de linealización exacta prealimentada consta de dos partes, una prealimentada y otra

retroalimentada que toma en cuenta el error de seguimiento. La cual se muestra en la sección

siguiente.


Cómo se observó en la sección anterior, aplicando una prealimentación nominal, deducida

de aplanamiento diferencial, se obtiene una forma de Brunovský multivariable. De (3.50) se

observa que los términos 1 1*

,ξ y 2 2*

,ξ juegan el rol de la entrada de aquella, por lo tanto,

sustituyendo estos términos por 1v y 2v , respectivamente, la nueva entrada de control se diseña

como:

( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 y * *, ,e ev vξ ξ= + Λ = + Λ . (3.51)

Entonces, la estructura de control resultante es la siguiente:

( )( ) ( )( )1 1 1 3 3

1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1

2 2 1 2 2 2

1

2

1 y

*,* * * * * *

, , , ,*,

eeu u u u

θ ξ θ θξ ξ ξ θ ξ

θ ξ θ θ θ

+ Λ= = + Λ + + −

−

(3.52)

Para la parte retroalimentada, es decir, para ( ) , 1 2e ,i iΛ ∈ , el controlador es de tipo PID

extendido, y su diseño se muestra en la sección siguiente.

Control PID extendido

Si se utiliza un controlador PID en torno a la trayectoria deseada, entonces

( ) , 1 2e ,i iΛ ∈ se puede escribir como:

( ) ( )1 2

1 1 1 1 2 2 2 20 0

, ,, , , , , ,e ej j j jj j

e eλ λ= =

Λ = Λ =∑ ∑ (3.53)

donde el error de seguimiento aumentado 1 0 1 1 2 0 2 1 2 2, , , , ,, , , ,T

e e e e e e = está definido por

( ) 1 1 1 0 1 2 2 2 2 2 20 1 2 y * *

, , , , , , , ,, , ,t

i i i i ie e e d i eξ ξ τ τ ξ ξ= − = ∈ = −∫ (3.54)

Para estudiar el comportamiento del sistema no lineal plano multivariable bajo la ley de

control (3.52) en la vecindad de la trayectoria deseada, se requiere obtener la dinámica del error

de seguimiento. Ésta se muestra en la sección siguiente.


72

Estructura de la dinámica del error de seguimiento

Considerando la aplicación de la ley de control (3.52) al sistema (3.44), la dinámica del

error de seguimiento se puede obtener como:

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 12 2 1

2 1 2 2

2 2 2 2 2 2 0 2 0 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 3 2 2 1 2 3 2 1 2 1

1 1 2 13 1 2 1 2 1

1* * *, , , , , , , , , , ,*

,

, ,

* * * * * * *, , , , , , , , , , , , , , , ,

* *, ,*

, ,

e e e e

e e

e e e e u u e

e

θ ξ ξ λ λ ξθ ξ

ξ λ λ λ θ ξ ξ θ θ ξ θ θ ξ

ξ ξθ ξ θ

= − + + + −

− =

= + + + + + − + +

− +

( )( )1 1 1 1 1

1 1 1 1 2 2202 2 1 2 2 12 2 1

* *, ,* *

, , ,* **, ,,

eξ θ ξ

ξ ξθ ξ θ ξθ ξ

+ − + − − −−

(3.55)

Y, la linealización tangencial de (3.55) en torno a la trayectoria deseada está dada por

1 1 0 1 1 1 1 2 1

2 1 1 2 2 0 2 2 1 2 2 2

0 1 0 0 0

0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0

, , , , , ,

, , , , , , , ,

e eδ δ

γ γ γ

γ γ γ γ

=

(3.56)

1 11 1 0 1 1 0 1 2 1 2 2 0 2 2 00

2 2 1

1 11 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 2 10

2 2 1

2 2 2 2 2 2

*,

, , , , , , , , , ,*,

*,

, , , , , , , , , ,*,

, , , ,

ξγ λ γ γ λ

θ ξ

ξγ λ γ γ θ θ λ

θ ξ

γ λ

= = =−

= = − = +−

=

. (3.57)

De las consecuencias de la Hipótesis H3, invocando el Teorema de Harman-Grobman, que se

discutieron en las Secciones 2.3.1 y 2.4.4 del Capítulo 2, la linealización tangencial (3.56) exhibe

el mismo comportamiento cualitativo que el de la dinámica del error de seguimiento en torno a la

trayectoria deseada, es decir, en el punto de equilibrio ( )e = 0 .

De (3.57) se observa que las ganancias de los controladores PID extendidos influyen en el

comportamiento de la dinámica del error de seguimiento. Por lo tanto, si estas ganancias se

seleccionan adecuadamente, se puede garantizar la estabilidad del sistema no lineal plano. A

continuación se presenta la manera cómo se seleccionan las ganancias de los controladores PID

para que se garantice la estabilidad del sistema no lineal plano y, en consecuencia, se realice el

seguimiento de la trayectoria deseada.


73

Estabilidad

Como se mencionó anteriormente, al seleccionar apropiadamente las ganancias de los

controladores retroalimentados se puede garantizar la estabilidad del sistema no lineal plano, y

por lo tanto, que éste realice el seguimiento de una trayectoria deseada.

De acuerdo a la metodología que se presentó en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003b], para el

diseño de los controladores retroalimentados tipo PID, se desacopla el sistema del error de

seguimiento, es decir, los términos 1 2 1 2 2 1 y , , , ,γ γ se anulan. Con esta consideración, el polinomio

característico de (3.56) es

( ) ( ) ( )2 3 21 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 1 2 2 0, , , , , , , , , ,P s s s s s sγ γ γ γ γ= − − × − − − . (3.58)

Y, para garantizar la estabilidad, dicho polinomio debe tener eigenvalores con parte real negativa.

Luego, los coeficientes de los , ,i j kγ , 1 2 y 0 1 2, , , ,i j k∈ ∈ se escogieron de tal forma que

para todo tiempo, el polinomio (3.58) tuviera eigenvalores con parte real negativa, considerando

(3.57). Se seleccionaron las ganancias del controlador PID extendido para garantizar la

estabilidad del sistema. Para esto, se necesitó que se cumplieran las condiciones siguientes

(criterio de Routh-Hurwitz):

1 1 0 1 1 1 2 2 0 2 2 1 2 3 2 2 20 0 0 y 0., , , , , , , , , ,, , ,λ λ λ λ θ θ λ< < < < − < (3.59)

Por otra parte, considerando a (3.53), se tiene que los polinomios característicos de los

controladores PID son:

( )1PID 1 1 1 1 1 0, , , ,P s sλ λ= + (3.60)

( )2

2PID 2 2 2 2 2 1 2 2 0, , , , , ,P s s sλ λ λ= + + (3.61)

Por otra parte, debido a que el sistema que se analiza es un sistema académico, los valores

numéricos de los parámetros se supusieron como:

1 2 330, 20, y 50.θ θ θ= = = (3.62)

Esta suposición no es muy restrictiva, ya que en los sistemas reales, los parámetros suelen ser

positivos. Además, con el fin de observar cómo la variación de estos parámetros modifican el

comportamiento del sistema, sus valores numéricos se consideran grandes.

Luego, mediante la colocación de polos de los polinomios característicos de los

controladores retroalimentados, se pueden inducir polos con parte real negativa en la dinámica

del error de seguimiento. Por lo tanto, para el controlador 1PID , se consideró que éste tuviera un

polo en -10. Con esta consideración, una posible selección de sus ganancias es:


74

1 1 0 1 1 1100 y 10, , , ,λ λ= − = − (3.63)

Para el controlador 2PID se consideró que tuviera una frecuencia natural no amortiguada

10nω = y un factor de amortiguamiento 2ζ = . Con estas consideraciones los polos de este

controlador se encuentran en -37.32 y -2.67. Es decir,

( )2

2 2 1 2 2 02 2 2 22 2 2 2 2 1 2 2 0

2 2 2 2 2 2

0 2, , , ,, , , , , ,

, , , ,PID n nP s s s s s s s

λ λλ λ λ ζω ω

λ λ= = + + = + + = + + (3.64)

Y una posible selección de las ganancias de este controlador es

2 2 0 2 2 1 2 2 2125 5000 y 12500, , , , , ,,λ λ λ= − = − = − (3.65)

Con estos valores, se cumplieron las condiciones (3.59) y por lo tanto se garantizó que (3.56)

tuviera eigenvalores con la parte real negativa. De hecho, con (3.65) los eigenvalores de (3.56),

según (3.58) son:

1 2

3 4

5

5 8 6603

61 1625 30 5274

2 6751

,

,

.. .

.

p ip i

p

= − ±

= − ±

= −

(3.66)

Con el fin de mostrar que la ley de control (3.52) puede realizar seguimiento de

trayectorias, se construyó una curva de Bézier con condiciones inicial y final de 0 y 1 en los

tiempos 0 s. y 0.8 s., respectivamente, y cuya regla de correspondencia es igual a:

( )10

0

0, 0

10 0 8, 0 0 8

0 8 0 8

1, 0 8

. .. .

.

n i i

ii

t

t tP t P ti

t

−

=

≤

− = < <

≥

∑ (3.67)

donde 0, 0, ,4iP i= ∈ , 5 0 5.P = y 1, 6, ,10jP j= ∈ .

En las Figuras 17 y 18 se observa que este sistema es inestable. Y por tanto, un controlador

prealimentado puro no es suficiente para hacer un seguimiento de trayectoria. Esto se debe a que

no hay información retroalimentada del sistema para tomar acciones correctivas cuando el

comportamiento del sistema no es el deseado. En consecuencia, se necesita un controlador

retroalimentado, como el que se diseñó con anterioridad.

En las Figuras 19 y 20 se muestra el seguimiento de las trayectorias 1x y

2x con la ley de

control (3.52). Donde se observa que se hace un buen seguimiento para ambas trayectorias. (En el


75

Apéndice A.4 se presenta el esquema y códigos de programación desarrollados para la

simulación de este caso de estudio, con los que se obtuvieron las figuras que se muestran a

continuación).

Figura 17.- Seguimiento de trayectoria para cx1 con

el controlador prealimentado

Figura 18.- Seguimiento de trayectoria para x2 con

el controlador prealimentado


linealización exacta prealimentada.


linealización exacta prealimentada

Con las ganancias (3.65) de los controladores PID retroalimentados se tiene que los

eigenvalores del sistema de error de seguimiento (3.56) tienen partes reales negativas como

(3.66), con lo que se garantiza que el error está acotado y además converge a cero. Por lo tanto el

sistema no lineal plano multivariable (3.44) es estable bajo la ley de control de linealización

exacta prealimentada.

Debido a que el objetivo de la tesis es extender la metodología de linealización exacta

prealimentada a sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre, fue necesaria la

asimilación de linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos multivariables

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo (s)

Seguimiento de x1

Trayectoria nominalSeguimiento de trayectoria

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (s)

Seguimiento de x2

Seguimiento de trayectoriaTrayectoria nominal

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Seguimiento de x1

Tiempo (s)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Seguimiento de x2

Tiempo (s)



76

sin incertidumbre. Por lo tanto, mediante la aplicación de esta metodología a este sistema

dinámico, se adquirieron los elementos necesarios para aplicarlos en presencia de incertidumbre,

cuyos resultados se mostraran en el Capítulo 4.

Debido a que este sistema académico no representa a ningún sistema físico real, a

continuación se exhibe la aplicación de linealización exacta prealimentada a un sistema físico, un

sistema plano multivariable que se pueden modelar como en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003b],

como el caso de un rodamiento magnético.

3.2.3 Rodamiento magnético

Considere el sistema no lineal plano multivariable siguiente, un rodamiento magnético

(Figura 21), cuyas ecuaciones diferenciales, para la dinámica horizontal, son las que se muestran

a continuación [De Queiroz y Dawson, 1996]:

Figura 21.- Rodamiento Magnético

( )

( )

2

2 2

0 3 0 4 0

1 1

1

3 011 201 3 2

0 11

4 021 4 2

0 1

0 02 20 01

2 02 22 0 2

2 22

x

L x I x Im k x k x

ux x IR k x uLk x x x

L k x k xx IR k x x x

L k x

+ + − − + = + + − − − − − + +− + + +

(3.68)

donde 1x y 2x es la posición y la velocidad axial de la flecha del rodamiento, respectivamente;

mientras 3x y 4x son las corrientes en cada bobina de los electroimanes del eje horizontal. Y los


77

parámetros del sistema son: m es la masa de la flecha; 1 2 y R R son las resistencias eléctricas; 0I

es la corriente de premagnetización; y por último, 0 y L k son los parámetros de construcción de

cada bobina de los electroimanes. Y, cuyos valores nominales son los siguientes:

1 2 0 02 Kg, 1 , 0 3 , 0 06 A y 2 0125 mm.. . .m R R L mH m I k= = = Ω = × = =

Este caso, estos parámetros se consideran conocidos e invariantes en el tiempo, con lo que se

diseña la ley de control siguiente.

Control mediante linealización exacta prealimentada

El sistema es plano diferenciablemente con la salida plana [ ]1 3 1 1 2 1, ,, ,TTZ x x ξ ξ = = , es

decir, la posición de la flecha y la corriente en una de las bobinas [Suriano, 2012]. Por lo tanto, en

este caso, el control nominal se construye como:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

1 2 2 1 00 11 2 1 1 1 2 1

01 1 1 1

2 1 0 2 1 1 1 1 2 2 1 002 1 3

2 2 1 12 1 0

1 31 1 0

1 22 10

1

3

2 22 2

2 2

2

2

22

* *, ,* * * *

, , ,* *, ,

* * * * *, , , , ,*

** ,

*,,*

,

*,

IL Ru kLk k

I k ILukI m

k L

m R kL

ξ ξξ ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

ξξ

ξξ

ξ ξ

+ = + + − +

− − + − + +=

− + − −

− + +

Λ

Λ +

e

e

( )1

2 2

2 1 01 1 3 0

1 1 02

*,* *

, ,*,

I m Ik Lξ

ξξ

+ − − −

(3.69)

Si se utiliza un controlador PID en torno de la trayectoria deseada, entonces

( ) , 1 2e ,i iΛ ∈ , se puede escribir como:

( ) ( )1 3

1 2 2 2 1 10 0

, ,, , , ,e ej j j jj j

e eλ λ= =

Λ = Λ =∑ ∑ (3.70)

donde el error de seguimiento aumentado 1 0 1 1 1 2 1 3 2 0 2 1, , , , , ,, , , , ,T

e e e e e e e = está definido por

( ) 1 1 1 0 1 1 2 20 1 2 y 2 3* *

, , , , , , , ,, , , ,t

i i i i i j j je e e d i e jξ ξ τ τ ξ ξ= − = ∈ = − ∈∫ (3.71)

Considerando la aplicación de esta ley de control (3.69) al sistema (3.68), la dinámica del

error de seguimiento se puede representar como:


78

1 0 1 1 1 2 1 3 2 0 2 1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2,, , , , , , , , , ,, , , , , , , , ,T T

e e e e e e e e e eµ µ = (3.72)

donde

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )1

2 1 2 1 011 1 1 1 2 1 1 2 1 2

0 1 1 1 10

2 1 2 1 01

1 1 1 1 1 2 2 1 0

2 1 2 201 1 1 1

2

1 1 1 1

0 1 2

2 222

2 2

2 2

2

4

*, ,* *

, , , , , *, , *

, ,* * *, , , ,*

, , ,* *, ,

*, ,

,

i ii

e IR k e e eL k eL e I

m k e Ie

k k

k e

L e

µ

ξξ ξ

ξξ

ξ ξ ξξ λ

ξ ξ

ξ

=

=

+ + − − + − + +

− + + + − + + + + − −

− +

++

∑

( )( )( )( )

( )( )( )

( )

( ) ( )

2

1 1 1 1 2 1 3 1 32 1 2 1 0

01 1 1 1

12 2

2 1 2 1 00 21 3 1 3

01 1 1 1

2 1 2 1 0

0

1 1

2

1 2 2 1 2 1 0

3

1 1 1 1

2 2

2

2

2

2

2

2

* **, , , ,, ,

*, ,

*, , *

, ,*, ,

*, ,

,

* *, , ,

*, ,

k e R m ee Im Lk e

e II R me

m Lk e

e IL

m k e

e I

m k e

ξ ξξ

ξ

ξξ

ξ

ξ

ξ ξ

ξ

+ + ++ ++ −

− +

+ +− − +

− +

+ +−

−

+ + − +

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )

2 1 0 2 1 1 1 1 2 2 1 0

3

1 1

31

2 2 1 3 1 100

1 3 1 3 1201 1 2

2 1 0

1 3

1 1 0

2

2 1 1

2 2

2

2

2

2

* * * * *, , , , ,

*,

*, , ,

*, ,*

, **,

,*,

*,

i ii

I k I

k

me

Lme

LI m

k L

R k

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ

ξ λξ

ξξ

ξξ

ξξ

=

+ − + +−

−

+

− ++

+−

−

+ +

∑

( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

12 2

1 0

1 3 0 2 1 3

1 1 0

2 1 2 1 012 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2

0 1 1 1 1

11 1 1 1 1 2 2 1 0

2 1 2 201 1 1

2

2 22

2 2

2 2

*, * *

, ,*,

*, ,* *

, , , , , *, ,

* * *, , , ,*

, , ,*, ,

i ii

I mI R

k L

e IRk e e e

L k e

k e Ie

k k

ξ ξξ

ξµ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξξ λ

ξ ξ=

+− − −

−

+ += − − + − +

− +

− + ++ + +

− −

∑

( ) 2 1

1

*,*

ξ−

(3.73)


79

Su estabilidad se puede determinar a través de la linealización en torno a la trayectoria

deseada ( )0e = . Esta linealización se expresa como

1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 0 1 2 1

2 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 2 0 2 2 1

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

e eδ δγ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ γ γ

=

(3.74)

donde

1 3 2 1

1 2, 1 2 , 0 3, ,, , , ,

, ,e e

, , ,i j i ji j i j

e ei j

e eγ γ

= =

∂ ∂= ∈ = ∈

∂ ∂0 0

(3.75)

Desacoplando el sistema (3.74), se tiene que 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 0, , , , , ,γ γ γ γ γ γ= = = = = = . Luego,

para garantizar la estabilidad, el polinomio característico de (3.74)

( ) ( ) ( )4 3 2 21 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 0 2 2 1 2 2 0, , , , , , , , , , , ,P s s s s s s sγ γ γ γ γ γ= − − − − × − − (3.76)

debe de tener eigenvalores con parte real negativa

Entonces, los coeficientes de las , ,i j kγ , 1 2, ,i j ∈ y 0 1 2 3, , ,k ∈ , se deben de escoger de

tal forma que para todo tiempo, el polinomio (3.76) tenga eigenvalores con parte real negativa.

Así, para garantizar la estabilidad del sistema se necesita que se cumplan las condiciones

siguientes (criterio Routh-Hurwitz):

1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 3 2 2 0 2 2 10 0 0 0 y 0, , , , , , , , , , , ,, , , ,γ γ γ γ γ λ< < < < < (3.77)

Por otro lado, se tiene que los polinomios característicos de los controladores PID son:

( )1

3 21 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 0, , , , , , , ,PIDP s s s sλ λ λ λ= + + + (3.78)

( )2 2 2 1 2 2 0, , , ,PIDP s sλ λ= + (3.79)

Considerando estos polinomios característicos, se puede colocar a los polos de los controladores

retroalimentados de tal forma que induzcan polos con parte real negativa en la dinámica del error

de seguimiento (3.74).


80

De esta forma, si se considera que los polos para el controlador 1PID se encuentran en -10,

-2.5 y -399.75, es decir, con un polo en 1 10p = − , un factor de amortiguamiento de 1 5.ζ = y una

frecuencia natural no amortiguada de 100nω = , se tiene que

( )

( )( )

1

3 21 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 0

1 1 2 1 1 1 1 1 03 2

1 1 3 1 1 3 1 1 3

2 21

0

2

, , , , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

PID

n n

P s s s s

s s s

s p s

λ λ λ λ

λ λ λλ λ λ

ζω ω

= + + + =

= + + +

= + + +

(3.80)

Y una posible selección de sus ganancias fue:

7 51 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 324 10 192 10 382000 y 1200, , , , , , , ,, , ,λ λ λ λ= − × = − × = − = − (3.81)

Para el controlador retroalimentado 2PID , se procedió de manera similar. Se consideró que

éste tuviera un polo 2 5p = − .

( )

( )

2 2 2 1 2 2 0

2 2 0

2 2 1

2

0, , , ,

, ,

, ,

PIDP s s

s

s p

λ λ

λλ

= + =

= +

= +

(3.82)

Así, una posible selección de sus ganancias fue:

2 2 0 2 2 1100 y 20, , , ,λ λ= − = − (3.83)

Luego, con estos valores, se demuestra que se puede hacer seguimiento de trayectoria,

como se muestra en la sección siguiente.


Para demostrar el seguimiento de trayectoria, se construyeron las curvas de Bézier

siguientes, con condiciones inicial y final, para la trayectoria ( )1P t de 1x , de 410− y 0 metros,

respectivamente; para la trayectoria ( )2P t de 3x , de 0.06 y 0 A., respectivamente. Para ambos

casos, los tiempos, inicial y final fueron de 0.1 y 0.8 s., respectivamente. Las reglas de

correspondencia de las curvas de Bézier que cumplan dichas condiciones son iguales a [Suriano,

2012].


81

( )

4

10

1 10

10 , 0 1

10 0 8 0 1, 0 1 0 8

0 7 0 7

0, 0 8

,

.

. . . .. .

.

n i i

ii

t

t tP t P ti

t

−

−

=

≤

− − = < <

≥

∑ (3.84)

donde 41 10 , 0, ,4,iP i−= ∈ , 2

1 5 10,P −= y 1 0, 6, ,10, jP j= ∈ .

( )10

2 20

0.06, 0 1

10 0 8 0 1, 0 1 0 8

0 7 0 7

0, 0 8

,

.

. . . .. .

.

n i i

ii

t

t tP t P ti

t

−

=

≤

− − = < <

≥

∑ (3.85)

donde 2 0 06, 0, ,4, .iP i= ∈ , 2 5 0 03, .P = y 2 0, 6, ,10, jP j= ∈ .

Cuyas gráficas se muestran en la Figura 22 y en la Figura 23, respectivamente.

Figura 22.- Curva de Bézier para x1

Figura 23.- Curva de Bézier para x2

En las Figuras 24 y 25 se observa que la aplicación de un controlador prealimentado no es

suficiente para realizar el seguimiento de las trayectorias deseadas descritas con anterioridad. En

éstas se observa que, sin el controlador PID1, la fuerza de uno de los electroimanes es

suficientemente fuerte para atraer la flecha del rodamiento, en el eje horizontal. Además, sin el

controlador PID1, la corriente del electroimán decrece, y en corto tiempo cambia de dirección y

su magnitud se incrementa.

Por otra parte, en las Figuras 26 y 27 se muestra el seguimiento de trayectoria de 1x y 3x ,

respectivamente, cuando se utiliza la ley de control (3.69), cuyas ganancias de los controladores

retroalimentados son como en (3.81) y (3.83). En estas figuras se observa que la acción de los

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

-5

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)

Curva de Bezier para x1

Trayectoria nominal para x1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Cor

rient

e (A

)

Tiempo (s)

Curva de Bezier para x3

Trayectoria nominal para x3


82

controladores retroalimentados es suficiente para mantener al sistema sobre las trayectorias

deseadas, es decir, para la flecha del rotor del rodamiento y de la corriente del electroimán.

Debido al uso de controladores retroalimentados, estos por su naturaleza, proporcionan un grado de robustez al esquema de control de linealización exacta prealimentada, cuyo análisis de mostrará más adelante.

Figura 24.- Seguimiento para x1 sin linealización

exacta prealimentada

Figura 25.- Seguimiento para x3 sin linealización


Figura 26.- Seguimiento para x1 con linealización


Figura 27.- Seguimiento para x3 con linealización


Mediante los resultados obtenidos con este sistema dinámico y del académico, se

recopilaron las piezas necesarias para hacer uso de linealización exacta prealimentada en el

diseño de leyes de control que permitan el seguimiento de trayectorias cuando no existe

incertidumbre paramétrica. Sin embargo, el objetivo de la tesis es realizar la extensión de la

aplicación de esta metodología a estos sistemas (planos multivariables), pero con incertidumbre

en los parámetros. Por esta razón, en la siguiente sección se muestran los resultados del análisis

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)

Seguimiento de trayectoria para x1


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

0

2

4

6

8

10

12x 10

-5

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)



Cor

rient

e (A

)

Cor

rient

e (A

)

3.3 Sistemas no lineales planos monovariables con incertidumbre paramétrica

83

de robustez de esta metodología para sistemas planos monovariables con incertidumbre. En esa

sección se muestra que el esquema de control de linealización exacta prealimentada es robusto, y

mediante un análisis se puede determinar el grado de robustez que proporciona dicho esquema de

control cuando el sistema presenta incertidumbre en sus parámetros.


En los sistemas físicos, la incertidumbre está presente siempre, esto se debe a que ningún

modelo matemático puede representar exactamente a un sistema físico. Esta incertidumbre se

puede presentar en los parámetros o en la dinámica no modelada.

La teoría de control robusta se enfrenta con el análisis de sistemas de control para satisfacer

varias especificaciones de estabilidad y desempeño frente a una planta con incertidumbre. Se han

desarrollado muchas técnicas matemáticas para el análisis de sistemas de control robusto. Estas

técnicas están relacionadas con el tipo de incertidumbre presente en el sistema físico. Aunque

linealización exacta prealimentada no se encuentra entre las técnicas desarrolladas por la teoría de

control robusto, ésta puede hacer frente a la incertidumbre paramétrica cuando se realiza

seguimiento de trayectoria, como se mostrará más adelante.

La robustez es la propiedad de un sistema dinámico para tolerar las variaciones de los

elementos del sistema sin exceder los límites tolerantes predeterminados en la vecindad de algún

comportamiento dinámico nominal. Sin embargo, esta propiedad también la tiene la metodología

de linealización exacta prealimentada, debido a que ésta consta de un controlador prealimentado

y un retroalimentado, donde éste último proporciona cierta robustez a la metodología. Además,

en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003c] presentan una técnica para el análisis de robustez de

linealización exacta prealimentada para sistemas planos monovariables con incertidumbre

paramétrica. La cual se aplica al caso de estudio siguiente.

3.3.1 Caso de estudio

El caso de estudio que se presenta a continuación es el levitador magnético de orden

reducido, éste se presentó con anterioridad en la Sección 3.1.4. En la sección siguiente se

presenta un análisis de robustez de linealización exacta prealimentada cuando el sistema

monovariable presenta incertidumbre en los parámetros. Se demuestra que esta metodología

permite el seguimiento de trayectoria aun cuando el sistema presente incertidumbre.


84

3.3.2 Levitador magnético de orden reducido

La linealización exacta prealimentada es una metodología general de control de sistemas no

lineales planos, la cual, como se mostrará a continuación, hace frente a la incertidumbre de los

parámetros en el sistema al realizar seguimiento de trayectoria.

En la Sección 3.1.4 se mostró que la linealización exacta prealimentada puede controlar y

estabilizar a un sistema no lineal plano, un levitador magnético de orden reducido, en el caso de

que sus parámetros sean los nominales, es decir, sin incertidumbre. En el caso de análisis de

robustez de linealización exacta prealimentada, estos parámetros se consideran constantes para

todo tiempo, pero desconocidos. Por conveniencia se presenta otra vez el modelo del sistema

1 2

2

21

x x

k ix gm c x

=

= − −

(3.86)

En la Sección 3.1.4 se demostró que (3.86) es plano con la salida plana 1y x= . Se observa

que ésta es independiente de los parámetros. Por lo tanto, se puede analizar la robustez de la ley

de control que se obtuvo mediante la selección de esta salida plana, es decir, del esquema de

control que se obtuvo en la Sección 3.1.4. El análisis de robustez se realiza según la metodología

que se presentó en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003c], la cual se mostrará más adelante.

Considerando que el sistema (3.86) presenta incertidumbre paramétrica, y de acuerdo a lo

que se presentó en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003c], y tomando en cuenta un controlador PID

extendido para la parte retroalimentada, la ley de control resultante se puede diseñar como [ver

(3.26)]:

( )0 2

01 20

0

* * *i i

i

mi c e gk

ξ ξ λ=

= − + +

∑ (3.87)

donde 0 0 0 y ,k m c son los parámetros nominales conocidos.

Para el estudio de la robustez de linealización exacta prealimentada, la ley de control (3.87)

se aplica al sistema no lineal plano (3.86), con la cual se obtiene una dinámica del error de

seguimiento, como se muestra a continuación.

Teniendo, en cuenta que ( )0 10

te e dτ τ= ∫ y 1 1 1

*e ξ ξ= − son independientes de los

parámetros, entonces, la dinámica del error está dada por:


85

( )( )( )

0 1

1 2

0 2202 1 2 22 0

01 1

1 * * *

*j j

j

e ee e

k me c e g gm kc e

ξ ξ λ ξξ =

=

=

= − + + − −

− +∑

(3.88)

El sistema linealizado entorno a la trayectoria deseada ( 0e = ) está dado por:

1 2 3

0 1 0

0 0 1e eδ δ

γ γ γ

=

(3.89)

donde

( )( )

2001

1 001

20021

2 101 1

2001

3 201

2

*

*

**

* *

*

*

ck mm k c

gck mm k c c

ck mm k c

ξγ λξ

ξξγ λξ ξ

ξγ λξ

− = − + − = + − −

− = −

(3.90)

Para que se garantice estabilidad se necesita que el polinomio característico de (3.89)

3 2

2 1 0s s sγ γ γ− − − (3.91)

tenga eigenvalores negativos.

En la Sección 3.1.4 se mostró que el sistema (3.86) es estable bajo la ley de control (3.87),

es decir, cuando el vector de parámetros θ es igual al vector de parámetros nominales 0θ . Por lo

tanto, el análisis de robustez se realiza cuando los parámetros no son los nominales, es decir

0≠θ θ . Entonces, con la ley de control (3.87) y retomando las ganancias del controlador

retroalimentado, las cuales se vuelven a presentar por conveniencia,

0 1 290000, 30000 y 400,λ λ λ= − = − = − (3.92)

el análisis de robustez es el siguiente.

Análisis de robustez

Recordando lo que se mencionó en la Sección 2.3, la estabilidad del esquema de control de

linealización exacta prealimentada se garantiza si el sistema del error de seguimiento es estable.


86

De acuerdo con el resultado de estabilidad de Kelemen, si el polinomio característico de la matriz

Jacobiana de la dinámica del error de seguimiento, cuando el error de seguimiento es cero, tiene

polos con parte real negativa, entonces el error de seguimiento converge a cero, en consecuencia

la dinámica del error de seguimiento es estable, y por lo tanto se garantiza la estabilidad del

esquema de control de linealización exacta prealimentada.

Para garantizar la estabilidad del sistema del error de seguimiento, y en consecuencia el

seguimiento de trayectoria, el polinomio característico (3.91) debe tener eigenvalores con parte

real negativa, y según el criterio de Routh-Hurwitz, se necesita que las condiciones siguientes se

cumplan

0 1 20 0 y 0,γ γ γ< < < . (3.93)

Entonces, mediante (3.90) se puede determinar la robustez de la linealización exacta

prealimentada, cuando se utiliza la ley de control (3.87) y se le aplica al sistema no lineal plano

(3.86).

Analizando el polinomio (3.91) y las condiciones (3.93), se tiene que, si 0 0γ > , entonces la

dinámica del error de seguimiento se vuelve inestable. En consecuencia el error de seguimiento

diverge y no se puede realizar el seguimiento de trayectoria. Sin embargo, con 0 90000λ = − , la

única forma de inestabilizar al sistema, es que se cumpla alguna de las condiciones siguientes

200

10

1

0, 0, o 0.*

*

ck mm k c

ξξ

− < < < − (3.94)

Debido a que , y k m c son parámetros físicos del sistema, y al considerase desconocidos,

se pueden representar como (incertidumbre estructurada):

0 0 ,k k k m m m= ± ∆ = ± ∆ (3.95)

donde y k m∆ ∆ representan la incertidumbre en los parámetros k y m , respectivamente. Luego,

la única forma de inestabilizar al sistema, es que se cumpla alguno de los términos de (3.94). Sin

embargo, aunque no se conozcan los valores numéricos exactos de los parámetros, éstos son

positivos por su construcción física, y por lo tanto, las dos primeras condiciones de (3.94) no

afectan la estabilidad del sistema.

En el caso de la tercera condición de (3.94), se sabe que el espacio de operación del

levitador magnético 1ξ está dentro del espacio del intersticio c , por lo tanto 0

1c ξ− es positivo.

Además, aun cuando 1c ξ− sea negativo, el término 20

1

1

*

*

cc

ξξ

− −

siempre será positivo. Por lo


87

tanto, este término no afecta la estabilidad del sistema ya que no cumple con la tercera condición

de (3.94). El estudio es similar para el caso de 3γ .

Para el caso de 2γ , si se considera a (3.90) y (3.93), se tiene que

( )( )

( ) ( )( )

2 2 1 1

1

1 1

2 20

* * *

* *

g g c

c c

ξ ξ λ ξλ

ξ ξ

+ + + −+ = >

− −

(3.96)

haría inestable al sistema. En la Figura 28 se muestra la trayectoria nominal a seguir, así como

sus primeras dos derivadas temporales. En esta figura se observa que 2g ξ>> , tomando en cuenta

que 981g = , entonces la dinámica del error de seguimiento se vuelve inestable si la tercera

condición de (3.93) no se cumple, lo cual sucede si 1 0 0065.c ξ− < , debido a (3.96), cuando

1 30000λ = − .

Figura 28.- Gráfica de la salida plana y sus derivadas.

En la Figura 29 se muestra el seguimiento de la trayectoria nominal cuando la

incertidumbre en el parámetro m se encuentra en el intervalo 0 00 0

2 2,m mm m − + . Se observa que

si el valor numérico de dicho parámetro se encuentra en dicho intervalo, el comportamiento del

sistema se encuentra en una vecindad de la trayectoria nominal En otras palabras, la

incertidumbre en dicho parámetro no afecta la estabilidad del sistema y, en consecuencia, se

realiza un buen seguimiento de trayectoria.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Tiempo (s)

Derivadas de la salida plana

Salida plana1a. derivada2a. derivada

max(ξ´1=ξ2)=0.6152

min(ξ´2)=-2.929

max(ξ´´1=ξ´2)=2.929

ξ1(1)=-0.15ξ1(0)=-0.35


88

Figura 29.- Seguimiento de trayectoria a diferentes

valores del parámetro m

Figura 30.- Seguimiento de trayectoria a diferentes

valores del parámetro k

En la Figura 30 se muestra el seguimiento de la trayectoria deseada cuando el valor

numérico del parámetro k , se encuentra en el intervalo 0 00 0

2 2,k kk k− + . En esta figura se

muestra que el comportamiento del sistema es muy similar al del caso de desconocimiento exacto

del valor numérico del parámetro m . En ambas figuras (Figuras 29 y 30) se observa que se

realiza un buen seguimiento de trayectoria, aun cuando los parámetros sean desconocidos. Estas

respuestas, obtenidas mediante simulación, validan el análisis matemático que se presentó con

anterioridad, es decir, se verifica que la incertidumbre en estos parámetros (según el intervalo

especificado anteriormente) no afecta la estabilidad del sistema.

Figura 31.- Seguimiento de trayectoria con

parámetros nominales.

Figura 32.- Seguimiento de trayectoria con

incertidumbre en el parámetro “c”

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

Tiempo (s)

Pos

ició

n (c

m)

Seguimiento de trayectoriaIncertidumbre en el parametro "m"


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

Tiempo (s)

Pos

ició

n (c

m)

Seguimiento de trayectoriaIncertidumbre en el parametro "k"


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.5

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

Tiempo (s)

Pos

ició

n (c

m)



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

Tiempo (s)

Pos

ició

n (c

m)




89

En la Figura 31 se observa la gráfica de una trayectoria nominal descrita por una curva de

Bézier, cuyas condiciones inicial y final son -0.15 cm y -0.49 cm en los tiempos 0 y 0.8 s.,

respectivamente. Con ésta se pretende mostrar como la incertidumbre en el parámetro “ c ” puede

afectar el comportamiento del sistema. De hecho, como se observa en la Figura 32, con una

incertidumbre de -5% sobre el valor nominal del parámetro “ c ”, el sistema se indetermina en el

tiempo 0.8 s.

En este sistema, se realizó el análisis de robustez de linealización exacta prealimentada para

sistemas no lineales planos monovariables con incertidumbre en sus parámetros. Se obtuvieron

los últimos componentes necesarios para extender la metodología de linealización exacta

prealimentada a sistemas no lineales planos multivariables. Cuyos resultados son la principal

aportación de esta tesis, la cual se presentan en el Capítulo 4.

A lo largo de este capítulo, se mostró la aplicación de la metodología de linealización

exacta prealimentada a los casos de estudio de sistemas no lineales planos sin incertidumbre:

monovariables y multivariables, y sistemas monovariables con incertidumbre en los parámetros.

Los resultados que se obtuvieron mediante el estudio de los sistemas dinámicos que se

presentaron con anterioridad ayudaron a esclarecer la metodología de linealización exacta

prealimentada. Además, se recopiló la información necesaria para lo que se desarrolla en el

capítulo siguiente

En el Capítulo 4 se presentan los resultados de la extensión de la aplicación de la

metodología de linealización exacta prealimentada a sistemas no lineales planos multivariables

con incertidumbre paramétrica. Para este objetivo, se realizó el análisis de robustez de esta

metodología para los casos de estudios presentados en la Sección 3.2.


90

91

Capítulo 4

Linealización exacta prealimentada para sistema no lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica

En este capítulo se extiende la aplicación de la metodología de linealización exacta

prealimentada a sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre en los parámetros.

La aplicación se llevó a cabo en el análisis de robustez de linealización exacta prealimentada de

dos casos de estudio. Para lograr este objetivo se estudió la robustez que tiene una ley de control

basada en linealización exacta prealimentada, cuando los parámetros del sistema plano son

desconocidos, pero constantes en el tiempo.

4.1 Introducción y motivación

Como se mencionó en los capítulos anteriores, linealización exacta prealimentada sólo se

ha aplicado a sistemas no lineales planos monovariables con incertidumbre en los parámetros.

Con base en este hecho, se investigó si esta metodología se podría utilizar en sistemas no lineales

planos multivariables con incertidumbre paramétrica. Obteniéndose como resultado el análisis de

robustez de linealización exacta prealimentada de dos casos de estudio.

A través de linealización exacta prealimentada se realiza seguimiento de trayectoria para

sistemas no lineales planos. Mediante esta metodología, el problema de diseñar los controladores

que permite el seguimiento de una trayectoria específica se resuelve con cierta facilidad.

Los problemas de control, como se ha mencionado con anterioridad, son: planeación de

movimiento, seguimiento de trayectoria y estabilidad. Y, si un sistema es plano, por la propiedad

4.Linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica

92

de aplanamiento diferencial y la metodología de linealización exacta prealimentada, la solución a

esos problemas se puede encontrar rápidamente. Sin embargo, si dicho sistema presenta

incertidumbre, entonces la solución para los problemas, de seguimiento de trayectoria y la

estabilidad del sistema, ya no es tan fácil de encontrar.

En [Hagenmeyer y Delaleau, 2003] se presenta una metodología para el análisis de robustez

de linealización exacta prealimentada. En ese trabajo, se demuestra que se puede aplicar

linealización exacta prealimentada para hacer seguimiento de trayectoria para un sistema no

lineal plano monovariable, aun cuando éste presenta incertidumbre paramétrica.

Para extender las ideas de linealización exacta prealimentada a los sistemas no lineales

planos multivariables con incertidumbre paramétrica, se utilizaron los resultados obtenidos en el

capítulo anterior. Y mediante dos casos de estudio, se realizó el análisis de robustez de

linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos multivariables. Estos

resultados son la principal aportación de este trabajo de tesis, demostrando que sí es posible la

extensión de linealización exacta prealimentada a sistemas no lineales planos con incertidumbre

paramétrica.

4.2 Análisis de robustez de linealización exacta prealimentada

En un sistema no lineal plano, descrito como en el Capítulo 2, se puede utilizar la

linealización exacta prealimentada para que el sistema haga el seguimiento de una trayectoria

deseada. Esto es, con esta metodología se diseña un controlador prealimentado, basado en

aplanamiento diferencial tal que, la aplicación de éste al sistema no lineal plano cuando las

condiciones iniciales, del sistema y de la trayectoria a seguir, son consistentes, se obtiene una

forma de Brunovský sin cerrar el lazo. Luego, con la información de la forma de Brunovský, el

diseño de un controlador retroalimentado que estabilice las desviaciones de la trayectoria deseada

se realiza con cierta facilidad.

En ese capítulo, también se mostró la metodología de análisis de robustez de linealización

exacta prealimentada para un sistema no lineal plano monovariable con incertidumbre. Con esos

fundamentos, y los resultados que se presentaron el Capítulo 3, se concluyó que es posible la

extensión de la aplicación de linealización exacta prealimentada a sistemas no lineales planos

multivariables con incertidumbre paramétrica.

La extensión de la aplicación de esta metodología se logró al realizar el seguimiento de una

trayectoria deseada en sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica.

Se realizó el análisis de robustez de linealización a dos casos de estudio: un sistema de levitación

magnética y un rodamiento magnético.


93


Los casos de estudios que se estudiaron y analizaron son: un sistema académico y un

rodamiento magnético, los cuales se presentan en las secciones siguientes. Mediante el sistema

académico, se realizó la primera incursión a la metodología de linealización exacta prealimentada

para sistemas no lineales multivariables en el contexto de incertidumbre paramétrica. Y mediante

el rodamiento magnético se reafirmó que si es posible extender la metodología de linealización

exacta prealimentada a sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre en sus

parámetros.

En el sistema académico se exhibe el análisis de robustez del esquema de control de

linealización exacta prealimentada que se desarrolló en el capítulo anterior. Además, este sistema

no representa la dinámica de ningún sistema físico específico, por lo tanto, al tener la libertad de

modificar el valor numérico de sus parámetros, este sistema académico representa a una pequeña

familia de sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre en sus parámetros. A esta

familia de sistemas se le puede obtener una familia de controladores basada en linealización

exacta prealimentada a la cual se le puede realizar un análisis de robustez cuando los valores

numéricos de sus parámetros sean desconocidos.

Con el sistema académico, se obtuvieron resultados suficientes con los cuales se responde

afirmativamente a la pregunta inicial, propósito de esta tesis, ¿es posible extender la metodología

de linealización exacta prealimentada a sistemas no lineales planos multivariables con

incertidumbre en los parámetros.

Sin embargo, el alcance de esta tesis no se limitó a un sistema académico. Se realizó el

análisis de robustez de linealización exacta prealimentada, mediante simulación, a un sistema

físico, un rodamiento magnético, el cual es un sistema no lineal plano susceptible a incertidumbre

paramétrica. En otras palabras, mediante simulación se demostró que el esquema de control de

linealización exacta prealimentada es robusto, pues se hizo el seguimiento de una trayectoria

deseada a pesar del desconocimiento del valor numérico exacto de sus parámetros.

Con los resultados que se obtuvieron del estudio del sistema académico y del rodamiento

magnético, se realizó una extensión de la aplicación de la metodología de linealización exacta

prealimentada, debido a que, como se mencionó en el Capítulo 1, esta metodología no se había

aplicado a sistemas no lineales multivariables en el contexto de incertidumbre paramétrica.


94

4.2.2 Sistema académico

El esquema de control de linealización exacta prealimentada es robusto ante incertidumbre

paramétrica, tal como se mostrará más adelante. El grado de robustez dependerá de la

incertidumbre que el sistema plano presente, y en el cual, dicho esquema de control aún puede

realizar el seguimiento de una trayectoria deseada. Para determinar el grado de robustez se

requiere un análisis de la ley de control que se diseñe mediante linealización exacta

prealimentada. De dicho análisis se determina el intervalo máximo de incertidumbre en cada

parámetro en el cual, el comportamiento del sistema se encuentra en una vecindad de la

trayectoria a seguir.

Para el sistema académico, a continuación se presenta el análisis de robustez de la ley de

control que se diseñó mediante linealización exacta prealimentada, y el cual se presentó en la

Sección 3.2.2 del capítulo anterior. Este análisis toma en consideración los resultados que se

obtuvieron en el capítulo anterior. Por lo tanto, el modelo matemático del sistema académico se

vuelve a presentar por conveniencia

( )1 2 2 11

2 2 3 3 1 1

3 3 2 2

1x x u

x x x ux x u

θθθ θθ

= −

= −

= +

(4.1)

donde el estado 3x ∈ , la entrada 2u ∈ y 1 2 3, ,θ θ θ son los parámetros del sistema, los

cuales, en este caso, son desconocidos, pero constantes en el tiempo. La incertidumbre en éstos es

estructurada, es decir, se puede expresar como:

0 0 0 , , 1, , ,i i i i i i i i i pθ θ θ θ θ θ θ θ = + ∆ = + ∈ ∈

(4.2)

donde 0 , 1, , i i pθ ∈ , son los parámetros nominales del sistema.

En la Sección 3.2.2 del Capítulo 3 se mostró que el sistema (4.1) es plano con las salidas

planas [ ]1 2 1 1 1 2, ,, ,TTZ x x ξ ξ = = . Por lo tanto, tomando en cuenta los fundamentos de

linealización exacta prealimentada en el contexto de incertidumbre paramétrica, que se

presentaron en el Capítulo 2, la ley de control que se diseñó en aquella sección aún tiene sentido

aplicarlo al sistema no lineal plano si la diferencia entre los parámetros del sistema y los

nominales no es “muy grande”. Por lo tanto, en este contexto, el diseño de la ley de control se

muestra a continuación.


95


Debido a que el análisis de robustez se realiza a la ley de control que se diseña mediante

linealización exacta prealimentada, entonces, para el caso de incertidumbre en los parámetros, la

ley de control es la siguiente (ver Sección 3.2.2 del Capítulo 3):

10

1 1 1 1 1 10

1 02 2 1

0 0203 3

2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 2 10 0 002 2 2

1

*, , , ,

**

,

* * * * *, , , , , , ,

j jj

j jj

eu

u e u u

θ ξ λ

θ ξ

θ θξ λ ξ ξ θ ξ

θ θ θ

=

=

+

=−

= + + + −

∑

∑

(4.3)

donde 0 , 1 2 3, ,i iθ ∈ , son los parámetros nominales del sistema.

Debido a que las salidas planas son independientes de los parámetros, entonces, de la

aplicación de esta ley de control al sistema no lineal plano (4.1), se puede obtener una dinámica

del error específica. La cual se muestra a continuación.

Estructura de la dinámica del error

Cuando se aplica la ley de control (4.3) al sistema no lineal plano multivariable (4.1), la

dinámica del error de seguimiento específica se puede obtener como:

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

02 2 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 101 2 2 1

2 1 2 2

02 2 2 2 0 2 0 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 03

2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 2 10 02 2

2 3 2 1 2 1 3 1

*, , * *

, , , , , , , , ,*,

, ,

*, , , , , , , , , , * * * * *

, , , ,

*, , ,

ee e e

e e

e e ee u u

e e

θ ξ θ ξ λ λ ξθ θ ξ

ξ λ λ λ θθ ξ ξ θ ξ

θ θ

θ θ ξ θ

− + = + + −

− =

+ + + = + + −

+ + −

( )( )

( )0

1 1 2 1 1 1 1 1 102 1 2 1 1 1 1 1 2 22 0 00

2 2 1 2 2 12 2 1

* * * *, , , ,* * *

, , , ,* **, ,,

eξ ξ ξ θ ξ

ξ θ ξ ξθ ξ θ ξθ ξ

+ + − + − − −−

(4.4)

A diferencia de la dinámica del error de seguimiento (3.55) que se presentó en la Sección

3.2.1 del capítulo anterior, la dinámica (4.4) toma en consideración que los parámetros del

sistema no son los nominales ( 0 , 1 2 3, ,i i iθ θ≠ ∈ ), y por lo tanto, dicha dinámica es función de

los parámetros reales y nominales del sistema, y de las ganancias de los controladores PID


96

extendidos ( ), 1 2 , 0 1 2, , , , , ,i j k i j kλ ∈ ∈ ). Por lo tanto, la estabilidad del sistema no lineal

plano depende de la estabilidad de la dinámica del error de seguimiento, y ésta a su vez, de las

condiciones ya mencionadas. El estudio de la estabilidad de la dinámica del error se muestra a

continuación.

Estabilidad del esquema de control

La estabilidad del sistema no lineal plano se puede determinar mediante la estabilidad de la

dinámica del error de seguimiento. El estudio de esta última requiere de la linealización de la

estructura (4.4) en torno a la trayectoria deseada ( )e = 0 (tomando en cuenta las ideas que se

presentaron en [Hagenmeyer y Delaleau, 2003c]). Esta linealización se expresa como:

1 1 0 1 1 1 1 2 1

2 1 1 2 2 0 2 2 1 2 2 2

0 1 0 0 0

0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0

, , , , , ,

, , , , , , , ,

e eδ δ

γ γ γ

γ γ γ γ

=

(4.5)

donde

( )

( )

0 02 2 1 1 11 21

1 1 0 1 1 0 1 2 1 2 2 0 2 2 00 001 2 2 1 21 2 2 1

0 02 2 1 1 11 1 2

1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 3 2 2 10 0 01 12 2 1 2 2 1 2

22 2 2 2 2 20

2

* *, ,

, , , , , , , , , ,* *, ,

* *, ,

, , , , , , , , , ,* *, ,

, , , ,

θ ξ ξθ θθγ λ γ γ λθ θ ξ θθ θ ξ

θ ξ ξθ θ θγ λ γ γ θ θ λ

θ θθ ξ θ ξ θ

θγ λ

θ

−= = =

− −

−= = − = +

− −

=

(4.6)

Comparando las expresiones (3.57), de la dinámica del error de seguimiento sin

incertidumbre, con las expresiones (4.6), se observa que éstas últimas, ahora son dependientes de

los parámetros reales y nominales del sistema, de las ganancias de los controladores

retroalimentados, de las salidas planas y de sus derivadas sucesivas.

Para determinar qué condiciones hacen que el sistema (4.5) sea estable, se desacopla el

sistema, es decir 1 2 1 2 2 1 0, , , ,γ γ= = . Por lo tanto, se puede garantizar la estabilidad en el sistema si

el polinomio siguiente es Hurwitz:

( ) ( ) ( )2 3 21 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 1 2 2 0, , , , , , , , , ,s s s s sγ γ γ γ γ= − − × − − −θP (4.7)

es decir,


97

1 1 0 1 1 1

2 2 0 2 2 1 2 2 2

0, 0

0, 0 y 0, , , ,

, , , , , ,

γ γ

γ γ γ

< <

< < < (4.8)

Luego, el análisis de robustez es el siguiente.


La robustez del esquema de control de linealización exacta prealimentada garantiza que los

controladores diseñados mediante esta metodología realicen el seguimiento de trayectoria aun en

presencia de incertidumbre paramétrica estructurada en el sistema no lineal plano. Debido que el

seguimiento de trayectoria está subordinado a que la dinámica del error de seguimiento sea

estable, el análisis de robustez consiste en el estudio de la estabilidad de la dinámica del error de

seguimiento con la incertidumbre presente en el sistema.

Lo anterior se traduce en que, si la incertidumbre numérica en los parámetros del sistema

no afecta la estabilidad de la dinámica del error de seguimiento, el controlador que se diseñó

mediante linealización exacta prealimentada puede realizar el seguimiento de una trayectoria

deseada. Por lo tanto, el margen de robustez se realiza al verificar que la incertidumbre en los

parámetros no afecte la estabilidad de la dinámica del error de seguimiento, es decir, se determina

la longitud máxima del intervalo de incertidumbre en los parámetros, para que las condiciones

(4.8) se cumplan.

En el Capítulo 3 se diseñaron los controladores prealimentado y retroalimentado tal que, si

los valores numéricos de los parámetros son los nominales, se puede hacer el seguimiento de una

trayectoria deseada. Ahora, considerando lo anterior, la robustez de este esquema de control está

dada por la incertidumbre de los parámetros del sistema y de la trayectoria a seguir, es decir,

dependiendo de los valores reales de estos parámetros, así como el comportamiento deseado del

sistema, se puede verificar si éste último aún puede realizar el seguimiento de una trayectoria

deseada.

Así, iniciando con el análisis, se tiene que, si alguna condición de (4.8) no se cumple, el

sistema (4.5) se inestabiliza, es decir, el error de seguimiento diverge, y en consecuencia no se

realiza el seguimiento de trayectoria.

Estudiando cada condición de (4.8), se tiene que 1 1 0 0, ,γ > , si y sólo si,

( )0

2 2 110

1 2 2 1

0 o 0.*

,*

,

θ ξθθ θ ξ

−< <

− (4.9)

Aunque no se conozcan con exactitud los parámetros del sistema, cuando se trata de un

sistema físico por lo general sus parámetros son positivos. Tomando en cuenta esta

consideración, y que la incertidumbre de los parámetros es estructurada —ver (4.2), la primera


98

condición de (4.9) no afecta la estabilidad del sistema (4.5), siempre y cuando la incertidumbre 0

iθ∆ se encuentre en el intervalo de ( 0 01 1, θ θ −

La segunda condición de (4.9) afectaría la estabilidad del sistema si se cumpliera que el

signo del denominador sea diferente al signo del numerador, es decir

( ) ( ) ( )0 02 2 1 2 2 2 1 2 2 1sign sign sign* * *

, , ,θ ξ θ θ ξ θ ξ− = ± ∆ − ≠ − (4.10)

Recordando que este análisis es sobre ley de control que se diseñó en la Sección 3.2.2, y

cuya trayectoria a seguir se encuentra en el intervalo [ ]0 1, en cualquier tiempo t , la

incertidumbre 02θ∆ no afectaría la estabilidad del sistema, siempre y cuando, dicha

incertidumbre se encuentre en el intervalo ( 0 02 20 95 , . θ θ − (considerando que 0

2 20θ = ).También

es claro que, cuando 2 1*

,ξ toma el valor de 02θ , el sistema se indetermina y afecta la estabilidad

del sistema.

El análisis de 1 1 1, ,γ es idéntico al de

1 1 0, ,γ , entonces, cuando se cumpla cualquiera de las

condiciones que se mencionaron anteriormente se afecta la estabilidad del sistema.

Para las condiciones 2 2 0, ,γ y

2 2 2, ,γ , de (4.6), el análisis es similar para la primer caso de las

condiciones y , de (4.6). Si hablamos de un sistema dinámico físico, los parámetros son

positivos, por lo tanto, estos estarían incluidos en 2 2 0, ,γ y

2 2 2, ,γ , en consecuencia, éstos no

afectarían la estabilidad del sistema.

Para la condición 2 2 1, ,γ , de (4.6), se tiene que éste afectaría la estabilidad si

( )2 2 1 0 0 022 3 2 2 1 2 3 2 2 1 3 2 2 2 1 3 3 20 0

2 2

0, ,, , , , , ,

λθθ θ λ θ θ λ θ θ λ θ θ θθ θ

+ = + > ⇒ > − = > − ± ∆

(4.11)

Recordando las ganancias del controlador retroalimentado y los parámetros nominales de

este sistema, que se mostró en el Capítulo 3, se tiene que

0 02 2 1 2 35000, 20 y 50,, ,λ θ θ= − = = (4.12)

y según (4.11), la incertidumbre 3θ∆ , no afecta la estabilidad del sistema.

En las figuras siguientes se puede verificar, mediante simulación, el análisis matemático

expuesto anteriormente. De hecho, en las Figuras 33 – 38 se muestra el seguimiento de la

trayectoria nominal para diferentes valores de los parámetros , 1 2 3, ,i iθ ∈ , los cuales se

encuentran en el intervalo de

1 1 0, ,γ 1 1 1, ,γ


99

0 0

0 0 0 02 2

, , 1 2 3, , ,i ii i i i i i iθ θθ θ θ θ θ θ − ∆ + ∆ = − + ∈ . (4.13)

De estas figuras se puede determinar la longitud del intervalo máximo de incertidumbre en los

parámetros para el cual aún se puede hacer seguimiento de trayectoria

En las Figuras 33 y 34 se muestran el seguimiento de trayectoria para 1x y 2x ,

respectivamente, cuando existe incertidumbre en el parámetro 1θ . Se observa que para los valores

de 1θ , en el intervalo de incertidumbre 1θ∆ definido en (4.13), el sistema no se inestabiliza. Lo

anterior se debe a que el intervalo de incertidumbre que se consideró para simular el sistema de

este caso de estudio, está contenido en el intervalo ( 0 01 12 , 2θ θ − que se obtuvo del análisis de

(4.9).

Figura 33.- Seguimiento de trayectoria x1 bajo

incertidumbre en el parámetro θ1



En las Figuras 35 y 36 se muestra el seguimiento de trayectoria para 1x y 2x ,

respectivamente, cuando existe incertidumbre en el parámetro 2θ . Se muestra que para los valores

de 2θ , en el intervalo de incertidumbre 2θ∆ , definido en (4.13), el sistema no se inestabiliza. Sin

embargo, en la Figura 36, para el caso del seguimiento de la trayectoria 2x , se observan

oscilaciones muy pronunciadas. Esto se debe a la expresión ( )2 2 1

02 2 1

*,

*,

θ ξ

θ ξ

−

− de la segunda condición

de (4.9) tiende a cero, una condición de inestabilidad, cuando 2θ∆ tiende a ( )02 2 1

*,θ ξ− + .

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo (s)

Seguimiento de trayectoria x1 bajo incertidumbre en el parametro θ1


0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo (s)




100





En las Figuras 37 y 38 se muestra el seguimiento de trayectoria para 1x y 2x ,

respectivamente, cuando existe incertidumbre en el parámetro 3θ . Se observa que para ambas

trayectorias se realiza un buen seguimiento de trayectoria. En la Figura 37 se muestra que el

comportamiento del sistema, para 1x , es el deseado, a pesar de la existencia de incertidumbre en

el parámetro 3θ . Esto se debe a que, en vista de (4.1), 1x no es dependiente del parámetro 3θ , por

lo tanto la variación del valor numérico de este parámetro no afecta el comportamiento de dicha

variable del estado, y por lo tanto, su comportamiento es el deseado.





0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo (s)



0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tiempo (s)



0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Seguimiento de trayectoria x1 bajo incertidumbre en el parametro θ3

Tiempo (s)


0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Seguimiento de trayectoria x2 bajo incertidumbre en el parametro θ3

Tiempo (s)



101

Además del análisis del comportamiento del sistema ante la variación individual dentro del

intervalo de incertidumbre en cada parámetro, en las Figuras 39 y 40 se muestra el

comportamiento del sistema cuando los valores numéricos de los parámetros son los de la tabla

siguiente:

Tabla 1.- Valores de los parámetros.

Parámetro 1θ 2θ

3θ

Valor 010 7 . θ 0

21 1 . θ 031 5 . θ

Luego, como este análisis partió de un sistema académico, éste como tal representa a una

pequeña familia de sistemas no lineales planos multivariables para los cuales se puede analizar la

robustez de la metodología de linealización exacta prealimentada. Además se analizó la robustez

de linealización exacta prealimentada para un sistema físico real, como lo es un rodamiento

magnético. Con este sistema, se abren las puertas para explorar la existencia de una metodología

general de análisis de robustez de linealización exacta prealimentada para cualquier sistema no

lineal plano multivariable que tenga incertidumbre paramétrica y que sus salidas planas sean

independientes de sus parámetros.

Figura 39.- Seguimiento de trayectoria de x1

cuando los parámetros no son los nominales.

Figura 40.- Seguimiento de trayectoria de x2

cuando los parámetros no son los nominales.

4.2.3 Rodamiento magnético

En el Capítulo 3 se mostró que el rodamiento magnético es un sistema plano, y que

mediante linealización exacta prealimentada se diseñó una ley de control con la cual se hace el

seguimiento de trayectorias deseadas. En esta sección, al igual que en el caso del sistema

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo (s)

Seguimiento de trayectoria de x1


0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Seguimiento de trayectoria de x2

Tiempo (s)



102

académico, se mostrará la robustez de dicha ley de control. Por conveniencia, el modelo

matemático del rodamiento magnético se vuelve se presentar:

( )

( )

2

2 2

0 3 0 4 0

1 1

1

3 011 201 3 2

0 11

4 021 4 2

0 1

0 02 20 01

2 02 22 0 2

2 22

x

L x I x Im k x k x

ux x IR k x uLk x x x

L k x k xx IR k x x x

L k x

+ + − − + = + + − − − − − + +− + + +

(4.14)

En el caso de análisis de robustez, los parámetros 0 1 2 0, , , , , L m R R I k se consideran

constantes para todo tiempo, pero desconocidos. La incertidumbre de estos parámetros es

estructurada y no cambia estructuralmente la dinámica del sistema. Además, los valores

nominales son:

1 2 0 02 Kg, 1 , 0 3 , 0 06 A y 2 0125 mm.. . .m R R L mH m I k= = = Ω = × = = (4.15)

Y el diseño de la ley de control se muestra a continuación.


El análisis de robustez se realiza para la ley de control que se diseña mediante linealización

exacta prealimentada. Retomando la estructura del controlador PID extendido que se obtuvo en el

caso nominal (ver Sección 3.2.3 del Capítulo 3), la ley de control total es la siguiente (en el

contexto de incertidumbre):

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

1 2 2 1

1 2 1 1 1 2 1

1 1 1 1

2 1 2 1 1 1 1 2 2 1

2 1 32 2 1 1

2 1

00 0000 1

00 00

0 0 000 00

00 00

0 00

1 3

1

0

1

1

1

1 2 22 2

2 2

2

2

* *, ,* * * *

, , ,* *, ,

* * * * *, , , , ,*

** ,

*,,*

,

, ,i ii

IL R kLk k

I k IL

kI mk L

u

euξ ξ

ξ ξ ξξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

ξξ

ξξ

λ=

+ = + + − +

− − + − + +=

− + − −

∑

( )3

1 10

00 000 0 0

2 00 0 0

12 2

2 11 3 1 1 1 3

010 1

22 2

*,* * *

, , ,*,

, ,i ii

Im mR k IL k L

eξ

ξ ξ ξξ

λ=

+ − + + + − − −

∑

(4.16)

donde 0 0 0 0 0 00 1 2 0, , , , , L m R R I k son los parámetros nominales del sistema.


103

Debido a que las salidas planas son independientes de los parámetros

[ ] TT

1 3 1 1 2 1, , , ,Z x x ξ ξ = = , entonces, de la aplicación de esta ley de control al sistema no lineal

plano (4.14), se obtiene una dinámica del error específica. La cual se muestra a continuación.

Estructura de la dinámica del error

De la aplicación de la ley de control (4.16) al sistema no lineal plano multivariable (4.14),

la dinámica del error de seguimiento se puede denotar como:

1 0 2 1 1 1 2

T T

1 1 1 2 1 3 2 0 1 2 1 3 1 2 1, , , , , , , , , , , , ,, , , , , , ,e e ee e e e e e e αα= (4.17)

donde 1 2 y α α están definidos como:

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

00 0000 1

00

2 1 2 1 0 2 1 00 11 1 2 1 1 12

0 1 11 1 1 1

1 2 2 11 1

2 1 1 1 2 1

0 1

0

0

1

1 10 1 1

1

1

1

22 2

22

22 2

2 2

2

*, , ,

, , ,*

,, ,

* *, ,, * * *

, , ,,,

,* *,

i ii

e I IL Rk

m L kk e

kL

e

ILk

Lke

Rk

ξ ξξ ξ ξ

ξξ

ξ ξξξ ξ ξ

ξ ξλ

α

=

+ + += − − −

−− +

+−+ + + − +

− −

+

∑

( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )

( ) ( )

22

1 1 1 1 22 1 2 1 0 2 1 2 1 0

2 1 2 1 3 1 33

01 1 1 11 1 1 1

12 2

2 1 2 1 0 2 1 20 21 3 1 3

01 1 1 1

2 2

22

2 2

2

** *, ,, , , ,* *

, , , ,**, ,, ,

*, , ,*

, ,*, ,

k e Re I e I me

m Lk ek e

e I eI R me

m L mk e

ξξ ξξ ξ

ξξ

ξ ξξ

ξ

+ ++ + + ++ + − +

− +− +

+ + +− − + −

− +

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

12 2

1 0

1 3 1 3

01 1 1 1

2 1 2 1 1 1 1 2 2 1

1 31 32 2 1 1

2 1

1 3

1 1

0 0 00 00 00

0000 0

3

1 10

0

0 0

0

2

2 2

22

2

*, *

, ,*, ,

* * * * *, , , , , *

,**

, ,

,*,

,*,

i ii

I k IL mLk

I m

I me

L

e

e

L

k

k

ξξ

ξλ

ξ ξ ξ ξξ

ξξ

ξξ

=

+− + ×

− +

+ − + +− +

−+

−−

∑

( )

( )

( ) ( )

12 2

2 1

1 1 1 3 1 3

1 1

2 1 011 1 2 1 1 1

0 1 1

1 21 1

2 1 1 1 2 1

0

1

1 10

0 000 0 0

2 00 0

0

0 000 1

1

00

0

2

1

22

2 22

22 2

2

*,* * *

, , ,*,

,, , ,

,

*,, * * *

, ,*,

, , ,i ii

I mR k I

k L

L Rk

IRk

L k

kL L

ek

ξξ ξ ξ

ξ

ξξ ξ ξ

ξ

ξξ ξλ

ξξ

ξ

α

=

++ + − − −

−

+= − − −

−

−+ + + − +

−

∑

( )( )

0

02

10

1

2

1 12

*, *

,*,

I

k

ξξ

ξ

+−

−

(4.18)


104

En (4.18) se observa que la dinámica del error de seguimiento es función de los parámetros

reales y nominales del sistema, de las ganancias de los controladores retroalimentados, de las

salidas planas y sus derivadas sucesivas. Por lo tanto, la estabilidad del sistema no lineal plano

depende de todos ellos. Y su estudio se muestra a continuación.

Estabilidad del esquema de control

La estabilidad del sistema no lineal plano se puede determinar mediante la estabilidad de la

dinámica del error de seguimiento. El estudio de esta última requiere de la linealización de la

estructura (4.17) en torno a la trayectoria deseada ( )e = 0 . Esta linealización se expresa como:

1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 0 1 2 1

2 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 2 0 2 2 1

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

e eδ δγ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ γ γ

=

(4.19)

1 3 2 11 2, , 1 2 0 3, ,

, , , ,, ,e e

, , ,i j i ji j i j

e ei j

e eγ γ

= =

∂ ∂= = ∈ ∈

∂ ∂0 0

(4.20)

Para determinar qué condiciones hacen que el sistema (4.5) sea estable, se desacopla el

sistema, es decir 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 0, , , , , ,γ γ γ γ γ γ= = = = = = . Por lo tanto, se puede garantizar la

estabilidad en el sistema si el polinomio característico de (4.19) es Hurwitz:

( ) ( ) ( )4 3 2 21 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 0 2 2 1 2 2 0, , , , , , , , , , , ,s s s s s sγ γ γ γ γ γ℘ = − − − − × − −θ (4.21)

es decir, que tenga eigenvalores con parte real negativa. En otras palabras, que se cumplan las

siguientes condiciones

1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 3

2 2 0 2 2 1

0, 0, 0, 0

0, y 0, , , , , , , ,

, , , ,

,γ γ γ γ

γ γ

< < < <

< < (4.22)

Entonces, los coeficientes de los , ,i j kγ , 1 2 y 0 1 2 3, , , , ,i j k∈ ∈ se deben de escoger de

tal forma que para todo tiempo, el polinomio (4.20) tenga eigenvalores con parte real negativa.

En la Sección 3.2.3 del Capítulo 3 se desarrolló un controlador PID extendido, cuyas

ganancias fueron


105

7 5

1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 3

2 2 0 2 2 1

24 10 192 10 382000 y 1200

20 y 100, , , , , , , ,

, , , ,

, , ,λ λ λ λ

λ λ

= − × = − × = − = −

= − = −. (4.23)

Con este controlador se mostró que, cuando los valores de los parámetros del sistema son los

nominales, se puede hacer el seguimiento de una trayectoria deseada. Luego, el análisis de

robustez de este esquema de control se realiza bajo el estudio de la ley de control basada en

linealización exacta prealimentada, cuando se desconoce el valor exacto de los parámetros del

sistema, es decir, no son los nominales. Dicho estudio se muestra a continuación.


Como se mencionó anteriormente, al análisis de robustez se realiza al esquema de control

que se diseñó mediante linealización exacta prealimentada para el rodamiento magnético cuando

sus parámetros fueron los nominales. Debido a la complejidad de la dinámica del error de

seguimiento (4.19), considerando (4.17) y (4.18), el análisis de robustez se realizó vía

simulaciones. En otras palabras, se desarrolló el esquema de control de linealización exacta

prealimentada para el rodamiento magnético en un ambiente de simulación. En éste se hicieron

las variaciones de los parámetros del sistema, con las cuales se observó si el sistema realizaba el

comportamiento deseado. Estas variaciones se encuentran en el intervalo 2 2

,,i ii i

θ θθ θ − + 6,i ∈

T0 0 0 0 0 01 2 0 0, , , , , m R R L I kθ = . Los resultados que se obtuvieron se muestran en las figuras

siguientes.


incertidumbre en el parámetro m


incertidumbre en el parámetro m

En las Figuras 41 - 54 se muestra el comportamiento del sistema (4.14) con la ley de

control (4.16) y las ganancias del controlador PID extendido (4.23). En éstas se observa la

robustez de la ley de control basada en linealización exacta prealimentada, es decir, se muestra

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

2

4

6

8

10

x 10-5

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)


Trayectoria nominalIncertidumbre en m

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)


Trayectoria nominalIncertidumbre en m


106

como esta ley de control realiza el seguimiento de una trayectoria deseada a pesar del

desconocimiento del valor exacto de los parámetros del sistema. El análisis se realizó para cada

trayectoria deseada, es decir, para 1x y 3x , la posición del eje del rodamiento y la corriente

eléctrica de la bobina de uno de los electroimanes.

En las Figuras 41 y 42 se muestra el comportamiento del sistema (4.14) cuando el valor

exacto del parámetro m se desconoce, pero se encuentra en el intervalo 0 00 0

2 2,m mm m − + . Se

muestra que a pesar de existir incertidumbre en el parámetro se realiza un buen seguimiento de

las trayectorias deseadas.


incertidumbre en el parámetro R1



En las Figuras 43 y 44 se muestra el comportamiento del rodamiento magnético cuando hay

incertidumbre en el parámetro 1R . Se observa que para el intervalo de incertidumbre en este

parámetro se realiza un buen seguimiento para la trayectoria deseada de 1x . Sin embargo, en la

Figura 44 se aprecia que en la parte inicial de la trayectoria deseada de 3x , el comportamiento,

de 3x , se encuentra en una vecindad de la trayectoria deseada, cuando la incertidumbre en el

parámetro 1R se encuentra en el intervalo 0 0

2 2, m m .

En las Figuras 45 y 46 se observa que se realiza un buen seguimiento de las trayectorias

deseadas de 1x y 3x a pesar de la incertidumbre en el parámetro 2R . Esto significa que el

controlador diseñado es capaz de hacer frente a la incertidumbre en dicho parámetro, cuando

dicha incertidumbre se encuentra en el intervalo 0 02 2

2 2, R R

.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

2

4

6

8

10

x 10-5

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)


Trayectoria nominalIncertidumbre en R1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)




107

Figura 45.- Seguimiento de trayectoria para x1

con incertidumbre en el parámetro R2



En las Figuras 47 y 48 se observa que la incertidumbre en el parámetro 0L afecta más el

comportamiento del sistema en el seguimiento de la trayectoria de 3x . Esto se debe a que 0L es

un parámetro de construcción del electroimán, y por lo tanto, la corriente que circule que dicho

electroimán será diferente a la deseada si dicho parámetro no es el nominal.


incertidumbre en el parámetro L0


incertidumbre en el parámetro L0

En las Figuras 49 y 50 se observa que, al igual que en los casos de los parámetros m y 2R ,

se realiza un buen seguimiento de trayectoria a pesar de la presencia de incertidumbre en el

parámetro 0I .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

2

4

6

8

10

x 10-5

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

2

4

6

8

10

x 10-5

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)


Trayectoria nominalIncertidumbre en L0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)


Trayectoria nominalIncertidumbre en L0


108

Figura 49 .- Seguimiento de trayectoria para x1 con

incertidumbre en el parámetro I0


incertidumbre en el parámetro I0

En las Figuras 51 y 52 se muestra el comportamiento del sistema cuando hay incertidumbre

en el parámetro k . La incertidumbre de éste, por ser un parámetro de construcción, afecta

directamente en el seguimiento de la trayectoria de 3x , como se presenta en la Figura 52.


incertidumbre en el parámetro k


incertidumbre en el parámetro k

De las figuras anteriores se observa que, a pesar de que los parámetros no son los

nominales (4.15), se hace un buen seguimiento para 1x , la flecha del rodamiento magnético.

Mientras que para 3x , la corriente eléctrica de la bobina de uno de los electroimanes, se ve más

afectada por la incertidumbre de los parámetros 1 0, y R L k . Lo anterior se debe a que estos son

parámetros físicos del electroimán, y por lo tanto, la variación de estos afecta directamente a la

corriente eléctrica que pase por éste.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

2

4

6

8

10

x 10-5

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)


Trayectoria nominalIncertidumbre en I0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)


Trayectoria nominalIncertidumbre en I0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

2

4

6

8

10

x 10-5

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)


Trayectoria nominalIncertidumbre en k

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)


Trayectoria nominalIncertidumbre en k

4.3 Formulación de una posible generalización del análisis de robustez de linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica

109

En las Figuras 53 y 54 se muestra el seguimiento de trayectoria del rodamiento magnético

cuando los valores numéricos de los parámetros no son los nominales, sino los que se presentan

en la Tabla 2. En esas figuras se observa que a pesar de que ningún parámetro del sistema es el

nominal, el comportamiento del sistema se encuentra en una vecindad de las trayectorias

deseadas.

Tabla 2.- Valores de los parámetros.

Parámetro m 1R 2R 0L 0I k

Valor 50% de 0m 150% de 0

1R 75% de 0

2R 125% de 0

0L 150% de 0

0I 50% de 0k


incertidumbre en todos los parámetros


incertidumbre en todos los parámetros

Con el análisis de robustez del esquema de control que se diseñó al rodamiento magnético,

en el contexto de incertidumbre paramétrica, se muestra que sí es posible extender la metodología

de linealización exacta prealimentada para cualquier sistema no lineal multivariable con

incertidumbre en sus parámetros. Una primera aproximación de dicha extensión, considerando

los resultados que se obtuvieron en este trabajo de tesis, se muestra a continuación.


Tomando en cuenta los resultados de los Capítulos 3 y 4, junto lo que se presentó en el

Capítulo 2, los fundamentos teóricos de la metodología de linealización exacta prealimentada, la

formulación de una posible generalización del análisis de robustez de linealización exacta

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

2

4

6

8

10

x 10-5

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Tiempo (s)

Pos

ició

n (m

)




110

prealimentada para sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica es

la siguiente.

Esta formulación se encuentra basada en los resultados obtenidos en esta tesis, y las

ecuaciones que se presentan a continuación se pueden comparar con los resultados presentados en

la Sección 4.2.2 y 4.2.3. Así, para el análisis de robustez de linealización exacta prealimentada

para sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica se deben cumplir

las condiciones que se presentan a continuación.

Considere el sistema no lineal multivariable con incertidumbre paramétrica siguiente:

( ) ( )( ) ( ) 0, , 0x , x x xf t u t= =θ (4.24)

donde el tiempo t ∈ , el estado ( )x nt ∈ y la entrada ( )u mt ∈ . Los parámetros del sistema

p∈θ se consideran constantes en el tiempo, pero desconocidos:

0 , , 1, , ,i i i i pθ θ θ = + ∈ = θ θ θ

(4.25)

donde 0θ es el valor nominal del vector de parámetros. Además, el intervalo de incertidumbre de

los parámetros no cambia genéricamente la estructura dinámica del sistema.

En (4.24), el campo vectorial : p n m nf × × → es suave. El sistema (4.24) se dice

que es un sistema plano diferencialmente, si y solo si, existe una salida plana mZ ∈ , tal que

( )( ), , , ,x u u uZ H ι= (4.26)

( )( ), , , ,x Z Z Z χφ= θ

(4.27)

( )( )1, , , , ,u Z Z Z χψ += θ θ

(4.28)

Donde y ,H φ ψ son funciones suaves de sus argumentos en al menos un subconjunto de

( )1n m ι+ + , ( )1p m χ+ +

y ( )2p m χ+ + , respectivamente (ver Sección 3.2.2 del Capítulo 3). La salida

plana es independiente de los parámetros de dos formas: primero, la función ( )( ), , , ,x u u uH ι es

algebraicamente independiente de θ , y segundo, ( )( ), , , ,x u u uH ι es la misma función para

todo θ definido en (4.25).

Entonces, con las ecuaciones (4.27) y (4.28), se demuestra que para cada trayectoria de la

salida plana ( )t Z t , la evolución de las otras variables del sistema ( )xt t y ( )ut t se

pueden deducir sin resolver ninguna ecuación diferencial del sistema. Además, para una


111

trayectoria deseada suave suficientemente de la salida plana ( )*t Z t (trayectoria nominal), la

ecuación (4.28) se puede usar para diseñar el control nominal para los parámetros del sistema

nominal 0θ . La familia de prealimentaciones nominales está dada por

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )10

** * *u , , , , ,t Z t Z t Z tχψ += θ

(4.29)

lo que significa que para cada trayectoria nominal ( )*Z t , hay una prealimentación nominal

( )*u t .

A través de un difeomorfismo como:

( ) ( ) ( )

( )( )

1 1

1 1

1 1 1 2 1

1 1 1 2 1 2 1 1 1 2, , , , , , , ,

ξ , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , ,

, x ,u,u, ,u

m m

m m

Tk k km m m m

T

k m k m m m k

z z z z z z z z

ϑ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

β

−

−

−

−

=

=

= θ

(4.30)

el sistema (4.24) se puede llevar a su forma normal:

( )( ) 1 1 1

1

, ,

,

, ,

, , , , , ; , ,i

i

i j i j i

i k i

j k

u u u i mσ

ξ ξ

ξ α θ ξ

+= ∈ −

= ∈

(4.31)

donde iα , 1, ,i m∈ , también es suave con respecto a sus argumentos.

Para todo sistema plano, existe un conjunto de ecuaciones algebraicas

( )( ) 1, , , , , , ,i

i iu u u v i mσα ξ = ∈θ (4.32)

Cuya solución (para u ) es:

( )( )u , , , , ,V V V σ= Θ θ ξ

(4.33)

donde [ ]1 , , TmV v v=

y ( )max iσ σ= , 1, ,i m∈ .

Comparando (4.32) y (4.33) se observa que:

( ) ( ) 11 1 , , , , ,

i

j ji kv i m jξ += ∈ ∈ (4.34)

Además, de (4.28) y (4.33) se observa que:


112

( )( ) ( )( )1, , , , , , , , ,Z Z Z χ σψ θ θ ξ ξ ξ ξ+ = Θ

(4.35)

donde 11, ,, ,

mk m kξ ξ ξ =

y ( ) 1 max 1 1, , ,i ik i mχ σ+ = + − ∈ . De la relación (4.27) y (4.30),

y utilizando (4.33) y (4.34), se puede deducir que:

( )( )1 , , , , ,x ϑβ θ ξ−= Θ Θ Θ

(4.36)

donde Θ es igual que en (4.35). Por lo tanto, comparándolo con (4.27), se tiene que:

( )( ) ( )( )1, , , , , , , , ,Z Z Z χ ϑφ β θ ξ−= Θ Θ Θθ

(4.37)

Aplicar la prealimentación (4.29) a (4.24), sería equivalente a aplicar (4.29) a (4.31), la cual

resulta en:

( )( ) 1 1 1

; 1

, ,

** *,

, ,

, , , , , , ,i

i

i j i j i

i k i

j k

i mσ

ζ ζ

ζ α θ ζ

+= ∈ −

= Θ Θ Θ ∈

(4.38)

donde ( )( )** * * *, , , , σξ ξ ξ ξΘ = Θ

en vista de (4.33) y (4.35).

1 1 1

; 1

, ,

, ,

, ,

, ,i i

i j i j i

i k i k

j k

i m

ζ ζ

ζ ξ+= ∈ −

= ∈

(4.39)

Si se considera que las condiciones anteriores se cumplen para todo sistema no lineal plano

multivariable con incertidumbre en los parámetros que se encuentre definido igual que en (4.24),

que la incertidumbre sea estructurada y ésta se encuentre definida igual que en (4.25), entonces,

se podría diseñar una ley de control para realizar el seguimiento de una trayectoria deseada en

presencia de incertidumbre, tal como se muestra a continuación.


En los capítulos anteriores, se usó linealización exacta prealimentada para diseñar un

controlador retroalimentado tipo PID para estabilizar las desviaciones de una trayectoria deseada.

En todos los casos, esta ley de control consiste de dos partes, una prealimentada y una

retroalimentada (PID extendido). La estructura de la combinación de ambas partes constituiría la

ley de control de linealización exacta prealimentada para el caso multivariable, en el contexto de

incertidumbre paramétrica, la cual se establece a continuación.


113

Ya que en (4.39), los términos *, ii kξ , 1, ,i m∈ jugarían el rol de las entradas de la

forma de Brunovský, la nueva entrada mV ∈ se diseñería como:

( ) ( ) 1* *, , ,

ii i k i i iv e v e i mξ= + Λ = + Λ ∈

(4.40)

donde el error de seguimiento es 1 11 1 1 2 1 1 1, , , , , ,e , , , , , , , ,

m m

T

k m k m m ke e e e e e−−

= y se define como

*e = −ξ ξ , es decir,

( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 y ** * *, , , , , ,, j j

i i i i j i j i je z z e z zξ ξ ξ ξ= − = − = − = − (4.41)

y, el error de seguimiento aumentado es 1 11 0 1 1 1 2 0 2 1 1 0, , , , , , , ,e , , , , , , , , , ,

m m

T

k m k m m ke e e e e e e e−−

=

con ( )0 10, ,

t

i ie e dτ τ= ∫ .

Luego, el diseño de los controladores retroalimentados tipo PID sería el siguiente.

( ) 1

0

0, , , , ,eiik

i i i j i jj

e i mλ+

=

Λ = =∑ (4.42)

donde 0, , 1ii ik k∈ − .

La combinación de (4.29), (4.33) (4.40) y (4.42) resultaría en la siguiente estructura de

control:

( )( )0

* *u , , , , ,V V V σ= Θ θ ξ

(4.43)

Con esta estructura de control, cuando se le aplica al sistema no lineal plano multivariable

se podría obtener una dinámica del error de seguimiento, la cual se muestra a continuación.

4.3.2 Dinámica del error de seguimiento bajo incertidumbre paramétrica

Cuando hay incertidumbre, al igual que en el caso monovariable, aparece una dificultad en

la parte retroalimentada, esto se debe a que no se puede reconstruir el valor exacto de ξ ,

( )( ),, x ,u,u, ,u ϑ= Φξ θ a través de x y u . Por lo tanto, se tendría que considerar el estado

aproximado siguiente:

( )( )0ζ , x ,u,u, ,u ϑ= Φ θ

(4.44)


114

Entonces se define al error de seguimiento que se usará en la parte retroalimentada como:

( ) 1 1 1 0 10 1 0 1*

, , , , , ,, , , , , , ,t

i i i i i j i je i k e e d e e jζ ξ τ τ= − ∈ = = =∫ (4.45)

Y, aplicar la ley de control (4.43) a (4.31) resulta en:

( )( ) 1 1 1

1

, ,

,

, ,

, , , , , ; , ,i

i

i j i j i

i k i

j k

i mσ

ξ ξ

ξ α θ ξ

+= ∈ −

= Θ Θ Θ ∈

(4.46)

donde ( )*, e

ii i kv ξ= + Λ y 1 0 1 1 1 0, , , , ,e , , , , , ,i m

T

k m m ke e e e e =

.

Para encontrar la ecuación del error de seguimiento real *e = −ξ ξ , se podría establecer la

relación siguiente entre 11 1 1 1, , , ,e , , , , , ,

m

T

k m m ke e e e = y e , considerando (4.27), (4.30) y

(4.37)

( )( )( )( ) ( )( )

( )( )( )

0

10

0

*

*

* *

e , x ,u,u, ,u

, , , , , , , , , ,

, ,e , , , ,

ϑ

ϑ ϑ

ϑ

β

β β

β ρ

−

= −

= Θ Θ Θ Θ Θ Θ −

= + Θ Θ Θ −

θ ξ

θ θ ξ ξ

θ θ ξ ξ

(4.47)

Entonces, usando (4.46), se podría denotar al sistema de error de seguimiento aumentado e

como:

( )( ) 1

0

0 1

1

, ,

* *, ,

, ,

,e , , , , ; , ,i

i i

i j i j i

i k i i k

e e j k

e i mσα ξ

+= ∈ −

= + Θ Θ Θ − ∈θ ξ

(4.48)

El análisis de estabilidad de (4.48) se podría realizar mediante un resultado de Kelemen.

4.3.3 Análisis de robustez

Mediante el estudio de la dinámica del error de seguimiento, se podría mostrar la

estabilidad de la estrategia de control (4.43) cuando se aplica al sistema plano (4.24). Definiendo ( ) T

, , , , * * * * *Zσ

ξ ξ ξ ξ =

, en vista de (4.35), la ecuación del error de seguimiento se podría

reescribir como:


115

( ) 1

0

0 1

; 1

, ,

*,

, ,

, ,e , , ,i

i j i j i

i k i

e e j k

e i mπ+= ∈ −

= ∈θ θ Ζ

(4.49)

Por lo tanto

( )*e e ,Z= ϒ (4.50)

donde las salidas planas y sus 1χ + derivadas *Z jugarían el rol de las entradas al sistema de

error de seguimiento de e . Se podría analizar la estabilidad robusta de la ley de control (4.43) al

usar un resultado de estabilidad de Kelemen, el cual fue reinterpretado por Lawrence y Rugh en

[Lawrence y Rugh, 1990].

Lo que se presentó, es la formulación de una posible generalización de la metodología de

análisis de robustez de linealización exacta prealimentada. Ésta no debe considerarse como un

resultado general que se puede aplicar a cualquier sistema no lineal plano multivariable con


En este capítulo se mostró que sí se puede analizar la robustez de linealización exacta

prealimentada a sistemas dinámicos no lineales planos multivariables con incertidumbre en sus

parámetros, como el caso del sistema académico y el del rodamiento magnético. Los resultados

obtenidos en estos sistemas se utilizaron para presentar la formulación de la posible

generalización, descrita anteriormente. Sin embargo, la estabilidad de dicha generalización se

basa en un resultado de estabilidad de Kelemen, y ésta no se investigó que fuera válido para todo

sistema no lineal plano multivariable con incertidumbre.

El propósito de formular esta posible generalización es proporcionar la motivación para

seguir en el estudio de esta línea de investigación, es decir, en linealización exacta prealimentada,

la cual ha mostrado que es una metodología general de control para sistemas planos.


116

117

Capítulo 5

Conclusiones

El propósito y, además, la principal contribución de esta tesis fue extender, en lo posible,

la aplicación de linealización exacta prealimentada a sistemas no lineales planos multivariables

con incertidumbre en sus parámetros.

Para este fin, primero se asimiló la metodología de linealización exacta prealimentada

para sistemas no lineales planos sin incertidumbre, es decir, nominales. De acuerdo a esta

metodología de control basada en aplanamiento diferencial, la estabilización de los sistemas se

llevó a cabo mediante la aplicación de un controlador retroalimentado.

Del estudio que se realizó a la estrategia de control basada en linealización exacta

prealimentada – propuesta y aplicada a sistemas no lineales planos en [Hagenmeyer y Delaleau,

2003a, b] – se tiene que:

Si se aplica una prealimentación nominal, deducida de aplanamiento diferencial, al

sistema no lineal plano, éste es equivalente, por un cambio de coordenadas, a una forma

de Brunovský sin cerrar el lazo si las condiciones iniciales, del sistema y de la trayectoria

a seguir, son consistentes.

Por otro lado, si las condiciones iniciales, del sistema y de la trayectoria a seguir, no son

consistentes, entonces, existe una solución del sistema no lineal plano en la vecindad de la

solución de la ya mencionada forma de Brunovský (ver Sección 3.1.2 del Capítulo 3).

Se requiere de un controlador retroalimentado para estabilizar las desviaciones de la

trayectoria a seguir (deseada). Por lo tanto, la ley de control total consiste de dos partes:

una prealimentada, la cual obliga a que el sistema converja a la trayectoria deseada, y una

parte retroalimentada, que fuerza al sistema a mantenerse en dicha trayectoria.

El diseño del controlador retroalimentado se realiza tomando en cuenta un resultado de

estabilidad de Kelemen. Con éste último se demuestra la estabilidad del esquema de

control de linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos.

La estabilidad del esquema de control de linealización exacta prealimentada es una

consecuencia de la estabilidad de la dinámica del error de seguimiento.

5.Conclusiones

118

Por otra parte, cuando el sistema no lineal plano presenta incertidumbre paramétrica,

todavía tiene sentido aplicar la ley de control, de linealización exacta prealimentada, que se

diseñó cuando los parámetros del sistema eran los nominales, es decir, cuando no había

incertidumbre.

Se analizó un caso de estudio, un sistema académico, éste se presentó en los capítulos 3 y

4, y se trabajó:

La verificación de la propiedad de aplanamiento diferencial.

La planeación de una trayectoria a seguir.

El diseño del esquema de control, basado en linealización exacta prealimentada, para el

seguimiento de la trayectoria deseada. En otras palabras, el desarrollo de un controlador

prealimentado y otro retroalimentado. Las ganancias de éste último fueron el resultado de

estudiar la dinámica del error de seguimiento y la aplicación de un resultado de Kelemen.

El análisis de robustez de linealización exacta prealimentada. Se estudió la dinámica del

error de seguimiento, para verificar el seguimiento de trayectoria cuando los parámetros

del sistema eran desconocidos, pero constantes para todo tiempo.

La estabilidad del error de seguimiento en presencia de incertidumbre, para realizar el

seguimiento de trayectoria.

El seguimiento de la trayectoria deseada a pesar de que el valor de un o de todos los

parámetros no fueran los nominales, pero éstos se encuentran en una vecindad del valor

nominal.

5.1 Aportaciones de la tesis

Con los resultados que se obtuvieron mediante el caso de estudio, el sistema académico,

se muestra que sí es posible la extensión de la metodología de linealización exacta prealimentada

para sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica estructurada.

Además, es posible desarrollar una generalización de esta metodología en el análisis de robustez

de linealización exacta prealimentada para esta clase de sistemas. Esto se puede observar debido

a que el sistema académico, como tal, representa a una familia pequeña de sistemas no lineales

planos multivariables con incertidumbre. Y por lo tanto, se puede analizar la robustez de una ley

de control que se diseñe, mediante linealización exacta prealimentada, para otros valores

numéricos de los parámetros nominales, distintos a los que en este trabajo se presentaron.

Además, se presentó otro caso de estudio, un rodamiento magnético, con el cual se

demostró que la metodología de linealización exacta prealimentada se puede aplicar a sistemas

físicos reales. Y que, se puede hacer el seguimiento de una trayectoria deseada, a pesar de la

existencia de incertidumbre en el sistema, desarrollo que se presentó en el Capítulo 4.

5.2 Discusión y trabajos futuros

119

En resumen, las contribuciones de esta tesis son:

El esclarecimiento de la metodología de linealización exacta prealimentada para sistemas

no lineales planos nominales monovariables y multivariables, mediante tres casos de

estudio: un sistema de levitación magnética, un manipulador de unión flexible y un

levitador magnético.

El estudio de un sistema académico, con el cual se aclaró la metodología del diseño de

controladores para el seguimiento de trayectoria para sistemas no lineales planos

multivariables nominales.

La aplicación de la metodología de linealización exacta prealimentada para un sistema

dinámico físico, un rodamiento magnético, el cual es un sistema no lineal plano

multivariable.

El análisis de robustez de linealización exacta prealimentada a un sistema no lineal plano

monovariable con incertidumbre paramétrica: el levitador magnético.

La aplicación de la metodología de linealización exacta prealimentada a dos sistemas no

lineales planos multivariables con incertidumbre paramétrica: un sistema académico y un

rodamiento magnético.

El seguimiento de trayectoria para el sistema académico y del rodamiento magnético aun

con incertidumbre en los parámetros de dichos sistemas.

El análisis de robustez de la metodología de linealización exacta prealimentada para el

sistema académico y de un rodamiento magnético.


Finalmente, en esta sección se presenta una breve discusión de este trabajo de tesis y,

junto a ésta, algunos problemas para investigaciones y trabajos futuros.

Este tema de investigación se realizó en tres etapas. La primera comprendió el estudio de

linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos, monovariables y

multivariables, nominales. La segunda fue la asimilación de esta metodología para sistemas no

lineales planos monovariables con incertidumbre paramétrica, la cual consistió en el análisis de la

robustez de una ley de control diseñada mediante linealización exacta prealimentada. Una vez

realizadas estas dos etapas, se llevó a cabo la extensión de la aplicación a sistemas no lineales

planos multivariables con incertidumbre paramétrica.

En el Capítulo 2 se mostró que mediante un controlador prealimentado y un

retroalimentado, los cuales fueron diseñados mediante linealización exacta prealimentada, se

realiza el seguimiento de una trayectoria deseada para un sistema no lineal plano. Y, en el

Capítulo 3 se muestra su aplicación. En ese capítulo se muestra que el diseño de ambos

5.Conclusiones

120

controladores se puede realizar con cierta facilidad. Para explorar la posibilidad de extender la

estrategia de control de linealización exacta prealimentada para sistemas no lineales planos

multivariables con incertidumbre paramétrica se diseñó un sistema académico. Para este sistema

se diseñó una ley de control para el seguimiento de una trayectoria deseada cuando sus

parámetros fueron los nominales (Capítulo 3). Luego, se analizó la robustez de dicha ley de

control cuando los parámetros del sistema no lineal plano eran inciertos (Capítulo 4). Dicho

análisis se muestra a detalle para afirmar que es posible la extensión de esta metodología a

sistemas no lineales planos multivariables con incertidumbre en sus parámetros.

En el análisis de robustez de la ley de control diseñada mediante linealización exacta

prealimentada, para el segundo caso de estudio, el rodamiento magnético, se presentaron algunas

dificultades. Esto se debió a que las variables del estado del sistema están muy acopladas. Y, el

diseño de la ley de control de volvió complicado, ya que el acoplamiento de sus variables se

mantuvo, tanto para la parte prealimentada, como la parte retroalimentada, es decir, en la señal

prealimentada nominal y en la dinámica del error de seguimiento. Ésta última se utiliza para el

diseño del controlador retroalimentado. En consecuencia, el análisis de robustez, de manera

formal, no pudo realizarse. Sin embargo, se utilizaron herramientas de simulación computacional,

con las cuales se realizó el análisis de robustez vía simulaciones, las cuales se presentaron en el

Capítulo 4.

Por lo tanto, tener un sistema no lineal plano con sus variables del estado muy acopladas,

se traduce en que, el diseño de una ley de control que realice el seguimiento de una trayectoria

deseada, cuando el sistema presenta incertidumbre, se vuelva difícil de realizar.

Aunque el análisis de robustez de linealización exacta prealimentada para el rodamiento

magnético se realizó vía simulaciones, no se verificó mediante el estudio matemático respectivo.

Un trabajo futuro es estudiar matemáticamente cómo el controlador retroalimentado logra

estabilizar las desviaciones de la trayectoria deseada cuando el rodamiento magnético presenta

incertidumbre paramétrica

Mediante linealización exacta prealimentada se realiza, con cierta facilidad, el diseño de

controladores que permitan el seguimiento de trayectoria de un sistema plano. Sin embargo, al

estudiar el rodamiento magnético, que se presentó en los capítulos 3 y 4, se observó que, debido a

que el número de variables del estado de dicho sistema fue mayor a tres, ya no fue tan fácil de

diseñar los controladores prealimentado y retroalimentado. Esto se debió a que el número de

componentes del vector de error de seguimiento se incrementó, y en consecuencia, la estructura

del controlador retroalimentado se volvió más grande, y la determinación de sus ganancias se

dificultó.


121

Además, si el número de componentes del vector de error de seguimiento es grande,

entonces, cuando se linealiza la dinámica del error de seguimiento en torno a la trayectoria

deseada, el polinomio característico de la matriz resultante, es de un orden mayor. Y, en

consecuencia, se incrementan el número de condiciones para que éste sea Hurwitz, las cuales

garantizan la estabilidad del sistema no lineal plano, y por lo tanto el diseño del controlador

retroalimentado se vuelve más complejo.

De los resultados de la aplicación de linealización exacta prealimentada a los casos de

estudio presentados, se formuló una posible generalización a este tipo de sistemas. Sin embargo,

no se realizó un estudio que valide que esa generalización sea aplicable a cualquier sistema no

lineal plano multivariable que presente incertidumbre paramétrica. Por lo que, sería interesante, o

más bien, necesario, realizar dicho estudio que demuestre que esta generalización sea válida para

todo sistema no lineal plano, o por lo menos para una familia de éstos.

La aplicación de linealización exacta prealimentada a los sistemas presentados en los

capítulos anteriores se logró debido a la representación en variables del estado de éstos. Sin

embargo, existen sistemas no lineales planos que no admiten dicha representación. Y para esta

clase de sistemas, no se puede aplicar la metodología de linealización exacta prealimentada para

realizar el seguimiento de una trayectoria deseada. Por lo tanto, se podría investigar si existe una

forma de aplicar los resultados de esta metodología a esta clase de sistemas, es decir, si existe una

equivalencia del resultado de estabilidad de Kelemen para este tipo de sistemas.

5.3 Ventajas y desventajas de la metodología

De los resultados que se presentaron en los capítulos anteriores, y de la discusión sobre la

metodología de linealización exacta prealimentada, que se presentó en la sección anterior, se

puede mencionar las ventajas y desventajas que tiene esta metodología de control para sistemas

no lineales planos, las cuales se mencionan a continuación.

5.3.1 Ventajas

La estrategia de control de linealización exacta prealimentada se basa en la propiedad de

aplanamiento diferencial que los sistemas no lineales planos poseen. Por lo tanto, aprovechando

dicha propiedad, se tienen las siguientes ventajas:

• Si un sistema es plano, entonces existe una salida plana que parametriza todas las

variables del sistema.

5.Conclusiones

122

• La parametrización de todas las variables del sistema permite la planeación de

movimiento de una manera sencilla y fácil.

• Se puede utilizar linealización exacta prealimentada para el diseño de controladores que

permitan realizar el seguimiento de una trayectoria planeada (deseada).

• Mediante un resultado de estabilidad de Kelemen, se puede especificar las ganancias de

un controlador retroalimentado tipo PID extendido, tal que se garantiza el seguimiento de

trayectoria.

• El seguimiento de trayectoria se puede realizar aún si las condiciones iniciales, del

sistema de la trayectoria deseada, no son consistentes, pero éstas se encuentran muy cerca,

una de la otra.

• Los controladores que se diseñan mediante linealización exacta prealimentada pueden

hacer frente a incertidumbre paramétrica estructurada en el sistema. Lo cual permite el

seguimiento de trayectoria si se desconocen los valores numéricos de los parámetros del

sistema.

• Utilizando un resultado de estabilidad de Kelemen, se puede realizar un análisis de

robustez de la ley de control que se diseña mediante linealización exacta prealimentada

para determinar la longitud del intervalo máximo de incertidumbre en los parámetros, con

los cuales aún se puede realizar el seguimiento de trayectoria.

5.3.2 Desventajas

La estrategia de control de linealización exacta prealimentada se puede utilizar en

sistemas dinámico físicos que se modelen en espacio de estados., como un rodamiento magnético

(que se presentó en los Capítulos 3 y 4). Se puede utilizar linealización exacta prealimentada para

el diseño de controladores que realizan el seguimiento de trayectoria. Sin embargo, para el

análisis de robustez la ley de control que se diseña mediante esta estrategia de control se tiene las

siguientes desventajas.

La estabilidad de linealización exacta prealimentada se logra mediante la estabilidad de la

dinámica del error de seguimiento. En el diseño de los controladores mediante dicha estrategia de

control, y del análisis de su robustez, se tienen las siguientes inconveniencias.

• La metodología de linealización exacta prealimentada sólo puede aplicarse a sistemas no

lineales planos que se modelen en espacio de estados.

• El orden de la dinámica del error de seguimiento es de 1n + , donde n es el orden del

sistema no lineal plano, por lo tanto, si el orden del sistema plano es grande, el orden de la

dinámica del error de seguimiento se vuelve más grande, en consecuencia su estudio se

vuelve complejo.


123

• Si el acoplamiento de las variables del estado del sistema no lineal plano están muy

acopladas, éste acoplamiento se mantiene en los controladores, prealimentado y

retroalimentado, que se diseñan mediante linealización exacta prealimentada.

• El análisis de robustez de linealización exacta prealimentada sólo se puede realizar para

sistemas no lineales planos con incertidumbre paramétrica estructurada, cuyas salidas

planas sean independientes de los parámetros.

• El análisis de robustez se realiza mediante la linealización tangencial de la dinámica del

error de seguimiento en su punto de equilibrio. Si las variables del estado están muy

acopladas, entonces la linealización tangencial es difícil de determinar, y por

consecuencia, el análisis de robustez.

La metodología de linealización exacta prealimentada aún se encuentra en una etapa

inicial, lo que la mantiene como un tema de investigación. Por lo tanto, aún hay mucho que

descubrir en esta tierra, no muy explorada, que es linealización exacta prealimentada. Espero que

los próximos valientes que incursionen en esta tierra encuentren en este trabajo las herramientas

útiles para encontrar un tesoro mayor al que he encontrado, el cual lo comparto con el lector de

esta tesis.

5.Conclusiones

124

125

Apéndice A

Diagramas de simulación y códigos de programación

Con el fin de esclarecer la metodología de linealización exacta prealimentada para el diseño

de leyes de control para sistemas no lineales planos nominales y con incertidumbre paramétrica

que permitan el seguimiento de trayectoria, se diseñaron los esquemas de control pertinentes en el

ambiente de simulación de SIMULINK ® de MATLAB®.

Mediante SIMULINK se desarrollaron los sistemas dinámicos para cada caso de estudio

que se presentó en esta tesis. Además, se implementaron los controladores, prealimentado y

retroalimentado, que se diseñaron mediante linealización exacta prealimentada. También, se

diseñaron las curvas de Bézier para el seguimiento de trayectoria de cada caso de estudio.

Los diagramas de simulación y códigos de programación que se utilizaron para la obtención

de los resultados que se presentan en esta tesis, se muestran en las secciones siguientes.

A.1 Sistema de levitación magnética

El primer caso de estudio fue un sistema de levitación magnética. Este sistema se presentó

en la Sección 3.1.2. El esquema de control que se desarrolló para este sistema se muestra en

Figura 55. En la cual se observa cinco bloques importantes, los cuales se enlistan a continuación

y se describen más adelante.

1. Generador de la salida plana mediante una curva de Bézier

2. Salida plana y sus derivadas sucesivas temporales

3. Control prealimentado

4. Sistema de levitación magnética

5. Control retroalimentado.

A. Diagramas de simulación y códigos de programación

126

El primer bloque se trata del generador de la salida plana. Este bloque genera una curva de

Bézier, la cual se considera como la trayectoria nominal a seguir, cuya regla de correspondencia

es como (3.7) de la Sección 3.1.2. El segundo bloque está constituido por derivadores en

cascada. Esta configuración permite obtener las derivadas temporales de la salida plana hasta el

tercer orden.

Figura 55.- Esquema de control para el sistema de levitación magnética

En el tercer bloque se encuentra el control prealimentado. En dicho control se encuentra

embebida la ley de control (3.8) de la Sección 3.1.2. El código de programación de este bloque

se muestra en la Sección A.1.1. El cuarto bloque representa al sistema de levitación magnética.

En este bloque se incluyen el modelo del sistema, y su código de programación se presenta en la

sección siguiente.

Finalmente, en el bloque cinco se encuentra el control retroalimentado. Este bloque se

incluye con la plataforma de simulación de SIMULINK. Sus alcances y limitaciones están dados

por la misma plataforma. En este bloque se incluye una herramienta de autosintonización, la que

se utilizó para obtener los resultados que se presentan en la Tabla 1.

A continuación se presentan los códigos de programación que se crearon para los diferentes

bloques que se mencionaron anteriormente.

A.1.1 Códigos de programación

Los códigos de programación permiten desarrollar herramientas de simulación que no se

encuentran definidas en la plataforma de SIMULINK. Mediante estos códigos de programación

se pueden representar, por ejemplo, a sistemas dinámicos, controladores, generadores de curvas,

etc.

Levitador MagnéticoOllervides

Evaluación E.PDFy(t)

i(t)i '(t)

y"(t) y'(t)

Datos:R = 11 Ohmsg = 9.81 m/s2

k = 6.5308e-5 Nm2/A2m = 0.068 Kg

1s

VelocidadTrayectoria Nominal

1

Switch

Step1

u

data

i

y

dy

di

ddy

SNL

Sistema No LinealLevitador

Señales de Control

SeguimientoPID(s)

Retroalimentación

f

f 1

f 2

f 3

data

u_feedforward

Prealimentación 1s

Posición

data

Datos

1s

Corriente

t f d

Bezier

du/dt

3a

du/dt

2a

du/dt

1a

1 2 3

4

5

A.1Sistema de levitación magnética

127

El bloque tres es una función embebida que toma como entrada a la salida plana y sus

derivadas temporales hasta el orden tres. Esta función tiene como salida la señal prealimentada

nominal. Con la aplicación de esta señal al sistema no lineal plano se obtiene una forma de

Brunovský lineal sin cerrar el lazo, lo que facilita el diseño e implementación de un controlador

retroalimentado. Su código de programación es la siguiente:

%%%%%%%%%% CONTROL PREALIEMNTADO %%%%%%%%%%%% function u_ =feedforward(f,f1,f2,f3,data) %#codegen r=data(1); m=data(2); g=data(3); k=data(4); aux=sqrt(g-f2); theta1=sqrt(2*m*k); theta2=r/k; u_=theta1*(theta2*f*aux-aux*f3/(2*(g-f2))); %f es la salida plana %f1 es la primera derivada de la salida plana %f2 es la segunda derivada de la salida plana %f3 es la tercera derivada de la salida plana %u_ es el control prealimentado nominal %r, m, g y k son los parámetros del sistema %aux, theta1, theta2 son variables auxiliares %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

El bloque cuatro, representa el sistema no lineal plano. Su código de programación es el

siguiente:

%%%%% SISTEMA DE LEVITACION MAGNETICA %%%%%%% function [di,ddy] = SNL(u,data,y,i,dy) %#codegen r=data(1); m=data(2); g=data(3); k=data(4); di=y*u/k - y*i*r/k + i*dy/y; ddy=g-(k/(2*m))*(i^2/y^2); %u es la entrada al sistema %data es el vector de parámetros del sistema %y es la posición de la esfera, (x1) %i es la corriente del electroimán (x2) %dy es la velocidad de la esfera (x3) %di es la derivada de x1 %ddy es la derivada de x3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


128

A.2 Manipulador de unión flexible

El segundo caso de estudio que se presentó en esta tesis fue un manipulador de unión

flexible. Con este sistema se incursionó en el esclarecimiento de la metodología de linealización

exacta prealimentada. El esquema de control que se desarrolló para este sistema se muestra en la

Figura 56. En ésta se distinguen cuatro bloques principales, los cuales se enumeran a

continuación:

1. Generador de la salida plana mediante una curva de Bézier

2. Salida plana y sus derivadas sucesivas temporales

3. Control prealimentado

4. Manipulador de unión flexible

Figura 56.- Esquema de control para el manipulador de unión flexible.

El primer y segundo bloque de la Figura 56 son idénticos a los de la Figura 55. En el tercer

bloque se encuentra el control prealimentado. En dicho bloque de control se encuentra embebida

la ley de control (3.14) de la Sección 3.1.3. El código de programación de este bloque se muestra

en la Sección A.2.1. El cuarto bloque representa al manipulador de unión flexible. En este bloque

se incluyen el modelo del sistema, y su código de programación se presenta en la sección

siguiente.

Flexible joint manipulatorSira-Ramírez

Pag. 193

Datos:m = 0.4 Kg

g = 9.81 m/s2L = 0.185 m

J = 0.002 N-ms2/radI = 0.0059 N-ms2/rad

k = 1.61 Nms/rad

trayectoria nominal

1s

Vel Eslabon

Seguimiento

Posición

1s

Pos Eslabon

1s

Pos Eje1

1s

Pos Eje

u

data

x1

x2

x3

x4

x1_

x2_

x3_

x4_

SNL

Flexible Joint Manipulator

f

f 1

f 2

f 3

f 4

data

u_feedforward

Feedforwarddata

Datos

Control nominal

t f d

Bezier

All states

du/dt

4a

du/dt

3a

du/dt

2a

du/dt

1a

1 2 3

4

A.2 Manipulador de unión flexible

129


El bloque tres es una función embebida que toma como entrada a la salida plana y a sus

derivadas temporales hasta el orden cuatro. Esta función tiene como salida la señal prealimentada

nominal. Con la aplicación de esta señal al sistema no lineal plano se obtiene una forma de

Brunovský lineal sin cerrar el lazo. Si el sistema es estable, y la condición inicial del sistema es

consistente con la de trayectoria a seguir, se realiza el seguimiento de trayectoria. Sin embargo, si

dichas condiciones no son consistentes, y el sistema es inestable, el comportamiento del sistema

se encuentra en una vecindad de la trayectoria a seguir en un intervalo de tiempo acotado. Su

código de programación es la siguiente:

%%%%%%%%%%%%%%%%CONTROL PREALIMENTADO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function u_ =feedforward(f,f1,f2,f3,f4,data) %#codegen mgl=data(1); J=data(2); I=data(3); k=data(4); u_=J*(I*(f4+mgl*(cos(f)*f2-sin(f)*f1*f1))/k+f2)+I*f2+mgl*sin(f); %f es la salía plana %... ... %f4 es la cuarta derivada de la salida plana %data es el vector de parámetros %u_ la señal de control prealimentada %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

El bloque cuatro, representa el sistema no lineal plano. Su código de programación es el

siguiente:

%%%%%%%%%%%MANIPULADOR DE UNION FLEXIBLE%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [x1_,x2_,x3_,x4_] = SNL(u,data,x1,x2,x3,x4) %#codegen mgl=data(1); J=data(2); I=data(3); k=data(4); theta1=mgl/I; x1_=x2; x2_=-theta1*sin(x1) - k*(x1-x3)/I; x3_=x4; x4_=k*(x1-x3)/J + u/J; % u es la entrada del sistema % x1, x2, x3, y x4 son las variables del estado % x1_,..., x4_ son las derivadas de las variables del estado %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


130

A.3 Levitador magnético

El tercer caso de estudio fue un levitador magnético. A este sistema se le diseñó un

esquema de control mediante linealización exacta prealimentada para el seguimiento de

trayectoria. Además, se hizo un análisis de robustez de dicho esquema de control cuando se

consideró la incertidumbre en sus parámetros. El esquema de control que se desarrolló para este

sistema se muestra en la Figura 57. En ésta se distinguen cuatro bloques principales, los cuales se

enumeran a continuación:

1. Generador de la salida plana y sus derivadas temporales.

2. Control mediante linealización exacta prealimentada

3. Levitador magnético de orden reducido

4. PID extendido.

Figura 57.- Esquema de control para el levitador magnético de orden reducido.

El primer bloque se trata del generador de la trayectoria de la salida plana. Este bloque

genera una curva de Bézier, la cual se considera como la trayectoria nominal a seguir, cuya regla

de correspondencia es como (3.34) de la Sección 3.1.4. Este bloque también genera las derivadas

temporales sucesivas hasta el segundo orden de la salida plana. El código de programación que

genera la trayectoria de la salida plana se encuentra en la sección siguiente.

El segundo bloque se refiere al esquema de control de linealización exacta prealimentada.

En este bloque se encuentra embebida la ley de control (3.26) de la Sección 3.1.4. Dicha ley de

control permite el seguimiento de la trayectoria deseada del bloque uno.

En el tercer bloque se encuentra el modelo del levitador magnético de orden reducido. Su

código de programación se presenta en la Sección A.3.1. Mediante la manipulación de éste

Levitador MagnéticoHagenmeyer & Delalau 2003b

pag. 550.

Datos:g = 981 cm/s2

k = 58.042 cm3kg/(As)2m = 0.0844 Kg

yy´

y´´

y* derivadas

1s

Velocidad

TrayectoriaNominal

Señalesde Control

Seguimiento

0SW1

1

SW

f

f 1

f 2

data

f b

i_LEP

Pre + Retro

1s

Posición

t y _bezier

Perturbación

Perturbación

e Λ(e)

PIDExtendido

i

x1

x2

data

x1_

x2_

SNL

Levitadorde orden reducido

Error

data

Datos

1 2

3

4

A.3 Levitador magnético

131

código, en la sección donde se define los valores numéricos de los parámetros, permite simular el

comportamiento del sistema en presencia de incertidumbre paramétrica.

En el cuarto, y último, bloque se presenta el controlador retroalimentado tipo PID. El

polinomio característico de este controlador se presentó en (3.37), y sus ganancias son iguales a

(3.41). En la Sección 3.3.2 se muestra que, cuando hay incertidumbre en el sistema no lineal

plano, este controlador permite el seguimiento de trayectoria aún con el desconocimiento del

valor exacto de los parámetros del sistema.


Como se mencionó en las secciones anteriores, la modificación del código de programación

permite la simulación del comportamiento de un sistema dinámico en diferentes condiciones.

Estas condiciones son, por mencionar algunas, en presencia de incertidumbre paramétrica, con

perturbaciones externas, ruido en sensores, diversas trayectorias a seguir, etc. En consecuencia, la

implementación de estos códigos de programación facilita al usuario distintos escenarios de

simulación.

A continuación se presenta el código de programación para la generación de curvas de

Bézier mediante la regla de correspondencia (3.33) que se presentó primeramente en la Sección

3.1.4.

%%%%%%%%%%%%%%% GENERACIÓN DE UNA CURVA DE BEZIER DE ORDEN N %%%%%%%%%%%%%% function y =Bezier(t) % Generación de una cuerva de Bezier. n=10; % Orden del polinomio t0=0; % Tiempo inicial P0=-0.15; % Condición inicial tf=0.8; % Tiempo final Pf=-0.49; % Condición final %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 % % | | | | | | | | | | | | % % | % % Pf - ° ° ° ° ° % % | % % | % % | ° %Si n es par % % | % % | % % P0 - ° ° ° ° ° % % | % % ----------|------------------------------------|-------- % % | t0 tf % % | % % %


132

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%% ALGORITMO PARA LA CREACIÓN DE UNA CURVA DE BEZIER DE ORDEN N %%%%%%% % % % P0 t < t0 % % % % n n! / tf-t \ n-1 / t-t0 \ % % SUM --------- | ------- | | ------ | Pi t0 < t < tf % % i=0 i!(n-1)! \ tf-t0 / \ tf-t0 / % % % % Pf t > tf % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% P=0:n; % Vector de puntos. %%%%%% COLOCACIÓN DE PUNTOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Los puntos P0 y Pf en los Pi's if (~mod(n,2)) % Si n es par for i=1:n/2 P(i) = P0; P(n+2-i)=Pf; end P((n+2)/2)=(P0+Pf)/2; else % Si n es Impar for i=1:(n+1)/2 P(i) = P0; P(n+1-i)=Pf; end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Generación de la curva algebraica % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if t<t0 y=P0; elseif t<=tf y=0; for i=0:n fact=factorial(n)/(factorial(i)*factorial(n-i)); expo=((tf-t)/(tf-t0))^(n-i); punt=((t-t0)/(tf-t0))î*P(i+1); y=y+fact*expo*punt; end else y=Pf; end

El código de programación de la ley de control que se diseñó mediante linealización exacta

prealimentada se muestra a continuación.

%%%%%%%%%%%LINEALIZACIÓN EXACTA PREALIMENTADA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function i_ =LEP(f,f1,f2,data,fb) %#codegen m=data(1); g=data(2); k=data(3); cte=data(4); i_=(cte+f)*sqrt(m*(f2+fb+g)/k); % f,f1,f2 son la salida plana y sus derivadas

A.4 Sistema académico

133

% m,g,k, cte son los parámetros nominales del sistema % fb es la señal retroalimentada proveniente del controlador PID % i_ es la señal de control nominal %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

El código de programación que representa al modelo del levitador magnético de orden

reducido se presenta a continuación

%%%%%%%%%%%LEVITADOR MAGNÉTICO DE ORDEN REDUCIDO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [x1_,x2_] = SNL(i,x1,x2,data) %#codegen m=data(1); g=data(2); k=data(3); cte=data(4); x1_=x2; x2_=k/m*(i/(cte+x1))^2-g; % x1, x2 son las variables del estado % i es la entrada del sistema % m,g,k, cte son los parámetros nominales del sistema. Los cuales al ser multiplicados por un valor que varíe entre el intervalo [0,1], llega a representar la incertidumbre en dichos parámetros. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


En el desarrollo de esta tesis se estudió un sistema académico, y junto con éste se diseñó el

esquema de control para su simulación. Dentro del esquema de control se desarrollaron los

códigos de programación que permitieron evaluar el comportamiento del sistema académico para

el seguimiento de una trayectoria. En las simulaciones que se realizaron se consideraron los

parámetros nominales y con incertidumbre. El esquema desarrollado en SIMULINK se muestra

en la Figura 58, y sus códigos de programación se presentan en la sección siguiente.

Figura 58.- Diagrama en SIMULINK® para el sistema académico.

yy´

y´´

y2*

yy´

y´´

y1*

Seguimientox2

Seguimientox1

FF1

FF2

FB1

FB2

theta

u1

u2

LEP

Pre + Retro

e Λ(e)

PID 2

e Λ(e)

PID 1

1s

Integrator2

1s

Integrator1

1s

Integrator

1

Gain1

1

Gain

u1

u2

theta

x1

x2

x3

x1_

x2_

x3_

Academico

EjemploAcadémicodata

Datos

1

2

3

4


134

En la Figura 58 se distinguen cuatro bloques principales, los cuales se enlistan a

continuación:

1. Generador de las salidas planas y sus derivadas temporales.

2. Controladores retroalimentados tipo PID

3. Ley de control mediante linealización exacta prealimentada

4. Sistema académico

En el primer bloque se muestra el generador de las salidas planas. En el caso del sistema

académico, se utilizaron dos salidas planas, por lo tanto se diseñó un generador para cada una. La

señal de las salidas planas pasan por bloques derivadores para obtener sus derivadas temporales.

Estas señales (salida plana y sus derivadas) ingresan al bloque tres, para su posterior

procesamiento, con la finalidad de obtener la señal de control nominal que permitirá el

seguimiento de trayectoria, aún en presencia de incertidumbre en los parámetros.

En el segundo bloque se presentan los controladores retroalimentados tipo PID. Los

polinomios característicos de éstos se presentaron en la Sección 3.2.2 y las ganancias de éstos son

como en (3.63) y (3.65). En el bloque tres se muestra la ley de control que se diseñó mediante

linealización exacta prealimentada. Ésta hace uso de las salidas planas y sus derivadas con

respecto al tiempo, así como las señales provenientes de cada controlador retroalimentado, para

obtener la señal de control nominal que permite el seguimiento de trayectoria, aún en presencia

de incertidumbre.

En el último bloque se muestra el modelo del sistema académico. Su código de

programación se presenta en la Sección A.4.1. Mediante la manipulación de éste código, en la

sección donde se define los valores numéricos de los parámetros, permite simular el

comportamiento del sistema en presencia de incertidumbre paramétrica.


A continuación se presenta el código de programación para la generación de curvas de

Bézier mediante la regla de correspondencia (3.33) que se presentó primeramente en la Sección

3.1.4. Este código es para ambos generadores de curvas de Bézier.

%%%%%%%%%%%%%% Generación de una cuerva de Bezier.%%%%%%%%%%%%%%%%% function y =Bezier(t) n=10; % Orden del polinomio t0=0; % Tiempo inicial P0=0; % Condición inicial tf=0.8; % Tiempo final Pf=1; % Condición final %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


135

% n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 % % | | | | | | | | | | | | % % | % % Pf - ° ° ° ° ° % % | % % | % % | ° %Si n es par % % | % % | % % P0 - ° ° ° ° ° % % | % % ----------|------------------------------------|-------- % % | t0 tf % % | % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%% ALGORITMO PARA LA CREACIÓN DE UNA CURVA DE BEZIER DE ORDEN N %%%%%%% % % % P0 t < t0 % % % % n n! / tf-t \ n-1 / t-t0 \ % % SUM --------- | ------- | | ------ | Pi t0 < t < tf % % i=0 i!(n-1)! \ tf-t0 / \ tf-t0 / % % % % Pf t > tf % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% P=0:n; % Vector de puntos. %%%%%% COLOCACIÓN DE PUNTOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Los puntos P0 y Pf en los Pi's if (~mod(n,2)) % Si n es par for i=1:n/2 P(i) = P0; P(n+2-i)=Pf; end P((n+2)/2)=(P0+Pf)/2; else % Si n es Impar for i=1:(n+1)/2 P(i) = P0; P(n+1-i)=Pf; end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Generación de la curva algebraica % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if t<t0 y=P0; elseif t<=tf y=0; for i=0:n fact=factorial(n)/(factorial(i)*factorial(n-i)); expo=((tf-t)/(tf-t0))^(n-i); punt=((t-t0)/(tf-t0))î*P(i+1); y=y+fact*expo*punt; end


136

else y=Pf; end

El código de programación del bloque tres, el cual representa a la ley de control basada en

linealización exacta prealimentada se muestra a continuación.

%%%%%%%%%%%%%% LINEALIZACION EXACTA PREALIMENTADA%%%%%%%%%%%%%% function [u1,u2]=LEP(FF1,FF2,FB1,FB2,theta) %#codegen t1=theta(1); t2=theta(2); t3=theta(3); %%%%%%%%%%%%%% E11=FF1(1); E11D=FF1(2); E11DD=FF1(3); E21=FF2(1); E21D=FF2(2); E21DD=FF2(3); u1=t1*(E11D+FB1)/(t2-E21); u1D=t1*(E11D*E21D/(t2-E21)^2+E11DD/(t2-E21)); u2=(E21DD+FB2)/t2+t3*E11*u1D/t2+t3*E11D*u1/t2-t3*E21; %FF1 es el vector de la primera salida plana y sus derivadas %FF2 es el vector de la segunda salida plana y sus derivadas %FB1 es la señal del controlador PID1 %FB2 es la señal del controlador PID2 %theta es el vector de parámetros %u1 y u2 son las señales de control nominal %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

El código de programación que representa al modelo del levitador magnético de orden

reducido se presenta a continuación. En éste se puede hacer las modificaciones necesarias, en la

parte donde aparecen los parámetros, para simular que el sistema presenta incertidumbre.

%%%%%%%%%%%LEVITADOR MAGNÉTICO DE ORDEN REDUCIDO%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [x1_,x2_] = SNL(i,x1,x2,data) %#codegen m=data(1); g=data(2); k=data(3); cte=data(4); x1_=x2; x2_=k/m*(i/(cte+x1))^2-g; % x1, x2 son las variables del estado % i es la entrada del sistema % m,g,k, cte son los parámetros nominales del sistema. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

A.5 Rodamiento magnético

137


El rodamiento magnético es un sistema físico susceptible a incertidumbre en sus

parámetros. Además, es un sistema no lineal plano multivariable, por lo tanto, es un buen

candidato para estudiar su comportamiento cuando se le diseña un controlador basado en

linealización exacta prealimentada. Como se mostró en el Capítulo 3 y 4, el controlador que se

diseñó para el seguimiento de trayectoria, es robusto, pues hace frente a la incertidumbre

paramétrica del sistema, ya que mantiene la respuesta del sistema en una vecindad cercana a la

trayectoria nominal a seguir.

En la Figura 59 se presenta el esquema de control mediante linealización exacta

prealimentada para el rodamiento magnético. En ésta se aprecian cuatro bloques principales, los

cuales se enlistan a continuación y se describen más adelante.

1. Generador de las salidas planas y sus derivadas temporales.

2. Controladores retroalimentados tipo PID

3. Ley de control mediante linealización exacta prealimentada

4. Rodamiento magnético

Figura 59.- Diagrama en SIMULINK del esquema de control para el rodamiento magnético.

El bloque uno de la Figura 59 representa a los generadores de curvas de Bézier para la trayectoria de la salida plana. Éste bloque es similar a los descrito anteriormente, al igual que su código de programación. Mediante éste último se pueden modificar las variables para generar una familia de curvas, en este caso, se generan dos, una para cada salida plana: la flecha del rodamiento magnético, y la corriente de electroimán.

En el bloque dos se muestran los controladores retroalimentados tipo PID. La estructura de éstos, así como sus ganancias, se presentaron en la Sección 3.2.3 del Capítulo 3. Estos controladores, junto con la señal de las salidas planas y sus derivadas temporales, constituyen la

ξ2,1*

ξ 2,1*

z2*

ξ1,1*ξ1,2*ξ1,3*

ξ 1,3*

z1*

ρ1,1*

w11

ρ2,1*

w1

Variablesde estado

Señalesde control

Seguimiento

0

SW31

SW2

1

SW1

1

SW

u1*

u2*

x1

x2

x3

x4

ξ1,3

RodamientoMagnético

ξ2,1

ξ2,1*Λ(e)2,2

PID22

ξ1,1ξ1,1*ξ1,2ξ1,2*ξ1,3ξ1,3*

Λ(e)1,1

PID11

FF1

FF2

FB1

FB2

u1

u2

LEP

Linealizaciónexacta

prealimentadaE21E

E11E

E11E

E13

E21

E12

E11

E21E

E21

E13

E12

E11

1

2

34


138

ley de control de linealización exacta prealimentada que se encuentra en el bloque tres. Éste último permite el seguimiento de la trayectoria deseada, aún en presencia de incertidumbre en los parámetros del rodamiento magnético.

En el bloque final, se presenta el modelo del rodamiento magnético. En este bloque se utilizó una interfaz gráfica, junto con el código de programación, para modificar los parámetros del rodamiento magnético. Esto último para observar su comportamiento cuando hay incertidumbre en sus parámetros. A continuación se presenta los códigos de programación en los bloques anteriormente mencionados.

5.1 Códigos de programación

El código de programación que se presenta en el bloque uno es similar al que se presentó en

la Sección A.4.1. La diferencia se encuentra en el valor de las variables que se usan en dicho

código. Dicho código de programación se presenta a continuación:

function y =Bezier(t) % Generación de una cuerva de Bezier. n=10; % Orden del polinomio t0=0.1; % Tiempo inicial P0=1e-4; % Condición inicial (salida plana 1) %P0=0.06....% Condición inicial (salida plana 2) tf=0.8; % Tiempo final Pf=0; % Condición final %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 % % | | | | | | | | | | | | % % | % % Pf - ° ° ° ° ° % % | % % | % % | ° %Si n es par % % | % % | % % P0 - ° ° ° ° ° % % | % % ----------|------------------------------------|-------- % % | t0 tf % % | % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%% ALGORITMO PARA LA CREACIÓN DE UNA CURVA DE BEZIER DE ORDEN N %%%%%%% % % % P0 t < t0 % % % % n n! / tf-t \ n-1 / t-t0 \ % % SUM --------- | ------- | | ------ | Pi t0 < t < tf % % i=0 i!(n-1)! \ tf-t0 / \ tf-t0 / % % % % Pf t > tf %


139

% % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% P=0:n; % Vector de puntos. %%%%%% COLOCACIÓN DE PUNTOS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Los puntos P0 y Pf en los Pi's if (~mod(n,2)) % Si n es par for i=1:n/2 P(i) = P0; P(n+2-i)=Pf; end P((n+2)/2)=(P0+Pf)/2; else % Si n es Impar for i=1:(n+1)/2 P(i) = P0; P(n+1-i)=Pf; end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Generación de la curva algebraica % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if t<t0 y=P0; elseif t<=tf y=0; for i=0:n fact=factorial(n)/(factorial(i)*factorial(n-i)); expo=((tf-t)/(tf-t0))^(n-i); punt=((t-t0)/(tf-t0))î*P(i+1); y=y+fact*expo*punt; end else y=Pf; end

Para el bloque tres, la ley de control mediante linealización exacta prealimentada, el código

de programación es el siguiente.

%***********OBTENCIÓN DE LAS SEÑALES DE CONTROL NOMINALES**************** function [u1,u2]= LEP(FF1,FF2,FB1,FB2) %#codegen %....................Parámetros m=2; R1=1; R2=1; I0=6e-2; L0=3e-4; k=2.0125e-3; %....................Datos Derivadas E11=FF1(1); E12=FF1(2); E13=FF1(3); E13D=FF1(4); E21=FF2(1); E21D=FF2(2); %....................Señales de control u1=L0*(E21D+FB2)/(k-2*E11) + R1*E21 + 2*E12*L0*(E21+I0)/(k-2*E11)^2; % Variables auxiliares para u2 temp=sqrt(((E21+I0)/(k-2*E11))^2-m*E13/L0); u2=L0/temp*(((E21+I0)*(E21D*(k-2*E11)+2*E12*(E21+I0)))/(k-2*E11)^3-... m/(2*L0)*(E13D+FB1))+R2*((k-2*E11)*temp-I0);


140

% FF1 es el vector de la salida plana 1 y sus derivadas temporales % FF2 es el vector de la salida plana 2 y sus derivadas temporales % FB1 es la señal proveniente del controlador PID1 % FB2 es la señal proveniente del controlador PID2 % u1, u2 son las señales de control nominales

El bloque cuatro, representa al sistema dinámico, el rodamiento magnético. El código de

programación es el siguiente.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% SISTEMA HORIZONTAL %% %% RODAMIENTO MAGNETICO %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% function [sys,x0,str,ts] = Rod_Mag02(t,x,u,flag,m,R1,R2,L0,I0,k,x1_0,x2_0,x3_0,x4_0) % Parámetros de simulación: % m = 2; %Kg % L0 = 3e-4; %Hm % R1 = 1; %Ohms % R2 = 1; %Ohms % I0 = 6e-2; %Ampere % k=2*g0+a; %2.0125e-3 m % a = 1.25e-5; %m % g0 = 1e-3; %m % Configuración del programa: switch flag case 0 % Initialización sys = [4,... % Número de estados continuos del sistema 0,... % Números de estados discretos del sistema 5,... % Número de salidas del sistema 2,... % Número de entradas del sistema 0,... % reserved must be zero 1,... % Indicador de alimentación directa 1]; % Número de muestreos % Condiciones iniciales del sistema: x0 = [x1_0,x2_0,x3_0,x4_0]'; str = []; ts = [0 0]; % Tiempo de muestreo: [periodo, offset] case 1 % Variables de estado del rodamiento magnético. sys(1) = x(2); sys(2) = (L0/m)*(((x(3)+I0)^2/(k-2*x(1))^2)-(x(4)+I0)^2/(k+2*x(1))^2); sys(3) = -R1*(k-2*x(1))*x(3)/L0 - 2*x(2)*(x(3)+I0)/(k-2*x(1))+((k-2*x(1))/L0)*u(1); sys(4) = -R2*(k+2*x(1))*x(4)/L0 + 2*x(2)*(x(4)+I0)/(k+2*x(1))+((k+2*x(1))/L0)*u(2); case 2 % Flag=2, Caso Discreto. sys = []; % No aplica. case 3 % Salidas. sys(1) = x(1); sys(2) = x(2); sys(3) = x(3); sys(4) = x(4);


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sys(5) = (L0/m)*(((x(3)+I0)^2/(k-2*x(1))^2)-(x(4)+I0)^2/(k+2*x(1))^2); case 9 % Finalización del programa sys = []; % No hacer nada otherwise DAStudio.error('Simulink:blocks:unhandledFlag', num2str(flag)); end

Además, de este código de programación, se utilizó una interfaz para la modificación de los

parámetros del rodamiento, así como las condiciones iniciales del mismo. Esta interfaz fue creada

mediante herramientas propias de la plataforma SIMULINK. En la Figura 60 se muestra la

interfaz para la modificación de los parámetros del rodamiento magnético sin modificar el código

de programación.

Figura 60.- Interfaz para la modificación de los parámetros del rodamiento magnético

Los diagramas y códigos de programación desarrollados e implementados en SIMULINK facilitaron la investigación de este tema de tesis. Mediante esa plataforma de simulación se verificó que la herramienta matemática desarrollada a lo largo de esta tesis fuera válida. Además, ayudó a clarificar la metodología de linealización exacta prealimentada, para los casos nominales, así como en presencia de incertidumbre paramétrica. Sin esta plataforma sería difícilmente obtener los resultados que se presentan en esta tesis.


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