Chapitre 7 : les courants électriques

7 .1 Intensité et densité de courant

Les courants électriques sont produits par le déplacement des porteurs de charges. Le courant électrique dans un fil est une mesure de la quantité de charge qui passe en un point par unité de temps.

L’intensité I en un point M du fil est la quantité de charges mobiles qui passe en M pendant une seconde :

L’unité de l’intensité est le Coulomb par seconde, appelé Ampère.

7 .2 Définition de la densité de courant

On cherche ici à décrire un écoulement de charges par exemple à travers un fil conducteur de section donnée S. On va considérer la quantité de charges qui passe, qui s’écoule, par unité de temps à travers une petite surface dS et définir une densité de courant J

Considérons un fil parcouru par un courant. L’intensité de courant I est la quantité de charge dQ qui passe par la section S du fil pendant une seconde.

On définit le vecteur densité de courant par J

SdJdI

.

L’intensité totale I du courant passant dans le fil de section S est donc :

7 .3 Expression de la densité de courant

Considérons d’abord le cas simple où toutes les particules mobiles ont la même charge +q et la même vitesse v

La charge d2Q qui traverse la surface pendant un temps dt dépend à la fois de la vitesse des particules, de leur nombre n par unité de volume et de l’orientation de par rapport à

Sd

v

Sd

q

dS

v

dl

Pendant dt, les charges parcourent . Celles qui traverseront sont donc toutes celles contenues dans un cylindre de longueur dl et de section dS. Le volume de ce cylindre est donc :

Sd

Dans dt il y a n.dt particules, donc la charge qui traverse dS pendant dt est :

Or le produit nq n’est autre que la densité volumique de charges mobiles rm donc :

Il s’ensuit que la densité de courant J s’exprime très simplement en fonction de rm et par la relation :v

Si il y a plusieurs types de porteurs de charges de densité de charges ri et de vitesses vi

7 .4 Cas du conducteur métallique

Dans un métal, il y a ni électrons mobiles par unité de volume animés de différentes vitesses vi (agitation thermique). On a :

Si on pose vecteur vitesse moyen des électrons,

On peut écrire encore qui est bien de la forme avec (rm=-ne)

Mais ici la vitesse est une vitesse moyenne.

Si le conducteur est en équilibre électrostatique, la distribution des vitesses est isotrope ; les électrons vont à très grande vitesse, de l’ordre de 10-5 m/s, mais toutes ces vitesses sont orientées au hasard dans toutes les directions et leur moyenne vectorielles , J = 0 il n’y a pas de courant dans le conducteur en équilibre électrostatique.

0u

marque un écart à l’équilibre et représente une vitesse d’ensemble, une vitesse moyenne d’entraînement des électrons qui correspond à un courant électrique dans le conducteur. Cette vitesse moyenne est beaucoup plus faible que la vitesse due à l’agitation thermique, comme le montre le calcul suivant.

0u

u

J

v

0u

donc J = 0 0u

0J

donc

à une force de frottement visqueux :

7 .5 Loi d’Ohm

7.5.1. Champ électrique dans un conducteur

Contrairement au cas de l’équilibre électrostatique le champ électrique n’est pas nul, dans le conducteur, puisque c’est lui qui entraîne les électrons pour former un courant électrique.

E

Tout se passe comme si l’électron était soumis

à la force électrostatique :

En fait est toujours négligeable, donc par suite

am

La densité de courant est proportionnelle au champ électrique dans un conducteur.

J

E

Ag Cu Al

résistivité (SI) 1,6 10-8 1,7 10-8 2,8 10-8

Conductivité (SI) 0,62 108 0,59 108 0,35 108

7 5 2 Loi d’Ohm pour un conducteur cylindrique

Une section droite du fil est une équipotentielle (surface orthogonale aux lignes de champ). La différence de potentiel entre deux sections, ou deux points A et B du fil est :

(prenons dans le sens de , VA>VB)AB J

Orientons le fil suivant l’axe Ox, donc dans le même

sens que le vecteur ,c’est-à-dire . On a , avec Ex >0

xudxMd

J

En posant l = xB – xA et E = Ex il vient :

e-E

M’ M

O x

ux

A B

dM = dx ux

J

l=AB

v

Notons V = VA – VB la différence de potentiel entre les deux points du fil, on obtient :

R est la résistance du fil (r résistivité)

Pour établir la loi d’Ohm on néglige devant eE, en effet la masse de l’e- est assez faible donc :

7.5.3. Energie électrique dans un conducteur : Loi de Joule.

D’un point de vue énergétique : Le travail du champ électrique est égale au travail résistant des forces de frottements, ou encore on néglige l’énergie cinétique des e- devant le reste.

Il y a donc transformation intégrale de l’énergie électrique en chaleur par le mécanisme des frottements.

Pendant dt l’e- l’électron parcours dans le champ

E

Sa variation d’énergie électrostatique :

dV > 0 : l’e- remonte le champ , donc se déplace vers les potentiels croissants (VA>VB).

E

L’énergie électrostatique des e- diminue, elle est perdue et récupérée par le conducteur sous forme de chaleur.Dans un conducteur tous les e- perdent la même énergie

0 dtvdx x 0 xevJJ

avec et

En posant

Donc le conducteur récupère cette puissance P et la libère sous forme de chaleur.

Loi de Joule

8. Les circuits à courant continu8.1. Résistances en série et en Parallèle

8.1.1. en série R1 R2 R3

V

V1 V2 V3

Même courant dans chaque résistance R

D’après la loi d’Ohm: V1=I.R1 ; V2=I.R2 ; V3=I.R3.

R

8.1.2. en parallèlesIl y a conservation de la charge

I2

R1

R2

R3

V

I1

I3

ILe courant est divisé

Les tensions V1=V2=V3=V

I1R1= 500 W

R2=700 W

R3=400 W

V=12 V

I2

IPour les résistances en parallèles:

8.2 Force électromotrice (fem) et tension aux bornes

Un objet (pile) qui transforme u type d’énergie quelconque (chimique, mécanique ou lumineuse) en énergie électrique est une source de force électromotrice (fem)

On appelle f.e.m. E la différence de potentiel entre les bornes quand il n’y a pas de courant.

Quand une source débite du courant la ddp < E : => il existe une résistance interne r.

Par ex pour la pile:Si il n’y a pas de courant alors Vab = E

290 W400 W

12 V

a b c

de

e ea b c d

V

6.8 V

5.2 V

On néglige la résistance interne de la pile mAI 17690

12

Le coté + de la pile (e) est au potentiel plus élevé.La charge se déplace:

8.3 Loi de Kirchhoff Dans l’ex précédent nous avons utilisé la loi d’Ohm pour déterminer l’intensité du courant dans le circuit, mais certains circuits sont très complexes.On utilisera 2 lois conçues par Kirchhoff (1824-1887) au milieu du 19e siècle qui expriment la conservation de l’énergie et la conservation de la charge.8.3.1. 1ere loi, la loi des nœuds

Les charges qui entrent dans un nœud doivent en sortirLa somme des courants qui entrent dans un nœud = à la somme des courants qui en sortent

I1

I2

I3

I5

I4

8.3.2. 2ème loi, la loi des mailles

Dans ce circuit, il y a 2 mailles

8.3.2. La fem en série et en parallèle

Pour plusieurs fem en série: la tension totale est la somme algébrique.

a b c

12 V20 V

- + + -

V1

V2

Il faut que V1 = V2, sinon le courant circule d’une pile vers l’autre.

Ce branchement est utilisé pour augmenter le courant

I1 30 W

I2

e

40 W 1 W

fg

dab c

h

1 W

30 W

I3

E = 80 v

1

2

3

E = 45 v

Calculer I1, I2, I3On choisi I3 quittant la sourceI2 rentre dans la source et I1 ?Il nous faut 3 équations

(3 inconnues)

Au point a: I3 = I1 + I2

Loi des mailles maille 1

car

Augmentation de tension

La somme :

maille 3 a h d e f g a

0dhV

30.1IVha

20.2IVed 1.2IV fe

80gfV

Nous avons donc les 3 équations

dans 1

Donc en réalité le courant I1 est en sens inverse

8.4 Circuit RC

R

R

S1 S2

C-+

a

b

Au départ S2 reste ouvert, on ferme S1:le courant se déplace, les e quittent la borne négative de la pile, traversent la résistance R et s’accumulent sur la plaque sup. du condensateur.les charges + font la même chose de l’autre coté.

-

A mesure que la charge s’accumule dans le condensateur l’intensité du courant diminue jusqu’à ce que finalement la tension aux bornes du condensateur = fem de la pile.

La fem. de la pile = chutes de tension entre les bornes de la résistance (RI) et entre les armatures du condensateur (Q/C)

R inclut la résistance R et la résistance interne de la pile, Q la charge de du condensateur,C la capacité du condensateur,Q et I sont des variables,E, R et C sont des constantes.

Constante d’intégration: à t=0 Q=0

Q

t

ECEC63,0

RC 3RC2RC

La quantité RC est la constante de temps du circuit.Elle représente le temps nécessaire pour que le condensateur atteigne ou 63% de sa charge totale.

RC constitue une mesure de la vitesse à laquelle le condensateur accumule des charges.

Intensité I On peut déterminer l’intensité du courant I en fonction de t en dérivant Q

Q

t

R

E

R

E37,0

RC

Décharge du condensateur S1 ouvertS2 fermé R

La loi des mailles nous donne:

Constante d’intégration: à t=0 Q=Q0 0lnQk

Q

t

0Q

037,0 Q

RC

De même pour le courant

8.4 Circuit RC

Inductance d’une bobine

Quand un courant variable traverse une bobine, il y produit un flux magnétique variable, lequel donne naissance à une fem induite.

Le flux magnétique F (qui traverse la bobine) est proportionnel à l’intensité I du courant et le coef. de proportionnalité est l’inductance propre L:

La fem induite E qui apparaît dans la bobine d’inductance L est:

Circuit RL

R

V

+ -

a b

Loi des mailles

(Constante de temps)

I

t

maxIRV

max63,0 I

T=L/R

On déplace l’interrupteur (on retire la pile)