Chapter 3 정상 열전도본 자료의 모든 그림, 표, 예제 등은 다음의 문헌을 참고하였습니다. 참고문헌 : Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar, "Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)", 4th ed., McGraw-Hill Korea, 2011

<학습목표>1. 열저항에 대한 개념과 응용 범위의 이해 및 실제적인 열전도 문제에 있

어서 열저항 회로를 개발한다.2. 다층 직사각형, 원통형 및 구형 형상에 있어서 정상상태 열전도 문제에

대해 해석한다.3. 열접촉 저항 및 그 중요성이 강조되는 경우에 대해 이해한다.4. 단열이 실질적으로 열전달을 증가시키는 조건에 대해 이해한다.5. 휜이 부착된 표면의 해석, 그리고 휜이 효율적이고 효과적으로 열전달

을 증가시키는 방법에 대한 평가를 한다.6. 열전도 형상 인자를 이용한 실제적인 다차원 열전도 문제를 해석한다.

Q(W) R(℃/W)

전도 Qcond.wall = Rwall = L

kA

대류 Qconv =

∞ Rconv = 1hA

복사

Qrad = εσA(-

) = hradA(– )

=

[

]

Rrad = 1hA

3.1 평면벽에서의 정상 열전도 t열전달률 일반식

Qcond.wall = kA

(W)

t열저항 개념

t열저항 회로-양쪽에 대류가 있는 평면벽을 통한 열전달에 대한 열저항

Rconv.1 Rwall Rconv.2

t열전달률 =

∞ ∞

t저항 Rtotal = Rconv.1 + Rwall + Rconv.2 =

+ LkA

+

t다층 평면벽

Rconv.1 Rwall.1 Rwall.2 Rconv.2

k1

k2

R1

R2

temperature drop

L a y e r Layer 1 Layer 2L a y e r 2

interface

temperature

no temperature

T1=T2

△TT1

T2

t저항 Rtotal = Rconv.1 + Rwall.1 + Rwall.2 + Rconv.2 = +

+

+

3.2 열접촉 저항-접촉면은 공기의 작은 열전도에 의해 단열 작용을 하는 여러 크기의 많은 공극을 가진다. 그러므로 접촉면은 열전달에 약간의 열저항을 제공하고 이러한 접촉면의 단위 면적당 열저항.

∆ interface

hc = Q/AΔTinterface

(W/㎡℃)

Rc = 1/hc = ΔTinterfaceQ/A

(㎡℃/W)

3.3 열저항 회로의 일반화 t저항의 병렬연결

=

=

+

--------> Rtotal =

t직렬-병렬 배열에 대한 열저항 회로

=

∞

Rtotal = Rmid + R3 + Rconv =

+ R3 + Rconv

K1

K2 K3

R

RR R

c o

R1 =

, R2 =

, R3 =

,

Rconv =

3.4 원형관과 구에서의 열전도

(W)

=

(W)

Rcyl =

ln = ln(바깥반지름/안반지름)

2π(길이)(열전도도) =

∆

[ Alm = ln

]

cond.sph =

Rsph =

= 바깥반지름-안반지름4π(바깥반지름)(안반지름)(열전도도) =

∆

[ Agm = A1A2 ]

t안쪽과 바깥쪽의 양면에서부터 대류가 일어나는 원통형과 구 셀에 대한 열저항 회로

(1) 원통형

Q =

∞ ∞

Rtotal = Rconv.1 + Rcyl + Rconv.2 =

+

ln +

(2) 구형

Q =

∞ ∞

Rtotal = Rconv.1 + Rsph + Rconv.2 =

+

+

3.5 임계 단열 반지름

임계 단열 반지름은 단열재의 열전도도 k와 외부의 대류열전달계수 h에 의존.

∞

ln

∞

(W)

rcr.cylinder = kh

(m)

rcr.max = m in

m ax (m)

구형쉘에 대한 임계 단열반경 같은 방법으로 다음과 같이 표시될 수 있다.

rcr.sphere = 2kh

3.6 휜 표면으로부터의 열전달 tNewton 의 냉각법칙

Q = hAs(Ts -T∞)

t휜 방정식

where, a2 = hpkAc

(p:접수길이 , θ=Ts -T∞ )

(1). 무한히 긴 휜( Tfin tip = T∞ )

휜 끝에서의 경계조건 : L----->∞ , θ(L)=T(L) - T∞ =0

무한히 긴 휜 : T(x)-T(∞)T(b)-T(∞)

= Exp(-x hp/kAc)

P= 접수길이, AC= 휜의 단면적, x= 휜 바닥으로부터의 거리

(2). 휜 끝으로부터의 열손실 무시(단열된 휜 끝, Qfin.top = 0 )

t휜 끝에서의 경계조건 : dθdx x= L = 0

t단열된 휜 끝 : T(x)-T(∞)T(b)-T(∞)

= cosh.a(L-x)cosh.aL

휜으로부터의.실제.열전달률휜.전체의.온도가.바닥의.온도와.같다고.가정할때.휜에서의.이상적인.열.전달률

Qinsulated tip = = hp/kAc (Tb -T∞) tanh.aL

(3). 휜 끝으로부터의 대류 (또는 대류와 복사의 조합)

t수정 휜 길이

Lc = L + Acp

where, P : 휜 끝에서의 접수길이

사각형이나 원통형으로된 휜의 수정 길이

Lc, rectangular fin = L + t2

, Lc, cylinderical fin = L + D4

where, t: 사각형 휜의 두께 , D : 원통형 휜의 지름

t휜 효율

Qfin.max = hAfin(Tb -T∞)

ηfin = Q(fin)Q(fin.max)

= Qfin = ηfin Qfin.max = ηfin hAfin(Tb -T∞)

ηlong tip = Q(fin)Q(fin.max)

= 1aL

ηinsulated tip = Q(fin)Q(fin.max)

= tanh.aLaL

t휜 유효도

εfin = Q(fin)Q(no.fin)

= Q(fin)hA(Tb-T∞)

εfin = A(fin)η(fin)

A(b)

( )( )( )

totalfin unfin fin fin bfinoverroll

nofin btotalnofin

Q h A A T ThA T TQ

he ¥

¥

+ -= =

-

�

�

( ) tanhtanh

( )fin C b

c blongfin

Q hpkA T T aLaL

hpkA T TQ

¥

¥

-= =

-

�

�

( )( )

fin C blongfin

b b cnofin

Q hpkA T T kphA T T hAQ

e ¥

¥

-= = =

-

�

�

t정상상태에서 균일한 단면을 가지는 길이가 충분한 긴 휜에서의 열전달률

t총괄유효도

적절한 휜 길이 유한한 길이의 휜에서의 열전달과 동일한 조건의 무한히 긴 휜에서의 열전달 비교

열전달 비:

3.7 일반 형태에서의 열전달

두 표면 사이의 정상 열전달률은

S= 전도형상계수[m], k= 표면 사이 매체의 열전도도(전도형상계수는 시스템의 형상에만 의존한다.)

전도형상계수는 몇몇 일반적인 경우에 다음 표 3-8에 주어졌다.

예제 3.1 벽을 통한 열손실

높이 3m, 폭 5m 그리고 두께 0.3m 인 벽. 벽의 내부와 외부의 온도차가 각각 16℃ , 2℃ 로 측정. 벽을 통한 열 손실을 구하여라

물성치벽 열전도도 k = 0.9W/mk

가정1. 벽을 통한 열전달은 정상상태이다.2. 1차원 열전달이다.3. 열전도도는 일정하다.

풀이×

×

예제 3.2 한 장의 유리창문을 통한 열손실

높이 0.8m, 폭 1.5m 그리고 두께 8mm 인 유리창문.창문 밖의 온도가 - 10℃ 이고 방안의 온도가 20℃로 유지됨.유리창문을 통한 정상 열전달률과 내부 표면의 온도를 구하라. 복사의 영향을 포함한 창문의 안쪽과 바깥쪽의 열전달계수는 각각 h1 = 10W/m2k , h2 = 40W/m2k 이다.

물성치열전도도 k = 0.78W/mk 이고 안쪽 열전달계수 h1 = 10W/m2k바깥쪽 열전달계수는 h2 = 40W/m2k

가정1. 유리창문을 통한 열전달은 정상상태이다.2. 1차원 열전달이다.3. 열전도도는 일정하다.

풀이×

총 열 저항 구하기

유리를 통한 정상 열전달률

∞ ∞

유리창문의 내부 표면온도

∞ ⇒ ∞

예제 3.3 2중 유리창을 통한 열손실

높이 0.8m, 폭 1.5m 두께 4mm 인 2중 유리창문과 그 안의 폭 10mm의 공기층을 생각.2중 유리창문을 통한 정상 열전달률과 밖의 온도가 -10℃이고, 방안의 온도가 20℃로 유지될 때 안쪽 유리창문 표면의 온도를 구하라.

물성치유리창문 k = 0.78W/mk공기층 k = 0.026W/mk유리창문의 안쪽 열전달계수 h1 = 10W/m2k유리창문의 바깥쪽 열전달계수 h2 = 40W/m2k

가정1. 유리창문을 통한 열전달은 정상상태이다.2. 1차원 열전달이다.3. 열전도도는 일정하다.

풀이×

총 열 저항 구하기

유리를 통한 정상 열전달률

∞ ∞

유리 내부 표면온도

∞ ⇒ ∞

예제 3.4 접촉저항에 대한 등가 두께

1cm 두께 두 개의 알루미늄 평판의 열 접촉 컨덕턴스는 11000W/m2k. 열 저항이 평판 사이 접촉면의 열저항과 같은 알루미늄의 두께를 구하라

물성치알루미늄의 열전도계수 k = 237W/m2k

풀이

×

평판의 열저항

알루미늄의 두께 ×

예제 3.5 트랜지스터의 접촉저항

알루미늄케이스에 들어있는 네 개의 동일한 동력 트랜지스터 두께 1cm , 가로 20cm, 세로 20cm의 사각형 구리판에 평균 6MPa 압력의 나사로 부탁되어 있다. 각 트랜지스터의 밑면적은 , 평판의 10cm × 10cm 인 네 면의 각 중심에 부착 접촉면의 거칠기는 약 1.5 μm. 모든 트랜지스터의 접합점에서 발생되는 모든 열은 구리판의 뒷면을 통과 20℃의 공기로 소산. 트랜지스터 케이스의 온도가 70℃를 넘지 않을 때, 각 트랜지스터에서 열이 안전하게 소산될 수 있는 최대 동력과 케이스와 평판의 접촉면에서의 온도상승을 구하라.

물성치구리판 k = 386W/mk뒷면의 복합열전달 계수 25W/m2k열접촉 컨덕턴스 hc = 42000W/m2k

가정1. 정상상태에서 작동2. 평판의 면적이 트랜지스터 바닥면보다 크므로 1차원 열전도 문제로 본다.3. 모든 열은 평판의 뒷면을 통해서 소산된다.4. 열전도도는 일정하다.

풀이×

×

총 열 저항 구하기

×

열전달률

∆

접촉면의 온도상승∆

예제 3-6 복합 열을 통한 열손실

높이 3m, 폭 5m의 벽이 두께 3cm의 플라스틱 층으로 분리된 16cmX20cm의 단면을 가지는 수평벽돌로 구성. 그림과 같이 벽돌 각각의 면은 2cm 두께의 플라스터 층으로 덮여 있고, 벽의 내부 면은 3cm 두께의 강성포말로 되어있음.

물성치플라스터 k=0.22W/mK수평벽돌 k=0.72W/mK강성포말 k=0.026W/mK실내온도 20℃, ·

실외온도 -10℃, ·

가정1.복사에 의한 열전달 무시 할 수 있다.2.1차원 열전달이라 가정

풀이

각각의 부분에서 저항값을 구해주면

ⓘ ① ②

③

④ ⑥

⑤

3 2 16 2

1.5

22

1.5

· ·

℃

성포말

· ·

℃

플라스터 벽

· ·

℃

플라스터 중심벽

· ·

℃

벽돌

· ·

℃

· ·

℃

저항 3,4,5는 병렬구조이기 때문에

℃

℃

℃

℃

따라서 ℃

총 저항의 값은

℃

유리창을 통한 정상 열전달 값은

∞ ∞

벽면 전체의 표면적은 · 이기 때문에

·

예제 3-7 구형 용기로의 열전달

내경이 3m, 두께가 2cm인 스테인리스 강 용기에 온도 ℃인 얼음이 저장되어있음 이 용기는 ∞ ℃인 방에 있음. 이 방벽의 온도는 22℃, 외부는 검은색 용기의 바깥표면과 주위와의 열전달은 자연대류와 복사에 의해 일어남(a)용기에서 얼음으로의 열전달률은?(b)24시간동안 녹은 0℃ 얼음의 양은?

물성치스테인리스 강 k=15W/mK내부표면 ·

외부표면 ·

얼음의 융해열 해열

용기의 검은표면 방사율

가정1. 정상상태이다. 2. 1차원이다.3. 열전도도 일정하다.

풀이(a)용기의 내경은 3m, 외경은 3.04m 각각의 표면적은

복사열전달계수는

∞ ∞

문제에 값을 주어주지 않았기 때문에 위의 식으로는 값을 구할 수 없다. 따라서 값을 가정하여 구한 뒤 다시 대입하여 값이 맞는지 확인하여야 함.0℃ < < 22℃이고, 복사열전달계수 내부값이 더 크기 때문에 은 0℃에 더 가까울 것.값을 5℃=278K로 가정함

·

℃

℃

℃

℃

외부표면은 대류와 복사에의해서만 열전달이 생기므로

외부

℃

따라서 외부 ℃

총 저항의 값은 외부

℃

정상상태에서 얼음으로의 열전달률은

∞ ∞

처음의 가정값의 타당성을 검토하기위해 식을 다시 세움 ∞ 외부

℃ ℃

5℃로 가정한 값과 별 차이가 안남

(b)24시간동안 총 열전달량은 ∆ ·

얼음의 융해열은 333.7KJ/Kg이므로

얼음 융해열

예제 3.8단열된 증기관을 통한 열손실

℃인 증기가 내경 D1 = 5cm, 외경 D2 = 5.5cm인 주철관 안으로 흐름관은 두께 3cm인 유리솜 단열재로 둘러싸여 있음. 열은 복합열전달계수 h2 = 18W/m2k인 자연대류와 복사에 의해서 ∞ ℃인 주위로 손실. 관 내부의 열전달계수 h2 = 60W/mk라고 할 때, 증기로부터 관의 단위길이당 열손실률과 단열재와 관을 통한 온도강하를 구하라.

물성치주철관 k=80W/mk유리솜 단열재 k=0.05W/mk

가정1. 시간에 따른 열변화가 없으므로 열전달은 정상상태이다.2. 축방향으로 변화가 없고 중심선에 대해 대칭으므로 1차원 열전달 문제이다.3. 열전도도는 일정하다.4. 접촉면에서 열접촉저항은 무시한다.

풀이L = 1m 일 때

열저항은

ln

ln

ln

ln

증기로부터의 열손실률은

∞ ∞

단열재와 관을 통한 온도강하는∆ 이프 파이프 ×

∆ ×

예제 3-9 단열된 전선에서의 열손실

열전도도 k=0.15 , 두께 2mm인 플라스틱 덮개로 싸여있는 직경 3mm, 길이 5m인 전선전선은 10A의 전류가 흐르고 8V의 전압강하. 열전달계수 h=12 이고 온도∞

=30℃인 매체에 노출. 정상상태에서의 전선과 플라스틱 덮개의 접촉면에서의 온도는?

가정1. 정상상태 2. 1차원 열전달 3. 열전도도 일정 4. 접촉면에서의 열접촉저항 무시

물성치 k=0.15

풀이

ln

ln

℃

℃

℃

∞→ ∞ ℃℃ ℃

예제 3-10 트랜지스터의 최대동력 소산

동열저항이 ℃ 인 동력 트랜지스터의 케이스의 온도가 ℃를 넘지 않아야함.주위온도 ℃에서 작동될때의 동력은?

물성치열저항 ℃

가정1. 정상 조건에서 작동2. 트랜지스터 케이스는 등온이다.

풀이

∞

예제 3-11 트랜지스터에서 열싱크 선택

60W 동력트랜지스터의 케이스온도를 주위 공기온도 30℃에서 90℃가 넘지 않도록 하는 열싱크는?

가정1. 정상 조건에서 작동한다.2. 트랜지스터 케이스 온도는 90℃3. 트랜지스터와 열싱크 사이의 접촉저항은 무시

풀이

∆→

∆

℃

∴저항이 1.0℃/W인 저항을 선택!

예제 3-12 가변 단면 휜으로 부터의 열전달

휜 표면온도 200℃. 휜의 길이 20mm, 휜 바닥 지름 5mm, 휜 주변온도 25℃.대류열전달계수 , 휜의 열전도도 .휜 효율, 열전달률, 각 휜의 유효도는?

가정 1. 정상상태 2. 1차원 열전달 3. 열물성치 일정

물성치 k=

풀이

×

한 개의 휜에 대한 열 전달률은

∞ ×

휜 유효도 ∞

예제 3-13 매설된 증기관으로부터의 열손실

지역 난방시스템의 길이 30m, 지름 10cm의 온수관이 지표에서 50cm아래 흙속에 매설됨.관으로부터의 열손실률은?

물성치외부표면온도 0℃지표온도 10℃흙의 열전도도 k=0.9W/mK

가정1. 정상상태2. 2차원3. 흙의 열전도도는 일정

풀이형상계수는 표 3-7의 (1)을 참고하여 알아냄

ln

Z > 1.5D이고

이 값을 대입하면

ln ·

·

따라서

℃

예제 3-14 온수관과 냉수관 사이의 열전달

두 관의 지름 5cm, 길이 5m, 관의 중심선 사이 거리 30cm, 각 관의 표면온도 각각 70℃, 15℃콘크리트의 열전도도 k=0.5W/m*k, 관 사이의 열 전달률?

가정 1. 정상상태 2. 2차원 열전달 3. 열전도도 일정

풀이

cosh

cosh

예제 3-15 동절기 벽을 통한 열손실 비용

벽 높이 3m, 단열 R = = 2.3 ( · ℃)

두 벽의 길이 12m, 9m. Ti = 25℃

내부벽 표면 hi = 8.29 (W/m · ℃ )동절기 풍속 24km/h 일 때 외부벽 표면 h0 = 34.0 (W/m

· ℃ )(a) T∞ = 7℃ 일 때 벽을 통한 열손실?(b) 전기료 $0.075/kWh 일 때 열손실 비용?

가정1. Ti ,T∞ = 일정, 정상상태 2. 1차원 열전달

풀이A = 둘레 * 높이 = (2*9m + 2*12m)(3m) = 126m

Ri = Rconv,i = =

· ℃

= 0.00096 ℃

Rwall = =

=

· ℃ = 0.01825 ℃

Ro = Rconv,o =

= · ℃

= 0.00023 ℃

Rtotal = Ri + Rwall + Ro = 0.00096 + 0.01825 + 0.00023 = 0.01944 ℃

열전달률 =

∞ ∞ = ℃

℃ = 925.9 W

24시간동안 총 열손실량과 비용Q = ∆ = (0.9259kW)(24-h/day) = 22.2 kWh/day비용 = (22.2kWh/day)($0.075/kWh) = $1.67/day