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什么是“代数” ？
用字母代替数 —— 便于研究量之间的规律。
《线性代数》研究的内容
=+
=+
.,
2222121
1212111
bxaxabxaxa
用字母代替数组、
11 12 11 2
21 22 2
a a ba a b
β β β
= = =
( )( )
1 11 12 1
2 21 22 2
a a b
a a b
α
α
=
=
研究数组的运算、关系及其应用的一门学科。
代替数组的组 ，
11 12 1
21 21 2
a a bA
a a b
=
例如
序 言
第一章 行列式
本章主要内容：
n阶行列式 定义（§1.1）、
性质（§1.2、§1.3）；
克莱姆法则：
n元线性方程组与n阶行列式的关系（§1.4）
§1.1 n阶行列式
一、二阶、三阶行列式 1．二阶行列式
=+
=+
.,
2222121
1212111
bxaxabxaxa
分析二元线性方程组的解
11
DxD
= 22
DxD
=则当 ，0D ≠
对角线法则:主对角线上两元素乘积减去副对角线上两元素乘积
【注】分母都为原方
程组的系数行列式.
【练习】设2
3 1D
λ λ=
问λ为何值时D＝0，λ为何值时D≠0？
例1 利用行列式解二元线性方程组1 2
1 2
2 3 82 3
x xx x+ =
− = −
2．三阶行列式
希望当 也有0≠DDDx
DDx
DDx 3
32
21
1 ,, ===
=++=++=++
;,,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
问题 三阶行列式如何计算，使上面结论成立？
三元线性方程组
33323
23222
13121
1aabaabaab
D =令
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
D =
33231
22221
11211
3
33331
23221
13111
2
baabaabaa
Dabaabaaba
D ==
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
332211 aaa=
.322311 aaa−
【注】1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.
322113 aaa+312312 aaa+
312213 aaa− 332112 aaa−
三阶行列式的计算
1 2 33 2 12 3 1
例2 计算 12=
【练习】a,b 满足什么条件时有
00 0
1 0 1
a bb a− =
以上方法只适用于三阶行列式的计算.
解 由于方程组的系数行列式
例3 利用行列式解线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 22 3 1
0
x x xx x xx x x
− + = − + − =− + − =
令n个未知数的线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
+ + + = + + + = + + + =
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a aa a a
D
a a a
=
1 12 1
2 22 21
2
n
n
n n nn
b a ab a a
D
b a a
=
11 1 1
21 2 22
1
n
n
n n nn
a b aa b a
D
a b a
=
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n n n
a a ba a b
D
a a b
=
问题 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
n阶行列式如何计算使上述结论成立？
...
希望当1 2
1 2, ,..., nn
DD Dx x xD D D
= = =0D ≠
二、排列及其逆序数
定义2 在一个排列 中，若数
则称这两个数构成一个逆序.
( )nst iiiii 21 st ii >
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，
记作 ( ) ( )1 2 1 2 .t s n t s ni i i i i N i i i i iτ 或
定义1 把n个不同的数排成一列，叫做这n个数的全排
列（或排列）.特别：由n个自然数１、２、…、n组成的有序数
组称为一个n级（阶、元）排列.n级排列共有 种.!n我们规定各数之间有一个标准次序,规定由小到大
为标准次序,若n个不同的自然数按照由小到大排列,称这样的排列为n元自然序排列.
求排列的逆序数两种思路
排列中比每一元素 大的且排在 前面的元素个数ip
iτ 1 2 nτ τ τ τ= + + + ，即是这个排列的逆序数。的总和
ip[方法一]
排列中比每一元素 小的且排在 后面的元素个数
，也是这个排列的逆序数。的总和
ipip
iτ 1 2 nτ τ τ τ= + + +
[方法二]
例如：求 32145τ（ ）
3 2 1 4 5
0 1 2 0 032145 3τ
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
∴
【法一】
（ ）＝
3 2 1 4 5
2 1 0 0 032145 3τ
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
∴
【法二】
（ ）＝
逆序数为奇数的排列称为奇排列；
逆序数为偶数的排列称为偶排列.
排列的奇偶性
例4 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
1） ２１７９８６３５４
[注] 逆序数为0称作偶排列, 例如: .( )123...nτ
2） ( )( )1 2 321n n n− −
解
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1k k k k k k− − − +3）（k为自然数）
特别：将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.
1、定义
对 换
在一个排列中，将某两个数a,b对调，其余各数位置不变，这样的变换称为一个对换,记为(a,b).
例如 1 1l mbaa a b b
1 1l maba a b b
1 1 1l m na a b b cb ca
1 1 1l m na a b b ca cb
1）
2）
定理1 任意一个排列经过一次对换后，改变奇偶性．
证明 1°相邻两个数对换
除 外，其它元素的逆序数不改变.b,a
2．对换与排列奇偶性的关系
ml bbabaa 11a b
ml bbbaaa 11ab ba（ ， ）
结论 对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
次相邻对换m1 1 1l m na a b b cb ca
次相邻对换1+m 1 1 1l m na a b b ca cb
1 1 1 ,l m nbaa a b bc c∴
次相邻对换12 +m 1 1 1 ,l m na a b b acb c
综上一个排列中的任意两个数对换，排列改变奇偶性.
nml ccbbbaaa 111 a b2 °不相邻两个数对换
证明 设这n!个n级排列中共有s个奇排列,t个偶排列，现证s=t.
故必有 .ts =
奇排列 偶排列 s t≤所以前两个数对换ｓ个 ｓ个
偶排列 奇排列 t s≤所以前两个数对换
ｔ个 ｔ个
定理2 n个元素(n＞１)共有n!个n级排列,其中奇、偶
排列各占一半,即各有 个.!/ 2n
1.分析三阶行列式结果
归纳每项内容及符号的规律
三阶行列式共有 项，即 项．6 !3（1）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
三、n阶行列式
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
332211 aaa=
.322311 aaa−322113 aaa+312312 aaa+
312213 aaa− 332112 aaa−
（2）符号： 当行标按1，2，3排列时，每项都可写成
每项符号决定于列标排列的逆序数，即1 2 3( )( 1) j j jτ−
其中 为列标全排列.1 2 3j j j
1 2 31 2 3j j ja a a
综上，三阶行列式
1 2 3
1 2 3
1 2 3
11 12 13( )
3 21 22 23 1 2 3( )
31 32 33
( 1) j j jj j j
j j j
a a aD a a a a a a
a a a
τ= = −∑
为对列标所有全排列求和 .∑)( 321 jjj
定义
2. n阶行列式
1°由 个数构成，有n行、n列， 称为行列式的元素. ija2n
2°为所有不同行不同列的n个数乘积的代数和，共 n！项 .
3°当行标按1，2，…，n排列时，每项符号决定于列标排列的奇偶性：偶排列取正号，奇排列取负号.
4 °n阶行列式简记作 (determinant) ，或det( )ija ija
( ) ( )1 2
1 2
1 2
11 12 1
21 22 21 2
( )
1 2
1 n
nn
n
j j jnj j n j
j j j
n n nn
a a aa a a
D a a a
a a a
τ= = −∑
【注】
5 °一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆.aa =
例5 有4阶行列式，分析：
（1）
是否为展开式中的一项，若是，确定其在展开式中的符号.
22144332213114231214433221 )3()2( aaaaaaaaaaaaa
11
21 22
1 2 3
0 0 00 0
n n n nn
aa a
a a a a
【注】该行列式中左上角到右下角的对角线称为主对角线,主对角线上的各元素称为主对角元素.称左侧的行列式为下三角形行列式，右侧的行列式为上三角形行列式.
例6 计算n阶行列式(其中 )0, 1,2,...iia i n≠ =
11 12 1
22 200 00 0 ...
n
n
nn
a a aa a
a
＝
例7 计算n阶行列式
对角形行列式 1
2
0 ... 00 0... 00 ... 00 ... 0 n
λλ
λ
( 0, 1, 2,... )ii i nλ ≠ =
【练习】计算
nλ
λλ
2
1
【注】1.三角形行列式及对角形行列式的值均等于主对角线元素的乘积。2.由行列式定义知，若有一行（或一列）中的元素都为0，则此行列式的值为 。0
确定行列式中各项符号定理
定理3 n阶行列式 的一般项可以写成ijaD =
nnnn
jijijijjjiii aaa
22112121 )()()1( ττ +−
其中 为行标的n级排列；
为列标的n级排列.
niii 21
njjj 21
续例5 有4阶行列式，分析 (1) 的符号.21 32 43 14a a a a
推论 对于n阶行列式
1 2
1 2
1 2
( ... )1 2
( ... )( 1) ...n
nn
i i ii i i n
i i iD a a aτ= −∑
例8 用行列式的定义计算
0 0 0 1 00 0 2 0 0
1 0 0 0 00 0 0 0
nDn
n
=−
例9 用行列式的定义计算
0 1 0 11 0 1 00 1 0 00 0 1 1
【练习】 用行列式的定义计算
1 1 1 00 1 0 10 1 1 10 0 1 0
小结
1、行列式是一种特定的算式，计算结果是数值，
它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;
2、 阶行列式是 项的代数和;n !n
3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;
nn
4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;aa =
5、 的符号为1 1 2 2 n ni j i j i ja a a ( ) 1 2 1 2( ... ) ( ... )1 .n ni i i j j jτ τ+−
思考题
解
已知 ( )
1211123111
211
xx
xx
xf−
= 3x求 的系数
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
行列式 称为行列式 的转置行列式. TD D
记
nna
aa
22
11
n
n
aaa
2
112
21
21
nn aa
a=D
2
121
n
n
aaa
nn aa
a
21
12=TD
nna
aa
22
11
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
§1.2 行列式的性质
.DD,
)1(
)1(D
)1(D:
n21
n21
n21
n21
n21
n21
n21
n21
n21
j2j1j)jjj(N
jjj
nj2j1j)jjj(N
jjj
21
22221
11211
i2i1i)iii(N
iii
21
22221
11211
′=
−=
′′′−=
′′′⋅⋅⋅⋅
′′′′′′
=′
−=⋅⋅⋅⋅
=
∑
∑
∑
=′
因此
而据行列式定义
已知证明
n
aa
nnnn
n
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaaaaa
aaa
aaa
aaaaaa
jiij
例如
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式的值为零.
,571571
−=266853
.825
825
−=361
567
567
361
266853
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式的值变号.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.k k
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
21
21
11211
=
推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面．
推论2 行列式有一行（列）的元素全为零，行列式值为0 .
推论3 行列式中如果有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式为零．
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
21
21
21
11211
= .0=
【思考】若给行列式的每一个元素都乘以同一数k，等于用 乘以此行列式.
性质4 若行列式的某一行（列）的所有元素都是两数之和，
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
( )( )
( )
j j n
j j n
n n nj nj nn
a a a a aa a a a a
D
a a a a a
′+′+
=
′+
则D等于下列两个行列式之和：
11 1 1 11 1 1
21 2 2 21 2 2
1 1
j n j n
j n j n
n nj nn n nj nn
a a a a a aa a a a a a
D
a a a a a a
′′
= +
′
例如:
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k,然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．
11 1 1 1
21 2 2 2
1
i j n
i j n
n ni nj nn
a a a a
a a a a
a a a a
11 1 1 1 1
21 2 2 2 2
1
( )( )
( )
i j j n
i j j ni j
n ni nj nj nn
a a ka a aa a ka a a
C kC
a a ka a a
++
+
+
×k
例如:
例1 判断下列各式成立否？
（1）
020101321
321020101
−=
（3）
333
222
111
333
222
111
33333
22222
11111
ecaecaeca
dbadbadba
edcbaedcbaedcba
D +=++++++
=
（4）
21
43
32
32
21
43
43
32
21
=D6 8 9
1 9 6 812
8 9 6=
1 2 3 1 2 31 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 33 2 1 3 2 1
− = × + − × + × +（2）
335111024315
2113
−−−−−
−
=D
例2 计算四阶行列式
利用行列式的性质，把行列式化为上(下)三角形
行列式或对角形行列式，从而算得行列式的值．
计算行列式的常用方法
【注】以 ri表示行列式的第i行，以Ci表示第i列.交换
i,j两行记作ri rj , 交换i.j两列记作Ci Cj.
【注】化为上三角形行列式的基本步骤：
如果第一列第一个元素为0，先将第一行（列）与
其他行（列）交换，使得第一列第一个元素不为0；
然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使
得第一列的元素除了第一个元素外其余元素全为0；
再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低
一阶行列式，依次做下去，直到化成上三角形行列
式，此时主对角线上元素乘积就是行列式的值。
例3 计算行列式
21010446147531240259733
13211
−−−−−
−−−−−
=D
例4 计算行列式
(续例1)
21
43
32
32
21
43
43
32
21
=D
abbb
babbbbabbbba
D
=
例5 计算n阶行列式
2 3
1 3
1 2
1 2 3
.
n
n
n
x a a aa x a aa a x aD
a a a x
=
例6 计算n阶行列式
解
解
例7 计算1 1 1 11 1 1 11 1 1 1
1 1 1 1
xx
xx
− −− + −− −
+ − −
计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为三角形行列式，从而算得行列式的值．
小结
行列式的5个性质及推论.(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立)
计算行列式技巧：
1、分析，探求行列式的结构
2、化零，尽可能把行列式化为爪型
3、靠边，把行列式化为三角形行列式
思考题
阶行列式计算4
111
111
111
111
22
22
22
22
dd
dd
cc
cc
bb
bb
aa
aa
D
+
+
+
+
=( )1=abcd已知
§1.3 行列式按行（列）展开
分析三阶行列式的一个规律：
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
332211 aaa=.322311 aaa−
322113 aaa+312312 aaa+312213 aaa− 332112 aaa−
21 12 33 13 32 22 11 33 13 31 23 11 32 12 31( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a a a a a a= − + + − + − +
12 13 11 13 11 1221 22 23
32 33 31 33 31 32
( 1) ( 1)a a a a a a
a a aa a a a a a
= − + + −
12 13 11 13 11 122 1 2 2 2 321 22 23
32 33 31 33 31 32
( 1) ( 1) ( 1)a a a a a a
a a aa a a a a a
+ + += − + − + −
以第二行元素为标准， 将各项分组
其中
来源于
总结规律
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
12 13 11 13 11 122 1 2 2 2 321 22 23
32 33 31 33 31 32
( 1) ( 1) ( 1)a a a a a a
a a aa a a a a a
+ + += − + − + −
12 13
32 33
a aa a
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
11 13
31 33
a aa a
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
11 12
31 32
a aa a
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
一、行列式按某一行（列）展开
定义1 余子式与代数余子式
( )1 ij iji
j MA += − ，叫做元素 的代数余子式．ija
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第列划去后，余下的元素按原来的顺序构成的 阶行列式叫做元素 的余子式.
n ija i j1−n
ija .ijM记作
【注】行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaaaaaa
D =444241
343231
141211
23
aaaaaaaaa
M =
( ) 2332
23 1 MA +−= .23M−=
n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD +++= 2211 ( )ni ,,2,1 =
( )1,2, ,j n=
定理
行列式按某一行（列）展开定理
1 1 2 2j j j j nj njD a A a A a A= + + +或
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
12 13 11 13 11 122 1 2 2 2 321 22 23
32 33 31 33 31 32
( 1) ( 1) ( 1)a a a a a a
a a aa a a a a a
+ + += − + − + −
21 21 22 22 23 23a A a A a A= + +
1111
2
222
11
2)(
11
211)1(
1
21)(
21
22221
11
2
2
2
2
2
2
21
21
21
)1(
)1(
)1(
00
).1(
Aaaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
nnn
n
njjjjN
jj
njjjjN
jj
njjjjjjN
jjj
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=⋅⋅=
−=
−=
−=⋅⋅⋅
∑
∑
∑
证明：
ijijijijji
nnnjnjnnj
nijijiiji
nijijiiji
njjj
ij
ji
nnnjnjnjn
nijijijii
ij
nijijijii
njjj
AaMa
aaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaa
aaaaa
aaaaaa
aaaaa
aaaaa
=−=
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
−=
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
+
+−
+++−+++
−+−−−−−
+−
−+
+−
++++−++
−+−−−−−
+−
)1(
0000
)1(
0000).2(
111
11111111
11111111
11111111
2
111
11111111
11111111
11111111
ininiiii
nnnnn
in
n
nnnnn
i
n
nnnnn
i
n
nnnnn
iniii
n
AaAaAaaaaa
a
aaaa
aaaa
a
aaaa
aaaa
a
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
+++=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
2211
321
1131211
321
2
1131211
321
1
1131211
321
321
1131211
000000000
).3(
0532004140013202527102135
−−−
−
=D
例1 计算行列式
【注】行列式按某行(列)展开是“降阶”简化计算行列式的重要方法.
例2 计算
335111024315
2113
−−−−−
−
=D
解
【注】
直接应用按行(列)展开定理计算行列式,运算量
较大,尤其是高阶行列式,因此,计算行列式时,一般
选择行(列)中0元素多的行(列)展开;
或者先利用行列式性质将某行(列)化为仅含一个
非零元素,再按此行(列)展开,化为低一阶行列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式求解.
0 0 10 0 00 0 0
1 0 0
n
aa
D a
a
=
例3 计算
解 将行列式按第一列展开
1 2 3 4 ...1 1 2 3 ... 11 1 2 ... 21 1 ... 3... ... ... ...1 ... 21 ... 1
n
nn
x nD x x n
x x xx x x
−−
= −
例4 计算
解
例5 证明范德蒙 (Vandermonde)行列式(n≥2)
∏≥>≥
−−−
−==1
112
11
222
21
21
).(
111
jinji
nn
nn
n
n
n xx
xxx
xxxxxx
D
)1(
【练习1】计算 1 1 1 15 2 4 325 4 16 9
125 8 64 27
2
2
2
1 1 12 2 2
.3 3 3
n
nn
n
D
n n n
=
解 每一行提取各行的公因子，于是得到
【练习2】计算
【注】本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．然后根据公式计算出结果.
即i行元素与j行对应元素的代数余子式乘积的和为0.
i列元素与j列相应元素的代数余子式乘积的和为0.
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.ji,AaAaAa jninjiji ≠=+++ 02211
).(,02211 jiAaAaAa njnijiji ≠=+++
推论
把行列式 按第 行展开有det( )ijD a= j证
j第 行
i第 行
11 1
1
1 1
1
1
n
i in
j j jn jn
j jn
n nn
a a
a aD a A a A
a a
a a
= + + =
把行列式中的 换成 可得jka ( 1, , )ika k n=
1 1 2 2i j i j in jna A a A a A+ + +
1i ina a
相同
).(,02211 jiAaAaAa jninjiji ≠=+++
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji ≠=+++
命题得证.
二、行列式按某k行(列)展开（Laplace定理）
定义3 划去这 行 列，余下的元素按照原来的顺序k k
n k−构成一个 阶行列式N，称为 的余子式.在其前面M1 2 1 2( ) ( )( 1) k ki i i j j j+ + + + + + +− ，称为 的代数余子式.M冠以符号
n行列式共有 个 阶子式.( )2knC k
定义2 (1 ),k n≤ ≤
位于这些行和列交叉处的 个元素，按照原来的顺序2k
在 阶行列式D中,任意取定 行, 列n k
构成一个 阶行列式 ，称为 的一个 阶子式.M kDk
k
行标、列标.
1 2 1 2, , , , , , ,k ki i i j j j 分别为 阶子式在 中的其中 Dk1 2 1 2( ) ( )( 1) k ki i i j j jA N+ + + + + + += −
例如
选1、3行，2、4列，得到D的一个2阶子式
M的余子式
M的代数余子式70
04)1( )42()31(
−−
−= +++A
2 1 0 84 3 0 0
0 2 1 50 4 7 0
D− −
=− −−
1 82 5
M =−
4 00 7
N−
=−
例6 求行列式
2 3 5 40 2 3 02 1 2 30 1 1 0
D =
解
n
D
Laplace定理(1 ),k n≤ ≤在 阶行列式中,任意取定 行k
式的乘积之和等于行列式
由这 行元素组成的所有 阶子式与它们的代数余子k k
1 1 2 2 t tD M A M A M A= + + +即 其中knCt =
例7 计算行列式 11 12
21 22
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0 0 00 0 0
0 00 00 0
a aa a
b b bb b bb b b
解 选取第 1,2行展开,得到
小结
计算行列式的常用方法
利用定义计算;利用行列式性质化三角形行列式进行计算;利用行列式性质和展开定理(降阶法)计算;利用递推公式法与数学归纳法计算;利用范德蒙行列式计算;计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以
有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
2
0*
k
k k
AB
例8 计算
解
思考题
解 第一行各元素的代数余子式之和为
n
n
Dn
001
03010021
321
= 求第一行各元素的代数余子式之和
.11211 nAAA +++
,,,, 21 不全为零若常数项 nbbb
则称此方程组为非齐次线性方程组.
,,,, 21 全为零若常数项 nbbb
称方程组为齐次线性方程组;
术语 非齐次与齐次线性方程组
有线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
00
0
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
+ + + = + + + = + + + =
证明思路：是解，解唯一.
克莱姆法则 对于如下含有n个未知量, n个方程的线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
1
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b
( )
+ + + = + + + = + + + =
设
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
D
21
22221
11211
=
nnj,nnj,nn
nj,j,
j
aabaa
aabaaD
111
11111111
+−
+−
= 1 2j , , ,n=
若系数行列式 ，
则方程组有唯一解
0D ≠
1 2jj
Dx j , , ,n
D= =
例1 用克莱姆法则解方程组
=+−+−=+−
=−−=+−+
.0674,522
,963,852
4321
432
421
4321
xxxxxxxxxx
xxxx
解
重要定理
定理1 如果线性方程组 的系数行列式则 一定有解,且解是唯一的 .
( )1( )1
,0≠D
定理2 如果线性方程组 无解或解不唯一,则它的系数行列式必为零.
( )1
【注】一般来说, 用克莱姆法则求解线性方程组,计算量
是比较大的.对具体的数字线性方程组,当未知量较多
时可用计算机实现求解;克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存
在性和唯一性,与其在计算方面的作用相比,克莱姆法
则更具有重大的理论价值.
齐次线性方程组的相关定理
( )2
0
00
2211
2222121
1212111
=+++
=+++=+++
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxaxaxaxa
定理4 如果齐次线性方程组 的系数行列式,则齐次线性方程组 只有零解.0≠D
( )2( )2
定理5 如果齐次线性方程组 ( )2 有非零解,则它
的系数行列式 .0D =【注】在下一章, 将证明定理5的逆命题也成立,则有齐次线性方程组(2)有非零解当且仅当系数行列式 0D .=
定理3 齐次线性方程组(2)恒有零解.
例2 问 取何值时，齐次线性方程组
( )( )
( )
=−++=+−+=+−−
,01,032,0421
321
321
321
xxxxxxxxx
λλ
λ
有非零解？
λ
解
1. 用克莱姆法则解线性方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数;
(2)系数行列式不等于零.
2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
【小结】
附 数域
例 整数集、有理数集、实数集、复数集 是否构成数域？
定义 F是由一些数组成的集合，其中 ，若F中任意两个数（可相同）的和、差、积、商（除数不为0）仍然是F中的数，(也称F对加、减、乘、除运算封闭),则F称为一个数域.
0 1F , F∈ ∈
【注】
在此交待这一概念是因为数的加、减、乘、除运算
与性质，通常称为代数运算与性质.
《代数》研究的主要是代数运算与性质，以数域为
对象，保证了代数运算后仍属于该集合.《线性代数》在不同的数域上讨论问题会有不同的
结论,我们主要在实数域上讨论问题，个别地方扩大到
复数域.
