Clase 12 - Energía Magnética - Cirtuitosinductivos - Transitorios

Prof. Juan Mauricio Matera

15 de mayo de 2019

Repaso

I Ley de Gauss para el campo eléctrico∫S~E · d ~S = QS

ε0

I Ley de Gauss para el campo magnético∫S~B · d ~S = 0

I Ley de Faraday

EC =∫C~E · d ~̀= − ∂

∂t

∫S~B · d ~S = − dΦB

dt

∣∣∣∣S

I Ley de Ampère ∫C~B · d ~̀= µ0iC

I Motor eléctrico

Pmec = Pabs = −E i = iN dΦBdt

I Generador eléctrico

Peléctrica = E i = −iN dΦBdt

Efecto de solenoides en un circuito

I Los Solenoides son bobinados de alambres conductoresalrededor de un núcleo ferromagnético (µ0 → µ).

I Al ser atravesados por una corriente, producen un campomagnético confinado.

I “Versión magnética de un capacitor”.I Debido a la Ley de Faraday

∆VL = −dΦdt = −L di

dt

donde L es una constante llamada “autoinductancia”.I Para un solenoide recto de sección S, longitud ` y N vueltas,

enrollado alrededor de un núcleo de permeabilidad µ,

L = S`µN2

I Inducción Mutua: Dados dossolenoides acoplados magnéticamente,las variaciones de corriente en unoproducen una FEM en el otro:

E21 = −M di1dt

E12 = −M di2dt

I Para un solenoide dentro de otrosolenoide,

M = µ0S`

N1N2

donde S es la sección del solenoideinterior y ` es ≈ la longitud compartida.(notar la semejanza con la capacidadde un capacitor C = ε0

S` )

I Para dos solenoides que comparten elmismo núcleo, de sección S

M ≈ µ S√`1`2

N1N2 =√

L1L2

Transformador idealI Si dos bobinados comparten

el mismo núcleo y no existenpérdidas,

Φ1 = Φ2 = Φ

en cualquier sección delnúcleo.

I Luego, por la Ley de Faraday

V1 = N1dΦdt y V2 = N2

dΦdt

de manera queI

V1N1

= V2N2⇒ V2 = V1

N2N2

Inductancias realesI Además de

autoinductancia einductancia mutua, lossolenoides presentanresistencia eléctrica.

I En las aplicaciones, lasautoinductancias serepresentan comoinductancias idealeslocalizadas, en serie conresistencias localizadas.

I De la misma manera, lasinductancias mutuas serepresentan localizadas, yen serie con resistenciastambién localizadas.

Combinaciones serie de inductancias

I Si dos o más inductores reales deinductancia Li y resistencia Ri seconectan en serie, resultan en unainductancia real equivalente con

Leq =∑

iLi Req =

∑i

Ri

I Nótese que el resultado esconsistente, despreciando los bordes,dividir un solenoide en dos tramos.

Combinación en paralelo de inductancias

I Si dos o más inductores reales deinductancia Li y resistencia Ri seconectan en paralelo, resultan enuna inductancia real equivalentecon

Leq = 1∑i L−1

iReq = 1∑

i R−1i

Energía y Densidad de Energía Magnética

Potencia en un autoinductor

I La relación E = −L dIdt implica que al

establecerse una corriente en unconductor, se absorbe una potenciaPe = −E i = Li di

dt = L2

di2

dt .I Integrando esta expresión, vemos que

para lograr una corriente estacionaria i ,se requiere una cantidad de energía

UB =∫

Pedt = 12Li2

I Cuando la corriente cesa, esta energíaes entregada nuevamente al circuito.

Energía MagnéticaI En el caso de un solenoide, podemos

escribir esta energía UB en términos delCampo magnético producido por lacorriente:

UB = Li2

2 = µ0SN2i2

2`

= µ20S`N2i2

2µ0`2= (µ0iN/`)2

2µ0(S`)

= |~B|22µ0V =

∫VUBdV

donde V es el volumen contenidodentro del solenoide y UB = |~B|2

2µ0la

densidad de energía magnética.I Interpretamos entonces que el campo magnético almacena

la energía absorbida al establecerse la corriente, y la entregacuando la corriente cesa y este desaparece.

I Se puede probar que en general,

UB =∫ |~B|2

2µ0dV

I Llamamos al integrando

UB = |~B|22µ0

la densidad de energía magnética.I Los inductores almacenan en su interior una energía magnética

U = 12∑

iLk i2

k + 12∑i 6=j

Mkl ik il

donde Lk es la auto inductancia del k-esimo circuito yMkl = Mlk la inductancia mutua entre los circuitos k−ésimo yl−ésimo.

Circuitos fuera del régimen estacionario

Circuitos fuera del régimen estacionario

I En un circuito, las resistencias,inductancias y capacidades serepresentan en forma localizada.

I Las Leyes de Kirchhoff siguensiendo válidas en circuitos coninductancias:I La suma algebráica de las caídas

de potencial en toda malla escero.

I La suma algebráica de lascorrientes en cualquier nodo seanula.

I La corriente sobre cualquier ramaes constante.

I En general, todo componente de uncircuito siempre involucra, ademásde una resistencia, pequeñascontribuciones a la capacidad yautoinductancia del circuito, quetípicamente pueden despreciarse silas variaciones de la corriente enel tiempo son pequeñas.

I Sin embargo, la inclusión en elcircuito de componentes comomotores y lámparas incandescentes,que involucran bobinados, o cablescoaxiles largos contribuyen siemprecon valores no despreciables deautoinductancia.

I En un capacitor, Q = C∆VC , perodQdt = −i luego, i = −C d∆V

dt .I En una autoinductancia,Eind = −L di

dtI En un transformador,Eind ,2 = −M di1

dt − L2di2dt y

Eind ,1 = −M di2dt − L1

di1dt

I De esta manera, las ecuaciones quese siguen de las leyes de Kirchoff encircuitos con inductancias ycapacidades son en generalEcuaciones diferenciales linealesacopladas.

I En el caso de sistemas estacionarios,las derivadas se anulan yrecuperamos las ecuacionesalgebráicas.

El circuito RC Serie

I Es el ejemplo más simple de circuitoen un régimen no estacionario

I Por la Ley de mallas, una vezcerrado el circuito,

E − VC − iR = 0I En un capacitor, VC = −Q/C ⇒ i = −dQ

dt = C dVCdt , por lo que

en general, i 6= 0 fuera del régimen estacionario. Luego,

E − VC − RC dVCdt = 0

ó,dVCdt = 1

RC (E − VC )

RC dVCdt = E − VC

I Esta ecuación es análoga a la queobteníamos para la velocidad de unparacaídas, a partir de las Leyes deNewton

mdvzdt = mg − kvz

I Para tiempos menores a τ = m/k,el paracaídas parecía caer en caídalibre.

I Para tiempos mayores a τ = m/k,el paracaídas alcanzaba unavelocidad límite constantevlim = mg

k

La ecuación diferencial lineal de primer ordenI En general, la ecuación

diferencial

df (t)dt = flim

τ− 1τ

f (t)

con flim y τ dosconstantes, tienesoluciones

f (t) = flim+(f0−flim)e−t/τ

donde f0 = f (0) es elvalor inicial de lafunción.

I ex es la Función Exponencial que tiene las propiedadesex+y = exey y det

dt = et

I Para tiempos menores que τ , las solución varía con velocidad(f0 − flim)/τ en dirección al valor límite flim.

I Para tiempos mayores a τ , la solución tiende al valor constanteflim.

I Decimos que entre t = 0 y t � τ , el sistema atraviesa untransitorio, hasta alcanzar una situación estacionaria.

La ecuación diferencial lineal de primer ordenI En general, la ecuación

diferencial

df (t)dt = flim

τ− 1τ

f (t)

con flim y τ dosconstantes, tienesoluciones

f (t) = flim+(f0−flim)e−t/τ

donde f0 = f (0) es elvalor inicial de lafunción.

I ex es la Función Exponencial que tiene las propiedadesex+y = exey y det

dt = et

I Para tiempos menores que τ , las solución varía con velocidad(f0 − flim)/τ en dirección al valor límite flim.

I Para tiempos mayores a τ , la solución tiende al valor constanteflim.

I Decimos que entre t = 0 y t � τ , el sistema atraviesa untransitorio, hasta alcanzar una situación estacionaria.

I La ecuación diferencial lineal de primer orden aparecerecurrentemente en ciencias:I Movimiento en medios viscosos.I Procesos disipativos.I Decaimiento radioactivo.I Marcha al equilibrio en procesos químicos.I Concentración de antibióticos en sangre.

Volviendo al circuito RC ,

RC dVCdt = E −VC ⇒

dVCdt = E

RC −1

RC VC

de manera que VC ,lim = E , τ = RC y por lotanto,

VC (t) = E + (VC (0)− E)e−t/τ .

I La corriente en el circuito se recuperavía

i = C dVCdt = −C(VC (0)− E)

τe−t/τ

que se anula para t � τ .I Si inicialmente el capacitor estaba descargado,

VC (0) = Q(0)/C = 0, con lo quei = CE

τ e−t/τ = −CERC e−t/τ = − ER e−t/τ .

I A t = 0, la corriente se comporta como si remplazáramos elcapacitor por un cable.

Descarga del capacitorSi, luego de cargar al capacitor, se retira labatería, la ecuación diferencial

dVCdt = E

RC −1

RC VC

se reduce a

dVCdt = − 1

RC VC

con la condición inicial, VC (0) = E .I De esta manera, VC ,lim = 0, τ = RC y

VC (t) = Ee−t/τ .I La corriente en el circuito será

i = C dVCdt = −CE

τ e−t/τ = ER e−t/τ

I Nótese que el signo negativo en lacorriente se debe a que su circulaciónes opuesta que en la carga.

I En la descarga,un capacitor secomportainicialmentecomo sí fuerseuna FEM quedecrece amedida que sedescarga.

El circuito RL serieI Por la Ley de mallas, una vez

cerrado el circuito,

E + VL − iR = 0

I En una autoinductancia,VL = −L di

dt , por lo que en general,VL 6= 0 fuera del régimenestacionario. Luego,

E − L didt − Ri = 0

ó,didt = R

L ( ER − i)

I Inicialmente, la corriente es nula,por lo tanto,

i(t) = ilim + (−ilim)e−t/τ = ilim(1− e−t/τ ) con ilim = ER y τ = L

R

El circuito RL serieI Por la Ley de mallas, una vez

cerrado el circuito,

E + VL − iR = 0

I En una autoinductancia,VL = −L di

dt , por lo que en general,VL 6= 0 fuera del régimenestacionario. Luego,

E − L didt − Ri = 0

ó,didt = R

L ( ER − i)

I Inicialmente, la corriente es nula,por lo tanto,

i(t) = ilim + (−ilim)e−t/τ = ilim(1− e−t/τ ) con ilim = ER y τ = L

R

VL = −L didt = −L ilim

τ e−t/τ =−ilimRe−t/τ

I Al conectar el interruptor, laautoinductancia produce unaFuerza Contra-Electromotriz quese opone al paso de la corriente.

I Para tiempos cortos respecto a τ , elinductor se comporta como uninterruptor abierto.

I A tiempos largos, VL → 0 y elcircuito alcanza su régimenestacionario.

i(t) = ilim + (−ilim)e−t/τ = ilim(1− e−t/τ ) con ilim = ER y τ = L

R

VL = −L didt = −L ilim

τ e−t/τ =−ilimRe−t/τ

I Al conectar el interruptor, laautoinductancia produce unaFuerza Contra-Electromotriz quese opone al paso de la corriente.

I Para tiempos cortos respecto a τ , elinductor se comporta como uninterruptor abierto.

I A tiempos largos, VL → 0 y elcircuito alcanza su régimenestacionario.

i(t) = ilim + (−ilim)e−t/τ = ilim(1− e−t/τ ) con ilim = ER y τ = L

R

Descarga de un inductorI En este circuito, se asume que el

interruptor estuvo conectado por untiempo largo, y en un momento seabre.

I La corriente inicial por el inductorviene dada por i0 = E

R .I Al abrir el interruptor, la única

malla a considerar es a la quecontiene a L y a RD.

VL − iRD = 0

I La corriente será i(t) = i0e−t/τ conτ = L

RD.

I ⇒ VL = Lτ i0e−t/τ = RD

R Ee−t/τ

I De esta manera, por tiempos muycortos (del orden de L/RD) esposible lograr diferencias depotencial muy grandes.

Tratamiento cualitativo de circuitos con varias ramas

I Si inicialmente se encuentradesconectado, al conectar elinterruptor,

iL(0) = VC (0) = 0VL = E − iR

i = iC = ER + RCI Luego de un tiempo largo

de estar conectado, (t �τL = L/RL, τC = RCC),

VL = iC = 0 VC = E RLR + RL

i = iL = ER + RL

I Inmediatamente aldesconectar el interruptor,

i = 0 , iL = −iC = ER + RL

VC = E RLR + RL

, VL = E RCR + RL

. . . sin embargo, el transitorio puede presentar oscilaciones: