Clase 02 - Distribuciones de Carga. CampoEléctrico.

Prof. Juan Mauricio Matera

13 de marzo de 2019

Repaso de la clase anterior

I Cuando algunos cuerpos son frotados entre sí, adquieren lapropiedad de atraer objetos livianos, a la que llamamos“electrización”

I Dos cuerpos del mismo material, electrizados de la mismamanera, sienten una fuerza de repulsión. Si los materiales sondistintos, pueden atraerse o repelerse dependiendo el caso.

I Dos “tipos” de electrización: “vitreos”(+) y “resinosos” (−).Materiales con el mismo “tipo” de electrización se repelen;materiales con distinto tipo se atraen.

I Noción de Carga Electrica (B. Franklin):I la materia está formada por partículas “cargadas”.I La carga puede tener dos signos, “+” y “-”.I Un cuerpo que tiene la misma cantidad de carga “+” y carga “-”

esI Los cuerpos se electrizan cuando ganan o pierden carga

eléctrica.I En todo proceso, la carga neta se conserva.

I Milikan: La carga está “cuantizada”. La carga de cualquierobjeto es un múltiplo entero de 1.6× 10−19C.

I Thomsom, RutherfordI La materia está formada por átomos, que se componen de un

núcleo cargado positivamente, rodeado por electrones cargadosnegativamente.

I La carga de los electrones es de qe = −1.6× 10−19C y su masade me = 9.1× 10−31kg.

I El núcleo, está formado por protones, de carga positivaqp = −qe , y masa mP = 1.6× 10−27kg y neutrones, sin cargaeléctrica, y de masa mN ≈ mP .

I En la materia no electrizada, los átomos tienen la mismacantidad de electrones que de Protones en el núcleo, por lo quesu carga neta es nula.

I La materia adquiere carga al perder o ganar electrones.I Los materiales pueden ser

I Conductores. Algunos de sus electrones de los átomos sonlibres de moverse a través del material.

I Aislantes. Los electrones están “atados” a sus átomos.

Formas en que un material adquiere carga

I Frotamiento. Entre materiales aislantes, los electrones pasan deun material al otro por contacto.

I Contacto. Un material conductor adquiere carga al ponerse encontacto con un cuerpo cargado.

I Inducción. En presencia de un cuerpo cargado, un conductoradquiere carga sin mediar contacto. Las cargas “escapan” atierra.

Ley de Coulomb

~F21 = kq1q2|~r2 −~r1|2

~r2 −~r1|~r2 −~r1|

I La fuerza entre dos cuerpos cargados distantes es proporcionala sus cargas.

I La intensidad de la fuerza es inversamente proporcional alcuadrado de la distancia entre los cuerpos.

I La dirección de la fuerza yace sobre la linea que une las cargas.

I Cargas del mismo signo se repelen.

I La fuerza que la carga (1) le hace a la carga (2) es igual enmagnitud y dirección, y de sentido opuesto a la que (2) le hacea (1): Principio de acción y reacción.

Principio de superposición

La fuerza neta que un conjunto de cargas qi ejerce sobre una cargaQ es igual a la resultante de las fuerzas ~Fi que cada carga ejercesobre Q.

~F =∑

i

~fi

=∑

i

kQqi|~rQ −~ri |2

~rQ −~ri|~rQ −~ri |

Distribuciones de cargas

Distribuciones de cargas continuas.

Si el tamaño de los objetos cargadoses comparable con la distancia deobservación, es posible“descomponer” el objeto extendido enobjetos arbitrariamente máspequeños. Asumimos entonces que lacarga δq de un elemento de volumenδR en torno a un punto ~ri esproporcional al “tamaño” delelemento: dq = ρ|δR|.La fuerza que sentirá una carga Qubicada en ~r será entonces

~FQ =∑

i

kQdq|~r −~ri |2

~r −~ri|~r −~ri |

En el límite |δR| → 0

~FQ = Q∫R

~r −~r ′

|~r −~r ′ |kρ(~r ′)|dR||~r −~r ′ |2

Si la región es tridimensional,|dR| = d3r ′ = dxdydz , por lo que lafuerza resultante resulta ser una integraltriple de un vector:

~FQ = Q∫∫∫

~r −~r ′

|~r −~r ′ |2kρ(~r ′)dx ′dy ′dz ′

|~r −~r ′ |2

= kQ∑

µ=x ,y ,zuµ∫∫∫ (~r −~r ′) · uµ

|~r −~r ′ |kρ(~r ′)dx ′dy ′dz ′

|~r −~r ′ |2

Distribuciones de carga lineales, superficiales yvolumétricas

Lineales

λ: Densidad linealde carga (C/m)

Superficiales

σ: Densidadsuperficial de carga(C/m2)

Volumétricas

ρ: Densidadvolumétrica decarga (C/m3)

Valores típicos de la densidad de carga en diferentessistemas

Algunos valores típicos para la densidad superficial de carga

Medio σ (µC/m2)

Superficie cable 1× 10−4

Vidrio Frotado 0, 01Van der Graff 0, 1Fotocopiadora 1

Nube de Tormenta 1

Relámpago λ = 0, 1C/m “. . . 1,21Gigawatts!”Nube de tormenta ρ = 0, 1µC/m3

Interior de un átomo ρ ≈ −1010C/m3

Distribuciones de cargas continuas vs discretasSi el sistema de cargas fuente está compuestopor un gran número de cargas pequeñas,distribuidas sobre una cierta región R, esconveniente expresar la resultante de fuerzas entérminos de una integral:

~F =∑

i

~fi ≈∫

Rd~F =

∫R

kQρ(~r)|~rQ −~r |2

~rQ −~r|~rQ −~r |

d3~r

donde ρ(~r) es la carga por unidad devolumen en torno al punto ~r .

Distribuciones de carga 1D

En algunos casos, podemos asumir quela carga se encuentra distribuída sobreuna curva, esto es, una región de seccióndespreciable en el problema. En tal caso,

~FQ = Q∫C

~r −~s|~r −~s|

λ(~s)|~r −~s|2 |d

~s|

donde ~s es una parametrización de lacurva C, esto es, una función que recorrela curva C para diferentes valores de suargumento.λ(~s) es la densidad lineal de carga ytiene unidades de carga por unidad dedistancia (C/m).

Ejemplo 1: alambre cargadoSi C es un segmento de recta que vadesde ~r1 a ~r2,I ~s(u) = ~r1 + u(~r2 −~r1),I 0 < u < 1I |d~s| = |d~sdu du| = |~r2 −~r1|du|du| = du si los límites deintegración van de menor amayor)

~FQ = kQ∫ 1

0λ(u) ~r0 − (~r1 + (~r2 −~r1)u)

|~r0 − (~r1 + (~r2 −~r1)u)|3 |~r2 −~r1|du

= kQ|~r21|∫ 1

0λ(u) ~r01 −~r21u

|~r01 −~r21u|3 du con ~r01 = ~r0 −~r1, ~r21 = ~r2 −~r1,

Ejemplo 1: alambre cargadoSi C es un segmento de recta que vadesde ~r1 a ~r2,I ~s(u) = ~r1 + u(~r2 −~r1),I 0 < u < 1I |d~s| = |d~sdu du| = |~r2 −~r1|du|du| = du si los límites deintegración van de menor amayor)

~FQ = kQ∫ 1

0λ(u) ~r0 − (~r1 + (~r2 −~r1)u)

|~r0 − (~r1 + (~r2 −~r1)u)|3 |~r2 −~r1|du

= kQ|~r21|∫ 1

0λ(u) ~r01 −~r21u

|~r01 −~r21u|3 du con ~r01 = ~r0 −~r1, ~r21 = ~r2 −~r1,

Una elección más inteligentepara calcular estas integralesviene de elegir el origen en lacarga Q, y el eje x paralelo a~r2 −~r1:I ~s(θ) =

a(−uy + tan(θ)ux ) +~r0I −θ1 < θ < θ2/ ~θi = ~ri .I d~s = a

cos2(θ) uxdθ

~FQ = kQ∫ θ2

−θ1λ(θ)a tan(θ)ux + auy

(a/ cos(θ))3adθ

cos2(θ)

= kQa ux

∫ θ2

−θ1λ(θ) sin(θ)dθ + kQ

a uy

∫ θ2

−θ1λ(θ) cos(θ)dθ

Una elección más inteligentepara calcular estas integralesviene de elegir el origen en lacarga Q, y el eje x paralelo a~r2 −~r1:I ~s(θ) =

a(−uy + tan(θ)ux ) +~r0I −θ1 < θ < θ2/ ~θi = ~ri .I d~s = a

cos2(θ) uxdθ

~FQ = kQ∫ θ2

−θ1λ(θ)a tan(θ)ux + auy

(a/ cos(θ))3adθ

cos2(θ)

= kQa ux

∫ θ2

−θ1λ(θ) sin(θ)dθ + kQ

a uy

∫ θ2

−θ1λ(θ) cos(θ)dθ

Ejemplo 2: Anillo cargadoSi C es una circunferencia de radio aen el plano xy centrado en el origen,I ~s(θ) = a(cos(θ), sin(θ), 0)I −π < θ < πI

|d~s| =∣∣∣∣d~sdθdθ

∣∣∣∣= |a (− sin(θ), cos(θ), 0)| dθ = adθ

Si la carga Q está sobre el eje z , a unadistancia z0 del centro de la circunferencia, y λes uniforme,

~FQ = kQ∫ π

−πλ

(−a cos(θ),−a sin(θ), z0)(z2

0 + a2)3/2 adθ

= 2πkQλaz0(a2 + z2

0 )3/2 uz

Ejemplo 2: Anillo cargadoSi C es una circunferencia de radio aen el plano xy centrado en el origen,I ~s(θ) = a(cos(θ), sin(θ), 0)I −π < θ < πI

|d~s| =∣∣∣∣d~sdθdθ

∣∣∣∣= |a (− sin(θ), cos(θ), 0)| dθ = adθ

Si la carga Q está sobre el eje z , a unadistancia z0 del centro de la circunferencia, y λes uniforme,

~FQ = kQ∫ π

−πλ

(−a cos(θ),−a sin(θ), z0)(z2

0 + a2)3/2 adθ

= 2πkQλaz0(a2 + z2

0 )3/2 uz

Densidades superficialesSi el material que soporta la carga es muy delgado, o la carga seencuentra sobre la superficie del material (como ocurre en losconductores). La distribución queda caracterizada por la superficiey la densidad superficial de carga.

Las superficies se parametrizan comofunciones a valores vectoriales ~s(u, v) dedos parámetros. El elemento diferencialde área d~S es en general un vector, cuyadirección es perpendicular al elemento quedescribe, y su magnitud da la medida delárea que cubre.

d~S = ∂~s∂u ×

∂~s∂v

donde ~a × ~b representa el productovectorial de los vectores ~a y ~b.

Superficies como colecciones de curvas

Si fijamos uno de los parámetros de ~r(u, v), lo que obtenemos esuna curva, parametrizada por el parámetro restante. Podemospensar entonces a la fuerza generada por una superficie cargadasobre una carga como una superposición de los campos quegeneral curvas que cubren a la superficie

Naturalmente, la densidad lineal de carga no será necesariamenteconstante en estos casos.

Ejemplo 3: Disco cargado

Con esa idea, podemos evaluar la fuerza que un disco cargado, dedensidad superficial σ y radio a ejerce sobre una carga Q, como lasuperposición de las fuerzas que ejercen anillos de densidad lineal decarga dλ = σdr . Por ejemplo, en la posición z0 sobre el eje desimetría,

~F =∫ a

0

2πkQz0σrdr|r2 + z2

0 |3/2 uz

= πkQz0σ∫ a

0

2rdr|r2 + z2

0 |3/2 uz

= 2πkQσ

1− |z0|√z2

0 + a2

z0|z0|

uz

Ejemplo 4: Superficie esféricaConsideremos una distribución superficial esférica de carga, condensidad uniforme σ y radio a, frente a una carga Q a una distanciaz del centro del la esfera.

I ~s(θ, φ) = a(sin(θ) cos(φ), sin(θ) sin(φ), cos(θ)) = arI d~S = a2 sin(θ)dθdφr

~F = kQσ∫ π

0

∫ 2π

0

(z − a cos(θ))a2 sin(θ)dθdφ((a sin(θ))2 + (z − a cos(θ))2))3/2 uz

~F ={

k4πa2σ

|z|2uz

0z rz<r

I Fuera de la esfera, la fuerza es como sí toda la carga delcascarón q = 4πa2σ estuviese en el centro de la esfera.

I Dentro de la esfera, la fuerza neta es nula, independientementede la posición de Q.

Ejemplo 4: Superficie esféricaConsideremos una distribución superficial esférica de carga, condensidad uniforme σ y radio a, frente a una carga Q a una distanciaz del centro del la esfera.

I ~s(θ, φ) = a(sin(θ) cos(φ), sin(θ) sin(φ), cos(θ)) = arI d~S = a2 sin(θ)dθdφr

~F = kQσ∫ π

0

∫ 2π

0

(z − a cos(θ))a2 sin(θ)dθdφ((a sin(θ))2 + (z − a cos(θ))2))3/2 uz

~F ={

k4πa2σ

|z|2uz

0z rz<r

I Fuera de la esfera, la fuerza es como sí toda la carga delcascarón q = 4πa2σ estuviese en el centro de la esfera.

I Dentro de la esfera, la fuerza neta es nula, independientementede la posición de Q.

Distribuciones volumétricas de carga

I Las cargas se encuentran distribuídas sobre en volumen, demanera uniforme sobre distancias � que la distancia a la carga

I Sólo es posible en modelos de medios aislantes

I La fuerza resultante puede pensarse como la superposición decontribuciones muchas distribuciones superficiales de carga.

Ejemplo 5: Fuerza debida a una distribución esférica de carga(ejercicio).

Campo Eléctrico.

Definiciones

I Carga de prueba: una carga idealmente “puntual” (pequeñafrente a cualquier otra escala del sistema), de un valor lobastante pequeño como para no perturbar el equilibrio de ladistribución de cargas.

I Campo eléctrico: Es un vector ~E (~r) que podemos asignar acada punto del espacio, tal que la fuerza que siente una cargade prueba δq, ubicada en la posición ~r satisface ~Fδq = δq~E (~r)Dada una distribución de cargas, el campo eléctrico en unpunto existe independientemente de la presencia o no de unacarga de prueba

I El campo eléctrico de una carga puntual q ubicada en un punto~r será

~E (~r) = q(~r −~r0)4πε0|~r −~r0|3

En este punto, introducimos la constante ε0 = 8, 85pFm−1 = 14πk

llamada permitividad del vacío

I Por su definición, el campo eléctrico satisface el principio desuperposición lineal: El campo en presencia de dosdistribuciones de carga es la suma de los campos quegenerarían las distribuciones por separado.

I El concepto de Campo es de sumaimportancia en física.

I Permite describir la influencia queuno o más cuerpos ejercen sobre elespacio que los rodea.

I Matemáticamente, consiste enasignar una magnitud a cada puntodel espacio: φ(~r).

I EjemplosI Campo de deformación (ondas

mecánicas, escalar/vectorial )I Campo de temperatura (escalar).I Campo de presiones (escalar).I Campo de velocidades (vectorial).I Campo gravitatorio (vectorial).

¿Por qué introducir el concepto de Campo eléctrico?

El campo eléctrico nos permite separar -formalmente- el problemade evaluar las interacciones en un sistema de cargas en dos pasos:

I Calcular el campo generado por la distribución de cargas(excepto potencialmente aquella sobre la que queremos calcularla fuerza.

I Calcular la fuerza que ejerce el campo sobre cada partícula.

Veremos más adelante que más allá de proveer una herramientamatemática, conviene pensar al campo eléctrico como un entefísico independiente, que es afectado por la presencia de cargaseléctricas, y que a su vez afecta el movimiento de estas.

Valores típicos del campo eléctrico

El campo eléctrico se mide en Newton/Coulomb. Algunos valorestípicos típicos son

Medio |~E | (N/C)

Atmósfera limpia 100Vidrio Frotado 1× 103

Fotocopiadora 1× 105

Nube de Tormenta 1× 105

Chispa en el aire 5× 106

I Carga del electrón 1.6× 10−19CI Carga total sobre la superficie del Van der Graff: q ≈ 10nC

Valores típicos del campo eléctrico

El campo eléctrico se mide en Newton/Coulomb. Algunos valorestípicos típicos son

Medio |~E | (N/C)

Atmósfera limpia 100Vidrio Frotado 1× 103

Fotocopiadora 1× 105

Nube de Tormenta 1× 105

Chispa en el aire 5× 106

I Carga del electrón 1.6× 10−19CI Carga total sobre la superficie del Van der Graff: q ≈ 10nC

Campo Eléctrico de una Carga PuntualA partir de la Ley de Coulomb, el campo eléctrico de una cargapuntual de magnitud q, ubicada en ~r0 viene dado por

~E (~r) = q4πε0|~r −~r0|2

~r −~r0|~r −~r0|

I ~E (~r) apunta en la dirección de la carga puntual que le daorigen.

I Si la carga es positiva, ~E (~r) apunta en el sentido que se alejade la carga, y si es negativa, en el sentido que apunta hacia lacarga.

I La magnitud del campo cae como la inversa al cuadrado de ladistancia a la carga.

Campo Eléctrico de dos cargas puntuales: el dipoloeléctrico

I Dipolo eléctrico (ideal): dos cargas puntuales de igualmagnitud y diferente signo separadas por una distanciapequeña respecto a la distancia de observación.

I El campo de un dipolo eléctrico queda determinado por sumomento dipolar eléctrico definido por ~p = q(~r+ −~r−). Elmomento dipolar eléctrico es una magnitud vectorial.

I En una distribución de carga continua, podemos definir elmomento dipolar como

~p =∫Rρ(~r)~rdR .

Veremos más adelante que elcampo eléctrico de un dipolopuede expresarse como

~E (~r) = 3(~p · r)r − ~p4πε0|~r |3

Campo Eléctrico de dos cargas puntuales: el dipoloeléctrico

I Dipolo eléctrico (ideal): dos cargas puntuales de igualmagnitud y diferente signo separadas por una distanciapequeña respecto a la distancia de observación.

I El campo de un dipolo eléctrico queda determinado por sumomento dipolar eléctrico definido por ~p = q(~r+ −~r−). Elmomento dipolar eléctrico es una magnitud vectorial.

I En una distribución de carga continua, podemos definir elmomento dipolar como

~p =∫Rρ(~r)~rdR .Veremos más adelante que elcampo eléctrico de un dipolopuede expresarse como

~E (~r) = 3(~p · r)r − ~p4πε0|~r |3

~E (~r) = 3(~p · r)r − ~p4πε0|~r |3

I Simétrico respecto al eje desimetría.

I Sobre el eje del dipolo, elcampo apunta siempre en ladirección de ~p

I En el plano perpendicular, elcampo apunta en ladirección opuesta a ~p

I La magnitud del campodecae como 1/r3.

AplicacionesI El dipolo eléctrico es el modelo

más sencillo de un sistema cuyacarga neta es cero, con unadistribución de carga no trivial.

I En presencia de campos externos,los materiales sufrenredistribuciones de cargas, que danlugar a momentos dipolares,proporcionales a la intensidad delcampo externo: se polarizan.

I El torque sobre un dipolo dáinformación sobre la intensidad y ladirección del campo en el que estáinmerso. Este viene dado por

~T = ~p × ~E