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Come modellare linterazione suolo-fondazione-sovrastruttura
Un argomento di ingegneria strutturale affascinante quanto
complesso riguarda linterazione suolo-fondazione-sovrastruttura ed
i suoi effetti sul comportamento sismico globale delle costruzioni.
Talvolta, le strutture poste sul terreno vengono modellate come
incastrate alla base, mentre in realt il terreno un sistema dotato
di una propria rigidezza che necessita di essere valutata. Per
tener conto di questa rigidezza reale e non infinita la fondazione
viene solitamente considerata come poggiata su un letto di molle.
Il modello pi noto, operativo ed apprezzato dagli ingegneri
strutturisti il suolo alla Winkler.
Il problema della valutazione del comportamento dei sistemi
accoppiati suolo-struttura complesso, di tipo non lineare e
necessita di prendere in considerazione vari fenomeni fisici. Tale
problema stato affrontato da diversi studiosi (come Veletsos,
Jennings, Bielak, Meek, Nair, Verbic, ) i quali hanno dimostrato
che leffetto dellinterazione inerziale sulla risposta sismica pu
essere investigato in maniera semplice a partire dalla risposta di
un sistema SDOF (Single Degree of Fredoom, il classico oscillatore
semplice). Il metodo in questione consiste nellincremento del
periodo naturale fondamentale e nella modifica dello smorzamento
associato alla struttura a base fissa.
Gli stessi studiosi scoprirono che linterazione
suolo-fondazione-sovrastruttura pu, quando tenuta in conto, portare
ad un incremento o decremento (molto pi probabile) della richiesta
sismica della struttura in funzione dei parametri del sistema e
delle caratteristiche dellinput sismico. Le loro considerazioni
sulloscillatore semplice costituiscono le basi degli attuali
dettami in materia di antisismica e sono citate in normative di
rilevanza mondiale, come la FEMA 450 Recommended Provisions for
Seismic Regulations for New Buildings and Other Structures.
Qualche riga pi sopra stata azzardata una previsione sugli
effetti del tener conto di questa interazione e si detto che molto
probabile che si abbia un decremento della richiesta sismica;
questa affermazione nasce dal fatto che molto probabile che si
abbia un allungamento del periodo (il terreno flessibile, al
contrario dei vincoli ad incastro) e di conseguenza, tenendo a
mente la
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forma di uno spettro di risposta, una riduzione
dellaccelerazione sismica nel campo delle strutture ordinarie. La
FEMA 450 ovviamente dello stesso avviso e infatti riporta
testualmente che tale metodo decrementer i valori di progetto del
taglio alla base, forze laterali e momento ribaltante ma di contro
pu incrementare i valori degli spostamenti laterali e delle forze
del secondo ordine associate agli effetti P-delta (questi ultimi
legati alla deformabilit).
Unaltra precisazione molto importante viene ripresa nuovamente
dalla FEMA 450 e riguarda lapplicabilit del metodo: esso non deve
essere usato nel caso in cui venga direttamente modellata una base
flessibile, anzich fissa, nel computo dellanalisi.
Adesso fermiamoci un attimo ed introduciamo un po di relazioni,
altrimenti la lettura diviene pesante. Ritorner in seguito su
alcune aspetti teorici importanti.
Il periodo effettivo si calcola come:
Dove:
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T = periodo della struttura a base fissa;
k (soprasegnato) = rigidezza della struttura a base fissa,
definita come:
W (soprasegnato) = massa effettiva della struttura assunta pari
al 70% della massa complessiva, tranne nel caso di strutture con
carichi concentrati ad un solo livello, nel qual caso si prende il
100% della massa;
h (soprasegnato) = altezza effettiva della struttura presa pari
a 0.7 volte laltezza totale hn, fatta eccezione per quelle
strutture in cui il carico verticale concentrato ad un singolo
piano, nel qual caso si considera laltezza reale di quel piano
stesso;
Ky = rigidezza laterale della fondazione definita come la forza
orizzontale al livello della fondazione necessaria per produrre uno
spostamento unitario a quel livello, con forza e spostamento
misurati nella direzione nella quale la struttura viene
analizzata;
K = rigidezza alleffetto rocking della fondazione, definito come
il momento necessario per produrre una rotazione media unitaria
della fondazione, con momento e rotazione misurati nella direzione
nella quale la struttura viene analizzata;
g = accelerazione gravitazionale.
Per quanto riguarda le rigidezze K, esse dipendono dalla
geometria dellarea di contatto suolo-fondazione, dalle propriet del
suolo sotto la fondazione e dalle caratteristiche del moto
fondale.
Per fondazioni circolari eccitate armonicamente si hanno:
In cui:
r = raggio della fondazione supposta circolare (nel caso di
fondazione non circolare si pu usare il raggio della fondazione di
area equivalente per Ky e raggio della fondazione di momento di
inerzia equivalente nel caso di K);
G = modulo di elasticit tangenziale del terreno (supposto
idealmente assimilabile ad un semispazio elastico);
= coefficiente di Poisson del terreno.
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y = coefficiente di traslazione;
= coefficiente di rotazione.
Per quanto riguarda i coefficienti di traslazione e di
rotazione, essi dipendono dal periodo delleccitazione, dalle
dimensioni della fondazione e dalle propriet del supporto. Tali
valori possono essere assunti unitari nel caso di fondazioni
soggette a carichi statici (e possono rimanere tali anche in campo
dinamico con buona approssimazione). Tra laltro, nel campo di
interesse delle strutture ordinarie, i risultati non sono sensitivi
alla dipendenza del periodo da y, consentendoci dunque di evitare
studi pi accurati.
Per quanto riguarda invece il modulo di elasticit tangenziale G,
esso correlato alla velocit delle onde di taglio nel terreno ed
alla densit di peso mediante la relazione:
Facciamo ora qualche precisazione. Si detto che il tener conto
dellinterazione suolo-fondazione-sovrastruttura benefico nelle
applicazioni ordinarie, ma bisogna per fare attenzione ad un altro
aspetto: di contro, a causa dellinfluenza delleffetto rocking, gli
spostamenti orizzontali ottenuti possono essere superiori a quelli
della struttura a base fissa. Questo si traduce in un incremento
dello spazio richiesto tra strutture adiacenti. Inoltre,
allaumentare degli spostamenti aumentano le forze secondarie dovute
agli effetti P-delta.
Restano ancora molte altre cose da dire, come ad esempio le
diverse relazioni per il periodo al variare della configurazione
delle fondazioni e le relazioni per valutare lo smorzamento dovuto
al rocking, ma per adesso fermiamoci e diamoci appuntamento ai
prossimi articoli, sperando che tutto sia stato esposto in maniera
chiara e semplice.
FONDAZIONE A PLATEA SUPERFICIALE
Nel caso di strutture supportate da fondazioni a platea poggiate
sulla superficie (fate attenzione a questa indicazione, perch nel
seguito vedremo come tener conto della profondit) la relazione da
applicare leggermente diversa.
La relazione suddetta la seguente:
dove:
= densit relativa della struttura e del suolo, definita
come:
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W (soprasegnato) = massa effettiva della struttura assunta pari
al 70% della massa complessiva, tranne nel caso di strutture con
carichi concentrati ad un solo livello, nel qual caso si prende il
100% della massa;
h (soprasegnato) = altezza effettiva della struttura presa pari
a 0.7 volte laltezza totale hn, fatta eccezione per quelle
strutture in cui il carico verticale concentrato ad un singolo
piano, nel qual caso si considera laltezza reale di quel piano
stesso;
A0 = area della fondazione;
ra e rm = lunghezze caratteristiche della fondazione, definite
come:
I0 = momento statico della fondazione attorno allasse
orizzontale normale alla direzione di analisi della struttura;
= coefficiente di rotazione (vedi Come modellare linterazione
suolo-fondazione-sovrastruttura parte I: periodo fondamentale e
rigidezze).
FONDAZIONE PROFONDA
A questo punto analizziamo un altro caso: la fondazione non
superficiale ma posta ad una certa profondit. In questa condizione,
il ricoprimento di terreno ai lati ha leffetto ovvio di
incrementare le rigidezze traslazionali e rotazionali (Ky e K). Ci
che importante precisare che vi deve essere contatto tra le pareti
ed il circostante terreno.
In questo caso si opera in maniera molto semplice: si impiegano
coefficienti amplificativi per tener conto delleffetto del terreno
circostante.
A partire dalle relazioni generali, le nuove formule per le
rigidezze valgono:
in cui:
d = profondit dellinterro.
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A questo punto occorre fare una nota importante:
gli studi e le osservazioni al reale concordano nellassegnare
enorme importanza alle condizioni del terreno di ricoprimento,
richiedendo quindi un opportuno giudizio critico nelluso di queste
relazioni. Ad esempio, nel caso di assenza di contatto tra pareti e
terreno oppure nel caso di influenza inefficiente del terreno
circostante durante lattivit sismica, le rigidezze Ky e K devono
essere determinate con le relazioni per le fondazioni superficiali
(vedi Come modellare linterazione suolo-fondazione-sovrastruttura
parte I: periodo fondamentale e rigidezze).
Alla grandezza d, che abbiamo chiamato profondit dellinterro pu
dunque essere assegnato il significato di effettiva profondit della
fondazione nelle condizioni prevalenti durante lattivit sismica. Il
giudizio critico in tal senso spetta allingegnere strutturista (e a
lui soltanto: i costi in questi ragionamenti, del tipo aumento d
per trovarmi anche con sezioni minori non devono entrarci nemmeno
minimamente).
Lo sviluppo di queste relazioni lo dobbiamo agli studi di
Eduardo Kausel negli anni 70, che osserv le discrepanze che vi
erano trai risultati ottenuti con le relazioni per fondazioni
superficiali e quanto si osservava invece al reale. Grazie al
rilevamento di tali discrepanze si pot arrivare ad una formulazione
pi precisa per tener conto dellirrigidimento dato dal terreno ai
lati.
FONDAZIONE SU SUOLO STRATIFICATO
Le relazioni viste valgono esclusivamente per fondazioni su
terreni omogenei, ma non sempre ci si trova in una configurazione
simile. Nel caso di fondazione su terreni stratificati in cui al di
sotto dello strato di posa vi un deposito rigido avente una velocit
delle onde di taglio pi del doppio di quella della stratificazione
superficiale, allora Ky e K vanno modificate opportunamente.
Le nuove relazioni valgono:
dove:
G = modulo di elasticit tangenziale della stratificazione
soffice;
Ds = spessore totale dello stratificazione soffice.
Limiti di applicabilit di questa relazione:
1. il raggio equivalente della fondazione (r) deve essere
inferiore alla met dello spessore totale della stratificazione
soffice, ovvero:
r / Ds < 0.5
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2. la profondit totale dellinterro deve essere inferiore al
raggio equivalente della fondazione, ovvero:
d / r < 1
Vi ricordo che il raggio equivalente gi stato citato nella prima
parte dellarticolo (Come modellare linterazione
suolo-fondazione-sovrastruttura parte I: periodo fondamentale e
rigidezze) e viene considerato come:
1. il raggio di una circonferenza avente area A0 equivalente nel
calcolo di Ky;
2. il raggio di una circonferenza avente momento di inerzia I0
equivalente nel calcolo di K.
FONDAZIONE SU PLINTI / TRAVI ROVESCE (poste ad una certa
profondit d)
Fino ad ora abbiamo parlato di fondazione superficiale
riferendoci ad un disco fondale poggiato sul terreno (si pensi al
problema di Boussinesq). Questa dicitura non deve confonderci con
le fondazioni a plinti / travi rovesce, anchesse denominate come
fondazioni superficiali per distinguerle da quelle profonde, su
pali.
In questo caso, le rigidezze traslazionali e rotazionali vanno
riferite alla sommatoria dei contributi individuali. Se si assume
che la fondazione si comporta come un corpo rigido e che i singoli
elementi fondali sono ampiamente spaziati tra loro in maniera tale
da poter agire come unit indipendenti, le formule da applicare
valgono:
Dove:
kyi = rigidezza orizzontale delli-esima unit fondale;
kxi = rigidezza verticale delli-esima unit;
ki = rigidezza al rocking delli-esima unit;
yi = distanza in direzione normale dal centroide dellunit
allasse di rocking della fondazione.
In realt, il contributo di K alla rigidezza nei confronti del
rocking generalmente piccola e pu essere trascurata.
Le rigidezze kyi, kxi e ki sono definite dalle seguenti
relazioni:
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Dove:
di = profondit effettiva dellinterro per la i-easima unit
fondale (la dicitura profondit effettiva sar ora chiara);
Gi = modulo di taglio del terreno sotto la fondazione;
rai = raggio della fondazione circolare equivalente alli-esima
unit fondale, calcolato come:
rmi = raggio della fondazione circolare equivalente alli-esima
unit fondale, calcolato come:
FONDAZIONE SU PLINTI / TRAVI ROVESCE (in rinterro scadente o
poggiate in superficie)
Abbiamo appena visto le relazioni per il calcolo delle rigidezze
delle fondazioni su plinti / travi rovesce poste ad una certa
profondit d, vediamo adesso cosa accade quando esse sono poggiate
in superficie oppure non pu essere fatto affidamento sul terreno
posto ai lati. Il calcolo in questo caso estremamente semplice in
quanto basta porre uguale a zero la profondit suddetta.
FONDAZIONE SU PLINTI FITTI / TRAVI ROVESCE FITTE
Una precisazione fatta in precedenza quando si parlato di questo
tipo di fondazione riguardava la configurazione, ovvero si detto di
unit fondali con ampia spaziatura tra esse. Cosa accade quando,
invece, la disposizione pi fitta? Intuitivamente, ci avviciniamo al
caso di fondazione continua, anzich su elementi discreti. Nel caso
in cui la spaziatura sia veramente molto esigua, si pu decidere di
optare per le relazioni per fondazioni continue.
Nei precedenti articoli sul tema abbiamo visto come sia
possibile tener conto dellinterazione tra fondazione e
sovrastruttura; abbiamo visto come un utile riferimento siano le
normative americane, dotate di un pragmatismo che noi ormai abbiamo
perso, cos concentrati nel catturare lazione sismica mediante
coordinate geografiche, magari con cifre a tre decimali
(dimenticandoci tutte le svariate incertezze che ci sono dietro a
questo calcolo. In uno dei prossimi articoli parleremo proprio di
questo).
Prima di concentrarci sul tema di oggi, ricapitoliamo un po di
argomenti trattati in precedenza. Qui di seguito alcune
riletture:
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1. Smorzamento relativo al critico nelle analisi delle
strutture: cenni e valori consigliati;
2. Come modellare linterazione suolo-fondazione-sovrastruttura
parte I: periodo fondamentale e rigidezze;
3. Come modellare linterazione suolo-fondazione-sovrastruttura
parte II: linfluenza della struttura fondale.
Quindi, le nostre analisi strutturali si basano sul concepire la
struttura come un pendolo vincolato al piede che risponde ad
unazione orizzontale applicata in testa. Per tener conto del
terreno possiamo ancora riferirci al pendolo in questione, ma
dobbiamo tener conto delleffettiva rigidezza al piede (le nostre
fondazioni). Abbiamo visto negli articoli precedenti come il
modello lo possiamo immaginare cos:
Ci siamo allora chiesti negli articoli precedenti: come tener
conto di quelle molle alla base? La risposta stata che possibile
far riferimento ad un diverso periodo di vibrazione della struttura
per simulare proprio leffetto di tali molle, potendo cos continuare
a considerare un modello a base fissa.
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Abbiamo visto che la relazione da impiegare la seguente:
Quindi, il periodo del pendolo equivalente a base flessibile
legato al periodo del pendolo a base fissa mediante la relazione
precedente. Abbiamo inoltre visto come entrino in gioco laltezza
effettiva della costruzione, h (soprasegnato), la rigidezza
laterale della fondazione, ky, e la rigidezza dovuta alleffetto
rocking della fondazione, K (per le espressioni di queste grandezze
si veda larticolo riportato allinizio).
Bene, mi chiederete Francesco, ma perch ripetiamo quanto detto
per il periodo?. E importante ripeterlo in quanto le espressioni
del periodo sono intimamente legate allo smorzamento. La relazione
la seguente:
In cui:
= smorzamento viscoso convenzionale (solitamente assunto pari al
5%);
0 (soprasegnato) = smorzamento del terreno;
(soprasegnato) = smorzamento del pendolo a base flessibile che
tiene conto dellinterazione terreno-sovrastruttura;
T = periodo del pendolo a base fissa;
T (soprasegnato) = periodo del pendolo a base flessibile.
Bene, calcolato il periodo della struttura a base fissa,
calcolato lequivalente periodo della struttura a base flessibile,
noto lo smorzamento viscoso convenzionale e, infine, calcolato lo
smorzamento del terreno, possibile ricavare lo smorzamento della
struttura a base flessibile.
In particolare, lo smorzamento del terreno deriva dalla
dissipazione di energia che si ha mediante lattrito intergranulare
e si mostra in maniera evidente in un grafico che mostri la curva
carico-deformazione isteretica. Cos facendo, infatti, lenergia
dissipata per cliclo, chiamiamola W, pu essere espressa come una
grazione dellenergia totale, W.
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Problema: come calcolare lo smorzamento del terreno, ovvero 0
(soprasegnato)? Una soluzione in forma chiusa la ritroviamo in
Veletsos and Nair (1975), ma la procedura un po complessa (ma conto
di fare un articolo sulla procedura a rigore, magari proprio il
prossimo).
Senza voler appesantire troppo larticolo, possiamo dire in prima
approssimazione che tale valore solitamente variabile da 0.05 a
0.15, con punte fino a 0.25,
Facciamo un esempio numerico. Prendiamo una struttura in cemento
armato (smorzamento viscoso assunto pari al 5%. Per i valori
relativi ad altri tipi di strutture ci si riferisca allarticolo
linkato allinizio con i valori consigliati) ed ipotizziamo alcuni
valori.
= smorzamento viscoso convenzionale= 0.05;
0 (soprasegnato) = smorzamento del terreno = 0.06;
T = periodo del pendolo a base fissa = 0.2;
T (soprasegnato) = periodo del pendolo a base flessibile =
0.3.
Con questi valori otteniamo:
(soprasegnato) = 0.06 + 0.05/(0.3/0.2)^3 = 0.07
Ovvero: assumendo uno smorzamento del terreno allincirca uguale
allo smorzamento della sovrastruttura, si ha che lo smorzamento
complessivo della struttura passa da 0.05 a 0.07, ovvero dal 5 al
7%.
Facciamo un altro esempio numerico. Prendiamo un terreno che
smorza maggiormente (e solitamente il terreno dissipa molto pi
della struttura), quindi con un valore di 0.15. In questo caso si
ha:
= smorzamento viscoso convenzionale= 0.05;
0 (soprasegnato) = smorzamento del terreno = 0.15;
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T = periodo del pendolo a base fissa = 0.2;
T (soprasegnato) = periodo del pendolo a base flessibile =
0.3.
Con questi valori otteniamo:
(soprasegnato) = 0.15 + 0.05/(0.3/0.2)^3 = 0.16
Si possono dunque notare due aspetti:
1. lo smorzamento della struttura a base flessibile cambia
parecchio se si tiene conto dellinterazione
terreno-sovrastruttura;
2. tra le due aliquote, terreno e sovrastruttura, il primo ad
avere un peso maggiore nel valore complessivo dello
smorzamento.
