CONTROL POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS - D E A ...dea.unsj.edu.ar/control2/Clase08a-Controlporrealimentacionde... · Control por Realimentación de Estados Los métodos clásicos

Fernando di Sciascio (2016)

CONTROL POR REALIMENTACIÓN

DE ESTADOS

Control por Realimentación de Estados

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t

ì = +ïïíï =ïî

El par (A,B) es controlable.

1

11 1 0

11 1 0

( )( ) C [ ]

( )

,

ol

m mm mn n

n

Y sG s sI A B

U sb s b s b s b

m ns a s a s a

-

--

--

= = -

+ + + += <

+ + + +


Los métodos clásicos de diseño no permiten especificar todoslos polos a lazo cerrado de sistemas de orden superior a dos.Esto es porque al realimentar la salida no disponemos delnúmero suficiente de grados de libertad (parámetros) paraubicar de manera independiente todos los polos a lazo cerrado.La solución es realimentar todos los estados


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t A KB x t Br t

y t Cx t

ì = - +ïïíï =ïî

( ) ( ) ( )u t r t Kx t= - Por ahora suponemosque todos los estadosse pueden medir parapoder realimentarlos.

Para que el sistema sea estable, se diseña K para que todoslos autovalores de A-BK tengan parte real negativa.

CUATRO TEOREMAS IMPORTANTES


Teorema 1: (Asignación de autovalores). Si el par (A,B)es controlable, entonces mediante la realimentación deestados u(t) = r(t) – Kx(t), donde K es un vector fila realconstante, los autovalores de A-BK pueden ser asignadosarbitrariamente, siempre que los autovalores complejosconjugados se asignen en pares.

Teorema 2: La realimentación de los estados puedemover los polos pero no tiene ningún efecto sobre losceros.

Cuatro Teoremas Importantes

Teorema 3: La Controlabilidad de una planta esinvariante con respecto a la realimentación de losestados. Por lo tanto si el par [A, B] es controlable,para cualquier vector K el par [(A-BK), B] tambiénes controlable.

Si la planta no es controlable, no podráconvertirse en controlable mediante larealimentación de los estados.


Teorema 4: La Observabilidad de un sistema de lazocerrado puede ser destruida por la realimentación delos estados. Esto es, la Observabilidad de un sistemano es invariante con respecto a la realimentación delos estados.


Si con la realimentación muevo los polosde tal manera que cancele algún ceroentonces se pierde la observabilidad.

Existen varios métodos de diseño para determinar el vector derealimentación K.

1) Método Directo: Se iguala el polinomio característico de laplanta a lazo cerrado con el deseado y se despejanlas componentes del vector K.

sI A BK- +


2

3 2

2 1( )

2 2 1

s sG s

s s s

+ +=

+ + +

Ejemplo del Método Directo:

0 1 0 0

-1 -1 -1 , 1 , [1 0 1], 0 ,

0 0 -1 1

A B C D

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= = = =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

Las posiciones deseadas de los polos a lazo cerrado son:l1 =l2 =-1, l3. =-4

2 3 2( ) ( 1) ( 4) 6 9 4cdP s s s s s s= + + = + + +

El polinomio característico deseado es:

1 2 3

3 22 3 1 3 3

0 0 0 1 0 0

0 0 -1 - 1 - 1 1

0 0 0 0 - 1 1

( 2) ( 2) ( 1)

s

sI A BK s k k k

s

s k k s k k s k

é ù é ù é ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú é ù- + = - + ê úê ú ê ú ê ú ë ûê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úë û ë û ë û

= + + + + + + + +

El polinomio característico de la planta a lazo cerrado es:

Igualando ambos polinomios3 2 3 2

2 3 1 3 3

Polinomio característico de Polinomio característicola planta a lazo cerrado deseado

( 2) ( 2) ( 1) 6 9 4s k k s k k s k s s s+ + + + + + + + = + + +

2 3 1

1 3 2

33

2 6 4

2 9 1

31 4

k k k

k k k

kk

ìï + + = =ïïï + + = =íïï =+ =ïïî

4 1 3K é ù= ê úë û

El sistema a lazo cerrado es:

21

3 2

2 1( ) ( )

6 9 4cl cl

s sG s C sI A B

s s s- + +

= - =+ + +

0 1 0 0 0 1 0

-1 -1 -1 [4 1 3] 1 -5 -2 -4

0 0 -1 1 -4 -1 -4clA

é ù é ù é ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú= - =ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úë û ë û ë û

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )clA

x t A KB x t Br t

y t Cx t

ì = - +ïïïïíïï =ïïî

La función de transferencia a lazo cerrado es:

2

3 2

2 1( )

2 2 1ol

s sG s

s s s

+ +=

+ + +

Comparando con la función detransferencia a lazo abierto:

Tienen los mismos ceros y Gcl(s) tiene los polos en lasposiciones deseadas.

Observaciones:

· En el método directo no queda claro que rol que juega lacontrolabilidad en la asignación de autovalores (polos).

· El ejemplo muestra que la realimentación de estados permiteubicar los autovalores del sistema realimentado en cualquierposición, y que la ganancia de realimentación K puedecalcularse por substitución directa. Sin embargo, el métododirecto no es práctico para dimensiones mayores.

· Para este ejemplo el sistema de ecuaciones es tan simpleque se resuelve por inspección:

2 3 1

1 3 2

33

2 6 4

2 9 1

31 4

k k k

k k k

kk

ìï + + = =ïïï + + = =íïï =+ =ïïîPara un sistema de ecuaciones más cumplejo se puedeutilizar el comando de Matlab solve (Symbolic solution ofalgebraic equations).

Repaso de la Forma Canónica Controlable

0 1 2 1

0 1 2 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

, ,

0 0 0 1 0

1

n n

n

A B C b b b b

a a a a

- -

-

é ù é ùê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê ú é ù= = =ê ú ê ú ê úë ûê ú ê úê ú ê úê ú ê ú- - - -ê ú ê úë û ë û

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x t x t P t

x t Ax t Bu t x t Ax t Bu t

y t Cx t y t C x t=

ì ì= + = +ï ïï ïí íï ï= =ï ïî î

[ , , ] [ , , ]P

A B C A B C

11 1 1 1 0

1 0

( ) C [ ] C [ ]n

nn

b s b s bG s sI A B sI A B

s a s a

-- - - + + +

= - = - =+ + +

Las matrices de la FCC1a (variables de fase) son:

La función de transferencia es la misma para los dos sistemas

Repaso de la Forma Canónica Controlable (continuación)

[ , , ] [ , , ]P

A B C A B C

1

1( ) ( )

A P AP

x t P x t B P B

C CP

-

-

ìï =ïïï= =íïï =ïïî

1P -=

1 , ( )nB AB A B Rango n-é ù= =ê úë û

1 2 1

2 31 1

1

1

1 0

1 0 0

1 0 0 0

n

n

n

a a a

a a

B AB A B

a

-

- -

-

é ùê úê úê úê úé ù= = ê úê úë û ê úê úê úê úë û

● La estructura de lamatriz es la de unamatriz de Hankel, secalcula con Matlab con:

1 2 1([ 1])nhankel a a a -

Mediante una transformación de semejanza P se pasa delsistema controlable (A,B,C) a la forma canónica controlable( , , )ABC

2) Método para asignación de autovalores via forma canónicacontrolable: Se basa en que si el sistema original esta en laforma canónica controlable es muy fácil e inmediato obtener elvector K (las ganancias de realimentación).

0 1 2 1

0 1 2 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

, ,

0 0 0 1 0

1

n n

n

A B C b b b b

a a a a

- -

-

é ù é ùê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê ú é ù= = =ê ú ê ú ê úë ûê ú ê úê ú ê úê ú ê ú- - - -ê ú ê úë û ë û

0 1 1 2 2 3 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

( ) ( ) ( ) ( )n n

A BK

a k a k a k a k-

é ùê úê úê úê ú- = ê úê úê úê ú- + - + - + - +ê úë û

11 1 2 0 1( ) ( ) ( )n n

n nsI A BK s a k s a k s a k--- + = + + + + + + +

0 1 1 2 1

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0( )

0 0 ( ) ( ) ( )n n

s

ssI A BK

s a k a k a k-

é ù é ùê ú ê úê ú ê úê ú ê ú- - = -ê ú ê úê ú ê úê ú ê ú- + - + - +ê ú ê úë û ë û

El polinomio característico a lazo cerrado cuando la planta estaen forma canónica controlable es:

11 1 0( ) 0n n

cd nP s s s sa a a--= + + + + =


Igualando ambos polinomios e igualando los términos de igualorden:

1 0 00 1 0

1 2 1 2 1 1

1 1 1 1n n n n n n

k aa k

a k k a

a k k a

aaa a

a a- - - -

ì = -+ =ïïïï + = -ïïíï =ïïï + = = -ïïî

0 0 1 1 1 1n nK a a aa a a - -é ù= - - -ê úë û

1 1 , 1,2, ,i i ia i nk a - -= - =

Luego el cálculo del vector K (las ganancias de realimentación)es inmediato cuando el sistema está en la FCC1a.

El procedimiento de de diseño es el siguiente:

a) Se obtienen los coeficientes del polinomiocaracterístico del sistema en lazo abierto de la planta acontrolar (A,B,C,D).


-

--

--

= = - -

+ + + += <

+ + + +

1

11 1 0

1 1 01

( )( ) C [ ( )]

( )

,m m

n

m mn n

Y sG s sI A BK B

U s

b s b s b s b

sa asam n

s

0 1 1, , , na a a -

b) Se forman las matrices de la controlabilidad del sistemaoriginal (A,B,C,D) y del sistema en la forma canónicacontrolable 1a .

1 , ( )nB AB A B Rango n-é ù= =ê úë û

-

-- -

-

-é ùê úê úê úê úé ù= = =ê úê úë û ê úê úê úê úë û

1 2 1

2 311 1

1

11

1 0

1 0 0

1 0 0 0

n

n

n

a a a

a a

B AB A B M

a

( , , , )ABC D

-

--

-

é ùê úê úê úê ú= = =ê úê úê úê úê úë û

1 2 1

2 31

1 2 1

1

1

1 0

([ 1])

1 0 0

1 0 0 0

n

n

n

a a a

a a

M hankel a a a

a

c) Se eligen las posiciones de los polos (autovalores dela matriz |sI-A-BK|) deseados y los coeficientes a0,a1, ..., an-1 del polinomio característico deseado.

1 21

1 1 0

( ) ( )( ) ( )

0d n

n nn

Pc s s s s

s s s

l l l

a a a--

= - - -

= + + + + =

d) Se determina el vector de ganancias derealimentación en las coordenadas de la formacanónica controlable

0 0 1 1 1 1n nK a a aa a a - -é ù= - - -ê úë û

( , , , )ABC DK

e) Se determina el vector de realimentación K en lascoordenadas originales.Teniendo en cuenta que la acción de control es lamisma para el modelo original (A,B,C,D) ó el modeloen su forma canónica controlable .( , , , )ABC D

1 1( ) ( ) ( ) ( )u t Kx t K x t KP x t K KP- -= - = - = - =

- - - -= = =1 1 1 1K K KM KP

Fórmula de Bass-Gura

- - -= =1 1 1K KM KP

1

1

1 2 1

2 3 110 0 1 1 1 1

1

11

1 0

[ , , , ]

1 0 0

1 0 0 0

n

nn n

nK

P

a a a

a a

K a a a B AB A B

a

a a a

-

-

-

--- -

-

-é ùê úê úê ú

é ùê ú= - - - ê úê ú ë ûê úê úê úê úë û


1 1K K KP- -= =

1

1

1 2 1

2 3 110 0 1 1 1 1

1

11

1 0

[ , , , ]

1 0 0

1 0 0 0

n

nn n

nK

P

a a a

a a

K a a a B AB A B

a

a a a

-

-

-

--- -

-

-é ùê úê úê ú

é ùê ú= - - - ê úê ú ë ûê úê úê úê úë û


2

3 21

1( )

1

2

2 2

s sG s

s s s

+ +=

+ + +

Ejemplo: 0 1 0 0

-1 -1 -1 , 1 , [1 0 1]

0 0 -1 1

A B C

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= = =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

0 1 -2

1 -2 2 , ( ) 3

1 -1 1

Rango

é ùê úê ú= =ê úê úê úë û

12 2 1 0 0 1

2 1 0 0 1 -2

1 0 0 1 -2 2

-é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

a) Se obtienen los coeficientes del polinomio característico de(A,B,C,D).

b) Se calculan las matrices de controlabilidad

c) Las posiciones deseadas de los polos a lazo cerrado son:l1 =l2 =-1, l3. =-4

2 3 2( ) ( 1) ( 4) 6 9 4cdP s s s s s s= + + = + + +


d) Se determina el vector de ganancias de realimentación en lascoordenadas de la forma canónica controlable

0 0 1 1 2 2

4 1 9 2 6 2 3 7 4

a a a

K

a a a- - -

é ùê ú

é ùê ú= - - - = ê úê ú ë ûê úë û

K

e) Se determina el vector de realimentación K en las coordenadasoriginales.

1 1K K KP- -= = La fórmula de Bass-Gura es:

1

1 211 2

2

1 11 2 2 1 0 1 -2 -1 -1 1

1 0 2 1 0 1 -2 2 1 0 0

1 0 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0

a a

P a B AB A B

-

--

- -é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê úé ù= = =ê ú ê ú ê ú ê úê úë ûê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê úë û ë û ë û ë û

4 1 3K é ù= ê úë û-1 -1 1

3 7 4 1 0 0 [4 1 3]

0 1 0

K

é ùê úê úé ù= =ê ú ê úë û ê úê úë û El mismo resultado que con

el método directo

10 0 1 1 2 2[ , , ]K a a a Pa a a -= - - -

3) Método de diseño utilizando la fórmula de Ackermann

La formula de Ackerman es:

1[0 0 0 1] ( )K Af-=

2 1[ ], ( )nB AB A B A B Rango n-= =

11 1 0( ) n n

nA A A A If a a a--= + + + +

es la matriz de controlabilidad

Por lo tanto K será la última fila de la matriz -1 f(A)

y la matiz f(A) se define como:

Ejemplo: 0 1 0 0

-1 -1 -1 , 1 , [1 0 1]

0 0 -1 1

A B C


0 1 -2

1 -2 2 , ( ) 3

1 -1 1

Rango

é ùê úê ú= =ê úê úê úë û

3 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0

( ) -1 -1 -1 6 -1 -1 -1 9 -1 -1 -1 4 0 1 0

0 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0 1

Af

é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê= + + +ê ú ê ú ê ú êê ú ê ú ê ú êê ú ê ú ê ú êë û ë û ë û ë û

-1 3 -4

-3 -4 1

0 0 0

úúúú

é ùê úê ú= ê úê úê úë û

2 3 2( ) ( 1) ( 4) 6 9 4cdP s s s s s s= + + = + + +

1

0 1 -2 -1 3 -4

[0 0 1] ( ) [0 0 1] 1 -2 2 -3 -4 1 [4 1 3]

1 -1 1 0 0 0

K Af-


4 1 3K é ù= ê úë û

El mismo resultado de antes.

k_Ack=[0 0 1]*inv([B A*B A^2*B])*(A^3+alpha(2) *A^2+alpha(3)* A+alpha(4)*eye(3))

ó podemos utilizar directamente el comando acker

Resolvemos la fórmula de Ackerman con Matlab:

K = acker(A,B,roots(Pcd))

Donde roots(Pcd) son las raíces del polinomio característicodeseado, esto es, son las posiciones de los polos deseados l1 =l2 =-1,l3. =-4.

También se puede utilizar el comando place

K = place(A,B,roots(Pcd))

Como antes, roots(Pcd) son las raíces del polinomio característicodeseado, esto es, son las posiciones de los polos deseados l1 =l2 =-1,l3. =-4.


Distintos casos de Control por Realimentación de Estado

Control por Realimentación de Estado

· Caso 1: Diseño mediante realimentación de estados para referencia igual a cero (r(t)=0)

· Caso 2: Diseño mediante realimentación de estados para referencia distinta de cero (r(t)¹ 0)

· Caso 2.a: Compensación para eliminar el error en estado estacionario.

· Caso 2.b: Diseño de servosistemas de Tipo 1 para plantas Tipo 0.

· Caso 2.c: Diseño de servosistemas de Tipo 1 para plantas Tipo 1 (con un integrador).


Caso 1 Diseño mediante

realimentación de estados para referencia igual a cero

r(t) = 0

Caso 1: Referencia igual a cero (r(t)=0)

El par (A,B) es controlable

Las posiciones deseadas de los polos a lazo cerrado son l1,…, ln.

La ecuación característica a lazo cerrado entonces es:

1 21

1 1 0

( )( ) ( )

0n

n nn

sI A BK s s s

s s s

l l l

a a a--

- + = - - -

= + + + + =

Los autovalores (polos) del sistema a lazo cerrado l1,…, lntienen parte real negativa. Luego a partir del vector deestado inicial x(0) = x0, los estados x(t) y la salida y(t)=Cx(t)evolucionan y convergen a cero.

Ejemplo

0 1 0 0

-1 -1 -1 , 1

0 0 -1 1

[1 0 1] , 4 1 3

A B

C K

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

é ù= = ê úë û

0

0 1 0 1

( ) -5 -2 -4 ( ), 0

-4 -1 -4 0

( ) [1 0 1] ( )

x t x t x

y t x t

ì é ù é ùïï ê ú ê úï ê ú ê úï = =ï ê ú ê úïï ê ú ê úí ê ú ê úï ë û ë ûïïïï =ïïî

Ejemplo:

Las perturbaciones pueden afectar mucho la regulación ya quela realimentación de estado no es eficientes para minimizarsus efectos. La realimentación de estados no afecta a losceros (recordar que los ceros están relacionado con lasentradas) y las perturbaciones externas son entradas.

Ejemplo (continuación):é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù= = = = ê úê ú ê ú ë ûê ú ê úê ú ê úë û ë û

0 1 0 0

-1 -1 -1 , 1 , [1 0 1] , 4 1 3

0 0 -1 1

A B C K

escalón de amplitud0.5 que comienza ent=4seg.

m

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= = = -ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

0

1 11

0 , 0 , ( ) ( 4)2

0 0px B p t t

Ejemplo (continuación):

% Efecto_de_la_perturbación_para_regulación.mclear; clc; close allA=[0 1 0;‐1 ‐1 ‐1;0 0 ‐1]; B=[0 1 1]'; C=[1 0 1];D=0; K=[4 1 3];Bp=[1 0 0]'; Acl=A‐B*K;sys_p=ss(Acl,Bp,C,0); x0=[1; 0; 0];t = linspace(0,10,1000);p=[zeros(1,400) ones(1,600)/2];[y,t,x]=lsim(sys_p,p,t,x0);plot(t,x)hold onplot(t,y)




Caso 2 Diseño mediante

realimentación de estados para referencia distinta de

ceror(t)¹ 0

Caso 2: Referencia distinta de cero r(t)¹0

Como antes el par (A,B) es controlable y losautovalores de A-BK tienen parte real negativa.

Si la planta es tipo cero (no tiene integrador)el error de estado estacionario de la salidanormalmente es grande. Esto se debe a que lasposiciones de los ceros no cambian con larealimentación de los estados.


2

3 2

2 1( )

2 2 1

s sG s

s s s

+ +=

+ + +

Ejemplo:

0 1 0 0

-1 -1 -1 , 1 , [1 0 1], 0 ,

0 0 -1 1

A B C D

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= = = =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

Las posiciones deseadas de los polos a lazo cerrado son:l1 =l2 =-1, l3. =-4

2 3 2( ) ( 1) ( 4) 6 9 4cdP s s s s s s= + + = + + +


4 1 3K é ù= ê úë û

Vimos por varios métodos que la ganancia de realimentación quecoloca los polos a lazo cerrado en los lugares especificados es:


Ejemplo:

¥

- -

¥

+ += = = =

+ + +

= = - = - =

2

3 20

1 1

0

2 1( ) (0) 1

2 2 1

( ) ( ) C 1

ss t s

ss t s

s sy Lim y t G Lim

s s stambién

y Limy t LimC sI A B A B

Para u(t) escalón unitario (U(s)=1/s) la salida delsistema en estado estacionario a lazo abierto es:

+ +=

+ + +

ì é ù é ùïï ê ú ê úï ê ú ê ú= +ïï ê ú ê ú í ê ú ê úï ë û ë ûïï é ùï = ë ûïî

2

3 2

0 1 0 0

-1 -1 -1 12 1( )

0 0 -1 12 2 11 0 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

s sG s

s s s

x t x t u t

y t x t

Luego la respuesta al escalón de las funciones de transferenciaa lazo abierto y a lazo cerrado difieren mucho.

¥

- -

¥

öæ é ù é ù ÷ç ÷ê ú ê úç ÷ç ÷ê ú ê ú é ùç ÷-ç ÷ê ú ê ú ê úë û ÷ç ê ú ê úççç ê ú ê úè øë û ë û

+ += = = = =

+ + +

= = - - = - -

é ù= - ë û

2

3 20

1 1

0

0 1 0 0

-1 -1 -1 1 4 1 3

0 0 -1 1

1 0 1

2 1 1( ) (0) 0.25

46 9 4

( ) ( ( )) C( )

ss t s

ss t s

s sy Lim y t G Lim

s s s

y Lim y t LimC sI A BK B A BK B

-

÷÷÷

é ùê úê ú =ê úê úë û

1 0

1

1

0.25

- + += - - =

+ + +

21

3 2

2 1( ) ( ( ))

6 9 4cl

s sG s C sI A BK B

s s s

Vimos también que la función de transferencia a lazo cerradopara es:

Conserva los ceros del sistema a lazo abierto y los polos estánen las posiciones asignadas. Para u(t) escalón unitario la salidadel sistema a lazo cerrado es:

= [4 1 3]K

La respuesta dinámica es la deseada pero el error de estadoestacionario es enorme.


Caso 2 Referencia distinta de cero

r(t)¹ 0

2.a: Compensación para mejorar el error de estado estacionario

Recordemos que:· La realimentación deestados actúa sobre los polosy no sobre los ceros.· Cuando r(t)=0, la evolucióndel sistema depende solo delos polos (respuesta natural).Cuando r(t) ¹ 0 los cerostambién participan en larespuesta del sistema.Entonces este esquemafunciona bien para regulaciónporque la entrada es cero ylleva la salida a cero. Elproblema con el seguimientoes que la entrada es distintade cero y no hay controlsobre la salida y(t) y sobreel error e(t)=r(t)-y(t).

La función de transferencia a lazo cerrado es

Se soluciona agregando una ganancia de precompensaciónN

1

11 1 0

11 1 0

( )( ) C [ ( )]

( )N

N ,

cl

m mm mn n

n

Y sG s sI A BK B

U sb s b s b s b

m ns s sa a a

-

--

--

= = - -

+ + + += <

+ + + +

Realimentación de Estados + Ganancia de Precompensación

--¥

= = - - = = --

11

1( ) C [ ] 1

]N

C [Nss t

y Lim y t A BK BA BK B

aa¥

= = = =0 0

0 0

( ) ( N) N0ss clt

by Limy t G

b

01

0

1N

C [ ] bA BK B

a-

= - =-

La ganancia de precompensación es:


1

11 1 0

11 1 0

( )( ) C [ ( )]

( )N

N ,

cl

m mm mn n

n

Y sG s sI A BK B

U sb s b s b s b

m ns s sa a a

-

--

--

= = - -

+ + + += <

+ + + +

Ejemplo: Vimos en el ejemplo anterior que el error en estadoestacionario era grande. Ahora le aplicamos al mismo sistemaprecompensación

21

3 2

2 1( ) ( ( ))

6 9 4cl

s sG s C sI A BK B

s s s- + +

= - - =+ + +

La función de transferencia a lazo cerrado es:

a-

= - = =-

01

0

1N 4

C [ ] bA BK B

La ganancia de precompensación debe ser:

2

3 2

( ) 2 1( ) 4 (0) 1

( ) 6 9 4cl cl

Y s s sG s G

U s s s s

+ += = =

+ + +

Ahora la respuesta al escalón de las funciones de transferenciason:

La respuesta dinámica es la deseada y el error de estadoestacionario es cero.


Otra posibilidad para solucionar el problema es agregar unaganancia G al vector B

-= = - - 1( )( ) C [ G G( ')]

( )clY s

G s sI A BK BU s

Observar que el vector de ganancias K se ha modificado a K’para no modificar las posiciones de los polos a lazo cerrado.

Para que no se modifiquen las posiciones de los polos a lazocerrado debe ser.

-

¥-

= = = - -

= - - =

1

1

( ) (0) C [ ']

C [

G

G] 1

Gss ty Lim y t G A BK B

A BK B

-= 1' GK K

a-

= - = =-

01

0

1

C [ ]G N

bA BK B

G es igual a la ganancia de precompensación que secalculo anteriormente.

N

En el ejemplo anterior se agrega la ganancia G, y semodifican las ganancias de la realimentación de estados dela siguiente manera:

-

ì = =ïïïíï = = =ïïî1

N 4

1' G [4 1 3] [1 .25 .75]

4

G

K K

El resultado es idéntico al obtenido con la precompensación

La respuesta dinámica es la deseada en ambos casos y elerror de estado estacionario es cero. PERO HAY UNPROBLEMA CON ESTOS ESQUEMAS.

Las perturbaciones NUEVAMENTE pueden afectar mucho yaque ni Los esquemas de compensación vistos, ni larealimentación de estado son eficientes para minimizar susefectos no afectan a los ceros (recordar que los ceros estánrelacionado con las entradas) y las perturbaciones externasson entradas al sistema.

La respuesta dinámica es la deseada y el error de estadoestacionario es cero. PERO MALA RESPUESTA ANTE PERTURBACIONES

El inconveniente de las soluciones vistas hasta ahora esque el control de ganancia se efectúa en lazo abierto, porlo que los sistemas diseñados resultantes son sensibles alas perturbaciones e inexactitudes del modelo, noefectuando un verdadero control en lazo cerrado sobrela ganancia del sistema, es decir, sobre su valor enrégimen permanente.Esto se puede solucionar en parte incrementando el tipodel sistema, y realimentando la salida. El control sepuede denominar realimentación de los estados másrealimentación de la salida con control integral.Esto es lo que trataremos en la próxima clase.

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