Estrategia de control por realimentación de estados para

Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas

Facultad de Ingeniería Eléctrica

Departamento de Automática y Sistemas Computacionales

TRABAJO DE DIPLOMA

Estrategia de control por realimentación de estados

para plataforma electro-neumática de simulación

de conducción

Autor: Alexander Moreno Limonte

Tutor: Msc. Ángel E. Rubio Rodríguez

Santa Clara

2007

"Año 49 de la Revolución”

Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas

Facultad de Ingeniería Eléctrica

Departamento de Automática y Sistemas Computacionales

TRABAJO DE DIPLOMA

Estrategia de control por realimentación de estados para plataforma electro-neumática de simulación

de conducción

Autor: Alexander Moreno Limonte [email protected]

Tutor: Msc. Ángel E. Rubio Rodríguez [email protected]

Consultante: Dr. José R. Abreu Garcia

Santa Clara

2007

"Año 49 de la Revolución"

Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central

“Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad

de Ingeniería en Automática, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución,

para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no

podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.

Firma del Autor

Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de

la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un

trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.

Firma del Autor Firma del Jefe de Departamento

donde se defiende el trabajo

Firma del Responsable de

Información Científico-Técnica

i

PENSAMIENTO

No consideréis nunca al estudio un deber, sino la envidiable

oportunidad de aprender a conocer la liberadora influencia

de la belleza en el reino del espíritu, para vuestra propia

alegría, y en provecho de la comunidad a la cual pertenece

vuestro trabajo final.

Albert Einstein

ii

DEDICATORIA

A mi madre por estar siempre dispuesta a brindarme su apoyo, a mis abuelos

por ser los mejores amigos que poseo, a mi amigo y hermano Jesús Roque por

brindarme sus certeros consejos, a mi padre y a mi familia en general por

haber depositado en mí la confianza necesaria durante todo este tiempo, a mis

amigos por haberme empujado siempre a dar lo mejor de mí. En fin dedico

este trabajo a todos los que de una forma u otra han influido de manera

positiva en mi formación profesional para alcanzar esta meta.

iii

AGRADECIMIENTOS

En primer lugar a mi amigo y tutor Ernesto Rubio por haberme guiado por el

camino correcto exigiendo siempre lo mejor de mí, a el Dr. José Abreu por

estar siempre dispuesto a ayudarme, al colectivo de profesores de la carrera

por haber depositado en mí los conocimientos básicos necesarios para mi

desempeño profesional. A mis compañeros y amigos de aula por haberme

ayudado en los momentos difíciles de mi carrera.

iv

TAREA TÉCNICA

Analizar las tendencias de control, para sistemas electro-neumáticos, más recientes.

Estudiar la técnica de control por ubicación de polos mediante la realimentación de

estados con el objetivo de aplicarla a los actuadores electro-neumáticos de la plataforma.

Sintetizar un controlador mediante la asignación de polos para cada articulación electro-

neumática del simulador de conducción que responda al desempeño requerido. Simular el

controlador propuesto con el modelo del sistema implementado en Simulink y comprobar

su desempeño. Realizar el análisis económico del sistema controlado mediante el

algoritmo propuesto.

Firma del Autor Firma del Tutor

v

RESUMEN

Los simuladores, en todas las esferas, van tomando cada vez mayor auge gracias al

desarrollo acelerado de los dispositivos de cómputo. Los simuladores de conducción

empleados para el entretenimiento de futuros conductores, son ejemplo de esto. Si bien es

cierto que el cálculo de la dinámica de los vehículos y los efectos visuales se desarrollan

rápidamente debido a estos avances computacionales, la mecánica fundamental de las

plataformas empleadas y el hardware de control no ha cambiado mucho. Los actuadores en

la gran mayoría siguen siendo eléctricos o hidráulicos representando esto un porciento

elevado del costo total del simulador.

Como solución a las necesidades del país el Centro de Investigación y Desarrollo de

Simuladores CIDSIM (SIMPRO) ha desarrollado simuladores ampliamente utilizados en

entrenamiento de personal de la producción y los servicios, a la vez que juegos virtuales.

Utilizando para este fin plataformas con accionamientos electro-neumáticos.

El uso de actuadores electro-neumáticos en plataformas para simuladores es un tema

reciente. Aunque es una tecnología barata, limpia y simple; para un control preciso y rápido

de los mismos, se requieren algoritmos complejos y no convencionales de control. Debido a

la carencia de personal calificado en la rama de control automático, la empresa SIMPRO

vi

presenta problemas con el diseño de algoritmos de control que permitan el correcto

funcionamiento de las plataformas de simulación de conducción.

Como solución a estos problemas planteados anteriormente el grupo de investigación

GIMAS, del departamento de automática y sistemas computacionales de la UCLV, se ha

dado la tarea de buscar algoritmos de control que cumplan con los requisitos básicos de

velocidad y de error de seguimiento en estos sistemas. En el presente trabajo se hace un

análisis de los principales métodos de control aplicados a este tipo de sistemas

recientemente, seleccionando de estos un algoritmo que cumpla con los requerimientos de

control para estas aplicaciones. Este algoritmo se sintetiza y comprueba mediante

simulación.

Se obtiene así en este trabajo un controlador capaz de garantizar los requisitos básicos de

diseño para las plataformas de simulación de conducción que usan actuadores electro-

neumáticos, contribuyendo de esta forma a elevar las prestaciones sin alterar en gran

medida los costos de producción.

vii

TABLA DE CONTENIDOS

PENSAMIENTO .....................................................................................................................i

AGRADECIMIENTOS........................................................................................................ iii

TAREA TÉCNICA................................................................................................................iv

RESUMEN .............................................................................................................................v

INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................1

Organización del informe ...................................................................................................4

CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA..................................................................5

1.1 Control automático .................................................................................................5

1.1.1 Control clásico y control moderno..................................................................6

1.1.2 Control lineal ..................................................................................................8

1.1.3 Control no lineal .............................................................................................9

1.2 Control de actuadores neumáticos ........................................................................11

1.3 Conclusiones parciales..........................................................................................12

CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO ...................................................13

2.1 Estado del arte en modelación de sistemas electro- neumáticos ..........................13

2.2 Modelación dinámica del actuador .......................................................................14

2.3 Identificación y obtención del modelo de la plataforma.......................................20

2.3.1 Datos técnicos fundamentales de la plataforma............................................21

viii

2.3.2 Identificación experimental ..........................................................................22

2.4 Conceptos básicos de diseño.................................................................................25

2.4.1 Diseño de sistemas por asignación de polos mediante la realimentación

estados 26

2.5 Diseño de sistemas de control mediante la asignación de polos...........................28

2.5.1 Diseño de sistema de control cuando la planta posee integrador .................28

2.5.2 Diseño del sistema de control cuando la planta no posee un integrador ......30


CAPÍTULO 3. DISEÑO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS...................................35

3.1 Estado del arte de las técnicas de observación en actuadores neumáticos ...........35

3.1.1 Observador de estado de orden completo .....................................................36

3.1.2 Efectos de la adición del observador sobre el sistema en lazo cerrado ........38

3.2 Síntesis del controlador.........................................................................................39

3.3 Análisis económico...............................................................................................48


CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...................................................................51

Conclusiones.....................................................................................................................51

Recomendaciones .............................................................................................................52

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................53

INTRODUCCIÓN 1

INTRODUCCIÓN

En el mundo actual, científica y tecnológicamente dinámico, cada vez son mayores las

tareas o actividades que se realizan de forma simulada buscando una mayor seguridad,

fiabilidad y flexibilidad, sobre todo si estas tareas están relacionadas de alguna manera con

el aprendizaje de habilidades que implican riesgo, peligro para los seres humanos o altos

costos. Por otra parte estas tareas o actividades simuladas deben cumplir un conjunto de

características que lo acerquen en la mayor medida posible a la actividad real que se

pretende simular. Tal es el caso de los Simuladores de Conducción, los cuales van teniendo

mayor aceptación a nivel mundial en la medida de que logran recrear con mayor precisión y

exactitud las sensaciones de un vehículo real, permitiendo el entrenamiento del personal y

minimizando el uso de vehículos reales con el consiguiente consumo de recursos.

Los simuladores de conducción del mundo real, usados para capacitación y entrenamiento

en conducción, tienen una aplicación muy cercana y creciente en juegos y entretenimientos,

disponiendo en ambos casos de plataformas móviles que dependiendo de su complejidad

pueden tener varios grados de libertad, logrando de esta forma, al situar sobre las mismas

los aditamentos de un vehículo real o del juego, obtener sensaciones de movimiento

recreadas virtualmente por un ordenador, permitiendo reproducir condiciones reales de

conducción en un ambiente seguro y totalmente controlado (Woon-Sung Lee 1998; Chen

2003).

Como solución a las necesidades del país el Centro de Investigación y Desarrollo de

Simuladores CIDSIM (SIMPRO) ha desarrollado simuladores ampliamente utilizados en

entrenamiento de personal de la producción y los servicios, a la vez que juegos virtuales,

los que se desarrollan exactamente bajo los mismos principios. La solución más económica

para las plataformas de simuladores y juegos ha sido la que utiliza actuadores neumáticos

INTRODUCCIÓN 2

lineales (Aracil, Saltarén et al. 2003; Carducci, Foglia et al. 2004) ya que estos sistemas

tienen grandes ventajas como son la limpieza, altas razones de carga contra peso y carga

contra volumen, desarrollan velocidades comparadas con la de los actuadores eléctricos y

grandes fuerzas, todo esto con un mecanismo operacional simple, permitiendo el desarrollo

de manipuladores compactos, ligeros y rentables que podrían ser utilizados en una gran

variedad de aplicaciones (Shunmugham R. Pandian and Kawamura 2002).

Sin embargo, el control preciso y rápido de los actuadores neumáticos lineales ha sido hasta

ahora difícil, debido al orden del modelo y su dinámica variable en función de la posición.

Lo anterior se debe en gran medida a la compresibilidad del aire, disturbios externos tales

como fricciones estáticas y de coulomb, variaciones de la carga útil y variaciones de la

fuente de la presión (Pearce 2005). Esto convierte el problema del control de movimiento

de los simuladores con plataformas neumáticas, en un elemento de vital importancia por la

complejidad que implican los algoritmos. Es por ello que se necesitan soluciones

particulares de implementación así como pequeños períodos de muestreo debido a la

rapidez que demandan tales sistemas. Esto se observa en trabajos como: (Shunmugham R.

Pandian and Kawamura 2002; Li, Mizukami et al. 2003; Wang and Peng 2003; Xue, Peng

et al. 2003).

El creciente desarrollo de la electrónica y a su vez de las microcontroladores empotrados ha

hecho posible la ejecución en tiempo real de complejos algoritmos de control (Sosa 2007).

Este avance ha provocado un creciente auge en la investigación de algoritmos de control

para actuadores neumáticos haciendo de este tema algo novedoso y reciente.

La carencia de personal capacitado en la esfera de control automático, por la empresa

SIMPRO, no ha permitido que se implementen los algoritmos de control más idóneos para

el funcionamiento de estos sistemas. Hasta el momento tienen implementado un clásico

algoritmo PID el cual no satisface las exigencias de exactitud y de velocidad requeridas,

esto se debe en gran medida a la complejidad de la planta

En tal sentido y como solución a estos problemas el grupo de investigación GIMAS, del

departamento de automática y sistemas computacionales de la UCLV, se ha dado a la tarea

de buscar algoritmos de control para las plataformas (Rubio, Hernández et al. 2007). De

INTRODUCCIÓN 3

manera que se contribuya a elevar las prestaciones de estos sistemas sin altera en gran

medida los costos de producción de dichas plataformas.

De lo expuesto anteriormente se llega al problema científico abordado en este trabajo:

¿Qué algoritmo de control, de bajo costo y fácil implementación, se puede desarrollar para

controlar las plataformas neumáticas de dos grados de libertad que permita elevar

prestaciones necesarias en simuladores de conducción sin modificar en gran medida los

costos de producción?

A partir del problema científico se establece como objeto de estudio de la presente

investigación “los algoritmos de control de fácil implementación y de bajos costos en

actuadores neumáticos” y centrar el campo de acción en “el diseño de un controlador que

permita lograr los menores errores de seguimiento con las mayores velocidades de

respuesta posibles a bajos costos y fácil mantenimiento”

El autor del presente trabajo asume como hipótesis que “es posible el diseño de un

algoritmo de control para los actuadores neumáticos de los simuladores de conducción que

logre los requerimientos planteados a bajos costos y fácil mantenimiento”.

En consecuencia, el objetivo general de la investigación es “contribuir a la elevación de las

prestaciones de las plataformas desarrolladas por SIMPRO al introducir en las mismas un

algoritmo de control de altas prestaciones, que permita, sin modificar en gran medida los

costos de estos dispositivos, aumentar los índices de funcionamiento así como un fácil

mantenimiento”.

Finalmente el objetivo específico de la investigación es “comprobar mediante la

simulación un algoritmo de control, de altas prestaciones, para las plataformas neumáticas

de conducción que no modifique en gran medida los costos de producción y permita

aumentar los índices de funcionamiento así como un fácil mantenimiento”

Con el desarrollo de este trabajo se espera arribar a los resultados siguientes para

cumplimentar lo planteado como objetivos específicos:

1. Se hace una valoración del estado del arte en la temática de algoritmos de control

para sistemas neumáticos.

INTRODUCCIÓN 4

2. Es seleccionado un algoritmo de control de fácil implementación que cumple con

los objetivos propuestos.

3. Se realizan todas las pruebas simuladas necesarias del algoritmo verificando su

desempeño.

4. Se realiza un análisis económico minucioso demostrando la fiabilidad de

implementar dicho algoritmo.

Organización del informe

El presente trabajo está estructurado en tres capítulos. En el Capítulo 1 se muestra, luego de

haber expuesto algunos conceptos de utilidad en el trabajo como son los de: control

automático, control clásico y control moderno, control lineal y no lineal; el estudio

realizado sobre el tema de los controles aplicados a los actuadores neumáticos utilizados en

los simuladores de conducción escogiendo de estos la técnica de control más idónea para el

propósito de este trabajo.

En el Capítulo 2 se describen los conceptos básicos de diseño por ubicación de polos

mediante la realimentación de estado luego de haber obtenido la modelación dinámica del

actuador electro-neumático la que se utiliza para validar el modelo de la plataforma del

simulador de conducción que se obtiene mediante la identificación experimental.

En el Capítulo 3 se procede a la implementación de los algoritmos obtenidos en el Capítulo

2 luego de haber analizado la necesidad de un observador de estado, para logra la

implementación de estos algoritmos, y el efecto de la adición de este al sistema. En un

segundo momento se procede con la síntesis de los controladores y la simulación de los

mismos en Simulink haciendo así un análisis de los resultados obtenidos con cada uno de

estos algoritmos. Por último se realiza un análisis económico del método escogido

comparándolo con alguno de los sistemas de control que actualmente se proponen para este

tipo de sistemas.

CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 5

CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA

En el presente capítulo se expone brevemente los conceptos de control automático, control

clásico y moderno, control lineal y no lineal. Esta serie de definiciones ayudan a

comprender lo concerniente a los próximos capítulos. Posteriormente se realiza una

revisión bibliográfica sobre el estado del arte de los algoritmos de control aplicados a los

actuadores neumáticos que gobiernan las plataformas de simulación de conducción lo que

nos posibilita la elección de un algoritmo de control específico para aplicarlo a la

plataforma.

1.1 Control automático

El control automático, como una rama de la ingeniería, realiza el análisis de sistemas para

que sea posible el desarrollo de un elemento capaz de modificar el comportamiento de estos

de acuerdo a parámetros preestablecidos.

El control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingeniería y la

ciencia. Además de su extrema importancia en los sistemas de control de vehículos

espaciales, guiado de misiles, robóticos y similares, el mismo se ha vuelto una parte

importante de los procesos de la industria moderna. Por ejemplo, es esencial en el control

numérico de máquinas industriales, en el diseño de pilotos automáticos en la industria

aeroespacial, y en el diseño y fabricación de automóviles y camiones en la industria

automotriz. Forman parte del diseño de equipos de simulación de diferentes procesos de la

vida real, como la conducción de equipos móviles tanto terrestres como aéreos, con una

amplia aplicación en el desarrollo de juegos y en la industria militar.


Los avances en el área del control automático, ofrecen los medios adecuados para que los

sistemas cumplan su tarea con altos índices de desempeño y por consecuencia, el hombre se

libere de actividades repetitivas y peligrosas. Del mismo modo, con el funcionamiento

apropiado de los sistemas es posible mejorar la productividad de los procesos.

1.1.1 Control clásico y control moderno

Los métodos de respuesta en frecuencia y del lugar geométrico de las raíces, que forman el

núcleo de la teoría de control clásica, conducen a sistemas estables que satisfacen un

conjunto de requerimientos de desempeño. Estos métodos sólo son válidos para sistemas

lineales y generalmente los sistemas obtenidos son aceptables pero no óptimos en forma

significativa.

Desde el final de la década de 1950, el énfasis en los problemas de diseño de control ha

cambiado del diseño de sistemas que trabajen en forma apropiada, al diseño de un sistema

óptimo en algún sentido.

Conforme los sistemas modernos con varias entradas y salidas se vuelven más complejos,

la descripción de un sistema de control moderno requiere de una gran cantidad de

ecuaciones. La teoría de control clásica, que trata de los sistemas con una entrada y una

salida, pierde su solidez ante sistemas con entradas y salidas múltiples.

A partir de1960, debido a la disponibilidad de las computadoras digitales, se hizo posible el

análisis en el dominio del tiempo de sistemas complejos, la teoría de control moderna;

basada en el análisis en el dominio del tiempo y la síntesis a partir de las variables de

estado, se han desarrollado para enfrentar la creciente complejidad de las plantas modernas

y los requerimientos limitativos respecto a la precisión, peso y costo en aplicaciones

militares, espaciales e industriales.

En la actualidad, las computadoras digitales forman parte integral de los sistemas de

control. Las aplicaciones recientes de la teoría de control moderna también incluyen

sistemas como biológicos, biomédicos, económicos y socioeconómicos. Esta teoría está

basada en el conocimiento del comportamiento interno de los sistemas, reflejado en las


variables que influyen en su dinámica. Éstas constituyen el concepto de estado del sistema

y son la parte fundamental de dicha teoría. El conocimiento de la evolución de las variables

que influyen en la dinámica del sistema, permite efectuar un control más potente de esta y

su utilización en el control de sistemas más complejos (Domínguez, Campoy et al. 2002).

La teoría moderna de control, se desarrolla para solventar varios de los problemas en los

que presenta fuertes limitaciones la denominada teoría clásica, basada en el modelado de la

relación entre una entrada y una salida de los sistemas dinámicos lineales de parámetros

constantes.

Las ventajas de la teoría moderna de control en contraposición a la teoría clásica son

fundamentalmente las siguientes:

• Es aplicable a sistemas multivariables, en los que existe un elevado grado de

interacción entre las variables del sistema, no pudiendo establecerse lazos de control

entre una salida y una entrada concreta que se puedan ajustar de forma

independiente según se aborda en la teoría clásica.

• Es aplicable a sistemas en los que sus parámetros varían en el tiempo a velocidades

comparables con la evolución de sus variables, en los que no se puede obtener en

consecuencia un modelo de parámetros constantes válido en el intervalo temporal

necesario para efectuar el control.

• Es aplicable a sistemas complejos de control, en los que existe un gran número de

variables internas que condicionan el comportamiento futuro de la salida. La

utilización de la retroalimentación sólo de la salida según el modelo clásico

empobrece la información disponible por el regulador para controlar la planta,

llegando a impedir un control de la salida del sistema con mejores prestaciones.

• Es aplicable a sistemas con relaciones no lineales entre las variables involucradas en

su dinámica, cuyo comportamiento, no puede ser aproximado por un modelo lineal

dentro del intervalo de valores que tomarán sus variables.

Las ventajas que brinda la teoría moderna de control son abordadas por distintas ramas,

denominadas: control multivariable, control óptimo, control por asignación de polos,

control adaptable y control no lineal. Aunque cada una de estas ramas del control

automático utiliza técnicas que le son propias, todas ellas coinciden en la necesidad de un


modelo del comportamiento de sistemas dinámicos, que incluya la evolución de sus

variables internas, que pueda aplicarse a sistemas multivariables y que puede ser no lineal

y/o de parámetros no constantes. Este modelo del sistema es el denominado modelo de

estado del sistema.

1.1.2 Control lineal

Un sistema de control, puede ser definido como una combinación de componentes

eléctricos y mecánicos que actúan conjuntamente y cumplen un objetivo determinado. Por

otro lado, el control retroalimentado debe establecerse como una operación que en

presencia de perturbaciones (señales externas que afectan el rendimiento del sistema),

tiende a reducir la diferencia provocada entre la salida de un sistema y la entrada de

referencia.

Bajo este enfoque, es posible decir que un sistema de control retroalimentado es aquel que

tiende a mantener una relación preestablecida entre la salida y alguna entrada de referencia.

El sistema de control compara dichas señales y genera una señal de control con base a la

comparación para corregir la salida del sistema. La Figura 1.1 muestra las diferentes

señales y bloques que definen a un sistema de control retroalimentado.

R

H(s)

G(s)Error Salida

Figura 1.1. Sistema de control retroalimentado.

En general, para el análisis de sistemas lineales se consideran ecuaciones diferenciales

lineales, con coeficientes constantes. Además, para el estudio de sistemas lineales se

incluye el método de solución de ecuaciones diferenciales invariantes en el tiempo

conocido como transformada de Laplace, el cual facilita el manejo de expresiones que en el

dominio del tiempo son complicadas, transformándolas al dominio de la variable compleja


“s”, donde reciben un tratamiento algebraico. Esto puede observarse en la siguiente

ecuación diferencial:

yxxx =++•••

EC 1.1

que representa un sistema físico y que tiene un equivalente en el dominio de la frecuencia

dado por:

( )( ) 1

12 ++

=sssY

sX EC 1.2

Los controladores lineales funcionan adecuadamente si todos los parámetros del sistema

son conocidos de manera exacta, así como también sus condiciones de operación.

Las técnicas de control lineal, se fundamentan en el supuesto de que la planta presenta un

comportamiento aproximadamente lineal en todo el intervalo de operación. Es decir, que

las no linealidades presentes en la dinámica del sistema son pequeñas y suaves.

Cuando se desea controlar una planta no lineal en un amplio intervalo de operación y en

forma precisa, las técnicas de control lineal son insuficientes o tienen que ser muy

sofisticadas. Estos casos se presentan en el campo de la robótica, la aeronáutica y en

procesos industriales, donde las técnicas de control no lineal son las más adecuadas.

1.1.3 Control no lineal

Aunque varias relaciones físicas se representan por medio de ecuaciones lineales, un

estudio de los sistemas físicos indica que la gran mayoría de éstos tienen términos no

lineales. Un ejemplo de ecuación diferencial no lineal es:

( )tsenAxdtdx

dtxd ω

2

2

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

EC 1.3

A diferencia de un sistema lineal, en un sistema no lineal no puede aplicarse el principio de

superposición; del mismo modo, el tratamiento con la transformada de Laplace no es

posible. En la Figura 1.2 se muestra la representación de un sistema no lineal. Una


peculiaridad de este tipo de sistemas es que no se cuenta con una función de transferencia

que indique el comportamiento del sistema en el plano complejo, por lo que un tratamiento

a través del análisis de estabilidad por medio de la función de transferencia no es viable.

R Elementolineal

Elementono l ineal

SalidaError

Figura 1.2. Sistema de control no lineal.

El control no lineal, consiste en el análisis y diseño de sistemas de control que contienen al

menos un componente no lineal. En el proceso de diseño se debe implementar un sistema a

lazo cerrado no lineal partiendo de la definición de las características de comportamiento

del sistema, donde, a partir de una planta no lineal a controlar y algunas especificaciones de

comportamiento a lazo cerrado, la tarea sea construir un controlador que logre que el

sistema a lazo cerrado responda a las características deseadas.

Algunas de las ventajas que brinda el utilizar la metodología no lineal son las siguientes:

a) Mejora de sistemas de control existentes: En el control lineal, inicialmente se asume

que el modelo lineal es válido para un pequeño intervalo de operación. Cuando se

requiere de un rango de operación mayor, el desempeño del controlador lineal se

afecta y el sistema puede ser inestable. Los controladores no lineales, por otro lado,

pueden manejar no linealidades directamente en un intervalo de operación amplio.

b) Análisis de no linealidades fuertes: En el control lineal, se asume que el modelo del

sistema es linealizable. Sin embargo, en los sistemas de control existen no

linealidades cuya naturaleza discontinua no puede ser aproximada por modelos

lineales. Estas no linealidades fuertes incluyen la fricción de Coulomb, zona muerta,

histéresis y saturación, que frecuentemente existen en la ingeniería de control. Sus

efectos no pueden aproximarse por modelos lineales y deben desarrollarse técnicas

de análisis no lineal para predecir el rendimiento del sistema en presencia de estas

no linealidades.


c) Manejo de incertidumbres: En el diseño de controladores lineales, es necesario

asumir que los parámetros del modelo del sistema son conocidos; sin embargo,

muchos problemas de control contienen incertidumbres en los parámetros de los

modelos, debiéndose a variaciones lentas o abruptas de los parámetros. Un

controlador lineal basado en la inexactitud o desconocimiento de algunos

parámetros del modelo del sistema puede presentar un bajo rendimiento o

inestabilidad (Jean–Jacques and Weiping 1991).

1.2 Control de actuadores neumáticos

Hoy en día los dispositivos neumáticos son ampliamente utilizados en los campos de la

industria moderna. Esta creciente popularidad se debe principalmente a sus bajos costos de

mantenimiento, su buena relación fuerza/peso y que es una tecnología muy limpia en

cuanto al factor ruido. Sin embargo debido a los procesos físicos que ocurren en estos

sistemas el control de los mismos se hace una tarea muy difícil. Un número de

características como son: la fricción, variaciones en la dinámica del actuador debido a

cambios en la carga y en la posición del pistón a lo largo del cilindro, hacen a la dinámica

de estos completamente no lineal y dependiente de la posición, complicando el diseño de

los controladores de lazo cerrado (Laghrouche, Smaoui et al. 2004).

Muchos son los trabajos que proponen estrategias de control lineal y no lineal en pos de

mejorar el desempeño de estos sistemas. En tal sentido se reporta el uso de diversas

técnicas de control: en (Brun, Mazouz et al. 2000), a partir de lograr estructurar parte del

comportamiento no lineal del sistema, se plantea una estrategia de control no lineal sobre

esa base; en (Yamada, Tanaka et al. 2000) se propone un control por ubicación de polos

adaptable con linealizador neuronal; Schulte desarrolla un controlador por realimentación

de estados a partir de la identificación experimental con técnica borrosa del sistema

(Schulte and Hahn 2003). También se reportan los controladores: robusto (Wang, Wang et

al. 2001), adaptativos por modelo de referencia (Sakamoto, Matsushita et al. 2002), por

observador de estados (Pandian, Takemura et al. 2002), por realimentación de estados con

técnica fuzzy (Schulte and Hahn 2004), por redes neuronales (Song and Liu 2006), robusto

por QFT (Karpenko and Sepehri 2004). De estos últimos cinco diseños los cuatro primeros


son complejos reguladores no lineales que directa o indirectamente realimentan aceleración

y su derivada para garantizar robustez, mientras que el último la garantiza realimentando

presión lo cual encarecería mucho el sistema.

Mas recientemente en (Igor and German 2006) se plantea que uno de los algoritmos de

control más utilizados es el de ubicación de polos implementando un PVA (realimentación

de posición, velocidad y aceleración) utilizando un observador para estimar la velocidad y

la aceleración. Esta estrategia de control es muy común utilizarla cuando se requiere de un

sistema que posea una respuesta rápida y una exactitud muy elevada. Debido a su fácil

implementación y los resultados obtenidos en la práctica esta es una variante por la que se

puede apostar para el control de este tipo de sistema. Otra de las ventajas que nos ofrece es

que los costos de implementación del algoritmo son relativamente bajos, puesto que sólo

utiliza el sensor de posición.

1.3 Conclusiones parciales

El análisis de las estrategias de control aplicadas a los actuadores neumáticos permite

arribar a la conclusión de que el método por ubicación de polos, gracias a las facilidades

que brinda, debe cumplir con las exigencias de velocidad y de exactitud así como con las

económicas. Pudiendo hacer fiable su uso en el control de posición de los actuadores

neumáticos que se encargan del movimiento de la plataforma de simulación desarrollada

por la empresa SIMPRO. En los siguientes capítulos se analiza teóricamente el método

propuesto, haciendo la comprobación del mismo mediante la simulación para luego analizar

si se cumplen los objetivos propuestos por esta investigación.

CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 13

CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO

Como se comentó en el capítulo anterior los actuadores neumáticos de desplazamiento

lineal, posicionando cargas de forma discreta, tienen un amplio uso a escala industrial por

sus características ya mencionadas, no obstante, un control rápido y preciso de estos

actuadores implica el uso de algoritmos no convencionales que demandan soluciones

particulares de implementación. En el presente capítulo se pretende exponer la teoría del

algoritmo de control mediante asignación de polos.

Primeramente se realiza la modelación dinámica de los actuadores electro-neumáticos, a los

que posteriormente en el Capítulo 3 se les aplicará dicho control, considerando la diferencia

entre las constantes de tiempo de las cámaras del cilindro y el subdimensionamiento del

carrete de la válvula. Seguidamente se realiza una identificación experimental por tramos

de los actuadores en la plataforma desarrollada por SIMPRO y finalmente se exponen dos

métodos para la obtención del controlador.

2.1 Estado del arte en modelación de sistemas electro- neumáticos

Diversos autores han desarrollado analíticamente el modelo matemático de estos sistemas

con mayor o menor grado de complejidad (Burrows 1972; Brun, Mazouz et al. 2000;

Richer and Hurmuzlu 2000; Tressler, Clement et al. 2002; Janiszowski 2004). En todos

estos trabajos se llega a un modelo de tercer orden con parámetros claramente dependientes

del volumen de las cámaras del cilindro que a su vez depende de la posición en que se

encuentre su émbolo. Por tanto, para facilitar la linealización del modelo se trabaja

alrededor de la posición para la cual los volúmenes son iguales o se promedian las

constantes de tiempo que estos introducen. En todos los casos se considera que el carrete de


la válvula está perfectamente dimensionado, lo que significa que la válvula queda

totalmente cerrada en su posición central sin fugas de aire cosa que realmente no ocurre.

Por otra parte, la determinación práctica de los coeficientes que conforman el modelo

matemático de estos sistemas no es sencilla, especialmente los relacionados con las

fricciones y el flujo a través de la válvula, máxime si se considera que realmente son

subdimensionadas. Esto hace que en muchos trabajos se recurra a técnicas de identificación

experimental para obtener modelos que permitan el diseño de los controladores (Schulte

and Hahn 2003; Zorlu, Özsoy et al. 2003).

(Sartorius, Rubio et al. 2006) presenta la modelación físico matemática de los sistemas

electro-neumático lineal considerando la diferencia entre las constantes de tiempo de las

cámaras del cilindro y el hecho práctico de que el carrete de la válvula es subdimensionado.

De esta forma obtiene un modelo con comportamiento dinámico de tercer orden

dependiente de la posición del cilindro, el cual describe de forma más precisa la dinámica

del sistema. Adicionalmente realiza un proceso de identificación experimental por tramos

del sistema electro-neumático real de pruebas consistente en la plataforma desarrollada por

SIMPRO que, teniendo en cuenta que el sistema tiene un polo próximo al origen, se hace

en lazo cerrado. Finalmente obtiene una familia de modelos que, por aproximación

estadística, se combinan en uno sólo que varía de forma continua su dinámica en función de

la posición del émbolo del cilindro, obteniendo como resultado un modelo experimental

continuo muy cercano al modelo dinámico teórico de tercer orden reportado en la literatura.

2.2 Modelación dinámica del actuador

Las válvulas neumáticas de carrete no deben hacerse perfectamente ajustadas puesto que el

aire no es un buen lubricante y la haría muy sensible a la suciedad. Por esta razón en la

práctica necesariamente deben quedar subdimensionadas (Burrows 1972). Siguiendo este

análisis, para la posición central del carrete, y sus alrededores, se tendrán fugas de aire

hacia ambas cámaras del cilindro a través de orificios de áreas x1e y x2e, y de éstas hacia el

exterior a través de orificios de áreas x1s y x2s, lo cual se muestra en la Figura 2.1. Esto trae

como consecuencia que en lazo cerrado la acción de control U se estabilice en un valor tal

que las presiones en las cámaras del cilindro, que como consecuencia se establezcan,


provoquen el equilibrio de fuerzas del sistema cuando la posición no varía; en ese momento

los flujos másicos hacia y desde el cilindro son nulos: q1 = q2 = 0.

q1e q1s

Figura 2.1. Representación de la Válvula (Pat: Presión Atmosférica)

Bajo esas condiciones y teniendo como posible perturbación una fuerza externa Fext, del

balance de fuerzas se llega a:

)()()()()( 22211 sYsfMssFsPAsPA vext +=+− EC 2.1

Donde:

P1, P2: Presiones en las cámaras del cilindro (Pa).

A1, A2: Área del pistón para cada cámara (m2).

Fext: Fuerza externa (N).

M: Masa de la carga y el pistón (kg).

fv: Constante de fricción viscosa (N / m/s).

Y: Posición de la masa (m).

Despejando la masa de la ecuación de estado de los gases ideales y derivando respecto a la

presión y el volumen, las variaciones del flujo másico quedan:

Pat

Pat

Ps q2

q1 x1e(u)

x2e(u)

x1s(u) p1

p2 x2s(u)

q2e q2s


)()()()(

)()()(

222

22

111

11

ssYRTpA

ssPRT

yLAsQ

ssYRTpA

ssPRT

yAsQ

oo

oo

−−

=

+= EC 2.2

Donde:

R: Constante de los gases (J/kgºK).

T: Temperatura del gas en las cámaras (ºK).

L: Largo del cilindro (m).

Yo: Posición de operación (m).

P1o, P2o: Presión de operación en las cámaras (Pa).

A1, A2: Área del pistón para cada cámara (m2).

Las ecuaciones EC 2.2 pueden abreviarse haciendo:

RTpA

KRT

yLAK

TRpA

KTRyAK

oy

op

oy

op

222

22

111

11

)(=

−=

⋅=

⋅=

EC 2.3

K1p, K2p en (kg/Pa) y K1y, K2y en (kg/m). Quedando:

)()()(

)()()(

2222

1111

ssYKssPKsQ

ssYKssPKsQ

yp

yp

−=

+= EC 2.4

Los flujos másicos hacia las cámaras del cilindro; linealizando la EC 2.4 y aplicando

transformada de Laplace; atendiendo a la Figura 2.1, resultan:

)()()()()()(

2222

1111

sPCsXGsQsPCsXGsQ

−−=−=

EC 2.5


Donde las constantes G1, G2 (kg/sm2) y C1, C2 (kg/sPa) son las derivadas parciales del flujo

másico evaluadas en el punto de operación para cada caso:

02

2

02

22

01

1

01

11

s

s

e

e

s

s

e

e

xq

xqG

xq

xqG

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

=

EC 2.6

02

2

02

22

01

1

01

11

pq

pq

C

pq

pq

C

se

se

∂∂

+∂∂

−=

∂∂

+∂∂

−=

EC 2.7

Igualando EC 2.4 y EC 2.5, despejando P1 y P2:

( ) ( )

( ) )()()(

)()()(

22

2

22

22

11

1

11

11

sYCsK

sKsX

CsKGsP

sYCsK

sKsX

CsKGsP

p

y

p

p

y

p

++

+−=

+−

+=

EC 2.8

La función de transferencia global del sistema puede obtenerse sustituyendo EC 2.8 en EC

2.1 y agrupando Y(s) y X(s):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

++

+=

1/

1/

1/

1/

)()(

2

222

1

111

2

222

1

111

sCKA

sCKA

fMss

sCGA

sCGA

sXsY

yyv ττ

ττ EC 2.9

Donde:

2

22

1

11 y

CK

CK pp == ττ EC 2.10

que son las constantes de tiempo de cada cámara que se promedian para llegar al modelo

ideal (Brun, Mazouz et al. 2000).


Manipulando algebraicamente, EC 2.9 resulta ser una función de cuarto orden con uno de

sus polos en el origen y un cero:

( )sasasasabsb

sXsY

012

23

3

01

++++

=)()(

EC 2.11

Donde:

2211120

1222111

GACGACb

KGAKGAb pp

+=

+= EC 2.12

vyy

pypy

vpvp

ppvpp

pp

fCCCKACKAa

KKAKKA

fKCfKCMCCa

MKCMKCfKKa

MKKa

211222110

122211

1221211

2112212

213

++=

++

++=

++=

=

EC 2.13

Sustituyendo EC 2.3, EC 2.8 y EC 2.9 en EC 2.14 y EC 2.15 se puede observar que estos

coeficientes, al igual que sucede con los del modelo de Brun, una vez definido el punto de

operación de la válvula quedan exclusivamente dependientes de la posición alrededor de la

cual se encuentre trabajando el sistema, puesto que el resto de los parámetros son

constantes.

Con datos reales de un sistema electro-neumático, Rubio (Sartorius, Rubio et al. 2006),

presentes en la Tabla 2.1 , se procede a calcular el modelo según EC 2.11 variando la

posición (Yo) de un extremo a otro del cilindro.


Tabla 2.1. Datos reales de un sistema electro-neumático.

Pto operación Datos físicos Constantes

uo = -1.73% M = 4.1 Kg rc = 0.3

x1eo = 0.22*10-6 m2 Fv=0.12*103N/m/s K = 0.03Kg/sm2Pa

x1so = 0.42*10-6 m2 T = 293 ºK Ps = 7*105 Pa

x2eo = 0.27*10-6 m2 A1 = 1256*10-6 m2 Pa = 1*105 Pa

x2so = 0.36*10-6 m2 A2 = 1056*10-6 m2 R = 287.2 J/KgºK

p1o = 4.77*105 Pa L = 400*10-3 m

Para ello, con los valores de las áreas efectivas de los agujeros de la válvula para el punto

de operación, determinados experimentalmente según el método de Kawashima

(Kawashima, Funaki et al. 2003), se calculan las constantes C y G según EC 2.8 y EC 2.9,

estas, junto con EC 2.3 y el resto de los datos, se sustituyen en EC 2.14 y EC 2.15

quedando todos los coeficientes en función de la posición:

6-0

0-9-7

1

1041.1

103.71-1059.1

⋅=

⋅⋅⋅=

b

yb EC 2.14

130

140

151

160

1520

142

0-162

016

3

1036.3

105.74 10.885

1007.3 100349 10-2.24

103.07 10-7.67

−

−−

−−−

−

⋅=

⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅=

a

ya

yya

yya

EC 2.15

Sustituyendo EC 2.14 y EC 2.15 en EC 2.11 y variando la posición desde 30 hasta 370

mm, se obtiene la variación de los polos y ceros que se muestra en la Figura 2.2.


-30 -20 -10 0 10-60

-40

-20

0

20

40

60 y=30

y=370 -8 -6

-5

0

5

Figura 2.2. Variación de los polos y ceros para posición (Yo) de 30 a 370 mm.

Donde se puede apreciar que el cero prácticamente compensa la dinámica introducida por

el polo real, por lo que el sistema se comporta como uno de tercer orden, así lo indica la

mayoría de la literatura consultada, que puede representarse por la función de transferencia

siguiente:

( )22 2)(

nnsssbsGyx

ωϕω ++= EC 2.16

Donde ωn y φ son la frecuencia natural de oscilación y razón de amortiguamiento del

sistema respectivamente y b representa la ganancia del sistema.

2.3 Identificación y obtención del modelo de la plataforma

Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el modelado analítico de un actuador

neumático, analizando el subdimensionamiento de la válvula, apreciando además que el

modelo obtenido es uno de tercer orden con un polo en el origen pero que responde con

mayor veracidad a la planta real en cuestión, pasamos a la identificación experimental de la

plataforma de simulación.


2.3.1 Datos técnicos fundamentales de la plataforma El simulador de conducción, desarrollado por SIMPRO y ampliamente utilizado en

entrenamiento del personal cliente de esta empresa, consta de una cabina con todos los

mandos reales a los que se enfrenta el conductor en un vehículo, que puede ser ligero o

pesado, y un monitor a través del cual puede ver el mundo virtual por el que se mueve. La

cabina pivotea sobre una columna central mediante una articulación cardánica y se

estabiliza en un plano mediante la acción de los cilindros neumáticos que, ubicados en dos

de sus extremos perpendiculares, le imprimen al conductor las sensaciones de ladeo y

cabeceo producto de las pendientes del mundo virtual en que se mueve Figura 2.3.

Figura 2.3. Estructura mecánica y sistema electro-neumático del simulador de conducción.

Los datos mecánicos más importantes de la plataforma del simulador se ofrecen en la Tabla

2.2 (Quintana 2000). El origen de coordenadas para las medidas de longitud y ubicación del

centro de masa (CM) se establece en el pivote central, como se muestra en la Figura 2.3,

con la cabina en horizontal.


Tabla 2.2. Datos mecánicos del Simulador

Masa total de la cabina* 510 Kg

Posición del CM en Z 480 mm

Posición del CM en X 100 mm

Posición del CM en Y 60 mm

Distancia del origen a cada cilindro 500 mm

Elongación de los cilindros ±150 mm

Ángulos de ladeo y cabeceo ±0.26 rad

(*) Para un conductor promedio de 70 Kg

Cada articulación electro-neumática está formada por un cilindro FESTO DNC-100-400

gobernado por una válvula proporcional de flujo FESTO MPYE-5-3/8 y cuya posición se

mide con un potenciómetro lineal FESTO MLO-POT-450.

2.3.2 Identificación experimental Producto del integrador propio del sistema y la dependencia del modelo de su posición, el

proceso de identificación debe hacerse en lazo cerrado Figura 2.4 pues de otra forma no

podría lograrse variaciones estables alrededor de la posición central que es la que determina

la dinámica más crítica del sistema. El lazo se cierra con un regulador proporcional cuya

ganancia es conocida (Kp) (Sartorius, Rubio et al. 2006).


Posicion

PRBS Kp Volt mm

Sistema Electro-neumatico

Figura 2.4. Esquema del proceso de identificación.

Dado que se conoce perfectamente el regulador, y siempre que no se sature la mejor forma

de obtener el modelo es mediante la Identificación Indirecta (Ljung 1999).

Aplicando los métodos de estimación, se determina primeramente la función de

transferencia del lazo cerrado (Glc) a partir de las señales de salida (Y) y entrada (PRBS).

Con ella se tiene la siguiente relación:

)()(

)(1)()()(

zdenGlcznumGlc

zGsisKpzGsisKp

PRBSzYzGlc =

⋅+⋅

== EC 2.17

De EC 2.17, como Kp es conocida, se puede despejar y obtener, finalmente, la función de

transferencia del sistema en lazo abierto (Gsis) EC 2.18:

( ) )()(

)(

)(1)(

)()()(

znumGlczdenGlcKp

znumGlc

zGlcKpzGlc

zUzYzGsis

−=

−== EC 2.18

La identificación experimental se realiza durante 10 segundos, muestreando a 1ms

excitando el sistema con una señal PRBS y una ganancia proporcional tal que el sistema

quede persistentemente excitado (Zorlu, Özsoy et al. 2003).

A partir del modelo obtenido en lazo cerrado y obviando algunos elementos que no

corresponden a la estructura esperada se determina el modelo de lazo abierto según EC

2.18 y se transforma al dominio continuo del tiempo.

Dado que la plataforma del simulador es un sistema más complejo que una simple

articulación electro-neumática con masa constante, se estiman modelos ARMAX de

diferentes órdenes. El que mejor ajusta su salida a la respuesta real del sistema, con más del


65%, y cuyo análisis de la correlación de sus residuos con la señal de entrada está dentro

del intervalo de confianza para el caso, resultó ser el de 5to orden EC 2.19.

( ) 88263645

108273445

5 102311031210391092328761051210114101221088402240210

.........s.

++++++++−−

=sssss

sssssG EC 2.19

Para facilitar el método de diseño del controlador se procede a reducir el modelo G5 a su

equivalente de tercer orden, semejante a la EC 2.16 con un polo en el origen y un par

complejo conjugado. Para esto se toma del original su ganancia estática y los polos

complejos dominantes, teniéndose como resultado el modelo siguiente:

( ) ( )2.587.12.588.101)( 2

012

0

+⋅+⋅⋅

=+⋅+⋅

⋅=

sssasassaksGr EC 2.20

El cual tiene una representación en espacio estado de la siguiente forma:

UU

DXCYBXAX

+=+=

•

EC 2.21

Donde las matrices tienen los siguientes valores:

,..

,.. ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

258810100

712580100010

BA [ ] 0DC == ,001 EC 2.22

Pudiéndose apreciar de la manera siguiente:

[ ] 0DCBA ==⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−= ,,, 001

b00

w2w0100010

d2

d ζ EC 2.23

En la Figura 2.5 se comparan los gráficos de respuesta de frecuencia de los modelos G5 y

Gr, en ella puede apreciarse que son diferentes para las bajas y altas frecuencias; en el caso

de las bajas frecuencias esto es debido a que se ha puesto el polo del reducido justo en el

origen eliminando de este modelo el efecto de la fricción y el subdimensionamiento de la


válvula, para las altas frecuencias la diferencia es producto de la discretización del sistema;

y puede verse que alrededor de la frecuencia natural no amortiguada los modelos son

prácticamente iguales por lo que la dinámica principal de estos sistemas es lo

suficientemente próxima como para proceder al diseño del controlador con el modelo Gr

anteriormente obtenido.

10-2

100

102

-100

-50

0

50

100

Magnitud (dB) vs Frecuencia (rad/s)

G5

Gr

Figura 2.5. Gráfico de Bode para el modelo en lazo abierto de 5to orden y su equivalente

reducido.

2.4 Conceptos básicos de diseño

El diseño de controles por asignación de polos mediante la realimentación de estados es

algo análogo al método del lugar geométrico de las raíces ya que se colocan los polos en

lazo cerrado en las posiciones deseadas. La diferencia básica es que en el diseño en el lugar

geométrico de las raíces se sitúan los polos dominantes, mientras que en el diseño por

asignación de polos se colocan todos los polos en lazo cerrado.

En el enfoque convencional del diseño de un sistema de control con una sola entrada y una

salida, se diseña un controlador (compensador) tal que los polos dominantes en lazo

cerrado tengan una razón de amortiguamiento ξ y una frecuencia natural no amortiguada

wn deseada. En este método, el orden del sistema aumenta en 1 o 2, a menos que ocurra una

cancelación de polos o ceros. Obsérvese que en este método se supone que los efectos sobre

la respuesta de los polos de lazo cerrado no dominantes son despreciables.

En lugar de especificar sólo los polos dominantes en lazo cerrado (enfoque del diseño

convencional), el enfoque de asignación de polos por realimentación de estados especifica

todos los polos de lazo cerrado. Sin embargo hay un costo asociado con colocar todos los


polos de lazo cerrado, porque hacerlo requiere tener buenas medidas de todas las variables

de estado, o bien incluir un observador de estado en el sistema. También existe un requisito

por parte del sistema para que los polos de lazo cerrado se puedan situar en posiciones

elegidas de forma arbitraria. La exigencia es que el sistema sea de estado completamente

controlable (Ogata 2002).

El primer paso en el método de diseño es escoger la ubicación de los polos en lazo cerrado

deseados. El método más utilizado es elegir tales polos basándose en la experiencia que se

tiene del diseño mediante el lugar geométrico de las raíces, colocando un par de polos

dominantes en lazo cerrado y eligiendo los otros polos de forma que estén suficientemente

alejados a la izquierda de los dominantes en lazo cerrado.

Es importante señalar que la sintonía del control no es única para un sistema dado sino que

depende de las posiciones deseadas de los polos de lazo cerrado seleccionados, siendo este

un criterio que puede variar con el diseñador. Note que la elección de la ecuación

característica del sistema es un compromiso entre la rapidez del sistema y la sensibilidad

ante perturbaciones y ruidos en la medida. Por tanto es conveniente al determinar la matriz

de ganancias de realimentación del estado hacerlo con varios criterios y mediante la

simulación comparar los resultados obtenidos y elegir así el mejor criterio de sintonía del

controlador.

2.4.1 Diseño de sistemas por asignación de polos mediante la realimentación estados

La técnica de diseño empieza con la elección de la ubicación de los polos de lazo cerrado a

partir de la respuesta transitoria y/o las especificaciones de la respuesta en frecuencia, tales

como velocidad, razón de amortiguamiento, o ancho de banda, al igual que los requisitos en

estado estacionario.

Supóngase que se decide que los polos de lazo cerrado deseados estén

en . Seleccionando una matriz de ganancias apropiada para la

realimentación del estado, es posible hacer que el sistema tenga los polos de lazo cerrado en

las posiciones deseadas.

n21 µs,,µs,µs === K


A continuación se describe el método de diseño:

Sea un sistema de control de la forma:

XCYUBXAX

=+=

•

EC 2.24

Donde

X=vector de estado (vector de dimensión n).

Y=señal de salida (escalar).

U= señal de control (escalar).

A=matriz de coeficientes constantes n x n.

B=matriz de coeficientes constantes n x 1.

C=matriz de coeficientes constantes 1 x n.

Se selecciona la señal de control

XK−=U EC 2.25

La determinación de la matriz K se puede realizar utilizando el método de sustitución

directa. La sustitución directa de la matriz K en el polinomio característico deseado nos

brinda una simple solución para lograr la ubicación deseada de los polos de lazo cerrado.

Por ejemplo considere un sistema de orden 3, escriba la matriz de ganancias de

realimentación de estados K como

[ ]321 kkk=K EC 2.26

Sustituya EC 2.26 en el polinomio característico deseado KBAI +−s e iguálelo

con ( ) ( ) ( 321 )µµµ −−− sss , o

KBAI +−s = ( ) ( ) ( )321 µµµ −−− sss EC 2.27


Como ambos miembros de EC 2.27 son polinomios en “s”, igualando en ellos los

coeficientes de las potencias iguales de “s” es posible determinar los valores de la

matriz K . Este sistema en lazo cerrado no posee entrada, siendo su objetivo mantener la

salida a cero y es conocido como un sistema regulador. A continuación explicaremos la

aplicación de esta técnica a sistemas de control con entrada de referencia.

2.5 Diseño de sistemas de control mediante la asignación de polos

En la práctica existen dos métodos de diseño, el primero cuando la planta posee un

integrador puro el cual garantiza cero error en estado estable ante entrada de referencia no

así ante disturbio y el segundo cuando la planta no posee un integrador puro y por lo tanto

hay que incluirle uno para lograr que el error ante referencia sea cero en estado estable. Es

de interés exponer ambos métodos de diseño puesto que serán usados en las próximas

secciones de este trabajo.

2.5.1 Diseño de sistema de control cuando la planta posee integrador

Considere el sistema descrito por EC 2.24 en el cual mediante la correcta selección de las

variables de estado se hace posible que la salida del mismo sea igual al estado . 1x

La Figura 2.6 muestra la configuración general del sistema cuando la planta posee un

integrador. Se supone que y que la entrada de referencia es una función escalón. 1xY =

K2

Kn

K3

K1R Y=CXdx/dt=AX+BU Y=X1

X1

X2

X3

Xn

Error


Figura 2.6. Sistema de control cuando la planta tiene un integrador.

En este sistema se implementa el siguiente esquema de control mediante la realimentación

de estado:

EC 2.28

Donde .

Supóngase que la entrada de referencia se aplica en

[ ] ( ) RkxRk

x

xx

kkkU

n

n 1112

1

320 +−=−+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−= XKM

K

[ ]nkkkk K321=K

0=t . Así, para 0>t , la dinámica del

EC 2.29

El sistema será diseñado de manera que los polos de lazo cerrado se ubiquen en las

posiciones deseadas. El sistema será un sistema asintóticamente estable,

sistema se puede describir mediante la EC 2.24, o bien como

( ) RkU 1BXKBABXAX +−=+=•

( ) RY =∞

y . Observe que, en estado estacionario, se tiene que

BXKBA EC 2.30

( ) 0=∞U

( ) ( ) ( ) ( )∞+∞−=∞•

RkX 1

Considerando que ( )tR es una entrada escalón, se tiene ( ) ( ) rtRR ==∞ (constante) para

todo .

Restando la EC 2.29 de la EC 2.30, se obtiene lo siguiente

La EC 2.32 define la dinámica del error.

0>t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∞−−=∞−••

XXKBAXX tt EC 2.31

Si se define ( ) ( ) ( )tt EXX =∞− la EC 2.31 se convierta en

( )EKBAE −=•

EC 2.32


El diseño del sis a se convierte aquí en el dise tema regulador

asintó m

tem ño de un sis

tica ente estable tal que ( )tE tiende a cero, para cualquier condición inicial ( )0E . Si

letamente controlable, entonces

especificando los valores propios deseados para la matriz , la matriz

el sistema definido mediante la EC 2.24 es de estado comp

n21 µ,,µ,µ K KBA −

K se determina mediante la técnica de asignación de polos vista en la sección 2.2.

2.5.2 Diseño del sistema de control cuando la planta no posee un integrador

l principio básico del diseño es insertar, en la

trayectoria directa entre el comparador de error y la planta, un integrador como se muestra

Si la planta no posee un integrador, e

en la Figura 2.7. A partir de este diagrama se obtiene:

UBXAX +=•

EC 2.33

XC=Y EC 2.34

ξIkU +−= XK EC 2.35

=

U= señal de control (escalar).

A=matriz de coeficientes constantes n x n.

B=matriz de coeficientes constantes n x 1.

C=matriz de coeficien s constantes 1 x n.

ξξ C−=−•

RYR EC 2.36

Donde

X=vector de estado (vector de dimensión n).

Y=señal de salida (escalar).

te

ξ =salida del integrador (variable de estado del sistema).


R=señal de entrada de referencia (escalar).

K1

Kn

K2

KiR Y=CXdx/dt=AX+BU1s

Y=X1

X1

X2

X3

Xn

Error

Figura 2.7. Sistema de control cuando la planta no posee integrador.

btiene mediante

EC 2.37

Para evitar la posibilidad de que el integrador se cancele con un cero en el origen se supone

que EC 2.37 no pose un cero en el origen.

Supóngase que la entrada de referencia se aplica en

La función de transferencia de la planta se o

( ) ( ) BAIC 1G −−= ssP

0=t . Así, para , la dinámica del

sistema se puede describir mediante una ecuación que es la combinación de EC 2.33 y la

EC 2.36:

( )

0>t

( )( ) ( ) ( ) ( )tRtU

t

t

t ⎤⎡+

⎤⎡+

⎤⎡⎤⎡=⎥

⎤

⎢⎢⎣

⎡•

•0BX0AX

ξ

EC 2.38

e

t ⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣−⎥⎦

100C ξ

Se diseñará un sistema asintóticamente estable, tal qu ( ) ( ) ( )∞∞∞ UX ,, ξ tiendan,

respectivamente, a valores constantes. Así, en estado y se

obtiene .

estacionario, 0=•

ξ

( ) RY =∞

Obsérvese que en estado estacionario, se tiene que:


( )( )

( )( ) ⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∞

EC 2.39

Considerando que es una entrada escalón, se tiene

( ) ( )∞⎥⎤

⎢⎡

+⎥⎤

⎢⎡

+⎥⎤

⎢⎡

∞∞

⎥⎤

⎢⎡−

=⎥⎥⎤

⎢⎢⎣

⎡ ∞•

•

RtU10

00BX

C0AX

ξξ

( )tR ( ) ( )tRR ==∞ r (constante) para

todo . Restando la EC 2.39 de la EC 2.38, se obtiene:

)]∞⎥⎢⎥⎢ ∞−⎥⎢−⎥

⎤

⎢

⎡

t 00C ξξ

EC 2.40

Se define

0>t

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ([ −⎦

⎤

⎣

⎡+

⎦

⎤

⎣

⎡ ∞−

⎦

⎤

⎣

⎡=

⎥

⎥

⎦⎢

⎢

⎣ ∞−

∞−••

••

UtUt

t

t BXX0AXX

ξξ

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tUUtU

tttXXtX

e

e

e

=∞−=∞−=∞−ξξξ

Entonces la EC 2.40 se puede escribir como

( )tt

ee

e

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣−⎥

⎥⎦⎢

⎢⎢

⎣

⎡

•

•

00CX

ξξ

EC 2.41

Donde

( ) ( ) ( )tUtt ee

⎤⎡+

⎤⎡⎤⎡=⎥

⎤BX0A

( )

( ) ( ) ( )tkttU eIee ξ+−= XK EC 2.42

Se define un nuevo vector de error ( )tE de dimensión ( )1+n mediante

EC 2.43

Así sustituyendo EC 2.43 en la EC 2.41 se tiene que

EC 2.44

( ) ( )( ) ( )1dimencióndevector +→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= n

ttX

tEe

e

ξ

eUBEAE ˆˆ +=•


Donde y la EC 2.42 se convierte en

EC 2.45

Donde . La ecuación de estado del error se puede obtener sustituyendo la

EC 2.45 en la EC 2.44 obteniéndo e así

EC 2.46

Si los valores de la matriz se especifican com

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0

ˆ,0

ˆ BB

C0A

A

EK̂−=eU

[ ]IkMKK =ˆ

s

( )EKBAE ˆˆ −=•

KBA ˆˆ − o 121 ,,,, +nn µµµµ K , entonces la

matriz de ganancias de realimentación de estado K y la constante integral pueden

os visto en la sección 2.4.1.


ste momento se ha an controladores. De los

métodos vistos el primero es el propuesto por la mayoría de los autores en el control punto

a punto de los actuadotes neumáticos con una masa fija acoplada. El segundo método,

según la teoría, es utilizado en las plantas que no poseen integrador. Puesto que el sistema

en este trabaj

adición de una acción integral en la trayectoria

directa para garantizar cero error en estado estable ante disturbio. Es por ello que se explica

el método de diseño cuando la planta no posee integrador pues se logra con su uso la

adición de una acción integral en la trayectoria directa. Hasta este momento se considera

dispon

tados del

stema.

Ik

determinarse mediante el método de asignación de pol

Hasta e alizado el modo de diseño de estos

tratado o es más complicada que un simple pistón con una masa fija, se

propone, como elemento novedoso, la

que los estados se encuentran ibles para su realimentación lo que no siempre es así.

En el próximo capítulo se realizará el cálculo de dichos controles con su correspondiente

análisis ante disturbio además de proponer un método para la obtención de los es

si

CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 35

CAPÍTULO 3. DISEÑO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS

Hasta este momento se supuso que todas las variables de estado estaban disponibles para su

realimentación. Sin embargo, en la práctica no todas las variables de estado están accesibles

para poder realimentarse. Entonces se necesita estimar las variables de estado que no están

disponibles. La estimación de variables de estado no medibles se denomina normalmente

observación. A continuación se hace un breve bosquejo sobre el estado del arte en cuanto al

diseño de observadores y se analizará un método de diseño para un observador de orden

completo y su efecto al adicionarlo a la acción de control en un sistema determinado. En

una segunda parte se calcularán los controles ya mencionados haciendo un análisis ante

disturbio. Luego se diseñará un algoritmo de seguimiento de trayectoria y por último se

realizará el análisis económico del método propuesto.

3.1 Estado del arte de las técnicas de observación en actuadores neumáticos

En los años recientes investigadores han estudiado extensivamente la teoría del observador

en el diseño de observadores de velocidad y fuerza para los manipuladores de robots

eléctricamente actuados y los de presión y de perturbaciones para los actuadores

hidráulicos.

El problema del observador para actuadores neumáticos no ha recibido mucha atención

hasta ahora en la literatura. En (Bourdat, Richard et al. 1991) se ha considerado el diseño de

un observador lineal para la estimación del signo de la velocidad. En este trabajo los

resultados están inconclusos con respecto a la superioridad del observador a la

diferenciación numérica para obtener las estimaciones de velocidad y aceleración.

Noritsugu y Takaiwa (Takaiwa and Noritsugu 2005) ha usado a un observador para estimar


las perturbaciones de la fricción y de la interacción de fuerzas. Su diseño es basado en la

dinámica linealizada y requiere de sensores de velocidad y presión. En (Pandian, Takemura

et al. 2002) se implementa un observador para estimar la presión en las cámaras del cilindro

usando las variables medidas, dígase velocidad y posición, además es necesario el uso de

un sensor de presión debido a que las dos presiones no pueden ser simultáneamente

observadas. En ambos casos el diseño se ve encarecido por el uso de sensores de presión.

Mas recientemente en (Bigras 2005) se propone un observador no lineal en modo deslizante

el cual presenta el mismo problema que los anteriores.

En (Igor and German 2006) se propone el diseño de un observador basado en un filtro de

Kalman-Buce el cual brinda muy buenos resultados en cuanto a exactitud en la estimación

de la velocidad y aceleración. Este método usa solamente un sensor de posición lo que

reduce enormemente los costos del diseño. Debido a las facilidades del método es que se

emplea un algoritmo similar en este trabajo, con la salvedad de cambiar el criterio del filtro

por el de ubicación de polos, algoritmo que aparece muy bien detallado en (Ogata 2002).

3.1.1 Observador de estado de orden completo

Los requerimientos básicos del sistema con observador son que ambos el “observador” y el

“objeto” tengan elementos dinámicos con las mismas propiedades y aproximadamente los

mismos parámetros. La técnica del observador se construye en ecuaciones matemáticas que

proporcionan un recurso computacional capaz de estimar el estado de un proceso de manera

que minimiza la media del error cuadrado. El observador es muy poderoso en muchos

aspectos: capaz de estimar el pasado, el presente e incluso estados futuros, esto lo pude

hacer también cuando la naturaleza del sistema modelado es desconocida (Ogata 2002). El

actuador y el observador poseen ambos la misma señal de entrada y operan en modo

sincronizado y coherente que permite la estimación de las variables de estado (Igor and

German 2006).

Considere el sistema descrito por la EC 2.24 y que el modelo del observador se define

mediante la siguiente ecuación:


( ) ( ) ( )XXCKAXCXCKXAXAXX ~~~~ −−=−−−=−••

ee EC 3.1

Se define la diferencia entre XX ~y como el vector de error E, o bien

( )ECKAE e−=•

EC 3.2

A partir de la EC 2.46 se ve que el comportamiento dinámico del vector de error esta

determinado por los valores propios de la matriz CKA e− . Si la matriz es

estable, el vector de error convergerá a cero para cualquier vector de error inicial

CKA e−

( )0E . Es

decir, ( )tX~ convergerá a sin tomar en cuenta los valores de ( )tX ( )0~X y . Si se eligen

los valores propios de la matriz

( )0X

CKA e− de tal forma que el comportamiento dinámico

del vector de error sea asintóticamente estable y suficientemente rápido, entonces cualquier

vector de error tenderá a cero con una velocidad adecuada.

En (Ogata 2002) se demuestra que el problema de diseño del observador puede ser tratado

por el método de sustitución directa para obtener la matriz de ganancias del observador de

estado igualando los coeficientes de igual orden de la ecuación siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )nssss µµµ −−−=−− K21CKAI e EC 3.3

La elección de un conjunto de nµµµ ,,, 21 K en muchos casos no es única. Como regla

general los polos del observador deben ser de dos a cinco veces más rápidos que los polos

del controlador para asegurarse de que el error de observación converge a cero

rápidamente.

En el diseño de un observador de estado es conveniente determinar algunas otras matrices

de ganancia del observador basándose en diferentes ecuaciones características deseadas y

mediante la simulación determinar entonces la mejor matriz de ganancia desde el punto de

vista del comportamiento general del sistema.


3.1.2 Efectos de la adición del observador sobre el sistema en lazo cerrado

A continuación se examinan los efectos del uso del estado observado ( )tX~ en el lugar del

estado real en la ecuación característica de un sistema en lazo cerrado. Considere el

sistema descrito por la EC 2.24. Para el control mediante la realimentación de estado

observado

( )tX

( )tX~ se elige la señal de control:

XK ~−=U EC 3.4

Con este control la ecuación de estado resulta

( ) ( )XXKBXKBAXKBXAX ~~ −+−=−=•

EC 3.5

La diferencia entre el estado real ( )tX y el estado observado ( )tX~ se define el error ( )tE como:

( ) ( ) (ttt XXE )~−= EC 3.6

La sustitución del vector en la EC 3.5 da ( )tE

( )ECKAE e−=•

EC 3.7

Obsérvese que la ecuación del error del observador viene dada por la EC 3.2 combinando

esta con la EC 3.7, se obtiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡•

•

EX

CKA0KBKBA

EX

e

EC 3.8

La EC 3.8 describe la dinámica del sistema de control mediante la realimentación del

estado observado siendo su ecuación característica:


CKAIKBAI eSS +−+− EC 3.9

Observe que los polos en lazo cerrado del sistema de control mediante realimentación del

estado observado consisten en los polos debidos sólo al diseño mediante asignación de

polos del controlador y al diseño del observador. Esto significa que el diseño de estos dos

elementos son independientes uno del otro.

3.2 Síntesis del controlador

En (Igor and German 2006) se propone la síntesis de un controlador utilizando el método

expuesto en el epígrafe 2.5.1 donde utilizando un modelo como el de la EC 2.22 y

planteando una ley de control de la forma:

( )•••

++−= XKXKXXKU 32d1 EC 3.10

Logrando la dinámica deseada del sistema utilizando el criterio industrial de la forma:

( )2lclclc

2

d

wsw2st1s ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ζ EC 3.11

Donde:

ζ

ζ

lcd

lc

dlc

w51t

7070w51w

=

==

..

conociendo lo explicado en el epígrafe 3.1.2 se procede al diseño por separado del

controlador y del observador teniendo en cuenta que la dinámica del observador debe ser de

5 a 10 veces más rápida que la del sistema (Ogata 2003) por lo que se propone la siguiente:

ζlcob

ob wt

ts

101 donde 1

3

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ EC 3.12


Resolviendo la EC 2.27 y la EC 3.3 para las dinámicas deseadas EC 3.11 y EC 3.12

respectivamente se obtienen los siguientes vectores de ganancias para el controlador y el

observador:

[ ]009301228089410 ...=K ; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

48295019170

240

eK

Con estos valores de ganancias se implementó el esquema de control de la Figura 3.1 al que

se le agregó un filtro que tiene como objetivo el no permitir el paso de frecuencias

superiores a las de 80 Hz y una saturación de -5 a 5 volt que es lo permitido por la válvula

FESTO MPYE-5-3/8. Además se le añade una entrada disturbio, de forma de voltaje,

simulando así un disturbio en la masa, esta señal se aplica a los 5 seg y posee un valor de 1

volt. Este sistema se simuló en una PC de escritorio con la ayuda del Simulink obteniéndose

los siguientes resultados ante una entrada paso. En la Figura 3.2 se muestra la salida del

sistema en color verde al responder ante el paso de color azul de valor 50 mm se aprecia

que el sistema posee un sobreimpulso del 4% con tiempo de establecimiento de 2.35 seg.

En esta gráfica se aprecian además unas pequeñas oscilaciones al empezar la respuesta del

sistema las que son provocadas por la inclusión del filtro. Note cómo este controlador no

garantiza cero error en estado estable ante disturbios lo que lo hace un método no fiable

para controlar un sistema que esta sujeto a grandes disturbios, como es la plataforma de

simulación de conducción. En la Figura 3.3 se puede apreciar el error ante la entrada paso y

en la Figura 3.4 se observa la señal de control.

posiciòn

U

Y

x3ob

x2ob

observador

k3k2

k1 PlantaR Filtro

SaturatiònDisturbio

Error

Figura 3.1. Sistema de control.


Figura 3.2. Salida del sistema ante entrada paso.

Figura 3.3. Error ante entrada paso.


Figura 3.4. Señal de mando.

Como la planta tratada en este trabajo no es un cilindro neumático con una simple masa

acoplada sino que es una plataforma de simulación de conducción en la cual los parámetros

como la masa del conductor, fuerza externa y de fricción pueden experimentar variaciones

que pueden ser valoradas como perturbaciones se hace necesario el garantizar con el

control, cero error en estado estable ante disturbio. Para lograr cumplir este objetivo basta

con adicionar una acción integral en la trayectoria directa. En el epígrafe 2.2.6 se analizó el

método que nos permite resolver este problema.

Con la adición de la acción integral nuestro sistema aumenta en uno su orden teniendo

ahora que resolver la siguiente ecuación:

( )( ) ( )n21 ssss µµµ +++=+− KKBAI ˆˆ EC 3.13

donde

para resolver esta ecuación proponemos la siguiente

dinámica deseada:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0

ˆ,0

ˆ BB

C0A

A


( )2lclc

22

d

wsw2st

s ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ζ/ EC 3.14

siendo los parámetros de diseño los mismos del caso anterior.

Al resolver EC 3.13 para la dinámica EC 3.14 se obtiene el siguiente juego de ganancias

para el controlador:

[ ] [ 814214012803225020373KKKKK i321 .... ]−=−=

Con este juego de ganancias se configura el esquema de control de la Figura 1.1 el cual se

simula en las mismas condiciones que el anterior con la diferencia de que se le incluye una

acción de disturbio antes de la planta.

posiciòn

U

Y

x3ob

x2ob

observador

k2 k3k2

ki PlantaR Filtro

Saturatiòn

1s

IntegratorDisturbio

Figura 3.5. Esquema de control con acción integral.

En la Figura 3.6 se muestra la salida de este sistema ante una entrada paso aplicándole un

acción de disturbio paso unitario a los 5 seg. Se observa como con esta acción integral se

elimina el error ante el disturbio además de lograr un máximo sebreimplulso del 4.8% y un

tiempo de establecimiento de 2.5 seg.


Figura 3.6. Salida del sistema ante entrada paso con una perturbación a los 5 seg.

En la Figura 3.7 se aprecia también lo anteriormente dicho respecto al disturbio

apreciándose cero error en estado estable.

Figura 3.7. Error ante entrada paso y disturbio.

A continuación se presenta la señal de mando para esta acción en específico en la que se

puede apreciar que el sistema se satura al empezar la respuesta al paso aplicado debido al

cambio tan brusco experimentado en el mismo.


Figura 3.8. Señal de mando.

Por ser el sistema tratado una plataforma de simulación es necesario incorporar al sistema

un algoritmo de seguimiento de trayectoria que permita la reducción de los errores de

seguimiento, para lo cual hemos decidido aplicar el algoritmo descrito por Slotine (Slotine

1993). Este algoritmo consiste en prealimentar las derivadas de la señal de entrada

multiplicadas por unas ganancias específicas para cancelar la dinámica del sistema

logrando así que el mismo responda lo más próximo a su entrada. Esto es posible puesto

que la señal de referencia de posición de la plataforma es suave y derivable como mínimo

cuatro veces.

La dinámica de nuestro sistema es conocida y es de la forma de la EC 3.9 siendo la parte

dominante la correspondiente al control puesto que la del observador es diez veces más

rápida. Nuestro objetivo es entonces el de cancelar esta dinámica con la prealimentación de

las derivadas de la entrada. Para esto se calculan las ganancias de prealimentación de.


Se parte de la dinámica del sistema:

87771s18981s1969s78s 234 ++++ EC 3.15

Se normalizan los coeficientes de la EC 3.15 dividiendo por el término independiente,

siendo los coeficientes normalizados los siguientes:

a0=0.00001, a1=0.0009, a2=0.0224, a3=0.2163, y a4=1

Como se aprecia los coeficientes a0 y a1 se pueden despreciar, esto quiere decir que hace

falta nada más la prealimentación de las dos primeras derivadas de la salida multiplicadas

por los coeficientes a3 y a2 respectivamente.

La implementación de este algoritmo se aprecia a continuación en la Figura 3.9.

posición

a3

a2

U

x1=Y

x3ob

x2ob

observador

Tr

x1

x2

x3

Out1

U

controlador

Planta

Posición

Velocidad

Aceleración

Disturbio

Figura 3.9. Sistema con algoritmo de seguimiento.

En la Figura 3.10 se observa la salida del sistema ante una escalera de pasos filtrada con un

filtro de Butterworth de orden 8 lo que da como resultado una señal suave derivable hasta

de orden 5.


Figura 3.10. Salida del sistema ante seguimiento.

En la Figura 3.11 se puede apreciar el error ante seguimiento del sistema. Los picos de

errores son del orden de los 7.8 mm lo que representa menos de un grado de inclinación en

este sistema.

Figura 3.11. Error ante seguimiento.


En la Figura 3.12 tenemos la señal de control lograda con este algoritmo de seguimiento. Se

puede apreciar cómo responde el mando ante el disturbio que se aplica a los 10 seg. siendo

este corregido casi instantáneamente.

Figura 3.12. Señal de mando ante seguimiento.

3.3 Análisis económico

La empresa SIMPRO en estos momentos tiene implementado el algoritmo de control en un

hilo de programación en C++ que se encuentra funcionando paralelo al mundo virtual en

una de las PC que se encargan de esta tarea. Como consecuencia de esta implementación el

control de la plataforma esta sujeto a las latencias de Windows y no se encuentra, por lo

tanto, ejecutándose en tiempo real. Además de que dicho algoritmo no es el más idóneo

para lograr las prestaciones necesarias, de velocidad y de precisión, ya que es un PID

clásico, que debido a la complejidad de la planta, presenta problemas como defasaje entre

el mundo virtual y las sensaciones de movimientos impresas por los actuadores al sistema.

A pesar de su ineficacia antes abordada el costo de dicho algoritmo es muy bajo y

asequible, puesto que sólo necesita de una interfase electrónica desarrollada a base de

operacionales, para acoplar las señales de control dadas por el puerto paralelo de la PC a los

sistema de control de la plataforma lo que representaría un costo de unos $50 dólares.


Sumando lo anteriormente dicho a los elementos relacionados en la Tabla 3.1, siendo estos

el total de componentes necesarios para el control de los actuadores, el costo final será de

$1093.4 dólares.

Tabla 3.1. Elementos usados en los actuadores.

Cantidad Descripción Marca Serie Precio $

2 Cilindro lineal Festo DNC-100-400 128.50

2 Válvula proporcional Festo MPYE 5 -3/8 346.40

2 Potenciómetro lineal Festo MLO-PTO-450 46.80

Los algoritmos de control propuestos por la literatura en el mundo mejoran notablemente

las prestaciones de estos sistemas pues son algoritmos complejos que en muchos casos

realimentan las presiones de las cámaras o velocidad y aceleración, para hacer más robusto

los controles. Esto implica el uso de sensores de presión con un costo de $250 por unidad o

el uso de unidades inerciales con un costo de $3000 dólares cada una. Como se puede

apreciar estos algoritmos encarecerían enormemente la producción de las plataformas de

simulación no siendo así viable el uso de los mismos.

Con el algoritmo de control propuesto en este trabajo y utilizando los medios de la Tabla

3.1 además de un controlador empotrado Flashlite186, con un costo de $150 dólares, se

logra que el control este fuera de la PC y por tanto pueda ser ejecutado en tiempo real.

Debido al uso de un observador no es necesario utilizar la unidad inercial para poder medir

velocidad y aceleración lo que ahorra, comparado con los algoritmos que usan este

elemento de medición, unos $3000.

El costo total de la implementación de este algoritmo asciende a los $1193.4 representando

un aumento de un 9.1% comparado con lo implementado por SIMPRO. Aunque

cuantitativamente el sistema de SIMPRO es más barato que la propuesta de esta

investigación, cualitativamente se demuestra mediante la simulación, que con el uso del

control por asignación de polos mediante la realimentación de estados observados, mejora


ampliamente las prestaciones del mismo, elevando las velocidades de respuesta y

reduciendo los errores de seguimientos a menos de un grado de inclinación. Permitiendo

con estas nuevas prestaciones que el simulador pase a ser de una categoría superior,

aumentando así su cotización en el mercado.


Con el algoritmo de seguimiento de trayectoria propuesto se logra el control desacoplado

de los actuadores de la plataforma garantizando el cumplimiento de los requerimientos de

velocidad y precisión necesarios para estos sistemas. Este supera con creces el sistema, a

base de PID clásico, utilizado por SIMPRO en el control de las plataformas; pues a pesar de

incrementar los costos de producción en un 9.1%, cualitativamente se demuestra mediante

la simulación que con su uso el sistema mejora enormemente sus prestaciones, mejorando

las velocidades de respuesta y reduciendo los errores de seguimiento a menos de un grado

de inclinación.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 51

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Conclusiones

Los objetivos de la presente investigación fueron cumplidos a cabalidad. Se comprobó la

veracidad de la hipótesis planteada en el trabajo demostrando la existencia de un algoritmo

de control que mejora en gran medida las prestaciones del sistema sin modificar mucho su

costo de producción.

Se asimiló el método de control por realimentación de estados propuesto por (Igor and

German 2006) para actuadores lineales electro-neumáticos, comprobándose sus

prestaciones mediante la simulación. Aunque este algoritmo no garantiza cero error en

estado estable ante disturbio ni está diseñado para seguimiento de trayectorias, se

demuestra que puede establecer de forma sencilla los índices de funcionamiento en lazo

cerrado a partir del modelo de la planta.

En este trabajo se propone introducir en la trayectoria directa, del controlador de (Igor and

German 2006), una acción integral para eliminar el error ante disturbio y agregar la

prealimentación de velocidad y aceleración para mejorar el seguimiento de trayectorias. Las

modificaciones anteriores logran aumentar las prestaciones del control ante disturbio,

disminuyen los errores de seguimiento a menos de un grado de inclinación e incrementan

considerablemente las velocidades de respuesta del sistema.

La implementación de este método de control en las plataformas de simulación, aunque

aumenta ligeramente el costo de producción por la incorporación del controlador

empotrado, mejoraría enormemente su desempeño. Con las nuevas prestaciones estos

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 52

simuladores pasarían a una categoría superior y por tanto se podrían cotizar a un mayor

precio en el mercado, hecho que amortizaría los costos adicionales debido al uso de los

controladores empotrados.

Recomendaciones

Como recomendaciones investigativas se propone que el algoritmo de control expuesto en

el capítulo anterior, sea implementado en la práctica y en la medida que se cumplan los

objetivos se analice la posibilidad de incorporar el mismo a las plataformas de simulación

de conducción desarrollas por SIMPRO. Además es de interés que se continúe investigando

lo referido al control de actuadores neumáticos puesto que es un tema novedoso con un

amplio campo de aplicaciones que permitirá el desarrollo de sistemas robóticos con una

tecnología limpia y barata.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFIAS 53

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Estrategia de control por realimentación de estados para