Costruzione di macchine - corsiadistanza.polito.itcorsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/04ASBP/ECM_appunti_sulle_ruote... · Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate 2 1 Definizione

Costruzione di macchine

Le ruote dentate

Prof. Curti Graziano Corso di Ingegneria Meccanica

Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate

1

Sommario

Le ruote dentate

Sommario...........................................................................................................................................................................................1 1 Definizione delle caratteristiche geometriche notevoli ..................................................................................................2 2 Profilo dei denti ad evolvente di cerchio...........................................................................................................................4

2.1 Definizione geometrica del profilo ad evolvente di cerchio .....................................................................................5 3 Analisi della cinematica delle ruote dentate ....................................................................................................................7

3.1 Rapporto di condotta .....................................................................................................................................................9 3.2 Lunghezza del segmento dei contatti. .......................................................................................................................11

4 Calcolo dello spessore del dente. ..................................................................................................................................... 13 5 Condizioni di ingranamento tra profili e tra ruote - angolo di pressione e passo base........................................ 14 6 Ruota dentata unificata...................................................................................................................................................... 16 7 Taglio delle ruote dentate.................................................................................................................................................. 17

7.1 Taglio con fresa di forma .............................................................................................................................................17 7.2 Metodo per inviluppo..................................................................................................................................................17

7.2.1 Definizione del profilo di una dentiera-utensile...............................................................................................18 7.2.2 Moti fondamentali nel taglio delle ruote per inviluppo:.................................................................................18 7.2.3 Definizione delle condizioni cinematiche di taglio ..........................................................................................19

7.3 Creatore ..........................................................................................................................................................................20 8 Condizione di accoppiamento senza gioco.................................................................................................................... 21 9 Processo di taglio di ruote a profili spostati.................................................................................................................. 23

9.1 Circonferenze di accoppiamento senza gioco tra ruote a profili spostati.............................................................24 10 Vantaggi delle ruote con denti a profili spostati e criteri di scelta di X1 ed X2 .................................................. 27

10.1 Sezione resistente alla base del dente .......................................................................................................................27 10.2 Interferenza ....................................................................................................................................................................27 10.3 Strisciamento specifico................................................................................................................................................30


2

1 Definizione delle caratteristiche geometriche notevoli

A−A’: testa circonferenza di testa per A: raggio Ra A−B: smusso circonferenza di troncatura esterna per B: raggio Re B−C: profilo utilizzabile circonferenza di troncatura interna per C: raggio Ri C−D: raccordo di fondo circonferenza di fondo per D: raggio Rf Lo smusso non sempre è presente, spesso la circonferenza di troncatura esterna coincide con la circonferenza di testa.

Per poter misurare in modo univoco le dimensioni del profilo è necessario definire una circonferenza di riferimento di generico raggio Rr; su di essa è quindi possibile misurare: • s : spessore del dente • e : vano • p = s + e : passo del profilo Detto z il numero di denti della ruota deve essere: z⋅p = 2π⋅Rr

Figura 2: caratteristiche del profilo

e s

p

ha

hf

Figura 1: elementi notevoli di una dentatura

A

Ri Rf

Re Ra

Rr

C

B

A’

D


3

Per quanto riguarda le dimensioni radiali del dente rispetto alla circonferenza di riferimento è possibile definire due parametri fondamentali: • ha = Ra −Rr : addendum • hf = Rr −Rf : dedendum Nell'unificazione delle ruote dentate è definito il modulo della ruota come: • m = p /π = 2Rr /z per il quale vale la relazione: z⋅m = 2Rr NOTA: nella definizione dei profili delle ruote dentate si assume convenzionalmente π = 3,1416


4

2 Profilo dei denti ad evolvente di cerchio

L'evolvente di cerchio è una particolare curva bidimensionale individuata da un punto P di una retta nel moto di puro rotolamento della stessa su di una circonferenza: per ogni circonferenza sono automaticamente definiti due profili ad evolvente uguali ed opposti dovuti al duplice verso di rotazione possibile per la retta i quali non dipendono dalla condizione iniziale del moto relativo (Fig 3). Nel campo delle ruote dentate la circonferenza su cui rotola la retta generatrice dei profili è detta circonferenza di base ed il suo raggio è individuato con Rb. Per meglio comprendere le qualità del profilo ad evolvente di cerchio conviene riferirsi a una

particolare condizione di trasmissione del moto tra due circonferenze di raggi Rb1 ed Rb2. Si suppone (Fig 4a) che appoggiata ad entrambe le circonferenze ci sia un'asta rigida che possa muoversi solo traslando parallelamente a sè stessa (può essere fisicamente assimilata ad una cinghia in trazione tra due pulegge) e che il suo moto relativamente alle due circonferenze sia sempre di puro rotolamento. Dando alla circonferenza 1 (motrice) una velocità angolare di rotazione ω1 questa trasmette all'asta un moto traslatorio uniforme di velocità v coincidente con la velocità periferica della circonferenza 1 nel punto di tangenza con essa T1 :

v = vT1 = ω1⋅Rb1

la stessa condizione deve essere verificata anche nel punto T2 tra asta e circonferenza 2:

vT2 = ω2⋅Rb2 = v = ω1⋅Rb1

da cui si ricava che il rapporto di trasmissione tra le due circonferenze (in queste condizioni cinematiche) è:

ωω

1

2

=RR

b

b

2

1

Considerando di porsi come osservatori solidali alla circonferenza 1 il generico punto P dell'asta nel suo moto descrive esattamente un evolvente relativo alla circonferenza 1 stessa (Fig 4b); anche rispetto alla circonferenza 2 vale la medesima osservazione cosicché si trova che i due profili ad evolvente individuati dal moto del punto P sono profili coniugati ossia in contatto in un solo punto ed ivi tangenti per costruzione. Supponendo ora di materializzare i due profili trovati (Fig 4c) e smaterializzare l'asta risulta chiaro come la nuova condizione di trasmissione del moto coincida in tutto e per tutto con quella che si era trovata con l'asta infatti il punto P in cui avviene la trasmissione effettiva del moto tra le due ruote si muove esattamente lungo la direzione su cui giaceva l'asta ripetendo punto per punto il moto del punto P dell'asta. Vantaggio fondamentale del profilo ad evolvente di cerchio rispetto agli altri è il fatto di avere, come l'asta, il rapporto di trasmissione costante nel tempo: tale proprietà è sostanziale perché, per garantire una certa uniformità alla trasmissione del moto, è necessario che in almeno un tratto del segmento percorso da P ci siano due o più coppie di denti in presa il che presuppone un rapporto di trasmissione costante in tutto il tratto di ingranamento multiplo.

Figura 3: profili ad evolvente contrari


5

2.1 Definizione geometrica del profilo ad evolvente di cerchio Fissata la circonferenza di base di raggio Rb è possibile descrivere il profilo ad evolvente tramite un'equazione nelle coordinate cilindriche ϕ ed r definite come in Fig 5: • ϕ è l'angolo compreso tra le due semirette uscenti dal centro C della circonferenza di base e passanti

una per il punto iniziale O del profilo e l'altra per il generico punto P • r è la distanza del generico punto P dal centro C della circonferenza di base

Figura 4: derivazione concettuale del profilo ad evolvente

O1

O2 ω

ω

P

ω

O1 P v

Pv

ω

O2

ωO1 v

P

ω

O2 (a)

(b)

(c)


6

Considerando la retta p tangente alla circonferenza di base passante per il punto P (ossia la generatrice del profilo) è ancora possibile individuare l'angolo di incidenza α compreso tra le due semirette uscenti dal centro C della circonferenza di base e passanti una per il punto P e l'altra per il punto di tangenza T tra p e la circonferenza. La proprietà dell'evolvente di essere generato da una retta che rotola senza strisciare su una circonferenza può essere considerata a livello geometrico come:

(PT ) = (OT )

in cui:

(OT ) = Rb⋅(α+ϕ)

(PT ) = Rb⋅tg(α)

Si ricava così la relazione ϕ = f(α): ϕ = tg(α) − α in cui la funzione f(α) in letteratura prende il nome specifico di ev(α) (o inv(α) in Inglese) Bisogna ora trovare una ulteriore relazione tra α ed r in modo da poter definire il legame tra ϕ ed r: dal triangolo rettangolo PCT si ottiene r⋅cos(α) = Rb ⇒ α = arccos(Rb /r) NOTA: in generale nella definizione del profilo delle ruote dentate sono richieste almeno 4 cifre significative per garantire una sufficiente precisione nell'ingranamento e nella trasmissione del moto.

Figura 5: profilo ad evolvente

C

Rb

r

ϕ O

P

T

α


7

3 Analisi della cinematica delle ruote dentate Nel moto reciproco di due ruote dentate il contatto tra due denti avviene istante per istante nel punto P che - come si è visto nella similitudine con il sistema delle due circonferenze collegate dall'asta - si muove lungo una retta immaginaria tangente alle due circonferenze di base; questa retta è detta retta dei contatti. Chiamando O1 ed O2 i centri delle due circonferenze di base e C il punto di intersezione tra retta dei contatti e segmento O1 −O2, quando il punto di contatto effettivo P si trova a coincidere con C (Fig 6), si ha che la velocità in esso vale:

per C considerato appartenente alla ruota 1: vC1 = ω1⋅ (O1C)

per C considerato appartenente alla ruota 2: vC2 = ω2⋅ (O2C)

Geometricamente si trova facilmente una relazione tra O1C e O2C e rispettivamente Rb1 ed Rb2 tramite il coseno dell'angolo di incidenza α:

(O1C)⋅cos(α1) = Rb1

(O2C)⋅cos(α2) = Rb2

Sostituendo nelle equazioni delle velocità del punto C:

vC1 = ω1⋅ Rb1 /cos(α1) vC2 = ω2⋅ Rb2 /cos(α2)

Poichè ω1⋅ Rb1 = ω2⋅ Rb2 e gli angoli di incidenza coincidono (α1 = α2 = α) per la proprietà degli angoli alterni interni formati da due rette parallele tagliate da una trasversale si trova che: vC1 = vC2

Figura 6: cinematica dell'accoppiamento di due ruote dentate

vC T2

T1

ωO1

O2ω

C


8

Questa relazione esprime il fatto che in C non esiste strisciamento relativo e che dunque esso è il centro di istantanea rotazione relativa del sistema; rispetto ad esso è possibile descrivere completamente il moto del sistema tramite la velocità angolare relativa ω ω1 2− . Il punto C non cambia la sua posizione assoluta nel tempo percui rispetto alla ruota 1 descrive una traiettoria circolare di raggio O1C che è la polare del moto relativa al corpo 1; ugualmente si trova che la polare del moto del corpo 2 è essa pure una circonferenza. NOTA: le polari del moto relativo di due corpi sono le curve ideali che fatte rotolare senza strisciare l'una sull'altra riproducono perfettamente le caratteristiche del moto reale. Si può verificare che le due circonferenze individuate sono veramente le polari del moto imponendo la condizione di puro rotolamento tra esse nel punto di contatto C: assegnata una velocità angolare di rotazione ω1 alla prima e indicata con ω2* la velocità della seconda, si ha

v Cp1= ω1⋅ (O1C)

v Cp 2= ω2*⋅ (O2C)

La condizione di puro rotolamento è v Cp1

= v Cp 2ossia:

ω1⋅ (O1C) = ω2*⋅ (O2C)

ma essendo sempre

(O1C)⋅cos(α) = Rb1

(O2C)⋅cos(α) = Rb2

si trova ω1⋅ Rb1 /cos(α) = ω2* Rb2 /cos(α) da cui ω

ω1

2 *= =

RR

b

b

2

1

ωω

1

2

dunque è necessariamente ω2* = ω2 essendo il rapporto di trasmissione tra le due polari uguale a quello tra i profili ad evolvente. In questo caso le polari vengono chiamate circonferenze primitive del moto.


9

3.1 Rapporto di condotta Sulla retta dei contatti il luogo dei contatti realmente verificabili non è l’intero segmento T1T2 ma è la sua parte delimitata dalle due circonferenze di troncatura esterna al di fuori delle quali i profili ad evolvente non esistono più (Fig 7); risulta così individuato il segmento dei contatti AB in cui le coppie di denti delle due ruote sono effettivamente in presa.

Arco d'azione (a): è l'arco percorso dal profilo nel passare dal punto di primo contatto al punto finale di contatto valutato sulla circonferenza primitiva; la misura di a non dipende dalla primitiva considerata in quanto tra le due circonferenze primitive c'è un moto di puro rotolamento che impone che percorrano archi di uguale lunghezza. Rapporto di condotta (ε): è definito come rapporto tra arco d'azione e passo primitivo; per garantire una efficiente trasmissione del moto deve essere maggiore dell'unità perché ciò comporta che, prima che la coppia di denti a contatto si separi, una seconda sia già entrata nell'arco d'azione (cosa impossibile per ε ≤ 1). Congruentemente con il discorso appena fatto, nel caso in cui 1 < ε < 2 l'arco dei contatti risulta diviso in tre parti:

• due parti di lunghezza pari ad (a − p) collocate agli estremi dell'arco dei contatti in cui si ha contatto contemporaneamente tra 2 coppie di denti

• una parte centrale dell'arco dei contatti di lunghezza pari a (2p − a) in cui si ha il contatto di una sola coppia di denti

In genere si usano valori di ε maggiori di 1,2 e attualmente la tendenza è a salire sopra 2 in modo da avere sempre almeno 2 coppie di denti in contatto.

Figura 7: individuazione del segmento dei contatti

T2

T1

A

B O2 O1


10

I vantaggi di avere ε abbastanza elevato sono:

• una riduzione degli urti all’atto dell’ingranamento che migliora la trasmissione del moto

• una distribuzione delle forze (Fig 8) scambiate tra le ruote su un maggior numero di denti che comporta minori sollecitazioni sul singolo dente ossia minori rischi di collasso a fatica.

Tramite alcune osservazioni geometriche è possibile trovare nuove espressioni di ε: l'arco dei contatti valutato sulla primitiva (a) può essere messo in relazione con il corrispettivo sulla circonferenza di base (ab) infatti sono entrambi sottesi dal medesimo angolo al centro. Questo è dimostrabile risalendo alla costruzione del profilo ad evolvente che impone una relazione biunivoca tra la distanza r del punto considerato dal centro del cerchio di base e lo spostamento angolare ϕ del punto stesso rispetto al punto iniziale del profilo: gli angoli che sottendono i due archi (a ed ab) sono uguali, anche se ruotati l'uno rispetto all'altro, e consentono di scrivere la proprozione ab : Rb = a : r da cui a = ab ⋅ r / Rb La lunghezza dell'arco ab può essere determinata considerando che per le proprietà dei profili ad evolvente la lunghezza del segmento congiungente un punto qualunque del profilo con il punto di tangenza al cerchio di base individuato dalla generatrice relativa al punto stesso coincide con la lunghezza dell'arco di circonferenza che unisce il punto di inizio del profilo con lo stesso punto di tangenza dunque:

(AT1 ) = (A0T1 )

(BT1 ) = (B0T1 )

da cui: (A0B0 ) = (B0T1 ) − (A0T1 ) = (BT1 ) − (AT1 ) = (AB )

Figura 8:diagramma qualitativo della forza scambiata tra una coppia di denti con ε=1,2

O1

C O2

A

B

ab =


11

Essendo il rapporto tra r ed Rb esattamente pari ad 1/cos(α) vale: ε = a / p = (AB ) / [ p⋅cos(α)]

Come per gli archi d'azione, anche per i passi è lecito scrivere pb : Rb = p : r, ossia p⋅cos(α) = pb, e dunque: ε = ab / pb = (AB ) / pb

Questa relazione esprime il fatto che è possibile dividere il segmento dei contatti in tre parti (Fig.8) a seconda del numero di denti a contatto, e perciò delle forze scambiate da ogni coppia di denti, come si era fatto per l'arco d'azione.

3.2 Lunghezza del segmento dei contatti. Per valutare il rapporto di condotta è necessario conoscere la lunghezza del segmento dei contatti (Fig 9); questa è abbastanza scomoda da misurare in modo diretto (cosa che peraltro valeva anche per l'arco d'azione) è però possibile ricondurla analiticamente a grandezze note a priori.

Figura 9: arco dei contatti (A’B’) e segmento dei contatti (AB).

O1

A0

B0

A

B

ab a

T1

ϕ

ϕ

B’

A’


12

Come si vede in Fig 10, geometricamente vale che:

(AB ) = (BT1) + (AT2) − (T1T2) con:

(BT1) = R Re b1 1

2 2−

(AT2) = R Re b2 2

2 2−

(T1T2) = r1⋅sin(α) + r2⋅sin(α)

percui si trova: (AB) = R Re b1 1

2 2− + R Re b2 2

2 2− − (r1 + r2 )⋅sin(α) Tutti i dati necessari al calcolo sono noti essendo o caratteristiche geometriche delle ruote o caratteristiche di montaggio come l'interasse r1 + r2 in quanto anche l’angolo α può essere espresso tramite la relazione

cos ( ) = R R

r rb b

1

1 2α+

+ 2

Sfruttando ora le relazioni:

r = z⋅m/2 Re = r + ha = z⋅m/2 + ha (vale se il dente non ha smusso in testa) Rb = r⋅cos(α) = z⋅m/2⋅cos(α)

è possibile correlare la lunghezza del segmento dei contatti con m, z1 , z2 ed α, assunto per entrambe le ruote ha = m.

Figura 10: lunghezza del segmento dei contatti AB

O1 O2

T1

T2

B

A

Re1

Re2

Rb2

Rb1

r1 r2 α

α


13

4 Calcolo dello spessore del dente.

Noto lo spessore s0 sulla circonferenza di raggio R0 lo spessore s sulla generica circonferenza di raggio r è dato dalla relazione: sr

sr

= +0

0

2ζ in cui sr

= β e sr

0

00= β

ζ risulta definito dalla geometria del profilo ad evolvente:

ϕ = tg(α) − α

α = arccos(Rb /r) ζ = ϕ (r0) − ϕ (r) = ϕ0 − ϕ = ev(α0) − ev(α) Si trova cioè che: sr

sr

= +0

0

2 ⋅ (ϕ0 − ϕ) = +sr

0

0

2 ⋅[ ev(α0) − ev(α)]

In questa relazione s0, r0 ed α0 sono noti ed è anche possibile trovare α dalla α = arccos(Rb /r) cosicchè s è determinato.

Figura 11: spessore del dente

r

r0

s0

s

ϕ0

ϕ ζ


14

5 Condizioni di ingranamento tra profili e tra ruote - angolo di pressione e passo base In condizioni di ingranamento tra due profili i raggi vettore relativi al generico punto di contatto P sono secondo la definizione i segmenti orientati congiungenti i centri O1 ed O2 dei cerchi di base ed il punto P stesso; quando questo va a coincidere con il punto C centro di istantanea rotazione relativa del sistema si trova che i due raggi vettore giacciono sulla stessa retta passante per i centri delle due circonferenze di base. L'angolo di incidenza per definizione è l'angolo tra il raggio vettore e la tangente al profilo nel punto considerato; in C i due profili a contatto oltre ad avere tangente comune, proprietà dei profili coniugati, hanno anche i raggi vettore coincidenti in direzione e presentano dunque lo stesso angolo di incidenza: questo valore particolare di α prende il nome di angolo di pressione. L'angolo di pressione è il valore che l'angolo di incidenza α assume quando si considera come punto del

profilo il centro di istantanea rotazione relativa C che però non è una proprietà intrinseca delle ruote ma una caratteristica dell'accoppiamento. Si può verificare che anche l’angolo di pressione è funzione dell’accoppiamento supponendo di far ingranare due ruote prima con un certo interasse i e poi con un altro interasse i':

• non cambiano le condizioni di ingranamento perchè esse dipendono solo dai profili e questi - a loro volta - dipendono solo dai cerchi di base che restano gli stessi

• anche il rapporto di trasmissione, dipendendo solo dai cerchi di base, non cambia: ωω

1

2

=RR

b

b

2

1

• cambia invece proprio l'angolo di pressione α infatti vale:

cos ( ) = R R

r=

R R

i

b b

1

b b1 2 1 2α+

+

+

r2

⇒ cos ( ') = ii'

cos ( )α α⋅

L'angolo di pressione deve il suo nome al fatto che indica l'inclinazione della retta dei contatti rispetto alla tangente comune alle circonferenze primitive delle ruote: la retta dei contatti rappresenta punto per punto la direzione delle forze normali (pressioni) scambiate tra i profili coniugati.

Figura 12: relazione tra interasse ed angolo di pressione

α αα α

C C’ O1

O2 O2


15

Parlando di accoppiamento di ruote il discorso si complica: una ruota è un insieme di profili ad evolvente destri e sinistri alternati con una certa periodicità indicata dal modulo (o dal passo), quindi perchè due ruote possano ingranare tra loro la condizione di non interferenza espressa dall'angolo di pressione (spontaneamente verificata per il singolo profilo) va generalizzata a tutta la serie di profili della ruota tenendo anche conto del fatto che fisicamente i profili sono accoppiati a due a due in denti individuando così un'alternanza di pieni e di vuoti ben precisa da rispettare assolutamente. La condizione di non interferenza a livello di angolo di pressione è sempre la stessa per tutte le coppie di profili coniugati in quanto tutte dipendono dalla stessa coppia di cerchi di base; αp può così essere generalizzato a proprietà dell'accoppiamento delle due ruote e non delle singole coppie di profili La condizione che invece tiene più specificamente in conto la natura fisica della ruota è data dal passo base (Fig 13): per potersi accoppiare due ruote devono obbligatoriamente avere lo stesso passo base. Questo è logico se si pensa ad una coppia di profili omologhi successivi in condizione di ingranamento: i due punti P e P' di contatto durante il moto rotatorio del sistema si muovono alla stessa velocità v = ω1⋅Rb1 = ω2⋅Rb2 sull'asse dei contatti, di conseguenza la loro distanza misurata sull'asse dei contatti è costante. La lunghezza del segmento PP' coincide però sia con la lunghezza dell'arco O1O1' (che individua il passo base del profilo della ruota 1) sia con l'arco O2O2' (che individua il passo base della ruota 2). Da questa osservazione risulta evidente come ruote con passi base diversi non possano ingranare tra loro perchè staccherebbero sull'asse dei contatti segmenti di lunghezza diversa il che, considerando i denti nella loro materialità, comporterebbe o interferenza o gioco a seconda delle dimensioni dei denti stessi.

Figura 13: passo base dei profili

O2

O1

P1

P1’ O1’

O2’


16

6 Ruota dentata unificata Per definire questa ruota si parte da una normale condizione di ingranamento tra due ruote e quindi mantenendo costante il valore dell'angolo di pressione si ingrandisce sempre di più la seconda (per le caratteristiche del profilo ad evolvente questo non comporta alcun problema di accoppiamento a patto di mantenere costante il modulo); facendo crescere il raggio di base della ruota 2 si vede che cresce proporzionalmente ad esso il raggio della circonferenza primitiva r2 = Rb2 /cos(α) e così pure che si allontanano progressivamente da C sia il centro O2 della seconda ruota sia il punto di tangenza T2. Portando questo processo al limite ossia facendo tendere Rb2 all'infinito si trova che la ruota diventa una dentiera con denti a profilo trapezio; in queste condizioni infatti si ha che il punto di tangenza T2 si trova all'infinito sulla retta dei contatti, che può essere considerata come la generatrice del profilo ad evolvente nel punto C: essendo il moto di generazione costituito da un rotolamento puro sulla circonferenza di base − ossia da una rotazione proprio attorno al punto di tangenza T2 − per l'altezza del dente il profilo risulta rettilineo e ortogonale alla retta dei contatti. Si può verificare questo anche considerando l'espressione dell'angolo di incidenza α in funzione del raggio di base e del raggio generico: cos(α) = Rb /r. Sulla circonferenza primitiva tale relazione fornisce il valore dell'angolo di pressione; spostandosi di ∆r da questa, invece, dovrebbe dare, a rigore, un angolo di incidenza α tale che cos(α) = Rb / (r + ∆r). Considerando allora che, nell'ambito dell'altezza del dente, qualunque ∆r risulta trascurabile rispetto sia ad r che a Rb (che sono stati portati all'infinito), se ne deduce che l'angolo di incidenza α è costante e pari all'angolo di pressione su tutto il dente. La dentiera ottenuta è in effetti una ruota ad infiniti denti infatti essendosi tenuto il modulo costante in tutti i passaggi fatti per poter assicurare l'ingranamento la relazione 2⋅r = z⋅m impone che per r→∞ anche z→∞. La dentiera può come tutte le ruote accoppiarsi sulla sua linea di riferimento con qualunque altra ruota abbia lo stesso modulo e angolo di pressione però ha il vantaggio che non richiede la scelta di un certo raggio di base e di un certo numero di denti. Una volta noti il modulo e l'angolo di pressione la dentiera unificata è completamente definita infatti la norma impone ancora che l'addendum sia pari al modulo, il dedendum sia 1,25 volte il modulo e che sulla linea di riferimento il pieno sia uguale al vuoto.

Figura 14: dentiera unificata

m0

m0

1,25m0

α

Linea di riferimento

p0

e0 s0


17

7 Taglio delle ruote dentate Il taglio delle ruote dentate può essere operato in genere secondo due processi fondamentali: utilizzando una fresa di forma o con il metodo detto per inviluppo.

7.1 Taglio con fresa di forma L'utensile è una fresa di forma in cui ogni tagliente ha la forma del vano tra dente e dente ed è caratterizzato dai suoi angoli di spoglia frontale, dorsale e laterale. I problemi di questo metodo sono due: • il profilo della fresa è esatto solo per ruote con pari raggio del cerchio di base: noti m ed α Rb dipende da z percui l'utensile potrebbe risultare inutilizzabile anche su ruote con uguali grandezze unificate ma con diverso numero di denti perchè presentano profili ad evolvente troppo diversi. In questa ottica bisognerebbe costruire una fresa diversa per ogni combinazione possibile di m, α e z; nella realtà si ammette una fascia di tolleranza in modo da poter usare lo stesso utensile su ruote con numeri di denti diversi ma prossimi (19-20-21 ; 22-23-24-25 ; ....), questo però non risolve comunque il problema. • il tempo di lavorazione è molto lungo perchè ogni dente va lavorato singolarmente.

7.2 Metodo per inviluppo La logica di questo metodo può essere dedotta da un semplice esempio: si può supporre di far ingranare una ruota dentata normale con un tondino di materiale molto cedevole e di imporre al sistema una condizione di moto che riproduca quella effettiva di lavoro; la ruota scaverebbe all'interno del tondino esattamente il profilo coniugato al proprio ossia la sequenza di denti ad evolvente necessaria all'accoppiamento. Secondo questa logica una determinata ruota-utensile con modulo ed angolo di pressione unificati sulla primitiva di accoppiamento potrebbe tagliare ruote con le sue stesse caratteristiche ma con un numero qualsiasi di denti a patto solo di cambiare di volta in volta il rapporto di

trasmissione in modo da soddisfare la relazione 1

2

zz

=ωω

2

1 .

L'utensile più conveniente da utilizzare almeno teoricamente è la ruota più semplice ossia la dentiera; la dentiera-utensile non rispetta ovviamente le caratteristiche geometriche della dentiera unificata ma ne costituisce in pratica una sorta di “negativo” in relazione al fatto che il suo compito non è di ingranare con un profilo unificato ma di scavarlo.

Figura 15: taglio con fresa di forma

Figura 16: fresa di forma

Figura 17: formazione del profilo per inviluppo


18

7.2.1 Definizione del profilo di una dentiera-utensile

Le caratteristiche geometriche di base sono sempre il modulo m0 e l'angolo di pressione α0; la differenza con le normali dentiere nasce invece dal fatto che rispetto ad una linea di riferimento si prendono

1. addendum (ha0) pari a 1,25m0 perché deve scavare il dedendum della ruota unificata con il fondo del dente ed i suoi raccordi

2. dedendum (hf0) maggiore di m0 perché deve tagliare i fianchi dei denti fino alla troncatura esterna ma non la testa che si preferisce sia definita dalla circonferenza esterna di partenza del tondino (se non c'è lo smusso)

Il vantaggio della dentiera in questa operazione rispetto alle ruote è che mantiene lo stesso modulo e lo stesso angolo di pressione anche cambiando la linea di riferimento. I denti della dentiera-utensile sono dei taglienti tridimensionali con vista frontale coincidente con il profilo teorico appena definito e tre angoli di spoglia (frontale, dorsale, laterale) dovuti al fatto che il taglio avviene sia sulla testa del dente sia sui suoi fianchi; essi rivestono un ruolo fondamentale nella definizione dei profili dei fianchi dei denti della ruota che si sta tagliando per la natura stessa di questo processo di taglio che opera per inviluppo ossia sfruttando le proprietà dei profili coniugati.

7.2.2 Moti fondamentali nel taglio delle ruote per inviluppo:

• moto di taglio: è un moto relativo di tipo alternativo che si sviluppa in direzione parallela all'asse del tondino ed è composto da una corsa di taglio e da una di ritorno (in genere è fisicamente compiuto dall'utensile); questo moto è fondamentale perchè nella realtà non esiste un materiale in grado di tagliare l'acciaio solo "ingranando" con esso. • moto di avanzamento: è un moto che prima porta l'utensile a contatto con la superficie del tondino e quindi lo fa affondare progressivamente in esso durante la corsa di taglio. • moto di generazione: è necessario che tra dentiera e tondino si verifichi la condizione cinematica di moto relativo di normale accoppiamento per consentire la generazione dei denti con profilo ad evolvente di cerchio per processo di inviluppo da parte dei denti della dentiera-utensile. Bisogna dunque fare in modo

Figura 19: moti di generazione (1) e taglio (2)

1

1

1

2 2

Figura 18: dentiera utensile

m0

m0

1,25m0

α


p0

e0 s0


19

che la dentiera trasli con velocità v ortogonalmente all'asse del tondino e che questo ruoti rispetto al suo asse con velocità angolare ω.

7.2.3 Definizione delle condizioni cinematiche di taglio

La prima condizione da imporre riguarda ovviamente il moto di generazione: perchè sulla ruota che si taglia si generino effettivamente gli z denti voluti è intuitivo che il rapporto cinematico tra v ed ω non possa essere qualunque. Analizzando la cinematica del processo di taglio si nota che nel campo di moto solidale al tondino esiste sicuramente un punto che si muove esattamente come si muoverebbe se appartenesse al campo di moto della dentiera; esso è il centro di istantanea rotazione relativa del sistema. Poiché la dentiera trasla con velocità v per trovare tale punto (C) è sufficiente individuare sulla perpendicolare alla direzione di v passante per il centro O del tondino quello in cui sia ω⋅r = v (con r distanza del punto da O) in modulo e segno. Il cento di istantanea rotazione rimane fisso durante tutto il processo di taglio e individua le “polari” o “primitive del moto di taglio” che sono per la dentiera la retta parallela alla direzione v mentre per il tondino la circonferenza con centro in O e raggio r = R0. In corrispondenza di queste l'accoppiamento avviene per puro rotolamento e dunque il profilo della dentiera ivi presente (inteso come alternanza di pieni e di vuoti visto che m0 ed α0 sono costanti) deve coincidere perfettamente con quello che ha tagliato sulla ruota. La circonferenza primitiva di taglio del tondino è dunque un luogo privilegiato della ruota che ricopia perfettamente non solo il modulo m0 e l'angolo di pressione α0 della dentiera-utensile ma anche (in negativo) lo spessore dei denti e dei vani che essa presentava nell'ultimo istante di accoppiamento in corrispondenza della sua primitiva di taglio. In tale situazione se il rapporto tra v e ω fosse casuale si troverebbe una circonferenza primitiva di taglio

di raggio R0 qualunque; essendo il raggio (r) della circonferenza generica legato al modulo (m) presente su essa dalla relazione 2⋅r = z⋅m nel caso considerato dovrebbe valere z⋅m0 / 2 = R0 = v / ω

Figura 20: caratteristiche del processo di taglio per inviluppo

v

v va

ω

R0


C

Linea primitiva di taglio della dentiera

Circonferenza primitiva di taglio del tondino


20

Dal momento che il modulo viene fissato con la scelta dell'utensile l’assunzione di un v/ω casuale porterebbe ad un numero di denti tagliato z altrettanto casuale ossia molto probabilmente non intero e ancora meno probabilmente pari a quello voluto. Partendo da queste considerazioni risulta dunque che i valori di m0 ed α0 vincolano la scelta dell'utensile mentre il numero di denti voluto impone il rapporto cinematico v / ω = z⋅m0 / 2. Si può ancora notare che la proprietà della circonferenza primitiva di taglio di ricopiare i pieni ed i vuoti della corrispondente retta primitiva di taglio della dentiera comporta che affondando nel tondino la dentiera fino a far coincidere la linea di riferimento scelta per definirne le proprietà geometriche (su cui si era imposto il pieno il uguale al vuoto) con la retta primitiva di taglio passante per C si ottiene sulla circonferenza di raggio R0 la condizione: s0 = ed e0 = sd che unita allora alla sd = ed fornisce s0 = e0 Sempre nell'ipotesi di portare la dentiera a penetrare nel tondino fino a che linea di riferimento e retta primitiva di taglio coincidono si ha anche che hf0 = had = 1,25⋅m0 e che invece ha0 dipende da Ra che per produrre ruote unificate deve valere Ra = R0 + m0 .

7.3 Creatore Il concetto di creatore nasce dal problema che una dentiera per tagliare ruote con numeri di denti anche non grandi dovrebbe comunque essere molto lunga, in genere troppo lunga; le soluzioni possibili sono allora due: 1. utilizzare una dentiera corta e tagliare un piccolo numero di denti alla volta 2. utilizzare il criterio della vite senza fine: su una normale ruota si avvolgono dei profili ad elica suddivisi in tanti taglienti orientati ortogonalmente al profilo dell'elica in modo tale che ponendo in rotazione il sistema sul suo asse opportunamente inclinato rispetto all'asse del tondino si ottiene nel piano di taglio un moto apparente di traslazione del tagliente in direzione trasversale come voluto dalla teoria con una velocità pari al prodotto tra il passo dell'elica e la velocità di rotazione della ruota stessa.

Figura 21: taglio con creatore e creatore


21

8 Condizione di accoppiamento senza gioco Si supponga di avere a disposizione due ruote le cui caratteristiche di taglio sono:

Numero di denti Z1 Z2

Angolo di pressione sulla primitiva di taglio α0 α0

Modulo sulla primitiva di taglio m0 m0

Passo sulla primitiva di taglio p0 p0

Spessore del dente sulla primitiva di taglio s01 = p0 / 2 s02 = p0 / 2

Spessore del vano sulla primitiva di taglio e01 = p0 / 2 e02 = p0 / 2

Addendum rispetto alla primitiva di taglio ha01 = m0 ha02 = m0

Dedendum rispetto alla primitiva di taglio hf01 = 1,25m0 hf02 = 1,25m0

La condizione di accoppiamento senza gioco è quella in cui i denti in presa hanno due punti di contatto con i due denti coniugati dell'altra ruota. La prima osservazione in merito a questo problema è che i punti di contatto P e P' trovandosi sui lati opposti dello stesso dente appartengono a evolventi opposte generate rispettivamente dalle due tangenti comuni ai cerchi di base passanti per C, questo si riflette nel fatto che durante il moto relativo di ingranamento delle ruote i due punti P e P' si muoveranno ognuno sulla propria retta dei contatti (coincidente con la rispettiva generatrice). Si può in primo luogo facilmente verificare che se la condizione di accoppiamento senza gioco è verificata in un punto lo è per tutto l'arco dei contatti (tranne ovviamente in quella parte iniziale in cui solo il primo dei fianchi del dente considerato è in presa): supponendo che la ruota 1 sia motrice e giri alla velocità ω1 il punto di contatto con trasmissione del moto è il punto P sul fianco destro del dente che all'inizio si trova a coincidere col punto P1i solidale alla ruota 1 e coincidente col punto P2i solidale alla ruota 2; la ruota 2 è vincolata da questo contatto a muoversi alla velocità ω2 (secondo il rapporto di trasmissione determinato dal rapporto tra i raggi di base) mentre il punto P si sposta sulla retta dei contatti e scorre sul fianco destro del dente fino a P1f. coincidente ora con P2f. Si supponga ora che sia motrice la ruota 2 e che giri esattamente con la velocità ω2 , il punto di contatto istantaneo con trasmissione del moto risulta essere P' e non più P che viene trascinato; in questa condizione vale lo stesso discorso fatto per P nel caso precedente: P' resta sempre punto di contatto e impone alla ruota 1 una certa velocità ω1*. Poichè il rapporto di trasmissione tra le ruote non dipende da quale è motrice ma dai cerchi di base che sono fissi ω1* = ω1 cioè la condizione cinematica nei due casi è la stessa, ma allora non c'è motivo perchè i due punti P e P' quando siano entrambi di contatto all'istante iniziale cambino questo loro stato nel corso del moto essendo di per sè inconsapevoli di quale delle due ruote è motrice. Appurato questo fatto si può procedere a determinare la condizione geometrica di accoppiamento senza gioco analizzando il problema nella posizione più semplice ossia il punto C, che appartiene alle circonferenze primitive del moto ed è un punto di contatto effettivo: partendo dalla situazione in cui il fianco


22

"motore" del dente in esame - supposto appartenente alla ruota motrice - è in contatto proprio nel punto C con il suo coniugato e imponendo alla ruota motrice la velocità ω1 si ha che lo spessore del dente passa attraverso il punto C mentre le due circonferenze primitive rotolano senza strisciare l'una sull'altra (sono le polari del moto). Quando tutto il dente è passato attraverso il punto C vi si ha un nuovo contatto ma sull'altro fianco del dente, quello trascinato, dopo il quale continuando a far girare il sistema il punto C viene attraversato dal dente della ruota condotta in corrispondenza del vano della ruota motrice finché si ritorna nella condizione iniziale. La presenza di puro rotolamento tra le circonferenze primitive del moto nel punto C porta riguardo alle due situazioni che vi si alternano alle seguenti condizioni di accoppiamento senza gioco: s1 = e2 s2 = e1 con s ed e rispettivamente spessori e vani della dentatura misurati in corrispondenza delle circonferenze primitive di accoppiamento; unendo le precedenti relazioni con le: s1 + e1 = p1 s2 + e2 = p2 e considerando che perchè possa esserci ingranamento deve essere p1 = p2 = p si trova la condizione di accoppiamento senza gioco: s1 + s2 = p Questa condizione è unica e dipende dall'interasse di accoppiamento: supponendo di partire dall'interasse di accoppiamento senza gioco i* e di allontanare le ruote l'ingranamento continua a verificarsi ma in corrispondenza di circonferenze primitive sempre più ampie; il crescere dei raggi delle primitive di accoppiamento comporta un proporzionale aumento del passo di accoppiamento p ma una riduzione degli spessori s1 ed s2 dei denti cosicchè risulta essere s1 + s2 < p ; quando invece si voglia ridurre l'interasse di accoppiamento al di sotto di i* si deve generare interferenza tra i denti essendo in questo caso s1 + s2 > p. Le due ruote a disposizione verificano la generica condizione di accoppiamento infatti sulle primitive di taglio presentano uguale passo p0 e uguale angolo di incidenza α0 (il che corrisponde ad avere uguale passo base) ma verificano anche la condizione di accoppiamento senza gioco perchè per come sono state tagliate hanno s0 = e0 = p0 / 2 il che comporta s01 + s02 = p0. Questo spiega il motivo percui si impongono le condizioni di avere il pieno uguale al vuoto sulla linea di riferimento della dentiera utensile e di portare tale linea a sovrapporsi alla primitiva di accoppiamento tra dentiera e tondino per terminare il processo di taglio.

Figura 22: ingranamento tra due ruote

s1 e1

s2 e2

1 2

b a

1 2b a

1 2b a


23

9 Processo di taglio di ruote a profili spostati. In questa operazione di taglio si elimina la condizione suddetta di fine del processo solo in caso di coincidenza tra linea di riferimento della dentiera e primitiva di accoppiamento tra dentiera e tondino. Si definisce il fattore b di scostamento della posizione terminale della dentiera rispetto a quella prevista nel taglio normale e si assume che sia b = X⋅m0 con m0 modulo della ruota sulla primitiva di taglio ed X coefficiente di proporzionalità; convenzionalmente X (e percui b) è positivo se la dentiera è penetrata all'interno del tondino meno rispetto alla situazione di taglio normale e negativo invece se la dentiera è stata

maggiormente affondata nel tondino. Rispetto alle ruote tagliate con il processo normale le ruote con profili presentano analogie e differenze: • il raggio della primitiva di taglio resta lo stesso: dipende solo dal rapporto cinematico di taglio scelto pari

a z m⋅ 0

2

• il passo sulla primitiva di taglio resta lo stesso: la dentiera ha lo stesso passo p0 in corrispondenza di ogni sezione del dente percui sulla circonferenza primitiva di taglio del tondino con cui si accoppia senza strisciamento incide sempre il passo p0 indipendentemente dal fatto che sia entrata più o meno in profondità nel tondino stesso; si può anche considerare che p0 = π⋅m0 e che m0 a pari numero di denti z non cambia se non si cambia il rapporto cinematico di taglio • l'angolo di incidenza sulla primitiva di taglio resta lo stesso per lo stesso motivo del passo infatti la dentiera oltre ad avere lo stesso passo su ogni sezione del dente ha anche lo stesso angolo di incidenza α0 che incide identico sulla primitiva di accoppiamento del tondino • i raggi di base delle ruote non cambiano perchè esse continuano ad ingranare in uguali condizioni cinematiche con lo stesso utensile, non mutando il rapporto di trasmissione ruota tagliata - utensile deve restare costante il raggio di base della ruota essendo fissato il raggio di base dell'utensile • cambia lo spessore del dente che aumenta se la dentiera affonda di meno e diminuisce se affonda di più: esso ricopia perfettamente l'ampiezza del vano della dentiera calcolato sulla linea che va ad accoppiarsi per ultima con la circonferenza primitiva di taglio del tondino e che vale

s0 = ed = p2

2b tg( ) =p2

2Xm tg( )0 00+ ⋅ + ⋅α α

Figura 23: taglio con X = 0

Figura 24: taglio con X = 0,3

Xm0


24

• cambia parimenti ma in verso opposto l'ampiezza del vano tra i denti della ruota che deve rispettare la

condizione s0 + e0 = p0 e percui diventa e0 = p2

2Xm tg( )00− ⋅ α

• cambia anche il dedendum della ruota che a seconda del valore e del segno di X può essere più o meno profondo di quello unificato e che vale hf0 = 1,25 m0 - Xm0 • l'addendum come già nelle ruote tagliate con processo normale è definito dal raggio esterno del tondino che dunque ha un valore che può essere assegnato in modo diverso a seconda delle esigenze La differenza fondamentale tra una ruota normale ed una a profili spostati sta praticamente allora nelle dimensioni dei denti in quanto i profili restano tali e quali.

9.1 Circonferenze di accoppiamento senza gioco tra ruote a profili spostati Siano date le due ruote a profili spostati seguenti:

Numero di denti Z1 Z2

Angolo di pressione sulla primitiva di taglio α0 α0

Modulo sulla primitiva di taglio m0 m0

Passo sulla primitiva di taglio p0 p0

Spessore del dente sulla primitiva di taglio s01 = p2

2X m tg( )01 0+ ⋅ ⋅ α s02 =

p2

2X m tg( )02 0+ ⋅ ⋅ α

Spessore del vano sulla primitiva di taglio e01 = p2

2X m tg( )01 0− ⋅ ⋅ α e02 =

p2

2X m tg( )02 0− ⋅ ⋅ α

Addendum rispetto alla primitiva di taglio ha01 = Ra1 − R01 ha02 = Ra2 − R02

Dedendum rispetto alla primitiva di taglio hf01 = (1,25 − X1)m0 hf02 = (1,25 − X2)m0

Intuitivamente ci si può aspettare che per queste ruote le circonferenze primitive non vadano più bene ed infatti su esse vale:

s01 + s02 = (p2

2X m tg( )01 0+ ⋅ ⋅ α ) + (

p2

2X m tg( )02 0+ ⋅ ⋅ α ) = p0 + 2(X1 + X2)m0⋅tg(α)

da cui si trova che s01 + s02 = p0 solo per:

X1 = X2 = 0 (ruote a profili non spostati)

X1 = X2 (spostamenti dei profili uguali ed opposti)

Per trovare un’espressione generale della configurazione di accoppiamento senza gioco per ruote a profili spostati è necessario risalire all'espressione dello spessore del dente in funzione del raggio ed esprimere quindi la condizione di accoppiamento senza gioco in funzione dei raggi e degli X delle ruote. Tra spessore e raggio vale la relazione: sr

sR

= 0

0

+ 2⋅ζ =sR

0

0

+ 2⋅(ϕ0 − ϕ) =sR

0

0

+ 2⋅[ ev(α0) − ev(α)]

la condizione di accoppiamento senza gioco diventa allora:


25

s1 + s2 = r1 (sR

01

01

+ 2⋅ζ1) + r2 (sR

02

02

+ 2⋅ζ2) = p

Condizioni generiche di ingranamento: sulla circonferenza primitiva di accoppiamento le due ruote hanno sempre uguale angolo di incidenza coincidente con l'angolo di pressione percui α1 = α2 = αp e quindi

⇒ ζ1 =⋅[ ev(α0) − ev(α1)] = ζ2 = [ ev(α0) − ev(α2)] = ζ = [ ev(α0) − ev(αp)]

sulla circonferenza primitiva di accoppiamento le due ruote devono avere uguale passo per poter ingranare percui p1 = p2 = p e così

⇒ r1 = z p1 1

2⋅π

= z p1

2⋅π

⇒ r2 = z p2 2

2⋅π

= z p2

2⋅π

Introducendo le condizioni di ingranamento nella relazione di accoppiamento senza gioco ed esplicitando si ottiene:

z p1

2⋅π

⋅

πα

ζ

⋅+ ⋅

⋅ +

mX m tg

z m

01 0 0

1 0

22

2

2( )

+ z p2

2⋅π

⋅

πα

ζ

⋅+ ⋅

⋅ +

mX m tg

z m

02 0 0

2 0

22

2

2( )

= p

svolgendo si ottiene:

z1

2π⋅π ⋅

⋅⋅

mz m

0

1 022

+ z1

2π⋅(2 1 0X m tg⋅ ( )α )⋅

2

1 0z m⋅ +

z1

2π⋅2ζ + ...... = 1

e quindi semplificando e raccogliendo

2

π⋅(X1 + X2)⋅tg(α0) +

z z1 2+π

⋅ζ = 0

da cui

ζ = 2⋅tg(α0)⋅X Xz z

1 2

1 2

++

ossia

ev(αp) = ev(α0) + 2⋅tg(α0)⋅X Xz z

1 2

1 2

++

Trovato αp è possibile risalire rapidamente ai raggi delle circonferenze primitive di accoppiamento senza gioco tramite la relazione:

rp = Rb / cos(αp)

e quindi all'interasse

i* = (R01 + R02)⋅cos(cos(

0

p

αα

))

Si può anche trovare il modulo di accoppiamento m = 2 1

1

rz

= 2 2

2

rz


26

I raggi di fondo delle ruote sono definiti dall'operazione di taglio e valgono

Rf1 = R01 + b1 − 1,25m0 = R01 + (X1 − 1,25)m0

Rf2 = R02 + (X2 − 1,25)m0

I raggi di testa delle ruote possono essere determinati "a piacere", generalmente si impone che anche per queste ruote il gioco tra testa dei denti dell'una e fondo dei denti dell'altra sia comunque pari a 0,25m0 ottenendo così la relazione

Ra1 = i* − Rf2 − 0,25m0

che esplicitata diventa

Ra1 = i* − R02 − (X2 − 1)m0

Ra2 = i* − R01 − (X1 − 1)m0


27

10 Vantaggi delle ruote con denti a profili spostati e criteri di scelta di X1 ed X2

10.1 Sezione resistente alla base del dente Lo spessore del dente di una ruota a profili non spostati tagliata con un certo utensile è fissato in corrispondenza della circonferenza primitiva (di raggio R0) e vale sempre lo stesso s0 caratteristico della dentiera o del creatore. Come si nota dalla figura 25 però, lo spessore alla base del dente dipende dalla pendenza dei fianchi che a sua volta è correlata al numero di denti con una legge di proporzionalità inversa; nell’ingranamento di due ruote allora la più critica è la più piccola in cui le forze scambiate si distribuiscono su una sezione resistente minore. In molti casi dimensionare in sicurezza la ruota piccola aumentando il modulo della trasmissione comporterebbe l'uso di una ruota grande inaccettabile o per questioni di ingombro o per questioni di costo; molto più conveniente in tali situazioni è ricorrere a ruote a profili spostati in cui agendo opportunamente su X1 ed X2 si riescono ad ottenere spessori di base dei denti simili sulle due ruote. Il vantaggio di questa scelta è che la modifica della resistenza meccanica delle due ruote avviene “allargando” i denti della ruota più piccola (sottodimensionati) e “assottigliando” quelli della ruota più grossa (sovradimensionati) senza agire sul modulo ossia sulle dimensioni della trasmissione (Fig 26).

10.2 Interferenza Si tratta di un fenomeno che si verifica quando nel punto di contatto tra due profili non si ha coincidenza delle tangenti; in tale condizione si ha un contatto irregolare ed una compenetrazione tra i profili stessi. Nell'analisi dell'ingranamento di due profili ad evolvente di cerchio si è individuato un segmento T1T2 in cui avvengono tutti i contatti regolari; il problema da considerare ora è se al di fuori di questo campo possano esistere fisicamente dei contatti tra i denti oppure no. Si può studiare la situazione attorno al punto critico T2 in cui il profilo del dente della ruota 2 dovrebbe rovesciarsi per continuare ad ingranare correttamente con il relativo dente della ruota 1 cosa che nella

Figura 25: spessore del dente in relazione al numero di denti

z

z = 30

z = 15 z = 60

z = 120

s0

Figura 26: effetto del taglio con spostamento dei profili sullo spessore del dente

Profilo tagliato con X=0

Profilo tagliato con X=0,3


28

realtà non può avvenire: in un generico intervallo di tempo ∆t calcolato a partire dall'istante in cui il contatto avviene esattamente nel punto T2 il punto di tangenza ideale del profilo 1 si sposta sulla retta dei contatti nel punto P' mentre nello stesso tempo il punto di origine del profilo 2 si sposta sulla circonferenza di base fino in O' tale che (P'T2) = (O'T2 ). Per essere certi che non ci possa essere interferenza il profilo della ruota 1 dovrebbe intercettare il cerchio base della ruota 2 al di fuori del dente ossia prima di O'. Si verifica facilmente che questo non accade infatti supponendo di tracciare con centro in T2 un arco di circonferenza di raggio T2P', questo intercetta il cerchio base della ruota 2 sicuramente oltre il punto O' (Fig 27) la cui distanza da T2 è pari al raggio se misurata sull'arco ed è perciò minore se valutata sin linea retta. A maggior ragione il discorso vale per l'evolvente che in P' coincide in pratica con l'arco di circonferenza centrato in T1 di raggio T1P' e che dunque è molto meno inclinato dell'arco centrato in T2. L'interferenza va assolutamente evitata in condizioni di lavoro; durante l'operazione di taglio è invece accettabile anche se crea comunque grossi problemi in quanto comporta una riduzione della sezione resistente del dente e della lunghezza del segmento dei contatti entrambe dovute all'incavo che si produce alla radice del dente stesso. Considerando l'accoppiamento senza gioco (percui con αp = α0) di una coppia di ruote normali ci si rende subito conto del fatto che la condizione più critica per quanto riguarda l'interferenza è tra la testa della ruota più grossa ed il fondo della più piccola; si nota anche che la criticità aumenta al crescere del diametro della ruota più grossa (mentre αp resta costante) e che dunque la dentiera è la ruota esterna più pericolosa mentre nel campo delle ruote interne la situazione peggiora ancora. Per evitare l'interferenza bisogna imporre che la circonferenza di base della ruota più piccola sia sufficientemente grande da portare il punto T1 limite del segmento dei contatti corretti al di fuori della circonferenza di troncatura esterna della ruota grande; per le ruote unificate il raggio di troncatura esterna e

Figura 27: analisi della condizione di interferenza

T2

P’

O’

O1 O2

T1


29

l'interasse sono funzione solo del numero di denti percui collegando queste grandezze tramite il triangolo O1O2T1 con il teorema di Carnot si trova:

Teorema di Carnot: (Re2)2 = i2 + (Rb1)2 − 2i⋅Rb1⋅cos(α0)

sostituendo i termini con:

Re2 = R02 + m0 = m0

2 (z2 + 2)

i = m0

2⋅(z1 + z2)

Rb1 = R01 cos(α) = m0

2 z1 cos(α0)

si ottiene:

(z2 + 2)2 = [(z1 + z2)2 + z12 cos(α0)2 − 2⋅z1 (z1 + z2) cos(α0)2 ]

svolgendo i quadrati e raccogliendo si ottiene:

z12 + 2⋅z1⋅z2 − 4 (z2 + 1)/ sin(α0)2 = 0

da cui si riesce quindi ad esplicitare la relazione rispetto a z1:

220

2221 z

)sin(1z

4zz −α+

+=

Questa relazione permette di trovare il numero di denti, e dunque il raggio di base, della ruota 1 minimi in condizioni di non-interferenza. Nell'ingranamento tra ruota e dentiera l'espressione si semplifica:

20

220

222

2z1 )sin(

2z

)sin(1z

4zlimzα

=

−

α+

+=∞→


30

Figura 28: interferenza ruota-dentiera Nel caso di accoppiamento tra ruota e dentiera si può trovare un'espressione semplice anche per ruote a profili spostati: la condizione da imporre è sempre che la linea di troncatura esterna della dentiera passi per il punto T1. Indicando con H la proiezione di T1 sulla retta dei centri OC (Figura 28), deve quindi essere, in condizioni limite di non interferenza,

CH = m0 − b = m0⋅(1 − X)

Da una doppia proiezione del raggio primitivo R0 = OC su CT1 e su CH, si trova che la lunghezza di

quest'ultimo segmento è pari a R0 sin(α0)2 = z1 m0

2 sin(α0)2 e, quindi, si ottiene:

CH = z1 m0

2 sin(α0)2 = m0 − b = m0⋅(1 − X)

dove con b si è indicato lo scostamento tra la linea di riferimento della dentiera e la primitiva di accoppiamento. Semplificando si ricava la relazione:

( )Xz −= 1)sin(

22

01

α

Questo caso analiticamente più semplice, ma non concettualmente diverso, evidenzia il secondo vantaggio delle ruote a denti spostati: quando il coefficiente X è non nullo e positivo, il minimo numero di denti per evitare l'interferenza si riduce consentendo in caso di problemi di non agire sulle dimensioni della ruota (per cui sul costo dei materiali, sulle inerzie in gioco, ecc.), ma di ricorrere ad un semplice ispessimento dei denti ottenendo gli stessi risultati.

10.3 Strisciamento specifico L’usura è un aspetto molto importante per l’efficace dimensionamento del dente, essa dipende dagli attriti che si generano tra le superfici dei denti a contatto in condizioni di lavoro. Una prima definizione utile è quella di strisciamento specifico: se due profili si muovono restando a contatto tra loro è possibile individuare gli spostamenti che i due punti che inizialmente erano a contatto hanno percorso (ciascuno sul suo profilo) rispetto ai nuovi punti a contatto nell’intervallo di tempo dt. Detti questi spostamenti rispettivamente ds1 per il punto appartenente al profilo 1 e ds2 per quello appartenente al profilo 2 si definiscono:

strisciamento specifico del corpo 1: Kds ds

ds11 2

1

=−

=

−

=−

ds ds

dsdt

v vv

1 2

1

t1 t2

t1

dt

strisciamento specifico del corpo 2: Kds ds

ds22 1

2

=−

=−v v

vt2 t1

t2

con vt1 e vt2 velocità tangenziali nel punto di contatto rispettivamente del profilo 1 e del profilo 2 L’importanza dello strisciamento specifico è che non tiene conto solo dello strisciamento assoluto ma anche dello spazio su cui esso è distribuito, il che trova fisicamente riscontro nel fatto che un uguale strisciamento porta usura ben diversa a seconda che sia concentrato in un punto o che sia distribuito su tutto un tratto di profilo. Si veda ad esempio il caso di una ruota che:


31

1. striscia senza ruotare su una superficie piana (Fig 29: il punto di contatto istantaneo per la superficie cambia mentre per la ruota resta sempre lo stesso; intuitivamente ci si può aspettare che la condizione più critica si verifichi sulla ruota ed in effetti gli strisciamenti specifici lo confermano infatti Kruota = −∞ mentre Ksup. = 1 2. ruota senza traslare sempre sulla stessa superficie (Fig 30 la situazione è esattamente invertita rispetto alla precedente ed infatti si trovano Kruota = 1 mentre Ksup. = −∞

Un’ultima caratteristica dello strisciamento specifico è che si annulla solo quando ds1 = ds2 ossia in condizioni di puro rotolamento le quali fisicamente corrispondono a usura nulla. Applicando queste definizioni al caso dei denti degli ingranaggi si può cercare di valutare come varia lo strisciamento specifico lungo l’arco dei contatti per l’una e per l’altra ruota. Come si può vedere in Figura 31 el generico punto di contatto P le velocità dei due profili possono essere scomposte nelle due componenti normale e tangenziale rispetto ai profili stessi; essendo questi coniugati le direzioni normale e tangenziale coincidono per costruzione e dunque:

( )( )

γ⋅⋅ω=γ⋅=

γ⋅⋅ω=γ⋅=

11111t1

11111n1

sinPOsinvv

cosPOcosvv

ll

( )

( )

γ⋅⋅ω=γ⋅=

γ⋅⋅ω=γ⋅=

22222t2

22222n2

sinPOsinvv

cosPOcosvv

ll

Figura 29

A0≡B0

A1≡A0

B1

t0 t0+ dt

Figura 30

A0≡B0

A1

B1≡B0

t0

t0+ dt


32

Per il corretto ingranamento (senza distacco o interferenza) deve essere vn1 = vn2 ed in effetti la condizione è automaticamente verificata essendo

( )( )( )( )

⋅ω=⋅ω=γ⋅⋅ω=

⋅ω=⋅ω=γ⋅⋅ω=

1b1b22222n2

b221b1111n1

RRcosPOv

RRcosPOv

ll

Le componenti di velocità tangenziali possono essere riscritte come

( ) ( )( ) ( )

⋅ω=γ⋅⋅ω=

⋅ω=γ⋅⋅ω=

PTsinPOv

PTsinPOv

22222t2

11111t1

llll

e quindi gli strisciamenti relativi risultano:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

⋅ω

⋅ω−⋅ω=

−=

⋅ω

⋅ω−⋅ω=

−=

PT

PTPTv

vvK2

PT

PTPTv

vvK1

22

1122

t2

t1t2

11

2211

t1

t2t1

lll

lll

Ponendo allora δ = ( )CPl sono

( ) ( )( ) ( )

δ−α⋅=δ−=

δ+α⋅=δ+=

tgRCTPT

tgRCTPT

b222

b111

llll

e dunque risulta

Figura 31 velocità di strisciamento nel contatto tra due denti

v1

v2 vt1

vt2 vn ω 1

δ

T2

O2

ω 2

O1 C

T1

P


33

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )K

R tg R tg

R tg

tg R R

R tg R tg1b1 b2

b1

b1 b2

b1 b1

=⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ +=

⋅ ⋅ − ⋅ + +

⋅ ⋅ +=

⋅ +⋅

+ω α δ ω α δ

ω α δ

α ω ω δ ω ω

ω α δ

δ

α δ

ω ωω

1 2

1

1 2 1 2

1

1 2

1

Introducendo il rapporto di trasmissione i =ωω

1

2

e calcolando K2 si ottiene:

( )

( ) ( )

KR tg

i 1i

KR tg

i 1

1b1

2b2

=⋅ +

⋅+

=−

⋅ −⋅ +

δ

α δ

δ

α δ

Si tratta di due andamenti di tipo iperbolico: muovendosi sulla retta dei contatti da T1 verso T2 lo strisciamento specifico del dente della ruota 1 passa da −∞ a 1 mentre quello della ruota 2 esattamente al contrario va da 1 a −∞, si annullano entrambi per δ = 0 ossia in corrispondenza del punto C in cui si verifica una condizione di puro rotolamento (Fig 32). Nella realtà i contatti reali non avvengono su tutto il segmento T1−T2 ma solo su una sua parte A−B delimitata dalle circonferenze di troncatura esterna delle ruote; non si raggiungono allora valori di strisciamento specifico infiniti però resta comunque il problema che è presente uno squilibrio tra lo strisciamento specifico massimo delle due ruote e la più penalizzata è nuovamente quella di diametro minore. Lo spostamento dei profili, agendo opportunamente sull’interasse di accoppiamento e sulle circonferenze di troncatura esterna, permette di modellare il segmento dei contatti A−B in modo da equilibrare lo strisciamento specifico.

Figura 32: andamento dello strisciamento relativo nel contatto tra due denti

1

0

-1

-2

-3

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

C A

B

1

-4

Documents

Costruzione di macchine - corsiadistanza.polito.itcorsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/04ASBP/ECM_appunti_sulle_ruote... · Corso di Costruzione di Macchine – Ruote Dentate 2 1 Definizione