Universite de Metz
C OURS
Filire : DESS ATTI
S TRATGIES DE CODAGE CANAL PARTIE I
2003/2004
Amine MSIR, LICM - 07 Rue Marconi, Technople, 57070 Metz, France
Tel : +33.(0)387.54.73.06- Fax : +33.(0)387.54.73.07 Email :
[email protected]
2
TABLE DES MATIRES
3
Table des matiresL GENDE i
I C ODAGE CANAL : T HORIE ET APPLICATION1 N OTIONS DE LA THORIE
1.1 1.2 1.3DE L INFORMATION
13 3 3 5 5 6 7 7 9 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 15 15 15
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Mesure quantitative de linformation . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition de lentropie
et de linformation mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 1.3.2 1.3.3 Dnition de lentropie . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . Dnition de linformation mutuelle . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dbit dinformation . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modlisation des
erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 1.5 1.6
Canal de transmission 1.4.1
Thorme fondamental du codage canal . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Chane de transmission . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5
1.6.6 1.6.7 1.6.8 Source dinformation . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . Codage source . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Codage canal . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modulation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Canal de transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Dmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Dcodage canal . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dcodage source . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .CANAL
2
S TRATGIES DE CODAGE 2.1 2.1.1
Stratgies ARQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Systmes ARQ avec arrt et attente . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
4 2.1.2 Systmes ARQ continue . . . . . Stratgies FEC . . . . . .
. . . . . . . . . . Stratgies hybride ARQ/FEC . . . . . . . . .
Comparaison des stratgies de codage canal . Techniques de codage
canal FEC . . . . . . 2.5.1 Codes blocs . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Codes cycliques . . . . . . . . . . . 2.5.3 Codes convolutifs
. . . . . . . . . . . 2.5.4 Reprsentation des codes convolutifs
2.5.5 Dcodage des codes convolutifs . . . 2.5.6 Modulation code en
treillis . . . . . 2.5.7 Codes entrelacs . . . . . . . . . . .
2.5.8 Codes concatns . . . . . . . . . . 2.5.9 Turbo-codes . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
TABLE DES MATIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 17 17
17 18 18 19 20 21 24 25 25 26 26
2.2 2.3 2.4 2.5
i
L GENDE
Clarication
Remarque
Exemple
Application
ii
LGENDE
1
Premire partie C ODAGE CANAL : T HORIE ET APPLICATION
3
Chapitre 1 N OTIONS DE LA THORIE DE L INFORMATION1.1
IntroductionLa thorie de linformation est une thorie qui sintresse
la transmission des messages dune source vers un destinataire
travers un canal. Elle a t introduite en 1948 par lingnieur
amricain Claude Elwood Shannon [1, 2] et afrme quen codant
linformation correctement, celle-ci peut tre transmise travers un
canal parasit sans perte de son contenu la rception. Elle se base
sur une mesure quantitative de linformation, cest dire quelle ne
sintresse pas au sens du message du point de vue smantique, mais
seulement la quantit dinformation que le message vhicule. Dans [3]
on lassimile un messager dont le but est de porter une lettre sans
avoir connaissance de son contenu, les seules informations dont il
dispose sont le poids et les dimensions extrieures de cette lettre,
Le message quelle vhicule nayant aucune inuence sur les moyens de
la transporter. La distinction entre message utile et parasite est
totalement lie la nalit du rcepteur. Par exemple si deux personnes
A et B coutent chacune leur propre musique de deux sources Sa et Sb
proches, Sb savrera tre une source de perturbation pour la personne
A qui essaye dcouter linformation qui lintresse de la source Sa et
rciproquement. An de dissocier les deux types dvnements,
linformation utile est localise dans le bloc source tandis que les
lments parasites sont dans le bloc canal.
1.2
Mesure quantitative de linformation
Un destinataire nest pas cens connatre au pralable le contenu
dun message quil reoit, sinon lmission de ce message napporte rien
au rcepteur comme information. De cette afrmation dcoulent deux
points : la source dinformation fournit de manire alatoire un
ensemble de messages lmentaires qui
4
CHAPITRE 1. NOTIONS DE LA THORIE DE LINFORMATION forment le
message mis. Donc, comme on est en prsence dvnements alatoires,
chaque message lmentaire est pondr par sa probabilit doccurrence
(mission) ; la quantit dinformation est une mesure de son
imprvisibilit. Plus le message reu est prvisible moins est grande
la quantit dinformation quil apporte. De manire concrte, en
remplaant la source par une urne et les messages lmentaires par des
boules (9 boules blanches et 1 boule noire). Dans ce cas la
probabilit dmission est remplace par la probabilit de tirage. Il
est clair quil ya 9 chances sur 10 de tirer une boule blanche et 1
chance sur 10 den tirer une noire. Dans le cas ou la boule tire est
blanche, linformation obtenue est faible puisquon savait a priori
quil yavait de forte chance den tirer une blanche. Tandis que si la
boule tire tait noire, linformation obtenue a posteriori est grande
puisquil tait peu probable den tirer une de cette couleur.
Si x est un message lmentaire avec une probabilit dmission de
p(x) , la quantit dinforma1 tion quil apporte h(x) est une fonction
croissante de son improbabilit p(x) . h(x) = f 1 p(x) (1.1)
Si x est un message lmentaire avec une probabilit dmission
certaine p(x) = 1, alors la quantit dinformation quil apporte est
nulle. h(x) = f (1) = 0 (1.2)
De plus si x et y sont deux vnements indpendants, la quantit
dinformation quils apportent est la somme des quantits dinformation
de chacun. h(x,y) = f (x) + f (y) (1.3)
La fonction qui correspond h est la fonction logarithmique [1].
Donc, la quantit dinformation intrinsque scrit suivant lquation
(1.4). h(x) = logb (p(x)) o b reprsente la base logarithmique. Il
dnit lunit dinformation. Dans la pratique, les contraintes
technologiques des systmes de tlcommunications imposent
lutilisation de symboles binaires valeurs dans {0,1}. Dans ce cas,
b = 2 et lunit est le Shannon (Sh). Si x est un message lmentaire
avec une probabilit priori dmission p(x) et y est un message
lmentaire reu, et si p(x|y) est la probabilit que x ait t mis
sachant que y a t reu, la quantit (1.4)
1.3. DFINITION DE LENTROPIE ET DE LINFORMATION MUTUELLE
dinformation mutuelle h(x; y) est donne par : h(x; y) = log2 p(x|y)
p(x)
5
(1.5)
1.3 Dnition de lentropie et de linformation mutuelleSoit une
source alatoire, discrte et nie, mettant plusieurs messages
lmentaires x1 , x2 , , xk avec des probabilits dmission respectives
p1 , p2 , , pk . Lmission des messages par cette source est
formalise par la variable alatoire discrte X avec pi = P {X = xi }
(i {1, ,k}). De la mme manire, lensemble des messages lmentaires
reus y1 , y2 , , yn pondrs par les probabilits respectives q1 , q2
, , qn est formalis par la variable alatoire Y avec qi = P {Y = yj
} (j {1, ,n}).
1.3.1
Dnition de lentropie
Lentropie de la source est la quantit dinformation moyenne de
cette dernire. Elle est dnie comme tant lesprance mathmatique de la
quantit dinformation intrinsque h(x) de chaque message lmentaire x
de la source.k
H(X) = E [h(xi )] = i=1
pi log2 (pi )
(1.6)
Dans le cas o tous les messages lmentaires sont quiprobables p1
= p2 = = pk , lentropie H(X) est maximale et vaut log2 (k). En
considrant la variable alatoire (X, Y ) de probabilit pij = P (X =
xi ,Y = yj ), lentropie conjointe de (X,Y ) est :k n
H(X,Y ) = E [h(xi ,yj )] = i=1 j=1
pij log2 (pij )
(1.7) (1.8) (1.9)
= H(X) + H(Y |X) = H(Y ) + H(X|Y )
Lentropie conjointe est toujours infrieure la somme des
entropies intrinsques de X et Y sauf si celles-ci sont
indpendantes. Lentropie conditionnelle de la variable alatoire (Y
|X = xi ) de probabilit pj|i = P (Y = yj |X = xi ) est :n
H(Y |X = xi ) = j=1
pj|i log2 pj|i
(1.10)
6
CHAPITRE 1. NOTIONS DE LA THORIE DE LINFORMATION Dans le cas
dune variable binaire X ayant les probabilits dmissions suivantes :
X = 1 avec p1 = p, X = 0 avec p0 = 1 p. (1.11)
Lentropie (H(X) en Shannon) de cette variable en fonction de p
est reprsente sur la gure 1.1 et est gale : si 0 < p < 1 H(X)
= p log2 (p) (1 p) log2 (1 p) si p = 0 ou 1 H(X) = 0 (1.12)
F IG . 1.1
1.3.2
Dnition de linformation mutuelle
Linformation mutuelle mesure la quantit dinformation que la
connaissance dune variable (message lmentaire reu y) permet
dapporter sur lautre (message lmentaire mis x). Linformation
mutuelle entre lentre et la sortie dun canal est : I(X; Y ) = H(X)
H(X|Y ) = H(Y ) H(Y |X) (1.13) (1.14)
Lquation (1.14) reprsente la diffrence entre lincertitude la
sortie du canal quand on a aucune connaissance du message lmentaire
mis moins celle que lon a quand on connat le message lmentaire mis.
I(X; Y ) = 0 canal mauvais. I(X; Y ) = H(X) canal sans erreurs.
(1.15) (1.16)
1.4. CANAL DE TRANSMISSION
7
1.3.3 Dbit dinformationLe dbit dinformation est dni comme tant
le produit de lentropie de la source par le nombre moyen de
symboles par seconde. Si la dure moyenne de chaque symbole est m ,
le dbit de linformation de la source est [4] : H(X) DS = Sh/s
(1.17) m
1.4 Canal de transmissionUn canal de transmission discret sans
mmoire est constitu de trois blocs : une entre (mission) modlise
par la variable alatoire X qui peut prendre nimporte quelle valeur
parmi un ensemble de messages lmentaires (symboles) SE = {x1 , x2 ,
, xk } ; une sortie (rception) modlise par la variable alatoire Y
qui peut prendre nimporte quelle valeur parmi un ensemble de
symboles SR = {y1 , y2 , , yn } ; une matrice de transition TR dont
llment tij = pj|i est la probabilit que pour un symbole xi mis, le
symbole reu soit yj .
F IG . 1.2 Modlisation du canal discret sans mmoire. La capacit
CC du canal de transmission est dnie comme le maximum de
linformation mutuelle moyenne I(X; Y ). CC = max (I(X; Y ))
(1.18)(pi )
8
CHAPITRE 1. NOTIONS DE LA THORIE DE LINFORMATION Un canal est
dit binaire et symtrique (BSC : Binary Symetric Channel) si ses
symboles dmissions et de rceptions sont gaux et binaires
respectivement (SE = SR = {0,1}) et si sa matrice de transition TR
est symtrique (cf. paragraphe 1.4.1) : TR = 1p p p 1p (1.19)
Dans le cas dun canal BSC, la capacit est reprsente sur la gure
1.3 et est dnie par : CC = 1 H(X) (1.20)
F IG . 1.3 Capacit dun canal BSC.
Le but dans tout systme de communication est de se rapprocher le
plus possible de la capacit du canal de transmission. Cependant la
prsence invitable du bruit dgrade considrablement les symboles mis.
De plus comme le bruit est un phnomne imprvisible on ne peut pas le
supprimer de manire directe. Do la ncessit denvisager des mcanismes
permettant de compenser les effets perturbateurs du bruit et de se
rapprocher ainsi de cette limite. En pratique, les canaux de
transmission sont limits en puissance et en frquence. La limitation
moyenne de puissance PS xe le nombre dchantillons n en limitant
leurs amplitudes un ensemble ni x1 ,x2 , ,xn [1], elle est donne
par : 1 n n(xi )2 PSi=1
(1.22)
La limitation en frquence dtermine un intervalle de frquence ou
bande passante BP sur lequel le signal ne subit pas
daffaiblissement suprieur une valeur de 3 dB, ce qui correspond un
affaiblissement du signal dentre de 50%. Laffaiblissement reprsente
la perte du signal en nergie dissipe dans le canal. Il est
caractris par un signal en sortie plus faible que le signal en
entre et est calcul de la manire suivante : As Af (dB) = 10 log
(1.23) Ae
1.4. CANAL DE TRANSMISSION
9
Dans beaucoup de cas, on considre quun bruit blanc gaussien
(AWGN : Additif White Gaussian Noise) dnergie N0 , de moyenne nulle
et de variance N0 /2 sadditionne au signal utile [1]. lexpression
de la capacit du canal AWGN : CC = 2Ec 1 log2 (1 + ) 2 N0
(1.21)
Ec est lnergie moyenne du bit modul aprs codage. Ec = R Eb [5],
Eb est lnergie du signal modul avant codage, R le rendement du
code. La gure 1.4 reprsente la capacit dun canal AWGN dans le cas
dentre E continue et binaire avec modulation BPSK en fonction du
rapport Nb (dB). 0
F IG . 1.4 Capacit du canal AWGN (continue & binaire). o, Af
est laffaiblissement en dB, Ae et As sont les amplitudes
respectives des signaux dentre et de sortie.
1.4.1
Modlisation des erreurs
Les modles des canaux prcdents sont des fonctions de la
puissance du bruit introduit par le canal de transmission. Ce bruit
se traduit par lintroduction derreurs dans linformation. La
distribution des erreurs peut tre reprsente par des modles
thoriques tel que : le modle de Poisson [1] qui considre que le
nombre derreurs par unit de temps est une variable alatoire qui
suit une loi de Poisson ; le modle de Neymann-Pearson [1] utilis
pour modliser les erreurs qui apparaissent par paquet, qui se base
sur deux lois de Poisson, une pour dcrire lapparition dun paquet et
une pour dnir le nombre derreurs par paquet ; le modle de Pareto
[1] qui suppose que les intervalles entre deux erreurs sont
indpendants et suivent une loi de Pareto ; le modle de Markov [1],
etc. Dans le cas de canaux sans mmoire, le canal BSC dnit par sa
matrice de transition TR (cf. paragraphe ??) est reprsent par son
diagramme de transition sur la gure 1.5. Chaque bit reu a une
probabilit p dtre faux et 1 p dtre correct, indpendamment des
autres bits transmis. Par consquent, les erreurs dans les canaux
sans mmoire sont alatoires. Ce type de canal est appel canal avec
erreurs alatoires . Dans le cas dun canal avec mmoire, la sortie y
du canal linstant t dpend des perturbations
10
CHAPITRE 1. NOTIONS DE LA THORIE DE LINFORMATION
F IG . 1.5 Diagramme de transition du canal BSC.
Communications spatiales (sonde dexploration, satellite de
communication).
linstant t et de celles antrieures t. Un modle simpli dun canal
avec mmoire est reprsent sur la gure 1.6.
F IG . 1.6 Diagramme de transition dun canal avec mmoire.
Dans lexemple le canal a deux tats possibles, S1 reprsentant une
transmission sans erreurs et S2 une transmission avec erreurs. La
probabilit de transition de S1 vers S2 est q1 et de S2 vers S1 est
q2 avec q1 ARQ complexit < FEC dbit variable dialogue
bidirectionnelle
TAB . 2.1 Stratgies de codage canal.
2.52.5.1
Techniques de codage canal FECCodes blocs
Le codage en bloc consiste fractionner la trame dinformation en
plusieurs blocs de taille xe k, ensuite, de transformer chacun des
messages Di en un mot de code Ci de taille n en appliquant une loi
linaire (g. 2.4). La redondance associe chaque bloc est de taille k
, o k + k = n. Le rendement dun code bloc est donn par la formule
(2.1). R= k n (2.1)
o, k et n reprsentent respectivement les nombres de bits en
entre et en sortie du codeur. Ils sont dnis par les paramtres (q,
k, n, t) o r = k/n est le rendement du code et t le nombre derreurs
corriges par symbole q-aire.
F IG . 2.4 Codage en bloc.
Distance de Hamming : La distance de Hamming reprsente le nombre
de positions identiques dans deux mots de code contenant des bits
de valeurs diffrentes. On calcule cette distance en effectuant
laddition modulo 2 entre les deux mots de code, puis en comptant le
nombre de 1 dans le rsultat. La distance de
2.5. TECHNIQUES DE CODAGE CANAL FEC
19
Hamming entre le mot de code lui-mme et le mot de code 0 est
appele poids de Hamming . En dautres termes, le poids de Hamming
est le nombre de 1 dans un mot de code. Distance minimale : La
distance minimale dun code est la distance de Hamming la plus
petite entre deux mots de code ci et cj appartenant au mme
ensemble. dmin = min(ci , cj )i=j
(2.2)
Pour dtecter te erreurs, il est ncessaire dutiliser un code dont
la distance minimale dmin est au moins gale te + 1. dtection de te
erreurs dmin te + 1 (2.3) Pour corriger te erreurs il faut utiliser
un code dont la distance dmin est au moins gale 2te + 1. correction
de te erreurs dmin 2te + 1 (2.4)
2.5.2 Codes cycliquesUn code est dit cyclique, si pour chaque
dcalage cyclique dun mot de code C1 = ( c0 , c1 , ,cn1 ) on obtient
un autre mot de code C2 = ( cn1 , c0 , , cn2 ) valide. Si C1 (x) =
c0 + c1 x + + cn1 xn1 est le polynme associ au mot de code C1 et C2
(x) = cn1 + c0 x + + cn2 xn1 celui associ C2 alors si xn =1 (xn -1=
xn +1= 0) 1 , C2 (x) = x C1 (x). Par consquent la permutation
cyclique dune position sexprime par lquation (2.5) et la
gnralisation i positions par lquation (2.6). C2 (x) = x C1 (x) mod
[xn+1 ] Ci+1 (x) = xi C1 (x) mod [xn+1 ] Comme tous les codes, un
code cyclique est totalement dni par sa matrice gnratrice 2 G : G=
g0 0 0 0 g1 g0 0 0 gm g0 0 0 0 0 gm 0 gm1 gm (2.5) (2.6)
1. Dans le corps de galois CG(2) laddition et la soustraction se
confondent. 2. Par convention les polynmes et matrice gnratrice lis
une boucle rcursive seront identis par la notation G , alors que
dans le cas dune branche directe ils seront nots par H .
20
CHAPITRE 2. STRATGIES DE CODAGE CANAL
o m reprsente la taille de la mmoire du codeur (le nombre de
bascules D). La reprsentation matricielle savre fastidieuse lorsque
le nombre de coefcients de G augmente. Une autre manire de spcier
un code cyclique est la reprsentation polynomiale. En effet, un
code cyclique peut tre dni par son polynme gnrateur G(x) = g0 + g1
x1 + g2 x2 + + gm xm , le mot de code par son polynme correspondant
C(x) et le message par son polynme D(x). Les codes cycliques sont
implants laide de registres dcalage linaire. les codes de Hamming
(1946) sont utiliss dans la norme bluetooth [9] qui utilise un code
(n=15,k=10) de polynme gnrateur G(x) = (1 + x)(1 + x + x4 ) ; Le
code de Golay binaire a t utilis par la NASA dans la sonde spatiale
Voyager I ; Les codes Reed-Muller (1954) ont t utiliss dans les
annes 70 par la sonde spatiale Mariner qui avait pour mission
daller sur Mars [6] ; Les codes CRC (Cyclic Redundancy Check)
(1957) sont gnralement utiliss pour la dtection derreurs
(protocoles X25, Ethernet, FDDI (Fiber Distributed Data Interface),
ATM-AAL5 3 ) [12], la correction seffectuant par retransmission ;
les codes BCH (1959-1960) sont la gnralisation des codes de Hamming
pour la correction derreurs multiples ; les codes RS sont largement
utiliss dans les lecteurs CD, DVD et prconiss par le standard CDPD
(Cellular Digital Packet Data) ainsi que par la norme DVB-C
(Digital Video Broadcasting-cable) concernant les systmes de
diffusion par cble qui utilisent un code RS (k = 188, n = 204, t =
8) [13].
2.5.3
Codes convolutifs
Lapproche du codage convolutif consiste calculer la redondance
partir du bloc dinformation courant de taille k et des m blocs
prcdents. Les n bits en sortie sont calculs par une combinaison
linaire entre les k bits en entre et les m blocs prcdents (g 2.5).
Les codeurs convolutifs sont des systmes k entres et n sorties
spcis par n k polynmes gnrateurs. Le codeur contient k registres
dcalage qui correspondent chacun une entre. Si mi est la taille du
registre dcalage associ lentre i, la taille totale m de la mmoire
du codeur est :k1
m=i=0
mi
(2.7)
2.5. TECHNIQUES DE CODAGE CANAL FEC
21
F IG . 2.5 Codage convolutif. Le nombre maximum de bits associs
une sortie pouvant tre affects par un bit quelconque lentre est
appel longueur de contrainte Kc du codeur. Kc = 1 + max mii
(2.8)
Chaque bit du mot de code est calcul suivant lquation
(2.9).me
ci(e,s) (e)
(e,s)
=j=0
dij hsj
(e)
(e)
(2.9)
o ci et hsj sont respectivement le mot de code et les coefcients
du polynme gnrateur associs (e) lentre e et la sortie s. dij est le
bit de donne lentre e. Le mot de code C est form par multiplexage
des sorties C (s) .
2.5.4
Reprsentation des codes convolutifs
Un codeur convolutif 4 peut tre vu comme un ltre rponse
impulsionnelle nie (FIR : Finite Impulse Response) possdant k
entres et n sorties. Son tat est dtermin par le contenu de ses
registres dcalage. En pratique, un codeur convolutif peut tre
considr comme une machine dtat et tre reprsent par un diagramme
dtat, une structure en arbre ou une reprsentation en treillis.
Diagramme dtat Le diagramme dtat (g.2.6) est une reprsentation du
fonctionnement du codeur ne faisant pas apparatre explicitement le
temps. Il reprsente les transitions possibles entre les tats. Les
valeurs des sorties du codeur sont indiques sur chacune des
transitions. Tous les tats internes possibles du4. Le terme codeur
convolutif indique par dfaut le cas non rcursif sinon il sera
mentionn explicitement que le codeur est rcursif, auquel cas il est
considr comme un ltre rponse impulsionnelle innie IIR (Innite
Impulse Response).
22
CHAPITRE 2. STRATGIES DE CODAGE CANAL
codeur sont reprsents par des nuds Sj . Pour un codeur de
rendement 1/n possdant une mmoire de taille m, il existe 2m tats
internes possibles. Chaque nud est connect un autre via une branche
et le passage se fait par une transition y/x0 x1 , o y correspond
au bit dentre et x0 x1 reprsente la squence correspondante en
sortie.
F IG . 2.6 Exemple dun diagramme dtat (R=1/2, m=2).
Structure en arbre Un arbre (g. 2.7) est une structure partant
dun point appel racine, il se compose darcs et de nuds. Les arcs
sont des traits verticaux dont le sens est dtermin par le bit
dinformation. Par convention, le 0 est reprsent par un arc montant
et le 1 par un arc descendant. Les nuds sont des traits horizontaux
indexs par les n sorties correspondant au bit dentre. Le chemin en
gras sur la gure 2.7 correspond au mot de code 11100001 gnr par la
squence dentre 1011.
F IG . 2.7 Exemple dune structure en arbre (R=1/2, m=2).
2.5. TECHNIQUES DE CODAGE CANAL FEC Reprsentation en
treillis.
23
Contrairement au deux prcdentes, la reprsentation en treillis
met en vidence le paramtre temporel. Chaque nud S(j,i) correspond
un tat particulier Sj du codeur un instant i, o i reprsente lindice
du temps. Chaque branche est indexe par les bits qui se prsentent
en entre et en sortie du codeur e/s. Chaque mot de code est associ
un chemin unique du treillis quon appelle squence dtat , dnote par
s = (s0 , ,sL ). Un chemin complet commence ltat s0 = S(0,0) et se
termine ltat sL = S(0,L) .
F IG . 2.8 Exemple dune reprsentation en treillis (R=1/2,
m=2).
Terminaison du treillis : Un mot de code convolutif na pas de
longueur xe. Cependant pour des raisons pratiques dans la plupart
des applications il est ncessaire dimposer une longueur maximale xe
pour le mot de code. A cet effet, on ajoute la squence dinformation
m bits appels bits de queue et dont les valeurs sont nulles, ce qui
pour effet de forcer le treillis revenir ltat S(0,L) . Dans ce cas,
les codes convolutifs avec terminaison du treillis sont vus comme
des codes blocs avec un rendement R : k (L m) k R = < (2.10) nL
n La rduction du taux de codage est dnie par le paramtre : = RR n =
R k m = L k k (L m) n nL (2.11)
R est le rendement du code sans terminaison du treillis.
Lquation (2.11) permet de voir que linuence de la procdure de
terminaison du treillis devient ngligeable lorsque L m.
24
CHAPITRE 2. STRATGIES DE CODAGE CANAL
2.5.5
Dcodage des codes convolutifs
La contrainte principale du dcodage convolutif rside dans le
fait que le mot de code est trs long, ce qui a tendance compliquer
le circuit dcodeur. Les algorithmes de dcodage les plus rpandus
sont : Dcodage squentiel : il a t propos par Wonzencraft et Reiffen
en 1961 puis amlior en 1963 par Fano et en 1968 indpendamment par
Jelinek et Zigangorov [6, 14]. Le nombre ditrations ncessaires pour
le dcodage dun bloc est considr comme une variable alatoire : bien
que la plupart des trames soient dcodes rapidement, il se peut que
le dcodage soit dfectueux ou la cause deffacements, ce qui lui vaut
lappellation de mthode probabilistique de dcodage. Quant la
complexit du dcodage, elle est indpendante de la longueur de
contrainte du code. Ce type de dcodage est appropri au cas des
canaux sans mmoire [15]. Algorithme de Viterbi : propos en 1967 par
A. J. Viterbi [16], il est bas sur le principe du maximum de
vraisemblance. Cet algorithme est une mthode optimale de dcodage
pour les codes convolutifs, ses performances dpendant de la qualit
du canal de transmission utilis. Par contre la complexit des
systmes de dcodage augmentant exponentiellement avec la longueur de
contrainte du code utilis restreint leur emploi aux applications o
le code a une petite longueur de contrainte. Les codes convolutifs
ont t utiliss dans les applications commerciales des satellites de
communication [17], ainsi que dans les applications de satellites
militaires (DSCS : Defense Satellite Communication System) [18]. On
les retrouve aussi dans les sondes spatiales dexploration comme
Voyager [19]. Les codes convolutifs ont t recommands en tlmtrie par
le standard CCSDC (Consultative Committee for Space Data Systems)
[20] et prconiss par HIPERLAN/2 et IEEE 802.16 dans les
applications rseaux sans l LAN/WAN [21]. De plus tous les standards
de tlphonie mobile de deuxime gnration prconisent lutilisation de
codes convolutifs. La norme GSM (Global System for Mobile
Communications) incorpore un code de longueur de contrainte Kc = 6
et de rendement 1/2. La norme USDC 5 utilise un code avec Kc = 6 et
un rendement 1/2. La norme IS-95 emploie un code avec Kc = 9 et un
rendement de 1/2 en canal montant et 1/3 en canal descendant,
Globalstar 6 utilise un code de rendement 1/2 avec Kc = 9, et pour
Iridium 7 le rendement est de 3/4 et la longueur de contrainte Kc =
7 [23, 24].
Dcodage par seuil (logique majoritaire) : le dcodage par logique
majoritaire appliqu aux codes convolutifs a t propos par Massey en
1963 [6]. Il diffre des dcodages de Viterbi et squentiel par le
fait que la dcision nale prise pour un bloc donn est seulement bas
sur la longueur de contrainte du bloc en cours de dcodage plutt que
sur lutilisation de toute la squence reue, ce qui conduit des
performances de dcodage infrieures aux deux autres mthodes. Ses
points forts rsident dans la simplicit de son implantation et sa
rapidit de dcodage.
2.5. TECHNIQUES DE CODAGE CANAL FEC
25
Le dcodage de syndrome est appropri pour des transmissions sur
des canaux a mmoire o les erreurs apparaissent par paquet. Il est
plutt utilis dans des applications qui ne demandent pas de grands
gains de dcodage. On le retrouve dans des applications telles que
la tlphonie ou la radio HF [25]. Il est aussi utilis dans les
systmes de tlcommunication haut dbit [6].
2.5.6
Modulation code en treillis
Dans un systme de codage classique de rendement R < 1, le
dbit aprs codage est rduit dun facteur R par rapport au mme systme
non cod. Donc si lon veut maintenir le dbit aprs codage il est
ncessaire daugmenter la bande passante du systme (cf. remarque
paragraphe ??). La modulation code en treillis (TCM : Trellis Coded
Modulation) introduite par Ungerboeck [26, 27] permet de remdier
cette contrainte lie au codage. Le principe consiste fusionner les
tapes du codage canal et de la modulation en un seul bloc de faon
maintenir la totalit de la bande aprs codage. Lapproche originelle
associe un code convolutionnel et une modulation
multidimensionnelle (N-QAM, QPSK, etc.). Lutilisation de la TCM
dans les modems a permis dobtenir des dbits au-del de 9600 bits/s(
Normes V.32, V.34, V.90, etc.). La TCM est aussi utilise dans les
applications spatiales telle que les communications satellite. Plus
rcemment, avec lapparition des turbo-codes on retrouve des systmes
T-TCM qui substituent au code convolutionnel un turbo-code [28,
29].
2.5.7
Codes entrelacs
Lentrelacement ou opration de gnration de permutations consiste
changer selon lapplication lordre des symboles du mot dinformation
ou du code, de manire dterministe an de pouvoir les remettre dans
lordre lors du dcodage. La rorganisation des bits permet dtaler les
erreurs qui surviennent par paquets lors dune transmission (cf.
paragraphe 1.4.1). Lutilisation par exemple dun entrelacement avec
un code convolutif diminue sa susceptibilit aux paquets derreurs.
Les gnrateurs de permutations sont aussi utiliss dans le cas des
turbo-codes an de minimiser les squences susceptible de gnrer des
mots de codes poids faible. Lentrelacement priodique engendre des
permutations selon une fonction priodique du temps. On peut le
raliser, soit par de la mmoire vive (entrelacement par blocs),
technique utilise dans tous les standards de tlphonie de deuxime
gnration, ou par des registre dcalage (entrelacement
convolutionnel). Lentrelacement pseudo-alatoire consiste crire la
squence aux adresses successives dune mmoire vive, puis deffectuer
la lecture suivant un ordre donn par un gnrateur pseudo-alatoire.
Lopration inverse consiste crire dans la mmoire suivant le mme
ordre pseudo-alatoire, et ensuite de lire la squence suivant lordre
croissant des adresses de la mmoire.
26
CHAPITRE 2. STRATGIES DE CODAGE CANAL
2.5.8
Codes concatns
La concatnation de codes permet daugmenter la puissance des
systmes de codage au prix dune augmentation de la complexit
globale. La concatnation peut se faire de trois faons : parallle,
srie ou hybride (parallle et srie) et sur deux ou plusieurs niveaux
[30]. Dans le cas dune structure srie deux codes, linformation est
code deux fois. Une premire fois par le premier code appel code
externe, puis une seconde fois par le deuxime, dit code interne
[1]. Les deux codes utiliss sont en gnral complmentaires : les
codes convolutifs par exemple sont susceptibles aux erreurs qui
apparaissent par paquets alors que les codes RS sont adquats pour
ce type derreurs. Dans ce cas, le dcodeur convolutif soccupera des
erreurs alatoires pour de faibles rapports signal sur bruit tandis
que le dcodeur RS soccupera des erreurs par paquets pour de
rapports signal sur bruit levs. Ce type de concatnation srie a t
propose par David Forney en 1966 [31] puis standardis en 1987 pour
les communications spatiales. Ils ont t utilis par les agences
spatiales NASA (National Aeronautics and Space Agency) et ESA
(European Space Agency) dans le contexte spatiale tels que les
applications DSN (Deep Space Network). On les retrouves aussi dans
les systmes de diffusion par satellite (norme DVB-S) [32] et de
diffusion hertzienne terrestre (norme DVB-T) [33] qui employe un
code RS externe (k = 188, n = 204, t = 8) et un code convolutif
interne de rendement R = 1/2, 2/3, 3/4, 7/8 spars par un
entrelacement. Les codes produits, invents par P. Elias en 1954
[34], sont construits par la concatnation de deux ou plusieurs
codes en blocs linaires faible pouvoir de correction. En gnral, les
codes utiliss sont les codes BCH et Hamming.
2.5.9
Turbo-codes
Les turbo-codes [35] peuvent tre considrs comme une classe des
codes concatns. Dans [5], on regroupe dans cette classe tous les
codes capables dtre dcods par un dcodeur de type SISO (SoftInput
Soft-Output), la concatnation srie propose par Forney tant exclue
de cette classe car le code RS ne peut pas tre dcod par SISO. Un
turbo-code est la concatnation dun ou de plusieurs codes
(convolutifs ou blocs) spars par des blocs dentrelacements. Les
turbo-codes plusieurs niveaux prsentent un faible rendement par
rapport aux turbo-codes deux niveaux, ce qui explique leur raret
dans les applications. Quant aux turbo-codes hybrides, ils ne
prsentent pas un grand intrt car les niveaux de performances
atteints pas les turbo-codes parallles et srie sont trs sufsants
pour les applications actuelles [5]. La premire structure pour un
turbo-code a t propose en 1993 par Berrou, Glavieux et
Thitimajshima [35]. Le turbo-code prsent tait la concatnation
parallle de deux codes convolutifs rcursifs et systmatiques (RSC)
identiques, de rendement 1/2, relis par un bloc dentrelacement.
2.5. TECHNIQUES DE CODAGE CANAL FEC
27
Les codes de type RSC constituent une sous classe des codes
convolutifs qui possdent une rponse impulsionnelle innie du fait de
leur rcursivit et dont une des sorties est ddie au message lui-mme
(sortie systmatique) (cf. paragraphe ??).
Les turbo-codes ont permis datteindre des taux derreurs de 105
pour un niveau de signal sur bruit gal 0.7 dB [35, 36]. Au vu de
ces rsultats, ce sont les codes qui offrent les meilleures
performances de dcodage en se rapprochant le plus de la limite xe
par le thorme fondamental de Shannon. Les turbo-codes, au sens
strict, sont la concatnation parallle de codes RSC. Ils englobent
cependant aussi la concatnation de codes en blocs [40]. Dans [5],
les codes en blocs concatns avec un entrelacement alatoire sont
appels turbo-codes en bloc et ceux avec entrelacement
lignes-colonnes, codes produits. Dans [40], les codes produits sont
dsigns sous le vocable de code en bloc, la justication tant que le
principe du dcodage itratif des codes produits est semblable celui
des turbocodes convolutifs. En 1999 par exemple, le programme
IMT-2000 concernant les spcications de tlphone mobiles de 3eme
gnration [37] tablies par lUIT (Union Internationale des
Tlcommunications) les a retenus pour ses normes WCDMA (UMTS) 8
[38], compatible avec les rseaux GSM, et CDMA2000 9 , compatible
avec les rseaux IS-95. En 2000, les turbo-codes ont t choisis par
le standard DVB (Digital Video Broadcasting) [39] dans les systmes
de diffusion de vido numrique, concernant le codage des canaux de
retour par voie terrestre (DVB-RCT) et satellitaire (DVB-RCS). En
2001, les turbo-codes ont t retenus par les normes Europennes ETSI
Hiperacces et Amricaine IEEE 802.16.1 comme codage optionnel pour
augmenter le dbit dans les systmes de boucle locale radio haut
dbit. Ils ont aussi t recommands par le standard CCSDS
(Consultative Committee on Space Data System) [41] pour le codage
de canaux en tlmetrie [20]. Cette nouvelle recommandation apporte
une amlioration de 1,5 2 dB par rapport aux performances du code
utilis prcdemment construit par la concatnation dun code RS et
convolutif [42]. Les turbo-codes sont aussi en vue pour tre utiliss
dans les rseaux de satellites de communication tel que Inmarsat 10
, dans le cadre de lamlioration de la qualit du service dans les
offres multimedia [43, 44, 45] ou Intelsat 11 pour des
transmissions 2 Mbits/s [46]. Les agences spatiales NASA et ESA ont
utilis les turbo-codes respectivement dans le satellite
dexploration SOHO et pour la mission SMART-1 en 2001. De plus la
NASA envisage de les utiliser dans les sondes spatiales destines
aux prochaines missions en espace profond (DSN) [47]. Les
turbo-codes sont aussi tudis dans le cadre des technologies xDSL,
notamment en ADSL (Asymmetric Digital Subscriber Line) exploitant
la modulation DMT (Digital MultiTone). Les turbo-codes sont aussi
tudis dans le cadre de canaux denregistrement magntique [48, 49,
50]. Enn les turbo-codes ont fait lobjet de nombreux dpts de brevet
par France Tlcom dont certain conjointement avec TDF (Tldiffusion
De France).
28
CHAPITRE 2. STRATGIES DE CODAGE CANAL
BIBLIOGRAPHIE
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