1CPV espm10jul

ESPM – julho/2010 – Prova E

CPV – 82% de aprovação na ESPM

MatEMática

21. Ovalordaexpressão x y

x y y x

− −

− −+

−

1 1

1 1. .parax=2,3e

y=2,05é:

a) 1 b) 2 c) −2 d) −3 e) 4

Resolução:

Sendox=2,3ey=2,05,temos:

x y

xy yx

x yxy

yx

y xxy

x yxy

− −

− −+

−=

+

−=

+

−=

1 1

1 1 2 2

1 1

=+

+ −=−=

x yx y x y x y( ) ( )

1

=−

= = =1

2 3 2 0510 25

10025, , ,

4

Alternativa E

22. DuaslojasAeBvendemummesmoprodutopelomesmopreçounitário.Aprimeiraofereceumapromoção“pague2eleve3”enquantoapromoçãodasegundaé“pague3eleve4”.Umaconsumidora,aproveitandoapromoçãodalojaB,comprou12unidadesdesseprodutoepagouR$36,00.SetivessecompradoessamesmaquantidadedeprodutonalojaA,teriapago:

a) R$35,00 b) R$28,00 c) R$30,00 d) R$34,00 e) R$32,00

Resolução:

NalojaB,aconsumidoracomprou12unidadesepagoupor9unidades.

Preçoporunidade:R$ 36 009, =R$4,00

NalojaA,comprando12unidades,pagariapor8unidades.

Preçototal:8.R$4,00=R$ 32,00.

Alternativa E

espm – 04/07/2010 cpv – especializado na espm

CPV espm10jul

2

23. Opreçodeumageladeiraeraiguala60%dopreçodeumaTV.Noúltimomês,essesprodutostiveramaumentosde30%e20%,respectivamente.ArazãoentreosnovospreçosdageladeiraedaTVpassouaserde:

a) 62% b) 63% c) 64% d) 65% e) 66%

Resolução:

Sejam: g:preçoinicialdageladeira t:preçoinicialdaTV

g=0,6t Þgt =0,6

Aumentandoospreços,teremosanovarazão:

1 31 2

1312

1312

,,gt

gt

= =. .0,6=0,65=65%

Alternativa D

24. TrêsnúmerospositivosformamumaPAderazão16.Amédiageométricaentreosdoismenoresé6.Amédiaaritméticaentreosdoismaioreséiguala:

a) 26 b) 24 c) 22 d) 20 e) 18

Resolução:

SejaaP.A(x–16;x;x+16). Comoamédiageométricados2menorestermosé6,temos:

( )x x- 16 . =6 Þ x2–16x–36=0Þ

x=18oux=–2(nãoconvém).

Logo,amédiaaritméticaentreosdoismaiorestermosdesta

P.Aé ( ) ( )x x+ + 162

=x+8=26.

Alternativa A

cpv – especializado na espm espm – 04/07/2010

CPV espm10jul

3

25. O Sr. Antônio planeja fazer uma viagem de 900 km,partindodacidadeAefazendoumaúnicaparadaparadescansoeabastecimentonacidadeB,situadaexatamentenomeiodo caminho.Ele sabequeo consumodo seuautomóvelflexéde15km/seusargasolinae10km/seusarálcool.Ospreçosdessescombustíveisnasduascidadessãodadosnatabelaabaixo.

Sabendo-sequeacapacidadedotanquedecombustíveldoautomóveléde50litros,queestáinicialmentevazioequeelepretendeabastecersomentenessasduascidades,omenorgastocomcombustívelqueelepoderá ter,nahipótesedeusarapenasálcoolouapenasgasolinaparaaviagemtoda,seráde:

a) R$150,00 b) R$135,00 c) R$142,00 d) R$123,00 e) R$154,00

Resolução:

Seocarroforabastecidocomálcool,émaisvantajosocompraromáximode combustívelpossível na cidadeB.EmAserácomprado apenaso suficiente para ametadedaviagem,ouseja,450km.

45010

kmkm /

=45 ,assim

EmAeBserãocomprados45deálcool. Totalemreais:45.1,60+45.1,40=135

Seocarroforabastecidocomgasolina,émaisvantajosocomprar

omáximo de combustível na cidadeA. Seriamnecessários90015

kmkm /

=60degasolina,assim,50emAe10emB.

Totalemreais:50. 2,30+10.2,70=142

Portanto,omenorgastoseriaR$ 135,00.

Alternativa B

26. Umescritóriopossuiduassalasquadradascujosladosmedemnúmerosinteirosdemetros.Seadiferençaentresuasáreaséde11m2,asomadessasáreaséiguala:

a) 57m2

b) 59m2

c) 61m2

d) 63m2

e) 65m2

Resolução:

Tomemos2quadradoscujosladosmedemxey,respectivamente.Temos:

x2–y2=11 Þ(x+y)(x–y)=11

Comoxeysãointeiros,temos:

x yx y+ =− =

111 Þx=6ey=5

Então,asomadasáreasdosquadradosé

x2+y2=36+25=61 m2

Alternativa C

Álcool GasolinaA R$1,60 R$2,30B R$1,40 R$2,70

espm – 04/07/2010 cpv – especializado na espm

CPV espm10jul

4

27. Umacampanhadeajudacomunitáriaarrecadou,no1odia,aimportânciade120milreais;no2odia,160milreais;no3odia,200milreaiseassimpordiante,sempreaumentando 40 mil reais a cada dia. O montante daarrecadaçãoatingiu10milhõesdereaisno:

a) 15odia b) 12odia c) 18odia d) 20odia e) 22odia

Resolução:

Considerequeomontantedaarrecadaçãoatingiu10milhõesdereaisnon-ésimodia.

Destaforma,comoasimportânciasarrecadadasemcadadiaformamumP.A.derazão40milreais,devemoster:

( ) .a a nn1

2+

=10000000 Þ

Þ 120000 120000 1 400002

+ + −[ ]( )n n. . = 10000000

Þ n2+5n–500=0Þn = 20oun=–25(nãoconvém)

Alternativa D

28. UmaimportânciadeR$10000,00foiaplicadaajuroscompostosde4%aomêsdurante10meses.Sabendo-sequelog1,04=0,017elog1,48=0,17,podemosconcluirqueosjurosobtidosnessaaplicaçãoforamde:

a) R$3200,00 b) R$3600,00 c) R$3800,00 d) R$4200,00 e) R$4800,00

Resolução:

log1,04=0,017Þ100,017=1,04

log1,48=0,17Þ100,17=1,48

Aplicandoafórmuladejuroscompostos,

M=C+JÞJ=M–CÞJ=C(1+i)n–CÞ

J=C[(1+i)n–1] =10.000[(1+0,04)10–1]=

=10.000[(1,0410–1]=

=10.000[(100,017)10–1]=

=10.000(100,17–1]=

=10.000(1,48–1)=4800

Alternativa E

cpv – especializado na espm espm – 04/07/2010

CPV espm10jul

5

29. Numplano cartesiano, toma-se uma série de infinitostriângulosretângulosisósceles,oprimeirocomcatetosmedindo4,osegundocomcatetosmedindo2eassimpordiante,representadosnacorescuranafiguraabaixo.Asomadasáreasdetodosessestriânguloséiguala:

a)323

b) 212

c) 434

d) 10

e) 545

Resolução:

Oprimeirotriângulotemárea 4 42. =8;

Osegundotriângulotemárea 2 22. =2;

Oterceirotriângulotemárea1 12

12

.= ,eassimsucessivamente.

Portanto,asáreasdessestriângulosformamumaP.G.infinita

derazão 14esuasomaédadapor

aq1

18

1 14

−=−

=323

Alternativa A

30. OtriângulodevérticesA(0,4),B(2,0)eC(x,0)éisóscelesdebaseAB.Suaáreamede:

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

Resolução:

SeotriânguloéisóscelesdebaseAB,temos:CA=CB

( ) ( ) ( ) ( )x x− + − = − + − ⇒0 0 4 2 0 02 2 2 2

Þx2+16=x2–4x+4Þ4x=–12Þx=–3

Aáreadotriânguloé:

A=

0 4 12 0 13 0 12

202

−=−

=| | 10

Alternativa B

espm – 04/07/2010 cpv – especializado na espm

CPV espm10jul

6

31. O coeficiente de Gini é utilizado para calcular adesigualdadedadistribuiçãoderendanumapopulação.Elevariade0(distribuiçãodarendaperfeitamenteigual)até1(concentraçãototaldarendaemumasópessoa).Numgráficocartesiano,ondeoeixodasabscissasrepresentaarendaeoeixodasordenadasonúmerodepessoas(verfigura abaixo), a diagonal OP representa a igualdadeperfeitaderendaeacurvaabaixodela,adistribuiçãoemquestão.

O índice deGini é calculado pela razão AA B+

, em

pontospercentuais,ondeAeBsãoasáreasdasregiõesindicadasnográfico.AtualmenteoBrasilapresentaumíndicede54,4%(altaconcentraçãoderenda).

ParaumpaísondeográficoseconstituinumquadradoenumarcodecírculodecentroemQeraioQP,oíndicedeGiniseráaproximadamenteiguala:

a) 81% b) 72% c) 49% d) 57% e) 63%

Resolução:

Temos:

A=π r r r r2 2

4 2 4− =

.(p–2)

A+B=r2

2

Então,oíndicedeGiniserá:

A

A B

r

r+=

−=−

2

24

2

2

22

( )π π @0,57=57%

Alternativa D

32. AproduçãodeenergiaelétricanoBrasildependequasetotalmentedasusinashidrelétricas.A tabela1mostraaquantidademédiadelitrosdeáguaquedevempassarpelasturbinasdashidrelétricasparaofuncionamentodealgunsaparelhosdomésticos.Atabela2mostraotempomédio diário de uso desses aparelhos nas residênciasbrasileiras.

Deacordocomosdadosapresentados,podemosconcluirqueaquantidadedeáguautilizadanaproduçãodeenergiaelétricaparaofuncionamentodaquelesaparelhosdurante1dia,apenasnumaresidência,éaproximadamenteiguala:

a) 18400litros b) 13600litros c) 23500litros d) 9800litros e) 10200litros

Resolução:

Bastamultiplicarmososvaloresrespectivosdasduastabelasesomarmososresultadosobtidos:

38.5+55.20+18.240+267.30=13 620 litros

Alternativa B

r

AB

r

r

r

cpv – especializado na espm espm – 04/07/2010

CPV espm10jul

7

33. Numcertojogo,acadajogada,sevocêganhar,abancalhepagaR$100,00e,seperder,vocêpagametadedoquetemparaabanca.ConsiderandoquevocêentranojogocomR$200,00,aprobabilidadede,aofimde3jogadas,vocêsairganhandoé:

a) 12 b)

34 c)

58 d) 3

8 e) 1

4 Resolução:

De acordo com as regras do jogo, podemosmontar o seguintediagramadeárvore:

Das8maneirasdeseterminarojogoapós3rodadas,apenasnassituações1,3e5ojogadorsaiganhando.

Logo,aprobabilidadepedidaé 38

Alternativa D

34. Asdistânciasentre4cidadesdeummapasãodadas,emcentímetros,pelastabelasabaixo.

Sabendo-se que a escala domapa é 1: 2 000 000,podemosafirmarqueadistânciarealentreascidadesBeCéde:

a) 120km b) 116km c) 100km d) 132km e) 108km

Resolução:

Verificandoasdistânciasapresentadasnatabela,temos AD=AB+BDeAD=AC+CD. ConcluímosqueA,B,CeDestãoalinhados.

EntãoBC=11,4–3,2–2,8=5,4cmnomapa.

Utilizandoaescala1:2000000,temos:

BCreal=5,4.2000000=10800000cm=108km

Alternativa E

ganha

ganha

ganha

ganha

ganha

ganha

ganha

perde

perde

perde

perde

perde

perde

perde

500

200

200

250

75

300

400

300

100100

200

150

150

25

50

1

2

3

4

5

6

7

8

A B2,8 3,2

8,2

11,4

8,6

C D

espm – 04/07/2010 cpv – especializado na espm

CPV espm10jul

8

35. Afigurarepresentaumalataderefrigeranteeumcopo,amboscilíndricos.Arazãoentreosraiosinternosdalataedocopoé2:1.Estandoalatacompletamentecheia,seuconteúdoétransferidoparaocopoatéqueassuperfíciesdoslíquidosfiquemnamesmaalturade12cm.Podemosconcluirqueaalturaxdalataé:

a) 15cm b) 18cm c) 20cm d) 22cm e) 24cm

Resolução:

Ovolumevazionalataéequivalenteaovolumeocupadonocopo.

Daí:

p(2r)2.(x–12)=pr2.12 x–12=3

x=15 cm

Alternativa A

36. Paraaconfecçãode30000brindespromocionais,numprazode12dias,umaempresacontratou5funcionáriostrabalhando6horaspordia.Aofinaldo8odia,umdosfuncionáriospediudemissão.Paraquesepossacumprirocontratonoprazoestipulado,osfuncionáriosrestantesdeverãotrabalhar:

a) 8h/dia b) 10h/dia c) 7,5h/dia d) 9h/dia e) 8,5h/dia

Resolução:

Como8dias= 23 .12dias,aofinaldo8odiaforamfeitos

23 dosbrindes,ouseja,20.000brindes

(direta) (inversa) (inversa) brindes dias funcionário horas / dia 30.000 12 5 6 10.000 4 4 x

Fazendoatabeladaregradetrêscomposta,obtemos:

6 30 000

10 000412

45x

x= ⇒ =..

. . 152 =7,5

Alternativa C

2r

lata copo

12

(x–12)

r

cpv – especializado na espm espm – 04/07/2010

CPV espm10jul

9

37. UmaferroviaseráconstruídaligandoascidadesAeBcujascoordenadasgeográficassãorespectivamente

(21°40’; 53°23’) e (24°04’; 56°35’). Sabendo-se que,nessa região, cada grau geográfico corresponde aaproximadamente112,5km,ocomprimentomínimoqueessaferroviapoderáteré:

a) 380km b) 420km c) 450km d) 480km e) 520km

Resolução:

Adiferençaentreascoordenadaslatitudinaisé 56º35’–53º23’=3º12’queequivalea360km.

Da mesma maneira, a diferença entre as coordenadaslongitudinaisé24º04’–21º40’=2º24’queequivalea270km.

Então,seaplicarmosoTeoremadePitágorasnotriânguloacima,temos:

AB= ( ) ( )360 2702 2+ =450 kmAlternativa C

38. Umpostedeenergiaelétricacom12mdecomprimentosofreu uma inclinação de 12° em relação à vertical,ficandoameaçadodecair.Paracorrigirsuainclinação,foiamarradoumcabodeaçoa1mdoseutopo,queserátracionadoporumguinchosituadoa11mdesuabase,comomostraafigura.

Ocomprimentoinicialdessecaboédeaproximadamente:

a) 17m b) 19m c) 21m d) 23m e) 26m

Resolução:

Afiguraacimaconsolida:

cos39º=

x211

0,777=x22

x = 17,094 mAlternativa A

B (24º04’; 56º35’)

(24º04’; 53º23’)

3º12’

� �������������� ��������������2º24’A (21º40’; 53º23’)

39º

11 m

12º

39º

x/2

espm – 04/07/2010 cpv – especializado na espm

CPV espm10jul

10

39. Sendof(x)umafunçãotalque5.f(x)–x.f(x–1)=10paraqualquerxreal,ovalordef(1)é:

a) 75

b) 125

c) 3

d) -35

e) 0

Resolução:

Sendo5.f(x)–x.f(x–1)=10paraxÎR,temos:

5 0 0 1 105 1 1 0 10

0 25 1 2 10

. .

. . .f ff f

ff

( ) ( )( ) ( )

( )( )

− − =− =

⇒=− =

⇒

Þf(1)=125

Alternativa B

40. Paravelocidadesentre30km/he70km/h,estima-sequeaprobabilidadedeumatropelamentoresultaremóbitoéaproximadamentedescritapelafunçãoP=2,5.V–75,ondeVéavelocidadeemkm/hePéaprobabilidadeem%.Abaixode30km/hconsidera-seP=0%eacimade70km/hconsidera-seP=100%.

Tomando-sedoiscasosisoladosdeatropelamento,uma40km/heooutroa62km/h,aprobabilidadedequeosdoissobrevivaméiguala:

a) 10% b) 12% c) 15% d) 20% e) 25%

Resolução:

Temosqueaprobabilidadedeoprimeirosobreviveré:1–[2,5.40–75]=75%

eaprobabilidadedeosegundosobreviveré:1–[2,5.62–75]=20%.

Logo,aprobabilidadedeosdoissobrevivereméde:75%.20%=15%.

Alternativa C

coMEntário do cPv

Aprova deMatemática da ESPM (julho/2010)manteve atendênciade tornar-semais acessível aos seus candidatos.Percebemosumaescolhadeassuntosadequadaàsnecessidadesdeseuscursose,dentrodela,umadistribuiçãohomogênea.Acreditamosqueaprovaconseguiuselecionaroscandidatosmais bem preparados, atendendo aos objetivos da bancaexaminadora.