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Desigualdades
Elena de Oteyza de Oteyza
2
Índice general
1. Desigualdades 1
El orden en los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Desigualdades y las expresiones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Desigualdades y valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Desigualdades y recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ejercicios de repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
0
Capítulo 1
Desigualdades
1
2 Desigualdades
El orden en los números reales
Cuando discutimos sobre la belleza de dos artistas de cine, no siempre llegamos a un acuerdo,
“en gustos se rompen géneros”; en cambio, dados dos números reales, siempre podemos
decidir cuál de ellos es mayor, por ejemplo, 5 7. Esto ejemplifica la propiedad conocida
como tricotomía.
Cuando comparamos a tres equipos de fútbol, tampoco podemos decir siempre cuál es el
mejor. Por ejemplo, en un torneo de todos contra todos, los Pumas le ganaron a las Aguilas,
las Aguilas le ganaron a las Chivas y las Chivas le ganaron a los Pumas, así que no podemos
decidir cuál es mejor. En cambio, con los números no hay tal ambigüedad, por ejemplo, como
sabemos que 2 7 y 7 9, sin pensarlo más sabemos que 2 9. Es decir, el orden en los
números naturales es transitivo.
Si Cristina es mayor que su hermano Juan, entonces dentro de cinco años, Cristina seguirá
siendo mayor que Juan, es decir, si a la edad de ambos le sumamos 5, el orden no se altera.
Si un refresco es más barato que una bolsa de papas y, debido a la inflación, el año próximo
el precio de ambos se multiplica por 2, entonces el refresco seguirá siendo más barato que la
bolsa de papas.
Para poder comparar los números, debemos establecer sin ambigüedad un orden entre ellos.
Para ello, hacemos lo siguiente:
Definición
Dados dos números reales y , decimos que es menor que si al colocarlos en la recta,
queda a la izquierda de , y escribimos , que se lee “ es menor que ” o “ es mayor que ”
a b
.
.
Figura 1-1
Otra manera de escribir es , en cuyo caso leemos “ es mayor que ”.
Escribimos ≤ para indicar que , o bien = , y leemos “ es menor o igual que ”.
Ejemplos
7 canicas son más que 3 canicas.
−$10 es menor que −$5, (se tiene menos dinero cuando se debe 10 que cuando se debe 5).−4◦C es menor que 2◦C, ya que es más alta la temperatura a 2◦C que a −4◦C.
Podemos escribir las desigualdades anteriores así:
7 3
−10 −5−4 2.
Desigualdades 3
Propiedades de orden de los reales
El orden en los reales satisface las siguientes propiedades:
Tricotomía
Dados y números reales, se cumple exactamente una de las siguientes afirmaciones
, , = .
Decir que es positivo equivale a decir que 0; y que es negativo equivale a decir que
0.
Transitividad
Si y , entonces .
Es decir, si está a la izquierda de y está a la izquierda de , entonces está a la izquierda
de .
Relación con la suma
Si y es cualquier entero, entonces + + .
Multiplicación por un número positivo
Si y es cualquier entero positivo, entonces . (No se altera el sentido de la
desigualdad).
Multiplicación por un número negativo. Si y 0 entonces . (Se invierte el
sentido de la desigualdad).
Ejemplos
1. Verificar la transitividad cuando = −85, = 7 y = 15.Solución:
Debemos verificar que: si y , entonces . En efecto
−85 7 y 7 15 entonces − 8 15.
2. Multiplicar −3 5 por 4.Solución:
Al multiplicar una desigualdad por un número positivo, el sentido de la desigualdad no se
altera, así que
−3 5
−3 (4) 5 (4)
−12 20.
4 Desigualdades
3. Multiplicar −2 3 por −6.Solución:
Puesto que vamos a multiplicar por un número negativo, debemos recordar que al hacerlo
se debe intercambiar el signo por . Entonces
−2 3
(−2) (−6) 3 (−6)12 −18.
4. Mostrar que la desigualdad −17 −11 se puede obtener a partir de la desigualdad 11 17.Solución:
Puesto que 11 17, multiplicando por (−1) a ambos lados de la desigualdad tenemos:
11 17
11 (−1) 17 (−1)−11 −17,
o lo que es lo mismo, −17 −11.
5. Escribir19
5como la suma de un número entero y fracciones distintas que tengan el número
1 en el numerador.
Solución:
Como 19 5 entonces escribimos el número como un número entero más una fracción:
19
5= 3 +
4
5
Los números racionales que tienen un uno en el numerador son:
1
21
31
41
51
6 · · ·
Comparamos4
5con
1
2utilizando los productos cruzados
4 (2) = 8
5 (1) = 5
y como 8 5, entonces4
51
2
Desigualdades 5
Calculamos
4
5− 12=
4 (2)− 5 (1)10
=8− 510
=3
10
Así19
5= 3 +
1
2+3
10
Ahora comparamos3
10con
1
3
3 (3) = 9
10 (1) = 10
de manera que 9 10, entonces3
101
3
Como3
10es menor que
1
3, entonces comparamos
3
10con
1
4:
3 (4) = 12
10 (1) = 10
así 12 10 Calculamos
3
10− 14=
2 (3)− 5 (1)20
=6− 520
=1
20
Por tanto,19
5= 3 +
1
2+1
4+1
20
Intervalos
Para definir intervalos utilizamos la notación de conjuntos.
6 Desigualdades
Si , el conjunto
( ) = { ∈ R | }se llama intervalo abierto y lo representamos geométricamente como
a( )
b
.
.
Figura 1-2
Si y están incluidos en el conjunto, es decir,
[ ] = { ∈ R | ≤ ≤ }
se llama intervalo cerrado y lo representamos geométricamente como
a b
.
.][
Figura 1-3
Un intervalo es semiabierto si contiene sólo uno de los dos extremos, es decir,
[ ) = { ∈ R | ≤ }
y lo representamos como
.a[ )
b
.
Figura 1-4
o bien
( ] = { ∈ R | ≤ }y lo representamos como
a( ]
b .
.
Figura 1-5
Utilizamos el símbolo ∞ para representar “infinito”; ∞ no es un número real y no satisface
las reglas de la suma y el producto de los números reales.
Desigualdades 7
Si ∈ R, el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad lo denotamos
por
(∞) = { ∈ R | } ,lo representamos geométricamente como
.a(
.
Figura 1-6
y lo llamamos el rayo que parte de .
Si ∈ R, el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad lo denotamos
por
(−∞ ) = { ∈ R | }y lo representamos geométricamente como
.
.
a)
Figura 1-7
Éste es también un rayo que llega a pero que se extiende en dirección contraria al del inciso
anterior.
De la misma manera que antes, si queremos que el punto esté incluido, escribimos
[∞) = { ∈ R | ≥ }y lo representamos como
.
a[
.
Figura 1-8
o
(−∞ ] = { ∈ R | ≤ }y lo representamos como
.
.a]
Figura 1-9
8 Desigualdades
Utilizando las operaciones de conjuntos podemos hablar de uniones e intersecciones de inter-
valos.
Ejemplos
1. Encontrar (−2 5) ∩ [1 7].Solución:
420 1 3 5 6 7[
.
.
422 01 1 3 5)
.
.
422 01 1 3 5 6 7( ][ )
.
.
(
]
Figura 1-10
Un número está en la intersección si está en ambos intervalos.
(−2 5) ∩ [1 7] = [1 5) .
2. Escribir usando notación de intervalos, { ∈ R| − 2 5} ∪ { ∈ R| − 1 }Solución:
420 1 3 5 6 7
7
.
.
422 01 1 3 5)
.
.
422 01
1
1 3 5 6
(
.
.
(
(
Figura 1-11
Un número está en la unión si está en alguno de los intervalos, es decir, si está en uno de los
intervalos, en el otro o en ambos.
{ ∈ R| − 2 5} ∪ { ∈ R| − 1 } = { ∈ R| − 2 }= (−2 5) ∪ (−1∞)= (−2∞)
Desigualdades 9
EjerciciosDeterminar la unión y la intersección de los siguientes intervalos.
1. (−5 0) y (−2 4) 2. (21 63) y (32 57)
3. (−1075−64) y (13 75)
4.
∙−725
3
¸y
∙−2651
2
¸.
Desigualdades
Reinaldo obtuvo como calificaciones en los primeros cuatro exámenes: 71, 84, 8
y 93. Sólo falta efectuar un examen y para aprobar el curso sin presentar el examen
final, es necesario que el promedio de los cinco exámenes sea mayor o igual que 8.
¿Cuál es la menor calificación que debe obtener Reinaldo en el quinto examen para
poder quedar exento?
Solución:
Llamamos a la calificación que falta. El promedio de todas las calificaciones es:
71 + 84 + 8 + 93 +
5.
Dicho promedio debe ser mayor o igual que 8, así que escribimos la desigualdad
328 +
5≥ 8.
Para resolverla multiplicamos por 5 ambos miembros y obtenemos:
5
µ328 +
5
¶≥ 5 (8)
328 + ≥ 40.
Sumamos −338 a ambos lados de la desigualdad.−328 + 328 + ≥ −328 + 40
≥ 72.
En el quinto examen, Reinaldo debe obtener por lo menos 72 de calificación.
Una desigualdad en la que aparecen variables también se conoce como inecuación. Como en
el caso de las igualdades, la expresión que aparece a la izquierda del símbolo de desigualdad se
llama primer miembro y la que aparece a la derecha, segundo miembro.
10 Desigualdades
Resolver una desigualdad algebraica significa encontrar los valores numéricos que, cuando susti-
tuyen a las variables, la hacen cierta.
Para manipular desigualdades algebraicas utilizamos las propiedades de la suma y el producto
de los números reales, así como las de orden.
Ejemplos
1. Resolver la desigualdad 5 − 9 −12.Solución:
Sumamos 9, en ambos lados de la desigualdad:
5 − 9 −125 − 9 + 9 −12 + 9
5 −3.
Ahora multiplicamos ambos miembros de la desigualdad resultante por1
5que por ser positivo
no altera el sentido de la desigualdad:
5 −31
5(5)
1
5(−3)
−35.
Por tanto, la desigualdad se cumple para cualquier número real menor que −35, es decir,
∈µ−∞−3
5
¶.
2. Resolver la desigualdad −4 + 7 23.Solución:
Sumamos −7 en ambos lados de la desigualdad:−4 + 7 23
−4 + 7− 7 23− 7−4 16.
Ahora multiplicamos ambos miembros de la desigualdad resultante por −14, que por ser
negativo invierte el sentido de la desigualdad:
−4 16
−14(−4) −1
4(16)
−4.Por tanto, la desigualdad se cumple para cualquier número real menor que −4, es decir, ∈ (−∞−4).
Desigualdades 11
Consecuencias de las propiedades de orden
Para despejar la variable de la desigualdad − 8 13 seguimos los siguientes pasos:− 8 13 ←− Queremos despejar .
− 8 + 8 13 + 8 ←− Sumamos el opuesto de − 8, es decir, 8. 21 ←− Simplificamos.
En el primer renglón, el 8 está restando en el lado izquierdo y en el segundo renglón lo vemos
sumando en el lado derecho.
En general, si un término está restando de un lado de una desigualdad,
− ,
al sumar su opuesto de ambos lados de la desigualdad se obtiene:
−
− + +
+ .
Es decir, el término “pasa al otro lado de la desigualdad” sumando. Así:
Si − , entonces +
Similarmente, si un término está sumando de un lado de la desigualdad,
+ ,
al sumar su opuesto de ambos lados de la desigualdad se obtiene:
+
+ − −
− .
Es decir, el término “pasa al otro lado de la desigualdad” restando. Así:
Si + , entonces −
Para despejar la variable de la desigualdad 6 7 seguimos los siguientes pasos:
6 7 ←− Queremos despejar µ1
6
¶6
µ1
6
¶7 ←− Multiplicamos por 1
6, que es el recíproco de 6, y
como es positivo, la desigualdad no se altera
7
6←− Simplificamos.
En el primer renglón, el 6 está multiplicando del lado izquierdo y en el segundo renglón lo
vemos dividiendo del lado derecho.
12 Desigualdades
En general, si un término positivo está multiplicando de un lado de una desigualdad
,
entonces al multiplicar por su recíproco de ambos lados de la desigualdad y simplificar:
µ1
¶
µ1
¶
,
el término “pasa al otro lado de la desigualdad” dividiendo. Por tanto,
Si y 0, entonces
.
De manera similar, si un término positivo está dividiendo en un lado de la desigualdad,
al multiplicar por él, ambos lados de la desigualdad se obtiene:
() ()
.
El término “pasa al otro lado de la desigualdad” multiplicando. Por tanto,
Si
y 0, entonces .
Si tenemos la desigualdad,
y 0, entonces al multiplicar por el recíproco, la desigualdad cambia de sentido, por lo que,
Si y 0, entonces
.
Es decir, el término “pasa al otro lado de la desigualdad” dividiendo y cambia el sentido de la
desigualdad.
De la misma manera,
Si
y 0, entonces .
Ejemplos
Desigualdades 13
1. Resolver7
9− 5 −2.
Solución:
Despejamos
7
9− 5 −27
9 −2 + 5 ←− (El 5 “pasa” sumando)
7
9 3 ←− (Simplificamos)
9
7(3) ←− (El 9 “pasa” multiplicando, y el 7 “pasa” dividiendo
sin cambiar el sentido de la desigualdad)
27
7←− (Simplificamos).
De donde ∈µ27
7∞¶
2 4 60(
.
.
Figura 1-12
2. Resolver 3 6 10.
Solución:
Despejamos :
3 6 10
3
6
10
61
2
5
3
de donde ∈µ1
25
3
¶.
3. Resolver 8 + 5 ≤ 3 − 7 ≤ + 1.
Solución:
Tenemos que resolver dos desigualdades:
8 + 5 ≤ 3 − 7 y 3 − 7 ≤ + 1.
14 Desigualdades
Es decir,
8 + 5 ≤ 3 − 75 − 3 ≤ −7− 8
2 ≤ −15 ≤ −15
2
∈µ−∞−15
2
¸ y
3 − 7 ≤ + 1
3 − ≤ 1 + 7
2 ≤ 8
≤ 4
∈ (−∞ 4]
de donde
∈µ−∞−15
2
¸∩ (−∞ 4] ,
543210
5432101
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
5432112345678910 0
]
]
]
15
15
2
2
Figura 1-13
es decir,
∈µ−∞−15
2
¸
4. Resolver 55 + 67− 2 ≤ 73.Solución:
Tenemos que resolver dos desigualdades:
55 + 67− 2 y 67− 2 ≤ 73
Es decir,
55 + 67− 255− 67 −2 −
−1 2 −31 2
3
04
∈ (−∞ 04)
y
67− 2 ≤ 73
−2 ≤ 73− 67−2 ≤ 06
≥ −062
≥ −03 ∈ [−03∞)
Desigualdades 15
de donde ∈ (−∞ 04) y ∈ [−03∞),
0 1 20.412 0.3
0 1 20.412 0.3
0 1 20.412 0.3
)
)
[
[
.
.
Figura 1-14
es decir,
∈ (−∞ 04) ∩ [−03∞) = [−03 04)
5. La suma de dos números enteros pares consecutivos y positivos es a lo más 24. Encuentra
dichos números.
Solución:
Llamamos 2 y 2+ 2 a los enteros pares consecutivos. Planteamos la desigualdad:
2+ (2+ 2) ≤ 24.
Ahora la resolvemos:
2+ (2+ 2) ≤ 24
4 ≤ 22
≤ 22
4
≤ 11
2.
Así, = 1, 2, 3, 4 o 5, y entonces los números que satisfacen la desigualdad son:
2 2+ 2
1 2 4
2 4 6
3 6 8
4 8 10
5 10 12.
16 Desigualdades
EjerciciosResolver las siguientes las desigualdades
1. −4 6.
2. + 7 ≥ −2
3.7
5− 3 −2.
4. 5 + 5 0.
5.4
3 + 3 ≥ −5
6.
6. Un cartero parte de la oficina postal llevando en su bolsa cierto número de sobres. Al
mediodía ha repartido 134 sobres y en su bolsa quedan menos de 38 sobres por repartir.
¿Cuál es el mayor número de sobres con los que pudo haber salido de la oficina?
Desigualdades y las expresiones racionales
El cociente, del menor entre el mayor, de dos enteros impares consecutivos es mayor
o igual a 2. Encontrar los números.
Solución:
Llamamos a los enteros impares consecutivos 2+1 y 2+3. Formamos el cociente
del mayor entre el menor:2+ 1
2+ 3
y éste debe ser mayor o igual a 2, es decir,
2+ 1
2+ 3≥ 2.
Para resolver esta desigualdad debemos considerar dos casos:
• Si 2+ 3 0, entonces −32, es decir, ∈
µ−32∞¶y
2+ 1 ≥ 2 (2+ 3)
2+ 1 ≥ 4+ 6
1− 6 ≥ 4− 2−5 ≥ 2
−52≥
Desigualdades 17
de donde ∈µ−∞−5
2
¸. Es decir,
∈µ−32∞¶∩µ−∞−5
2
¸= ∅
• Si 2+ 3 0, entonces −32, es decir, ∈
µ−∞−3
2
¶y
2+ 1 ≤ 2 (2+ 3)
2+ 1 ≤ 4+ 6
1− 6 ≤ 4− 2−5 ≤ 2
−52≤
de donde ∈∙−52∞¶. Es decir,
∈µ−∞−3
2
¶∩∙−52∞¶=
∙−52−32
¶De donde,
∈ ∅ ∪∙−52−32
¶=
∙−52−32
¶= [−25−15)
pero como es un entero entonces = −2.Por tanto, el cociente es:
2 (−2) + 12 (−2) + 3 = 3 2.
Ejemplos
1. Resolver1
+ 2 −4
Solución:
Para resolver esta desigualdad debemos quitar el denominador de la expresión de la derecha.
Como no sabemos si + 2 es positivo o negativo, entonces debemos de considerar los dos
casos.
Supongamos + 2 0 es decir −2 Así ∈ (−2∞) Como +2 es positivo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad,
ésta no cambia de sentido.
1 −4 (+ 2)1 −4− 84 −8− 1 −9
4
18 Desigualdades
de donde ∈µ−∞−9
4
¶∩ (−2∞) = ∅
En este caso la desigualdad no tiene solución.
Supongamos + 2 0 es decir −2 Así ∈ (−∞−2) Como +2 es negativo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad,
ésta cambia de sentido.
1 −4 (+ 2)1 −4− 84 −8− 1 −9
4
de donde
∈ (−∞−2) ∩µ−94∞¶=
µ−94−2
¶
es decir
−94 −2
Por tanto, la desigualdad1
+ 2 −4
se satisface para −94 −2 es decir
∈µ−94−2
¶= (−225−2)
422468
4
2
2
4
6
Y
X
Figura 1-15
2. Resolver5 + 2
− 4 5
3.
Solución:
Desigualdades 19
Para resolver esta desigualdad debemos quitar los denominadores. Sabemos que 3 es positivo,
por lo que no hay problema ahí, pero no sabemos si − 4 es positivo o negativo, entoncesdebemos de considerar los dos casos.
Supongamos − 4 0, o sea 4, entonces al pasar la expresión − 4 multiplicandoal otro lado de la desigualdad, ésta no cambia de sentido.
5 + 2
− 4 5
3
3 (5 + 2) 5 ( − 4)15 + 6 5 − 2015 − 5 −20− 6
10 −26 −26
10
−135
Por tanto, debemos tener:
4 y −135,
2 40135
()
Figura 1-16
Pero no hay ningún número real que cumpla con estas dos condiciones. Esto significa
que ningún número 4 es solución de la desigualdad original.
Supongamos − 4 0, es decir, 4, entonces al pasar multiplicando esa expresión
20 Desigualdades
al otro lado de la desigualdad, ésta cambia de sentido.
5 + 2
− 4 5
3
3 (5 + 2) 5 ( − 4)15 + 6 5 − 2015 − 5 −20− 6
10 −26 −26
10
−135.
De donde,
4 y −135,
Podemos escribir esto como:
−135
4.
2 40135
)(
Figura 1-17
Por tanto,
5 + 2
− 4 5
3si − 13
5 4.
3. Resolver2− 3+ 2
1
3.
Solución:
Primer método:
Para resolver esta desigualdad debemos quitar denominadores. Sabemos que 3 es posi-
tivo, por lo que no hay problema ahí, pero no sabemos si + 2 es positivo o negativo,
por esto es necesario considerar dos casos.
• Si + 2 0, entonces al pasar multiplicando + 2 al otro lado de la desigualdad,
Desigualdades 21
ésta no cambia de sentido:
2− 3+ 2
1
33 (2− 3) + 2
6− 9 + 2
6− 2 + 9
5 11
11
5
y como estamos suponiendo que:
+ 2 0
−2,entonces:
−2 y 11
5.
Podemos escribir esto como:
−2 11
5.
115
02( )
.
.
Figura 1-18
• Si + 2 0, entonces al pasar multiplicando + 2 al otro lado de la desigualdad,ésta cambia de sentido.
2− 3+ 2
1
33 (2− 3) + 2
6− 9 + 2
5 11
11
5.
Entonces como:
+ 2 0
−2,debemos tener:
−2 y 11
5,
22 Desigualdades
115
02) (
.
.
Figura 1-19
pero no hay ningún número real que cumpla con estas dos condiciones.
Por tanto,2− 3+ 2
1
3si − 2
11
5.
Segundo método:
Resolvemos primero la ecuación:
2− 3+ 2
=1
3.
En primer lugar, nos damos cuenta que la expresión de la izquierda no está definida
para = −2. La solución de la ecuación es:2− 3+ 2
=1
33 (2− 3) = + 2
=11
5.
Los puntos donde no está definida la ecuación y donde se satisface la igualdad dividen
a la recta en tres intervalos, como lo muestra la figura 1-20.
115
2
.
.
Figura 1-20
En cada uno de estos intervalos todos los puntos satisfacen la desigualdad original
o ninguno la satisface. La razón de esto es que si en alguno de estos intervalos un
punto 1 satisface la desigualdad y otro 2 la desigualdad contraria, habría un punto
3 intermedio y, por tanto, dentro del mismo intervalo en donde se satisface la igualdad,
lo cual no es cierto, ya que el único punto donde se satisface la igualdad es 115.
La justificación formal de este argumento, conocida como el teorema del valor interme-
dio, está fuera del alcance de este libro, pues requiere del concepto de continuidad, que
es un tema que se ve en el curso de cálculo diferencial e integral. Sin embargo, creemos
que intuitivamente es bastante claro para poder utilizarlo aquí.
Elegimos un punto en cada intervalo, por ejemplo,
−3 ∈ (−∞−2) , 0 ∈µ−2 11
5
¶, 3 ∈
µ11
5∞¶
Desigualdades 23
y evaluamos la expresión en ellos:
• En = −3 tenemos:2 (−3)− 3(−3) + 2 = 9,
que no satisface la desigualdad, así que en ningún punto de (−∞−2) se satisface.• En = 0 tenemos:
2 (0)− 3(0) + 2
= −32,
que sí es menor que1
3, así que en todo el intervalo
µ−2 11
5
¶se satisface la de-
sigualdad.
• En = 3 tenemos:2 (3)− 3(3) + 2
=3
5,
que no es menor que1
3, así que en ningún punto del intervalo
µ11
5∞¶se satisface
la desigualdad.
Por tanto, la solución a la desigualdad es el intervalo
µ−2 11
5
¶, es decir, −2
11
5.
Ejercicios
1.+ 7
6.
2.2
2− −8.
3.5 + 2
+ 35
2.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número real es su distancia al cero. Puesto que un número real puede
ser positivo, negativo o cero, se tiene:
|| =½
si ≥ 0− si 0
24 Desigualdades
a
0
a
a a
a
0
a
a a
a
Si >0 aSi <0
.
.
Figura 1-21
Recuerda que si 0, entonces − 0.Es claro que
|| = |−|pues dista de 0 lo mismo que su simétrico.
Observación:
La letra representa un número que puede ser positivo, negativo o cero. Por consiguiente −no es necesariamente un número negativo, y podremos decidirlo hasta que sepamos que número
representa .
Ejemplos
1. Si =3
4entonces − = −3
4.
2. Si = −16 entonces − = 16
3. Si = 0 entonces − = 0.
Observaciones:
El valor absoluto de cualquier número es no negativo.
− no es necesariamente un número negativo, por ejemplo si = −8, entonces
− = − (−8) = 8.
que es positivo.
Algunas propiedades del valor absoluto
Si y son dos números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
|−| = ||.||2 = 2.
|| =√2, donde
√ denota la raíz no negativa de , para cualquier número ≥ 0.
|| = || ||.
Desigualdades 25¯̄̄
¯̄̄=|||| .
Ejemplos
1. |−11| = |11| = 11.2. |−12|2 = (−12)2 = 144.3. |5| =
√52 = 5.
4. |8 · 15| = |8| |15| = 120.
5.
¯̄̄̄−73
¯̄̄̄=|−7||3| =
7
3.
6. Resolver la ecuación || = 7.Solución:
Puesto que en la ecuación aparece un valor absoluto, consideramos tres casos:
Si ≥ 0, entonces || = , de donde = 7.
Si 0, entonces || = −, de donde − = 7. Así, = −7.
Por tanto = 7 y = −7 satisfacen la igualdad. Esto era de esperarse ya que 7 y −7 sonlos únicos puntos cuya distancia al cero es 7.
07 7. .
.
.
Figura 1-22
7. Resolver la ecuación 2 + + = 0 donde , y son números dados y 6= 0.Solución:
Resolveremos esta ecuación completando un trinomio cuadrado perfecto.
Primero factorizamos el coeficiente de 2:
2 + + = 0
µ2 +
+
¶= 0
2 +
+
= 0
Despejamos el término independiente
2 +
= −
.
26 Desigualdades
El número que completa a 2 +
como trinomio cuadrado perfecto es
µ
2
¶2, así:
2 +
+
µ
2
¶2= −
+
2
42µ+
2
¶2= −
+
2
42.
Efectuando la suma de la derecha obtenemos:µ+
2
¶2=−4+ 2
42µ+
2
¶2=
2 − 442
42µ+
2
¶2= 2 − 4µ
2
µ+
2
¶¶2= 2 − 4sµ
2
µ+
2
¶¶2=√2 − 4¯̄̄̄
2
µ+
2
¶¯̄̄̄=√2 − 4,
así que,
2
µ+
2
¶=√2 − 4 o − 2
µ+
2
¶= 2 − 4
de donde
+
2=
√2 − 42
o +
2= −√2 − 42
Con lo cual obtenemos las soluciones:
=−+√2 − 4
2o =
−−√2 − 42
.
Podemos escribir brevemente lo anterior como:
=−±√2 − 4
2.
La expresión anterior se llama solución general de la ecuación general de segundo grado.
Desigualdades 27
EjerciciosResolver las siguientes ecuaciones.
1. |+ 5| = 3
2. |4− | = 2
3. |3− 1| = 5
4.¯̄34+ 4
¯̄= 10
5. |− 2| = −1
Desigualdades y valor absoluto
En una fábrica de cuadernos se forma una comisión de control de calidad, pues en
una encuesta se detectó que los consumidores opinan que el papel es bueno, pero el
tamaño de los cuadernos no es uniforme: unos son más anchos que otros. El ancho
requerido es de 215 cm, y un cuaderno pasará el control de calidad si el error es de,
a lo más, 004 cm. ¿Qué anchos pueden tener los cuadernos que hayan aprobado el
control de calidad?
Solución:
Llamamos al ancho de un cuaderno. El defecto en el ancho del cuaderno es la
diferencia:
− 215.Como el cuaderno puede ser más ancho o más angosto, entonces consideramos el valor
absoluto de la diferencia anterior. Dicho error puede ser de, a lo más, 004 cm, es decir,
|− 215| ≤ 004.
Para resolver esta ecuación primero quitamos el valor absoluto:
|− 215| =½
− 215 si − 215 ≥ 0− (− 215) si − 215 0.
Ahora resolvemos las desigualdades:
Si − 215 ≥ 0, entonces
|− 215| ≤ 004
− 215 ≤ 004
≤ 004 + 215
≤ 2154.
28 Desigualdades
Si − 215 0 entonces
|− 215| ≤ 004
− (− 215) ≤ 004
− 215 ≥ −004 ≥ −004 + 215 ≥ 2146.
Un cuaderno pasa el control de calidad si su ancho está entre 2146 y 2154 cm.
Propiedades del valor absoluto
1. Si || y 0 entonces − . Observa en la siguiente figura, que los puntos que
satisfacen que su distancia al origen es menor que son los que se encuentran a la derecha
de − y a la izquierda de .
( )k
.
.k-
Figura 1-23
Veamos cómo justificar esto:
Si ≥ 0 entonces
= ||
de donde
0 ≤
así
0
entonces
0 −De manera que
− 0 ≤
es decir
−
Desigualdades 29
Si 0 entonces
− = ||
de donde
−es decir,
− 0
Esto implica que
− 0
entonces
0
De manera que
− 0
Por tanto,
−
2. Si || entonces o −. Los puntos cuya distancia al origen es mayor que sonlos que están a la derecha de o bien los que se encuentran a la izquierda de −.
()k
.
.k-
Figura 1-24
Veamos cómo justificar esto:
Si ≥ 0 entonces = ||
Si 0 entonces
− = ||
de donde
−
Por tanto,
o −
Ejemplos
30 Desigualdades
1. Resolver |5 − 2| 5.Solución:
Utilizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos, por ser 5 un número positivo,
que:−5 5 − 2 5
2− 5 5 5 + 2
−3 5 7
−35
7
5.
es decir,
∈µ−357
5
¶
2. Resolver |3 + 2| ≤ + 4.
Solución:
Si + 4 0, entonces no hay solución.
Si + 4 ≥ 0, entonces ≥ −4, es decir, ∈ [−4∞) y:− ( + 4) ≤ 3 + 2
− − 4 ≤ 3 + 2
−2− 4 ≤ 3 +
−64≤
−32≤
y
3 + 2 ≤ + 4
3 − ≤ 4− 22 ≤ 2
≤ 22
≤ 1.
Así, para que sea solución, tiene que cumplir que:
≥ −4 y − 32≤ ≤ 1.
Observamos que si satisface que −32≤ ≤ 1, entonces también satisface que ≥ −4. Así,
todas las soluciones de la desigualdad son −32≤ ≤ 1, es decir,
∈∙−32 1
¸
3. Resolver |2− 8| −4Solución:
Como
0 ≤ |2− 8|entonces
0 ≤ |2− 8| y |2− 8| −4no tiene solución.
Desigualdades 31
3. Resolver |6− 5| 4+ 7.Solución:
Utilizando la propiedad 2 del valor absoluto, tenemos:
6− 5 4+ 7
6− 4 7 + 5
2 12
6
o
6− 5 − (4+ 7)6− 5 −4− 76+ 4 −7 + 5
−15.
Así, es solución si satisface que 6 o −15, es decir,
∈µ−∞−1
5
¶∪ (6∞)
4. Resolver |4− 7| −3Solución:
Como
|4− 7| ≥ 0y
0 −3entonces
|4− 7| −3se cumple para todo ∈ R
4. Resolver |5− 2| 2− 1.Solución:
Si 2− 1 ≤ 0, entonces no hay solución, ya que |5− 2| es siempre mayor o igual que 0.Si 2− 1 0, entonces 1
2, es decir, ∈
µ1
2∞¶y:
− (2− 1) 5− 2−2+ 1 5− 21 + 2 5+ 2
3 73
7
y
5− 2 2− 15− 2 2− 1
3 1
1
3.
Así, para que sea solución, tiene que cumplir que:
3
7 y
1
3y
1
2
Pero3
71
3,
32 Desigualdades
así que no existe un real que satisfaga3
7
1
3y por tanto, la desigualdad no tiene
solución.
Desigualdades y recta
Una ecuación del tipo = + representa la ecuación de una recta.
Dos personas están en un valle atravesado por un río. Es claro que las dos personas
están del mismo lado del río, si pueden caminar una hacia la otra hasta encontrarse
sin atravesar el río. Similarmente, dos puntos en el plano están del mismo lado de una
recta , si podemos conectarlos mediante una recta que no corte la recta .
¿Están los puntos (3 12) y (−2−3) del mismo lado o en lados opuestos de la recta = 2+ 4?
Dibujamos la recta = 2+ 4. Véase la figura 1-25
La gráfica de la recta = 2+ 4 divide al plano en tres regiones:
• Los puntos que están en la recta.
• Los puntos que están arriba de la recta.
• Los puntos que están debajo de la recta.
224
Y
X
6
4
2
2
4
..
Figura 1-25
Sabemos que los puntos que están en la recta son los que satisfacen la ecuación:
= 2+ 4.
El punto (3 10) está en la recta:
= 2+ 4.
Todo punto que esté verticalmente encima de (3 10) tiene por primera coordenada
3 y su segunda es mayor que 10; es decir, la coordenada (3 ) de satisface:
2+ 4.
Desigualdades 33
El punto (3 12) satisface:
12 2 (3) + 4.
De la misma manera, si nos movemos verticalmente hacia abajo, la ordenada del
punto es cada vez menor, es decir,
2+ 4.
El punto (−2−3) satisface−3 2 (−2) + 4 = 0.
Por tanto, los puntos (3 12) y (−2−3) están en lados opuestos de la recta.Entonces los puntos que están arriba de la recta satisfacen la desigualdad 2+4.
Los puntos que están abajo de la recta satisfacen la desigualdad 2+ 4.
6
4
2
6
4
2
22 2 2
2 24
4 4 4
4 4
6
4
2
y x 2 4 y x 2 4 y x 2 4
Y Y Y
XXX
Figura 1-26
La gráfica de una recta = + divide al plano en tres conjuntos:
Los puntos que están arriba de la recta, que son los que satisfacen la desigualdad +.
Los puntos que están en la recta, que son los que satisfacen la ecuación = + .
Los puntos que están abajo de la recta, que son los que satisfacen la desigualdad +.
y mx by mx b y mx b
Figura 1-27
34 Desigualdades
Ejemplos
1. Describir las regiones determinadas por la recta = 12− 3.
Solución:
Los puntos que se encuentran arriba de la recta satisfacen la desigualdad 12− 3.
Los puntos que están en la recta satisfacen = 12− 3.
Los puntos que se encuentran debajo de la recta satisfacen la desigualdad 12− 3.
Y Y Y
X X
y x 123y x 1
23y x 1
23
642
2
6422 2 24 4 46 6 6
2
2 2 2
4 4 4
6 6 6
642
2
X
Figura 1-28
2. Describir las regiones determinadas por la recta = −7.Solución:
Los puntos que se encuentran arriba de la recta satisfacen la desigualdad −7.Los puntos que están en la recta satisfacen = −7.Los puntos que se encuentran debajo de la recta satisfacen la desigualdad −7.
Y Y Y
X X42246
2
2
4
6
8
42246
2
2
4
6
8
y7 y <7y7
42246
2
2
4
6
8
X
10 1010
Figura 1-29
Desigualdades 35
Ejercicios de repaso
1.1
− 7 −6Solución:
Para resolver esta desigualdad debemos quitar el denominador de la expresión de la derecha.
Como no sabemos si − 7 es positivo o negativo, entonces debemos de considerar los doscasos.
Supongamos − 7 0 es decir 7 Así ∈ (7∞) Como − 7 es positivo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad,ésta no cambia de sentido.
1 −6 (− 7)1 −7+ 427 42− 1
41
7
de donde
∈µ41
7∞¶∩ (7∞) = (7∞)
Supongamos − 7 0 es decir 7 Así ∈ (−∞ 7)
Como −7 es negativo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad,ésta cambia de sentido.
1 −6 (− 7)1 −6+ 426 42− 1
41
7
de donde
∈ (−∞ 7) ∩µ−∞
41
7
¶=
µ−∞
41
7
¶
Por tanto,
∈µ−∞
41
7
¶∪ (7∞)
2.4− 62+ 8
3
2
Solución:
Para resolver esta desigualdad debemos quitar los denominadores. Sabemos que 2 es positivo,
por lo que no hay problema ahí, pero no sabemos si 2+ 8 es positivo o negativo, entonces
debemos de considerar los dos casos.
36 Desigualdades
Supongamos
2+ 8 0
−4
o sea, ∈ (−4∞) Entonces al pasar la expresión 2+8 multiplicando al otro lado de la desigualdad, ésta
no cambia de sentido.
4− 62+ 8
3
22 (4− 6) 3 (2+ 8)
8− 12 6+ 24
8− 6 24 + 12
2 36
18
así
∈ (−4∞) ∩ (−∞ 18) = (−4 18)
Supongamos
2+ 8 0
−4
o sea, ∈ (−∞−4) Entonces al pasar la expresión 2+8 multiplicando al otro lado de la desigualdad, ésta
sí cambia de sentido.
4− 62+ 8
3
22 (4− 6) 3 (2+ 8)
8− 12 6+ 24
8− 6 24 + 12
2 36
18
de donde
∈ (−∞−4) ∩ (18∞) = ∅
Por tanto,
∈ (−4 18) ∪∅ = (−4 18)
Desigualdades 37
3.5− 3− 2
4
3.
Solución:
Para resolver esta desigualdad debemos quitar los denominadores. Sabemos que 3 es positivo,
por lo que no hay problema ahí,
5− 3− 2
4
3
3 (5− 3)− 2 4
15− 9− 2 4
Pero no sabemos si − 2 es positivo o negativo, entonces debemos de considerar los doscasos.
Supongamos que
− 2 0
2
o sea, ∈ (2∞) Entonces al pasar la expresión − 2 multiplicando al otro lado de la desigualdad, éstano cambia de sentido.
15− 9− 2 4
15− 9 4 (− 2)15− 9 4− 815 + 8 4+ 9
23 1323
13
es decir,
∈µ−∞
23
13
¶
De donde
∈ (2∞) ∩µ−∞
23
13
¶= ∅
Supongamos que
− 2 0
2
38 Desigualdades
o sea, ∈ (−∞ 2)
Entonces al pasar la expresión − 2 multiplicando al otro lado de la desigualdad, éstasí cambia de sentido.
15− 9− 2 4
15− 9 4 (− 2)15− 9 4− 815 + 8 4+ 9
23 1323
13
de donde,
∈µ23
13∞¶
Así
∈ (−∞ 2) ∩µ23
13∞¶=
µ23
13 2
¶
Por tanto,
∈µ23
13 2
¶∪∅ =
µ23
13 2
¶
Recordemos que si || y 0 entonces − .
Observa en la siguiente figura, que los puntos que satisfacen que su distancia al origen es menor
que son los que se encuentran a la derecha de − y a la izquierda de .
( )k
.
.k-
Figura 1-30
Veamos cómo justificar esto:
Si ≥ 0 entonces
= ||
de donde
0 ≤
así
0
Desigualdades 39
entonces
0 −De manera que
− 0 ≤
es decir
−
Si 0 entonces
− = ||
de donde
−es decir,
− 0
Esto implica que
− 0
entonces
0
De manera que
− 0
Por tanto,
−
Ejemplos
1. |3− 6| 2+ 12Solución:
Primera condición
2+ 12 0
2 −12
−122
−6
de donde ∈ (−6∞).
40 Desigualdades
Como |3− 6| 2+ 12, entonces debemos resolver− (2+ 12) 3− 6 y 3− 6 2+ 12
Resolvemos las desigualdades:
− (2+ 12) 3− 6−2− 12 3− 6−12 + 6 3+ 2
−6 5
−65
∈µ−65∞¶ y
3− 6 2+ 12
3− 2 12 + 6
18
∈ (−∞ 18)
de donde
∈ (−∞ 18) ∩µ−65∞¶=
µ−65 18
¶
Por tanto,
∈µ−65 18
¶∩ (−6∞) =
µ−65 18
¶
2. |7 − 14| 3 + 6Solución:
Primera condición
3 + 6 0
3 −6 −6
3 −2
de donde ∈ (−2∞).Como |7 − 14| 3 + 6 debemos resolver
− (3 + 6) 7 − 14 y 7 − 14 3 + 6entonces
− (3 + 6) 7 − 14−3 − 6 7 − 14−3 − 7 −14 + 6−10 −8
−8−10
4
5
∈µ4
5∞¶
y
7 − 14 3 + 6
7 − 3 6 + 14
4 20
20
4 5
∈ (−∞ 5)
Desigualdades 41
de donde
∈µ4
5∞¶∩ (−∞ 5) =
µ4
5 5
¶
Por tanto,
∈µ4
5 5
¶∩ (−2∞) =
µ4
5 5
¶
3. |4 − 8| ≤ 2 + 10Solución:
Primera condición
2 + 10 ≥ 0
≥ −102
≥ −5
de donde ∈ [−5∞) Debemos resolver
− (2 + 10) ≤ 4 − 8 y 4 − 8 ≤ 2 + 10
así− (2 + 10) ≤ 4 − 8−2 − 10 ≤ 4 − 8−2 − 4 ≤ −8 + 10
−6 ≤ 2
≥ −26
≥ −13
∈∙−13∞¶
y
4 − 8 ≤ 2 + 10
4 − 2 ≤ 10 + 8
2 ≤ 18
≤ 18
2 ≤ 9
∈ (−∞ 9]
de donde
∈∙−13∞¶∩ (−∞ 9] =
∙−13 9
¸
Por tanto,
∈∙−13 9
¸∩ [−5∞) =
∙−13 9
¸
4. |5+ 6| 4− 1Solución:
42 Desigualdades
Primera condición
4− 1 0
1
4
es decir ∈µ1
4∞¶
Debemos resolver
− (4− 1) 5+ 6 y 5+ 6 4− 1
de donde
− (4− 1) 5+ 6
−4+ 1 5+ 6
1− 6 5+ 9
−5 14
− 514
∈µ− 514
∞¶
y
5+ 6 4− 15− 4 −1− 6
−7 ∈ (−∞−7)
así
∈µ− 514
∞¶∩ (−∞−7) = ∅
Por tanto,
∈µ1
4∞¶∩∅ = ∅
es decir, la desigualdad no tiene solución.
Recordemos que:
Si || entonces o −.Los puntos cuya distancia al origen es mayor que son los que están a la derecha de o bien
los que se encuentran a la izquierda de −.
()k
.
.k-
Figura 1-31
Veamos cómo justificar esto:++
Si ≥ 0 entonces = ||
Desigualdades 43
Si 0 entonces
− = ||
de donde
−
Por tanto,
o −Ejemplos
1. |9 − 4| −5Solución:
Como
|9 − 4| ≥ 0y
0 −5entonces
|9 − 4| ≥ 0 −5y esto siempre se cumple.
Por tanto, la desigualdad se cumple para todo ∈ R
2. |8 − 3| ≥ 4Solución:
Debemos resolver
8 − 3 ≥ 4 o 8 − 3 ≤ −4Resolvamos las desigualdades:
8 − 3 ≥ 4
8 ≥ 4 + 3
8 ≥ 7
≥ 7
8
∈∙7
8∞¶ o
8 − 3 ≤ −48 ≤ −4 + 38 ≤ −1 ≤ −1
8
∈µ−∞−1
8
¸
Por tanto,
∈µ−∞−1
8
¸∪∙7
8∞¶
44 Desigualdades
3. |2+ 8| 7− 13Solución:
Debemos resolver
2+ 8 7− 13 o 2+ 8 − (7− 13) Resolvamos la primera desigualdad:
2+ 8 7− 138 + 13 7− 2
21 521
5
de donde ∈µ−∞
21
5
¶
Ahora resolvemos la segunda desigualdad
2+ 8 − (7− 13)2+ 8 −7+ 132+ 7 13− 8
9 5
5
9
así ∈µ−∞
5
9
¶
Por tanto,
∈µ−∞
21
5
¶∪µ−∞
5
9
¶=
µ−∞
21
5
¶
4. |8+ 9| 6+ 3Solución:
Para resolver la desigualdad consideramos
8+ 9 6+ 3 o 8+ 9 − (6+ 3) de donde
8+ 9 6+ 3
8− 6 3− 92 −6 −6
2 −3 ∈ (−3∞)
o
8+ 9 − (6+ 3)8+ 9 −6− 38+ 6 −3− 9
14 −12 −12
14
−67
∈µ−∞−6
7
¶
Desigualdades 45
así
∈ (−3∞) ∪µ−∞−6
7
¶= R
5. |4− 10| −5− 5Para resolver la desigualdad consideramos
4− 10 −5− 5 o 4− 10 − (−5− 5)
así4− 10 −5− 54+ 5 −5 + 10
9 5
5
9
∈µ5
9∞¶ o
4− 10 − (−5− 5)4− 10 5+ 5
−10− 5 5− 4−15
∈ (−15∞)
de donde
∈µ5
9∞¶∪ (−15∞) = (−15∞)
6. |9− | 3− 11Solución:
Para resolver la desigualdad consideramos
9− 3− 11 o 9− − (3− 11)
así9− 3− 119 + 11 3+
20 420
4
5
∈ (−∞ 5)
o
9− − (3− 11)9− −3+ 113− 11− 9
2 2
1
∈ (−∞ 1)
de donde
∈ (−∞ 5) ∪ (−∞ 1) = (−∞ 5)
