ĐỀ XUẤT CẢI TIẾN THUẬT TOÁN ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI THEO MÔ HÌNH MẪU CHO BÀI TOÁN BÁM MỤC TIÊU DI ĐỘNG CỦA ĐỐI TƯỢNG ROBOT PHI HOLONOM DI ĐỘNG CÓ THAM SỐ HẰNG BẤT ĐỊNH

Tóm tắt Bộ điều khiển động lực học của rôbốt 2 bánh song song được lái so lệch thì luôn là đề tài nóng. Mô hình động lực học thì được kết hợp bởi 2 phần nối tiếp; phương trình động học và phương trình moomen tịnh tiến và momen góc. Bởi việc chuyển đổi công thức tính sai số động của mô hình động học sang hệ tọa độ di động, bài toán bám trở thành bài toán ổn định. Bộ điều khiển được thiết kế làm 2 phần nối tiếp. Trong phần đầu việc ổn định động học được làm bởi luật điều khiển phi tuyến, trong phần thứ 2 một bộ điều khiển gia tốc được sử dụng để làm ổn định theo Hàm Mũ vận tốc tịnh tiến và vận tốc góc. Độ bất định trong các tham số của mô hình động lực học (khối lượng và momen quán tính)đã được bù bởi bộ điều khiển thích nghi theo mô hinh mẫu. Thuộc tính đặc trưng của bộ điều khiển này là không chỉ là ở tính bền vững của hiệu quả hàm Lyapunov tương thích ,tính ổn định tiệm cận của các trước sự có mặt của các thành phần bất định mà còn là sự đơn giản trong cấu trúc và chất lượng ổn định hơn so với bài báo gốc[] . Kết quả mô phỏng minh họa chất lượng và hiệu quả của giải pháp này.1. Giới thiệu Dạng robot được khảo sát trong nghiên cứu này là một loại hệ thống cơ học phi-holonom đơn giản. Nhiều khảo sát về hệ thống điều khiển phi holonom đã được sưu tầm trong các thập kỷ trước [1,2,3,4,5,6]. Vài nghiên cứu trong số chúng chỉ đưa ra kết quả dưới dạng báo cáo,thậm chí cho một trường hợp đơn giản,nhưng quan trọng được đưa ra là robot di động gắn bánh xe. Các thuộc tính phi-holonom được thấy trong nhiều hệ thống robot và cơ học ,đặc biệt là chúng sử dụng đầu vào vận tốc. Không gian điều khiển nhỏ hơn khồn gian cấu hình(ít tín hiệu điều khiển hơn so với các biến được điều khiển độc lập) gây nên điều kiện cho tính điều khiển được của những hệ thống này. Bởi vậy quĩ đạo khả thi bị giới hạn. Điều này có nghĩa là một robot di động có bánh xe song song không thể di chuyển ngang. Mô hình động học của robot di động có bánh xe song song không thành công khi

đáp ứng điều kiện cần thiết để ổn định phản hồi của Brockett(Brockett 1983). Điều này ngụ ý rằng không tồn tại một luật phản hồi trạng thái tĩnh bất biến trơn và liên tục theo thời gian. Điều khiển bám sử dụng trực tiếp giải pháp Lyapunov[7], phản hồi trạng thái biến thời gian[8], và nhiều giải pháp cơ bản khác được thiết kế dựa trên nền tảng mô hình động học[12]. Ổn định và kiểm soát hệ thống nonholonomic với phương trình động lực đã được xem xét trong [1], các phương pháp dựa trên backstepping được trình bày trong một số bài báo [9,10,11] .. Gần đây các phương pháp thích nghi được sử dụng để bù lại ảnh hưởng của sự bất định trong mô hình động lực[3,4]. Chúng được thiết kế dưới dạng các chuỗi và có các phương trình phức tạp.Hơn nữa ,hiệu quả của các giải pháp với sự có mặt của các thành phần bất định đã không được so sánh với các bộ điều khiển không-thích nghi đơn giản. Tính ổn định được khảo sát trong nhiều bài báo nhưng không có giải pháp nào đi thẳng vào vấn đề bám quỹ đạo và đo đạc sai lệch bám. Bởi vậy các bộ điều khiển đơn giản lại trở nên thông dụng[7,12]. Trong khảo sát này ảnh hưởng của các tham số bất định lên chất lượng hệ thống được nhắc tới. Nó thể hiện rằng các giải pháp được đề nghị dựa trên điều khiển thích nghi có thể giữ chất lượng hệ thống trước sự thay đổi của các tham số khối lượng và mô men quán tính của robot. Ngoài sự đơn giản đặc biệt của bộ điều khiển được đề xuất dẫn đến khả năng điều chỉnh các thông số để đạt được hiệu quả mong muốn bao gồm bám sai lệch và điều khiển tín hiệu. Các thuộc tính đặc biệt thu được bởi bộ điều khiển động lực này. Mô hình động lực được chia thành hai phần liên tiếp.Bằng cách sử dụng các cấu trúc điều khiển đơn giản cho mỗi phần, ảnh hưởng của các tham

số bất định được khảo sát. Với bộ điều khiển thích nghi mô hình mẫu cho những phần bất định của phương trình, tính ổn định và bền vững của mô hình được thỏa mãn. Bài báo bao gồm 7 phần, sau phần giới thiệu, trong phần thứ 2, mô hình động lực và phép chuyển đổi nó sang cấu trúc

mong muốn được đưa ra. Phần 3 mô tả một giải pháp điều khiển phi tuyến dựa trên Lyapunov để ổn định tiệm cận phương trình động học. Trong phần 4, cấu trúc tổng thể của bộ điều khiển động lực được chú ý đến. Phần 5 làm việc với các ảnh hưởng của các tham số bất định và trình bày luật điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu. Các kết quả mô phỏng được trình bày trong phần 6 và phần cuối chứa những nhận xét tóm tắt.2. Mô hình động lực học rô bốt di động:Một lớp rộng các hệ thốnga cơ phi hô-lô-nôm được mô tả bởi dạng công thức động lực học sau dựa trên công thức Euler-Lagrange[1]:

(1)Với điều kiện rang buộc phi hô-lô-nôm là :

(2)Trong đó :

q là vector n chiều ứng với n các biến khớp.

M(q) là ma trận đối xứng xác định dương cỡ n x n

là thành phần mômen nhớt và hướng tâm.

G(q) là n vectơ mômen trọng lực.B(q) là ma trận chuyển đổi đầu vào cỡ n x

r (r<n) là vec tơ đầu vào r chiều là tích số lực ràng buộc Lagrange.

Một cấu trúc rô bốt di động lái so lệch đơn giản được cho bởi hình 1.Hai động cơ một chiều tương tự độc lập là các cơ cấu chấp hành của các bánh lái trái và phải,trong khi đó một hoặc hai bánh lái con lăn tự do để giữ rô bốt cân bằng trên mặt phẳng.

Hình 1:Phối cảnh của rô bốt di độngVectơ vị trí của rô bốt trên bề mặt là

x và y là các tọa độ của điểm C(trung điểm của trục nối 2 bánh)và là góc định hướng của rô bốt trong hệ quy chiếu quán tính. Khi đó có thê viết được công thức động lực học của rô bốt di động thông qua công thức (1),sử dụng điều kiện G(q) và

bằng 0.

Trong đó : và lần lượt là mô men của

động cơ trái và động cơ phải.m và I thể hiện khối lượng vàmô men

tương ứng của rô bốt.R là bán kính của bánh lái và L là một nửa

của khoảng cách giữa 2 bánh lái đằng sau.Ràng buộc phi hô lô nôm-điều kiện không trượt-thì được viết dưới dạng công thức (2):

Công thức này chưa đầy đủ,bởi vậy quĩ đạo khả thi bị giới hạn.

Giả thiết và

.Công thức (3) trở thành

(5)

Trong đó và là mô men tịnh tiến và mô men quay tương ứng.Để đạt được dạng bình thường ,phép chuyển đổi sau đây được sử dụng

(6) Trong đó:

Vi phân công thức (6):

(7)

Bởi vậy:

(8)

So sánh vế trái của phương trình này ( ) với phương trình (5),ta có thể viết:

=

= (9)

=

Nhân dòng đầu của phương trình (9) với và dòng thứ hai với và cộng lại

ta được:

= , = (10)

Trong đó v và w là vận tốc dài và vận tốc góc của Ro bốt. Phần khác của dạng thông thường thì được viết dựa trên phương trình (6):

(11)

Đây là những phương trình của mô hình động học. Ở điểm này,phương trình động lực học của rô bốt di động được chuyển tới các phần liên tiếp của các phương trình (11) và (10). Tách riêng mô hình động học từ các phương trình động lực học, ta có thể sử dụng bộ điều khiển động học phi tuyến để ổn định các biến của hệ. Điều khiển bám rô bốt di động đơn giản thành vấn để điều khiển các biến sai lệch trong mô hình động học. Một phần định hướng bài toán là định nghĩa quỹ đạo bám như là các biến thời gian được xác định bởi vectơ .Quỹ đạo này nên thỏa mãn không chỉ các phương trình động học mà còn cả các điều kiện ràng buộc phi hô lô nôm:

, , (12)

Sai số động lực học thì được viết độc lập so với hệ quy chiếu quán tính bởi phép chuyển đổi Kanayama[7]:

(13)

là các biến sai số trong hệ quy chiếu di động gắn trên robot.Đạo hàm vế trái của (13) và sử dụng công thức (11)(12)và(4)thì sai số động lực học được viết trong hệ tọa độ mới:

(14)

là vec tơ điều khiển của mô hình động học.Để gán luật điều khiển trong phần sau,các biến v và w sẽ được viết lại là và để phân biệt chúng với các vận tốc tịnh tiến và vận tốc góc thực tế đo được. Chú ý rằng và là các vận tốc mong muốn làm ổn định động học. Bộ điều khiển động lực học được thiết kế dựa trên công thức (10) và (14) trong đó , và là các biến trạng thái,

và là các tín hiệu điều khiển.3. Bộ điều khiển động học phi tuyến Các bộ điều khiển phi tuyến thiết kế bởi hàm Lyapunov là những giải pháp đơn giản nhất nhưng cũng thành công nhất trong việc ổn định động học, một giải pháp suy diễn được cân nhắc dựa trên [7]. Hàm Lyapunov suy diễn là:

(15)

Đạo hàm theo thời gian (15) trở thành:

(16)

và được chọn như sau để khiến xác định âm

(17)

Thay công thức (17) vào (16): (18)

Rõ ràng chỉ là bán xác định âm.Sử dụng định lý LaSalle ,sự hội tụ của về 0 được thỏa mãn, bởi vậy hệ thống kín ổn định tiệm cận toàn cục. Thay đổi trong công thức (17) bởi:

(19)

Các trọng số của biến sai lệch sẽ là Tính ổn định tiệm cận của hệ thống kín có thể được chứng minh bởi hàm Lyapunov sau:

>0 (20)

Một bộ điều khiển đơn giản và thảo luận về ảnh hưởng của các tham số được trình bày trong (12).4.Cấu trúc điều khiển cho mô hình động lực: Đầu ra của bộ điều khiển phi tuyến trong phần trước là các vận tốc tịnh tiến và vận tốc quay mong muốn nhằm ổn định Động học. Những giá trị này chính là những đầu vào giá trị đặt cho phần sau của bộ điều khiển động lực học. Sơ đồ khối của cấu trúc này được thể hiện trong hình 2.

Hình 2:Sơ đồ khối của bộ điều khiển động lực học rô bốt di động Trong phần này, luật điều khiển sau được sử dụng để

chuẩn bị cho việc bám giá trị và : (21)

Trong đó và là 2 tham số điều khiển dương. Sai lệch của vận tốc tịnh tiến được định nghĩa:

(22)Đạo hàm công thức trên và sử dụng (10), một mô hình (mẫu)động lực học vòng kín của vận tốc tuyến tính nhận được:

(23)Tương tự với vận tốc góc ta có:

(24)

Đương nhiên sự hội tụ theo hàm mũ của v và w tới giá trị đặt thì được thỏa mãn.5. Bộ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu Trong cấu trúc điều khiển ở phần trước giá trị của m và I coi như là đã biết. Trong thực tế, không chỉ phép đo của các tham số này chứa những thành phần bất định,mà giá trị của chúng còn thay đổi trong một khoảng rộng trong hầu hết các ứng dụng. Bởi vậy luật điều khiển nên được viết lại dưới dạng sau:

(25)

Sai số giữa m và , I và ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ và có thể gây nên những dao động không mong muốn đặc biệt là trong hệ thống xử lý số của bộ điều khiển. Nhằm làm giảm sự ảnh hưởng này, luật điều khiển thích nghi tương ứng được đưa ra trong phần này. Các công thức được viết cụ thể cho vận tốc tịnh tiến. Việc thực hiện cho vận tốc góc cũng tương tự như vậy.

Thay công thức (10) vào công thức (25) phương trình vòng kín của các vận tốc được đưa ra:

(26)

Trong hệ thống thích nghi, các tham số của bộ điều khiển vận tốc tịnh tiến

được định nghĩa là , .

Bởi vậy phương trình (26) có thể được viết dưới dạng sau:

(27)

Mô hình mẫu cho sai số vận tốc là:T>0 (28)

Trong đó T là hằng số thời gian tắt dần của sai số mà nên được chỉnh định bằng tay dựa trên một vài tham số; chẳng hạn sự giới hạn của cơ cấu chấp hành, tốc độ hội tụ của bộ điều khiển động học phi tuyến [12] và trong một hệ thống trích mẫu , nó phải lớn hơn ít nhất 4 lần hằng số thời gian trích mẫu. Phương trình (28) được viết theo dạng của phương trình (27) sử dụng :

(29)

Sai số thích nghi là hiệu giữa v và vận tốc của mô hình mẫu : Đạo hàm theo thời gian của e cho ra sai số động lực học:

(30) Hàm Lyapunov suy diễn sau thì được hướng dẫn bởi lý thuyết Hệ Thống Thích Nghi Theo Mô Hình Mẫu:

;

, >0 (31) Đạo hàm của nó thì nhận được bởi thay từ phương trình (30):

(32) Luật thích nghi được định nghĩa bởi việc làm thừa số thứ 2 và thứ 3 bằng 0 để khiến xác định âm:

(33)

(34)

Tương tự với vận tốc góc:

, (35)

Các tham số sẽ được chỉnh định để hệ đạt được chất lượng mong muốn.6. Kết quả mô phỏng Phần này minh họa chất lượng của bộ điều khiển được đưa ra, với sự có mặt của các thành phần bất định. Các tham số được điều chỉnh để so sánh kết quả với các bộ điều khiển của [4] và [10]. Các giá trị bình thường của khối lượng và mô men quán tính tương ứng là 1 và 0.5, các tham số của bộ điều khiển trong phương trình (17) và (19) thì đơn giản được đặt là:

, và các hệ số khuyếch đại thích

nghi và được sử dụng.Hình 3 thể hiện sự hội tụ của các biến sai lệch bám.

Hình 3: (a)Hội tụ của các biến sai lệch(b)Vận tốc tịnh tiến và vận tốc

quay của rô bốt di động. Hiệu quả của bộ điều khiển này với sự tồn tại các thành phần bất định được thể hiện từ hình 4 đến 6. Các điều kiện đầu được đặt là x(0)=1 , y(0)=1 ,

. Trong hình 4, các tham số được đặt bằng giá trị thường. Tất cả các biến sai lệch hội tụ về 0 trong 3s. Trong

hình 5 các giá trị bình thường được thay đổi thành m=4 và I=2 .Nó có thể được tạo nên khi robot muốn mang một đối tượng. Hình vẽ thể hiện sự giao động của bộ điều khiển không thích nghi kéo dài hơn 10s. Trong trạng thái này bộ điều khiển thích nghi làm việc hoàn hảo (hình 6) . Các biến sai lệch trở về 0 trong khoảng 4s. Hình 7 thể hiện sự hội tụ của các tham số điều khiển thích nghi.

Hình 4. Sự hội tụ của các biến sai lệch trong một hệ thống điều khiển đơn giản với các tham số bình thường của m và I

Hình 5. Thể hiện của hệ thống điều khiển không thích nghi khi các tham số m và I khác các giá trị thường.

Hình 6. Thể hiện của hệ thống điều khiển thích nghi khi các tham số m và I khác các giá trị thường.

Hình 7 . Sự hội tụ của các tham số chỉnh định của bộ điều khiển theo mô hình mẫu.7. Kết luận Với mục đích lọc ra độ bất định của (cấu trúc)mô hình trên sự thể hiện của hệ thống điều khiển robot di động ,mô hình động lực học lý tưởng đã được sử dụng. Các đặc tính chính của bộ điều khiển được đưa ra đó là độ bền vững của hiệu quả chống lại sự thay đổi tham số khối lượng và mô men quán tính của robot. Bộ điều khiển được thiết kế chia làm 2 phần ,phần 1 là bộ điều khiển động học phi tuyến và phần kia là bộ điều khiển thích nghi theo mô hình mẫu để đáp ứng việc bám theo các giá trị vận tốc tịnh tiến và vận tốc quay mong muốn. Các luật điều khiển đơn giản và tường minh đã dẫn đến sự đơn giản trong việc điều chỉnh các tham số để đạt được hiệu quả mong muốn bao gồm bám sai số và điều khiển các tín hiệu. Độ ổn định của hệ thống được thỏa mãn bới việc lựa chọn hàm Lyapunov tương thích. Kết quả mô phỏng đã thể hiện được tính bền vững và hiệu quả của giải pháp này.Tài liệu tham khảo:[1] A.M. Bloch, M. Reyhanoglu, H. McClamorch. “Control and stabilization of nonholonomic dynamic systems”, IEEE

Tran. On Automatic Control, 37, 11, pp. 1746-1757, (1992).[2] d’Andrea Novel, G. Campion, G. Bastin. “Control of wheeled mobile robots not satisfying ideal velocity constraints: a singular perturbation approach”, Int. J. of Robust Nonlinear Control, 5, pp. 243-267, (1995).[3] W. Dong, W. Huo. “Tracking control of wheeled mobile robots with unknown dynamics”, proc. of IEEE Int. conf. on Robotics and Automation, Detroit, pp. 2645-2650 (1999).[4] W. Dong, W.L. Xu. “Adaptive tracking control of uncertain nonholonomic dynamic system”, IEEE Tran. On Automatic Control, 46, 3, pp. 450-454 (2001).[5] O.J. Sordalen, O. Egeland. “Exponential stabilization of nonholonomic chained systems”, IEEE Tran. On Automatic Control, 40, 1, pp. 35-49, (1995).[6] Walsh, Tillbury, Sastry, Murray, Laumond. “Stabilization of trajectories for systems with nonholonomic constraints”, IEEE Tran. On Automatic Control, 39, pp. 216-222, (1994).[7] Y. Kanayama, Y. Kimura, F. Miyazaki, T. Noguchi. “A stable tracking control scheme for an autonomous mobile robot”, proc. of IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, pp. 384-389, (1990).[8] R.M. Murray, G. Walsh, S.S. Sastry. “Stabilization and tracking for nonholonomic control systems using time

varying state feedback”, IFAC Nonlinear Control systems design, pp. 109-114, (1992).[9] R. Fierro, L. Lewis. “Control of a nonholonomic mobile robot: backstepping kinematics into dynamics”, proc. of the 34thIEEE Conf. on Decision & Control, New Orleans, pp. 3805-3810, (1995).[10] Z.P. Jiang, H. Nijmeijer. “Tracking control of mobile robots: A case study in Backstepping”, Automatica, 33, 7, pp. 1393-1399, (1997).[11] H.G. Tanner, K.J. Kyriakopoulos. “Discontinuous backstepping for stabilization of nonholonomic mobile robots”, proc. of IEEE Conf. on Robotics and Automation, Washington DC, pp. 3948-3953, (2002).[12] A. Gholipour, S.M. Dehghan, M. Nili Ahmadabadi.“Lyapunov based tracking control of nonholonomic mobilerobot”, proc. of 10thIranian conference on electrical engineering, Tabriz, Iran, 3, pp. 262-269, (2002).