Digitales Ii Tema2 Algebra De Boole

CIRCUITOS DIGITALES – ALGEBRA DE BOOLE J. Gómez-García

Tema 2:

Algebra de Boole


VARIABLE LÓGICA:• Toma valores entre dos posibles (2 estados).• Los dos valores posibles son mutuamente excluyentes.• Ambos valores pueden expresarse mediante sentencias declarativas.

verderojo =

verderojoverde == AA =

Ejemplos:Estado de una bombilla (A) -A = encendido ó A = apagadoEstado de un semáforo (A, excluyendo amarillo) - A = rojo ó A = verde

• Puesto que ambas posibilidades son excluyentes, se dice que representan estados complementarios:

- Si A = rojo = no verde, e.d.,

•Operador de conjugación (negación)-Cambia (conmuta) el estado de una variable-La doble conjugación no altera el estado el estado de la variable:

A


FUNCIÓN LÓGICA:• Permite calcular o conocer el valor de una variable a partir del valor de otras variables de las cuales depende.• La dependencia puede expresarse algebraica o mediante una “tabla de verdad”.

Ejemplo:Estado de un semáforo (A): -A=rojo ó A=verdeReacción de un conductor (B): -B=parar ó B =continuar

Función: Conductor responsable Función: Conductor suicida

NOTACIÓN DE LOS ESTADOS:• La notación universal para los estados de una variable lógica cualquiera. Varias opciones:

-Verdadero ó Falso (V ó F)-True or False (T or F)-1 ó 0 ( Notación electrónica digital)

continuarverdepararrojo

B=f1(A)A

pararverdecontinuarrojo

B=f2(A)A


FUNCIÓNES DE UNA VARIABLE:

11B=110

B=f3(A)A

01B=-A10

B=f2(A)A

11B=A00

B=f1(A)A

01B=000

B=f0(A)A


FUNCIÓNES DE DOS VARIABLES:• Pueden definirse 16 funciones diferentes, rellenando con “0” y “1” las diferentes casillas de la tabla de verdad Z=f(A, B):

11

01

10

00

f(A,B)BA

• Poniendo especial cuidado en que estén presentes todas las combinaciones de A y B.

• Algunas de las 16 funciones de dos variables poseen cierta importancia y se tratarán a continuación como “casos especiales”


FUNCIÓN “AND”: Z=A·B (Z=A and B; Z=A y B; Z=AB)- “Z vale 1 solamente cuando A y B valen 1”

111001010000

f(A,B)=A·BBA

1

0

0

0

f(A,B)=A·B

111

001

010

000

f(A,B)=B·ABA

•También denominada “producto lógico de variables”, su tabla de verdad se parece a una tabla de multiplicar, pero hay que recordar que se trata de variables lógicas, no de números naturales.

• Es una función u operación conmutativa ya que: A·B=B·A


• Es una función u operación asociativa: (A·B)·C=A·(B·C)=A·B·C

00000001

00010001

00000001

00000011

01010101

00110011

00001111

A·(B·C)B·C(A·B)·CA·BCBA


FUNCIÓN “OR”: Z=A+B (Z=A or B; Z=A o B)- “Z vale 1 cuando A ó B (o ambos) valen 1”

111101110000

Z=A+BBA

•También denominada “suma lógica de variables”, su tabla de verdad se parece a una tabla de sumar, salvo en el último caso, pero hay que recordar que se trata de variables lógicas, no de números naturales.

• Es una función u operación conmutativa ya que: A+B=B+A

1

1

1

0

f(A,B)=A+B

111

101

110

000

f(A,B)=B+ABA


• Es una función u operación asociativa: (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C

01111111

01110111

01111111

00111111

01010101

00110011

00001111

A+(B+C)B+C(A+B)+CA+BCBA


FUNCIÓN “NAND”: Z=not (A and B); - “Z vale 0 solamente cuando A y B valen 1”

BAZ ·=

011101110100

BA

• Inversa de la función AND, según se ha definido: el nombre es la contracción de NOT AND• Es una función u operación conmutativa ya que: ABBA ·· =

0

1

1

1

011

101

110

100

BA BA· AB·

BAZ ·=


Y no es asociativa:CBACBACBA ··)·(··)·( ≠≠

11110001

11101110

10101011

11111100

01010101

00110011

00001111

CBA BA· CB·CBA ·)·( )·(· CBA


BAZ +=

011001010100

BA

• Inversa de la función OR, según se ha definido: el nombre es la contracción de NOT OR• Es una función u operación conmutativa ya que: ABBA +=+

0

0

0

1

011

001

010

100

BA BA + AB+

FUNCIÓN “NOR”: Z=not (A or B); - “Z vale 0 cuando A o B (o ambos) valen 1”

BAZ +=


CBACBACBA ++≠++≠++ )()(

01110000

10001000

00101010

11000000

01010101

00110011

00001111

CBA BA+ CB +CBA ++ )( )( CBA ++

Y no es asociativa:


BAZ ⊕=

011101110000

BA

• Parecida a la OR, pero Exclusive-Or = XOR

• Es una función u operación conmutativa ya que:

0

1

1

0

011

101

110

000

BA BA⊕ AB⊕

FUNCIÓN “OR Exclusiva” ; - “Z vale 1 cuando A ó B (sólo uno de ellos) valen 1”

BAZ ⊕=

ABBA ⊕=⊕


01101001

01100110

01101001

00111100

01010101

00110011

00001111

CBA BA⊕

Es asociativa:CBACBACBA ⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕ )()(

CBA ⊕⊕ )( CB⊕ )( CBA ⊕⊕

Demuestra que:

BABABABABABABABA

····

+=⊕=⊕=⊕

+=⊕


Doble distributividad:

))·(()·(··)·(

CABACBACABACBA++=+

+=+

Leyes de Morgan:

BABABABA

··

=+

+=


ALGEBRA DE BOOLE:Definición:•Conjunto de variables lógicas Z (0 ó 1)•Operadores binarios: OR, AND•Operador unario: NOT

Involución

Complemento

A+B=B+A; A·B=B·A

Conmutatividad

A+A=A; A·A=AIdempotencia

A+1=1; A·0=0Invariante

A+0=A; A·1=AElemento Neutro

Si A,B∈Z A+B∈Z; A·B∈ZCierre

Propiedades:

0A·A;1AA ==+

AA =


A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C; A·(B·C)=(A·B)·C=A·B·CAsociatividad

Leyes de Morgan

Teoremas desimplificación

A·(B+C)=(A·B)+(A·C)A+(B·C)=(A+B)·(A+C)

Doble Distributividad

BABABABA ·;· =++=

B·A)B·A(0)B·A()A·A()BA·(A

BA)BA·(1)BA)·(AA(BAA

A0AB·BA)BA)·(BA(

A1·A)BB·(AB·AB·A

A0A)B.0(A)BA)·(0A()BA·(AA1·A)B1·(AB·A1·AB·AA

=+=+=+

+=+=++=+

=+=+=++

==+=+

=+=+=++=+==+=+=+


ALGEBRA DE CIRCUITOS:Los circuitos sencillos contienen:• Una bombilla• Una fuente de alimentación• Uno o varios interruptoresy estos pueden describir el álgebra de Boole.

Estado de la bombilla: Z=1 (encendida); Z=0 (apagada)Estado del interruptor: A=1 (cerrado); A=0 (abierto)

Z=A Z=A·B Z=A+B

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