Dimensi Tiga

1

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas X Semester 2

Tri Rusdiyono, S.Pd.

http://berbagimedia.wordpress.com

BANGUN-BANGUN RUANG

A . KUBUS Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam buah persegi yang kongruen.

Sifat-sifat kubus : 1. Mempunyai 6 bidang sisi, 12 rusuk, dan 8 titik sudut 2. Mempunyai 12 garis diagonal bidang. 3. Mempunyai 4 garis diagonal ruang. 4. Mempunyai 6 bidang diagonal ruang.

Info

Jika panjang rusuk

kubus ABCD.EFGH

samadengan a satuan,

maka :

1 . Panjang diagonal

bidang kubus

tersebut samadengan

satuan .

2 . Panjang diagonal

bidang kubus

tersebut samadengan

satuan .

T a m p i l a n K u b u s T i g a

D i m e n s i

Putarlah gambar di atas dengan menggunakan mouse Anda.

( Anda harus memastikan bahwa file ini dibuka dengan

Adobe Reader 9.0 atau versi sesudahnya ).

Download Adobe Reader

http://get.adobe.com/reader/

2




B . LIMAS Limas adalah bangun ruang yang dibentuk oleh bidang alas yang

berbentuk segi-n dan bidang-bidang sisi tegak yang berbentuk

segitiga, dengan alas segitigasegitiga tersebut berimpit dengan sisi-

sisi segi-n dan puncak segitiga-segitiga tersebut berimpit di satu

titik.

Jenis-jenis limas ditinjau dari bentuk bidang alas, dan letak titik puncaknya: 1 . Limas sembarang , jika alas limas berbentuk segi-n sembarang dan letak titik

puncak sembarang.

2 . Limas beraturan , jika alas limas berbentuk segi-n

beraturan, rusuk-rusuk tegak limas tersebut sama

panjang dan proyeksi titik puncak limas berimpit dengan

titik pusat bidang alas. Beberapa limas khusus: 1 . Limas segiempat beraturan. Adalah limas yang

alasnya berbentuk segiempat beraturan dan rusuk-rusuk tegaknya sama panjang.

2 . Limas segitiga, adalah limas yang alasnya berbentuk segitiga. Limas segitiga ini disebut juga dengan nama Bidang Empat.

Info

Perbandingan Penting !

Pada limas T.ABC, alas berbentuk segitiga sama sisi, dan proyeksi titik puncak berimpit dengan titik pusat bidang alas ( titik berat segitiga alas ), berlaku :

EO : OA = 1 : 2 DO : OC = 1 : 2 FO : OB = 1 : 2

Putarlah gambar di atas dengan menggunakan mouse Anda.

( Anda harus memastikan bahwa file ini dibuka dengan Adobe Reader 9.0 atau versi sesudahnya ).

Download Adobe Reader

L i m a s S e g i e m p a t

B e r a t u r a n

B i d a n g E m p a t

http://get.adobe.com/reader/

3




CONTOH

1 . Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik R adalah titik

potong garis diagonal EG dan HF. Titik S terletak di tengah-tengah rusuk CG. a . Hitunglah panjang AR, RS dan AS.

b . Hitunglah nilai cosinus RAS. c . Jika RT adalah garis tinggi yang ditarik dari titik R pada segitiga RAS, hitunglah panjang

RT. 2 . Diketahui bidang empat T.ABC, dengan alas segitiga samasisi ABC. Jika TA=TB=TC= 6 cm,

dan AB=BC=AC= 4 cm. a . Jika TD adalah garis tinggi yang ditarik dari titik T pada segitiga TBC, hitunglah panjang

TD dan AD. b . Jika O adalah titik pusat bidang alas, hitunglah panjang TO ( tinggi bidang empat ). 1 . Panjang AS dihitung dengan bantuan segitiga ACS yang siku-siku di C.

AS = 22 CSAC

= 22 4)28(

= 16128 = 144 =12 cm

b . Nilai cosinus RAS adalah :

Cos RAS = ARAS

RSARAS

..2

222 =

64.12.2

)34()64(12 222

= 696

4896144 =

696

192 = 6

3

1

6

6

6

2

c . Untuk mempermudah penghitungan panjang RT, maka segitiga RAS digambarkan pada bidang datar sbb : Cara I :

222222 )64(RTATARRT x ……….. 1)

222222 )12()34(RTTRRT xSS ……….. 2)

Dari 1) dan 2 ) diperoleh :

8241444896

)12()34()64(

22

2222

xxxx

xx

Jadi : 328)64(RT 222

2432 RT cm

Cara II :

Karena 643

6RAScos

x , maka :

83

64.6x cm

Jadi : 328)64(RT 222

2432 RT cm

a . Panjang AR dihitung dengan bantuan segitiga AER yang siku-siku di E.

AR =

=

= = = cm

Panjang RS dihitung dengan bantuan segitiga RGS yang siku-siku di G.

RS =

=

= = = cm

JAWAB

4




Cara III : Karena AS² = AR² + RS² , berarti segitiga ARS siku-

siku di R,

Jadi : AS

RS.ARRT

12

34.64RT

2412

1816 RT cm.

2 . a . Panjang TD dihitung dengan menggunakan segitiga TCD yang siku-siku di D.

243226 2222 CDTCTD

Panjang AD dihitung dengan menggunakan segitiga ABD yang siku-siku di D.

321224 2222 BDABAD

b . Karena alas bidang empat T.ABC berbentuk segitiga sama sisi, maka O adalah titik berat segitiga ABC tersebut, jadi :

33

232

3

1

3

1 ADDO

Jadi : 2

222 33

2)24(

DOTDTO

cm53

2

9

20

1 . Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. a . Jika P titik tengah rusuk GH, hitunglah panjang AP dan PC.

b . Hitunglah cosinus ACP. c . Jika PT merupakan garis tinggi pada segitiga APC yang ditarik dari titik P,

hitunglah panjang PT ! 2 . Diketahui limas segiempat T.ABCD, dengan TA=TB=TC=TD= 8 cm, dan

AB=BC=CD=AD = 6 cm. a . Jika TP merupakan garis tinggi pada segitiga TBC, hitunglah panjang TP. b . Hitunglah tinggi limas tersebut.

c . Jika TR merupakan garis tinggi pada segitiga TAD, hitunglah cosinus TPR 3 . Diketahui bidang empat A.BCD, dengan AB=AC=AD=12 cm, dan BC=BD=CD= 8

cm. a . Jika AT adalah garis tinggi pada segitiga ACD, hitunglah panjang AT.

b . Hitunglah cosinus BAT.

Jika segitiga ABC siku-siku di A, maka panjang garis tinggi AD dapat dihitung dengan rumus :

Info

LATIHAN 1

5




KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG

C . UNSUR-UNSUR RUANG Yang dimaksud dengan unsur-unsur ruang adalah : 1 . Titik Sebuah titik ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai besaran ( ukuran ). Sebuah

titik dilukiskan dengan tanda noktah dan diberi nama dengan huruf kapital. 2 . Garis Sebuah garis diberi nama dengan huruf kecil. 3 . Bidang. Sebuah bidang diberi nama dengan huruf kapital atau abjad yunani yang dituliskan pada

sudut wakil bidang tersebut, atau diberi nama dengan titik-titik sudut wakil bidang. Contoh : Aksioma-aksioma : 1 . Melalui dua buah titik hanya dapat dibuat sebuah garis

lurus. 2 . Jika sebuah garis dan sebuah bidang

mempunyai dua titik persekutuan, maka garis tersebut seluruhnya terletak pada bidang.

3 . Melalui tiga buah titik yang tidak segaris hanya dapat

dibuat sebuah bidang. Teorema menentukan sebuah bidang : 1 . Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut. 2 . Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis yang berpotongan. 3 . Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis yang sejajar.

A

B

A B

A B

C

W

Bidang W

Bidang A B

C D

Bidang ABCD

6




D . KEDUDUKAN ANTAR UNSUR RUANG

Kedudukan Antara Titik dan Garis

Kedudukan Antara Titik dan Bidang

Titik terletak di luar garis.

Titik terletak pada garis ( dilalui garis ).

Titik terletak di luar bidang.

Titik terletak pada bidang.

7




Kedudukan Antara Dua Garis

g

l

Dua garis berpotongan Dua buah garis dikatakan berpotongan jika kedua garis memiliki satu titik persekutuan

g

l

Dua garis berimpit Dua buah garis dikatakan berimpit jika kedua garis memiliki titik persekutuan yang tak hingga banyaknya.

Dua garis sejajar Dua buah garis dikatakan sejajar jika kedua garis diperpanjang tidak pernah berpotongan.

Dua garis bersilangan Dua buah garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tidak berpotongan sekaligus tidak sejajar. Contoh garis g yang terletak

pada bidang bersilangan

dengan garis k pada bidang .

8




Kedudukan Antara Garis dan Bidang

Garis memotong bidang Perpotongan antara sebuah garis dan bidang berupa titik.

Garis berimpit dengan bidang Garis dikatakan berimpit dengan bidang, jika garis tersebut terletak seluruhnya pada bidang.

Garis sejajar dengan bidang Garis dikatakan sejajar dengan bidang, jika garis garis tersebut diperpanjang dan bidang diperluas tidak pernah berpotongan.

Mas Trie

Typewritten Text

Mas Trie

Typewritten Text

Mas Trie

Typewritten Text

Mas Trie

Typewritten Text

Mas Trie

Typewritten Text

Mas Trie

Typewritten Text

Mas Trie

Typewritten Text

Garis memotong bidang

Mas Trie

Typewritten Text

Mas Trie

Typewritten Text

Mas Trie

Typewritten Text

Garis sejajar bidang

Mas Trie

Typewritten Text

Garis berimpit bidang

Mas Trie

Typewritten Text

Mas Trie

Typewritten Text

Mas Trie

Typewritten Text

9




CONTOH

Kedudukan Antara Dua Bidang

1 . Diketahui kubus ABCD.EFGH. a . Gambarlah kubus tersebut. b . Gambarlah bidang ACGE dan AFH. c . Gambarlah garis potong antara bidang ACGE dan AFH. d . Gambarlah titik tembus dari garis CE pada bidang AFH. 2 . Diketahui limas T.ABCD, dengan alas berbentuk persegi. Titik E terletak di tengah-tengah

rusuk TC, dan titik F terletak di tengah-tengah rusuk TA. a . Gambarlah bidang BED. b . Gambarlah bidang TAC. c . Gambarlah garis potong antara bidang BED dan TAC. d . Gambarlah titik tembus dari garis CF pada bidang BED. 1 . Langkah-langkah menggambar :

a . menggambar kubus ABCD.EFGH b . menggambar bidang ACGE dan AFH c . menggambar garis potong antara bidang ACGE dan AFH. Untuk menggambar garis potong ini, perlu ditentukan terlebih dahulu 2 buah titik yang dilalui oleh bidang ACGE dan AFH. Kedua titik tersebut adalah titik A dan titik potong garis diagonal bidang EFGH ( misal diberi nama titik O ). d . menggambar titik tembus garis CE pada bidang AFH. Karena garis CE terletak seluruhnya pada bidang ACGE, dan bidang ACGE berpotongan dengan bidang AFH di garis AO, maka titik tembus garis CE dan bidang AFH diperoleh pada

perpotongan garis CE dan AO.

Dua bidang sejajar Dua buah bidang dikatakan sejajar jika kedua bidang diperluas tidak pernah berpotongan.

Dua bidang berpotongan Perpotongan dari dua buah bidang berbentuk garis lurus.

Dua bidang berimpit

JAWAB

10




LATIHAN 2

2 . Langkah-langkah menggambar : a . menggambar limas T.ABCD, menentukan letak titik E dan F, serta menggambar bidang BED. b . menggambar bidang TAC. c . menggambar garis potong antara bidang BED dan TAC dengan terlebih dahulu menentukan dua buah titik yang dilalui oleh kedua bidang yaitu titik E dan O, kemudian kedua titik dihubungkan dengan garis. d . titik tembus garis CE pada bidang BED diperoleh pada perpotongan antara garis CE dan EO.

1 . Gambarlah kubus ABCD.EFGH. a . Jika titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk CG dan DH,

gambarlah titik P dan Q. b . Gambarlah bidang BDP dan ACQ. c . Tentukan garis potong antara bidang BDP dan ACQ. 2 . Gambarlah kubus ABCD.EFGH. a . Gambarlah bidang BDHF. b . Tentukan titik potong antara garis CE dengan bidang BDHF. 3 . Gambarlah limas T.ABCD dengan alas berbentuk persegi. a . Titik P terletak pada rusuk TC sedemikian hingga CP : PT = 1 : 3.

Gambarkan titik P !

b . Titik Q terletak pada rusuk TA sedemikian hingga TQ = 4

1TA.

Gambarkan titik Q. c . Gambarlah titik potong garis CQ pada bidang BPD. d . Gambarlah titik potong antara garis PQ dengan bidang ABCD

( Petunjuk : titik potong terletak di luar limas )

11




CONTOH

JARAK DI RUANG BERDIMENSI TIGA

E . JARAK ANTARA DUA TITIK

A

B

Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis yang menghubungkan titik A dan B

1. Diketahui kubus ABCD . EFGH .Titik P adalah titik pada rusuk CG

sedemikian hingga CP = 4

1CG dan O adalah titik potong diagonal

bidang sisi EG dan FH . Jika panjang rusuk kubus tersebut 10 cm, hitunglah jarak antara titik P dan O !

2. Diketahui limas segiempat T . ABCD , dengan AB = 8 cm , BC = 6 cm , dan TA=TB=TC=TD= 20 cm. Titik P terletak pada rusuk TA dengan TP = 6 cm dan titik Q terletak pada rusuk TC dengan CQ = 4 cm. Hitunglah jarak antara titik P dan Q !

1 . Jarak antara titik P dan O samadengan panjang ruas

garis PO. Panjang PO dihitung dengan segitiga POG yang siku-

siku di titik G.

Diketahui : CP = 2

510

4

1 cm , dan OG =

252102

1 cm

Jadi, PO 2 = GP 2 + OG 2 = 4

22550

4

25

PO = 2

17

2

15

4

225 cm

2 . Jarak antara titik P dan Q adalah panjang PQ. Untuk menghitung panjang PQ digunakan segitiga TAC. Pada segitiga TAC :

100366468ACBCABAC 222222

cm10 AC

8

7

800

700

20.20.2

102020

TC.TA.2

ACTCTATcos

222222

Pada segitiga TPQ :

Tcos.TQ.TP.2TQTPPQ 222

1248

7.16.6.2166 22

Jadi jarak antara titik P dan Q adalah :

cm312124PQ

JAWAB

12




LATIHAN 3

CONTOH

1. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.Titik P terletak pada rusuk AE, sedemikian hingga AP : PE = 3 : 2 . Hitunglah jarak antara titik P dengan titik G !

2. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 16 cm.Titik O adalah titik potong garis diagonal ruang. Titik Q adalah titik tengah rusuk GH. Hitunglah jarak antara titik O dengan titik Q !

3. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 8 cm.Titik R terletak pada perpanjangan rusuk DC ( titik R terletak di luar kubus ), sedemikian hingga DC : CR = 4 : 1 .Hitunglah jarak antara titik R dengan titik E !

4 . Diketahui limas T.ABCD dengan AB=6 cm, BC=4 cm, TA=TB=TC=TD= 8 cm. Titik P terletak di tengah-tengah rusuk AB, dan titik Q terletak di tengah-tengah rusuk TC. Hitung jarak antara titik P dan Q.

5. Diketahui limas segiempat beraturan T . ABCD , dengan AB = 6 cm dan TA=TB=TC=TD =18 cm. Titik O adalah titik potong diagonal bidang alas. Titik P

terletak pada rusuk TC sedemikian hingga TC3

1TP . Hitunglah jarak antara titik O

dan P !

F . JARAK TITIK DENGAN GARIS

g

A

A’

Langkah-langkah menghitung jarak antara titik A dan garis g adalah sebagai berikut : 1. Buatlah ruas garis yang melalui titik A dan

tegaklurus garis g , misalkan ruas garis tersebut memotong garis g di titik A’.

2. Jarak antara titik A dan garis g sama dengan panjang ruas garis AA’.

1. Diketahui kubus ABCD . EFGH , dengan panjang rusuk 4 cm. Titik

K adalah titik potong diagonal AC dan BD. Hitunglah jarak titik E dengan garis KG !

2. Diketahui limas segiempat beraturan T . ABCD , dengan panjang rusuk alas 8 cm , TA=TB = TC = TD= 12 cm. Jika E titik tengah rusuk TA, hitunglah jarak titik E dengan garis BD !

A B

CD

E F

GH

K

E'

K

E

GE'

cm62

cm62 cm24

cmx cm62 x

1 . Perhatikan gambar ! Jarak titik E dengan garis KQ = panjang EE’ , untuk menghitung panjang EE’ digunakan segitiga EKG. Pada segitiga GKC :

KC = 22 cm

GC = 4 cm

Jadi : 24168422 KGCGKCKG 222222 cm6224KG

JAWAB

13




LATIHAN 4

EK = cm6224KG

Pada segitiga EKE’ :

2222222 24x62EE'KE'EKEE' x …….. 1 )

Pada segitiga EGE’ :

22222222 648642432-6224EE'GE'EGEE' xxxxx

…….. 2 ) Dari 1 ) dan 2 ) diperoleh :

6

4166424648 22 xxxxx

Dari 1 ) diperoleh : 3

64

3

872

3

824

6

1624

6

42424EE'

2

22

x

Jadi jarak antara titik E dengan garis KG adalah : cm33

8

3

3

3

8

3

64EE 2

2 . Jarak titik E ke garis BD sama dengan panjang EO, dengan O titik potong diagonal bidang

ABCD. Salah satu cara menghitung panjang EO adalah dengan menggunakan segitiga TAC. Perhatikan segitiga ACT :

28.12.2

122812

..2cos

222222

ACCT

TAACCTC 2

3

1

23

2

2192

128

2192

144128144

Perhatikan segitiga OCE :

CCECOCECOEO cos...2222 3632363223

1.6.24.2624 22

Jadi : cmEO 636

1. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 16 cm. Titik R adalah titik tengah

rusuk AB. Hitunglah jarak titik H dengan garis RG ! 2. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 15 cm.Titik P terletak pada rusuk

AE, sedemikian hingga AP : PE = 1 : 4 . Hitunglah jarak antara titik H dengan garis PG ! 3. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 9 cm.Titik O adalah titik potong

diagonal bidang ABCD. Titik K terletak pada rusuk BF, dengan BK = 4 cm. Hitunglah jarak antara titik O dengan garis HK !

4. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 24 cm.Titik P adalah titik tengah

rusuk GH, titik Q adalah titik tengah rusuk BC, dan titik R adalah titik potong diagonal sisi ABFE. Hitunglah jarak antara titik Q dengan garis PR !

5. Diketahui limas segiempat T . ABCD , dengan AB = 12 cm , BC = 9 cm , dan TA=TB=TC =TD= 24 cm. Hitunglah jarak antara titik A dengan rusuk TC ! 6. Diketahui bidang empat beraturan T . ABC , dengan panjang rusuk-rusuknya 12 cm.

Titik P titik tengah rusuk AB. Hitunglah jarak antara titik P dengan garis TC !

14




CONTOH

GARIS TEGAKLURUS BIDANG

G . JARAK TITIK DENGAN BIDANG Langkah-langkah menentukan jarak antara titik A dengan bidang α , adalah sebagai berikut :

1. Buatlah ruas garis yang melalui titik A dan tegaklurus

pada bidang α . 2. Tentukan titik potong antara garis tersebut dengan

bidang α , misalkan garis memotong bidang α di titik A’. 3. Jarak antara titik A dengan bidang α sama dengan

panjang AA’.

1. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 12 cm . Titik P

terletak pada rusuk BF sedemikian hingga BP = 3

1 BF . Hitunglah

jarak antara titik F dengan bidang PEG ! 2. Diketahui limas T . ABCD dengan alas berbentuk persegi. Panjang AB =BC= 4 cm , dan

TA=TB=TC= 6 cm . Jika E titik tengah rusuk BC, hitunglah jarak titik E ke bidang TAD !

A B

CD

E F

GH

P

F'

O

Jarak antara titik F dengan bidang EGP sama dengan panjang FF’. Untuk menentukan panjang FF’ menggunakan segitiga OPF. Pada segitiga OFF’ :

22222 3446421367234226FF' xxxxx ……….. 1 )

Pada segitiga PFF’ :

2222 648FF' xx ……….. 2 )

Dari 1 ) dan 2 ) :

34

321283446434464 22 xxxxx

1.

Teorema Jika garis g tegaklurus dengan

bidang , maka semua bidang yang melalui garis g akan tegaklurus

dengan bidang

Garis g tegak lurus pada bidang α jika garis g tegaklurus pada dua buah garis yang berpotongan pada bidang α .

JAWAB

15




LATIHAN 5

Dari 2 ) :

34

1152

34

10242176

34

326464FF'

2

22

x

Jadi jarak antara titik F dengan bidang EGP adalah :

cm1717

24

34

39168

34

34

34

1152

34

1152FF'

2 . Jarak titik E ke bidang TAD sama dengan panjang ruas garis EH, dan dihitung dengan menggunakan segitiga TGE.

Panjang TE = 243226 22

22222222 24244 xxTHTEGHEG

2

228323216 22 xxxx

Jadi : 14142162

24

222

EHEH

1. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Titik P terletak pada

rusuk AE , dan titik Q pada rusuk BF . AP = BQ = 5 cm . Hitunglah jarak antara titik F dengan bidang PQGH !.

2. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Hitunglah jarak antara titik F dengan bidang BEG !.

3. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Titik P dan Q berturut-turut titik tengah rusuk EF dan FG . Hitunglah jarak antara titik F dengan bidang BPQ !.

4. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 14 cm. Titik P terletak pada rusuk AE dengan AP = 6 cm . Hitunglah jarak antara titik E dengan bidang PFH !.

5. Diketahui limas segiempat T . ABCD dengan AB = 6 cm , CD = 4 cm , dan TA=TB=TC=TD=18 cm. Titik P adalah titik tengah rusuk AD. Hitunglah jarak titik P ke bidang TBC !

6. Diketahui limas segiempat beraturan T . ABCD dengan panjang rusuk alas 6 cm dan TA=TB=TC =TD=26 cm. Hitunglah jarak titik T ke bidang alas !

16




CONTOH

LATIHAN 6

PROYEKSI GARIS PADA BIDANG

A

B

C

D

E

A’ B’C’

D’E’

Proyeksi dari sebuah garis pada sebuah bidang adalah bayangan dari garis tersebut pada bidang. Langkah-langkah menentukan proyeksi dari sebuah garis g pada bidang α adalah sebagai berikut : 1. Tentukan dua buah titik pada garis g , kemudian

tentukan bayangan dari kedua titik pada bidang α dengan cara menentukan titik tembus dari garis yang melalui titik tersebut dan tegaklurus bidang α.

2. Proyeksi garis g pada bidang α dapat ditentukan dengan menghubungkan kedua titik tembus tersebut.

A B

CD

E F

GH

P P'

Proyeksi garis PG pada bidang : 1. ABCD adalah garis AC. 2. ABFE adalah garis PF. 3. BCGF adalah garis P’G. 4. ADHE adalah garis PH. 5. EFGH adalah garis EG.

1. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk-rusuk 16 cm. Hitunglah panjang

proyeksi garis AF pada bidang ACGE ! 2. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk-rusuk 8 cm. Hitunglah panjang

proyeksi garis BF pada bidang BEG ! 3. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk-rusuk 21 cm. Titik P terletak pada pertengahan rusuk BC. Hitunglah panjang proyeksi garis FP pada bidang ACGE ! 4. Diketahui limas segiempat beraturan T . ABCD dengan AB = 6 cm , TA = TB = TC = TD =

15 cm.Hitunglah panjang proyeksi rusuk TD pada bidang alas ! 5. Diketahui limas segiempat T . ABCD dengan AB = 12 cm , BC = 9 cm , dan TA = TB = TC =

TD = 24 cm. Titik P pada rusuk TA dengan panjang AP = 15 cm. Hitunglah panjang proyeksi garis TP pada bidang alas !

17




CONTOH

SUDUT DI RUANG BERDIMENSI TIGA

H . SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG Sudut antara garis g dengan bidang W adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dengan proyeksinya pada bidang W. Langkah-langkah menentukan sudut antara garis g dengan bidang W adalah sebagai berikut :

W

g

A

A’

O

1. Tentukan titik potong antara garis g

dengan bidang W misalkan titik O. Titik

potong ini sebagai titik sudut yang dicari.

2. Tentukan sembarang titik pada garis g misalkan titik Akemudian tentukan proyeksi titik tersebut pada bidang W, yaitu titik A’.

3. Tentukan proyeksi antara garis g dengan bidang W yaitu garis yang melalui OA’.

4. Tentukan sudut α , yaitu sudut yang dibentuk oleh ruas garis OA dan OA’, sudut α inilah yang menjadi sudut antara garis g dengan bidang W.

1. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 8 cm , P adalah titik tengah rusuk HG. Tentukan nilai kosinus sudut antara garis AP dan bidang alas !

2. Diketahui bidang empat T. ABC dengan alas berbentuk segitiga sama sisi. AB = 6 cm, dan TA=TB=TC= 9 cm. Titik D terletak di tengah-tengah pada rusuk BC . Tentukan nilai sinus sudut antara garis TP dengan bidang alas !

A B

CD

E F

GH P

P'

A P'

P

cm54

cm8

cm12

Sudut antara garis AP dan bidang ABCD adalah α , untuk menghitung nilai kosinus α digunakan segitiga APP’ ( lihat gambar ! ).

Jadi : 53

1

12

54cos

2 .

Sudut yang dibentuk oleh garis TD dengan bidang alas adalah TDA.

1.

JAWAB

18




LATIHAN 7

CONTOH

267239 2222 CDTCTD

332736 22222 BDABAD

Perhatikan segitiga AET dan DET :

22222222 26339 xxDEDTAEAT

33

372362781 22 xxxx

Jadi : 73633262222 DETDTE

144

1

2

2

22

7

26

73sin

1. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk-rusuk 8 cm. Hitunglah nilai

kosinus sudut antara garis BF dengan bidang BEG ! 2. Diketahui kubus ABCD . EFGH . Titik O adalah titik potong diagonal sisi EFGH.

Hitunglah nilai sinus sudut antara garis BO dan bidang alas ! 3. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 12 cm . Titik O adalah titik potong

diagonal sisi EFGH .Titik P , Q , dan R berturut-turut titik tengah rusuk AB , CG , dan DH . Hitunglah nilai tangen sudut antara garis OP dan bidang ABQR !

4. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 12 cm . Titik O adalah titik potong diagonal sisi EFGH . Hitunglah nilai kosinus sudut antara garis DO dan bidang BEG !

5. Diketahui kubus ABCD . EFGH. Hitunglah nilai sinus sudut antara garis CE dan bidang BCGF !

6. Diketahui limas segiempat beraturan T . ABCD, dengan AB = 4 cm , TA = TB = TC = TD = 12 cm.

Hitunglah nilai kosinus sudut antara rusuk TC dengan bidang alas ! 7. Diketahui limas segiempat beraturan T . ABCD, dengan AB = 14 cm , TA = TB = TC = TD =

35 cm. P adalah titik tengah rusuk AD. Hitunglah nilai sinus sudut antara garis TP dengan bidang TBC

8. Diketahui limas segitiga beraturan T . ABCD, dengan AB = 9 cm , TA = TB = TC = 18 cm. P adalah titik tengah rusuk AB. Hitunglah nilai kosinus sudut antara garis TP dengan bidang ABCD !

I . SUDUT ANTARA DUA BIDANG

A

A'

A''

Langkah-langkah menentukan sudut antara bidang α dan β adalah sebagai berikut : 1. Tentukan sebuah titik A pada bicang α. 2. Tentukan garis yang melalui titik A dan

tegak lurus pada garis potong bidang α dan β. Tentukan titik potong A’ dari garis ini dengan garis potong bidang α dan β.

3. Tentukan ruas garis A’A’’, yang tegaklurus pada garis potong antara bidang α dan β.

4. Sudut antara garis AA’ dan A’A’’ inilah yang merupakan sudut antara bidang α dan β

1. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 12 cm .

Hitunglah nilai kosinus sudut antara bidang ACF dan bidang ACH !. 2. Diketahui limas segiempat beraturan T . ABCD dengan panjang AB = 8 cm , TA=TB=TC=TD=

20 cm. Hitunglah nilai kosinus sudut antara bidang TBC dan bidang ABCD !

19




LATIHAN 8

A B

CD

E F

GH

O

O

H Fcm212

cm66cm66

Sudut antara bidang ACF dan ACH adalah sudut α. Untuk menghitung nilai kosinus sudut α digunakan segitiga HOF.

3

1

432

144

432

288216216

66.66.2

2216666

OF.OH.2

HFOFOHcos

222222

T

A B

CD

OT'

cm68

cm4

cm234

T

T'O

Sudut antara bidang TBC dan ABCD adalah α . Untuk menghitung nilai kosinus α digunakan segitiga TOT’.

612

1

6

6

62

1

68

4

TT'

OT'cos

1. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang ACH dengan bidang ABCD !

2. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 14 cm. Titik P dan Q berturut-turut titik tengah rusuk CD dan GH .Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang APQE dengan bidang CDHG!

3. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 14 cm. Titik P , Q , R , dan S berturut-turut titik tengah rusuk BC, CD, GH, dan FG .Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang PQRS dengan bidang ABFE !

4. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 14 cm. Titik P terletak pada rusuk BF dengan panjang BP = 9 cm .Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang PAC dengan bidang ABCD !

5. Diketahui kubus ABCD . EFGH dengan panjang rusuk 14 cm. Titik P , dan Q berturut-turut titik tengah rusuk CG, dan DH .Tentukan nilai tangen sudut antara bidang ABPQ dengan bidang CDEF !

6. Diketahui limas segiempat beraturan T . ABCD, dengan AB = 6 cm , TA = TB = TC = TD = 10 cm. Hitunglah nilai kosinus sudut antara bidang TAB dengan bidang TCD !

1.

2.

JAWAB

20




7. Diketahui limas segiempat beraturan T . ABCD, dengan AB = 8 cm , TA = TB = TC = TD = 12 cm. Hitunglah nilai sinus sudut antara bidang TAB dengan bidang TBC !

8. Diketahui limas segiempat beraturan T . ABCD, dengan AB = 10 cm , TA = TB = TC = TD = 10 cm. Titik P dan Q berturut-turut titik tengah rusuk TB dan TC. Hitunglah nilai tangen sudut antara bidang APQD dengan bidang ABCD !

9. Diketahui bidang empat beraturan T . ABC, dengan panjang rusuk-rusuknya 9 cm. Hitunglah nilai kosinus sudut antara bidang TAB dan TBC !

1 . Diketahui T .ABCD limas beraturan.

Panjang rusuk alas 12 cm, dan panjang

rusuk tegak 212 . Jarak A ke TC adalah

… A . 6 cm D . 8 cm

B . 26 cm E . 68 cm

C . 66 cm

( Ebtanas 2000 ) 2 . Diketahui bidang empat beraturan T.ABC

dengan rusuk 4 cm. Titik P pada pertengahan AB. Sudut antara TP dengan bidang alas adalah . Nilai tan = …

A . 22 cm D . 32

1 cm

B . 22

3 cm E . 3

3

1 cm

C . 1 cm ( Ebtanas 2000 )

3 . Diketahui limas segiempat beraturan

T.ABCD. Panjang rusuk tegak 11 cm

dan panjang rusuk alas 22 cm. sudut

antara bidang TAD dan ABC adalah ,

maka cos = …

A . 1111

3cm D . 3

2

1 cm

B . 9

5 cm E .

9

8 cm

C . 149

2 cm

( Ebtanas 2000 ) 4 . Diketahui limas beraturan T.ABCD.

Panjang rusuk AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Jarak titik B dan rusuk TD adalah …

A . 143

1cm D . 14

3

4 cm

B . 143

2 cm E . 142 cm

C . 14 cm

( Ebtanas 2001 ) 5 . Diketahui limas segitiga beraturan PQRS,

panjang rusuk QR = a cm dan PQ = 3a

cm. Sudut antara PS dan bidang QRS adalah , maka nilai cos = …

A . 6

1cm D . 3

3

1 cm

B . 23

1 cm E .

3

2 cm

C . 3

1 cm

( Ebtanas 2001 ) 6 . Pada kubus ABCD.EFGH panjang

rusuknya a cm. Titik Q adalah titik tengah rusuk BF. Jarak H ke bidang ACQ sama dengan …

A . 53

1a D . 6

2

1a

B . 63

1a E . 5

3

2a

C . 52

1a

( Ebtanas 2002 ) 7 . Pada kubus ABCD.EFGH, titik P terletak

di tengah-tengah rusuk AB. Sinus sudut antara bidang PED dan ADHE adalah …

A . 33

1 D . 2

2

1

B . 32

1 E .

2

1

C . 63

1 ( Ebtanas 2002 )

8 . Pada gambar kubus ABCD.EFGH, titik-titik K, L, dan M berturut-turut merupakan titik tengah BC, CD, dan CG. Jarak antara bidang AFH dengan bidang KLM adalah …

A . 32 cm

B . 34 cm

C . 35 cm

D . 36 cm

E . 37 cm

( Ebtanas 2003 )

9 . Perhatikan gambar limas beraturan T.ABCD. P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB, AD, BC, dan CD. Nilai sinus sudut antara bidang TPQ dengan TRS adalah …

21




A . 5

2

B . 5

3

C . 5

4

D . 55

3

E . 55

4

( Ebtanas 2003 )

10 . Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. K adalah titik tengah rusuk AB. Jarak titik K kegaris HC adalah …

A. 4√6 cm D. 9√2 cm B. 6√3 cm E. 6√5 cm C. 5√6 cm

( UN 2004 ) 11 .Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan

rusuk 8 cm.Panjang proyeksi DE pada bidang BDHF adalah …

A. 2√2 m D. 4√6 m B. 2√6 m E. 8√2 m C. 4√2 m

( UN 2004 ) 12. Pada limas segitiga beraturan T.ABCD

yang semuarusuknya sama panjang, sudut antara TA dan bidangABCD adalah …

A. 15 D. 60

B. 30 E. 75

C. 45 ( UN 2004 )

13. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah BC. Jarak M ke EG adalah …

A. 6 cm D. 4√5 cm B. 6√2 cm E. 12 cm C. 6√3 cm

( UN 2005 ) 14 . Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan

rusuk 4 cm.Tangen sudut antara garis CG dengan bidang BDG adalah …

A . 3 D . 33

1

B . 2 E . 22

1

C . 63

1

( UN 2005 )

15 . Diketahui kubus ABCD.EFGH Dari pernyataan berikut: (1) AG tegak lurus CE (2) AH dan GE bersilangan (3) EC tegak lurus bidang BDG (4) Proyeksi DG pada bidang ABCD

adalah CG Yang benar adalah … A. (1) dan (2) D. (1) dan (3)

B. (2) dan (3) E. (2) dan (4) C. (3) dan (4)

( UN 2006 ) 16 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan

rusuk 4 cm.Jika α adalah sudut antara bidang AFH dan bidangCFH, maka sin α = …

A . 23

1 D . 2

3

2

B . 23

2 E .

3

1

C . 3

1

( UN 2006 )

17 . Gambar di bawah adalah sebuah limas beraturan PQRST . Besar sudut antara PT dan alas QRST, adalah …

A. 25 D. 60

B. 30 E. 75

C. 45 (Ebtanas 1990 ) 18 . Jarak titik H ke bidang ACF dalam

kubus ABCD. EFGH yang panjang rusuknya p adalah …

A . p3

1 D . 2p

B . 34

1p E . 3

3

2p

C . 33

1p

(Ebtanas 1990 ) 19 . Gambar di bawah adalah limas segitiga

beraturan D.ABC. Jarak titik D ke bidang alas ABC adalah …

A . 54 D . 37

B . 52 E . 27

C . 44

(Ebtanas 1991 ) 20 . Panjang

rusuk kubus ABCD.EFGH pada gambar di bawah ini adalah 6 cm. Jarak titik E ke bidang BDG adalah …

A . 3 cm D . 34 cm

B . 32 cm E . 36 cm

22




C . 33 cm

(Ebtanas 1992 ) 21 . Gambar di bawah adalah bidang empat

T.ABC yang mempunyai alas segitiga

samasisi. Jika adalah sudut antara

bidang TBC dan ABC, maka tan = …

A . 33

1 D . 2

3

2

B . 1 E . 3

1

C . 3 (Ebtanas 1992 )

22. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Nilai sinus sudut antara CD dan bidang ACH adalah . . . . . . . .

A. 33

1 D. 6

3

1

B. 22

1 E. 6

2

1

C. 23

1

23. Pada kubus ABCD.EFGH diketahui P adalah titik potong tengah rusuk AE. Sudut antara bidang PFH dan bidang BDHF adalah . Nilai sin = . . . . .

A. 63

1 D. 3

3

1

B. 22

1 E. 6

6

1

C. 64

1

24. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4cm. P adalah titik potong EG dan FH. Jarak titik P dan bidang BDG adalah . . . . . cm.

A. 33

1 D. 6

3

1

B. 33

2 E. 6

3

2

C. 33

4

25. Diketahui limas beraturan T.ABC, AB = 6 cm damn TA = 9 cm. Sudut antara TA dan bidang TBC adalah . Nilai tan

= . . . . .

A. 23

7 D.

7

23

B. 24

46 E.

23

237

C. 12

46

26. Dari sebuah bidang empat ABCD

diketahui BC BD, AB BCD, BC =

BD = 23 , dan AB = 3. Sudut antara

bidang ACD dan BCD = . .

A. 6

D.

3

B. 5

E.

2

C. 4

27. Bidang empat beraturan ABCD. Sudut antara bi-dang ABC dan BCD adalah .

Nilai tan =. . .

A. 3

1 D. 2

2

3

B. 22 E. 23

2

C. 2

28. Ditentukan kubus ABCD.EFGH. Tangen sudut antara CG dengan bidang BDG adalah

A. 32

1 D. 3

B. 2 E. 6

C. 22

1

29 . Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. P adalah titik tengah rusuk AB dan adalah sudut

antara garis HP dengan bidang BDHF. Nilai sin = . . . . . .

A. cm6

1 D. cm3

3

2

A

D

C

B

B A

C D

E

H G

F

23




B. cm26

1 E. cm5

3

2

C. cm33

1

30. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik M adalah titik tengah BC. Ja-rak M ke EG adalah . . . . . .

A. cm6 D. cm64

B. cm26 E. cm12

C. cm36

31. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm.Jika M adalah titik tengah AE, maka jarak M dan CH adalah . . . . . ..

A. cm74 D. cm192

B. cm64 E. cm26

C. cm54

32. Diketahui bidang empat T.PQR, TR

tegak lurus bidang PQR, PRQ = 90 0

dan PR = QR = 10 cm. Jika tan ( TPQ,

PQR ) = 25

3, maka TR = . . . . . .

A. cm4 D. cm25

B. cm23 E. cm8

C. cm6

33. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. T adalah titik tengah garis AE dan S adalah perpotongan garis AC dan BD. Jarak T ke garis GS adalah . . . . . . . cm

A. 33

4 D. 35

B. 33

8 E. 3

3

16

C. 34

34. Diketahui limas beraturan T.ABCD

dengan tinggi 3 cm dan panjang AB =

6 cm. Besar su-dut antara TAD dan alas adalah . . . . . . . .

A. 300

D. 90 0

B. 45 0

E. 120 0

C. 600

35. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan

panjang rusuk cm36 . Titik P terletak

pada AB dengan jarak B ke P 6 cm. Jarak titik B ke garis PC . . . . . cm.

A. 33 D. 12

B. 6 E. 13

C. 36

36. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm.Titik P terletak pada pertengahan HG. Sudut antara BP dan bidang ABCD adalah

. Nilai tan = . . . . . .

A. 5

2 D. 2

2

3

B. 55

2 E. 22

C. 55

4

37. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm.Jarak titik E ke AG adalah . . . .( int )

A. cm63

1 D. cm32

B. cm63

4 E. cm64

C. cm33

4

38. Pada limas T.ABCD dengan alas ABCD bujur sangkar dengan sisi = 6 cm, rusuk tegak masing-masing 6 cm. Maka proyeksi AT pada bidang TBD adalah . . . .

A. 23 D. 6

B. 33 E. 26

C. 63

39. Diketahui kubus ABCD.EFGH jika titik P tengah-tengah EH, maka nilai sinus sudut antara P dengan bidang BCGF adalah . . . .( int )

A. 2

1 D. 3

2

1

B. 3

2 E. 5

3

1

C. 22

1

40. Diketahui bidang empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk 12 cm. Jarak antara garis AB dan garis TC adalah . . . .

A. cm6 D. cm12

B. cm26 E. cm312

C. cm36

Documents

Dimensi Tiga