Upload
jejen-abdul-fatah
View
303
Download
18
Embed Size (px)
Citation preview
Disusun oleh :Dita Mustika AmbarwatiEnden Nendah NurjanahGanjar WinajarM. Sigit Sugiman
DIMENSI TIGA(Jarak, Proyeksi, Sudut)
Kompetensi Dasar :
6.1 Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.
6.2 Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga.
6.3 Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga
Standar Kompetensi :
6. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.
SKKD
Kita akan membahas jarak antara:
1. Jarak antara duaTitik
2. Jarak Titik terhadap Garis
3. Jarak Titik terhadap Bidang
4. Jarak antara dua Garis
5. Jarak Garis terhadap Bidang
6. Jarak antara dua Bidang
1. Jarak antara dua titikDefinisi Umum :
Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan kedua titik tersebut.
jarak titik A ke B,
adalah panjang ruas garis
yang menghubungkan
titik A ke B
A
B
Jara
k du
a tit
ik
Contoh :
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
dengan
panjang rusuk a cm.
Tentukan jarak
titik A ke C,
dan titik A ke G
A BCD
HE F
G
a cma cm
a cm
Penyelesaian :
Jadi, diagonal sisi AC adalah7
Perhatikan segitiga ABC yang
siku-siku di B, maka AC = = = =
A BCD
HE F
G
a cm
a cm
a cm
22 BCAB 22 aa
2a2
2a
cm 2a
Jadi, Jarak A ke G adalah 8
Perhatikan segitiga ACG yang
siku-siku di C, maka AG =
= = = =
A BCD
HE F
G
a cm
a cm
a cm
22 CGAC 22 a)2a(
2a3
3a
3a
22 aa2
back
Definisi umum :
Jarak titik terhadap garis adalah panjang ruas garis tegak lurus terpendek yang menghubungkan titik dengan garis tersebut.
2. Jarak titik ke Garis
Jarak titik A ke
garis g adalah
panjang ruas garis
yang ditarik dari
titik A dan tegak
lurus garis g
A
g
Jara
k tit
ik d
an g
aris
Contoh :
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 5 cm.
Jarak titik A ke
rusuk HG adalah….A B
CD
HE F
G
5 cm
5 cm
Jarak titik A kerusuk HG adalahpanjang ruas garisAH, (AH HG)
A BCD
HE F
G
5 cm
5 cm
AH = (AH diagonal sisi)AH = Jadi, jarak A ke HG = 5√2 cm
2a
25
Penyelesaian :
back
Definisi umum :
Jarak titik terhadap bidang adalah panjang ruas garis tegak lurus terpendek yang menghubungkan titik tersebut dengan garis bidang.
3. Jarak titik ke bidang
Jarak antara titik A
ke bidang V
adalah panjang
ruas garis yang
menghubungkan
tegak lurus titik A
ke bidang V
A
V
Contoh :Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD.
Panjang AB = 8 cm dan TA = 12 cm.
Jarak titik T ke bidang ABCD adalah….
13
8 cm
T
C
A B
D
12 c
m
Penyelesaian :
14
Jarak T ke ABCD = Jarak T ke perpotongan AC dan BD = TP AC diagonal persegiAC = 8√2 AP = ½ AC = 4√2
8 cm
T
C
A B
D
12 c
m
P
15
AP = ½ AC = 4√2 TP = = = = = 4√7 8 cm
T
C
A B
D
12 c
m
P
2 2 AP AT 2 2 )24( 12
32 144 112
Jadi jarak T ke ABCD adalah 4√7 cm
back
Definisi umum :
Jarak antara dua garis adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan tegak lurus kedua garis tersebut.
4. Jarak garis ke garis
Jarak antara garis g ke garis h
adalah panjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus kedua garis tersebut
P
Q
g
h
Contoh :
17
Diketahui kubus ABCD.EFGH
dengan panjang rusuk 4 cm.
Tentukan jarak:A B
CD
HE F
G
4 cm a.Garis AB ke garis HGb.Garis AD ke garis HFc.Garis BD ke garis EG
Penyelesaian :
18
Jarak garis:a. AB ke garis HG = AH (AH AB, AH HG) = 4√2 (diagonal sisi)b. AD ke garis HF = DH (DH AD, DH HF) = 4 cm
A BCD
HE F
G
4 cm
Definisi Umum :
Jarak garis terhadap bidang ialah panjang garis terpendek yang menghubungkan tegak lurus sebuah titik pada garis dengan bidang.
5. Jarak garis ke bidang
Jarak antara garis g ke bidang V
adalah panjang ruas garis yang menghubungkan
tegak lurus garis
dan bidang
V
g
Contoh :
21
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 8 cm
Jarak garis AE ke
bidang BDHF
adalah….
A BCD
HE F
G
8 cm
Penyelesaian :
22
Jarak garis AE kebidang BDHF diwakili olehpanjang AP.(AP AEAP BDHF)AP = ½ AC(ACBDHF) = ½.8√2 = 4√2
A BCD
HE F
G
8 cm
P
Jadi, jarak A ke BDHF adalah 4√2 cmback
Definisi umum :
6. Jarak Bidang dan BidangJarak antara dua bidang adalah panjang garis terpendek yang menghubungkan tegak lurus kedua bidang tersebut.
V
W
Jarak antara bidang W
dengan bidang V adalah
panjang ruas garis yang
tegak lurus bidang W dan
tegak lurus bidang V
WJarak D
ua Bidang
Contoh :
24
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
dengan panjang
rusuk 6 cm.
Jarak bidang AFH
ke bidang BDG
adalah….
A BCD
HE F
G
6 cm
6 cm
Penyelesaian :
25
Jarak bidang AFH
ke bidang BDG
diwakili oleh PQ
PQ = ⅓ CE
(CE diagonal ruang)
PQ = ⅓. 9√3
= 3√3
A BCD
HE F
G
6 cm
6 cm
P
Q
Jadi, jarak AFH ke BDG adalah 3√3 cmHOME
Proyeksi Pada Bangun Ruang:
1. Proyeksi titik pada garis
2. Proyeksi titik pada bidang
3. Proyeksi garis pada bidang
1. Proyeksi titik pada garis
27
Dari titik Pditarik garis m garis k
garis m memotong k di Q,
titik Q adalah
hasil proyeksi
titik P pada k
P
Q
k
m
Contoh :
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
Tentukan proyeksi
titik A pada garis
a. BC b.BD
c. ET
(T perpotongan
AC dan BD).
A BCD
HE F
G
T
Penyelesaian :
Proyeksi titik A pada
a. BC adalah titik
b. BD adalah titik
c. ET adalah titik
A BCD
HE F
G
T
B
TA’
A’(AC ET)
(AB BC)
(AC BD)
back
2. Proyeksi Titik pada Bidang :
Dari titik P
di luar bidang H
ditarik garis g H.
Garis g menembus
bidang H di titik P’.
Titik P’ adalah
proyeksi titik P
di bidang H
H
P
P’
g
Contoh : Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Proyeksi titik E
pada bidang ABCD
adalah….
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah….
A BCD
HE F
G
Pembahasan :a. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah
b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah (CE BDG)
A BCD
HE F
GA
P
P
back
3. Proyeksi garis pada bidang
Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyeksikan titik-titik yang terletak pada garis itu ke bidang.H
A
A’
g
Jadi, proyeksi garis g pada bidang H adalah g’
B
B’g’
HOME
Sudut-sudut Bangun ruang
1. Sudut antara dua garis
a. Sudut antara dua garis berpotongan
b. Sudut antara dua garis bersilangan
2. Sudut antara garis dan bidang
3. Sudut antara dua bidang
Yang dimaksud dengan
besar sudut antara
dua garis berpotongen
adalah besar sudut yang
dibentuk oleh kedua garis
tersebut
k
m
a. Sudut antara dua garis berpotongan
Diketahui :kubus ABCD.EFGH Besar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BGb. AH dengan AF c. BE dengan DFA B
CD
HE F
G
Contoh:
Besar sudut antara
garis-garis:
a. AB dengan BG
= 900
b. AH dengan AF
= 600 ( AFH)
c. BE dengan DF
= 900 (BE DF)
A BCD
HE F
G
Pembahasan:
back
m
l 2Garis l’ sejajar garis l
Garis m’ sejajar garis m
Garis l’ dan garis m’
berpotongan di titik O
b. Sudut antara dua garis bersilangan
Perhatikan gambar di bawah ini:
m’
l’
O
Sudut θ yang dibentuk oleh garis l’ dan garis m’
adalah sudut antara garis l dan garis m.
θ
back
2. Sudut antara garis dan bidang
Garis BA menembus bidang α di titik A.
Titik B’ adalah proyeksi titik B pada bidang α,
A
B Garis AB’ proyeksi AB pada bidang α.
B’jadi,
Sudut antara garis dan bidang adalah
sudut lancip yang dibentuk oleh garis
dengan proyeksinya dengan bidang.
Sudut BAB’ bidang α adalah
sudut antara garis BA dan AB’
40
Pada limas
segiempat beraturan
T.ABCD yang semua
rusuknya sama panjang,
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….
T
A B
CD
a cm
a cm
Contoh :
41
• TA = TB = a cm
• AC = a√2 (diagonal
persegi)
• ∆TAC = ∆ siku-siku
sama kaki
T
A B
CD
a cm
a cm
sudut antara TA dan bidang ABCD adalah
Pembahasan:
sudut antara TA dan AC yang besarnya 450 back
3. Sudut antara Dua BidangSudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan serta masing-masing garis itu tegaklurus terhadap garis potong antara bidang.
Perhatikan gambar dibawah ini!Sudut antara
bidang dan bidang adalah sudut antara
garis g dan h, dimana
g (,) dan h (,).(,) garis potong bidang dan
(,)
g
h
Limas beraturan
T.ABC, panjang
rusuk alas 6 cm dan
panjang rusuk tegak
9 cm. Nilai sinus sudut
antara bidang TAB
dengan bidang ABC
adalah….
A
B
C
T
6 cm
9 cm
Contoh :
• sin (TAB,ABC)
= sin (TP,PC)
= sin TPC
• TC = 9 cm, BP = 3 cm
• PC =
=
• PT =
=
A
B
C
T
6 cm
9 cm
P3
2 2 3 6
33
2 2 3 9
36
Pembahasan:
Catatan
Penting!!!
Catatan Penting!!!Pada saat menentukan sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik potong antara dua objek yang akan dicari sudutnya, kemudian buat garis-garis bantu.
Diketahui:
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 8 cm.
A BCD
HE F
G
8 cm
Nilai tangens sudut antara garis CGdan bidang AFH adalah….
Latihan 1
A. 1/2
B.2
C. ½2
D. 42
E. 2
A BCD
HE F
G
8 cm
P
Q
tan (CG,AFH) = tan (PQ,AP)
= tan APQ
PQ
AQ
21
GC
AC
8
28.21
221
Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang
AFH adalah ½√2
Pembahasan:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.
Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah . . .
A. 22cm
C. 42cm
B. 26cm
D. 46cm
E. 82cm
Latihan 2
Panjang proyeksi DE pada bidang BDHFadalah DE’:
DH = 8, D’H = ½ FH,
FH = ½ . 82 = 42
DE’ = (E'H)² + (DH)²
=
=
=
64 32 96
A BCD
HE F
G
64
Pembahasan:
E’
keberhasilan seseorang dalam belajar bukan ditentukan oleh kuantitas nilai
melainkan kualitasnya
Tetap Semangat !!!