Dinâmica Estocásticafge.if.usp.br/~ttome/cursos/dinamicaestocastica/Aula_01.pdf · Bibliografia N. G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North-Holland,1981

1

Dinâmica Estocástica

Aula 1

Ifusp, agosto de 2015

Tânia Tomé[email protected]

http://fig.if.usp.br/~ttome/Sala 316-A Ala I

Tânia - Din Estoc - 2015

mailto:[email protected]

http://fig.if.usp.br/~ttome/

2

Programa

1. Variáveis aleatórias, distribuição de probabilidades e teorema do limite central

2. Equação de Langevin

3. Equação de Fokker-Planck

4. Cadeias de Markov

6. Equação mestra; Matriz de evolução

11. Sistemas irreversíveis definidos em reticulados reversíveis e com simetria de inversão

12. Sistemas irreversíveis definidos em reticulados com estados absorventes

13. Autômatos celulares probabilísticos

8. Método de Monte Carlo

5. Matriz estocástica

7. Reversibilidade microscópica

10. Modelo de Glauber

9. Simulação do modelo de Ising


Bibliografia

N. G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North-Holland,1981.

Tânia Tomé e Mário José de Oliveira,Dinâmica Estocástica e IrreversibilidadeEditora da Universidade de São Paulo (Edusp), 2014.

C. W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and Natural Sciences, Springer, 1983.

3

H. Risken, The Fokker-Planck Equation, Methods of Solutions and Applications, Springer, 1984.


Tânia - Din Estoc - 2015 4

Tânia Tomé and Mário J. de Oliveira,Stochastic dynamics and IrreversibilitySpringer, New York, 2015.

J. Marro and R. Dickman, Nonequilibrium Phase Transitions in Lattice Models,Cambridge University Press, 1999.

K. Binder, Monte Carlo Methods in Statistical Physics, Springer, 1986; K. Binder and D. H. Heermann, Monte Carlo Simulation in Statistical Physics, Springer, 1992.

M. Henkel, H. Hinrichsen and S. Lübeck, Non-equilibrium Phase Transitions, Vol. 1,Springer, 2008.

5

Movimento Browniano Einstein (1905)Smoluchowsky (1906)Langevin (1908)Perrin (1908)

Harris, Contact Interactions on a Lattice (1974)Grassberger & de la Torre (1979)Liggett, Interacting Paticle Systems (1985)Domany & Kinzel (1985)Durrett, Particle Systems and Percolation (1988)Marro & Dickman (1999), Nonequilibrium Phase Transitions in Lattice Models (1999)Tânia Tomé & Oliveira, Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade (2001, 2014)Henkel et al., Non-Equilibrium Phase Transitions (2008)

Processos markovianos em reticulados

Transições de fase e fenômenos críticos

Glauber (1963) Dinâmica de Glauber-Ising“Time-Dependent Statistics of the Ising Model”


6

Figura reproduzida a partir do livro de Jean Baptiste Perrin, LesAtomes, três rastreamentos do movimento de partículascoloidais, como pode ser visto ao microscópio, sãoapresentados. Posições sucessivas a cada 30 segundos estãounidas por segmentos de linha reta.As medidas experimentais de Perrin foram feitas em 1908.


Movimento Browniano

7

3

Bk TD

a

2 / 41( , )

2

x DtP x t eDt

Relação de Einstein-Smoluchowski

2 2x Dt

Equação de difusão

Movimento browniano

2

2

x

PD

t

P


8

Movimento browniano de uma partícula clássica em um campo externo

Que está associada à equação de Fokker-Planck em uma variável, a equação de Smoluchowski,

2

2( , ) [ ( ) ( , ) ] ( , ).

2P x t f x P x t P x t

t x x

( ) 0t

( , )P x t Distribuição de probabilidades associada a x.

( ) ( )d x

f x tdt

Equação de Langevin

( ) ( ') ( ')t t t t


“Maga, vamos componiendo una figura absurda, dibujamos con nuestros movimientos una figura idéntica a la que dibujan las moscas cuando vuelan en una pieza, de aquí para allá, bruscamente dan media vuelta, de allá para aquí, eso es lo que se llama movimiento brownoideo, ¿ahora entendés?, un ángulo recto, una línea que sube, de aquí para allá, del fondo al frente, hacia arriba, hacia abajo, espasmódicamente, frenando en seco y arrancando en el mismo instante en otra dirección, y todo eso va tejiendo un dibujo, una figura, algo inexistente como vos y como yo, como los dos puntos perdidos en París que van de aquí para allá, de allá para aquí, haciendo su dibujo, danzando para nadie, ni siquiera para ellos mismos, una interminable figura sin sentido”.

Julio Cortazar, Rayuela (1968)

“Movimento Browniano”

“L’agitation moléculaire écchappe à notre perception directe comme le mouvement des vagues de la mer à un observateur trop eloigné. Cependant, se quelque bateau se trouve alors em vue, le même observateur pourra voir um balancement que lui révélera l’agitation qu’il ne soupçonnait pas.”

Jean Perrin, Les Atomes (1913) Tânia - Din Estoc - 2015 9

10

“Maga, vamos compondo uma figura absurda, desenhamos com osnossos movimentos uma figura idêntica àquela que as moscas desenham quandoesvoaçam um quarto, de cá para lá, dando bruscamente meia volta, de lá para cá,e isso é a que chamam movimento brownoidiano, já entendeu agora?, um ânguloreto, uma linha que sobe, de cá para lá, do fundo para a frente, para cima, parabaixo, espasmodicamente, freando secamente e arrancando no mesmo instantepara outra direção, e tudo isso vai tecendo um desenho, uma figura, algo inexistentecomo você e como eu, como os dois pontos perdidos em Paris que vão de cá paralá, de lá para cá, fazendo o seu desenho, dançando para ninguém, nem sequer parasi mesmos, uma interminável figura sem sentido”.Julio Cortazar, O Jogo da Amarelinha (Civilização brasileira,1982).

“Movimento Browniano”

"A agitação molecular escapa à percepção direta como o movimento das ondas domar para um observador muito longe. No entanto, se um barco é então visto, omesmo observador verá uma oscilação que a agitação irá revelar e que este nãosuspeitava. “ Jean Perrin, Les Atomes (1913)


11

Dinâmica estocástica e principais problemas

Encontrar a distribuição de probabilidades associada a um sistema demuitas partículas interagentes e assim calcular médias de grandezas de estado.

1) Equação de Fokker-Planck

2) Equação mestra

Cadeias de Markov ou processos markovianos

3) Autômatos celulares probabilísticos

Processos estocásticos

Entre os processos estocásticos:


Importante!

12

0n

0 1 ...

...

Cadeias de Markov

1

1 1 0 1 1 0 0( , ,..., ) ( | ,..., ) ( ,..., )P n n n P n n n P n n

Propriedade markoviana:

t

1n n 1n

1 1 0 1 1 0( , ,..., ) ( | ) ( ,..., )P n n n P n n P n n

tx

variável estocástica discretatx


Probabilidade conjuntaProbabilidade

condicional

1 1 0 1 1( | ,..., ) ( | )P n n n P n n

13

1 ( ) ( | ) ( ) m

P n T n m P m

Relação de recorrência & Matriz estocástica

Processo markoviano

1P T P ( | ) 0T n m

( | ) 1n

T n m

Matriz estocástica T

Probabilidade estacionáriaT P P

lim P P

Teorema de Perron-Frobenius

Para processos em que a probabilidade de transição não depende do tempo


14

Autômato celular probabilístico 1 2( , ,...., ,..., )i N Variável estocástica discreta

Probabilidade do estado no passo de tempo( )P

( | ´) T Probabilidade de transição ´

1

( | ´) ( | ´)

N

i i

i

T w

( | ´)i iw probabilidade de transição associada ao sítio i

Atualização síncrona

Define oModelo!!

'

1 )'()'|()(

PTP


15

Equação mestra&

Balanceamento detalhado (Reversibilidade microscópica


16

Taxa de transição

)',( Wt Probabilidade de ocorrência de

em dada a ocorrência de em t

tt ´

define o modelo.( , ´)W

0)',( W ' '

( , ´)W


17

Evolução temporal da distribuição de probabilidades

´( )

( , ) ( , ´) ( ´, ) ( ´ , ) ( , )d

P t W P t W P tdt

),(),'(])'([)(

'

tPWFFFdt

d

),()()( tPFF

),( tP

Equação Mestra


18

Regime estacionário

Balanceamento Detalhado (BD)ou Reversibilidade microscópica

( , ´) ( ´) ( ´ , ) ( )est estW P W P )',(

' ' dinâmica estocástica reversível

Estado estacionário de equilíbrio

0)},(),'()'()',(

'

tPWPW est


19

Regime estacionário

Se a condição de balanceamento detalhado não é satisfeita

dinâmica estocástica irreversível

)(),'()'()',( estest PWPW

Estado estacionário de não-equilíbrio


20

Trajetórias cíclicas no espaço de configurações

A B C D Atrajetória direta

Reversibilidade microscópica

)(),(),(),(),( APADtWDCtWCBtWBAtW est

)(),(),(),(),( APABtWBCtWCDtWDAtW est

),(),(),(),( ABWBCWCDWDAW ),(),(),(),( ADWDCWCBWBAW

A B

CDA D C B Atrajetória inversa

Irreversibilidade:

caso contrário



Modelos estocásticos em redes

Sistemas de partículas (unidades, elementos) interagentes residindo nos sítios de uma rede.

Estado microscópico do sistema:

variável estocástica associada ao sítio i

0

1

2

EXEMPLO:

)...,,...,,,( 21 Ni

i

i

22

1

1

EXEMPLO: Modelo de uma configuração de um modelo de Ising definido em uma rede quadrada

i

Modelo de Ising

Ni ...,,1 1i

i : variável estocásticaassociada ao sítio i darede.

i

i

ij

ji HJE )(

)(

0J interações ferromagnéticas

H constante proporcional ao campo externo

)(

(...)ij

soma sobre os pares de átomos vizinhos na rede


23

Dinâmica de Glauber-Ising

Modelo em reticulado definido por uma dinâmica estocástica reversível


24

1i

Reticulado em um espaço de d dimensões

1( ,...., ,...., )i

i N

Dinâmica de Glauber

taxa de inversão de sinal da variável ( )iw i

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )i i

i i

i

dP t w P t w P t

dt

),....,,....,( 1 Ni

i

1

1

Sistemas com simetria “up-down”: ( ) ( )i iw w

Equação mestra

),....,,....,( 1 Ni


25

( )

( ) i j

ij

E J

Estado estacionário possui balanceamento detalhado:

Probabilidade estacionária associada ao modelo de Ising

Dinâmica de Glauber-Ising (1963)

}1

tanh1{2

)(

iB

iiTk

w

)()()()( iest

iiesti PwPw

Z

eP

TkE

est

B/)(

)(


• Sistemas de spins sujeitos a um campo magnético

• O sistema pode estar ordenado na fase ferromagnética ou desordenado

(fase paramagnética).

• Parâmetro de ordem: m=magnetização.

• m = 0 fase paramagnética (P)

• m ≠ 0 fase ferromagnética (F)

26

Ferromagneto simplesI

Modelo de Ising

i

im

OBSERVAÇÃO


27

Para temperaturas acima da temperatura crítica o sistema se encontra no estado paramagnético (desordenado)

parâmetro ordem

T0

cT

cT Temperatura crítica

F P

F

P

Fase ferromagnética

Fase paramagnética

T Temperatura

|

Para temperaturas abaixo da temperatura crítica o sistema se encontra no estado ferromagnético (ordenado):

Parâmetro ordem m

para cTT 0m

cTT 0m para


Diagrama de fase de um ferromagneto simplesI

OBSERVAÇÃO

Magnetização m versus temperatura para diferentes valores de campo magnético aplicado

Dados Experimentais:Níquel

28Tânia - Din Estoc - 2015

OBSERVAÇÃO

29

1( ) {1 tanh ( )}

2i i i

Jw

kT

( )

( ) i j

ij

E J

Estado estacionário: possui balanceamento detalhado

( ) /

( )

E kTe

PZ

Probabilidade estacionária associada ao modelo de Ising

( ) ( )

( ) ( )

i

i

i

i

w P

w P

2( ) min(1, exp{ })

i i i

Jw

kTMetropolis

Glauber

Dinâmicas estocásticas para o modelo de Ising


Método de Monte Carlo

Realização computacional de um processo estocástico markoviano.

distribuição de probabilidades estacionária.

Simulação computacional de um modelo definido por uma dinâmica estocástica markoviana.

Trajetória estocástica no espaço de configurações gerado pela

30

( )

1

1( ) ( )

D K

D

F FK

Médias de grandezas de estado

número de passos descartadosD


31

Simulações de Monte Carlo para o modelo de Ising

cT T

cT temperatura crítica

estado ordenado

Instantâneos da rede gerados utilizando a dinâmica de Glauber para o modelo de Ising.

cT T cT T

estado desordenadoT muito próximada crítica cT


Simulações de Monte Carlo em redes quadradas regulares. i

1

1

Algoritmo de Metropolis para o modelo de Ising

1) Gera-se uma configuração inicial.

2) Escolhe-se aleatoriamente um spin i que poderá ser invertido

)()( EEE i

10

ii

0E

)...,,,....,( 1 Ni

i

0E

Se w

)...,,,....,( 1 Ni

calcula-se a probabilidade de transição )exp( Ew

b) Gera-se número aleatório

5 a) Se

inverte-se o spin.4) Se

inverte-se o spin. Caso contrário o spin não é invertido.c)

3) Calcula-se a diferença de energia devida à essa possível inversão

6) A configuração gerada é analisada e as propriedades necessárias para o cálculodas médias desejada são armazenadas.


Magnetização versus temperatura (kT/J, J>0) para o modelo de Ising definido em uma rede quadrada de tamanho N=LxL.

é o parâmetro de ordem para essa transição

m

Fase ferromagnéticaordenada

Fase paramagnéticadesordenada

26918,2/ JTkcB

)21ln(2

1/

1

JTk cB

440687,0/1

JTk cB

Landau & Binder (2000)

m

0m 0m

As curvas correspondem à redes quadradas regulares de diferentes tamanhos LxL


34

1) A irreversibilidade microscópica decorre da ausência de balanceamento detalhado

Estado estacionário de não-equilíbrio.

Dinâmicas estocásticas irreversíveis

2) Sistema definido por uma dinâmica estocástica irreversível (conjunto de regras markovianas locais e irreversíveis).


Sistemas com estados absorventes

4. Modelos estocásticos para propagações de epidemias do tipo SIR. Grassberger (1993), e populações biológicas interagentes, Durrett & Levin (1994),Durrett (2010), Tauber (2011).

3. Autômato celular probabilístico de Domany-Kinzel (1984).

1. Modelo de Contato, Harris (1974)

35

2. Modelo Ziff-Gulari-Barshad (1986) ou modelo ZGB para a reação de oxidação do monóxido de carbono sobre uma superfície catalítica. Resultados experimentais: Ertl (prêmio Nobel de química de 2007)

R. Dickman & Tânia Tomé, Phys. Rev. A (1991).

Tânia Tomé, Physica A (1994).

Tânia Tomé & R. Dickman, Phys. Rev. E (1993).

J. Satulovsky &Tânia Tomé, Phys. Rev. E (1994).


Modelos estocásticos com estados absorventes

Se o sistema cair em um estado absorvente entãoo sistema não sai mais deste estado.

36

Dinâmica irreversível

Harris, Contact Interactions on a Lattice (1974)Grassberger & de la Torre (1979)Liggett, Interacting Paticle Systems (1985)Domany & Kinzel (1985)Durrett, Particle Systems and Percolation (1988)Marro & Dickman (1999), Nonequilibrium Phase Transitions in Lattice Models (1999)Tânia Tomé & Oliveira, Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade (2014)Henkel et al., Non-Equilibrium Phase Transitions (2008)Tânia Tomé & Oliveira, Stochastic Dynamics and Irreversibility (2015)


37

Modelo de contato

Modelo de contato

Sítio vazio

Sítio ocupado

Indivíduo susceptível (S)

Indivíduo infectado (I)

Epidemia simples

Sistemas irreversíveis com estados absorventes

2/ 1

0 0

1

1 0 11

1

1

0

processos auto-catalíticos processo espontâneo


38

Modelo exibe transição de fase cinética em uma ou mais dimensões de um estado absorvente para um estado ativo.

Estado absorvente

Estado ativo

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 11 1 11

Estados estacionários de não-equilíbrio

0

0


tt

t

Dinâmica estocástica intrinsecamente

irreversível

Denota a ocupação do sítio por uma partícula (elemento)

Denota o sítio vazio

Exemplo: sistemas de muitas partículas interagentes que evolui de acordo comuma dinâmica em que o estado com ausência completa de partículas é um estado estacionário.


Propriedade do estado absorvente

40

Processo de Contato

Densidade de partículas vs. parâmetro de controle

Modelo de contato por pares R. Dickman & Tânia Tomé, Phys. Rev A (1991) Tânia - Din Estoc - 2015

41

Dinâmica local do Modelo de Contato

0 1 parâmetro de controle

iiiiw

)1(2

)(

0i1i

i densidade de partículas

Taxa de transição


Regime subcrítico

Evolução temporal das configurações

i

Tempo

c 3,298(2)c

3,0 2,0

i

42


Processo de contato em uma dimensão

Z ~ ///Z

c c

43

A

B

1

0

C

processos Lotka-Volterra (LVEE) SIRlocais Estocástico e Espacial Espalhamento de epidemia

A auto-catalítico auto-catalítico

B espontâneo espontâneo

C auto-catalítico não existe

Modelos estocásticos em reticulados para sistemas biologicamente motivados

i

0

1

22


44

204,1Fd 896,1Fd

Modelo para propagaçãode epidemias SIR

Modelo Lotka-Volterraestocástico & espacial

crítico

Tânia Tomé & E. Arashiro


Probabilidade de difusão:d = 0,5.

c = 0,1

A. L. Rodrigues & Tânia Tomé, 2008 Simulações computacionais dependentes do tempo


Modelo estocástico para sistema predador-presa com difusão de indivíduos - Fotografias da rede em diferentes instantes de tempo


FIM

Documents

Dinâmica Estocásticafge.if.usp.br/~ttome/cursos/dinamicaestocastica/Aula_01.pdf · Bibliografia N. G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North-Holland,1981