1

Distribusi Probabilita

2

Distribusi Probabilita

Distribusi Probabilita adalah semua peristiwa yang dapat terjadi dengan persentase terjadinya peristiwa tersebut atau fungsi yang memetakan peristiwa dasar dari suatu ruang sampel (R) ke nilai numerik (X).

Variabel acak (random variable) adalah nilai numerik yang ditentukan dari hasil terjadinya suatu peristiwa atau probabilita yang terdistribusi menurut nilai-nilai kemungkinan.

3

Variabel Acak

Contoh 1 :a. 1 coin dilempar R = { G , A } X = peristiwa banyaknya sisi Angka yang muncul = { 0, 1 }

b. Sebuah dadu dilempar sekali R = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

X = banyaknya mata dadu yang muncul

= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

R X

G 0

A 1

4

c. Pengamatan terhadap tamu di hotel Ambruk X = lamanya menginap (hari) = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}d. Pengamatan terhadap tabungan di Bank Collaps X = saldo tabungan = { x | x > 0}

Berdasarkan contoh di atas, variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit (a,b,c,d,e) dan variabel acak kontinu (f)

5

VARIABEL ACAK

Variabel acak Sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi acak atau untung-untungan dan mempunyai nilai yang berbeda-beda.

Variabel acak diskret Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai tertentu dalam suatu interval.

Variabel acak kontinu Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai yang menempati seluruh titik dalam suatu interval.

6

Perbedaan distribusi variabel acak yang diskrit dengan kontinus

A Discrete distribution is based on random variables which can assume only clearly

separated values.

Discrete distributions studied include:

o Binomial o Hypergeometrico Poisson.

A Continuous distribution usually

results from measuring something.

Continuous distributions include:

o Eksponensial o Normal o Uniformo Others

7

Distribusi Probabilita Diskrit

Total probabilitas dari seluruh

kemungkinan hasil adalah 1.00.

Probabilitas suatu hasil percobaan

adalah antara 0 dan 1.00.

Hasil percobaan (outcomes)

adalah mutually exclusive.

Jumlah Mahasiswa dalam

satu kelas

Jumlah anak dalam keluarga

Jumlah mobil yang datang ke

tempat cuci mobil

)]([ xxP

rata-rata (mean)

Nilai mean distribusi probabilitas

Rata-rata nilai variabel random

Kadang kala disebut sebagai nilai harapan (expected value),

E(X), dalam distribusi probabiltas

Dimana m adalah mean distribusi probabilitas

Varians distribusi probabilitas diskrit

Varians

Mengukur persebaran

(variasi) dari distribusi

Dilambangkan oleh huruf latin 2

(sigma squared)

Standard deviasi adl akar dari 2.

)]()[( 22 xPx

# rumah yg dicat

# minggu Persentase perminggu

10 5 25 (5/20)

11 6 30 (6/20)

12 7 35 (7/20)

13 2 10 (2/20)

Total % 100 (20/20)

Dan Desch, adalah pemilik College Painters, mencatat pekerjaan pengecatan rumah selama 20 minggu yang lalu dan mendapatkan hasil pengecatan rumah setiap minggunya.

P hysics

)]([ xxP

# Rumah yg dicat (x)

Probabilitas

P(x) x*P(x)

10 .25 2.5

11 .30 3.3

12 .35 4.2

13 .10 1.3

=m 11.3

Rata-rata rumah yang dicat setiap

minggu

# rumah yg dicat

(x)

Probabilitas

P(x) (x-m) (x-m)2 (x-m)2 P(x)

10 .25 10-11.3 1.69 .423

11 .30 11-11.3 .09 .027

12 .35 12-11.3 .49 .17113 .10 13-11.3 2.89 .289

s2 = .910

)]()[( 22 xPx Varians jumlah rumah

yang dicat per minggu nya

13

Distribusi Probabilita Binomial

Seringkali dalam suatu percobaan menghasilkan dua hasil alternatif seperti siang-malam, gambar-angka, sakit-sehat, baik-buruk, cacat-tdk cacat, sukses-gagal, dll

14

Ciri-ciri percobaan binomial :

1. Percobaan dilakukan atas n ulangan2. Setiap ulangan hasilnya digolongkan menjadi

dua yaitu ‘sukses’ dan ‘gagal’3. Probabilita peristiwa ‘sukses’ (p) untuk setiap

ulangan sama atau tidak berubah.4. Antara ulangan yang satu dan ulangan yang

lain bersifat bebas.

Probabilita ‘gagal’ (q) = 1 – p ‘sukses’ disini berarti salah satu hasil yang

sedang diperhatikan akan muncul.Misalkan : sukses = sisi angka yang muncul sukses = sisi cacat yang muncul

15

Nilai Harapan distribusi Binomial

μ = E (X) = ∑ x P(x) = n p

Varians dan Deviasi standar :

Varians : σ2 = n p q

Deviasi std : σ = √ n p q

X = banyaknya peristiwa sukses yang memilki prob. p dari percobaan binom dengan n ulangan

16

Rumus Binomial

17

Contoh soal

There are five flights daily from Pittsburgh via US Airways into the Bradford, Pennsylvania, Regional Airport. Suppose the probability that any flight arrives late is .20. What is the probability that none of the flights are late today?

18

jawaban

19

Distribusi Poisson

Distribusi Poisson merupakan distribusi variabel acak yang hasil percobaannya terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu.

Distribusi ini secara luas banyak dipakai terutama dalam proses simulasi, seperti proses kedatangan, proses antrian dll.

!)(

x

eXP

x

Untuk x=1, 2, 3, …

Dimana adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu dan e = 2,71828

20

Distribusi Poisson

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri sbb :

Banyaknya hasil percobaan yg terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tidak bergantung pd selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

Probabilita terjadinya suatu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sebanding dengan panjang selang waktu tsb.

Probabilita bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat atau daerah yang kecil dapat diabaikan.

21

Contoh Soal 1

Seorang sekretaris rata-rata melakukan kesalahan ketik 2 huruf setiap halaman yang diketik. Berapa probabilita bahwa pada halaman berikutnya ia membuat kesalahan :

a. Defenisikan variabel acak X ?

b. Tepat 3 huruf,

c. Kurang dari 3 huruf

d. Lebih dari 2 huruf

22

Jawaban

a. X = banyaknya kesalahan ketik

27,0!1

2)1(

135,0!0

2)0(

12

02

eXP

eXP

180,0!3

2)3(

27,0!2

2)2(

32

22

eXP

eXP

b. P(X=3) = 0,180

c. P(X<3) = 0,135 + 0,27 + 0,27 = 0,675

d. P(x>2) = 1 – 0,675 = 0,325

23

Distribusi poisson

Mempunyai karaketeristik yang sama dengan distribusi binomial, namun mempunyai :

total seluruh kejadian (percobaan) yang sangat besar (50 atau lebih), serta

probabilita hasil kejadian yang sangat kecil (0,1 = 10 persen atau lebih kecil)

24

Dist. Poisson dpt pula digunakan untuk kasus percobaan binomial, p kecil n besar.

Contoh soal 2.

Secara rata-rata, 1 diantara 1000 orang terkena penyakit asam urat. Hitung probabilita bahwa dari sampel acak sebanyak 8000 orang, terdapat paling banyak 2 orang terkena penyakit asam urat.

25

jawaban

n = 8000 p = 0,001 μ = np = 8

00135,0!2

8)2(

0027,0!1

8)1(

00034,0!0

8)0(

28

18

08

eXP

eXP

eXP

P(X<2) = 0,00034 + 0,0027 + 0,00135 = 0,00439

26

Distribusi Hipergeometrik

Mempunyai karaketeristik yang hampir sama dengan distribusi binomial, namun setiap hasil percobaan mempunyai probabilita terjadi kejadian sukses yg tidak sama (tetap)hasil probabilita kejadian sukses antar percobaan adalah dependen atau saling mempengaruhi Besar populasi diketahui atau terbatas

27

Distribusi Hipergeometrik

Percobaan Hipergeometrik mempunyai ciri-ciri sbb: Suatu sampel random (n) diambil dari populasi (N) k dari N merupakan kejadian ‘sukses’ dan N-k

merupakan kejadian ‘gagal’

28

Formula hipergeometrik

nN

XnSNXS

C

CCXP )(

N = besar populasi

S = jumlah sukses dalam populasi

X = jumlah sukses dalam sampel

n = besar sampel

C = simbol untuk kombinasi

29

Contoh soal

PT Mainan mempunayi 50 orang karyawan yang bekerja di bagian produksi. Empat puluh karyawannya yang bekerja di bagian produksi adalah anggota serikat pekerja (SP) dan sepuluh bukan. Lima karyawan dipilih untuk negosiasi dengan manajemen tentang perbaikan kondisi kerja bagian produksi. Berapakah probabilita empat dari lima orang yang negosiasi dengan manajemen adalah anggota SP?

30

N= jumlah populasi = 50

S= jumlah anggota SP dalam populasi = 40

n= jumlah karyawan bagian produksi yang terpilih=5

X= jumlah karyawan bagian produksi yang anggota SP yang terpilih untuk mewakili =4

= 0.431

550

454050440)4(C

CCXP

31

Contoh soal

Sebuah komisi yang beranggotakan 5 orang dipilih dari 10 orang calon yang terdiri atas 4 orang wanita dan 6 orang pria. Bila X menyatakan banyaknya wanita yang terpilih sebagai anggota komisi, hitunglah probabilita :

a. 2 wanita terpilih.

b. 4 wanita terpilih.

Jawab :

N = 10, n = 5, S= 4

a. P(X=2) = b. P(X=4)= 4C2 6C3

10C5

4C4 6C1

10C5

120

252

6

252= =

32

Menghitung Distribusi Hipergeometrik

, untuk x = 0,1,2,…,k

Nilai rata-rata:

Varians:

N

nk

N

k

N

kn

N

nN1..

12

33

DISTRIBUSI NORMAL

A Distribution of a Continuous Random Variable

34

Pengertian

Sering disebut Gaussian DistributionPenggunaannya mudah diaplikasikan di banyak situasi dengan mengambil sampelHasil dari distribusi normal mendekati hasil observasi sebenarnya di berbagai sektor data, termasuk data tinggi, berat, IQ, dll

35

Ciri-ciri Distribusi Normal

Grafiknya hanya memiliki satu puncak dan berbentuk loncengMean, modus, & median dari populasi distribusi normal berada di tengah-tengah kurva normalEkor kurva bersifat indefinit dan tidak pernah bersentuhan dengan sumbu-sumbunyaLokasi sebuah distribusi normal ditentukan oleh rata-rata, sebarannya ditentukan oleh standar deviasi

36

Mean, median, modus

Garis distribusi normal

Ekor grafik kanan(indefinit)

Ekor grafik kiri(indefinit)

37

Distribusi Probabilitas Normal Baku

z = χ - µ

σ

X = variasi acakµ = rata-rata distribusi dai variabel acakσ = standar deviasi distribusiZ = angka standar deviasi dari x ke rerata distribusi

38

Contoh soalUpah mingguan para mandor pada industri gelas mengikuti distribusi probabilitas normal dengan rata-rata $1000 dan standar deviasi $100. Berapa nilai z untuk upah, sebut saja x untuk seorang mandor yang mendapatkan $1100 per minggu? Berapa nilai z untuk seorang mandor yang mendapatkan $900 per minggu?

JAWAB:Untuk x = $1100: Untuk x=$900

z = χ-µ z = χ-µ σ σ

z = 1100-1000 z = 900-1000 100 100

z = 1 z = - 1

39

0 1,0 skala z

$1000 $1100 skala dollar

0,5000

0,3413

Menghitung Luas Dibawah Kurva

40

- 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

. 0

x

f(

x

r a l i t r b u i o n : m = 0 , s2 = 1

Nilai Mean, median, danmodus adl sama besar(equal)

Secara teoritis kurva ini tersebar

sampai dengan tak terhingga

a

Gambar karakteristik Distribusi Normal

Kurva Normal simetris

41

Luas dibawah kurva Normal

Hampir seluruh (99,74%) berada antara tiga standar deviasi dari rerata hitungnya.

m + 3s

Sekitar 68 percent (68,26%) luas area

dibawah kurva normal berada antara satu standar devasi dari rerata hitungnya.

m + 1s

Sekitar 95 persen (95,44%) berada antara dua standar deviasi dari rerata hitungnya.

m + 2s

42

Fungsi Normal

Bila X adalah suatu variabel acak normal dengan nilai tengah μ dan varians σ2, maka fungsi kurva normal adalah :

2

2

1

22

1),,(

x

exf

Untuk -∞ < X < ∞

43

Distribusi Normal Standar

Distribusi Normal Standar adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata μ=0 dan deviasi standar σ=1.Untuk mencari probabilita suatu interval dari variabel acak normal dapat dipermudah dengan transformasi ke distribusi normal standar, sehingga diperoleh nilai Z. Nilai Z adalah selisih antara varaibel acak normal dengan rerata populasinya dibagi dengan standar deviasi populasi.Rumus transformasi :

X

Z

44

Contoh soal :

Berat badan mahasiswa disuatu perguruan tinggi mempunyai distribusi normal dengan rata-rata = 60 dan deviasi standar = 10. Tentukan nilai variabel normal standar bagi mahasiswa yang memiliki berat badan 70 dan 50 !

110

6070

Z

110

6050

Z 40 50 60 70 80 X

-2 -1 0 1 2 Z

45

Probabilita Normal Standar

Dengan menggunakan tabel distribusi normal standar kita dapat menghitung probabilita (luas di bawah kurva).

Contoh :

P(0 < z < 1,96) = 0,475

0 1,96 Z

0,475 z 0,06

1,9 0,475

46

Distribusi Eksponensial

Distribusi variabel random kontinus lainnya yang biasa digunakan untuk menyelesaikan masalah terkait dengan waktu adalah distribusi eksponensial.Distribusi eksponensial berbeda dengan distribusi normal dalam hal: Hanya terbatas pada variabel acak dengan

nilai positif saja Bentuk distribusi eksponensial tidak simetris

47

Bentuk distribusi probabilitas eksponensial

48

Beda eksponensial dengan poisson

Distribusi Poisson: menunjukan probalita dari sejumlah X kejadian sukses atau kedatangan yang terjadi dalam satu satuan waktu.

Distribusi Eksponensial: menunjukan probabilita satu kejadian sukses atau kedatangan dalam jangka waktu tertentu.

49

Variabel random eksponensial T (t>0) memiliki rumus distribusi probabilita eksponensial sbb:

: rata-rata kedatangan/kejadian per satuan waktu (yang sama dengan pd dist poisson)

t: selang waktu sampai munculnya kedatangan/kejadian berikutnya

e: nilai 2.71828

dengan distribusi kumulatif:

Dengan rata2 (1/) dan std. deviasi (1/2)

tetf t > 0

tetF 1 t > 0

50

Contoh 1

Waktu pelayanan bagi seorang nasabah yang datang ke bank BEN mempunyai bentuk distribusi eksponensial. Jika rata-rata waktu untuk melayani seorang nasabah yang datang ke bank BEN oleh kasir bank adalah 5 menit. Berapakah probabilita seorang nasabah harus menunggu lebih dari 10 menit sebelum dia memperoleh pelayanan?

51

Jawab:m= (1/ ) = 5 → = (1/5)= 0,2 (jumlah kejadian

kedatangan nasabah per menit)P(T>10) = 1- P(T<10)

= 1-F(10)= 1- (1- e –(0,2)(10))= e-2,0 =0,1352

Jadi probabilita seorang nasabah yang datang ke bank BEN harus menunggu lebih dari 10 menit untuk dilayani oleh kasir adalah 13,52%

52

Pabrik sepatu Karvel di JABABEKA dengan 2000 karyawan/buruh mempunyai rata-rata waktu hilang setiap minggu akibat kecelakaan dalam pabrik sebesar 0,4. Jika peristiwa terjadinya kecelakaan dalam pabrik mengikuti distribusi poisson, hitunglah probabilita kejadian antara kecelakaan dalam pabrik akan kurang dari 2 minggu.

53

Jawab

Waktu antar kecelakaan dinyatakan dalam minggu. Banyaknya kecelakaan per minggu adalah 0,4 atau =0.4. Atau rata-rata waktu antara 2 kecelakaan =(1/0,4)=2,5 minggu. Probabilita waktu antar kecelakaan adalah kurang dari 2 minggu:

P(T<2)= F(2) =1- e-(0,4)(2)

=1-e-0,8

= 1-0,4493 =0,5507

Jadi probabilita waktu antar kecelakaan adalah kurang dari 2 minggu adalah sebesar 55,07%

54

1. Anda klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function.

2. Anda pilih menu statistical pada function category3. Anda pilih menu Binomdist pada function name, Anda

tekan OK.4. Setelah anda tekan OK pada langkah ke-3, maka akan

keluar kotak dialog seperti berikut: 

BINOMDIST Number_s : ………… (masukkan nilai X) Trials : ……….. (masukkan nilai n) Probability : ………… (masukkan nilai p) Cumulative: ………… (tulis kata False)

Distribusi Probabilitas Diskret Bab 8

MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL

Nilai P(r) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

55

56

57

• Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function• Pilih menu statistical pada function category• Pilih menu HYPGEOMDIST pada function name, anda tekan

OK• Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak

dialog seperti berikut HYPGEOMDISTSampel_s : ………… (masukkan nilai r)Number_sampel : ……….. (masukkan nilai n)Population_s : ………… (masukkan nilai S)Number_pop : ………… (masukkan nilai N)

• Nilai P(r) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Distribusi Probabilitas Diskret Bab 8

58

59

60

• Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function• Pilih menu statistical pada function category• Pilih menu POISSON pada function name, tekan OK• Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak

dialog seperti berikut:

MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI POISSON

Distribusi Probabilitas Diskret Bab 8

• Nilai P(X) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

POISSONX : ………… (masukkan nilai x)Mean : ……….. (masukkan nilai m)Cumulative : ………… (tulis FALSE)

61

62