DOĞRUSAL ve DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR*

DOĞRUSAL ve DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR*

Bazen İktisat teorisinden kaynaklanan bazı sınırlamaların

modelde yer alması istenebilir veya gerekebilir.

Tüketim ve tasarruf eğilimlerinin toplamı, Coubb-Douglas

modelinin katsayılarının toplamının ölçeğe göre sabit getiri

olması için bire eşit olması gibi durumlarda doğrusal

birleşimler söz konusu olabilir.

Benzer şekilde bazı katsayıların birbirine eşitliği veya farklı

doğrusal birleşimlerinin varlığı da arzu edilebilir. Bu tür

sınırlamalara doğrusal sınırlamalar denir.* Bu konu, Selahattin GÜRİŞ,Ebru ÇAĞLAYAN,Burak GÜRİŞ EViews ile Temel Ekonometri Bölüm 6’dan alınmıştır. 1

Regresyon modeli,

İi XXXXY 554433221ˆˆˆˆˆ

143

34 1

ve sınırlama,

olsun. Bu durumda,

olacağından,

İi XXXXY 554333221ˆ)ˆ1(ˆˆˆ

İi XXXXXY 5543433221ˆˆˆˆˆ

2

İi XXXXXY 554332214ˆ)(ˆˆˆ

)( 4XYİ )( 43 XX olacak ve model ve için ve tanımlaması yapılırsa,

*Y *X

İXXXY 55*

3221* ˆˆˆˆ

olarak tahmin edilecektir.

Katsayıların birbirine eşitliği de doğrusal sınırlamadır. Aynı modelde sınırlama olursa,

32

İi XXXXY 554433221ˆˆˆˆˆ

modeli,

3

32* XXX İ

tanımlaması ile model,

İii XXXY 5544*

21ˆˆˆˆ

olarak tahmin edilir.

olarak incelenebilir. Burada,

İi XXXXY 55443221ˆˆ)(ˆˆ

4

DOĞRUSAL SINIRLAMALARIN TESTİ

Sınırlamalar doğrusal olduğunda test edilmeleri için t ve F testleri kullanılabilir.

t TESTİ

Katsayıların anlamlılığının veya belirli bir değere

eşitliğinin söz konusu olduğu durumda açıklanan t testi,

doğrusal sınırlamaların testi için de benzer bir şekilde

kullanılır. Doğrusal sınırlama türlerinin gösterdiği farklılığa

bağlı olarak t testinin uygulanması da farklılıklar gösterir.

Sabit değer sınırlamasında katsayılardan birinin belirli bir

değere eşit olması söz konusu olduğunda yapılacak t testi

katsayıların belirli bir değere eşit olmasının testi ile aynıdır. 5

Regresyonun orijinden geçip geçmediği test edilmek istendiğinde ise, sabit katsayının anlamlılığın yani sıfırdan farklı olup olmadığının test edilmesi gerekecektir. Sabit değer kısıtlaması birden fazla parametre için geçerli ise, t testi her biri için ayrı ayrı uygulanacaktır. Test işlemleri sınırlandırılmamış model ile yapılacaktır.

İki parametrenin birbirine eşit olması, toplamlarının veya farklarının belirli bir değere eşit olması şeklinde bir sınırlama söz konusu ise, yani veya sınırlaması veya örneğin veya sınırlaması test edilecekse hipotezler daha önce açıklandığı gibi oluşturulur. Test istatistiği ise eşitlik için,

21 121

021 021

21ˆˆ

2121 )()ˆˆ(

st

olacak ve test edildiğinden 21 6

),(2 21

2ˆ

2ˆ

2ˆˆ

2121 Covsss

121

olarak tahmin edilir.

Toplamlar veya farklar söz konusu olduğunda test istatistiği, örneğin durumu için,

21ˆˆ

2121 )()ˆˆ(

st

ve

21ˆˆ

21 1)ˆˆ(

st

ve

21ˆˆ

21ˆˆ

s

t olacaktır.Burada,

7

olacaktır. Diğer işlemler daha önce açıklandığı gibi yapılacaktır.

),(2 21

2ˆ

2ˆ

2ˆˆ

2121 Covsss

8

Uygulama: Türkiye’nin 1980-2000 yılları arasında elde ettiği turizm gelirlerini (TG) incelemek amacıyla Türkiye’ye gelen turist sayısı (TS) ve turizm yatırımları (TY) değişkenleri ile tam logaritmik model elde edilmiştir.Bulunan bu modelde turist sayısına ilişkin parametrenin turizm yatırımlarına ilişkin parametre ile eşit olduğunu sınayınız.

LN(TG) = -3.1406+2.1888LN(TS)+1.1413LN(TY)

s(bi) = (0.77) (0.523) (0.325)

t = (-4.078) (4.185) (3.512)

prob = [0.0000] [0.0000] [0.0000]

Fhes= 461.68 R2=0.9777

prob [0.0000]

7042.02 te

14.0)Cov( 32 9

)0(: 32320 H

)0( 32321 H

734.118;05.0 t

32ˆˆ

3232 )()ˆˆ(

st

273.332.0

0)1413.11888.2(

t

32.0)14.0(2)325.0()523.0( 22ˆˆ32

s

10

thes= 3.273 > ttab= 1.734

H0 reddedilir.Sınırlama geçerli değildir.

Parametrelerin birbirine eşit olduğu söylenemez.( )32

11

F TESTİ Doğrusal sınırlamaların testi için sınırlandırılmış ve

sınırlandırılmamış modellerin tahmin edilmesi gereklidir. Bu

test yapılırken sınırlama sayısı önemli değildir. Test söz

konusu olan sınırlamaların geçerli olmaması halinde

modellerin açıklandığı değişim miktarlarının aynı olacağı

mantığına dayanmaktadır. Diğer bir ifade ile söz konusu olan

sınırlamalar geçerli ise sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış

modeller tarafından bağımlı değişkendeki değişmelerin

açıklanma miktarları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir

fark olacaktır. 12

Test için açıklanmayan değişme, yani artıkların kareleri

toplamı kullanılabilir.Sınırlandırılmış modelin artıklarının

kareleri toplamı ve sınırlandırılmamış modelin artıklarının

kareleri toplamı ile ifade edilirse F test istatistiği,

)/(

/)(2

22

uUt

UtRt

kne

heeF

olarak hesaplanacaktır. Burada,

RU kkh

2

Rte

2

Ute

13

ve test istatistiğinin dağılımı h ve (n- kU) serbestlik dereceli F dağılımıdır.

F test istatistiği R2 değerleri ile,

)/()1(

/)(2

22

knR

hRRF

U

RU

olarak da hesaplanabilir.

veya

)/()(

/)(

knHBD

hRBDRBDF

U

RU

14

Kimya Sanayii dalında faaliyet gösteren 15 firmanın üretimleri (Y), emek girdileri(X 2) ve sermaye girdileri (X3) aşağıdaki gibidir.

Firma Üretim(bin ton) Emek(saat) Sermaye(makine saati)

1 60 1000 300

2 120 1200 400

3 190 1430 420

4 250 1100 400

5 300 1520 510

6 360 1620 590

7 380 1800 600

8 430 1820 630

9 440 1800 610

10 490 1750 630

11 500 1950 850

12 520 1960 900

13 540 1830 980

14 410 1900 900

15 350 1500 80015

32 log366228.0log721901.272020.16log XXY

n=15, k=3915.02 uR

Bu üretim fonksiyonu sınırlanmamış modeldir, zira b parametrelerine sınır konmamıştır.

Şimdi b2 + b3 =1 sınırlamasını koymak isteyelim.

1. Aşama: 1:

1:

321

320

bbH

bbH

2. Aşama: 05.0 anlamlılık seviyesi ve f1 =c=1 sınırlama,

f2=n-k=15-3=12 sd. lerinde Ftab=4.75

2 31 2 3. b bY b X X

)( ibs (2.829909) (0.567107) (0.279795)t (-5.908387) (4.799623) (1.308917)

prob (0.0001) (0.0004) (0.2151)

ib

16

3. Aşama: R2=0.915 Sınırlandırılmamış üretim fonksiyonunun belirlilik katsayısıdır. Sınırlandırılmış üretim fonksiyonunun belirlilik katsayısı; ?2 RR

Bunu bulabilmek için sınırlandırılmış üretim fonksiyonunu belirleyip EKKY ile tahmin etmeliyiz, yani sınırlandırılmış EKKY’yı uygulamalıyız. Şöyleki; yukarıdaki sınırlandırılmamış orijinal üretim fonksiyonu;

uXbXbbY 33221 lnlnln

göre H0 hipotezi sınırlaması b2 + b3=1’i dikkate almak için

3223 11 bbveyabb alınmalıdır. Biz sonuncusunu alalım:

uXXbXb

uXbXbbY

)ln(lnln

lnln)1(ln

23321

33231

veya 17

uXXbbXY

veya

uX

Xbb

X

Y

uXbXbbXY

uXbXbXbY

uXXbbXY

)/ln()/ln(

)ln()ln(

lnlnlnln

lnlnlnln

)ln(lnlnln

23312

2

331

2

233312

332321

23312

Burada Y/X2, üretim/emek oranı; X3/X2, sermaye/emek oranı olup, iktisadi yönden önemlidir. İşte b1 ve b3 ‘ün denklemden EKKY ile tahmini sınırlandırılmış EKKY adını alır. b3’ü bu yöntemle bulduktan sonra b2 =1-b3’den b2’yi bulabiliriz. Üretim fonksiyonu için yani sınırlandırılmış EKKY tahmin sonuçları şöyledir:

402.0)433029.0()4407080.0()(

)/ln(279176.1376067.0)/ln(2

232

Ri Rbs

XXXY

t (-0.853186) (2.954019)18

253.7212/)915.01(

1/)402.0915.0(

hesF

4. Aşama: %5 ve %10 önem düzeyinde, Fhes=72.253 > Ftab=4.75 H0 reddedilir. Yani sabit verimlilik reddedilir. Yani ilgili dönemde

değeri %5 ve %10 anlamlılık seviyesinde 3.088129’un 1’den farklı olduğu kabul edilir. Buradan, istatistik testlerden anlamlılık seviyesinin tespitinin, testi gerçekleştirmeden önce yapılması gerektiği sonucu çıkmaktadır.

088129.33

^

2

^

bb

Sınırlı EKKY tahminlerinden bulunduğuna göre 279176.13

^

b

279176.0279176.112

^

bolacaktır.

Şimdi formül uygulanabilir,

19

Regresyon Modelinin Fonksiyonel Biçiminin Test Edilmesi (MWD)

Bir doğ-doğ regresyon modeli ile log-log regresyon

modelinden hangisinin tercih edileceğine karar vermek için

MWD testini kullanabiliriz.

H0: Doğ-doğ model geçerlidir

H1: Log-log model geçerlidir.

1 2 2 3 3Y a a X a X u (1)

1 2 2 3 3ln Y b b ln X b ln X v (2)

20

)(ˆ doğY1. ADIM: 1 nolu model (doğ-doğ) model tahmin edilir.

)(ˆ doğY

2. ADIM: 2 nolu model (log-log) model tahmin edilir.

)(ˆln doğY

Yln

3. ADIM: 1. adımdaki değerlerinin log.

YdoğYZi ˆln)(ˆln 4. ADIM:

5.ADIM: 4.adımda elde edilen Z değişkeni 1 nolu modeldeki doğrusal regresyon modeline bağımsız değişken olarak eklenir .

Z değişkeninin katsayı tahmini istatistiksel olarak anlamlı ise H0 reddedilir.

21

UYGULAMA:

İzmir ilinde 1971(II)-1975(II) üçer aylık dönemlerinde on ikişer adetlik demet gül talebi incelenmiştir. Demet gül talebi Y bağımlı değişken, bir demet gülün fiyatı X2 ve ikame mal olarak da bir demet karanfilin fiyatıX3 bağımsız değişken olarak modele alınmıştır. Bu model hem doğ-doğ hem de log-log model olarak tahmin edilmiştir. Hangi model tercih edilmelidir?

Doğ-doğ model:

2 3Y 9734.26 3782.19X 2815.25X R2 = 0.776

Log-log model:

2 3ln Y 9.2278 1.7607ln X 1.3398ln X R2 = 0.729222

Zi değişkeni ile birlikte tahmin edilen doğrusal model

2 3 iY 9727.56 3783.06X 2817.71X 85.23Z

t (3.2178) (-6.3337) (2.8366) (0.0207)

R2 = 0.7707

H0: Doğ-doğ model geçerlidir

H1: Log-log model geçerlidir.

ttab = tn-k = t13,a =0.05 = 2.160

thes < ttab H0 reddedilemez.

23

Bir ekonomideki bir para talebi modelinde MD=Para talebi, i=Faiz oranı, Y=Milli gelir, L=Likit aktifler stoku(Para dışındaki) değişkenleri yer almaktadır.

1960-1997 dönemi verileri ile bir ülke için şu fonksiyon tahmin edilmiştir.

MD= 0.003 - 0.216(İ) + 0.52(Y) + 0.367(L)s(bi) (0.009) (0.112) (0.101) (0.102)

1903.02 iy 579.02 R

Daha sonra bu değişkenlerle tam logaritmik model oluşturulmuştur.

lnMD=0.412 - 2.325ln(i) + 1.982ln(Y) + 0.417ln(L)s(bi) (0.519) (0.102) (0.192) (1.562)

123.02 iy 413.02 R 24

H0=Doğ-doğ model geçerlidir.

H1=Log-log model geçerlidir.

159.17164.0

814.2hest

042.233;05.0 tttab

thes(17.159)>ttab(2.042) H0 reddedilir.Log-log model geçerlidir.

MD= 0.01 - 0.038(i) + 0.23(Y) - 0.68(L) + 2.814(Zİ)s(bi) (0.004) (0.0026) (0.004) (0.512) (0.164)

Doğrusal modelin doğru model hipotezini test etmek için aşağıdaki model kurulmuştur. Gerekli hipotezleri kurup %5 önem seviyesinde hangi modelin tercih edileceğini söyleyiniz.

25

DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR

İiiii XXXY 4433221ˆˆˆˆ

1. 43

Bazı durumlarda sınırlamaların yapısı doğrusal olmaz. Bu

durumda doğrusal sınırlamalardan farklı olarak modellerin

tahmininde problemlerle karşılaşılır. Parametreler klasik en

küçük kareler yöntemi ile tahmin edilemeyebilirler.

Regresyon modelinin,

olduğunu ve katsayılar ile ilgili sınırlamanın olduğunu

varsayalım. Bu durumda,

34

1

26

İiiii XXXY

43

33221

1ˆˆˆ

olacaktır. Bu model doğrusal olmayan bir modeldir. Model

parametreleri, en küçük kareler veya farklı bir yöntemle

tahmin edilecektir.

olacağı model,

27

DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALARIN TESTİ

Gerçekte doğrusal olmayan modellerin sınırlamaları için

kullanılacak testler, tahmincilerin dağılımı normal dağılım

olmadığından farklı olacaktır.

Sınırlamalar için Benzerlik Oranı testi (LR), Wald testi (W)

ve Lagrange Çarpanı testi (LM) kullanılır. Bu testler

sadece doğrusal olmayan sınırlamalar için geçerli

olmayıp, doğrusal sınırlamalar için de geçerlidir.

Ancak doğrusal sınırlamalar için açıklanan testlerin gerçekte

doğrusal olmayan modeller için kullanılması söz konusu

değildir.28

BENZERLİK ORANI TESTİ Benzerlik oranı testi için adından da anlaşılacağı gibi

benzerlik fonksiyonu kullanılır. Test için sınırlandırılmış

modelin tahmini de yapılır ve logaritmik benzerlik

fonksiyonunu eğiminin sıfır veya sıfırdan farklı olması

durumuna göre sınırlamaların geçerli olup olmayacağına

karar verilir. Sınırlandırılmış modelin logaritmik benzerlik

fonksiyonunu LR, sınırlandırılmamış modelin logaritmik

benzerlik fonksiyonu LU ile ifade edersek test istatistiği,)(2 UR LLLR

olarak hesaplanır. LR test istatistiğinin dağılımı h serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır. h sınırlama sayısıdır. Temel hipotez sınırlamaların geçerli olduğunu,alternatif hipotez ise sınırlamaların geçerli olmadığını ifade eder.

29

LR test istatistiği hata payı ve h serbestlik derecesi ile ki-kare tablosundan bulunacak değer ile karşılaştırılır. LR tablo değerinden büyükse H0 hipotezi reddedilir,sınırlamalar geçersizdir. Aksi söz konusu ise sınırlamalar geçerlidir.

LR test istatistiği sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modellerin artıklarının karelerinin toplamı ile

Ut

Rte e

enLR

2

2

log

veya sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış modellerin belirlilik katsayısı ile,

olarak da hesaplanabilir.

2

2

1

1log

U

Re R

RnLR

30

LAGRANGE ÇARPANI TESTİ

Bu test Lagrange fonksiyonuna ve sınırlandırılmış modelin tahminine dayanarak yapılır. Büyük örnekler için

ne

eeLM

Rt

UtRt

/2

22

olarak hesaplanır ve test istatistiğinin dağılımı h (sınırlama sayısı) serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır. LM test istatistiği R2 değerleri ile,

nR

RRLM

R

RU

/)1(

)(2

22

hesaplanabilir.

Doğrusal sınırlamalar söz konusu olduğunda test istatistiği,31

2nRLM olarak hesaplanabilir. Hipotezler ve hipotezin kabul kararı benzerlik oranı testinde açıklandığı gibidir. LM testi F testi gibi bağımsız değişken katsayılarının tümünün anlamlılığını test etmek için kullanılabilir. Bu durumda test istatistiği sınırlandırılmamış modelin belirlilik katsayısı kullanılarak

2UR

2UnRLM

hesaplanır. LM test istatistiğinin dağılımı test edilen parametre sayılı (k-1) serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır.

32

WALD TESTİ

Testte, sınırlandırılmamış modelden tahmin edilen varyans

kullanıldığından sınırlandırılmamış modelin tahminini gerektirir.

Birden fazla sınırlama test edilebilir. Sınırlama sayısı h ile ifade

edilebilir. Wald test istatistiği,

ne

eeW

Ut

UtRt

/2

22

olarak hesaplanır. Wald test istatistiği R2 değerleri ile,

nR

RRW

U

RU

/)1(

)(2

22

hesaplanır. 33

Sınırlama sayısı h=1 olduğundan ki-kare tablosunda 1

serbestlik derecesi ile tablo değeri bulunarak benzerlik

oranı testinde olduğu gibi karar verilir.

Aynı modelde aynı kısıtlamalar için Lagrange çarpanı,

Benzerlik oranı ve Wald testleri hesaplandığında,

WLRLM

ilişkisi görülür.

34

Uygulama: Mayıs 2001-Mart 2010 dönemi için faiz oranları

(FAİZ), enflasyon açığı (EACIK), üretim açığı

(URETİMACIK), bir dönem önceki faiz oranı (GFAİZ) ve

döviz kuru açığı (DKACIK) değişkenleriyle model tahmin

edilmiştir.

Daha sonra döviz kuru açığının yer almadığı modeli ele

alarak sınırlama testlerinden F,LR,LM ve W testleri ile hangi

model ile çalışılacaktır.

35

Sınırlandırılmamış model: = 0.995498

0:

0:

31

30

H

H

Yt=β1+β2GFAİZ β3DKAÇIK+β4EAÇIK+β5ÜRETİMAÇIK+ut

2UR

4291.1212 Ute 36

Sınırlandırılmış model: = 0.994842 2RR

1270.1392 Rte 37

1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. ( )

H1: Sınırlamalar geçersizdir. ( )

2. aşama: f1: h= 1 , f2: n-k= 106-5=101 Ftab=6,85

3. aşama:

)/()1(

/)(2

22

knR

hRRF

U

RU

7170.14101/)995498.01(

1/)994842.0995498.0(

F

1. F TESTİ ÖRNEĞİ

0: 30 H

0: 31 H

38

4. aşama: Fhes = 14.7170 > Ftab = 6.85

H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış

model ile çalışılmalıdır.

39

2.BENZERLİK ORANI TESTİ ÖRNEĞİ



2.aşama: h=1

3.aşama:

84.321

Ut

Rte e

enLR

2

2

log

42.144291.121

1270.139log106 eLR

0: 30 H

0: 31 H

40

4.aşama: LR=14.42 >

H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model ile çalışılmalıdır.

veya

84.32 tab

2

2

1

1log

U

Re R

RnLR

419.14995498.01

994842.01log106

eLR > 84.32 tab

H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. 41

3.LAGRANGE ÇARPANI TESTİ ÖRNEĞİ



2.aşama: h=1

3.aşama:

84.321

ne

eeLM

Rt

UtRt

/2

22

483.13106/127.139

4291.121127.139

LM

0: 31 H

0: 30 H

42

84.321 4.aşama LM=13.483 >

H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir.

veya

nR

RRLM

R

RU

/)1(

)(2

22

481.13106/)994842.01(

)994842.0995498.0(

LM > 84.321


43

WALD TESTİ ÖRNEĞİ1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. ( )


2.aşama: h=1

3.aşama:

84.321

ne

eeW

Ut

UtRt

/2

22

449.15106/4291.121

4291.1211270.139

W

0: 30 H

0: 31 H

44

W=15.449 >


veya

84.321

nR

RRW

U

RU

/)1(

)(2

22

446.15106/)995498.01(

)994842.0995498.0(

W > 84.321


45

LM=13.483

LR=14.42

W=15.449

LM LR W

46

Yt=β1+β2GFAİZ β3DKAÇIK+β4EAÇIK+β5ÜRETİMAÇIK+ut

0:

0:

431

430

H

H

Sınırlandırılmamış model: = 0.9954982UR

4291.1212 Ute 47

Sınırlandırılmış model: =0.9945972RR

7361.1452 Rte 48



2.aşama: h=2

0: 430 H

0: 431 H

991.52 tab

3.aşama: ne

eeW

Ut

UtRt

/2

22

218.21106/4291.121

4291.1217361.145

W

4.WALD TESTİ ÖRNEĞİ

49

W=21.218 >


veya

991.52 tab

nR

RRW

U

RU

/)1(

)(2

22

214.21106/)995498.01(

)994597.0995498.0(

W

W=21.214 >


991.52 tab

50

Documents

DOĞRUSAL ve DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR*