Dr. R. Marklein - EFT I - SS 20031 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 8th Lecture / 8. Vorlesung University

Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 1

Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

8th Lecture / 8. Vorlesung

University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer Science

(FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik

(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


(2) (1)

(2) (1)e ( )

n× E R E R 0

n D R D R R

e

pec / iel

( ) pec / iel

n× E R 0

n D R R

nMedium (2)

Medium (1)Medium

nTransition Conditions / Übergangsbedingungen Boundary Conditions / Randbedingungen

ws: with sources; sf = source-free / mq = mit Quellen; qf = quellenfrei

pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend

I(nterface)SR B(oundary)SR

( )( )

tan

tan tanE

n×E R E RR e

( )nDn D R R

( ) : (Vector Tangential Component of

Vektorielle Tangentialkomponente vonScalar Tangential Component of

Skalare Tangentialkomponente vo

)

( ) :n

( )

tan

tanE

E R E R

R E R

Scalar Normal Component ofSkalare Normalkomponente vo

( ) : ( )nnD R D R

(2) (1)

(2) (1)e

0

( )tan tan

n n

E E

D D

R R

R R R

e

0 pec / iel

( ) pec / iel

tan

n

E

D

R

R R

e ( ) pec/iel R

ES Fields – Transition and Boundary Conditions / ES Felder – Übergangs- und Randbedingungen


nMedium (2)

Medium (1)Medium


ws: with sources; sf = source-free / mq = mit Quellen; qf = quellenfrei

pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend

( ) ( )i i E R R

(2) (1)e e

(2) (1)e e e0

(2) (2) (1) (1) er e r e

0

(1)(2) (1) ere e(2) (2)

r 0 r

const.

( )

( )n

n n

n × R R 0

R R

Rn R R

RR R

e

e e0

0 r e e

ee

0 r

=const.

( )

( )

n

n

n × R 0

R

n R R

RR

( ) ( )( )0 r

( ) ( )0 r e

1,2

i ii

i i

i

D R E R

R


(2) (1)

(2) (1)e

0

( )tan tan

n n

E E

D D

R R

R R R

e

0 pec / iel

( ) pec / iel

tan

n

E

D

R

R R

e ( ) pec/iel R



nMedium (2)

Medium (1)Medium


(2) (1)

(2) (1)e e e0

(2) (1)e

(1)(2) (1)re e e(2) (2)

r 0 r

0

const.

( )

1 ( )

tan tan

n n

E E

D D

n n

R R

R R

R R R

R R R

e e0

e

e e0 r

0

const.

( )

1 ( )

tan

n

E

D

n

R

R

R R

R R


(2) (1)

(2) (1)e

0

( )tan tan

n n

E E

D D

R R

R R R

e

0 pec / iel

( ) pec / iel

tan

n

E

D

R

R R

e ( ) pec/iel R



Boundary Conditions / Randbedingungen

e e 0 e 0

e e0 r

Special Case /const. 0 V

Spezialfall

1 ( )n

R

R R

Mediumn

B(oundary)SR

e, , ( )E R D R R

Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

e ( ) R

e ( )pec/iel R

Dirichlet Boundary Conditions for Фe / Dirichlet-Randbedingung für Фe

Neumann Boundary Conditions for Фe / Neumann-Randbedingung für Фe


e2 2 2 e

0e2 2 2

e

for / Poisson Equation / für Poisson-Gleichung

for / Laplace Equation / fü

( , , )( , , ) 0

( , , )0 ( , , )r Laplace-Gle0 ichung

x y zx y z

x y zx y z x y z

Electrostatic (ES) Fields – Boundary Value Problem (BVP) / Elektrostatische (ES) Felder – Randwertproblem (RWP)

Examples: / Beispiele:

2 2

e2 2 ( , ) 0x yx y

x

y e 10 V

e 0 V e 0 V

e 0 V

Separation of Variables / Separation der Variablen !

x

y

z

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

Between the Plates:Vacuum /

Zwischen den Platten:Vakuum

e

n× E 0

e

n× E 0

0

0

Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)

e e 0 0x d

e

00

x

e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0


ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten

Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung

e

00

x

x

y

ze

0 0 ( ) 0

co

for /für

for /fürnst.

Rx d

xx d

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

e e 0 0x d



e

n× E 0

e

n× E 0

e ( ) 0R

2 2 2

e2 2 2 ( , , ) 0x y zx y z

2

e2d ( ) 0d

xx

0

0

e

e

( ) 0( ) 0RR

... Cartesian Coordinates /

... Kartesische Koordinaten

... Because of the Symmetry / ... wegen der Symmetrie

Between the Plates Laplace Equation: Zwischen den Platten: Laplace-Gleichung


e

e e 0

0 : 0: 0

xx d

Boundary Conditions (BC) /Randbedingungen (RB)

Partial Differential Equation / Partielle Differentialgleichung

e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0



e

00

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

e e 0 0x d



e

n× E 0

e

n× E 0

2

e2d ( ) 0 0d

x x dx

0

0

e

e

( ) 0( ) 0RR

Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)

Integrating once / Integriere einmal

Integrating twice / Zweifache Integration ergibt

2

e e2d d( ) d ( ) const

ddx x x a

xx

ed ( ) constd

x ax

e ( )x ax b

e ed ( ) =const d ( )d

x a x x ax bx


e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0x ax b x d



e

00

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

e e 0 0x d



e

n× E 0

e

n× E 0

0

0

e

e

( ) 0( ) 0RR


e ( )x ax b

e

e e 0

0 : 0: 0

xx d


e ( 0) ( 0) 0

x a x b

0b

e ( )x ax

e

e0

( ) ( )

x b a x b

e0ad

e0e ( ) 0x x x d

d

Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential


e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0



e

00

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

e e 0 0x d



e

n× E 0

e

n× E 0

0

0

e

e

( ) 0( ) 0RR


e0

e0

( )0 else / sonst

x x dx d

2

e2d ( ) 0 0d

x x dx

e

e e 0

0 : 0: 0

xx d


Partial Differential Equation (PDE) / Partielle Differentialgleichung (DGL)

Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential

x

e ( )x


e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0



e

00

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

e e 0 0x d



e

n× E 0

e

n× E 0

0

0

e

e

( ) 0( ) 0RR


e0

e0

( )0 else / sonst

x x dx d

Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential

e

e

e0

e0

( ) ( )d( ) ( ) d

d0

d0 else / sonst

0

0 else / sonst

E R R

E e

e

e

x

x

x

x x xx

x x dx d

x dd

The Electrostatic Potential and Electrostatic Field Strenth are Discontinuous at the Plates /

Das elektrostatisches Potential und die elektrostatische Feldstärke sind unstetig an den Platten

e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0




e0 0( )

0 else / sonst

eE x x d

x d

Representation of the Electrostatic Field Strenth using the Unit Step Functions: /

Darstellung der elektrostatischen Feldstärke durch Einheitssprungfunktionen:

x

( )xE x

e0( ) u( ) u( ) E exx x x d xd

1 0u( )

0 0x

xx

x

u( )x

x

u( )x

x

u( )x d

x d

x d

1

x

u( ) u( )x x d

x d


Step Functions / Einheitssprungfunktionen

1

1

1




e0

e0

( ) ( )

e0

e

0

d d( ) u( ) u( )d d

d du( ) u( )d d

( ) ( )

( )

x

x x d

E x x x dx d x

x x dd x x

x x ddx

0 e

e

0

d ( ) ( )d

( )d ( )d

x

x

E x xx

xE x

x

e

e

( ) ( )d ( ) ( )d

D R R

xD x xx

u ( )

d u( ) ( )d

x

x xx

01 0( ) 0

0

( )

u ( ) ( )d u( ) ( ) u( ) ( )d

u( ) ( ) u( ) ( ) ( )d

( ) ( )

( ) ( ) (0)

(0)

u ( ) ( )d (0)

u ( ) ( )

f

x

x f x x x f x x f x x

f f f x x

f f x

f f f

f

x f x x f

x x




x

e0e 0

e0 e0

e0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x dd

x x d

x d

e ( )x

e0

e0

Electric Surface Charge Density / Elektrische Flächenladungsdichte

e0 ( )x e0 ( )x d

e

00

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

e e 0 0x d



e

n× E 0

e

n× E 0

0

0

e

e

( ) 0( ) 0RR


e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0



Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ... (2)

Application: Numerical Solution of Unbounded Static Problems / Anwendung: Numerische Lösung von unbegrenzten statischen Problemen

ee

0

( )( )

R

R

Problem: Parallel Plate Capacitor in an Unbounded Region / Problem: Paralleler Plattenkondensator in einem unbegrenzten Gebiet

e+ e

Electrostatic Surface Charges / Elektrostatische Flächenladungen

Parallel Plates / Parallele Platten

Numerical Solution: We need to Specify Boundary Conditions at the Boundaries of the Simulation Area which is always

bounded. / Numerische Lösung: Wir müssen für die Ränder des

numerischen Simulationsgebietes, welches immer begrenzt ist, Randbedingungen spezifizieren.

e+ e

Outline of the Problem / Entwurf des Problems

Boundary Condition (BC) ? /

Randbedingung (RB) ?

Open Boundary Condition (OBC) ? /

Offene Rand- bedingung (ORB) ?


Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol


e e( ) ( )Q R R Rz

y

x

Monopole / Monopol

One Point Charge /Eine Punktladung

e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R Rz

y

x

Dipole / Dipol

Two Point Charges /Zwei Punktladungen

4( )( )

e e1

( ) ( )ii

iQ

R R Rz

y

x

Quadrupole / Quadrupol

Four Point Charges /Vier Punktladungen

eQ

d

d

eQ

eQ

d

eQ

eQ

eQ

eQ(1) (2)(1) (2)

e e e e

(3) (4)(3) (4)e e e e

, , 2 2 2 2

,

with / mit

, 2 2 2 2

y z y z

y z y z

d d d dQ Q Q Q

d d d dQ Q Q Q

R e e R e e

R e e R e e

w

it

h /

2 2

mit

z zd d

R e R e

with / mit

R 0


Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...


Arbitrary Point Charge / Beliebige Punktsladungsverteilungen

z

y

x

e ( ) R

3e e

0

1 1( ) ( )4 | |

d

R

R R RR R

Expansion of in a Taylor Series for yields :

Entwicklung von in eine Taylor-Reihe für ergi

bt1

| |

R 0

R R

3 51 1 1 1 1 3

2| | Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung:

R R R

R R R R R R R I RR R

HOT

HOT




3e e

0

3e3 5

0

3e2 3

0

1 1( ) ( ) d4 | |

1 1 1 1 1 3 ( ) d4 2

1 1 1 1 1 3 ( ) d4 2

R R R

R R R

R

R

R

R R RR R

R R R R R R R I R R R

R R R R R R R I R R R

HOT

HOT




1

3 3

3

3

3

3

R

R R :I

R R R R R I R R R : R R R R R I R

R R : R R R R R R

R R : R R R R

R R : R R R R : I

R R : R R I

3e e2 3

0

1 1 1 1 1( ) 3 ( ) d4 2R R R

R

R R R R R R R R I R R R HOT

3e e2 3

0

1 1 1 1 1( ) 3 ( ) d4 2R R R

R

R R R R R : R R I R R HOT




e

e

3e e

0

3e2 3

0

3e

0

3e2

1 1( ) ( ) d4 | |

1 1 1 1 1 3 ( ) d4 2

1 1 ( ) d4

1 ( ) d

Q

R R R

R

R

R

R

R

R

p

R R RR R

R R R R : R R I R R

R R

R R R R

HOT

e

3e3

1 1 ( ) d 32 R

R

q

R R R R : R R I

HOT




e

e

e

3e e

0

3e2

3e3

1 1( ) ( ) d4

1 ( ) d

1 1 ( ) d 32

Q

R

R

R

R

R

p

R

q

R R R

R R R R

R R R R : R R I

HOT

e e 2 3e e0

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ( ) 34 2

Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung :

QR R R

R p R q : RR I HOT

HOT




Arbitrary Point Charge / Beliebige Punktsladungsverteilungen

z

y

x

e ( ) R

3e e ( ) dQ

R

R RMonopole Moment / Monopolmoment

Dipole Moment / Dipolmoment

Quadrupole Moment / Quadrupolmoment

3ee( ) d

R

p R R R

3ee( ) d

R

q R R R R

3e e

0

1 1( ) ( )d4 | |

R

R R RR R

Expansion of in a Taylor Series for yields :

Entwicklung von in eine Taylor-Reihe für ergi

bt1

| |

R 0

R R

e e 2 3e e0

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ( ) 34 2

Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung :

QR R R

R p R q : RR I HOT

HOT


Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol


e e e0, , Q p 0 q 0

z

y

x

Monopole Moment / Monopolmoment

One Point Charge /Eine Punktladung

z

y

x

Dipole Moment / Dipolmoment

Two Point Charges /Zwei Punktladungen

z

y

x

Quadrupole Moment/ Quadrupolmoment

Four Point Charges /Vier Punktladungen

eQ

d

d

eQ

eQ

d

eQ

eQ

eQ

eQ

e e e0, , Q p 0 q 0

e e e0, , Q p 0 q 0


Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol


e e e

e e

( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2z z

Q Qd dQ Q

R R R R R

R e R e

z

y

x

d

eQ

eQ

with 2

2

z

z

d

d

R e

R e

R

R

ee

0

1 1( )4Q

RR R R R

Electrostatic Dipole Moment / Elektrische Dipolmoment

zdd e

Distance Vector / Abstandsvektor2 2z z zd d d d R R e e e

3 3e e ee

3 3e e e e e e

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d Q Q d

Q d Q d Q Q Q Q

R R

R R

R R

p R R R R R R R R R

R R R R R R R R R R R R d

Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatische Raumladungsdichte

Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential

e3 3

0( )

4Q

R R R RE R

R R R R

Electrostatic Field Strength / Elektrostatische Feldstärke


Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol


z

y

x

d

eQ

eQ

R

R

zdd e

3ee

3e e

3 3e e

e e

e

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2z z

d

Q Q d

Q d Q d

Q Q

d dQ

R

R

R R

R R R R

q R R R R

R R R R R R R

R R R R R R R R R R

R R R R

e e

e

2 2z z

z z z z

d d

Q d d

0

e e

e e e e

0

Electrostatic Dipole Moment / Elektrostatisches Dipolmoment

ee

e eˆ

Q

p

p d

p e

eˆ

e ep Q Q

d R R

p d R Rwith / mit

Electrostatic Quadrupole Moment / Elektrostatisches Quadrupolmoment


Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) FelderPoint Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … /

Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ... (2)

Application: Numerical Solution of Unbounded Static Problems / Anwendung: Numerische Lösung von unbegrenzten statischen Problemen

ee

0

( )( )

R

R

e e

With Dirichlet Boundary Condition / Mit Dirichlet Randbedingung With Open Boundary Condition (OBC) / Mit offener Randbedingung (ORB)

e e+ e( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )R y z x x y z x x

x

y

z

e0e+

e

( , )0 else / sonst

( , )

y y yy z z z z

y z


ES Fields – Method of Images / ES-Felder – Spiegelungsmethode

Medium

nB(oundary)S

e ( ) R

e

e B

( ) pec / iel( ) 0,

( )S

RR R

n× E R 0

z

y

x

eQ

B e: ( ) 0 ( )

S

R Rn× E R 0

B e: ( ) 0 ( )

S

R Rn×E R 0

e

e

known / bekannt!,

Q E unknown / unbekannt!

R

e e( ) ( )Q R R R e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R R

0z

Boundary Value Problem (BVP) – Randwertproblem (RWP)


B e: ( ) 0 ( )

S

R Rn×E R 0

Method of Images / SpiegelungsmethodeElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

B e: ( ) 0 ( )

S

R Rn× E R 0

ee

0

1 1( )4Q

RR R R R

e

e 0

1 1 0( ) 4

0 0

Qz

z

R R R R R



B e: ( ) 0 ( )

S

R Rn ×E R 0

Medium

nB(oundary)S

e ( ) R

e

e B

( ) pec / iel( ) 0,

( )S

RR R

n× E R 0

z

y

x

eQ

Medium

nB(oundary)S

e ( ) R

e

e B

( ) pec / iel( ) 0,

( )S

RR R

n×E R 0

z

y

x

eQ

eQ

R R

R

Problem: Solution / Lösung:

Image Charge / Spiegelladung


ES Fields – Method of Images / ES Felder – Spiegelungsmethode

Medium

nB(oundary)S

e ( ) R

e

e B

( ) pec / iel( ) 0,

( )S

RR R

n×E R 0

z

y

x

eQ

eQ

R

R

Solution by Applying the Method of Images / Lösung durch Anwendung der Spiegelungsmethode

Image Charge / Spiegelladung

e

e 0

1 1 0( ) 4

0 0

Qz

z

R R R R R

e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R R

0 0 with

mit z zz z R e R R e



e

e 0

1 1 0( ) 4

0 0

Qz

z

R R R R R

e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R R 0 0 with

mit z zz z R e R R e

e

e3 3

0

0

e3 3

( ) ( )

04

0 0( ) ( )

04

0 0

Qz

z

Qz

z

E R R

R R R R

R R R R

D R E R

R R R R

R R R R



Medium

nB(oundary)S

e ( )

,x yx y

x y

RR e e

z

eQ

y y –– –– – ––

+

PEC / IEL

Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz)

Field Lines of E / Feldlinien von E

Without the Method of Images we have to Solve the Following Integral Equation for the Unknown Induced Electrostatic Surface Charge / Ohne die Spiegelungsmethode muss man die folgende Integralgleichung für

die induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte lösen

2e ee

00

( )1( ) 04

z

Qd

R

RR R

R R R R

Unknown / Unbekannt

x

x

e 0f

(or

f r

0ü

) z R



B

knownbekan

( )ntS RD R

Medium

nB(oundary)S

e ( ) R

z

y

x

eQ

–– –– – ––

+

PEC / IEL

Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz)

Field Lines of E / Feldlinien von E If D is known from the Method of Images /

Falls D über die Spiegelungsmethode bekannt ist

B

B

e

e3 3

e3 3

0

( ) ( )

04

4

forfür

S

S

z

z

Qz

Q

R

R

R n D R

R R R Rn

R R R R

R R R Re

R R R R

ηe(R) is Defined by the Normal Component of D / ηe(R) ist definiert über die Normalkomponente von D

!



Be

e3 3

0

e 0 03 / 2 3 / 22 22 2 2 2

0 00

e 0 03 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2

0 0

e 0

2 2 20

( ) ( )

4

4

4

2

S

z z

z

z

Q

Q z z z z

x y z z x y z z

Q z z

x y z x y z

Q z

x y z

RR n D R

e R R e R R

R R R R

3/ 2

e 03 / 22 2

02Q z

r z



Be

e 03 / 22 2

0

( ) ( )

2

S

Q z

r z

RR n D RTotal Electric Charge at the xy Plane at z=0 /

Gesamtladung auf der xy Ebene bei z=0

2tot e 0e 3 / 22 20 0 0

2e 0

3/ 22 20 002

e 0 3 / 22 20 0

e 0 2 2 00

0e

2

2

1 1

r

r

r

Q zQ r dr d

r z

Q zr dr d

r z

rQ z drr z

Q zzr z

Q

3 / 2 2 22 2

1x dxx ax a

tote eQ Q


ES Fields – Method of Images – Applications / ES Felder – Spiegelungsmethode – Anwendungen

Earth / Erde

Singular Point / Singulärer Punkt

Ionosphere / Ionosphäre

Vertical Stream / Vertikalstrom

Dipole Layer / Dipolschicht


ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)

Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables – Example / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen – Beispiel

2 2

e2 2 ( , ) 0x yx y

x

y e 10 V

e 0 V e 0 V

e 0 V

Separation of Variables / Separation der Variablen !


2 2 2

e2 2 2 ( , , ) 0x y zx y z


Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen

Laplace Equation / Laplace-Gleichung

2 2

e2 2 ( , ) 0x yx y

3-D / 3D

2-D / 2D

2 2

e e2 2( , ) ( , ) 0x y x yx y

Elliptic Partial Differential Equation / Elliptische partielle Differentialgleichunge ( , , ) 0x y z

Laplace Equation in Cartesian Coordinates / Laplace-Gleichung in Kartesischen Koordinaten

Function of Three Variables / Funktion von drei Variablen

Function of Two Variables / Funktion von zwei Variablen





2 2

e e2 2( , ) ( , ) 0x y x yx y

/

e ( , ) ( ) ( )x y X x Y y

Solution Strategy: Reduce the Partial Differential Equation (PDE) to an Ordinary Differential Equation (ODE) and Find a Solution

of the PDE by Solving the ODE

Lösungsstrategie: Reduziere die partielle Differentialgleichung (PDG) auf eine gewöhnliche (ordinäre) Differentialgleichung (GDG) und finde eine Lösung der PDG durch Lösung der GDG

Ansatz of Separation / Separationsansatz

Function of 2 Variables: x and y /Funktion von 2 Variablen: x und y

Function of x only /Nur eine Funktion von x

Function of y only /Nur eine Funktion von y

Product of 2 Functions /Produkt aus 2 Funktionen





2 2

e e2 2( , ) ( , ) 0x y x yx y

e ( , ) ( ) ( )x y X x Y y Ansatz of Separation / Separationsansatz

2 2 2 2

e e2 2 2 2

2 2

2 2

( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

d d( ) ( ) ( ) ( )d d

x y x y X x Y y X x Y yx y x y

Y y X x X x Y yx y

Inserted in the Above Laplace Equation Yields / Eingesetzt in die obere Laplace-Gleichung ergibt




2 2 2 2

e e2 2 2 2d d( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )d d

x y x y Y y X x X x Y yx y x y

2 2 2 2

2 2 2 21 d d 1 d 1 d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )d d d dY y X x X x Y y X x Y y

X x Y y X x Y yx y x y

2 2

2 2

2 2

2 22 2

2 2

Function of Function ofFunktion von Funktion v

/ / o

n

0

1 d 1 d( ) ( ) 0( ) ( )d d

1 d 1 d( ) ( )( ) ( )d d

x yx y

X x Y yX x Y yx y

X x Y yX x Y yx y

2 2 0 Separation Condition / Separationsbedingung

1( ) ( )X x Y y




2 2 2k

Separation Condition / Separationsbedingung

We Obtain Two ODE / Wir erhalten zwei GDG

22

2

22

2

d ( ) ( )dd ( ) ( )d

X x k X xx

Y y k Y yy

With / Mit

2 2 0

Solutions of these Equations are / Lösungen dieser Gleichungen sind

or /( ) cos( ) sin( )

oderor /

( ) cosh( ) sinh( )oder

X x kx kx

Y y ky ky

For k = 0 these Solutions Degenerate to / Für k = 0 diese Lösungen degenerieren zu

or /( ) const.

oderor /

( ) const.oder

X x x

Y y y

22

2

22

2

d ( ) ( )dd ( ) ( )d

X x X xx

Y y Y yy


End of 8th Lecture /Ende der 8. Vorlesung

Documents

Dr. R. Marklein - EFT I - SS 20031 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 8th Lecture / 8. Vorlesung University