EE-240/2009 Análise de Tendência por Regressão Linear EE-240 Análise de Tendência: Regressão Linear

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Análise de Tendência por Regressão LinearEE-240

Análise de Tendência:Regressão Linear

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Análise de Tendência por Regressão Linear

• Sir Francis Galton (1822 - 1911)

Antropólogo e meteorologista britânico.

• Regression towards mediocrity in hereditary

stature. Journal of the Anthropological Institute, v.

15, pp. 246-263, 1885.

• A altura dos filhos tende a ser aproximar da

média da população (“regressão à média”).

• Atualmente, a palavra “regressão” não é mais

empregada com esse sentido.

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Cenário considerado

• A tendência é significativa ?

• Qual é o tempo predito de falha tf ?

Índice associadoà degradação

Tempo, ou Stress Acumulado

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tf

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tf

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Índice de

degradação

Tempo

Coeficiente linear

(“intercept”) Coeficiente

angular (“slope”)

“Ruído”

(discrepância com

relação à reta)

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Método de Mínimos Quadrados

• Notação:

• Valores observados:

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• A reta ajustada passa no centróide do conjunto de pontos (ti, yi):

• Os resíduos ei têm média zero:

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• Os resíduos não são correlacionados com o tempo:

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Exemplo

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Exemplo

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Exemplo

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REGRESS Multiple linear regression using least squares.

b = REGRESS(y,X) returns the vector of regression coefficients, b, in the linear model y = Xb, (X is an nxp matrix, y

is the nx1 vector of observations).

>> t = [0 1 4 5 7]'

y = [2 1 8 12 13]'

X = [ones(5,1) t]

b = regress(y,X)

b =

0.8916

1.8554

Exemplo

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Formulação Matricial:

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>> t = [0 1 4 5 7]'

>> y = [2 1 8 12 13]'

>> X = [ones(5,1) t]

>> inv(X'*X)*X'*y

ans =

0.8916

1.8554

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Análise de Variância

(.)2

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Sum of squares about the mean SYY

Dispersão dos valores dedegradação observados

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Sum of squares due to regression SSReg

Dispersão associada aoaumento da degradação (tendência)

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Sum of squares about regression

(Residual Sum of Squares RSS)

Dispersão não explicadapelo modelo de tendência

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RSS

Sum of Squares about the mean SYY

=Sum of Squares due to regression SSReg + Residual Sum of Squares RSS

SYY SSReg

Um índice muito utilizado para avaliar a qualidade da reta ajustada é o coeficiente de

determinação R:

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RSSSYY SSReg

• Se a reta ajustada passasse por todas as observações, a soma quadrática dos resíduos RSS

seria zero (caso ideal).

• Se o modelo descrever adequadamente o comportamento dos dados, espera-se que RSS

seja “pequeno”.

• Formalmente, para que a tendência linear seja considerada significativa, RSS deve ser

significativamente menor que SSReg (teste de hipótese).

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Graus de Liberdade

Se houvesse apenas n = 2 observações, o ajuste sempre seria perfeito (RSS = 0):

Faltam graus de liberdade (“degrees of freedom” - df) para verificar a “qualidade” do modelo.

Ajuste Excelente?

Graus de liberdade (df) = No. observações (n) – No. parâmetros ajustados

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RSSSYY SSReg

• Somas de quadrados devem ser comparadas levando-se em conta os graus

de liberdade associados.

• Para isso, podem-se usar médias quadráticas:

Mean Square = Sum of Squares / Degrees of Freedom

(MS = SS / df)

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RSSSYY SSReg

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• A significância da regressão (isto é, da tendência linear da degradação observada)

pode ser avaliada comparando-se MSReg e s2

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i ~ N(0, 2)

i não correlacionado com j (i j)

Pode-se mostrar que:

Assumindo:

Se 1 = 0 (i.e. se não houver tendência linear) a razão segue

uma distribuição F com 1 e (n – 2) graus de liberdade:

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Teste F para Significância da Regressão

• Hipótese nula H0: 1 = 0 (não há tendência linear)

• Hipótese alternativa H1: 1 0

• Se F > Fcrit = F1–(1, n – 2), pode-se rejeitar a hipótese nula com 100 (1 – ) % de

confiança.

Fcrit

n = 11, = 0.2 Fcrit = 1.91

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>> X = [ones(n,1) t]

>> b = inv(X'*X)*X'*y

>> yhat = X*b

>> ybar = mean(y)

>> SYY = (y - ybar)'*(y-ybar)

>> SSReg = (yhat -ybar)'*(yhat - ybar)

>> R2 = SSReg/SYY

>> MSReg = SSReg

>> RSS = (y - yhat)'*(y - yhat)

>> s2 = RSS/(n-2)

>> F = MSReg/s2

>> alpha = 0.05

>> Fcrit = finv(1-alpha,1,n-2)

>> p = 1 - fcdf(F,1,n-2)

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n = 11

SYY = 135

SSReg = MSReg = 109

R2 = SSReg/SYY = 0.81

RSS = 25

s2 = RSS/(n – 2) = 2.8

F = MSReg/s2 = 39

= 0.05

Fcrit = 5.1

p = 1.5 10 - 4

Tendência Significativa

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n = 11

SYY = 3370

SSReg = MSReg = 849

R2 = SSReg / SYY = 0.25

RSS = 2520

s2 = RSS/(n – 2) = 280

F = MSReg/s2 = 3.0

= 0.05

Fcrit = 5.1

p = 0.12

Tendência Não Significativa

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Intervalos de confiança para 0 e 1

Sob as hipóteses usuais, pode-se mostrar que:

Estimativas não-polarizadas

Variância aumenta com 2 e diminui com n e STT ou seja, a precisão das estimativas

melhora com:

i) redução no “ruído”

ii) aumento da quantidade de dados coletados

iii) aumento no timespan da coleta de dados

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Intervalos de confiança para 0 e 1

Sob as hipóteses usuais, pode-se mostrar que:

Na prática, não se conhece o valor de e, em seu lugar, pode-se usar a seguinte

estimativa:

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• Erro-padrão de b0 e b1:

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Empregando-se os erros-padrão de b0 e b1 (i.e. usando s no lugar de ), os intervalos de

confiança são dados com base em valores críticos da distribuição T de Student.

x

p(x)

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Com 100 (1 – ) % de confiança, 0 e 1 encontram-se entre os seguintes limites:

>> s = sqrt(s2)

>> tbar = mean(t)

>> STT = (t - tbar)'*(t - tbar)

>> sb0 = s*sqrt(1/n + tbar^2/STT)

>> sb1 = s/sqrt(STT)

>> Tcrit = tinv(1-alpha/2,n-2)

>> b0_min = b0 - sb0*Tcrit

>> b0_max = b0 + sb0*Tcrit

>> b1_min = b1 - sb1*Tcrit

>> b1_max = b1 + sb1*Tcrit

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Exemplo

b0:[-0.1562, 4.1146]

b1:[0.6369, 1.3588]

Valores usados para gerar este exemplo:

0 = 3

1 = 0.8

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Estimação do RULEstimação do RULEstimação do RULEstimação do RULEstimação do RUL

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tf estimado

Estimação do RUL

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= 0.05

Estimação do RUL

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Intervalo de confiança para tf

Estimação do RUL

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Muito Obrigado!

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