逆格子ベクトルと回折現象

朝倉清高

Catalysis Research Center, Hokkaido UniversityCatalysis Research Center, Hokkaido University

CRC Hokkaido University

波の回折

θ1 θ1

ｄ

dsinθ=d・k1

nλ＝ 2dsinθ

k1

k2波数ベクトル波の進行方向をベクトルの方向とし、大きさが2π/λなるベクトルを波数ベクトルk1,k2と定義する。

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格子と波数と回折条件

格子ベクトルをdとすると、

11 /sin kkdd ⋅=θ

22 /sin kkdd ⋅−=θ λπλ

θ

n

kd

=−⋅=

−⋅=

2/)(/)(sin2 1

21

21

kkdkkd

πn2)( =−⋅ 21 kkd回折条件

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逆格子ベクトル

逆格子ベクトルとは上の条件を満たすbjのことを言う。a1,a2,a3に対しては、ｂ１，ｂ２，ｂ３が存在する

ijπδ2=⋅ ji ba

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問題

逆格子ベクトルは次のように表される。)(2 kijkij aa/aaab ×⋅×= π

これを証明せよ。

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回折条件と逆格子

回折条件は、散乱ベクトル(k2-k1)が逆格子点に等しくなったときにおこる。

∑=− i12 bkk in

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エバルトの作図

逆格子をえがく

逆格子の原点に向かって 入射波の波数ベクトルを書く

その始点を中心に波数を半径とする球

を書くとその交点で回折が置き、回折の方向はAHの方向。

k2

k1

k

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X線の散乱

Ｘ線は電子より散乱される。

その散乱の強度は電子の密度に比例する。

散乱された波は互いに干渉するが、その干渉の仕方は行路差による。

行路差は原点からの距離と波数とで

とかける

で干渉する。

rk •−= )( 12 kkrk•−ie

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構造因子

A(k)は結晶格子の中の式と結晶格子の式に分けられる。

))(exp(')'(

)()(

'

)()(

321rq,p,

'

)'(

321

321

aaakr

rk

aaarr

rrk

rk

aaark

rk

rqpider

derA

rqp

deA

i

rqpi

V

i

++−=

=

+++=

=

∑∫

∫

∫

•−

+++•−

•−

単位格子ρ

ρ

ρ

結晶格子構造因子F(k)

G(k)

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ラウエ関数とラウエ条件

ラウエ関数とよぶ。

k・a=2πでピーク すなわち、ｋは逆格子点 k=mb1+lb2+nb3（ラウエ条件）

)21(sin

)2

(sin

)21(sin

)2

(sin

)21(sin

)2

(sin)(

32

32

22

22

12

12

2

ak

ak

ak

ak

ak

akk

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅=

aba NNN

G

∑∑∑

∑⋅−⋅−⋅−=

++−=

)exp()exp()exp(

))(exp()(

321

321

akakak

aaakk

iriqip

rqpiG

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結晶構造因子

ラウエ条件より、k=G(逆格子ベクトル）

')'()( '∫ •−=結晶格子

rk rk derF iρ

')'()( '∫ •−=結晶格子

rG rG derF iρ

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光(X線）散乱の強度と電子密度

各逆格子点における散乱強度Fc(G)

rrGrG diFc c∫ ⋅−= )exp()()( ρ

)(rρ は電子密度

∑ ⋅=G

c iF )exp()(v01)( rGGrρ

電子密度は、各逆格子点での散乱強度のフーリエ級数として表すことができる。

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回折と原子の位置

電子密度は、原子の位置に対応するので、Ｘ線回折を測定することで、構造を決定できる。

電子線の場合には、電子密度の代わりに電場分布が散乱強度あらさすので、散乱強度のフーリエ変換は電場分布を表す。

中性子線の場合には、核の位置が分かる

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表面の逆格子

a1,a2は定義されるがa３（表面に垂直）は無限大と考えてやる。表面内の逆格子は定義できるが、ｂ３＝2π/a3は0の大きさを持つベクトルとなる。すなわち、表面の逆格子点に垂直に線がたつ。（逆格子ロッド）

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表面の回折法

LEED(Low energy electron diffreaction)低速電子回折

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RHEED(Reflection high energy electron diffraction)

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透過電子

回折像

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透過電子回折

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それぞれの手法のEwald球

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LEED,TED,RHEED

LEED

TED

RHEED

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付録Laue関数の導き方

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

−−

=

−−

=

ΣΣ∑=

Σ=

−−

−

−

−

−−−

−

−−−

2sin

2sin

2sin

2sin

2sin

2sin

|)(|

2sin

2sin

)(

11

)(

32

32

22

22

12

12

2

1

1

2/)1(

2/)1(2/)1(2/)1(

2/)1(2/)1(

)1(

)1(2/)1(

)3()2()1(2/

2/

)3()2()1(

ka

ka

ka

ka

ka

ka

ka

ka

k

ka

kakaka

kaka

ka

kaka

kakaka

kakaka

NNN

kG

N

e

eeeee

eee

eee

eG

i

iii

NiNi

i

NiNi

iriqipN

N

iriqip

L

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LEED,TED,RHEED

LEED

TED